Resistência dos Materiais

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Educação a Distância
GRUPO
Caderno de Estudos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 Prof. Felipe Ratajenski
UNIASSELVI
2009
NEAD
Copyright  UNIASSELVI 2009
Elaboração:
Prof. Felipe Ratajenski
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo Da Vinci - UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
UNIASSELVI – Indaial.
620.112 
R433r Ratajenski, Felipe .
 Caderno de estudos : Resistência dos Materiais I / 
 Felipe Ratajenski, Centro Universitário Leonardo Da
 Vinci. – Indaial : ASSELVI, 2009.
 x ; 133 p. : il.
 Inclui bibliografia.
 ISBN 978-85-7830-173-6
 1. Resistência de Materiais – Engenharia 2. Torção 
 I. Ratajenski, Felipe II Centro Universitário Leonardo Da
 Vinci. Núcleo de Ensino a Distância. II. Título.
CENTRO UNIVERSITÁRIO
LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040, Bairro Benedito
89130-000 - INDAIAL/SC
www.uniasselvi.com.br
APRESENTAÇÃO
Prezados(as) acadêmicos(as)!
A resistência dos materiais é o ramo da Mecânica que estuda as relações entre cargas 
externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro 
do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo de deformação do corpo e o estudo de sua 
estabilidade, quando ele está sujeito a forças externas.
Estudamos, na Física e na Mecânica, equações da estática baseadas nas leis de 
Newton, que nos permitem calcular o equilíbrio de corpos rígidos, porém não levamos em 
consideração as propriedades dos materiais que compõem estes corpos, assim como não 
consideramos as suas características geométricas. Em resistência dos materiais, utilizaremos 
este conhecimento da estática que possuímos para determinar forças e reações a elas, que 
atuam sobre elementos mecânicos e estruturais, mas estaremos focados nas deformações 
provocadas por elas, e o limite em que estas deformações são admissíveis, sem comprometer 
a estabilidade e segurança das estruturas e mecanismos. Para que esta análise seja possível, 
estudaremos as características mecânicas dos materiais, quando submetidos a esforços 
diversos e as equações que regem o efeito de cada um desses esforços de maneira a relacioná-
las com aplicações práticas da Engenharia. 
Nosso estudo estará baseado então nas forças externas que agem sobre um corpo, 
nas características do material que o compõe, nas características geométricas do mesmo, no 
ambiente em que se encontra e nos critérios de segurança a serem respeitados. Observe que 
muitas fórmulas e procedimentos de projeto, definidos nas normas de engenharia e usados 
na prática, baseiam-se nos fundamentos da resistência dos materiais e, por essa razão, 
compreender os princípios dessa matéria é muito importante.
Portanto, mãos à obra!
Professor Felipe Ratajenski
iiiRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
viRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
UNI
Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. 
Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus 
estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. 
Desejo a você excelentes estudos! 
 UNI
viiRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – ESTUDO DAS TENSÕES ........................................................................... 1
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS 
ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS ................................................ 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 3
2 CASO GERAL DA LEI DE HOOKE ................................................................................. 3
3 MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) .................................................................................. 8
4 ENERGIA DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA ..................................................................... 9
5 RESILIÊNCIA, TENACIDADE, DUCTILIDADE, FRAGILIDADE ...................................11
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................... 12
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 13
TÓPICO 2: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A 
ESFORÇO NORMAL ..................................................................................... 15
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 15
2 TIPOS DE ESFORÇOS.................................................................................................. 15
3 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS ....................................................................... 17
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO/COMPRESSÃO SIMPLES ................... 17
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................... 22
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 23
TÓPICO 3: VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO SEGUNDO 
CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS .................................................... 25
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 25
2 TIPOS DE CARGAS ...................................................................................................... 25
2.1 CARGA ESTÁTICA...................................................................................................... 25
2.2 CARGA INTERMITENTE ............................................................................................ 26
2.3 CARGA ALTERNADA .................................................................................................. 26
3 TENSÃO ADMISSÍVEL .................................................................................................. 27
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................... 29
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 30
TÓPICO 4: ESTADO DE CISALHAMENTO PURO ......................................................... 31
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 31
2 TENSÃO DE CISALHAMENTO ..................................................................................... 31
3 TENSÕES DE CISALHAMENTO SIMPLES .................................................................. 32
4 TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO ..................................................................... 32
5 DIMENSIONAMENTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO ..................................... 33
RESUMO DO TÓPICO 4 ................................................................................................... 35
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 36
TÓPICO 5: TORÇÃO E CISALHAMENTO ....................................................................... 39
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 39
2 DEFINIÇÕES.................................................................................................................. 39
3 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA CIRCULAR .................................... 40
4 A FÓRMULA DE TORÇÃO ............................................................................................46
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................ 49
RESUMO DO TÓPICO 5 ................................................................................................... 50
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 51
AVALIAÇÃO ...................................................................................................................... 52
UNIDADE 2 – ESTUDO DA FLEXÃO .............................................................................. 53
TÓPICO 1: FLEXÃO ......................................................................................................... 55
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 55
2 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO .................................................................................. 56
3 FORÇA CORTANTE Q .................................................................................................. 56
3.1 VIGAS HORIZONTAIS ................................................................................................ 57
3.2 VIGAS VERTICAIS ...................................................................................................... 57
4 MOMENTO FLETOR M ................................................................................................. 57
4.1 MOMENTO POSITIVO ................................................................................................ 57
4.2 MOMENTO NEGATIVO .............................................................................................. 58
5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO .............................................................................. 58
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................... 66
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 67
TÓPICO 2: EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA ................................................................ 69
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 69
2 VARIÁVEIS DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA ..................................................... 69
3 CONDIÇÕES DE CONTORNO ...................................................................................... 70
4 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA POR INTEGRAÇÃO .......... 71
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................... 82
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 83
TÓPICO 3: ESTUDO DA FLAMBAGEM .......................................................................... 87
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 87
2 FLAMBAGEM ................................................................................................................ 87
3 CARGA CRÍTICA ........................................................................................................... 88
4 COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM .................................................................. 88
5 ÍNDICE DE ESBELTEZ ( λ ) .......................................................................................... 89
6 TENSÃO CRÍTICA ......................................................................................................... 89
7 FLAMBAGEM NAS BARRAS NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES 
 ELASTOPLÁSTICAS .................................................................................................. 90
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................ 92
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................... 94
viiiRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ixRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 95
AVALIAÇÃO ...................................................................................................................... 97
UNIDADE 3 – COMBINAÇÃO DOS ESFORÇOS ............................................................ 99
TÓPICO 1: ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO GERAL DE TENSÕES ...................... 101
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 101
2 TRANSFORMAÇÃO NO ESTADO PLANO DE TENSÕES ........................................ 101
3 OS DIFERENTES ESTADOS DE TENSÃO NUM PONTO ......................................... 102
4 EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PARA O ESTADO 
PLANO ......................................................................................................................... 105
5 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO .... 106
6 CÁLCULO DAS TENSÕES PRINCIPAIS .................................................................... 109
RESUMO DO TÓPICO 1 ..................................................................................................116
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................117
TÓPICO 2: CÍRCULO DE MOHR ....................................................................................119
1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................119
2 TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHR ...........................................................................119
3 TENSÕES PRINCIPAIS ............................................................................................... 121
4 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO .............................................. 122
5 TENSÕES NUM PLANO QUALQUER ........................................................................ 122
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 124
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 125
TÓPICO 3: ESFORÇOS COMBINADOS ....................................................................... 127
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 127
2 COMBINAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES ........................................................................ 127
3 MÉTODO DE ANÁLISE ............................................................................................... 129
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 130
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 131
AVALIAÇÃO .................................................................................................................... 132
REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 133
 
xRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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UNIDADE 1
ESTUDO DAS TENSÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 Após o estudo desta unidade, o acadêmico estará apto a:
	classificar e interpretar as propriedades mecânicas de 
materiais elásticos, inelásticos e plásticos, que definem suas 
características de resistência;
	entender o conceito de Tensão. Identificar os tipos de esforços 
e suas respectivas tensões;
	dimensionar uma peça estrutural ou elemento mecânico,adequando a tensão de operação para a tensão admissível, 
levando em consideração todos os fatores que podem 
comprometer a resistência de um elemento mecânico.
