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LISTA DE EXERCÍCIOS 3– ÁLGEBRA SUPERIOR I
Unidade 3: Grupos - Definições e exemplos, Homomorfismo e isomorfismo,
grupos cíclicos, Classes laterais e o Teorema de Lagrange.
1. Defina grupo.
Solução: Seja G um conjunto não vazio onde está definida uma operacão entre
pares de G, denotada por:
∗ : G×G −→ G
(x,y) 7−→ x ∗ y
Dizemos que o par (G, ∗) é um grupo se são válidas as seguintes propriedades:
para todo x,y, z ∈ G temos que:
(G1) x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z (associativa).
(G2) ∃e ∈ G tal que x ∗ e = e ∗ x = x (existência do elemento neutro).
(G3) Para cada x ∈ G, ∃x ′ ∈ G tal que x ∗ x ′ = x ′ ∗ x = e ( existência do
elemento inverso).
2. Sejam (G, ∗) um grupo e a ∈ G. O conjunto gerado por a, denotado por, 〈a〉,
é dado por
〈a〉 = {an; n ∈ Z}.
Prove que 〈a〉 é um subgrupo de (G, ∗).
Solução: I. e ∈ 〈a〉, onde e é o elemento neutro de G.
Por definição, a0 = e. Logo, e ∈ 〈a〉.
II. Se x ∈ 〈a〉, então x−1 ∈ 〈a〉, onde x−1 é o elemento inverso de x em G.
Se x ∈ 〈a〉, tem-se que existe r ∈ Z tal que ar = x. Daí,
x−1 = (ar)−1 = a−r ∈ 〈a〉.
1
III. Se x,y ∈ 〈a〉, então x ∗ y ∈ 〈a〉.
Se x,y ∈ 〈a〉 então existem r, s ∈ Z tal que ar = x e as = y. Daí, tem-se que
x ∗ y = ar ∗ as = ar+s ∈ 〈a〉, pois r+ s ∈ Z.
3. Seja Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} o grupo aditivo. Calcule os conjuntos gerados 〈2〉
e 〈3〉.
Solução: (i)
20 = 0
21 = 2
22 = 2+ 2 = 4
23 = 2+ 2+ 2 = 6
24 = 2+ 2+ 2+ 2 = 8 = 0
〈2〉 = {0, 2, 4, 6}
(ii)
30 = 0
31 = 3
32 = 3+ 3 = 6
33 = 3+ 3+ 3 = 9 = 1
34 = 3+ 3+ 3+ 3 = 12 = 4
35 = 3+ 3+ 3+ 3+ 3 = 15 = 7
36 = 3+ 3+ 3+ 3+ 3+ 3 = 18 = 2
37 = 3+ 3+ 3+ 3+ 3+ 3+ 3 = 21 = 5
〈3〉 = Z8
4. Conisere o grupo aditivo Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e responda os itens abaixo:
(a) Para cada x ∈ Z7 calcule o conjunto gerado por x, 〈x〉.
(b) Existe x ∈ Z7 tal que 〈x〉 possui 5 elementos?
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Solução: (i)
〈0〉 = {0}
〈x〉 = Z7, ∀x ∈ Z7, x 6= 0.
(ii) Não existe x ∈ Z7 tal que 〈x〉 possua 5 elementos.
5. Complete (preencha) a tábua da operação definida sobre cada um dos seguintes
conjuntos a seguir, sabendo que em cada tabela tem-se que o conjunto munido
da sua respectiva operação é um grupo. Verifique se é um grupo abeliano (basta
verificar se a tabela é simétrica com respeito a diagonal principal da mesma,
ou seja, se os elementos simétricos com relação a diagonal principal são iguais):
(a) (Z∗5, ·) onde Z∗5 = {1, 2, 3, 4} com a operação de multiplicação.
· 1 2 3 4
1
2 3
3 1
4 1
(b) (Z2 × Z2,+) onde Z2 × Z2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} com a operação
usual de adição.
+ (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1)
(0, 0)
(0, 1) (0, 0) (1, 1)
(1, 0)
(1, 1) (0, 0)
6. Calcule a ordem dos elementos dos grupos do item a) da questão anterior. A
ordem de x ∈ G, (G, ∗) grupo, é O(x) = n, onde n é o menor inteiro positivo,
tal que xn = e, com xn = x ∗ x ∗ · · · ∗ x︸ ︷︷ ︸
n vezes
.
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x 1 2 3 4
O(x)
7. Seja (G, ∗) um grupo, com elemento neutro e. Para todo a ∈ G, existe a ′ ∈ G
tal que a ∗ a ′ = a ′ ∗ a = e (a ′ é o inverso de a em (G, ∗), isto é, com respeito
a operação ∗), é costume denotar a ′ por a−1. Prove que:
(a) Seja θ ∈ G. Se a ∗ θ = a, para algum a ∈ G, então θ = e. (O elemento
neutro e de um grupo (G, ∗) é único).
