Econometria de Séries Temporais

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Econometria de Séries Temporais
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF)
FACULDADE DE ECONOMIA (FE)
Econometria 3
Rogério Silva de Mattos, D.Sc.
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O COMEÇO
Box e Jenkins (1970) – processos estocásticos não-estacionários/integrados (Modelos ARIMA)
Granger e Newbold (1974) – Econometria clássica não vale se variáveis do modelo são séries temporais não-estacionárias (Regressões Espúrias)
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CORRELAÇÃO ESPÚRIA
Venda de azeite de dendê em Salvador
Consumo de Chimarrão em Porto Alegre 
Mera Coincidência
Fator Comum
Y
X
N
Causalidade
X
Y
X
Y
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REGRESSÃO ESPÚRIA
Experimento de Granger e Newbold (1974)
Se  = = 1
Yt e Xt NÃO estacionárias
 R2 altos e DW baixos
 Alta chance de rejeitar H0: b = 0
 Razão t não segue t de Student
 Estatística F não segue distrib. F
Quero estimar :
Assumindo
que:
*
MENSAGEM FUNDAMENTAL
Econometria 
Clássica
Econometria 
Clássica OK
ESTACIONARIEDADE
NÃO
ESTACIONARIEDADE
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COMO PROCEDER ?
Remover tendência (Detrending)?
Pode não resolver !!!  Tendência estocática
Diferenciar até estacionariedade?
Perda de informação de longo prazo (t. econômica) !!!
O que fazer ?
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ECONOMETRIA DE ST
Teoria da Cointegração
Verificar Estacionariedade (Testes de Raízes Unitárias)
Séries Estacionarias, usar econometria clássica
Séries Não estacionárias, verificar Cointegração
Séries Cointegradas – modelo de correção de erros
Séries Não cointegradas – modelo sem correção de erros
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ESTACIONARIEDADE
X
NÃO-ESTACIONARIEDADE
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DEFINIÇÃO
Processo NÃO Estacionário Yt
Processo Estacionário Fraco Yt
Alguém depende do tempo
(Média e/ou Variância e/ou Autocovariância)
Média, Variância e Autocovariância constantes
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EXEMPLOS
Estacionário
Não Estacionário
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Exemplos
MAIS DEFINIÇÕES
Processo integrado de ordem d ou I(d) – precisa ser diferenciado “d” vezes para ficar estacionário
Processo estacionário é I(0)
 ( “Não Integrado”)
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RAÍZES UNITÁRIAS
 Processo I(1)
Yt = (1-B)Yt ~I(0)  1 raiz unitária
 Processo I(2)
2Yt = (1-B)2Yt=(1-B)(1-B)Yt ~I(0)  2 raízes unitárias
 Processo I(d)
dYt = (1-B)dYt=(1-B)(1-B)…(1-B)Yt ~I(0)  d raízes unitárias
*
POR QUE “RAÍZES UNITÁRIAS”?
Onde:
Polinômio expandido AR para Yt possui:
 p raízes fora do círculo unitário (estacionariedade)
 d raízes unitárias (não estacionariedade)
Logo:
ARIMA(p,d,q) p/Yt:
 = 
ARMA(p,q) p/dYt:
*
PROCESSO AR(1)
 Se |  | < 1, Yt é um processo estacionário
 Se |  | ≥ 1 Yt é um processo não estacionário
  = 1 Yt é um passeio aleatório
 |  | > 1 Yt é um processo explosivo
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EXEMPLOS DE AR(1)
Estacionário
I(1)
I(0)
Não Estacionário
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PROCESSO DE RAIZ UNITÁRIA
SEM CONSTANTE
COM DESLOCAMENTO (DRIFT)
*
PASSEIO ALEATÓRIO
PURO
COM DESLOCAMENTO (DRIFT)
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Processo MEMÓRIA CURTA: Um choque repercute por pouco tempo sobre a série. Esta tende a voltar para sua média. Choque transiente. 
Exemplo:
MEMÓRIA
(Nelson e Plosser, 1982)
Processo MEMÓRIA LONGA: Um choque repercute permanentemente sobre a série. Esta não tende a voltar para algum lugar. Choque permante. 
