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Universidade Federal Rural do Semi-a´rido
Centro de Cieˆncias Exatas e Naturais
Professora: Maria Joseane F. G. Maceˆdo
Disciplina: Ca´lculo I
Notas de aula de Ca´lculo I
Mossoro´, novembro de 2017.
ii
Suma´rio
1 Nu´meros Reais 1
1.1 Conjuntos Nume´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Func¸o˜es 7
2.1 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Operac¸o˜es com func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Alguns tipos de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Func¸o˜es seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 Func¸o˜es tangente, cotangente, secante e cossecante . . . . . . . . . 17
3 Limite e Continuidade 19
3.1 Noc¸a˜o intuitiva de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Expresso˜es indeterminadas no ca´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Ass´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Continuidade e Teorema do confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7.1 Propriedades das func¸o˜es cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.2 Outras propriedades de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.8 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iii
iv SUMA´RIO
4 Derivada 33
4.1 A reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 A derivada de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Regras de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Derivadas de ex e lnx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 Continuidade de func¸o˜es deriva´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7 A derivada de uma func¸a˜o composta - Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . 39
4.7.1 A derivada da func¸a˜o exponencial composta . . . . . . . . . . . . . 40
4.8 Func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.9 A derivada da func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.9.1 Derivada das func¸o˜es trigonome´tricas inversas . . . . . . . . . . . . 42
4.9.2 Derivada das func¸o˜es hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.10 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.11 Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o dada implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Aplicac¸o˜es das Derivadas 47
5.1 Velocidade e Acelerac¸a˜o. Taxa de Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Teoremas sobre Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Func¸o˜es Crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Crite´rios para determinar os extremos de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . 54
5.6 Concavidade e pontos de inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.7 Construc¸a˜o e ana´lise de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.8 Problemas de maximizac¸a˜o e minimizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.9 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.10 Introduc¸a˜o a` Integrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Cap´ıtulo 1
Nu´meros Reais
Caro estudante, esta nota de aula na˜o tem a intenc¸a˜o de ser original, e´ apenas
um guia de direcionamento para o estudo da nossa disciplina de Ca´lculo I no decorrer
desse semestre. A escrita esta´ baseada em alguns livros de Ca´lculo I bastante conhecidos
(6a edic¸a˜o do Ca´lculo A da Diva Mar´ılia e Ca´lculo volume 1 do Guidorizzi). Os exemplos
e exerc´ıcios esta˜o apenas enunciados, alguns exemplos sera˜o resolvidos em sala de aula,
os demais provavelmente sa˜o exerc´ıcios resolvidos dos livres mencionados. Os teoremas,
lemas e proposic¸o˜es tambe´m sera˜o apenas enunciados, alguns demonstrac¸o˜es pertinentes
a` disciplina sera˜o feitas em sala de aula. Este material esta´ em constante edic¸a˜o e revisa˜o,
enta˜o se identificarem algum erro por favor me avise, ficarei grata. Estarei a` disposic¸a˜o
para ajuda´-los no decorrer do semestre.
O objetivo deste cap´ıtulo e´ apresentar uma revisa˜o sobre algumas das principais
propriedades dos nu´meros reais, na˜o nos preocupando com a definic¸a˜o formal de nu´mero
real. Esse estudo e´ extremamente importante para toda a disciplina. Um aluno que na˜o
souber trabalhar as propriedades ba´sicas dos nu´meros reais tera´ dificuldade em assimi-
lar bem os conteu´dos de Ca´lculo I. Desse modo, quem na˜o estiver seguro nesse to´pico,
sugiro que estuda muito bem as propriedades ba´sicas dos nu´meros reais em outras re-
fereˆncias bibliogra´ficas (estudadas nos ensinos fundamentais e me´dios, como por exemplo
expresso˜es nume´ricas, operac¸o˜es com frac¸a˜o, produtos nota´veis, potenciac¸a˜o e radiciac¸a˜o,
entre outros). Boa sorte e bons estudos!
1
2
1.1 Conjuntos Nume´ricos
Os primeiros nu´meros conhecidos pela humanidade sa˜o os chamados inteiros po-
sitivos ou naturais, dados por N = {1, 2, 3, . . .}. A unia˜o dos nu´meros naturais com os
inteiros negativos (−1,−2,−3, . . .) e o zero define o conjunto dos nu´meros inteiros que
denotamos por Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Os nu´meros racionais sa˜o da forma
a
b
, com a e b inteiros e b 6= 0, isto e´:
Q = {a
b
; a, b ∈ Z, b 6= 0}.
Sejam
a
b
e
c
d
dois nu´meros racionais quaisquer. A soma e o produto destes dois nu´meros
racionais sa˜o dadas da seguinte forma:
Soma :
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
,
Produto :
a
b
· c
d
=
ac
bd
.
Mas tambe´m existem os nu´meros que na˜o podem ser representados na forma
a
b
,
com a, b ∈ Z e b 6= 0, tais como
√
2 = 1, 414 . . ., pi = 3, 14159 . . ., e = 2, 71 . . .. Tais
nu´meros formam o conjunto dos nu´meros irracionais. A unia˜o dos nu´meros racionais
com os nu´meros irracionais resulta no conjunto dos nu´meros reais, denotado por R.
Exemplo 1.1 Resolva as seguintes operac¸o˜es:
1.
2
5
+
3
7
2.
1
2
− 3
4
3.
1
4
+
2
3
Agora vamos apresentar alguns axiomais e propriedades dos nu´meros reais:
1. Fechamento: se a, b ∈ R existe um e somente um nu´mero real denotado por a+ b,
chamado soma, e existe um e somente um nu´mero real, denotado por ab (ou a · b),
chamado produto.
2. Comutatividade: se a, b ∈ R, enta˜o a+ b = b+ a e a · b = b · a.
3. Associatividade: se a, b, c ∈ R, enta˜o a+(b+c) = (a+b)+c e a · (b ·c) = (a ·b) ·c.
Nu´meros Reais 3
4. Distributividade: se a, b, c ∈ R, enta˜o a · (b+ c) = ab+ ac.
5. Existeˆncia de elementos neutros: existem 0 e 1 nu´meros reais tais que a+0 = a
e a · 1 = a, para todo a ∈ IR.
6. Existeˆncia desime´tricos: para todo a ∈ IR existe um sime´trico, denotado por
−a, tal que a+ (−a) = 0.
7. Existeˆncia de inversos: para todo 0 6= a ∈ IR existe um inverso, denotado por
a−1 ou
1
a
, tal que a · 1
a
= 1. A partir da existeˆncia de sime´tricos e inversos, podemos
definir a subtrac¸a˜o e a divisa˜o de nu´meros reais.
8. Subtrac¸a˜o: se a, b ∈ R, a diferenc¸a entre a e b, denotada por a− b, e´ definida por
a− b = a+ (−b).
9. Divisa˜o: se a, b ∈ R, com b 6= 0, o quociente de a e b e´ definido por a
b
= a · 1
b
.
1.2 Desigualdades
No conjunto dos nu´meros reais existe um subconjunto denominado nu´meros po-
sitivos, grac¸as a esse subconjunto e´ poss´ıvel definir uma relac¸a˜o de ordem no conjunto dos
nu´meros reais.
Proposic¸a˜o 1.2 (Axioma de Ordem) No conjunto dos nu´meros reais existe um sub-
conjunto denominado nu´meros positivos, tal que:
(i) se a ∈ IR, exatamente uma das treˆs afirmac¸o˜es ocorre: a = 0, a e´ positivo ou −a e´
positivo.
(ii) a soma de dois nu´meros reais positivos e´ positiva.
(iii) o produto de dois nu´meros reais positivos e´ positivo.
Definic¸a˜o 1.3 O nu´mero real a e´ negativo se, e somente se, −a e´ positivo.
Definic¸a˜o 1.4 Dizemos que a e´ menor do que b, e denotamos por a < b se, e somente
se, b− a e´ positivo (b− a > 0).
Definic¸a˜o 1.5 Dizemos que a e´ maior do que b, e denotamos por a > b se, e somente
se, a− b e´ positivo (a− b > 0).
4
Observac¸a˜o 1.6 Dizemos que a e´ menor ou igual do que b se, e somente se, a < b
ou a = b. Dizemos que a e´ maior ou igual do que b se, e somente se, a > b ou a = b.
Expresso˜es envolvendo os s´ımbolos > ou ≥ e < ou ≤ sa˜o chamadas de desigual-
dades. Os s´ımbolos > e < sa˜o referidos como desigualdades estritas, enquanto que ≥ e
≤ sa˜o as desigualdades na˜o estritas.
Propriedades: Sejam a, b, c, d ∈ IR.
1. Se a > b e b > c, enta˜o a > c.
2. Se a > b e c > 0, enta˜o ac > bc.
3. Se a > b e c < 0, enta˜o ac < bc.
4. Se a > b, enta˜o a+ c > b+ c, para todo c ∈ IR.
5. Se a > b e c > d, enta˜o a+ c > b+ d.
6. Se a > b > 0 e c > d > 0, enta˜o ac > bd.
Exerc´ıcio 1.7 Demonstrar as propriedades anteriores. (Obs.: se tiver dificuldade pes-
quise!)
1.3 Valor absoluto
Definic¸a˜o 1.8 O valor absoluto de a, denotado por |a|, e´ definido por
|a| =
 a, se a ≥ 0−a, se a < 0.
Observac¸a˜o 1.9 Geometricamente, o valor absoluto de a, tambe´m chamado de mo´dulo
de a, representa a distaˆncia entre a e 0. Tambe´m podemos escrever,
|a| =
√
a2.
Propriedade 1.10 1. |x| < a ⇔ −a < x < a, onde a > 0.
2. |x| > a ⇔ x > a ou x < −a, onde a > 0.
3. Se a, b ∈ IR, enta˜o |a · b| = |a| · |b|.
Nu´meros Reais 5
4. Se a, b ∈ IR, enta˜o |a
b
| = |a||b| .
5. (Desigualdade triangular) Se a, b ∈ IR, enta˜o |a+ b| ≤ |a|+ |b|.
6. Se a, b ∈ IR, enta˜o |a− b| ≤ |a|+ |b|.
7. Se a, b ∈ IR, enta˜o |a| − |b| ≤ |a− b|.
Nota: o aluno curioso pode pesquisar as demostrac¸o˜es das propriedades anteriores.
1.4 Intervalos
Os intervalos sa˜o conjuntos infinitos de nu´meros reais dados como segue.
1. (Intervalo aberto) (a, b) ou ]a, b[ e´ o conjunto {x ∈ IR : a < x < b}.
2. (Intervalo fechado) [a, b] e´ o conjunto {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b}.
3. (Intervalo fechado a` direita e aberto a` esquerda) (a, b] ou ]a, b] e´ o conjunto {x ∈
IR : a < x ≤ b}.
4. (Intervalo fechado a` esquerda e aberto a` direita) [a, b) ou [a, b[ e´ o conjunto {x ∈
IR : a ≤ x < b}.
5. (Intervalos infinitos)
• (a,+∞) e´ o conjunto {x ∈ IR : x > a}.
• [a,+∞) e´ o conjunto {x ∈ IR : x ≥ a}.
• (−∞, b) e´ o conjunto {x ∈ IR : x < b}.
• (−∞, b] e´ o conjunto {x ∈ IR : x ≤ b}.
Exerc´ıcio 1.11 Resolver os exemplos da Sec¸a˜o (1.5) do livro Ca´lculo A.
6
Cap´ıtulo 2
Func¸o˜es
Neste cap´ıtulo vamos estudar (revisar) a definic¸a˜o de func¸a˜o e alguns tipos de
func¸o˜es.
2.1 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais
Definic¸a˜o 2.1 Sejam A e B subconjuntos de IR. Uma func¸a˜o f : A → B e´ uma lei ou
uma regra que a cada elemento de A faz corresponder um u´nico elemento de B.
Observac¸a˜o 2.2
f : A→ B
a 7→ f(a),
(2.1)
Definic¸a˜o 2.3 Seja f : A→ B uma func¸a˜o.
(a) Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B e´ chamado de valor da func¸a˜o f no ponto x ou
de imagem de x por f .