Solução:
θ = e ∗ θ = (a−1 ∗ a) ∗ θ = a−1 ∗ (a ∗ θ) = a−1 ∗ a = e,
onde a−1 é o inverso de a relativo à operação ∗.
(b) Sejam a,β ∈ G. Se a ∗ β = e, então β = a−1. (O elemento simétrico de
cada elemento a de um grupo (G, ∗) é único).
Solução:
β = e ∗ β = (a−1 ∗ a) ∗ β = a−1 ∗ (a ∗ β) = a−1 ∗ e = a−1.
(c) Prove que e = e−1.
Solução: Fica a cargo do aluno.
(d) Para todo a ∈ G, tem-se que (a−1)−1 = a.
Solução: Fica a cargo do aluno.
(e) Sejam a,b, x ∈ G. Se a ∗ x = b, então x = a−1 ∗ b.
Solução:
x = e ∗ x = (a−1 ∗ a) ∗ x = a−1 ∗ (a ∗ x) = a−1 ∗ b.
(f) Para quaisquer que sejam a,b ∈ G, então (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.
Solução: Fica a cargo do aluno. (Use a unicidade do elemento simétrico).
(g) Sejam a, x,y ∈ G. Se a ∗ x = a ∗ y, então x = y. Ou, se x ∗ a = y ∗ a,
então x = y. (Todo elemento de G é regualar para a operação ∗).
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Solução: Note que se a = e, não há o que fazer. Assim, se a ∗ x = a ∗ y
x = e∗x = (a−1∗a)∗x = a−1∗(a∗x) = a−1∗(a∗y) = (a−1∗a)∗y = e∗y = y.
ou, se x ∗ a = y ∗ a
x = x∗e = x∗(a∗a−1) = (x∗a)∗a−1 = (y∗a)∗a−1 = y∗(a∗a−1) = y∗e = y.
8. Responda:
(a) Seja (G, ∗) um grupo. Dê uma condição suficiente e necessária para que
um subconjunto H ⊂ G (H 6= ∅) seja um subgrupo de (G, ∗).
Solução: H é subgrupo de (G, ∗) se, e somente se, para quaisquer a,b ∈
H, tem-se que (a ∗ b−1) ∈ H.
(b) Verifique se o subconjunto S = {x ∈ Q∗; x > 0} é subgrupo do grupo
multiplicativo (Q∗, ·).
Solução: Dados quaisquer x,y ∈ S, tem-se que x > 0, y > 0 e y−1 > 0,
onde y−1 (é o inverso com relação a operação multiplicação em Q∗). Daí,
x · y−1 > 0, isto é, x · (y−1) ∈ S.
(c) Mostre que S = {cos(α) + i.sen(α); α ∈ R} é um subgrupo do grupo
multiplicativo (C∗, ·).
Solução: Dados quaisquer u, v ∈ S, u = cos(α)+ i.sen(α) e v = cos(β)+
i.sen(β), temos que
u · v−1 = [ cos(α) + i.sen(α)].[cos(β) − i.sen(β)] =
= cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β) +
[
sen(α) cos(β) − cos(α)sen(β)
]
.i =
= cos(α− β) + i.sen(α− β)⇒ (u · v−1) ∈ S
onde u−1 (é o inverso com relação a operação multiplicação em C).
9. Seja (G, ∗) um grupo. Mostre que:
(a) Se S1 e S2 são subgrupos de G, então S = S1∩S2 é um subgrupo de (G, ∗).
Solução: Dados a,b ∈ S, temos que a,b ∈ S1 e a,b ∈ S2. Como S1 e S2
são subgrupos de S, então a ∗ b−1 ∈ S1 e a ∗ b−1 ∈ S2. Daí, a ∗ b−1 ∈ S.
Logo, S = S1 ∩ S2 é um subgrupo de G.
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(b) Seja a ∈ G. Mostre que o conjunto N(a) = {x ∈ G; x ∗ a = a ∗ x} é um
subgrupo de G.
Solução: Dados x,y ∈ N(a), temos que x ∗ a = a ∗ x e y ∗ a = a ∗ y.
Vamos mostrar que (x ∗ y−1 ′) ∈ N(a). De fato, primeiro observe que
y−1 ∈ N(a), pois
a ∗ y−1 = e ∗ (a ∗ y−1) = (e ∗ a) ∗ y−1 = ((y−1 ∗ y) ∗ a) ∗ y−1 =
=
(
y−1 ∗ (y ∗ a)) ∗ y−1 = (y−1 ∗ (a ∗ y)) ∗ y−1 = y−1 ∗ ((a ∗ y) ∗ y−1) =
= y−1 ∗ (a ∗ (y ∗ y−1)) = y−1 ∗ (a ∗ e) = y−1 ∗ a.