Exemplo:
 Para desenvolver a intuição, brinque com o arquivo AR1.XLS
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TIPOS DE TENDÊNCIAS
DETERMINÍSTICA
DETERMINÍSTICA
+
ESTOCÁSTICA
ESTOCÁSTICA
*
TENDÊNCIAS E DIFERENÇAS ESTACIONÁRIAS
TENDÊNCIA ESTACIONÁRIA
Tend. Determinística + processo I(0)
Obs: Tendência estacionária “puxa” a série. Diferença estacionária c/cte “empurra”.
DIFERENÇA ESTACIONÁRIA
Sem constante
Com constante
*
RESUMINDO
Processo Estacionário
Não integrado ou I(0)
Sem raízes unitárias
Sem tendência estocástica
Memória curta
Choque Transiente
Processo Não Estacionário
Integrado ou I(d), d > 0
d raízes unitárias
Tendência estocástica (com ou sem tendência determinística)
Memória longa
Choque Permanente
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TESTES DE RAÍZES UNITÁRIAS
*
 Processo AR(1) Estacionário (b=0,||<1) : 
 Diferença Estacionária (=b=0,=1) : 
 Diferença Estacionária c/cte (b=0,=1) : 
 Tendência Estacionária (b0, ||<1):
 (ou Tendência Estacionária)
 OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte
 OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte
JUNTANDO TUDO
*
 Processo AR(1) Estacionário (b=0,-2<<0) : 
 Diferença Estacionária s/cte (=b==0) : 
 Diferença Estacionária c/cte (b==0) : 
 Tendência Estacionária (b0,-2<<0):
 
 OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte
 OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte
MUDANDO UM POUCO
Onde  =  - 1
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TESTE DE DICKEY FULLER
H0:  = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)
H1:   0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
Regra de Decisão:
Estatística de teste Tau:
 Se   Valor crítico C  Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)
 Se  < Valor crítico C  Rejeita H0 (Yt É estacionário)
Escolha do nível de significância  
1)
2)
3)
4)
Equação Geral
de Teste
*
DICKEY FULLER
Versão 1
 H0:  = 0 
 isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica
 H1:   0 
 isto é: Yt = Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma
 Estatística de teste Tau:
Sem intercepto ou termo de tendência na equação
de teste
*
DICKEY FULLER
Versão 2
 H0:  = 0 (e  = 0: ver tabela ADF em Dickey Fuller (1981))
 isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica
 H1:   0 (e  ≠ 0)
 isto é: Yt =  +Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma 
 (mas com intercepto)
 Estatística de teste TauU:
Com intercepto apenas na equação de teste
*
 H0:  = 0 (e b = 0)
 isto é: Yt =  + t ; tend. determinística + tend. estocástica
 H1:   0 (b ≠ 0)
 isto é: Yt =  +bt+Yt-1+t; tendência determinística apenas
 (tendência estacionária)
 Estatística de teste TauTau:
DICKEY FULLER
Versão 3
Com intercepto e termo 
de tendência na
equação de Teste
Obs: É possível ainda testar H0:b==0 (tendência estocástica apenas) usando a estatística 3 que segue a distribuição F (ver Enders, p. 181)
*
Extraído de Dickey e Fuller (1981) “Likelihood ratio statistics for autorregressive time series 
with a unit root. Econometrica 49 (4). pp.1057-1072
*
RESUMO DO TESTE ADF
*
TESTE DE DICKEY-FULLER
AUMENTADO
Faz-se o mesmo teste de hipóteses do slide anterior
Valores defasados Yt-s incluídos para eliminar autocorrelação serial de t (se houver)
Lag máximo p tem de se determinar antes (minimza-se o critério AIC ou BIC)
Eviews usa valores críticos e valores-p com base em MacKinon (1996)
*
VALORES CRÍTICOS 
 DO TESTE ADF
Fonte: Tabela A
de Enders (2004), 
Baseada em Fuller(1976)
*
TESTE ADF SAZONAL
Exemplo para o caso trimestral
 Usam-se os mesmos valores críticos do teste ADF
 Caso de Sazonalidade Estocástica: ver Enders (2005)
*
TESTE DE PHILLIPS-PERRON
H0:  = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)
H1:   0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
Regra de Decisão:
Estatística de teste Z:
 Se   Valor crítico C  Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)