(b) Dizemos que o conjunto de todos os valores assumidos pela func¸a˜o f e´ o conjunto
imagem de f e denotaremos por Im(f).
Definic¸a˜o 2.4 Seja f : A → B uma func¸a˜o. O gra´fico de f e´ o conjunto de todos os
pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domı´nio de f . Ou seja,
Gf = {(x, f(x)) : x ∈ A}.
Observac¸a˜o 2.5 1. Gf e´ um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados
(x, y) em IR.
7
8
2. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, Gf pode
ser compreendido como o lugar geome´trico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x
percorre o domı´nio de f .
3. Por simplificac¸a˜o, deixaremos muitas vezes de explicitar o domı´nio e o contra-
domı´nio de uma func¸a˜o. Nesses casos fica impl´ıcito que o contradomı´nio e´ IR e
que o domı´nio e´ o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em
questa˜o.
4. E´ usual representar uma func¸a˜o f de uma varia´vel real a valores reais e com domı´nio
A, simplesmente por y = f(x), x ∈ A. Nesse caso, dizemos que x e´ a varia´vel
independente e que y e´ a varia´vel dependente.
Exemplo 2.6 Seja y = f(x), com f(x) = x3. Determine:
(a) Domı´nio e a imagem de b;
(b) f(−1), f(0), f(1), f(a+ b);
(c) Expresse e esboce o gra´fico de f .
Exemplo 2.7 Seja f a func¸a˜o dada por f(x) =
√
x. Determine:
(a) D(f) e Im(f);
(b) f(4);
(c) f(t2);
(d) f(x+ 3);
(e) Gf .
Exemplo 2.8 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = IZ (o conjunto dos nu´meros inteiros) e
f : A → B definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.
Verifique se f e´ realmente uma func¸a˜o. Em caso afirmativo, determine D(f) e Im(f).
Exemplo 2.9 Determine o domı´nio, o conjunto imagem e o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a)
f : IR→ IR
x 7→ x2.
(2.2)
Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 9
(b) f(x) =
1
x
(c) f(x) = −√x− 1
(d) f(x) = |x|
2.2 Operac¸o˜es com func¸o˜es
Definic¸a˜o 2.10 Dadas as func¸o˜es f , g e uma constante k ∈ IR, a soma de duas func¸o˜es
(f+g), a diferenc¸a de duas func¸o˜es (f−g), o produto de duas func¸o˜es (f ·g) e o quociente
de duas func¸o˜es (f/g), sa˜o definidos das seguinte maneira:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f − g)(x) = f(x)− g(x)
3. (f · g)(x) = f(x) · g(x)
4. (kf)(x) = k f(x)
5. (f/g)(x) =
f(x)
g(x)
Observac¸a˜o 2.11 1. O domı´nio das func¸o˜es (f + g), (f − g) e (f · g) e´ a intersecc¸a˜o
dos domı´nios de f e g.
2. O domı´nio de (f/g) e´ a intersecc¸a˜o dos domı´nios de f e g excluindo-se os valores
de x para os quais g(x) = 0.
3. O domı´nio de kf coincide com o domı´nio de f .
Exemplo 2.12 Sejam f(x) =
√
5− x, g(x) = √x− 3 e k = 2. Determine a regra, o
domı´nio e a imagem de cada uma das func¸o˜es a seguir.
1. (f + g)(x)
2. (f − g)(x)
3. (f · g)(x)
4. (kf)(x)
5. (f/g)(x)
10
Exemplo 2.13 Sejam f(x) =
√
x2 − 4 e k = 3. Determine D(f) e Im(f).
Exemplo 2.14 Dada a func¸a˜o f(x) = −x2 + 2x, simplifique:
(a)
f(x)− f(1)
x− 1
(b)
f(x+ h)− f(x)
h
Definic¸a˜o 2.15 Sejam f e g duas func¸o˜es tais que Im(f) ⊂ D(g). A func¸a˜o dada por
y = g(f(x)), x ∈ D(f),
denomina-se func¸a˜o composta de g e f . Usamos a notac¸a˜o g ◦ f para indicar a composta
de g e f . Assim,
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ D(f).
Note que g ◦ f tem o mesmo domı´nio de f .
Exemplo 2.16 Sejam f e g dadas por f(x) = 2x+ 1 e g(x) = x2 + 3x. Determine g ◦ f
e f ◦ g
Exemplo 2.17 Sejam f e g dadas por f(x) = x2 e g(x) =
√
x. Determine g ◦ f e f ◦ g
Definic¸a˜o 2.18 Sejam f : A→ IR e g : C → IR. Dizemos que f e´ iguala g, e escrevemos
f = g, se os domı´nios de f e g forem iguais, A = C, e se, para todo x ∈ A, f(x) = g(x).
Exemplo 2.19 Verifique se as func¸o˜es f e g dadas por f(x) =
√
x
√
x− 1 e g(x) =
√
x2 − x sa˜o iguais.
2.3 Alguns tipos de func¸o˜es
Func¸a˜o constante
Uma func¸a˜o y = f(x), x ∈ A, dada por f(x) = k, onde k e´ uma constante,
denomina-se func¸a˜o constante.
Exemplo 2.20 (a) f(x) = 2 e´ uma func¸a˜o constante, com D(f) = IR e Im(f) = {2}.
Ale´m disso, Gf = {(x, 2) : x ∈ IR}.
(b) f(x) = −1 e´ uma func¸a˜o constante, com D(f) = IR e Im(f) = {−1}. Ale´m disso,
Gf = {(x,−1) : x ∈ IR}.
Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 11
(c) g : [−1,∞)→ IR dada por g(x) = −1 tambe´m e´ uma func¸a˜o constante. Determine
o conjunto imagem de g e esboce o seu gra´fico.
(d) A func¸a˜o f : IR→ IR dada por
f(x) =
 1, se x ≥ 0,−1, se x < 0, (2.3)
tambe´m e´ uma func¸a˜o constante (tambe´m conhecida como func¸a˜o constante por
partes). Determine a imagem, e esboce o gra´fico de f .
Func¸a˜o linear
Uma func¸a˜o f : IR → IR dada por f(x) = ax, onde a e´ uma constante, e´ dita
func¸a˜o linear. Seu gra´fico e´ a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a). Ale´m disso, o
gra´fico de f e´ crescente se a > 0 e decrescente se a < 0.
Figura 2.1: Func¸a˜o linear crescente e descrescente
Observac¸a˜o 2.21 (i) A func¸a˜o dada por f(x) = ax + b, onde a e b sa˜o constantes, e´
chamada de func¸a˜o afim. Seu gra´fico e´ a reta que passa pelo ponto (0, b) e e´ paralela a`
reta y = ax. Se a = 0, a func¸a˜o afim se reduz a` uma func¸a˜o constante. Se a 6= 0, seu
gra´fico e´ a reta que passa pelos pontos (0, b) e (
−b
a
, 0).
(ii) Quando a = 1, a func¸a˜o linear recebe uma nomenclatura especial. Nesse caso
ela e´ conhecida como func¸a˜o identidade e e´ dada por f(x) = x.
(iii) A func¸a˜o h : IR→ IR dada por h(x) = |x| e´ conhecida como func¸a˜o mo´dulo
ou modular. Ale´m disso, temos que
|x| =
 x, se x ≥ 0−x, se x < 0.
12
Exemplo 2.22 Esboce o gra´fico das func¸o˜es: a)f(x) = 3x, b)g(x) = −3x e c)h(x) =
3|x|.
Func¸a˜o polinomial
Uma func¸a˜o f : IR→ IR dada por
f(x) = aox
n + a1x
n−1 + · · ·+ an−1x+ an,
onde a0 6= 0, a1, a2, . . . , an sa˜o nu´meros reais fixos, denomina-se func¸a˜o polinomial de
grau n (n ∈ IN).
Exemplo 2.23 • f(x) = x2 − 4 e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 2 e seu gra´fico e´
uma para´bola.
• g(x) = (x − 1)3 e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 3. Esboce o gra´fico de g. Em
seguida esboce o gra´fico da func¸a˜o dada por h(x) = (x+ 1)3.
Func¸a˜o racional
Uma func¸a˜o racional f e´ uma func¸a˜o dada por f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q sa˜o
func¸o˜es polinomias. O domı´nio de f e´ o conjunto {x ∈ IR} : q(x) 6= 0}.
Exemplo 2.24 Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es racionais: f(x) =
x+ 1
x
,
g(x) =
x2 + 1
x
e h(x) =
1
x2
.
Exerc´ıcio 2.25 Estudar os exemplos 13, 14, 15 e 16 do livro do Guidorizzi.
Func¸a˜o Par e func¸a˜o ı´mpar
Definic¸a˜o 2.26 Dizemos que uma func¸a˜o f e´ par se, para todo x ∈ D(f), f(−x) = f(x).
Uma func¸a˜o f e´ dita ser uma func¸a˜o ı´mpar se, para todo x ∈ D(f), f(−x) = −f(x).
Observac¸a˜o 2.27 O gra´fico de uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y e o
gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem.
Exemplo 2.28 1. A func¸a˜o dada por f(x) = x2 e´ uma func¸a˜o par.
2. A func¸a˜o dada por f(x) = x5 + x3 e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
3. A func¸a˜o dada por f(x) = x3 + 4 na˜o e´ func¸a˜o par nem ı´mpar.
Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 13
Func¸o˜es perio´dicas
Definic¸a˜o 2.29 Dizemos que uma func¸a˜o f e´ perio´dica se existe um nu´mero real τ 6= 0
tal que
f(x+ τ) = f(x), ∀ x ∈ D(f).
Observac¸a˜o 2.30 O nu´mero τ e´ chamado de per´ıodo da func¸a˜o. O gra´fico de uma func¸a˜o
perio´dica se repete a cada intervalo de comprimento |τ |.
Exemplo 2.31 A func¸a˜o constante e´ perio´dica com τ sendo qualquer nu´mero real dife-
rente de 0.
Func¸a˜o exponencial
Chamamos de func¸a˜o exponencial de base a a func¸a˜o f : IR → IR que associa a
cada x real o nu´mero real ax, sendo a um nu´mero real 0 < a 6= 1. Isto e´,
f : IR→ IR
x 7→ y = ax.
O domı´nio da func¸a˜o exponencial e´ o conjunto dos nu´meros reais IR e sua imagem
e´ Im(f) = (0,∞) (ou simplesmente IR∗+). O gra´fico da func¸a˜o exponencial intersepta o
eixo das ordenadas em (0, 1) e f(x) = ax e´ crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Figura 2.2: Func¸a˜o exponencial crescente e descrescente
Observac¸a˜o 2.32 Sejam a > 0, b > 0, x e y reais quaisquer. Sa˜o va´lidas as seguintes
propriedades:
1. axay = ax+y
14
2. (ax)y = axy
3. (ab)x = axbx
4. Se a > 1 e x < y, enta˜o ax < ay
5. Se 0 < a < 1 e x < y, enta˜o ax > ay
Exemplo 2.33 Esboce o gra´fico de f(x) = 2x e y = (
1
2
)x
Func¸a˜o logar´ıtmica
Dado um nu´mero real a (0 < a 6= 1), chamamos de func¸a˜o logar´ıtmica de base a
a func¸a˜o f : IR∗+ → IR que associa a cada x real o nu´mero loga x (leˆ-se: log de x na base
a). Isto e´,
f : IR∗+ → IR
x 7→ y = loga x.
Observac¸a˜o 2.34 (i) Importante: y = loga x ⇐⇒ ay = x. Ou seja, o logaritmo de x
na base a e´ o expoente que se deve atribuir a` base a para reproduzir x.
(ii) O logaritmo na base e e´ indicado por ln, assim ln = loge. Logo, y = lnx⇐⇒
ey = x.
O domı´nio da func¸a˜o logar´ıtmica e´ dado por IR∗+ e sua imagem e´ Im(f) = IR.
O gra´fico da func¸a˜o exponencial intersepta o eixo das abscissas em (1, 0) e y = loga x e´
crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Figura 2.3: Func¸a˜o logar´ıtmica crescente e descrescente
Observac¸a˜o 2.35 Sejam 0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1, x > 0 e y > 0 reais quaisquer. Sa˜o
va´lidas as seguintes propriedades:
Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 15
1. loga xy = loga x+ loga y
2. loga x
y = y loga x
3. loga
x
y
= loga x− loga y
4. (Mudanc¸a de base) loga x =
logb x
logb a
5. Se a > 1 e x < y, enta˜o loga x < loga y
6. Se 0 < a < 1 e x < y, enta˜o loga x > loga y
Exemplo 2.36 Esboce o gra´fico de f(x) = log2 x e y = log 1
2
x.