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO 
MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, 
INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
TÓPICO 2 – TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS 
SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO 
NORMAL
TÓPICO 3 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E 
DIMENSIONAMENTO SEGUNDO CRITÉRIO 
DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
TÓPICO 4 – ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
TÓPICO 5 – TORÇÃO E CISALHAMENTO
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em cinco tópicos. No final de 
cada um deles, você encontrará atividades que contribuirão para sua 
reflexão e análise dos estudos já realizados.
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INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO 
MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, 
INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 1
Quando falamos em propriedades mecânicas de um material, estamos nos referindo 
ao comportamento deste uma vez sujeito a um esforço mecânico, ou seja, como se comporta 
determinado material em termos de deformação quando sofre um impacto ou quando uma 
força o comprime ou traciona. São muitos os tipos de esforços mecânicos a que um elemento 
mecânico pode estar sujeito e estes podem agir isoladamente ou combinados. Sabemos, 
pela prática do dia a dia, que materiais distintos reagem de forma distinta a um mesmo tipo de 
esforço mecânico. Por exemplo, se compararmos o material “vidro” com “borracha”, podemos 
perceber que o primeiro é menos resistente ao impacto do que o segundo. Porém, se o critério 
for resistência ao desgaste devido a uma força de atrito, a situação se inverte e o vidro se 
demonstra mais resistente do que a borracha.
No estudo da resistência dos materiais, os grandes norteadores 
dessas propriedades são as características elásticas de cada tipo de 
material, obtidas empiricamente por ensaios em laboratórios. Estas 
características serão apresentadas neste primeiro capítulo e um bom 
entendimento deste assunto é de fundamental importância para o 
andamento das atividades que seguem no estudo dessa disciplina.
2 CASO GERAL DA LEI DE HOOKE
Vamos voltar um pouco no tempo e relembrar o que aprendemos no estudo da Física 
lá no ensino médio, quando estudamos o comportamento das molas, estando estas sujeitas 
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à ação de uma força, seja ela de tração ou compressão. Três variáveis estavam envolvidas 
nos cálculos: “F” força que comprime ou traciona a mola; “K“ constante elástica da mola e “x“ 
deformação linear da mola. Estas estão relacionadas matematicamente na seguinte equação:
F=-K.x
Onde: F – Newton (N)
K – Newtons por metro (N/m)
x – metros (m)
 
A variável “K” representa a característica elástica da mola, ou seja, quanto ela se deforma 
linearmente, sujeita à ação de determinada força. 
A lei de Hooke descreve a relação linear entre a força e a deformação da mola, sendo 
estas diretamente proporcionais, quando atuam dentro do limite de proporcionalidade da 
mola, ou seja, sem que haja deformação plástica. Quando retirada a ação da força, a mola 
retornaria à sua condição inicial. Veja o gráfico a seguir, neste aparecem alguns termos que 
serão estudados mais adiante. A lei de Hooke abrange este gráfico somente até o ponto A, 
dentro do limite de proporcionalidade.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001, p. 98.
Sendo: ponto O - Início de ensaio carga nula;
 ponto A - Limite de proporcionalidade;
 ponto B - Limite superior de escoamento;
 ponto C - Limite inferior de escoamento;
 ponto D - Final de escoamento início da recuperação do material;
FIGURA 1 – ENSAIO DE TRAÇÃO
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 ponto E - Limite máximo de resistência;
 ponto F - Limite de ruptura do material.
UNI
Conversar com o aluno: no estudo da resistência dos materiais, 
analisamos não mais o comportamento de uma mola, mas o de um 
elemento mecânico estático ou dinâmico, em que uma força é aplicada 
em uma secção deste provocando uma tensão, razão de uma força por 
uma área, e que provocará determinada deformação, de acordo com as 
características elásticas do material que o compõe. Estas características 
estarão determinadas não mais por um coeficiente de mola “k” como 
doravante citado e sim pelo módulo de elasticidade “E”. Temos, então, a 
mesma lei de Hooke, agora aplicada sob um novo foco e cujas variáveis 
passam a ser Tensão, Módulo de Elasticidade e Deformação unitária.
Após uma série de experiências, o cientista inglês Robert Hooke, no ano de 1678, 
constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga normal, sofre 
variação na sua dimensão linear inicial, bem como na área da secção transversal inicial. Ao 
fenômeno da variação linear, Hooke denominou alongamento, constatando que:
• quanto maior a carga normal aplicada e o comprimento inicial da peça, maior o alongamento, 
e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do material médio, através do 
seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando daí a equação:
Onde: ∆l- Alongamento da peça (m;.......);
 σ- Tensão normal (Pa;.......);
 F - Carga normal aplicada (N;.......);
 A -Área da secção transversal (m2;.........);
 E - Módulo de elasticidade do material (Pa;........);
 l - Comprimento inicial da peça (m;.........).
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O alongamento será positivo quando a carga aplicada tracionar a peça, e será negativo 
quando a carga aplicada comprimir a peça.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde: ∆l - Alongamento da peça (m;.......);
 L - Comprimento inicial da peça (m;........);
 lƒ - Comprimento final da peça (m;.......). 
Deformação longitudinal (ε) :
 
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento (µ.c) de uma 
peça submetida à ação de carga axial.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Deformação transversal (εt)
Determina-se através do produto entre a deformação unitária (ε) e o coeficiente de 
Poisson (ν).
