Modulo5 - Observadores de estados

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Mo´dulo 5
Observadores de Estados.
Nas experieˆncias anteriores vimos que podemos projetar um controlador para que os
po´los do sistema de malha fechada estejam nas posic¸o˜es desejadas pelo projetista. Para
isso e´ preciso que o sistema seja controla´vel e que possamos medir todas as varia´veis
de estado do sistema atrave´s de instrumentos. No entanto, na pra´tica, nem sempre
dispomos de instrumentos para a medic¸a˜o de todas as varia´veis de estados, seja pela falta
de equipamentos apropriados (sensores), ou ainda pelo elevado custo da instrumentac¸a˜o
requerida. Uma forma de contornar essa dificuldade consiste em estimar as varia´veis de
estado e utilizar essas estimativas para construir o sinal de controle.
Ale´m de estimar as varia´veis de estado, outro ponto importante e´ atenuar o ma´ximo
poss´ıvel a influeˆncia dos ru´ıdos de medida e perturbac¸o˜es externas do sistema nas varia´veis
estimadas.
Nesta experieˆncia veremos como projetar dispositivos para estimac¸a˜o das varia´veis de
estado, chamados de observadores de estado, e analisar o efeito de ru´ıdos e perturbac¸o˜es
externas na estimativa obtida. O projeto de controladores que utilizam as varia´veis
estimadas sera´ estudado em experieˆncias posteriores.
Observador de ordem completa
Consideraremos o problema de estimar todas as varia´veis de estado de um sistema
a partir dos sinais conhecidos dispon´ıveis nesse sistema. Para isso admitiremos que o
sistema seja descrito por
x˙(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0
y(t) = Cx(t)
(1)
onde x ∈ Rn e´ o vetor de estados, u(t) ∈ Rnu e´ a varia´vel de controle que suporemos co-
nhecida1 e y(t) ∈ Rny e´ o sinal de sa´ıda do sistema proveniente dos medidores e suporemos
que na˜o existe redundaˆncia nas varia´veis medidas, isto e´ posto(C) = ny.
Observe que, se o nu´mero de sensores for igual ao nu´mero de varia´veis de estado
(ny = n), e as medidas efetuadas na˜o sa˜o redundantes (a matriz C e´ invers´ıvel) enta˜o
podemos determinar o estado atrave´s da relac¸a˜o alge´brica x(t) = C−1y(t). No entanto,
na grande maioria dos casos na˜o dispomos de sensores para todas as varia´veis de estado
e nesses casos temos ny < n implicando que a matriz C na˜o e´ mais invers´ıvel e portanto
na˜o mais podemos encontrar o estado atrave´s da relac¸a˜o alge´brica acima. A soluc¸a˜o
nesses casos e´ obter uma estimativa xf (t) do sinal x(t) atrave´s de um filtro dinaˆmico
cujas entradas sa˜o os sinais conhecidos do sistema y(t), u(t) e cuja sa´ıda e´ a estimativa
xf (t), como ilustra a figura 1.
1Como mencionado anteriormente os me´todos de projeto de controladores que utilizam as varia´veis
de estado estimadas sera˜o estudados em experieˆncias posteriores.
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A representac¸a˜o de estados desse filtro e´ indicada abaixo.
x˙f (t) = Afxf (t) +Bfu(t) +Kfy(t) (2)
onde as matrizes Af , Bf , Kf devem ser determinadas tais que as seguintes condic¸o˜es
xf (t)
estimador
y(t)
u(t)
Figura 1: Diagrama de blocos de um estimador de estado.
sejam satisfeitas:
(i) A estimativa xf (t) deve convergir para x(t) em regime permanente, i.e.
lim
t→∞
(x(t)− xf (t)) = 0
(ii) A dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o e(t) = x(t) − xf (t) deve depender apenas da
condic¸a˜o inicial e(0) = x(0)− xf (0).
Um filtro que satisfaz as condic¸o˜es acima e´ denominado de observador de Luenberger.
O observador e´ denominado de ordem completa quando o estado xf (t) do observador
possui dimensa˜o igual a do estado x(t) que se deseja estimar.
O requisito (i) indica que na˜o existe erro de estimac¸a˜o em regime permanente, en-
quanto (ii) indica que o erro de estimac¸a˜o na˜o depende dos sinais de entrada do filtro
y(t), u(t) e portanto o projeto do observador e da lei de controle ficam independentes.