2.4 Func¸o˜es trigonome´tricas
2.4.1 Func¸o˜es seno e cosseno
Seja x um nu´mero real, e marque um aˆngulo com medida x radianos na circun-
fereˆncia unita´ria com centro na origem. Seja P o ponto de intersecc¸a˜o do lado terminal
do aˆngulo x com essa circunfereˆncia. Denominamos seno de x a ordenada ¯OP1 do ponto
P em relac¸a˜o ao sistema UOV . E denominamos cosseno de x a abscissa ¯OP2 do ponto P
em relac¸a˜o ao sistema UOV .
Figura 2.4: Circunfereˆncia unita´ria
Definic¸a˜o 2.37 Definimos a func¸a˜o seno como a func¸a˜o f : IR → IR que a cada x ∈ IR
faz corresponder o nu´mero real y = senx.
Definic¸a˜o 2.38 Definimos a func¸a˜o cosseno como a func¸a˜o f : IR → IR que a cada
x ∈ IR faz corresponder o nu´mero real y = cosx.
16
Observac¸a˜o 2.39 (i) sen0 = 0 e cos 0 = 1;
(ii) O domı´nio das func¸o˜es seno e cosseno e´ o conjunto IR e o conjunto imagem e´ o
intervalo [−1, 1];
(iii) As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o func¸o˜es perio´dicas com per´ıodo 2pi, ja´ que sen(x +
2pi) = senx e cos(x+ 2pi) = cos x;
(iv) A func¸a˜o y = senx e´ crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] e decrescente no
intervalo [pi/2, 3pi/2].
(v) A func¸a˜o y = cosx e´ crescente nos intervalos [pi, 2pi] e decrescente no intervalo
[0, pi].
(vi) O gra´fico da func¸a˜o y = senx e´ donominado seno´ide e o gra´fico da func¸a˜o y = cosx
e´ donominado de cosseno´ide.
Figura 2.5: Seno´ide e cosseno´ide
Propriedade 2.40 Quaisquer que sejam os reais a e b, temos
sen(a− b) =sena cos b− senb cos a (2.4)
cos(a− b) = cos a cos b+ senasenb (2.5)
cos2 t+ sen2t = 1 (2.6)
Exerc´ıcio 2.41 a) Mostre que, para todo t real, cos2 t+ sen2t = 1.
b) Mostre que sen e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
Func¸o˜es de uma varia´vel real a valoresreais 17
c) Mostre que cos e´ uma func¸a˜o par.
d) Mostre que para quaisquer a e b reais, cos(a+ b) = cos a cos b− senasenb e sen(a+
b) = sena cos b+ senb cos a.
e) Mostre que, para todo x, cos(2x) = cos2 x− sen2x e sen(2x) = 2senx cosx.
f) Mostre que, para todo x, cos2 x =
1
2
+
1
2
cos(2x) e que sen2x =
1
2
− 1
2
cos(2x).
g) Calcule: a) cos(pi/4), b) sen(pi/4), c) cos(pi), d) sen(pi).
Exerc´ıcio 2.42
2.4.2 Func¸o˜es tangente, cotangente, secante e cossecante
Essas func¸o˜es sa˜o definidas em termos de seno e cosseno. A func¸a˜o tg definidas
por tgx =
senx
cosx
, denomina-se func¸a˜o tangente. O domı´nio da func¸a˜o tg e´ o conjunto de
todos os x tais que cosx 6= 0.
Figura 2.6: Interpretac¸a˜o geome´trica da tgx
Geometricamente, a tgx e´ interpretada como sendo a medida alge´brica do seg-
mento AT , onde T e´ a intersec¸a˜o da reta OP com o eixo das tangentes e ÂP o arco de
medida x radianos. Os triaˆngulos OMP e OAT sa˜o semelhantes. Logo:
A¯T
M¯P
=
1
¯OM
⇒ A¯T = M¯P¯OM ⇒ tgx =
senx
cosx
.
As func¸o˜es sec (secante), cotg (cotangente) e cosec (cossecante) sa˜o dadas por
secx =
1
cosx
cotgx =
cosx
senx
cosecx =
1
senx
Exemplo 2.43 Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es:
a) y = cotgx
b) y = cosecx
18
Cap´ıtulo 3
Limite e Continuidade
3.1 Noc¸a˜o intuitiva de limite
Inicialmente vamos introduzir a noc¸a˜o intuitiva do conceito de limite e de conti-
nuidade. Para isso, considere os seguintes exemplos de sucesso˜es nume´ricas.
(a) 1, 2, 3, 4, . . .
(b)
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
, . . .
(c) 1, 0, −1, −2, −3, . . .
(d) 1,
3
2
, 3,
5
4
, 5,
7
6
, 7, . . .
Observe que, na sucessa˜o (1) os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir
um limite. Dado um nu´mero real qualquer, por maior que seja, podemos encontrar nessa
sucessa˜o um nu´mero ainda maior. Neste caso, dizemos que os termos dessa sucessa˜o
tendem para o infinito ou que o limite da sucessa˜o e´ infinito (x → ∞). Na sucessa˜o (2)
os termos crescem, mas na˜o ilimitadamente. Os nu´meros aproximam-se cada vez mais de
1, embora nunca atinjam esse valor (x → 1). Ja´ na sucessa˜o (3), podemos observar que
ocorre x→ −∞. Por outro lado, na sucessa˜o (4) os termos oscilam sem tender para um
limite espec´ıfico.
Intuitivamente, uma func¸a˜o cont´ınua em um ponto p de seu domı´nio e´ uma func¸a˜o
cujo gra´fico na˜o apresenta um “salto” em p.
Observemos, na Figura, que o gra´fico da func¸a˜o f na˜o apresenta um salto em
p, logo f e´ cont´ınua em p. Observe que a` medida que x se aproxima de p, quer pela
19
20
Figura 3.1: Func¸a˜o cont´ınua em p e na˜o cont´ınua em p
direita ou pela esquerda, os valores f(x) se aproximam de f(p). Ale´m disso, quanto mais
pro´ximo x estiver de p, mais pro´ximo estara´ f(x) de f(p). O mesmo na˜o acontece com a
func¸a˜o g, uma vez que g apresenta um salto em p. Logo, g na˜o e´ cont´ınua em p.
Exemplo 3.1 Analise intuitivamente o conceito de limite para as duas func¸o˜es a seguir:
f(x) = x, g(x) =
 1 se x ≤ 12 se x > 1, y = 1x e h(x) = x2 + 3x− 2.
Exemplo 3.2 Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule: lim
x→1
(x+ 1) e lim
x→1
x2 − 1
x− 1 .
3.2 Limite
Intuitivamente, dizemos que uma func¸a˜o f(x) tem limite L quando x tende para
a, se e´ poss´ıvel tornar f(x) arbitrariamente po´ximo de L, desde que tomemos valores de x,
x 6= a e suficientemente pro´ximos de a. Agora vamos apresentar formalmente o conceito
de limite.
Definic¸a˜o 3.3 Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo aberto I contendo a, exceto
possivelmente no pro´prio a. Dizemos que f tem limite L quando x tende para a, e deno-
tamos por
lim
x→a
f(x) = L,
se, para todo ε > 0, existe um δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que para todo x ∈ D(f)
|f(x)− L| < ε sempre que 0 < |x− a| < δ. Tal nu´mero L, quando existe e´ u´nico.
Resumindo:
lim
x→a
f(x) = L⇔
 ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, para todo x ∈ D(f)0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.
Observac¸a˜o 3.4 O limite de f em a (quando x tende para a) na˜o depende do valor (caso
f esteja definida em a) que f assume em a, mas sim dos valores que f assume nos pontos
Limite e Continuidade 21
pro´ximos de a. Quando estivermos interessados no limite de f em a, basta olharmos para
os valores que f assume num “pequeno” intervalo aberto contendo a. O conceito de limite
e´ um local.
Exemplo 3.5 Usando a Definic¸a˜o 3.3, prove que a) lim
x→1
(3x− 1) = 2, b) lim
x→4
x2 = 16.
Proposic¸a˜o 3.6 (Unicidade do Limite) Se lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
f(x) = L2, enta˜o
L1 = L2.
Demonstrac¸a˜o. Seja ε > 0 arbitra´rio. Como lim
x→a
f(x) = L1, enta˜o da Definic¸a˜o 3.3, existe
δ1 > 0 tal que |f(x) − L1| < ε/2 sempre que 0 < |x − a| < δ1. Do mesmo modo, como
tambe´m ocorre lim
x→a
f(x) = L2, enta˜o existe δ2 > 0 tal que |f(x) − L2| < ε/2 sempre que
0 < |x− a| < δ2.
Fac¸a δ = min{δ1, δ2}. Enta˜o, temos que |L1 − L2| = |L1 − f(x) + f(x) − L2| ≤
|f(x)−L1|+ |f(x)−L2| < ε
2
+
ε
2
= ε. Uma vez que ε e´ arbitra´rio, temos que |L1−L2| = 0
e, portanto, L1 = L2.
A seguir vamos estudar algumas propriedades bastante u´teis no ca´lculo do limite,
e que nos possibilitam calcular limites de func¸o˜es mais robustos sem a necessidade de usar
a definic¸a˜o de limite.
Proposic¸a˜o 3.7 Se a, m e n sa˜o nu´meros reais quaisquer, enta˜o lim
x→a
(mx+n) = ma+n.
Demonstrac¸a˜o. Essa demonstrac¸a˜o nas pa´ginas 68− 69 do livro Ca´lculo A.
Da proposic¸a˜o anterior decorre o seguinte corola´rio.
Corola´rio 3.8 Se c e´ um nu´mero real qualquer, enta˜o lim
x→a
c = c e lim
x→a
x = a.
Proposic¸a˜o 3.9 Se lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x) existem, e c e´ um nu´mero real qualquer, enta˜o:
(a) lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x);
(b) lim
x→a
c · f(x) = c · lim
x→a
f(x);
(c) lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x);
(d) lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
;
(e) lim
x→a
[f(x)]n = [lim
x→a
f(x)]n, para qualquer inteiro positivo n;
22
(f) lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x), se lim
x→a
f(x) > 0 e n e´ um inteiro ou se lim
x→a
f(x) ≤ 0 e n
e´ um inteiro positivo ı´mpar.
Exemplo 3.10 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→2
4
2. lim
x→2
(3x− 2)
3. lim
x→2
(x2 + 3x+ 5)
4. lim
x→3
x− 5
x3 − 7
5. lim
x→−2
√
x4 − 4x+ 1
6. lim
x→1
x2 − 1
x− 1
7. lim
x→2
(5x3 − 8)
8. lim
x→1
x4 − 2x+ 1
x3 + 3x2 + 1
9. lim
x→1
f(x), onde f(x) =

x2 − 1
x− 1 se x 6= 1
3 se x = 1.
10. lim
x→3
√
x−√3
x− 3
3.2.1 Limites laterais
Vamos verificar nesta sec¸a˜o que o limite existe e e´ finito se, e somente se, os
limites laterais existem (finitos) e sa˜o iguais.
Definic¸a˜o 3.11 Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo aberto (a, c). Dizemos que
um nu´mero L e´ o limite a` direita da func¸a˜o f quando x tende para a, e denotamos por
lim
x→a+
f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que
a < x < a+ δ ⇒ |f(x)− L| < ε.
Definic¸a˜o 3.12 Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo aberto (d, a). Dizemos que
um nu´mero L e´ o limite a` esquerda da func¸a˜o f quando x tende para a, e denotamos por
lim
x→a−
f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que
a− δ < x < a ⇒ |f(x)− L| < ε.
Limite e Continuidade 23
Observemos que x→ a+ indica que os valores de x sa˜o sempre maiores do que a.
Por outro lado, x → a− indica que os valores de x sa˜o sempre menores do que a. Ale´m
disso, as propriedades de limites estudadas anteriormente continuam va´lidas no caso de
limites laterais.