FIGURA 2 – DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL
FIGURA 3 – FÓRMULA E EXEMPLO DE DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL (ε)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001 
Razão ou coeficiente de Poisson
 Sabemos que, além da deformação dos materiais na direção da tensão normal aplicada, 
outra propriedade marcante pode ser observada em todos os materiais sólidos, a saber, a 
expansão ou contração lateral (transversal) que ocorre perpendicularmente a direção da tensão 
aplicada. Esse fenômeno está ilustrado na figura (5a), cujas deformações aparecem exageradas.
UNI
Conversar com o aluno: para maior clareza pode-se reescrever assim 
o fenômeno: se um corpo sólido for submetido à tensão axial, ele se 
contrai lateralmente. Por outro lado, se ele for comprimido, o material se 
expande para os lados. Com isso em mente, as direções das deformações 
laterais são facilmente determinadas, dependendo do sentido da tensão 
normal aplicada.
FIGURA 4 – FÓRMULA E EXEMPLO DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
A relação entre o valor absoluto da deformação na direção laterale a deformação na 
direção axial, é a razão ou coeficiente de Poisson, isto é:
Pela experiência, sabe-se que o valor ν flutua para diferentes materiais, numa faixa 
relativamente estreita. Geralmente, está na vizinhança de 0,25 a 0,35. Em casos extremos, 
ocorrem valores baixos, como 0,1 (alguns concretos) e elevados, como 0,5 (borracha). O 
último valor é o maior possível para materiais isotrópicos, e é normalmente alcançado durante 
o escoamento plástico significando constância de volume.
3 MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)
Um fio metálico submetido a um esforço de tração sofre uma deformação que consiste no 
aumento de comprimento e em uma contração de sua secção. Suponhamos que o aumento de 
comprimento é o efeito dominante, sobretudo no fio grande e de pequena secção. Estudaremos 
o comportamento elástico dos fios, aquele em que existe uma relação de proporcionalidade 
entre a força F aplicada ao fio e o incremento ∆L de seu comprimento, ou então entre o esforço 
F/S e a deformação unitária ∆L/L0.
FIGURA 5 – ILUSTRAÇÃO DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde S é a secção do fio S=Pi r2, e Y é uma constante de proporcionalidade, característica 
de cada material que é denominado módulo de elasticidade ou módulo de Young. O quadro a 
seguir apresenta valores de E para alguns materiais:
FONTE: Autor
4 ENERGIA DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
Já foi visto que a ação de qualquer força sobre um corpo altera sua forma, isto é, 
provoca uma deformação.
FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO DE ELASTICIDADE (E)
QUADRO 1 – VALORES DE ELASTICIDADE PARA ALGUNS MATERIAIS (E)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Por este gráfico, nota-se que a carga aplicada cresce uniformemente de zero até um 
certo P. Este esforço despendido realiza um trabalho que é armazenado sob forma de energia 
potencial de deformação e desenvolvido quando o corpo de prova readquire a forma primitiva. 
Se a carga for aplicada lenta e gradualmente até o valor P inferior ao limite de elasticidade, 
o trabalho armazenado é medido pela área do triângulo hachurado em figura. Logo:
Quando a carga P atinge o limite de elasticidade, a energia armazenada pela peça 
sem sofrer deformações permanentes é a máxima. Conclui-se que uma carga aplicada 
repentinamente produz um esforço interno duas vezes maior do que aplicado lenta e 
gradualmente. Nestes casos, o fator de segurança deverá ser o dobro.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 7 – GRÁFICO ILUSTRANDO O LIMITE DE ELASTICIDADE
FIGURA 8 – EXEMPLO DE LIMITE DE ELASTICIDADE E FATOR DE SEGURANÇA
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Evidenciar um erro comum:
1° - Não confundir resiliência com rigidez ou resistência. 
Resistência é a capacidade de um corpo de resistir à ação de forças, 
rigidez é a capacidade de um corpo de resistir às deformações e a 
resiliência é a resistência aos choques.
2° - Os materiais de pequena resiliência são chamados frágeis 
enquanto os de grande resiliência são chamados tenazes.
5 RESILIÊNCIA, TENACIDADE, DUCTILIDADE, 
FRAGILIDADE
Neste item, veremos que, conforme as características elásticas de cada material, o 
mesmo será classificado como dúctil ou frágil.
Palavras como ductilidade e fragilidade serão muito utilizadas no decorrer 
do nosso estudo. Portanto, é de suma importância o entendimento 
desses termos.
Aproveitamos este momento também para definir em que consiste a resiliência e a 
tenacidade. Portanto:
Materiais Dúcteis: Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes 
da ruptura é chamado de material dúctil. O aço doce é um exemplo. Os engenheiros escolhem 
materiais dúcteis para o projeto, porque são capazes de absorver choques ou energia e, quando 
sobrecarregados, exibem, em geral, grande deformação antes de falhar.
Materiais Frágeis: São materiais que se rompem antes de se deformarem de forma significativa, 
ou seja, após a fase elástica, vem o rompimento sem que haja nenhuma ou muito pouca 
deformação plástica. Exemplo: Concreto.
Resiliência: É a resistência aos choques, ou seja, a capacidade de absorver energia mecânica 
durante um choque. Quanto maior o índice de resiliência de um material, maior é a capacidade 
do material de resistir a um impacto.
Tenacidade: A tenacidade está diretamente relacionada à resiliência e indica a medida da 
quantidade de energia que um material pode absorver antes de fraturar.
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, vimos que:
	As propriedades mecânicas dos materiais serão os grandes balizadores do nosso estudo por 
definir as características de resistência de cada material.
	A lei de Hooke descreve a relação linear entre a força e a deformação de um corpo, sendo 
elas diretamente proporcionais quando atuam dentro do limite de proporcionalidade.
	Esforços de tração e compressão provocam deformações longitudinais e transversais e a 
relação entre as duas é equacionada pelo coeficiente de Poisson.
	O módulo de elasticidade consiste em uma aplicação da lei de Hooke à resistência dos 
materiais, relacionando tensão x deformação. 
	A resiliência é uma característica que define a capacidade de um determinado material 
absorver energia de impacto.
	Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes da ruptura é 
chamado de material dúctil.
	Materiais Frágeis são materiais que se rompem antes de se deformarem de forma significativa.
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Ao final deste tópico, para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva 
as questões que seguem. 
1 O corpo de prova de alumínio, mostrado na figura a seguir, tem um diâmetro do=25 
mm e um comprimento nominal Lo=250 mm. Se uma força de 165 KN alonga o 
comprimento em 1,2 mm, determine o módulo de elasticidade do material.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 9 – ILUSTRAÇÃO - CORPO DE PROVA - PARA O EXERCÍCIO
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TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM 
CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A 
ESFORÇO NORMAL
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 1
No estudo da Física, vimos o efeito de uma força que age sobre um corpo sem que 
ocorram deformações e sem levar em consideração as suas características geométricas. Em 
resistência dos materiais, precisamos saber o efeito desta força quando atua em uma secção do 
corpo, que pode ser quadrada, circular, maciça ou vazada etc. Para isto, utilizamos o conceito 
de tensão que representa a intensidade de força aplicada por unidade de área. Os tipos de 
esforços que geram estas tensões e a sua classificação serão o objeto de estudo deste tópico.