Daí,
(x ∗ y−1) ∗ a = x ∗ (y−1 ∗ a) = x ∗ (a ∗ y−1) = (x ∗ a) ∗ y−1 =
= (a ∗ x) ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1).
Portanto, x ∗ y−1 ∈ N(a) e isto prova que N(a) é um subgrupo.
(c) Seja a ∈ G. Mostre que o conjunto Z(G) = {x ∈ G; x∗y = y∗x; ∀y ∈ G}
é um subgrupo de G.
Solução: Fica a cargo do aluno.
10. Construa o seguinte subgrupo: 〈i〉 em (C∗, ·), onde (C∗, ·) grupo multiplicativo
dos complexos não-nulos, onde 〈i〉 = {in; n ∈ Z}.
Solução: Pelo Algoritmo da Divisão em Z, para todo n ∈ Z, tem-se que
n = 4q+ r, com 0 6 r < 4 ou r = 0, 1, 2, 3. Daí,
in = i4q+r = i4q.ir = (i4)q.ir = 1q.ir = ir.
Assim,
i4q+0 = i0 = 1
i4q+1 = i1 = i
i4q+2 = i2 = −1
i4q+3 = i3 = i2.i = −1.i = −i
Portanto, para todo n ∈ Z,
〈i〉 = {in; n ∈ Z} = {−i,−1, 1, i}.
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11. Seja (G, ∗) um grupo e a ∈ G. Se O(a) = 2, ∀a ∈ G com a 6= e, então G é
abeliano. O(a) = 2 significa que a2 = e, com a2 = a ∗ a.
Solução: De fato, como a2 = e, ∀a ∈ G, temos que a = a−1, ∀a ∈ G. Daí, se
x,y ∈ G então
(x ∗ y)2 = e⇔ (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) = e⇔ x−1 ∗ (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) = x−1 ∗ e⇔
⇔ e ∗ y ∗ (x ∗ y) = x−1 ∗ e⇔ y ∗ (x ∗ y) = x−1 ∗ e⇔
⇔ y−1 ∗ y ∗ (x ∗ y) = y−1 ∗ (x−1 ∗ e)⇔ x ∗ y = y−1 ∗ x−1 ⇔ x ∗ y = y ∗ x.
12. Responda:
(a) Dados dois grupos (G, ∗) e (H, #), e uma função f : (G, ∗) −→ (H, #)
de G em H. Sejam eG e eH os respectivos elementos neutros de G e H.
Defina homomorfismo entre dois grupos (G, ∗) e (H, #).
Solução: Uma aplicação f : (G, ∗) −→ (H, #) é um homomorfismo de
(G, ∗) em (H, #) quando
f(x ∗ y) = f(x)#f(y), ∀ x,y ∈ G.
(b) Mostre que f : C∗ −→ R∗+ dada por f(z) = |z| é um homomorfismo, entre
os grupos multiplicativos (C∗, ·) e (R∗+, ·) ,onde se z = a + b.i, então
|z| =
√
a2 + b2.
Solução: Fica a cargo do aluno.
(c) Seja a ∈ Z. Mostre que a função f : Z −→ Z dada por f(n) = a.n é um
homomorfismo entre o mesmo grupo aditivo (Z,+).
Solução: Ficaa cargo do aluno.
(d) Seja m ∈ Z, m > 1. Mostre que a função p : Z −→ Z dada por p(a) = a
é um homomorfismo sobrejetor entre os grupos aditivos (Z,+) e (Z,+).
Solução: Fica a cargo do aluno.
(e) Mostre que f : Z −→ C∗ dada por f(n) = in é um homomorfismo, entre
o grupo aditivo (Z,+) e o grupo multiplicativo (C∗, ·).
Solução: Fica a cargo do aluno.
13. Sejam (G, ∗) e (H, #) dois grupos, e f : (G, ∗) −→ (H, #) uma aplicação.
Responda:
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(a) Seja f : (G, ∗) −→ (H, #) um homomorfismo. Defina o núcleo de f.
Solução: O núcleo de f é o conjunto dado por N(f) = {x ∈ G; f(x) = eg}.
(b) Determine o núcleo do homomorfismo f : Z −→ Z dado por f(n) = a · n.
Solução: Fica a cargo do aluno.
(c) Determine o núcleo do homomorfismo f : C∗ −→ R∗+ dado por f(z) = |z|.
Solução: Fica a cargo do aluno.