Teorema 3.13 Se f e´ definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no
ponto a, enta˜olim
x→a
f(x) = L se e somente se lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x).
Demonstrac¸a˜o. Ver pa´gina 78 do livro Ca´lculo A.
Exemplo 3.14 (a) Dada a func¸a˜o f(x) = (1+
√
x− 3), determinar, se poss´ıvel, lim
x→3+
f(x)
e lim
x→3−
f(x). Verifique se existe o limite lim
x→3
f(x).
(b) Dada a func¸a˜o f(x) =

−|x|
x
, se x 6= 0
1, se x = 0
, determinar, se poss´ıvel, lim
x→0+
f(x) e
lim
x→0−
f(x). Esboce o gra´fico. Verifique se existe o limite lim
x→0
f(x).
(c) Dada a func¸a˜o f(x) = |x|, determinar, se poss´ıvel, lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). Esboc¸ar
o gra´fico. Verifique se existe o limite lim
x→0
f(x).
(d) Dada a func¸a˜o f(x) =

x2 + 1, se x < 2
2, se x = 2
9− x2, se x > 2
, determinar, se poss´ıvel, lim
x→2+
f(x),
lim
x→2−
f(x) e lim
x→2
f(x). Esboce o gra´fico de f .
3.3 Expresso˜es indeterminadas no ca´lculo de limites
Muitas vezes, no ca´lculo de limites, nos deparamos com algumas indeterminac¸o˜es.
Nesses casos, alguns artif´ıcios alge´bricos sa˜o necessa´rios. Algumas das indeterminac¸o˜es
que costuma aparecer sa˜o as seguintes:
0
0
,
∞
∞ , ∞−∞, 0 · ∞, 0
0, ∞0, 1∞. (3.1)
Vejamos, por exemplo, o que ocorre com a indeterminac¸a˜o
0
0
. Para isso, considere
f e g duas func¸o˜es tais que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0. Nada se pode afirmar, a priore,
sobre o limite do quociente
f
g
, pois dependendo das func¸o˜es envolvidas esse limite pode
ser qualquer valor real ou na˜o existir. Por essa maneira, dizemos que
0
0
e´ um s´ımbolo de
indeterminac¸a˜o.
24
Exemplo 3.15 (i) Sejam f(x) = x3 e g(x) = x2. Calcule o limite lim
x→0
f(x)
g(x)
.
(ii) Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2. Calcule o limite lim
x→0
f(x)
g(x)
.
Agora vamos resolver alguns exemplos de ca´lculo de limites para os quais artif´ıcios
alge´bricos mais robustos sa˜o necessa´rio.
Exemplo 3.16 Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→−2
x3 − 3x+ 2
x2 − 4
(b) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
(c) lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
(d) lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
3.4 Limites no Infinito
Definic¸a˜o 3.17 Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto (a,+∞). Escreve-
mos, lim
x→+∞
f(x) = L, quando o nu´mero L satisfaz a seguinte condic¸a˜o: Para qualquer
ε > 0, existe A > 0 tal que x > A implica que |f(x)− L| < ε.
Definic¸a˜o 3.18 Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto (−∞, b). Escreve-
mos, lim
x→−∞
f(x) = L, quando o nu´mero L satisfaz a seguinte condic¸a˜o: Para qualquer
ε > 0, existe B < 0 tal que x < B implica que |f(x)− L| < ε.
Observac¸a˜o 3.19 As propriedades dos limites estudadas na Sec¸a˜o3.2 continuam va´lidas
para limites no infinito, bastando apenas substituirmos x→ a por x→ +∞ ou x→ −∞.
Teorema 3.20 Se n e´ um nu´mero inteiro positivo, enta˜o lim
x→+∞
1
xn
= 0 e lim
x→−∞
1
xn
= 0.
Demonstrac¸a˜o. Ver Ca´lculo A, pa´gina 85.
.
Exemplo 3.21 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→+∞
2x− 5
x+ 8
Limite e Continuidade 25
2. lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2
3. lim
x→+∞
2x+ 5√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
2x+ 5√
2x2 − 5
3.5 Limites Infinitos
Definic¸a˜o 3.22 Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,
possivelmente, em x = a. Dizemos que lim
x→a
f(x) = +∞, se para qualquer A > 0, existe
δ > 0 tal que 0 < |x− a| < δ implica que f(x) > A.
Definic¸a˜o 3.23 Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,
possivelmente, em x = a. Dizemos que lim
x→a
f(x) = −∞, se para qualquer B < 0, existe
δ > 0 tal que 0 < |x− a| < δ implica que f(x) < B.
Figura 3.2: Tabela retirada do livro Ca´lculo A p.89
26
Podemos considerar tambe´m os limites laterais infinitos e os limites laterais
no infinito. Existem definic¸o˜es formais para cada um dos limites lim
x→a+
f(x) = +∞,
lim
x→a−
f(x) = +∞, lim
x→a+
f(x) = −∞, lim
x→a−
f(x) = −∞, lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) =
−∞, lim
x→−∞
f(x) = +∞, e lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Algumas propriedades de limites permanecem va´lidas para limites infinitos, no
entanto devemos tomar bastante cuidado quando combinamos func¸o˜es envolvendo esses
limites. A Tabela 3.2 nos ajudar nessa tarefa. Observac¸a˜o: 0+ indica que o limite e´ zero
e a func¸a˜o se aproxima de zero por valores positivos e 0− indica que o limite e´ zero e a
func¸a˜o se aproxima de zero por valores negativos.
Exemplo 3.24 Determine os seguintes limites:
1. lim
x→0
(x3 +
√
x+
1
x2
)
2. lim
x→+∞
(3x5 − 4x3 + 1)
3. Determinar lim
x→0+
|x|
x2
, lim
x→0−
|x|
x2
e lim
x→0
|x|
x2
4. lim
x→−1
5x+ 2
|x+ 1|
5. Determinar lim
x→2+
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6 , limx→2−
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6 e limx→2
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6
6. lim
x→+∞
x2 + 3
x+ 2
7. lim
x→+∞
5− x3
8x+ 2
8. lim
x→+∞
2x4 + 3x2 + 2x+ 1
4− x4
9. lim
x→+∞
x2 + 3x− 1
x3 − 2
10. Mostrar que se p(x) = a0x
n + ax
n−1+...+an
1 e q(x) = b0x
m + bx
m−1+...+bm
1 , enta˜o
lim
x→±∞
p(x)
q(x)
= lim
x→±∞
a0x
n
b0xm
.
3.6 Ass´ıntotas
Em aplicac¸o˜es pra´ticas, encontramos com muita frequeˆncia gra´ficos que se apro-
ximam de uma reta a` medida que x cresce ou decresce. Essas retas sa˜o chamadas de
ass´ıntotas. Vamos focar nosso estudo em ass´ıntotas horizontais e verticais.
Limite e Continuidade 27
Definic¸a˜o 3.25 A reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico y = f(x), se pelo menos
uma das seguintes afirmac¸o˜es for verdadeira:
(a) lim
x→a+
f(x) = +∞;
(b) lim
x→a−
f(x) = +∞;
(c) lim
x→a+
f(x) = −∞;
(d) lim
x→a−
f(x) = −∞.
Exemplo 3.26 A reta x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de y =
1
(x− 2)2 .
Definic¸a˜o 3.27 A reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal, se pelo menos uma das seguintes
afirmac¸o˜es for verdadeira:
1. lim
x→+∞
f(x) = b;
2. lim
x→−∞
f(x) = b.
Exemplo 3.28 As retas y = 1 e y = −1 sa˜o ass´ıntotas horizontais do gra´fico de y =
x√
x2 + 2
.
Definic¸a˜o 3.29 A reta y = ax + b e´ uma ass´ıntota inclinada do gra´fico de y = f(x), se
pelo menos uma das seguintes afirmac¸o˜es for verdadeira:
1. lim
x→+∞
[f(x)− (ax+ b)] = 0;
2. lim
x→−∞
[f(x)− (ax+ b)] = 0.
Exemplo 3.30 A reta y = 2x e´ ass´ıntota do gra´fico de y =
2x3
x2 + 4
.
3.7 Continuidade e Teorema do confronto
Definic¸a˜o 3.31 Dizemos que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em a se as seguintes condic¸o˜es
sa˜o satisfeitas:
(i) f e´ definida no ponto a;
(ii) lim
x→a
f(x) existe;
28
(iii) lim
x→a
f(x) = f(a)
Observac¸a˜o 3.32 Dizemos que f e´ cont´ınua em A ⊂ D(f) se f for cont´ınua em todo
a ∈ A. Dizemos, simplesmente, que f e´ cont´ınua se ela for cont´ınua em todo ponto do
seu domı´nio.
Observac¸a˜o 3.33 As func¸o˜es constante, afim, polinomiais, racionais, seno, cosseno e
exponencial sa˜o cont´ınuas em todo o seus domı´nios.
Exemplo 3.34 a) Verifique se as func¸o˜es f e g dadas por f(x) =
x2 − 1
x− 1 e
g(x) =

x2 − 1
x− 1 , se x 6= 1
1, se x = 1,
sa˜o cont´ınuas em a = 1.
b) Verifique que func¸a˜o dada por
f(x) =

x
|x| , se x 6= 0
0, se x = 0,
e´ cont´ınua em a = 0.
c) Verifique que func¸a˜o dada por
h(x) =
 x+ 3, se x ≥ −1−x+ 1, se x < −1,
e´ cont´ınua.
3.7.1 Propriedades das func¸o˜es cont´ınuas
Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em a, enta˜o:
(i) f + g e´ cont´ınua em a;
(ii) f − g e´ cont´ınua em a;
(iii) f · g e´ cont´ınua em a;
(iv) f/g e´ cont´ınua em a, desde que g(a) 6= 0.
Limite e Continuidade 29
Agora que ja´ sabemos formalmente o que e´ uma func¸a˜o cont´ınua, vejamos a
seguinte proposic¸a˜o que trata do limite de uma func¸a˜o composta.
Proposic¸a˜o 3.35 Sejam f e g func¸o˜es tais que limx→a
f(x) = b e g e´ cont´ınua em b. Enta˜o,
lim
x→a
(g ◦ f)(x) = lim
x→a
g(f(x)) = g[lim
x→a
f(x)] = g(b).
O seguinte resultado nos diz que a composta de duas func¸o˜es cont´ınuas ainda e´
uma func¸a˜o cont´ınua.
Proposic¸a˜o 3.36 Sejam f e´ cont´ınua em a e g e´ cont´ınua em f(a), enta˜o a func¸a˜o
composta g ◦ f e´ cont´ınua em a.
3.7.2 Outras propriedades de limites
As seguintes propriedades a seguir sa˜o consequeˆncias da continuidade das func¸o˜es
envolvidas. Se lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x) existem, enta˜o:
1. lim
x→a
ln[f(x)] = ln[lim
x→a
f(x)], se lim
x→a
f(x) > 0;
2. lim
x→a
cos[f(x)] = cos[lim
x→a
f(x)];
3. lim
x→a
sen[f(x)] = sen[lim
x→a
f(x)];
4. lim
x→a
ef(x) = elimx→a f(x).
Teorema 3.37 (Teorema do Confronto ou do sandu´ıche) Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
para todo x num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no pro´prio a, e se
lim
x→a
f(x) = L = lim
x→a
g(x), enta˜o lim
x→a
h(x) = L.
Exemplo 3.38 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→pi
sen(2x);
2. lim
x→pi
2
[2senx− cosx+ cotgx];
3. lim
x→4
(ex + 4x);
4. Encontrar lim
x→0
x2|sen(1/x)|.
30
3.8 Limites fundamentais
Vamos estudar treˆs limites que caracterizam alguns casos particulares das inde-
terminac¸o˜es do tipo 0/0, 1∞ e∞0. Tais limites sa˜o conhecidos como limites fundamentais.
Proposic¸a˜o 3.39 lim
x→0
senx
x
= 1.
Demonstrac¸a˜o.