2 TIPOS DE ESFORÇOS
A resistência dos materiais é, na verdade, um conjunto de capítulos, divididos em função 
do tipo de esforço que possa vir a comprometer a peça ou estrutura em questão. Para nós, é 
importante, então, o conhecimento de todos os esforços existentes e as respectivas tensões 
a serem consideradas em cada caso. A princípio, será feito um comentário geral sobre cada 
tipo de esforço, ficando sua análise detalhada nos capítulos seguintes.
Esforço de TRAÇÃO - esforço que tende a esticar ou alongar o corpo/estrutura em questão.Trata-se de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE TRAÇÃO
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Esforço de COMPRESSÃO - esforço que tende a “empurrar” ou encurtar o corpo/estrutura em 
questão. Trata-se também de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente 
é a tensão normal.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Esforço de CISALHAMENTO - esforço que tende a cortar ou cisalhar o corpo/estrutura em 
questão. Trata-se de um esforço transversal (perpendicular ao eixo) e a tensão correspondente 
é a tensão tangencial.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Esforço de FLEXÃO - esforço que tende a flexionar ou encurvar uma viga/eixo em questão. 
Trata-se de um esforço normal (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal 
(trata-se, na verdade, de uma combinação dos esforços de tração e compressão, conforme 
se verá mais adiante).
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Esforço de TORÇÃO - esforço que tende a girar uma secção transversal em relação a outra 
adjacente de um eixo de transmissão. Trata-se de um esforço tangencial (perpendicular ao 
eixo) e a tensão correspondente é a tensão tangencial.
FIGURA 11 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE COMPRESSÃO
FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE CISALHAMENTO
FIGURA 13 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE FLEXÃO
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
3 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS
Genericamente, pode-se definir “tensão” como a resistência interna de um corpo a uma 
força externa aplicada sobre ele, por unidade de área.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde: p = tensão total resultante, atuante sobre a secção transversal considerada
 σ= componente de “p”, normal ao plano – TENSÃO NORMAL
 τ= componente de “p”, tangente ao plano – TENSÃO TANGENCIAL
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO/
COMPRESSÃO SIMPLES
Agora que já vimos os tipos de esforços e a classificação das tensões, em normais 
e tangenciais, estamos prontos para estudar cada uma destas separadamente, focando em 
suas peculiaridades e métodos analíticos para cálculo dos efeitos produzidos por cada uma. 
FIGURA 14 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE TORÇÃO
FIGURA 15 – REPRESENTAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS
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Iniciamos este estudo com as tensões normais de tração e compressão. Quanto às 
deformações causadas por este tipo de tensão, já tivemos uma introdução quando vimos a 
lei de Hooke. 
Tensão Normal σ
A carga normal F, que atua na peça, origina nesta uma tensão normal que é 
determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a área da secção 
transversal da peça.
Onde: σ- tensão normal (Pa)
 F - força normal ou axial (N)
 A - área da secção transversal da peça (m2)
Unidade de Tensão no SI (Sistema Internacional)
A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N atuando sobre 
uma superfície de 1m2.
FONTE: Autor
Como a unidade pascal é infinitesimal, utiliza-se com freqüência os 
seus múltiplos: 
MPa (mega pascal) = 106 Pa, 
kPa (quilo pascal) = 103 Pa
FIGURA 16 – REPRESENTAÇÃO DA UNIDADE DE TENSÃO NO SI 
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A unidade MPa (mega pascal, corresponde à aplicação de 106 N (um milhão de newtons) 
na superfície de um metro quadrado (m2). Como m2 = 106 mm2, conclui-se que:
MPa corresponde à carga de 1N atuando sobre a superfície de 1mm2.
Podemos verificar então que esforços de tração e compressão geram tensões normais, 
porém seus efeitos são contrários, como veremos a seguir:
•	Tração: devido a um esforço de traça, o elemento tracionado deverá sofrer um alongamento 
no sentido tracionado (longitudinal) e uma diminuição da secção transversal. O quanto este 
corpo deforma vai depender de suas características elásticas (módulo de elasticidade) e da 
intensidade da tensão. A relação entre a deformação longitudinal e transversal será dada 
pelo coeficiente de Poisson, doravante citado quando estudamos a lei de Hooke.
•	Compressão: devido a um esforço de compressão, o elemento deve ter diminuição de sua 
dimensão longitudinal com aumento da secção transversal. O quanto este corpo deforma 
vai depender de suas características elásticas (módulo de elasticidade) e da intensidade da 
tensão. A relação entre a deformação longitudinal e transversal será dada pelo coeficiente 
de Poisson, doravante citado quando estudamos a lei de Hooke.
Em termos analíticos, utilizamos as seguintes equações para fins de determinar 
deformações e/ou dimensionar um elemento:
σ = E. ε
Veremos agora alguns exemplos de aplicação destas equações:
Exemplo 1 
Um fio de comprimento 30 cm e diâmetro 1 mm foi submetido ao ensaio de tração e com 
uma carga de 40 Kg e se obteve um alongamento total de 0,08 cm. Calcular o alongamento 
unitário, alongamento porcentual, tensão e módulo de elasticidade.
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a. Alongamento unitário e percentual:
b. Tensão:
a. Módulo de elasticidade:
Exemplo 2: 
Escolher a corrente destinada a resistir uma carga intermitente de 1 t. Material: aço 
ABNT 1040.
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Exemplo 3: 
Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030, destinado a manter suspenso 
um peso de 200 Kg.
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RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, vimos que:
	Diversos tipos de esforços serão objeto de nosso estudo ao longo da disciplina. São eles: 
tração, compressão, torção, flexão e cisalhamento.
	Estes esforços provocarão uma tensão considerada na secção transversal. A tensão 
provocada é dada pela relação entre a força e a área da secção e sua unidade no S.I é o 
Pascal.
	De acordo com a direção de atuação dos esforços, as tensões são classificadas em Normal 
e Tangencial.
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Para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões a seguir:
1) No dispositivo em figura, a bucha é de aço ABNT 1010 e o parafuso de aço ABNT 1030. 