Para determinar as matrizes do filtro que satisfazem as condic¸o˜es acima, basta calcular
a dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o e(t) = x(t)− xf (t) que nos leva a:
e˙ = x˙− x˙f = Ax+Bu− [Afxf +Bfu+Kfy]
= (A−KfC)x+ (B −Bf )u− Afxf
= (A−KfC)(e+ xf ) + (B −Bf )u− Afxf
= (A−KfC)e+ (B −Bf )u+ (A−KfC − Af )xf (3)
Para que o requisito (i) seja atendido devemos escolher
Af = A−KfC , Bf = B (4)
que resulta na seguinte dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o
e˙ = (A−KfC)e (5)
e num filtro, conhecido como observador de Luenberger de ordem completa, dado pela
equac¸a˜o abaixo e ilustrado na figura 2.
x˙f (t) = (A−KfC)xf (t) + Bu(t) +Kfy(t) (6)
Por outro lado para que o requisito (ii) seja atendido devemos escolher a matriz Kf ,
conhecida como ganho do observador, de tal forma que os autovalores da matriz A−KfC,
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+
xf
u(t)
y(t)
x˙f
+
1
s
A−KfC
+
B
Kf
Figura 2: Observador de ordem completa para o sistema (1).
que define a dinaˆmica do erro de acordo com (5), tenham todos parte real negativa, pois
dessa forma teremos
e(t) = exp{(A−KfC)t}e(0) com lim
t→∞
e(t) = 0 ∀e(0)
Te´cnicas para projeto do ganho do observador
O problema que queremos estudar consiste em projetar a matriz Kf de ganho do
observador de tal forma que os autovalores da matriz A − KfC estejam no semi-plano
complexo esquerdo. Observe que este problema e´ similar ao problema de projeto de rea-
limentac¸a˜o de estados estudado nas experieˆncias anteriores, onde apresentamos te´cnicas
para determinar uma matriz K tal que autovalores da matriz A−BK estejam no semi-
plano complexo esquerdo. A u´nica diferenc¸a e´ a localizac¸a˜o das matrizes K e Kf , a
serem determinadas, em relac¸a˜o a`s matrizes constantes B e C e isto impede que as mes-
mas te´cnicas de posicionamento de po´los sejam usadas diretamente. No entanto, essa
dificuldade pode ser eliminada notando que os autovalores de A − KfC sa˜o os mesmos
da sua transposta A′ −C ′K ′f onde agora K ′f e K aparecem na mesma posic¸a˜o. Portanto
podemos estabelecer a seguinte correspondeˆncia:
projeto de
controlador
↔ projeto de
observador
A ↔ A′
B ↔ C ′
K ↔ K ′f
A tabela acima indica que se definirmos um sistema de controle auxiliar fict´ıcio, chamado
de sistema dual, na forma
e˙d = A
′ed + C ′ud , ud = −K ′fed (7)
onde ed, ud sa˜o o estado dual e controle dual, respectivamente, podemos utilizar as mesmas
te´cnicas da experieˆncia anterior para encontrar a matrix de ganho Kf tal que o sistema
dual acima em malha fechada A′ − C ′K ′f seja esta´vel.
Note que controlabilidade no sistema dual (7) significa observabilidade do par (A,C)
que indica observabilidade do sistema original. Isto decorre do fato de que a matriz de
controlabilidade do par (A′, C ′) e´ a transposta da matriz de observabilidade do par (A,C).
Projeto por alocac¸a˜o de po´los
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Para determinac¸a˜o de Kf via alocac¸a˜o de po´los, sabemos que o par (A
′, C ′) precisa ser
controla´vel, ou de forma equivalente (A,C) observa´vel. Os resultados da experieˆncia 4
se aplicam diretamente para a soluc¸a˜o do problema fict´ıcio de controle por realimentac¸a˜o
de estados do sistema dual (7).
Exemplo: Considere o problema de projetar um observador para o sistema x˙ =
Ax+Bu, onde o vetor de medidas e´ y = Cx sendo
A =
[
0 1
0 0
]
, B =
[
0
1
]
, C =
[
1 0
]
Queremos que os po´los de malha fechada do sistema sejam {−3,−6}. Calcularemos a
matriz de ganho Kf do observador usando os me´todos SISO e MIMO de forma ana´loga
ao exemplo de realimentac¸a˜o de estados.