Figura 3.3: Circunfereˆncia unita´ria
Considere a circunfereˆncia de raio 1. Seja x a medida em radianos do arco ÂOM ,
com a variac¸a˜o de x limitada ao intervalo (0, pi/2). Observando a Figura 3.3, temos as
seguintes equivaleˆncias:
area∆MOA < area setorMOA < area∆AOT ⇒ ⇒ OAMM
′
2
<
OAÂM
2
<
OAAT
2
⇒ senx < x < tgx⇒ 1 < x
senx
<
1
cosx
.
Do fato das func¸o˜es
senx
x
e cosx serem par, e do Teorema do confronto, segue o
resultado.
Obs.: A demonstrac¸a˜o com mais detalhes sera´ feita na aula.
Exemplo 3.40 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→0
sen(2x)
x
2. lim
x→0
sen(3x)
sen(4x)
3. lim
x→0
tgx
x
Proposic¸a˜o 3.41 lim
x→±∞
(
1 +
1
x
)x
= e, onde e e´ o nu´mero irracional neperiano cujo
valor aproximado e´ 2, 718281828459...
Limite e Continuidade 31
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o sera´ omitida.
Exemplo 3.42 1. Prove que lim
x→0
(1 + x)1/x = e
2. Calcule lim
t→0
ln(1 + t)1/t
Proposic¸a˜o 3.43 lim
x→0
ax − 1
x
= ln a, onde a > 0 e a 6= 1.
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o sera´ feita na aula.
Exemplo 3.44 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→0
ax − bx
x
2. lim
x→1
ex−1 − ax−1
x2 − 1
32
Cap´ıtulo 4
Derivada
4.1 A reta tangente
Vide o cap´ıtulo 3 da Apostila de Ca´lculo I do professor Jackson
4.2 A derivada de uma func¸a˜o
Primeiramente, vejamos a definic¸a˜o da derivada de uma func¸a˜o num ponto.
Definic¸a˜o 4.1 (Derivada de f em a) Dizemos que f e´ deriva´vel em a, se o limite
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
existe e e´ finito. Neste caso, tal limite e´ chamado de derivada de f em a e denotamos por
f ′(a), logo
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
Observac¸a˜o 4.2 Existem outras maneiras de escrever a definic¸a˜o 4.1, por exemplo: Fa-
zendo a substituic¸a˜o x = h+ a, a derivada de f em a tambe´m pode ser escrita na forma
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
Por outro lado, fazendo a substituic¸a˜o x = ∆x + a, a derivada de f em a tambe´m pode
ser escrita na forma
f ′(a) = lim
∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
.
Exemplo 4.3 (a) Seja f a func¸a˜o dada por f(x) = 5x2 + 6x− 1. Usando a definic¸a˜o
calcule f ′(2).
33
34
(b) Seja f a func¸a˜o dada por f(x) = |x|. Mostre que na˜o existe f ′(0). Mostre que
f e´ cont´ınua em x = 0. Observe que, mesmo sendo cont´ınua em x = 0 a func¸a˜o
modular na˜o e´ deriva´vel neste ponto. Ou seja, uma func¸a˜o ser cont´ınua num ponto
na˜o implica que a mesma seja deriva´vel em tal ponto.
Definic¸a˜o 4.4 A derivada de uma func¸a˜o f , dada por f(x), e´ a func¸a˜o f ′, dada por f ′(x)
(leˆ-se f linha de x) tal que o seu valor em qualquer ponto do domı´nio de f , x ∈ D(f), e´
dado por:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
se este limite existe e e´ um nu´mero finito. Dizemos que a func¸a˜o e´ deriva´vel quando existe
a derivada em todos os pontos do seu domı´nio.
Observac¸a˜o 4.5 Notac¸o˜es: f ′(x); ou Dxf (leˆ-se derivada de f em relac¸a˜o a x); ou Dxy
(leˆ-se derivada de y em relac¸a˜o a x); ou ainda
dy
dx
(leˆ-se derivada de y em relac¸a˜o a x),
entre outras.
Observac¸a˜o 4.6 Diremos, simplesmente, que a func¸a˜o f e´ deriva´vel, se f for deriva´vel
em todo ponto do seu domı´nio.
Exemplo 4.7 Seja f a func¸a˜o dada por f(x) =
x− 2
x+ 3
. Usando a definic¸a˜o, determine
f ′(x).
Exerc´ıcio 4.8 Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y =
√
x, que seja paralela a`
reta 8x− 4y + 1 = 0.
Exerc´ıcio 4.9 Encontre a equac¸a˜o para a reta normal a` curva y = x2 no ponto (2, 4).
4.3 Regras de derivac¸a˜o
Agora vamos estudar algumas regras que nos permite calcular a derivada sem o
uso da definic¸a˜o. Para isso, considere f e g duas func¸o˜es deriva´veis e c uma constante.
Propriedade 4.10 (P1) Derivada de uma constante: se f(x) = c, para todo x,
enta˜o f ′(x) = 0.
(P2) Regra da poteˆncia: se n e´ um nu´mero inteiro positivo e f(x) = xn, enta˜o f ′(x) =
nxn−1. Ale´m disso,
Derivada 35
(a) Se f(x) = x−n, enta˜o f ′(x) = (−n)x−n−1;
(b) Se f(x) = x1/n, enta˜o f ′(x) =
1
n
x
1
n
−1, onde x > 0 se n for par e x 6= 0 se n
for ı´mpar (n ≥ 2).
(P3) Derivada do produto de uma constante por uma func¸a˜o: se g(x) = cf(x),
enta˜o g′(x) = cf ′(x).
(P4) Derivada da soma (ou diferenc¸a): se h(x) = f(x) ± g(x), enta˜o h′(x) =
f ′(x)± g′(x).
(P5) Derivada da produto: se h(x) = f(x) ·g(x), enta˜o h′(x) = f ′(x)g(x)+f(x)g′(x).
(P6) Derivada da quociente: se h(x) =
f(x)
g(x)
, enta˜o h′(x) =
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
.
Exemplo 4.11 Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
1. g(x) = 3 + pi;
2. f(x) = esen3;
3. f(x) = 3x5;
4. f(x) = x−3;
5. f(x) =
1
x5
;
6. f(x) =
√
x;
7. f(x) = 3
√
x;
8. f(x) = 3x6 − 2x3 + 3x− 2;
9. f(x) = x5 − x4 + 3x2 − 2x+ pi;
10. f(x) = (x− 1)(x2 + 3x);
11. f(x) = (x2 − 3)(3x2 + x− 2);
12. f(x) =
x− 3
x2 − 1 ;
13. f(x) =
x4 − 2x+ pi
x2 + 1
;
Exerc´ıcio 4.12 Estudar a Sec¸a˜o 4.2 (Velocidade e acelerac¸a˜o) do livro Ca´lculo A.
36
4.4 Derivadas de ex e lnx
Teorema 4.13 Sa˜o va´lidas as seguintes fo´rmulas de derivac¸a˜o:
(a) Se f(x) = ex, enta˜o f ′(x) = ex.
(b) Se g(x) = ln x, enta˜o g′(x) =
1
x
, com x > 0.
Demonstrac¸a˜o. Sera´ feita na aula.
.
Exemplo 4.14 Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x5 − 3x2 + ex;
(b) g(x) = 3ex + 3pi;
(c) h(x) = 3x4 + e+ ln x;
Exerc´ıcio 4.15 1. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = ex no
ponto de abscissa 0.
2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = ln x no ponto de abscissa
1. Esboce os gra´ficos de f e da reta tangente.
3. Seja f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1 e´ um nu´mero real dado. Mostre que f ′(x) =
ax ln a.
4. Baseados no exerc´ıcio anterior, calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 2x;
(b) f(x) = pix;
(c) f(x) = 5x;
(d) f(x) = ex.
5. Seja g(x) = logax, onde a > 0 e a 6= 1 e´ uma constante. Mostre que g′(x) = 1
xln a
.
6. Baseados no exerc´ıcio anterior, calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) g(x) = log3x;
(b) f(x) = log5x;
(c) f(x) = logpix;
(d) f(x) = ln x.
Derivada 37
4.5 Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas
Agora vamos estudar as derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas. Faremos algumas
demonstrac¸o˜es em sala,as que forem omitidas fica como exerc´ıcio para voceˆs.
Observac¸a˜o 4.16 Lembremos que: tgx =
senx
cosx
, cotgx =
cosx
senx
, secx =
1
cosx
e cossecx =
1
senx
.
Teorema 4.17 Sa˜o va´lidas as seguintes fo´rmulas de derivac¸a˜o:
(a) sen′x = cosx;
(b) cos′x = −senx;
(c) tg′x = sec2x;
(d) sec′x = secx tgx;
(e) cotg′x = −cossec2x;
(f) cossec′x = −cossecx cotgx.
Demonstrac¸a˜o. Faremos as demonstrac¸o˜es de alguns dos itens em sala de aula, os demais
ficara˜o como exerc´ıcio. Dica: para as demonstrac¸o˜es dos itens (a) e (b) utilize as seguintes
fo´rmulas trigonome´tricas:
sen(p)− sen(q) = 2sen
(
p− q
2
)
cos
(
p+ q
2
)
e
cos(p)− cos(q) = −2sen
(
p+ q
2
)
sen
(
p− q
2
)
.
Exemplo 4.18 Fac¸a o que se pede:
1. Dada f(x) = senx+ cosx, calcule f ′(x) e f ′(pi);
2. Dada g(x) = 4x2 − 3cosx+ 2senx, calcule g′(x);
3. Dada h(x) = (1 + senx)(x3 − 1), calcule h′(x);
4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = senx no ponto de abs-
cissa 0.
38
4.6 Continuidade de func¸o˜es deriva´veis
Vimos que func¸a˜o modular, dada por f(x) = |x|, e´ cont´ınua em x = 0 mas na˜o
e´ deriva´vel neste ponto. Ou seja, uma func¸a˜o ser cont´ınua num ponto na˜o implica que a
mesma seja deriva´vel em tal ponto. No entanto, a rec´ıproca e´ verdadeira, como mostra o
teorema a seguir.
Teorema 4.19 Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel em a, enta˜o f e´ cont´ınua em a.
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o sera´ feita em sala.
Observac¸a˜o 4.20 Segue do teorema que se f na˜o for cont´ınua em a, enta˜o f na˜o podera´
ser deriva´vel em a.
Exemplo 4.21 A func¸a˜o f dada por f(x) =
 x2 se x ≤ 12 se x > 1 e´ deriva´vel em 1? Justi-
fique.
Exemplo 4.22 A func¸a˜o g dada por g(x) =
 x2 se x ≤ 11 se x > 1 e´ cont´ınua em 1? f e´
diferencia´vel em 1?
Exemplo 4.23 A func¸a˜o h dada por h(x) =
 x2 se x ≤ 12x− 1 se x > 1 e´ deriva´vel em 1? f
e´ cont´ınua em 1?
Exerc´ıcio 4.24 Seja f(x) =
 x+ 1 se x < 21 se x ≥ 2 (a) f e´ cont´ınua em 2? Por queˆ? b)
E´ deriva´vel em 2? Por queˆ?
Exerc´ıcio 4.25 Seja f(x) =
 x2 se x ≤ 0−x2 se x > 0 (a) f e´ deriva´vel em 0? Justifique. b)
E´ cont´ınua em 0? Justifique.
Exerc´ıcio 4.26 Seja f(x) =
 −x+ 3 se x < 3x− 3 se x ≥ 3 (a) f e´ deriva´vel em 3? Justifique.
b) E´ cont´ınua em 3? Justifique.
Derivada 39
4.7 A derivada de uma func¸a˜o composta - Regra da
Cadeia
Sejam y = g(u) e u = f(x) duas func¸o˜es deriva´veis. Para todo x tal que f(x)
esta´ no domı´nio de g, podemos escrever y = g(u) = g(f(x)), isto e´, podemos considerar
a func¸a˜o composta (g ◦ f)(x). A proposic¸a˜o a seguir, chamada de Regra da Cadeia, nos
mostra que a func¸a˜o composta g ◦ f e´ deriva´vel e que sua derivada e´ dada em termos das
derivadas de f e g.