(d) Determine o núcleo do homomorfismo f : Z −→ C∗ dado por f(n) = in.
Solução: Fica a cargo do aluno.
14. Considere os grupos (R,+) e (R∗+, ·) e a aplicação f : (R,+) −→ (R∗+, ·) defi-
nida por f(x) = ex. Mostre que f é um isomorfismo, isto é, é um homomorfismo
bijetivo. (Dica: para mostrar a injetividade de f basta mostrar que N(f) = {0},
onde 0 é o elemento neutro de (R,+) e 1 é o elemento neutro de (R∗+, ·).
Solução:
(i) Homomorfismo
f(x+ y) = e(x+y) = ex.ey = f(x).f(y), ∀x,y ∈ R.
(ii) Injetivo
f(x) = f(y)⇔ ex = ey ⇔ ex.e−y = 1⇔ ex−y = 1⇔ x− y = 0⇔ x = y.
(iii) Sobrejetivo De fato, dado y ∈ (R∗+, ·), y > 0, daí existe x ∈ (R,+) tal
que ex = y, basta tomar x = ln(y) ∈ R, pois y > 0.
15. Defina sobre R2\{(0, 0)} a operação ⊕ dada por
(a,b)⊕ (c,d) = (ac− bd,ad+ bc) para quaiquer, (a,b), (c,d) ∈ R2.
Mostre que (R2,⊕) é um grupo abeliano.
Solução: Para mostrar que o conjunto acima com a operação dada é um grupo
abeliano devemos provar que a operação acima satisfaz a associatividade, a
existência da identidade, a existência do inverso e a comutatividade.
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Vamos verificar a associatividade, dados (a,b), (c,d) e (e, f) ∈ R2 temos que
((a,b)⊕ (c,d))⊕ (e, f) = (ac− bd,ad+ bc)⊕ (e, f)
= ((ac− bd) · e− (ad+ bc) · f, (ac− bd) · f+ (ad+ bc) · e)
= (a(ce− df) − b(cf+ de),a(cf+ de) + b(ce− df))
= (a,b)⊕ (ce− df, cf+ de)
= (a,b)⊕ ((c,d)⊕ (e, f))
Isto prova a associatividade. Observe que e = (1, 0) é a identidade pois
(a,b)⊕ (1, 0) = (1, 0)⊕ (a,b) = (a,b).
Dado (a,b) 6= (0, 0) o elemento inverso é dado por
( a
a2 + b2
,−
b
a2 + b2
)
.
Agora vamos verificar a comutatividade,
(a,b)⊕ (c,d) = (ad− bc,ad+ bc) = (c,d)⊕ (a,b).
Como verificamos todas as propriedades segue que o conjunto acima é um grupo
abeliano.
16. Enuncie o teorema de Lagrange ( este teorema nos dá uma informação interes-
sante sobre os subgrupos de um grupo finito).
Solução: O teorema de Lagrange nos diz que a quantidade de elementos de
qualquer subgrupo (ordem do subgrupo) de um grupo finito é um divisor da
quantidade de elementos do grupo (ordem do grupo).
17. Seja G um grupo G de ordem pn, onde p é um número primo positivo e n > 1
natural. Mostre que a ordem de qualquer subgrupo de G é uma potência de p.
Solução: Note que os divisores de pn são da forma pk com 0 6 k 6 n pois
p é primo. Portanto, segue do teorema de Lagrange que a ordem de qualquer
subgrupo de G é uma potência de p.
18. Quais são os subgrupos do grupo aditivo (Z8,+)?
Solução: Pelo teorema de Lagrange as possíveis ordens dos subgrupos de
(Z8,+) são 1, 2, 4 e 8. Note que
S = {0} é o único subgrupo com apenas um elemento.
S1 = {0, 4} é o único subgrupo com dois elementos.
S2 = {0, 2, 4, 8} é o único subgrupo com 4 elementos.
Z8 é o subgrupo com 8 elementos.
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19. Quais são os subgrupos do grupo aditivo (Z2×Z2×Z2,+), onde Z2×Z2×Z2 =
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}, com a ope-
ração usual de adição? r.
Solução: Pelo teorema de Lagrange os possíveis subgrupos do grupo aditivo
Z2×Z2×Z2 devem ter n elementos, onde n é divisor de 8 (|Z2×Z2×Z2| = 8
elementos). Portanto, os possíveis valores que n pode assumir são 1, 2, 4 e 8.
n Subgrupo
1 {(0, 0, 0)}
2 {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}, {(0, 0, 0), (1, 0, 0)}, ...
4 Não possui
8 Z2 × Z2 × Z2
Encontre todos os subgrupos de ordem 2.
Bom Trabalho!
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