 Se  < Valor crítico C  Rejeita H0 (Yt É estacionário)
Escolha do nível de significância  
1)
2)
3)
4)
Equação Geral
de Teste
*
TESTE PP 
DIFERENÇAS (1)
ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído
Não tem lags defasados de Yt
Versão 1
Versão 2
Versão 3
NAS 3 VERSÕES
S: erro-padrão do estimador de MQO de 
S2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco
2Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído
*
TESTE PP DIFERENÇAS (2)
Esta fórmulaé um estimador consistente de 2
 Chamada Estimador do espectro na frequência 0
 Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:
Barttlet
Parzen
Newey-West
l é o parâmetro de largura de banda
*
TESTE DE PHILLIPS-PERRON
H0:  = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)
H1:   0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
Regra de Decisão:
Estatística de teste Z:
 Se   Valor crítico C  Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)
 Se  < Valor crítico C  Rejeita H0 (Yt É estacionário)
Escolha do nível de significância  
1)
2)
3)
4)
Equação Geral
de Teste
*
TESTE PP 
DIFERENÇAS (1)
ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído
Não tem lags defasados de Yt
Versão 1
Versão 2
Versão 3
NAS 3 VERSÕES
S: erro-padrão do estimador de MQO de 
S2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco
2Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído
*
TESTE PP DIFERENÇAS (2)
ût p/(t = 1,...,T) são os resíduos da regressão de teste em qq versão
Esta fórmula é um estimador consistente de 2
Chamada Estimador do Espectro na Frequência 0
 Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:
Barttlet
Parzen
Newey-West
l é o parâmetro de largura de banda
*
TESTE DF-GLS
H0:  = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)
H1:   0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
Regra de Decisão:
Estatística de teste Tau:
 Se   Valor crítico C  Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)
 Se  < Valor crítico C  Rejeita H0 (Yt É estacionário)
Escolha do nível de significância  
1)
2)
3)
4)
Equação Geral
de Teste
Porém computada a partir da estimação da equação de teste por MQG (GLS)
*
TESTE DF-GLS
DIFERENÇAS (1)
Os erros ut seguem um AR(p)
Na versão 1 a estatística-tau é a mesma do teste ADF
Na versão 2 e na versão 3 a estatística-tau é computada a partir da regressão da equação de teste por GLS
Vantagem do teste DF-GLS vs ADF e PP
Poder do teste DF-GLS é maior sob erros AR(p)
*
TESTE DF-GLS
DIFERENÇAS (2)
Uso de variável Ytd (livre da constante e/ou da tendência) no lugar de Yt na equação de teste
Versão 3: cômputo por GLS de:
Versão 2: cômputo por GLS de:
Estimação por MQO de:
(sem constante e tendência)
Onde (seja na versão 2 ou na versão 3):
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COINTEGRAÇÃO
*
RECAPITULANDO …
Econometria clássica não é valida quando as séries são NÃO estacionárias
Em particular, se as séries NÃO estacionárias forem independentes, obtém-se regressões espúrias
Diferenciar séries até estacionariedade não resolve, perde-se informações de longo-prazo
O que fazer ? …. Teoria da Cointegração
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HISTÓRICO
Granger (1983) – introduz o conceito de cointegração na literatura
Granger e Engle (1987) – estabelecem relação entre cointegração e o modelo de correção de erros
Década de 90 – proliferam trabalhos teóricos e empíricos
2003 – Granger e Engle ganham o Prêmio Nobel de Economia !!!
*
CONCEITOS INICIAIS
Sejam 2 séries não estacionárias:
Seja a regressão:
 Yt e Xt serão cointegradas se t ~ I(0)
 Yt e Xt serão NÃO cointegradas se t ~ I(1)
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IMPLICAÇÕES
Se Y e X são cointegradas, então: 
tendência estocástica comum
tendências estocásticas se cancelam mutuamente
relação de equilíbrio no longo prazo
relação de curto prazo (?)