Proposic¸a˜o 4.27 (Regra da Cadeia) Se y = g(u), u = f(x) e as derivadas
dy
du
e
du
dx
existem, enta˜o a func¸a˜o composta y = g(f(x)) tem derivada dada por:
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
ou y′(x) = g′(f(x)) f ′(x). (4.1)
Observac¸a˜o 4.28 Supondo g deriva´vel, e´ fa´cil verificar atrave´s da Regra da Cadeia que:
(a) [eg(x)]′ = eg(x)g′(x).
(b) [ln g(x)]′ =
g′(x)
g(x)
.
(c) [cos(g(x))]′ = −g′(x)sen(g(x)).
(d) [sen(g(x))]′ = g′(x)cos(g(x)).
(e) [(g(x))n]′ = n(g(x))n−1g′(x).
(f) [(g(x))1/n]′ =
1
n
(g(x))
1
n
−1g′(x) (n ≥ 2).
Exemplo 4.29 1. Dada a func¸a˜o y = (x2 + 5x+ 2)7, calcule
dy
dx
.
2. Dada a func¸a˜o f(x) =
(
3x+ 2
2x+ 1
)5
, determine f ′(x).
3. Dada a func¸a˜o y = (3x2 + 1)3(x− x2)2, calcule y′.
4. Calcule a derivada das func¸o˜es: y = e3x, y = sen(t2), f(x) = cos(3x) e g(x) =
ln(x2 + 3).
5. Dada a func¸a˜o f(x) = 5
3
√
x2, determine f ′(x).
6. Dada a func¸a˜o g(t) =
t2
3
√
t3 + 1
, determine g′(t).
40
7. Seja f : IR→ IR uma func¸a˜o deriva´vel e seja g(x) = f(cosx). Calcule g′(pi
3
) supondo
que f ′(
1
2
) = 4.
Observac¸a˜o 4.30 Valem todas as regras de derivac¸a˜o estudadas para o caso da derivada
de func¸o˜es compostas.
Exemplo 4.31 1. Calcule a derivada de y = x2e3x.
2. Calcule a derivada das func¸o˜es: f(x) =
(
x+ 1
x2 + 1
)4
e y =
3
√
x2 + 3.
3. Calcule a derivada de y = u1/3, onde u = x2 + 3.
4. Calcule a derivada de y = x8 + (2x+ 4)3 +
√
x.
5. Calcule a derivada de y =
x+ 1√
x2 − 3 .
6. Calcule a derivada de y = 3x(8x3 − 2).
7. Calcule a derivada de y =
3
√
6x2 + 7x+ 2.
8. A func¸a˜o diferencia´vel y = f(x) e´ tal que, para todo x ∈ D(f), xf(x)+sen(f(x)) =
4. Mostre que f ′(x) =
−f(x)
x+ cos(f(x))
, para todo x ∈ D(f), com x+ cos(f(x)) 6= 0.
4.7.1 A derivada da func¸a˜o exponencial composta
Sejam f e g duas func¸o˜es deriva´veis num mesmo conjunto A, com f(x) > 0 para
todo x ∈ A. Consideremos a func¸a˜o definida em A e dada por y = f(x)g(x). Enta˜o,
[f(x)g(x)]′ = f(x)g(x)[g(x)ln(f(x))]′
. Nota: faremos essa demonstrac¸a˜o em sala de aula.
Exemplo 4.32 Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es
1. y = xx
2. y = 3x
3. f(x) = x
√
2
4. y = 8x + log2x
Derivada 41
Exerc´ıcio 4.33 Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es
1. y = cos(1/x)
2. f(x) = 3tg(
√
x) + cotg(3x)
3. y =
cosx
1 + cotgx
4. f(x) = sec(x2 + 3x+ 7)
5. y = cosec
(
x+ 1
x− 1
)
4.8 Func¸a˜o inversa
Definic¸a˜o 4.34 Seja F : A → B uma func¸a˜o de A em B dada por y = f(x) . Se para
cada y ∈ B, existir exatamente um valor de x ∈ A tal que y = f(x), enta˜o podemos
definir uma func¸a˜o g : B → A tal que x = g(y). A func¸a˜o g definida desta maneira e´
chamada func¸a˜o inversa de f e denotada por f−1.
Exemplo 4.35 1. A func¸a˜o f : IR→ IR dada por y = 2x−5 tem como func¸a˜o inversa
f−1 : IR→ IR definida por x = 1
2
(y + 5).
2. A func¸a˜o f : IR−{3} → IR−{−1} definida por y = x− 1
3− x admite a func¸a˜o inversa
f−1 : IR− {−1} → IR− {3} definida por x = 1 + 3y
y + 1
.
Observac¸a˜o 4.36 Graficamente podemos determinar se uma func¸a˜o admite inversa. Pas-
sando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gra´fico em apenas um ponto.
Isso pode ser observado no gra´fico da func¸a˜o y = x2, logo esta func¸a˜o na˜o admite inversa.
No entanto, fazendo uma restric¸a˜o conveniente do domı´nio, essa mesma func¸a˜o passa a
admitir inversa. Por exemplo, para x ≥ 0 existe a inversa x1 = √y e para x ≤ 0 existe a
inversa x1 = −√y
Observac¸a˜o 4.37 Para fazer o gra´fico da func¸a˜o inversa basta trac¸ar a reta y = x e
observar a simetria.
Exemplo 4.38 1. A func¸a˜o f : [0,∞)→: [0,∞) dada por f(x) = x2 tem como func¸a˜o
inversa g : [0,∞)→: [0,∞) definida por g(x) = √x.
2. A func¸a˜o f : IR → IR definida por y = x3 admite a func¸a˜o inversa g : IR → IR
definida por x = 3
√
x.
42
4.9 A derivada da func¸a˜o inversa
Teorema 4.39 Seja y = f(x) uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto (a, b). Su-
ponhamos que f(x) admita uma func¸a˜o inversa x = g(y) cont´ınua. Se f ′(x) existe e e´
diferente de zero para qualquer x ∈ (a, b), enta˜o g = f−1 e´ deriva´vel e vale:
g′(y) =
1
f ′(x)
=
1
f ′[g(y)]
.
Exemplo 4.40 Seja f a func¸a˜o dada por f(x) = 4x− 3. Calcule a func¸a˜o inversa de f
e a sua derivada.
Exemplo 4.41 Seja y = 8x3, calcule a sua inversa. Calcule a derivada da func¸a˜o e a
derivada da sua inversa.
4.9.1 Derivada das func¸o˜es trigonome´tricas inversas
Da Definic¸a˜o 4.34 podemos concluir que e´ imposs´ıvel definir uma func¸a˜o inversa
para a func¸a˜o y = senx, uma vez que para cada valor de y ha´ uma infinidade de valores
x tais que senx = y. Portanto, para definirmos a func¸a˜o inversa de y = senx e´ necessa´rio
restringir o seu domı´nio. Este fato ocorre com as demais func¸o˜es trigonome´tricas.
Definic¸a˜o 4.42 Func¸o˜es arco seno e arco cosseno:
(i) Func¸a˜o arco seno: seja f : [−pi/2, pi/2] → [−1, 1]a func¸a˜o definida por f(x) =
senx. A func¸a˜o inversa de f e´ chamada arco seno, denotada por arc sen, e e´
dada por f−1 : [−1, 1] → [−pi/2, pi/2], onde f−1(x) = arc senx. Simbolicamente,
para
−pi
2
≤ y ≤ pi
2
, escrevemos a equivaleˆncia:
y = arc senx ⇔ x = seny.
(ii) Func¸a˜o arco cosseno: seja f : [0, pi]→ [−1, 1] a func¸a˜o definida por f(x) = cosx.
A func¸a˜o inversa de f e´ chamada arco cosseno, denotada por arc cos, e e´ dada por
f−1 : [−1, 1] → [0, pi], onde f−1(x) = arc cosx. Simbolicamente, para 0 ≤ y ≤ pi,
escrevemos a equivaleˆncia:
y = arc cosx ⇔ x = cosy.
Observac¸a˜o 4.43 Observe que, nas definic¸o˜es das func¸o˜es arco seno e arco cosseno,
poder´ıamos ter restringido o domı´nio a outros intervalos.
Derivada 43
Observac¸a˜o 4.44 Para mais detalhes sobre as demais func¸o˜es trigonome´tricas inversas,
basta consultar um dos livros sugeridos nas refereˆncias bibliogra´ficas da disciplina.
Vejamos alguns exemplos de derivadas das func¸o˜es trigonome´trica inversas.
1. Derivada da func¸a˜o arco seno: Seja f : [−1, 1] → [−pi/2, pi/2] definida por
f(x) = arc senx. Enta˜o f e´ deriva´vel em (−1, 1) e f ′(x) = 1√
1− x2 .
2. Derivada da func¸a˜o arco cosseno: Seja f : [−1, 1]→ [0, pi] definida por f(x) =
arc cosx. Enta˜o f e´ deriva´vel em (−1, 1) e f ′(x) = −1√
1− x2 .
3. Derivada da func¸a˜o arco tangente: Seja f : IR → (−pi/2, pi/2) definida por
f(x) = arc tgx. Enta˜o f e´ deriva´vel e f ′(x) =
1
1 + x2
.
4. Derivada da func¸a˜o arco cotangente: Se f(x) = arc cotgx, enta˜o f ′(x) =
−1
1 + x2
.
5. Derivada da func¸a˜o arco secante: Se f(x) = arc secx, |x| ≥ 1, enta˜o f ′(x) =
1
|x|√x2 − 1, |x| > 1.
6. Derivada da func¸a˜o arco cossecante: Se f(x) = arc cosecx, |x| ≥ 1, enta˜o
f ′(x) =
−1
|x|√x2 − 1, |x| > 1.
Observac¸a˜o 4.45 Tambe´m podemos aplicar a regra da cadeia nas derivadas das func¸o˜es
trigonome´tricas inversas, caso seja necessa´rio.
Exemplo 4.46 Determine a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) y = arc sen(x+ 1)
(b) y = arc tg
(
1− x2
1 + x2
)
(c) y = arc cos (2x+ 1)
4.9.2 Derivada das func¸o˜es hiperbo´licas
As func¸o˜es hiperbo´licas sa˜o definidas em termos da func¸a˜o exponencial, logo suas
derivadas podem ser determinadas facilmente.
44
Definic¸a˜o 4.47 As func¸o˜es seno hiperbo´lico, denotada por senh, e cosseno hi-
perbo´lico, denotada por cosh, sa˜o definidas por:
senh x =
ex − e−x
2
cosh x =
ex + e−x
2
.
Observac¸a˜o 4.48 As expresso˜es exponenciais que definem as func¸o˜es hiperbo´licas sur-
gem frequentemente na Matema´tica Aplicada. E o comportamento dessas func¸o˜es nos
levam a fazer uma analogia com as func¸o˜es trigonome´tricas.
Observac¸a˜o 4.49 A partir das func¸o˜es senhx e coshx obtemos as func¸o˜es tghx =
senhx
coshx
=
ex − e−x
ex + e−x
, cotghx =
coshx
senhx
=
ex + e−x
ex − e−x , sechx =
1
coshx
=
2
ex + e−x
e cossechx =
1
senhx
=
2
ex − e−x .
Nota: para mais detalhes, consultar nossas refereˆncias bibliogra´ficas.
Observac¸a˜o 4.50 O domı´nio das func¸o˜es senh e cosh e´ dado pelo intervalo (−∞, +∞).
O conjunto imagem da func¸a˜o senh e´ o intervalo (−∞, +∞), enquanto que a imagem de
cosh e´ o intervalo [1, +∞).
Vejamos as derivadas das func¸o˜es hiperbo´licas, ja´ com o uso da regra da cadeia:
1. y = senh u ⇒ y′ = cosh u · u′
2. y = cosh u ⇒ y′ = senh u · u′
3. y = tgh u ⇒ y′ = sech2 u · u′
4. y = cotgh u ⇒ y′ = −cossech2 u · u′
5. y = sech u ⇒ y′ = −sech u · tgh u · u′
6. y = cossech u ⇒ y′ = −cossech u · cotgh u · u′
Exemplo 4.51 Determinar a derivada das seguintes func¸o˜es:
(a) y = senh(x3 + 3)
(b) y = cosh(x3 + 3)
(c) y = sech(2x)
(d) y = ln[tgh(3x)]
(e) y = cotgh(1− x3)
Derivada 45
4.10 Derivadas de ordem superior
Sejam f uma func¸a˜o e A o conjunto dos x para os quais f ′(x) existe. A func¸a˜o
f ′ : A→ IR dada por x 7→ f ′(x), denomina-se func¸a˜o derivada ou, simplesmente, derivada
de f . Diremos ainda que f ′ e´ a derivada de primeira ordem de f , que tambe´m pode ser
indicada por f (1).