Calcular os diâmetros do, e D quando a porca exerce uma força axial de 2t e d=20mm.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 17 – EXEMPLO DEMONSTRATIVO PARA O EXERCÍCIO
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VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E 
DIMENSIONAMENTO SEGUNDO CRITÉRIO 
DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 1
Para fins de projeto de uma peça estrutural ou elemento mecânico, temos como obter 
em tabelas a tensão de resistência do material que o compõe, determinada por ensaios em 
laboratório, com corpos de prova devidamente normatizados. Porém, na prática, algumas 
condições de fabricação, funcionamento e ambiente em que estão inseridos diferem das 
condições ensaiadas em laboratórios. Portanto, devemos adequar a tensão de operaçãopara 
uma tensão que chamamos de tensão admissível, para cada caso em particular, de forma a 
garantir que fatores particulares a cada situação não comprometam a resistência do elemento 
em questão. Para isto, utilizamos o coeficiente de segurança representado pela letra “K”.
Na definição do coeficiente de segurança a ser aplicado, levamos em consideração 
os processos de fabricação das peças, a forma com que a carga é aplicada, o ambiente de 
operação, dentre outros fatores. Estes fatores são sobrepostos através do produto de valores 
que representa o quanto cada um desses afeta a resistência do material. Para um bom 
entendimento, faremos agora uma breve distinção entre as formas que um carregamento pode 
se apresentar, tornando- se mais ou menos crítica para cada situação em particular.
2 TIPOS DE CARGAS
Agora você estudará os tipos de cargas, as quais podem ser: carga estática, carga 
intermitente e carga alternada.
2.1 CARGA ESTÁTICA
A carga é aplicada na peça e permanece constante.
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
2.2 CARGA INTERMITENTE
Neste caso, a carga é aplicada gradativamente na peça, fazendo com que o seu esforço 
atinja o máximo, utilizando, para isso, um determinado intervalo de tempo. Ao atingir o ponto 
máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo de tempo utilizado para se 
atingir o máximo, fazendo com que a tensão atuante volte a zero. E assim sucessivamente. 
Ex.: o dente de uma engrenagem.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
2.3 CARGA ALTERNADA
Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de máximo positivo para máximo 
negativo ou vice-versa, constituindo-se uma situação muito crítica para o material.
FIGURA 18 – REPRESENTÇÃO GRÁFICA DA CARGA ESTÁTICA
FIGURA 19 – REPRESENTÇÃO GRÁFICA DA CARGA INTERMITENTE
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
3 TENSÃO ADMISSÍVEL
Para determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias apresentadas, 
deverá ser utilizada a expressão a seguir:
Valores para x (fator de tipo de material)
x = 2 para materiais comuns.
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga.
Valores para y (fator do tipo de solicitação)
y = 1 para carga constante.
y = 1 para carga intermitente.
y = 3 para carga alternada.
Valores para z (fator do tipo de carga)
z = 1 para carga gradual.
z = 1,5 para choques leves.
z = 2 para choques bruscos.
Valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação)
w = 1 a 1,5 para aços e outros materiais.
w = 1,5 a 2 para fofo.
FIGURA 20 – REPRESENTÇÃO GRÁFICA DA CARGA ALTERNADA
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Para carga estática, normalmente, utiliza-se 2≤ k ≤3 aplicado a σe (tensão 
de escoamento do material), para o material dúctil e ou aplicado a σ 
(tensão de ruptura do material) para o material frágil. Para o caso de 
cargas intermitentes ou alternadas, o valor de k cresce como nos mostra 
a equação para sua obtenção.
A tensão admissível é determinada através da relação entre (tensão de escoamento) 
e coeficiente de segurança para os materiais dúcteis, σr (tensão de ruptura) e coeficiente de 
segurança para os materiais frágeis.
Exemplo 1
Um determinado tipo de aço que compõe um elemento de uma máquina possui tensão 
de escoamento de 480 Mpa. Como o mesmo opera com carga intermitente na definição do 
K, temos: 
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga.
y = 1 para carga intermitente.
Portanto: K= x.y = 1,5 . 1,0= 1,5.
A tensão admissível é, então, 480/1,5 = 320 MPa.
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Neste tópico, vimos que:
	Um mesmo tipo de esforço pode ser provocado por cargas atuando de formas diferentes, 
provocando efeitos com maior ou menor impacto sobre a resistência do corpo solicitado. 
Estas são classificadas como estáticas, intermitentes e alternadas.
	As condições de trabalho normalmente diferem das ensaiadas em laboratório. Portanto, 
utilizamos a tensão chamada de tensão admissível para fins de cálculo da resistência de um 
elemento mecânico.
	A tensão admissível é resultado da divisão da tensão de resistência ao escoamento ou à 
ruptura, obtida em ensaios normatizados pelo coeficiente de segurança K.
	O coeficiente de segurança K é obtido a partir do produto de valores que representam a 
influência de fatores como: processo de fabricação, tipo de carga, ambiente de trabalho, 
dentre outros que podem comprometer a resistência de um elemento mecânico.
RESUMO DO TÓPICO 3
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Exercite seus conhecimentos, resolvendo as questões a seguir:
1) Determine o diâmetro da barra de aço 1 indicada na figura a seguir. A barra está presa 
ao solo no ponto C e sujeita as forças mostradas. Admita que o material possui as 
seguintes características: σ(adm)=220 Mpa; fator falha de fabricação = 1; material 
comum; carga constante e gradual.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
2) A barra rígida AB mostrada na figura a seguir é suportada pela barra de alumínio AC, 
que está acoplada por meio de pinos. Determine o diâmetro da barra de alumínio e 
dos pinos, sujeitos a cisalhamento duplo, sabendo que σ(adm) alumínio = 10,6 x 10³ 
Ksi e σ (adm) aço = 29 x 10³ Ksi. Utilize um fator de segurança K = 2 para oalumínio 
e um fator K = 2,5 para o aço.
FIGURA 21 – REPRESENTÇÃO ILUSTRATIVA DE UMA BARRA DE AÇO PARA 
O EXERCÍCIO 
FIGURA 22 – REPRESENTÇÃO ILUSTRATIVA DE UMA BARRA RÍGIDA 
AB, SUPORTADA POR OUTRA BARRA DE ALUMÍNIO AC.
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ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
UNIDADE 1
Nos Tópicos 1, 2, 3 desta unidade, vimos que a tensão pode ser classificada como 
Normal ou Tangencial. Neste tópico, teremos um primeiro contato com as tensões do tipo 
tangencial que, como o próprio nome diz, age tangencialmente na secção transversal, tendendo 
a cisalhar o elemento solicitado. Devemos, neste estudo, observar com atenção qual a área de 
secção transversal que está sendo solicitada bem como se um mesmo elemento está sujeito a 
esforços que tendem a cisalhar em mais de uma secção, situação em que temos que distribuir 
a carga entre as áreas.
2 TENSÃO DE CISALHAMENTO
A tensão de cisalhamento decorre de uma força que tende a cisalhar uma secção. Esta 
age tangencialmente ao plano. Portanto, trata-se de tensão tangencial.
Tensão de Cisalhamento: Age tangencialmente à superfície do material
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos 
e Científicos, 2000.