Me´todo para sistemas SISO:
Equac¸a˜o caracter´ıstica desejada:
(s+ 3)(s+ 6) = s2 + 9s+ 18 = 0⇒ α1 = 9
α2 = 18
Equac¸a˜o caracter´ıstica de malha aberta:
det(sI − A′) =
∣∣∣∣ s 0−1 s
∣∣∣∣ = s2 ⇒ a1 = 0a2 = 0
Ca´lculoda matriz de ganho
K ′f =
[
α2 − a2 α1 − a1
]
T−1 =
[
18 9
] [ 0 1
1 0
]
=
[
9 18
]
Note que A′, C ′ na˜o se encontram na forma canoˆnica de controlabilidade Ac, Bc e por
isso a transformac¸a˜o T = McM
−1
cc se faz necessa´rio. Note que Mc =
[
C ′ A′C ′
]
= I2
para este exemplo e Mcc e´ a matriz e´ a matriz de controlabilidade do sistema na forma
canoˆnica de controlabilidade.
Me´todo para sistemas MIMO:
[
A′ − λiI2 −C ′
]
gi =
[ −λi 0 −1
1 −λi 0
]
gi = 0
Os autovetores associados aos autovalores λ1 = −3 e λ2 = −6 sa˜o g1 =
[
1 −1/3 3 ]′
e g2 =
[
1 −1/6 6 ]′.
Desta forma, temos:
[
g1 g2
]
=
 1 1−1/3 −1/6
3 6
 = [ V
G
]
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Assim, K ′f = GV
−1 =
[
9 18
]
.
Exerc´ıcio 1: Considere o sistema
A =
[
1 1
0 0
]
B =
[
0
1
]
x =
[
x1
x2
]
(8)
e suponha que dispomos de medidores apenas para um dos estados.
(a) Encontre qual estado devemos medir para que o sistema seja observa´vel.
(b) Projete um observador de ordem completa para estimar o estado do sistema. Utilize
os me´todos para sistemas MIMO e SISO.
Exerc´ıcio 2: Resolver os exerc´ıcios sobre observadores do livro [2].
Exerc´ıcios para simulac¸a˜o
1. Escolha um ponto de equil´ıbrio para os sistema de 4 tanques e projete um observador
de estados de ordem completa para o sistema em malha aberta, isto e´ u(t) = 0.
Verifique que para xf (0) = x(0), teremos erro nulo para todo instante de tempo.
2. Repita a experieˆncia anterior, considerando condic¸o˜es iniciais diferentes para o ob-
servador e o sistema (suponha xf (0) = 0). Observe a dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o
em duas situac¸o˜es: i) constantes de tempo do erro de estimac¸a˜o duas vezes mais
ra´pidas que as do sistema de malha aberta; ii) constantes de tempo do erro de
estimac¸a˜o 10 vezes mais ra´pidas que as do sistema em malha aberta. Analise os
resultados obtidos.
3. Repita o item anterior considerando agora a existeˆncia de ru´ıdos de medida. Con-
sidere condic¸o˜es iniciais nulas do observador e do sistema e observe que nessas
condic¸o˜es o erro de estimac¸a˜o e´ o pro´prio estado estimado. Analise o efeito dos
seguintes sinais de ru´ıdos nos medidores:
i) um sinal r(t) aleato´rio de me´dia nula e variaˆncia 0.5 em cada medidor; comente
a influeˆncia do ganho do observador na variaˆncia do estado estimado2.
ii) um sinal s(t) senoidal com frequ¨eˆncia ajusta´vel. Como voce explicaria a ate-
nuac¸a˜o do ru´ıdo nas altas frequeˆncias e a amplificac¸a˜o da variaˆncia do erro de
estimac¸a˜o provocada pelo ganho do observador ?.
4. Como o erro de estimac¸a˜o na˜o depende do sinal de controle, aplique um degrau
unita´rio nos dois canais de controle u(t). Suponha que os ganhos dos atuadores
k1, k2 na˜o sejam bem conhecidos mas pertencentes ao intervalo 3 ≤ ki ≤ 4. Seria
poss´ıvel obter erro nulo nesse caso? A dinaˆmica do erro de estimac¸a˜o ainda e´
independente do sinal de controle?
2Para o ca´lculo da variaˆncia exporte a varia´vel desejada para o ambiente de trabalho do matlab e use
a func¸a˜o ”var.m”
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Refereˆncias
[1] Karl Henrik Johansson, The Quadruple-Tank Process: A Multivariable Laboratory Process
with an Adjustable Zero,IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNO-
LOGY, VOL. 8, NO. 3, MAY 2000.
[2] K.Ogata, ”Engenharia de controle moderno”, Prentice Hall do Brasil, 2a
¯
edic¸a˜o, 1990.
[3] U. Mackenroth, ”Robust Control Systems”, Springer Verlag, Berlin, 2004.
[4] J.J.D’Azzo, C.H.Houpis, ”Ana´lise e projeto de sistemas de controle lineares”, Editora
Guanabara, 1988.
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