A derivada de f ′ denomina-se derivada de segunda ordem de f e e´ indicada por f ′′
ou f (2). Assim, f ′′ = (f ′)′. De maneira ana´loga defini-se as derivadas de ordens superiores
a 2 de f .
Exemplo 4.52 Seja f(x) = 3x3 − 6x+ 1. Determine f ′, f ′′ e f ′′′.
Exemplo 4.53 Seja f(x) =
 x2 se x ≤ 11 se x > 1. Determine f e f ′ e, em seguida, esboce
os seus gra´ficos.
4.11 Derivac¸a˜o de uma func¸a˜o dada implicitamente
Consideremos uma equac¸a˜o nas varia´veis x e y. Dizemos que uma func¸a˜o y = f(x)
e´ dada implicitamente por tal equac¸a˜o se, para todo x no domı´nio de f , o ponto (x, f(x))
for soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Exemplo 4.54 Seja a equac¸a˜o x2+y2 = 1. A func¸a˜o y =
√
1− x2 e´ dada implicitamente
pela equac¸a˜o, pois para todo x em [−1, 1], temos que x2 + (
√
1− x2)2 = 1. Observe que a
func¸a˜o y = −
√
1− x2 e´, tambe´m, dada implicitamente por tal equac¸a˜o.
Exemplo 4.55 Determine uma func¸a˜o que seja dada implicitamente pela equac¸a˜o y2 +
xy − 1 = 0.
Nem sempre e´ poss´ıvel encontrar a forma expl´ıcita de uma func¸a˜o definida im-
plicitamente. Por exemplo, como explicitar uma func¸a˜o y = f(x) definida pela equac¸a˜o
y4 + 3xy+ 2ln(y) = 0? O me´todo da derivac¸a˜o impl´ıcita permite encontrar a derivada de
uma func¸a˜o assim definida, sem a necessidade de explicita´-la. Para isso, deve-se fazer uso
da cadeia. Vejamos na resoluc¸a˜o dos exemplos a seguir em sala de aula.
Exemplo 4.56 Seja y = f(x), x ∈ IR, a func¸a˜o dada implicitamente pela equac¸a˜o y3 +
y = x. Suponha que f seja deriva´vel. Mostre que f ′(x) =
1
3[f(x)]2 + 1
. Em seguida,
determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (10, f(10)).
46
Exemplo 4.57 Sabendo que y = f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente
pela equac¸a˜o x2 + y2 = 4, determinar y′.
Exemplo 4.58 Sabendo que y = f(x) e´ definida pela equac¸a˜o xy2 + 2y3 = x − 2y,
determinar y′.
Exemplo 4.59 Se y = f(x) e´ definida por x2y2 + xsen(y) = 0, determinar y′.
Cap´ıtulo 5
Aplicac¸o˜es das Derivadas
Agora vamos estudar algumas das aplicac¸o˜es das derivadas. Em diversas a´reas
encontramos problemas que sa˜o resolvidos utilizando a derivada como uma taxa de va-
riac¸a˜o, estudaremos alguns casos. Tambe´m vamos analisar o comportamento das func¸o˜es
e a construc¸a˜o de seus gra´ficos atrave´s das definic¸o˜es e teoremas envolvendo derivadas.
Ale´m disso, vamos estudar as regras de L’Hospital, que sa˜o usadas nos ca´lculos de alguns
limites.
5.1 Velocidade e Acelerac¸a˜o. Taxa de Variac¸a˜o
Suponhamos que uma part´ıcula se desloca sobre o eixo x com func¸a˜o de posic¸a˜o
x = f(t). Isto significa dizer que a func¸a˜o f fornece a cada instante a posic¸a˜o ocupada
pela part´ıcula na reta. A velocidade me´dia da part´ıcula entre os instantes t e t + ∆t e´
definida pelo quociente
f(t+ ∆t)− f(t)
∆t
,
onde ∆x = f(t + ∆t)− f(t) e´ o deslocamento da part´ıcula entre os instantes t e t + ∆t.
A velocidade da part´ıcula no instante t e´ definida como sendo a derivada (caso exista) de
f em t, isto e´:
v(t) =
dx
dt
= f ′(t). (5.1)
Assim, pela definic¸a˜o de derivada,
v(t) = lim
∆t→0
f(t+ ∆t)− f(t)
∆t
. (5.2)
A acelerac¸a˜o no instante t e´ definida como sendo a derivada em t da func¸a˜o
47
48
v = v(t):
a(t) =
dv
dt
=
d2x
dt2
. (5.3)
Pela definic¸a˜o de derivada,
a(t) = lim
∆t→0
v(t+ ∆t)− v(t)
∆t
. (5.4)
O quociente
v(t+ ∆t)− v(t)
∆t
e´ a acelarac¸a˜o me´dia entre os instantes t e t+ ∆t.
Exemplo 5.1 Uma part´ıcula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posic¸a˜o
x e´ dada por x = t2, t ≥ 0, onde x e´ dado em metros e t em segundos.
(a) Determine as posic¸o˜es ocupadas pela part´ıcula nos instantest = 0, t = 1 e t = 2;
(b) Qual e´ a velocidade no instante t?
(c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de posic¸a˜o.
Exemplo 5.2 Uma part´ıcula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posic¸a˜o
x e´ dada por x = cos(3t), t ≥ 0. Suponha x dado em metros e t em segundos.
(a) Determine as posic¸o˜es ocupadas pela part´ıcula nos instantes t = 0, t = pi/6, t = pi/3,
t = pi/2 e t = 2pi/3;
(b) Qual e´ a velocidade no instante t?
(c) Qual e´ a acelerac¸a˜o no instante t?
(d) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de posic¸a˜o.
Exemplo 5.3 Um ponto move-se ao longo do gra´fico de y = x2 + 1 de tal modo que a
sua abscissa x varia a uma velocidade constante 3 (cm/s). Qual e´, quando x = 4 (cm),
a velocidade da ordenada y?
Exemplo 5.4 O raio r de uma esfera esta´ variando, com o tempo, a uma taxa constante
de 5 (m/s). Com que taxa estara´ variando o volume da esfera no instante em que r =
2 (m)?
Exemplo 5.5 Um ponto P move-se sobre a elipse 4x2 + y2 = 1. Sabe-se que as coor-
denadas x(t) e y(t) de P sa˜o func¸o˜es definidas e deriva´veis num intervalo I. Verifique
que
dy
dt
=
−4x
y
dx
dt
,
em todo t ∈ I, com y(t) 6= 0.
Aplicac¸o˜es da Derivada 49
Exemplo 5.6 Uma cidade X e´ atingida por uma mole´stia epideˆmica. Os setores de
sau´de calculam que o nu´mero de pessoas atingidas pela mole´stia depois de um tempo t
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) e´ aproximadamente, dado por
f(t) = 64t− t
3
3
.
(a) Qual e´ a raza˜o da expansa˜o da epidemia no tempo t = 4?
(b) Qual e´ a raza˜o da expansa˜o da epidemia no tempo t = 8?
(c) Quantas pessoas sera˜o atingidas pela epidemia no quinto dia?
Exemplo 5.7 Analistas de produc¸a˜o verificam que, em uma montadora x, o nu´mero de
pec¸as produzidas nas primeiras t horas dia´rias de trabalho e´ dado por:
f(t) =
 50(t2 + t), para 0 ≤ t ≤ 4200(t+ 1), para 4 ≤ t ≤ 8. (5.5)
(a) Qual e´ raza˜o de produc¸a˜o (em unidades por hora) apo´s 3 horas de trabalho? E apo´s
7 horas?
(b) Quantas pec¸as sa˜o produzidas na oitava hora de trabalho?
Exerc´ıcio 5.8 Resolver os exemplos e exerc´ıcios do livro Ca´lculo A e ou Guidorizzi.
5.2 Ma´ximos e Mı´nimos
A Figura 5.1 nos mostra o gra´fico de uma func¸a˜o y = f(x), com os seguintes
pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4 em destaque.
Figura 5.1: Exemplo de extremos relativos. Fonte: livro Ca´lculo A
50
Tais pontos sa˜o chamados de pontos extremos da func¸a˜o. Os valores f(x1) e f(x3)
sa˜o chamados ma´ximos relativos e f(x2) e f(x4) sa˜o chamados mı´nimos relativos.
Definic¸a˜o 5.9 Uma func¸a˜o f tem um ma´ximo relativo em c, se existir um intervalo
aberto I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x), para todo x ∈ I ∩D(f).
Definic¸a˜o 5.10 Uma func¸a˜o f tem um mı´nimo relativo em c, se existir um intervalo
aberto I, contendo c, tal que f(c) ≤ f(x), para todo x ∈ I ∩D(f).
Exemplo 5.11 A func¸a˜o f(x) = 3x4 − 12x2 tem um ma´ximo relativo em c1 = 0, pois
existe o intervalo (−2, 2) tal que f(0) ≥ f(x) para todo x ∈ (−2, 2).
Figura 5.2: Gra´fico da func¸a˜o do exemplo 5.11. Fonte: livro Ca´lculo A
A proposic¸a˜o a seguir permite encontrar com precisa˜o os extremos de uma func¸a˜o.
Proposic¸a˜o 5.12 Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x ∈ (a, b) e que
f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f ′(c) existe, enta˜o f ′(c) = 0.
Observac¸a˜o 5.13 Geometricamente, se f tem um extremo relativo em c e se f ′(c) existe,
enta˜o o gra´fico de y = f(x) tem uma reta tangente horizontal no ponto de abscissa c.
Observac¸a˜o 5.14 Quando f ′(c) existe, a condic¸a˜o f ′(c) = 0 e´ necessa´ria para a existeˆncia
de um extremo relativo em c. No entanto, esta condic¸a˜o na˜o e´ suficiente, isto significa
que se f ′(c) = 0 a func¸a˜o f pode ter ou na˜o um extremo relativo em c. Por outro lado,
quando f ′(c) na˜o existe f pode ou na˜o ter extremo relativo em c.
O ponto de abscissa c ∈ D(f) tal que f ′(c) na˜o existe f ou f ′(c) = 0 e´ chamado
de ponto cr´ıtico de f . Portanto, uma condic¸a˜o necessa´ria para que para a existeˆncia de
um extremo relativo em um ponto de abscissa c e´ que ele seja um ponto cr´ıtico.
Aplicac¸o˜es da Derivada 51
Figura 5.3: Pontos cr´ıticos. Fonte: livro Ca´lculo A
Uma func¸a˜o definida num dado intervalo pode admitir diversos pontos extremos
relativos. O maior valor da func¸a˜o num intervalo e´ chamado ma´ximo absoluto da func¸a˜o
nesse intervalo. Analogamente, o menor valor da func¸a˜o num intervalo e´ chamado mı´nimo
absoluto da func¸a˜o nesse intervalo.
Proposic¸a˜o 5.15 Seja f : [a, b] → IR uma func¸a˜o cont´ınua, definida num intervalo
fechado [a, b]. Enta˜o f assume ma´ximo e mı´nimo absoluto em [a, b].
Definic¸a˜o 5.16 Dizemos que f(c) e´ o ma´ximo absoluto da func¸a˜o f , se c ∈ D(f) e
f(c) ≥ f(x), para todo x ∈ D(f).
Definic¸a˜o 5.17 Dizemos que f(c) e´ o mı´nimo absoluto da func¸a˜o f , se c ∈ D(f) e
f(c) ≤ f(x), para todo x ∈ D(f).
Exemplo 5.18 Verifique que a func¸a˜o f(x) = x2 + 6x−3 tem um mı´nimo absoluto igual
a −12 no ponto de abscissa −3.
Exemplo 5.19 Verifique que a func¸a˜o f(x) = −x2 + 6x − 3 tem um ma´ximo absoluto
igual a 6 no ponto de abscissa 3.