Desvios no equilíbrio de longo prazo são transientes
A regressão de Y contra X não é espúria
Se Y e X NÃO são cointegradas, então:
tendências estocásticas são independentes 
Só relação de curto prazo
Desvios não tendem a se corrigir, são persistentes
A regressão de Y contra X é espúria
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ILUSTRANDO
t passeio aleatório ~I(1)
t ruído branco ~I(0)
Cointegração
Não Cointegração
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Xt ~ I(0) então a+bXt ~ I(0)
Yt ~ I(0) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(0)
Yt ~ I(1) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(1)
Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) então (em geral) aYt+bXt ~ I(1)
ALGUMAS PROPRIEDADES
DEFINIÇÃO DE COINTEGRAÇÃO: Se Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) ,
e existir uma combinação linear aYt+bXt ~ I(0), então Yt e Xt são cointegradas.
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Computar a regressão cointegrante
Aplicar teste ADF sobre os resíduos
TESTE DE COINTEGRAÇÃO
(Engle e Granger, 1987)
H0:  = 0 (Y e X NÃO SÃO cointegradas)
H1:  < 0 (Y e X SÃO cointegradas)
Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)
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OBSERVAÇÕES
Se X e Y forem cointegradas:
a regressão cointegrante NÃO é ESPÚRIA !! 
MQO aplicado à regressão cointegrante (para estimar a e b) são superconsistentes
as razões t são assintoticamente normais
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VALORES CRÍTICOS
Fonte: Tabela C de Enders (2004). Baseada em MacKinnon (1991).
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MODELO DE 
CORREÇÃO DE ERROS
Onde:
Modelo S/
Correção de
Erros
Em caso de NÃO cointegração
Em caso de cointegração
Resíduos da equação cointegrante
Modelo de
Correção de
Erros
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OBSERVAÇÕES
Se as variáveis forem I(0), elas são não cointegradas e estima-se o modelo sem diferenciá-las 
Se Y e X forem I(1) e cointegradas, mas só uma possuír também tendência determinística, deve-se incluir a variável t como explicativa na equação cointegrante
Se Y e X forem I(1) e cointegradas e ambas possuírem tendência determinística, deve-se verificar no teste de cointegração se a série de erros tem tendência determinística também. Se tiver, inclua a variável t como explicativa na equação cointegrante.
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VÁRIAS VARIÁVEIS
Usaremos exemplo da Demanda de E. Elétrica (NT 292/2008 – SRE/ANEEL)
C = consumo de energia elétrica
P = tarifa média de energia elétrica
Y = PIB
EL = estoque de equipamentos elétricos
b1, b2 e b3 – elasticidades do consumo
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MODELO LOG-LOG
Passo 1: Verificar estacionariedade de cada série (logC, logP, logY e logEL) usando o teste ADF
Passo 2: (assumindo que todas são I(1)) realizar o teste de cointegração de Engle e Granger
H0:  = 0 (logC , logP, logY e logEL NÃO SÃO cointegradas)
H1:  < 0 (logC , logP, logY e logEL SÃO cointegradas)
Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)
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ESTIMAÇÃO DO MODELO
Modelo para Séries Estacionárias ou I(0)
Modelo de Correção de Erros (SOB cointegração)
Modelo Sem Correção de Erros (SEM cointegração)
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OBSERVAÇÕES
Se uma série for I(0), não deve ser incluída na equação cointegrante para o teste de cointegração
Mesmo que todas sejam I(1), a cointegração pode envolver todas as quatro variáveis ou apenas um subgrupo delas. Procure fazer o teste de cointegração para os subgrupos também, o que permitirá verificar se alguma série não era para estar na equação cointegrante
Havendo séries I(1), segundo o teste ADF, com tendência determinística e outras também I(1) sem, ponha a variável t na equação cointegrante
Se todas as séries forem I(1), segundo o teste ADF, com tendencia deterministica, verifique no teste de cointegração se ha tendencia determinística tambem nos erros da equação cointegrante. Se houver, inclua a variável t na mesma.
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SAZONALIDADE
Equação cointegrante
Modelo de Correção 
de Erros:
Modelo para Séries 
Estacionárias ou I(0):