FIGURA 23 – CONEXÃO PARAFUSADA EM QUE O PARAFUSO É CARREGADO 
POR CISALHAMENTO DUPLO.
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Sob a ação de forças de tração P, a barra e a junta irão exercer uma pressão cortante 
contra o parafuso, e as tensões de contato, chamadas de tensões cortantes, serão criadas. A 
barra e a junta tendem a cisalhar o parafuso (cortá-lo). Essa tendência é resistida por tensões 
de cisalhamento no parafuso.
Tensão Cortante Média
3 TENSÕES DE CISALHAMENTO SIMPLES
O cisalhamento é provocado pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre frequentemente 
em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material desolda etc.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Em casos como este, aplica-se direto a equação:
4 TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO
Neste caso, temos duas secções sendo cisalhadas em um mesmo elemento. Ainda 
é válida a mesma equação, porém temos que ficar atentos para observar que a carga está 
FIGURA 24 – EXEMPLO DE CHAPAS COM ACOPLAMENTOS SIMPLES, USANDO 
PARAFUSOS, PINOS MATERIAL DE SOLDA.
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distribuída em duas secções transversais. Portanto, ao aplicar a equação da tensão, devemos 
duplicar a área ou dividir a carga por dois.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos 
e Científicos, 2000.
Escrevemos, então, a equação da seguinte forma:
Onde “n” representa o número de áreas sujeitas a esforço de cisalhamento.
5 DIMENSIONAMENTO PELA TENSÃO DE 
CISALHAMENTO
Para o dimensionamento de um elemento pela tensão de cisalhamento, utilizamos a 
mesma equação citada e utilizamos a tensão de ruptura do material, lembrando de aplicar o 
coeficiente de segurança sempre que necessário. 
Vejamos um exemplo:
Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 125 kN, aplicada conforme a figura 
a seguir. A junta deverá contar com 5 rebites. τ= 105 MPa; tch = 8mm (espessura das chapas).
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 25 – REPRESENTAÇÃO DE TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO.
FIGURA 26 – ILUSTRAÇÃO DA PROJEÇÃO DE UMA JUNTA 
REBITADA PARA SUPORTE DE CARGA
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Solução: 
a. Cisalhamento nos rebites: Observa- se na figura que a junta é simplesmente cisalhada, 
ou seja, cada rebite sofre cisalhamento na sua respectiva secção AA. Tem- se, então, que:
Como os rebites possuem secção transversal circular, a área do circulo é dada por:
A fórmula da tensão do cisalhamento, então, passa a ser:
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Neste tópico, vimos que:
	A tensão de cisalhamento decorre de uma força que tende a cisalhar uma secção. Esta age 
tangencialmente ao plano. Portanto, trata-se de tensão tangencial.
	A tensão de cisalhamento simples é provocada pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre 
frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material 
de solda etc.
	No caso de cisalhamento duplo, temos duas secções sendo cisalhadas em um mesmo 
elemento.
	Para o cálculo da tensão de cisalhamento, utilizamos a equação: 
	Para o dimensionamento de um elemento pela tensão de cisalhamento, utilizamos a mesma 
equação citada e utilizamos a tensão de ruptura do material, lembrando de aplicar o coeficiente 
de segurança sempre que necessário. 
RESUMO DO TÓPICO 4
UNIDADE 1TÓPICO 436
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Ao final deste tópico, resolva os exercícios a seguir, visando à fixação do 
conhecimento adquirido: 
1) Uma prensa usada para fazer furos em placas de aço é mostrada na Figura 27a. 
Assuma que uma prensa com diâmetro de 0,75 in. é usada para fazer um furo em 
uma placa de ¼ in., como mostrado na vista transversal (Figura 27b). Se uma força 
P=28000 lb é necessária para criar o furo, qual é a tensão de cisalhamento média 
na placa e a tensão de compressão média na prensa?
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
2) O elo do tirante mostrado na figura 28 suporta uma força de 600 Lb, aplicada pelo cabo. 
Se o pino tem um diâmetro de 0,25in, determine a tensão cisalhante média no pino.
FONTE: Autor
FIGURA 27 – ILUSTRAÇÃO PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 1
FIGURA 28 – ILUSTRAÇÃO DE UM ELO TIRANTE PARA 
SUPORTE DO EXERCÍCIO 2
UNIDADE 1 TÓPICO 4 37
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3) A alavanca mostrada na figura é mantida fixa ao eixo através de um pino localizado 
em AB, cujo diâmetro é de 6 mm. Se um homem aplica as forças mostradas na figura 
ao girar a alavanca, determine a tensão cisalhante média no pino na seção entre este 
e a alavanca.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
4) A luminária mostrada na figura a seguir, é suportada pelo pino A, cujo diâmetro é de 1/8” 
in. Se a luminária pesa 4 Lb e o braço AB do suporte pesa 0,5 Lb/ft, determine a tensão 
cisalhante média no pino necessária para suportar a luminária.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
5) A junta mostrada na figura utiliza dois parafusos para unir as placas. Determine o 
diâmetro necessário aos parafusos, considerando que a tensão cisalhante admissível 
τ(adm)=110 MPa. Admita que a carga seja igualmente distribuída entre os parafusos.
FIGURA 29 – ILUSTRAÇÃO DE UMA ALAVANCA FIXA AO UM EIXO POR PINOS 
PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 3
FIGURA 30 – ILUSTRAÇÃO DE UMA LUMINÁRIA FIXA NO PONTO “A”. 
UNIDADE 1TÓPICO 438
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
6) A alavanca mostrada na figura é fixada ao eixo A por uma chaveta de largura d 
e comprimento de 25 mm. Se o eixo está fixo e uma força de 200 N é aplicada 
perpendicularmente à alavanca, determine a dimensão d considerando que a tensão 
cisalhante admissível para o material da chaveta é τ(adm)=35 MPa. 
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Obs:
1ksi= 6,867 MPa
1Ksi= 1000 Psi
Psi= Lb/in.in
1in=2,54 cm
1ft= 12 in
Atividades complementares: Observações: Resolver os exercícios da 
seção de tensão cisalhamento e tensão admissível do livro Resistência 
dos Materiais, do autor, Hibbeler, 2000.
FIGURA 31 – ILUSTRAÇÃO DE PLACAS UNIDAS POR DOIS PARAFUSOS. 
FIGURA 32 – ILUSTRAÇÃO DE UMA ALAVANCA FIXADA A UM EIXO “A”. 
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TORÇÃO E CISALHAMENTO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 5
UNIDADE 1
Neste item, utilizaremos uma linguagem um pouco mais complexa e faremos uso de 
equações diferenciais para justificar alguns conceitos. Vocês serão apresentados também a 
duas características geométricas importantes no que tange a elementos sujeitos a esforços 
que tendem a provocar rotação. São eles o raio de giração e o momento polar de inércia. 