5.3 Teoremas sobre Derivadas
Teorema 5.20 (Teorema de Rolle) Seja f uma func¸a˜o definida e cont´ınua em [a, b] e
deriva´vel em (a, b). Se f(a) = f(b) = 0, enta˜o existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b) tal
que f ′(c) = 0.
52
Sob as mesmas hipo´teses o Teorema de Rolle pode ser estendido para func¸o˜es tais
que f(a) = f(b) 6= 0. A Figura 5.4 mostra alguns exenplos de func¸o˜es em que o Teorema
de Rolle e´ va´lido.
Figura 5.4: Exemplos de aplicac¸o˜es do Teorema de Rolle. Fonte: livro Ca´lculo A
Agora vamos apresentar o enunciado de um dos teoremas mais importantes do
ca´lculo, o Teorema do Valor Me´dio (TVM). Estamos interessados no entendimento e no
significado geome´trico do TVM, de modo que sua demonstrac¸a˜o sera´ omitida.
Teorema 5.21 (Teorema do Valor Me´dio) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e
deriva´vel em (a, b). Enta˜o existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que,
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
Geometricamente, o TVM nos afirma que se a func¸a˜o y = f(x) e´ cont´ınua em
[a, b] e deriva´vel em (a, b), enta˜o existe pelo menos um nu´mero c entre a e b onde a reta
tangente a` curva e´ paralela a` corda que une os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
Aplicac¸o˜es da Derivada 53
Figura 5.5: Teorema do Valor Me´dio. Fonte: livro Ca´lculo A
5.4 Func¸o˜es Crescentes e decrescentes
Definic¸a˜o 5.22 Dizemos que uma func¸a˜o f , definida num intervalo I, e´ crescente em I
se para quaisquer x1, x2 ∈ I, com x1 < x2, temos f(x1) ≤ f(x2).
Definic¸a˜o 5.23 Dizemos que uma func¸a˜o f , definida num intervalo I, e´ decrescente em
I se para quaisquer x1, x2 ∈ I, com x1 < x2, temos f(x1) ≥ f(x2).
Se f e´ crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que f e´ mono´tona neste
intervalo.
Analisando geometricamente o sinal da derivada podemos determinar os inter-
valos onde uma func¸a˜o deriva´vel e´ crescente ou decrescente, como no teorema a seguir.
Sendo assim, como consequeˆncia do TVM temos o seguinte teorema.
Proposic¸a˜o 5.24 Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b).
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ crescente em [a, b].
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ decrescente em [a, b].
Exemplo 5.25 Determinar os intervalos nos quais as seguintes func¸o˜es sa˜o crescentes
ou decrescentes:
(a) f(x) = x3 + 1;
(b) f(x) = x2 − x+ 5;
(c) f(x) = x3 − 2x2 + x+ 2;
(d) f(x) =
 2x2 − 4, x ≤ 1−x− 1, x > 1. ;
54
5.5 Crite´rios para determinar os extremos de uma
func¸a˜o
Agora veremos alguns crite´rios para determinar os extremos de uma func¸a˜o.
Teorema 5.26 (Crite´rio da derivada primeira para determinar extremos) Seja f
uma func¸a˜o cont´ınuanum intervalo fechado [a, b] e deriva´vel no aberto (a, b), exceto pos-
sivelmente num ponto de abscissa c.
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x < c e f ′(x) < 0 para todo x > c, enta˜o f tem um ma´ximo
relativo em c.
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x < c e f ′(x) > 0 para todo x > c, enta˜o f tem um mı´nimo
relativo em c.
Figura 5.6: Crite´rio da derivada primeira. Fonte: livro Ca´lculo A
Exemplo 5.27 Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento e os ma´ximos e
mı´nimos relativos das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = x3 − 7x+ 6;
(b) f(x) =
 (x− 2)2 − 3, x ≤ 51/2(x+ 7), x > 5. .
Teorema 5.28 (Crite´rio da derivada segunda para determinar extremos) Sejam
f uma func¸a˜o deriva´vel num intervalo (a, b) e c um ponto cr´ıtico deste intervalo, isto e´,
f ′(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f ′′ em (a, b), temos:
Aplicac¸o˜es da Derivada 55
(i) Se f ′′(c) < 0, enta˜o f tem um valor ma´ximo relativo em c.
(ii) Se f ′′(c) > 0, enta˜o f tem um valor mı´nimo relativo em c.
Exemplo 5.29 Encontre os ma´ximos e mı´nimos relativos das seguintes func¸o˜es, apli-
cando o crite´rio da derivada segunda:
(a) f(x) = 18x+ 3x2 − 4x3;
(b) f(x) = x(x− 1)2;
(c) f(x) = 6x− 3x2 + 1
2
x3.
5.6 Concavidade e pontos de inflexa˜o
O conceito de concavidade nos ajudara´ muito na construc¸a˜o do gra´fico de uma
func¸a˜o. Geometricamente, dizemos que uma curva tem concavidade voltada para cima no
intervalo (a, b) quando observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em pontos
pro´ximos de c o gra´fico de f esta´ acima da reta tangente a` curva no ponto (c, f(c)).
Como f ′(x) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva, observamos na Figura 5.7 (b) que
Figura 5.7: Concavidade voltada para cima. Fonte: livro Ca´lculo A
podemos descrever essa mesma situac¸a˜o afirmando que no intervalo (a, b) a derivada
f ′(x) e´ crescente. Geometricamente, isto significa que a reta tangente gira no sentido
anti-hora´rio a` medida que avanc¸amos sobre a curva da esquerda para a direita.
Analogamente, a Figura descreve uma func¸a˜o que tem concavidade voltada para
baixo no intervalo (a, b). Nesse caso, a tangente gira no sentido hora´rio quando nos
56
deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada f ′(x) e´ decrescente em
(a, b).
Figura 5.8: Concavidade voltada para baixo. Fonte: livro Ca´lculo A
Definic¸a˜o 5.30 Uma func¸a˜o f e´ dita coˆncava para cima no intervalo (a, b) se f ′(x) e´
crescente neste intervalo.
Definic¸a˜o 5.31 Uma func¸a˜o f e´ dita coˆncava para baixo no intervalo (a, b) se f ′(x) e´
decrescente neste intervalo.
Observac¸a˜o 5.32 Reconhecer os intervalos onde uma curva tem concavidade voltada
para cima ou para baixo e´ de extrema valia para a construc¸a˜o do gra´fico dessa func¸a˜o.
Vamos utilizar o sinal da derivada segunda para obter informac¸o˜es sobre a concavidade
de uma func¸a˜o em determinado intervalo.
Teorema 5.33 Seja f uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado [a, b] e deriva´vel ate´ a
segunda ordem no intervalo aberto (a, b).
(i) Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ coˆncava para cima em (a, b).
(ii) Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), enta˜o f e´ coˆncava para baixo em (a, b).
Definic¸a˜o 5.34 Um ponto (c, f(c)) do gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua f e´ chamado um
ponto de inflexa˜o, se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das seguintes
situac¸o˜es ocorra:
(i) f e´ coˆncava para cima em (a, c) e coˆncava para baixo em (c, b).
Aplicac¸o˜es da Derivada 57
(ii) f e´ coˆncava para baixo em (a, c) e coˆncava para cima em (c, b).
Na Figura 5.9, os pontos de abscissa c1, c2, c3 e c4 sa˜o pontos de inflexa˜o. Vale
observar que c2 e c3 sa˜o pontos de extremos de f para os quais na˜o existe derivada. Por
outro lado, nos pontos c1 e c4, existem as derivada f
′(c1) e f ′(c4). Ale´m disso, podemos
observar que nos pontos (c1, f(c1)) e (c4, f(c4)) a reta tangente corta o gra´fico de f .
Figura 5.9: Exemplos de pontos de inflexa˜o. Fonte: livro Ca´lculo A
Exemplo 5.35 Determine os pontos de inflexa˜o e os intervalos para os quais as, seguin-
tes, func¸o˜es tem concavidade voltada para cima ou para baixo:
(a) f(x) = (x− 1)3;
(b) f(x) = x4 − x2;
(c) f(x) =
 x2, x ≤ 11− (x− 1)2, x > 1. .
5.7 Construc¸a˜o e ana´lise de gra´ficos
Agora, tomando como base as u´ltimas informac¸o˜es estudadas, podemos forma
um conjunto de informac¸o˜es que permite fazer a ana´lise do comportamento e o esboc¸o do
gra´fico das func¸o˜es. A seguir temos um resumo que podera´ ser seguido para analisar o
comportamento de uma func¸a˜o a partir de sua representac¸a˜o alge´brica. Neste caso, sua
ana´lise pode culminar com um esboc¸o gra´fico destacando as propriedades e caracter´ısticas
da func¸a˜o.
Vamos seguir os seguintes passos na construc¸a˜o do gra´fico de uma func¸a˜o f :
1. Encontrar D(f);
58
2. Calcular os pontos de intersecc¸a˜o com os eixos (quando na˜o requer muito ca´lculo);
3. Encontrar os pontos cr´ıticos;
4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
5. Encontrar os ma´ximos e mı´nimos relativos;
6. Determinar a concavidade e os pontos de inflexa˜o de f ;
7. Encontrar as ass´ıntotas horizontais e verticais, se existirem;
8. Esboc¸ar o gra´fico.
Exemplo 5.36 Esboce o gra´fico das func¸o˜es do exemplo anterior e das func¸o˜es a seguir:
(a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2;
(b) f(x) =
x2
x− 3 ;
(c) f(x) = (x+ 1)1/3;
(d) f(x) =
 x2, x ≤ 11− (x− 1)2, x > 1. ;
Exerc´ıcio 5.37 Resolver as seguintes questo˜es da Sec¸a˜o 5.10 do livro Ca´lculo A (encon-
trado na biblioteca virtual da Ufersa): 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14 e 15.
Se na˜o tivermos conhecimento da func¸a˜o na forma alge´brica, mas apenas o seu
gra´fico estiver dispon´ıvel, e´ poss´ıvel fazer uma ana´lise do comportamento dessa func¸a˜o a
partir do seu gra´fico, destacando suas propriedades e caracter´ısticas.
5.8 Problemas de maximizac¸a˜o e minimizac¸a˜o
Agora vamos estudar alguns problemas pra´ticos em diversas a´reas relacionados
com ma´ximos e mı´nimos de func¸o˜es. O primeiro passo para solucionar problemas deste
tipo e´ escrever precisamente a func¸a˜o que devera´ ser analisada, isto e´, transformar o pro-
blema pra´tico num problema matema´tico. Tal func¸a˜o (que descreve o problema) podera´
ser escrita em func¸a˜o de uma ou mais varia´veis. Quando a func¸a˜o e´ de mais de uma
varia´vel, devemos procurar expressar uma das varia´veis em func¸a˜o das demais. Com a
func¸a˜o bem definida, devemos identificar um intervalo apropriado para o problema e pro-
ceder a rotina matema´tica aplicando os conhecimentos que adquirimos ate´ esse momento.
Aplicac¸o˜es da Derivada 59
Figura 5.10: Resumo para ana´lise de uma func¸a˜o a partir do seu gra´fico. Fonte: livro
Ca´lculo A
Exemplo 5.38 Na Biologia, encontramos a fo´rmula φ = V ·A, onde φ e´ o fluo de ar na
traque´ia, V e´ a velocidade do ar e A a a´rea do c´ırculo formado ao seccionarmos a traque´ia.
Quando tossimos, o raio diminui, afetando a velocidade do ar na traque´ia. Sendo r0 o
raio normal da traque´ia, a relac¸a˜o entre a velocidade V e o raio r da traque´ia durante a
tosse e´ dada por V (r) = ar2(r0 − r), onde a e´ uma constante positiva.
Figura 5.11: Fonte: livro Ca´lculo A
(a) Calcule o raio r em que e´ a velocidade do ar e´ maior;
(b) Calcule o valor de r com o qual teremos o maior fluxo poss´ıvel.
Exemplo 5.39 Uma rede de a´gua pota´vel ligara´ uma central de abastecimento situada
na margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na
outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra atrave´s do rio e´
60
de R$ 640, 00 por metro, enquanto que em terra custa R$ 312, 00. Qual e´ a forma mais
econoˆmica de instalar a rede de a´gua pota´vel?