2 DEFINIÇÕES
A torção se refere ao giro de uma barra retilínea, quando carregada por momentos (ou 
torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra. Veja a Figura 33.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 33 – TORÇÃO DE UMA CHAVE DE FENDA DEVIDO A UM 
TORQUE T APLICADO NO CABO.
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Exemplos de barras em torção: Hastes, eixos, eixos propulsores, hastes de direção 
e brocas de furadeiras. Caso idealizado do carregamento de torção:
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Os momentos que produzem giro na barra, como os momentos T1 e T2 da Figura 34, 
são chamados de torques ou momentos torçores.
Os membros cilíndricos submetidos a torques e que transmitem potência através de 
rotação são chamados de eixos.
Ex.: O virabrequim de um automóvel ou o eixo propulsor de um navio. A maioriados 
eixos tem seções transversais circulares, sólidas ou tubulares.
3 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA 
CIRCULAR
Considere uma barra prismática de seção transversal circular girada por torques T 
agindo nas extremidades como na Figura 35.
FIGURA 34 – BARRA SUBMETIDA À TORÇÃO PELO TORQUE T1 E T2.
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Torção Pura: Toda a seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T.
Considerações
Das condições de simetria, as seções transversais da barra não variam na forma 
enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as seções transversais 
permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos. Caso o ângulo de rotação 
entre uma extremidade da barra e outra seja pequeno, nem o comprimento da barra e nem 
seu raio irão variar.
Variáveis: f, φ - Ângulo de torção.
O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ
Se toda a seção transversal da barra tem o mesmo raio e está submetida ao mesmo 
torque (torção pura). O ângulo φ (x) irá variar linearmente. Considere a Figura 36:
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 35 – DEFORMAÇÕES DE UMA BARRA CIRCULAR EM TORÇÃO PURA.
FIGURA 36 – DEFORMAÇÃO DE UM ELEMENTO DE COMPRIMENTO DX EXTRAÍDO 
DE UMA BARRA EM TORÇÃO.
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Os ângulos no canto do elemento, na Figura 36b não são mais iguais a 90º. O elemento 
está em um estado de cisalhamento puro e a magnitude da deformação de cisalhamento γ 
max é igual à diminuição no ângulo no ponto a, isto é, a diminuição no ângulo bad. Da figura, 
vemos que a diminuição nesse ângulo é:
Onde γ max é medido em radianos, bb’ é a distância através da qual o ponto b se move 
e ab é o comprimento do elemento (igual a dx). Com r denotando o raio da barra, podemos 
expressar a distância bb’ como rdφ, em que dφ também é medido em radianos. Dessa maneira, 
a equação anterior fica:
Essa equação relaciona a deformação de cisalhamento na superfície externa da barra 
com o ângulo de torção. A relação dφ/ dx é a razão da variação do ângulo de torção φ em 
relação à distância x medida ao longo do eixo da barra. Vamos denotar dφ/ dx pelo ângulo θ 
e nos referimos a ele como razão de torção ou ângulo de torção por unidade de comprimento.
Equação para deformação de cisalhamento na superfície externa
Torção Pura
• Razão de torção
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• Deformação de cisalhamento
As deformações por cisalhamento no interior da barra podem ser encontradas pelo 
método usado para encontrar a deformação de cisalhamento γ max na superfície externa. 
Como os raios nas seções transversais permanecem retos e não distorcidos durante o giro, 
vemos que a discussão anterior para um elemento abcd na superfície externa (Figura 36 b) 
também se aplica para um elemento similar situado na superfície de um cilindro interno de raio 
ρ , como na Figura 36c. Dessa forma, elementos internos também estão em cisalhamento puro 
com as deformações de cisalhamento correspondentes dadas pela equação:
A Figura 37 apresenta a variação linear na deformação de cisalhamento entre a 
deformação máxima na superfície externa e a deformação mínima na superfície interna. As 
equações para essas deformações são as seguintes:
Considere-se que r1 e r2 são raios interno e externo, respectivamente, do tubo.
Essas equações são válidas para qualquer material, tanto para comportamento elástico 
ou inelástico, linear ou não linear. As equações são limitadas para barras tendo pequenos 
ângulos de rotação e pequenas deformações.
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares
As direções das tensões são determinadas por inspeção como indica a Figura 38.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Como explicado em aulas anteriores, usualmente desenhamos elementos de tensão 
em duas dimensões, como na Figura 38b, mas devemos lembrar que os elementos de tensão 
na realidade são objetos tridimensionais com uma espessura perpendicular ao plano da figura. 
Caso o material seja elástico-linear, podemos usar a lei de Hooke em cisalhamento.
FIGURA 37 – DEFORMAÇÕES DE CISALHAMENTO EM UM TUBO 
CIRCULAR.
FIGURA 38 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA BARRA CIRCULAR EM TORÇÃO.
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Em que G é o módulo de elasticidade de cisalhamento e γ é a deformação de 
cisalhamento em radianos.
Em que τ max é a tensão de cisalhamento na superfície externa da barra (raio r), τ 
é a tensão de cisalhamento em um ponto interior (raio ρ ) e θ é a razão de torção. (Nessas 
equações, θ tem unidades de radianos por unidade de comprimento). As equações acima 
mostram que as tensões de cisalhamento variam linearmente com a distância com o centro da 
barra, como ilustrado pelo diagrama de tensão triangular na Figura 38c. Essa variação linear 
de tensão é uma consequência da Lei de Hooke. As tensões de cisalhamento, agindo num 
plano transversal, são acompanhadas pelas tensões de cisalhamentos de mesma magnitude 
agindo em planos longitudinais como na Figura 39.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente a tensões iguais 
de compressão e tração agindo num elemento orientado num ângulo de 45º. Verifique a Figura 40.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos 
e Científicos, 2000.
FIGURA 39 – TENSÕES DE CISALHAMENTO LONGITUDINAL 
E TRANSVERSAL EM UMA BARRA CIRCULAR 
SUBMETIDA À TORÇÃO.
FIGURA 40 – TENSÕES DE COMPRESSÃO E TRAÇÃO AGINDO EM UM 
ELEMENTO DE TENSÃO ORIENTADO A 45º DO EIXO LONGITUDINAL.
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Se uma barra é feita de um material que é mais frágil em tração do que em cisalhamento, 
a falha irá ocorrer em tração ao longo de uma hélice a 45º do eixo.
4 A FÓRMULA DE TORÇÃO
A distribuição de tensões de cisalhamento agindo em uma seção transversal foi ilustrada 
anteriormente. Como essas tensões agem continuamente ao redor da seção transversal, têm 
uma resultante na forma de um momento – um momento igual ao torque agindo na barra. 
Analise a Figura 41.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
UNI
Conversar com o aluno: Objetivo: Determinar a relação entre as 
tensões de cisalhamento e o torque T.
Força de cisalhamento agindo no elemento da Figura 41.
τdA
Onde τ é a tensão de cisalhamento no raio ρ. O momento elementar dessa força sobre 
o eixo da barra é:
FIGURA 41 – DETERMINAÇÃO DA RESULTANTE DAS TENSÕES 
DE CISALHAMENTO AGINDO EM UMA SEÇÃO 
TRANSVERSAL.
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O momento resultante (igual ao torque) é a soma de todos os momentos elementares 
sobre a área da seção transversal.
Em que
é o momento de inércia polar da seção transversal circular. Para um círculo de raio r, 
e diâmetro do momento de inércia polar é:
Portanto, tem–se a seguinte expressão para a tensão de cisalhamento máxima:
τ= Tr
 Ip
Estaexpressão é conhecida como a fórmula de torção. A tensão de cisalhamento 
máxima é diretamente proporcional ao torque aplicado, T, e inversamente proporcional ao 
momento de inércia polar, I P.
A fórmula aplica-se para barras sólidas e tubos circulares. A tensão de cisalhamento à 
distância ρ do centro da barra é:
Ângulo de Torção 
Para obter o ângulo de torção, utilizamos a seguinte expressão:
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UNI
Em que θ tem unidades de radianos por unidade de comprimento. Essa equação mostra 
que a razão de torção θ é diretamente proporcional ao torque T e inversamente proporcional 
ao produto GIP, conhecido como rigidez de torção da barra. 
O ângulo de torção total para uma barra em torção pura φ =θL.
As mesmas expressões básicas para as tensões de cisalhamento podem ser usadas. 
Logicamente, a distância radial ρ está limitada ao intervalo r1 até r2 , onde r1 é o raio interno 
e r2 é o raio externo da barra, como na Figura 42.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
Momento de Inércia Polar da área de Seção Transversal do Tubo:
Tubos circulares
Conversar com o aluno: Tubos circulares são mais eficientes do que 
barras sólidas. Por quê? (Pense e responda).
FIGURA 42 – MOMENTO DE INÉRCIA POLAR DA ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
DO TUBO
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MEDIDA DO MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)
LEITURA COMPLEMENTAR
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Na figura 43, é mostrado o dispositivo experimental. É empregado um fio de um metro 
de comprimento, disposto horizontalmente fiado por um extremo, enquanto que no outro passa 
por uma polia. Do extremo livre, pendem pesos de 100 g, 250 g ou 500 g. 
Ao colocar pesos sobre o extremo livre do fio, este é esticado e a polia gira um ângulo 
igual a ∆L/r. Sendo r o raio da polia.
Como o alongamento ∆L é pequeno, pode ser medido mediante uma agulha indicadora 
que marca sobre um setor circular cujo raio é R=10·r vezes o raio da polia.
Exemplo:
•	Raio da secção do fio, 0.25 mm 
•	Material, Alumínio 
•	Se colocamos 6 pesos de 250 g no extremo livre do fio 
A força aplicada é F=mg=6·0.25·9.8 N
A leitura na escala graduada semicircular é s=1.19 cm, que corresponde a uma 
deformação de ∆L=1.19 mm.
O quociente entre o esforço e a deformação é o módulo de Young ( E ) Y=6.29·1010 N/m2.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001, p. 98
FIGURA 43 – ILUSTRAÇÃO DE UM DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
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Neste tópico, vimos que:
	A torção se refere ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos (ou torques) 
que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.
	A tensão gerada por um esforço de torção varia de um valor mínimo no centro da secção 
transversal em que o raio de giração é zero até uma tensão máxima na extremidade da 
secção em que o raio de giração é máximo.
	O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ
	Para obter o ângulo de torção, utilizamos a seguinte expressão:
	A chamada fórmula da torção máxima para uma secção circular é dada por: 
τ= T.r/Ip
RESUMO DO TÓPICO 5
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Para exercitar seus conhecimentos, resolva as questões a seguir:
1) Calcular a tensão de cisalhamento máxima de um eixo de 25 mm de diâmetro, 
submetido a 5000 kgf.cm de torque.
2 ) Calcular a tensão máxima e mínima para um eixo vazado de diâmetro externo 25 mm 
e interno 12 mm, quando um momento torçor de 5000 kgf.cm atua sobre o mesmo. 
3) Um momento de torção de 3 KN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze indicado. 
Determinar: a) a máxima tensão de cisalhamento; b) a tensão de cisalhamento no 
ponto D que fica em uma circunferência de 15 mm de raio; c) a parcela do momento 
(%) resistida pelo cilindro interior (imaginário) de 15 mm de raio.
AUT
OAT
IVID
ADE �
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
4) Sabe-se que as tensões admissíveis das barras circulares AB e BC são respectivamente 
83 MPa e 48 MPa. O momento torçor aplicado em A é de 7,5 KN.m. Determinar o diâmetro 
necessário: a) da barra AB; b) da barra BC.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., 
Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 44 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 45 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO
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AVAL
IAÇÃ
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade. 
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UNIDADE 2
ESTUDO DA FLEXÃO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Após o estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto a:
	dimensionar peças submetidas a esforço de flexão, utilizando a 
tensão admissível;
	determinar analiticamente a deflexão e a inclinação em pontos 
específicos de eixos e vigas, levando em consideração como 
os vários tipos de apoio implicam a limitação da inclinação ou o 
deslocamento;
	entender em que consiste uma peça esbelta e sua influência sobre 
a resistência de uma estrutura sujeita à compressão.
TÓPICO 1 – FLEXÃO
TÓPICO 2 – EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
TÓPICO 3 – ESTUDO DA FLAMBAGEM
PLANO DE ESTUDOS
 Esta unidade está dividida em três tópicos, sendo que em cada 
um deles você encontrará atividades que o auxiliarão na apropriação 
do conteúdo apresentado.
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FLEXÃO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 2
Nesta segunda unidade, estudaremos esforços que tendem a provocar efeitos de flexão. 
Este tipo de efeito pode ser proveniente de cargas concentradas ou cargas distribuídas e, ainda, 
combinações destas. Muitos fatores devem ser considerados durante este estudo, tais como: 
tipos de engastes, geometria do corpo, posição relativa entre esforços e secção transversal, 
assim como as características elásticas dos materiais. Precisamos então estabelecer algumas 
convenções quanto a sinais e metodologias de cálculo, para padronizar análises gráficas que 
servirão para perceber como se distribuem estes efeitos ao longo da estrutura de um corpo 
em estudo. 
O esforço de flexão configura-se na peça quando esta sofre a ação de cargas cortantes, 
que venham a originar momento fletor significativo.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 46 – REPRESENTAÇÃO DO ESFORÇO DE FLEXÃO SOBRE UMA PEÇA
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A flexão é denominada simples quando as secções transversais da peça estiverem 
submetidas à ação de força cortante e momento fletor simultaneamente. Exemplos: intervalos 
AC e DB da figura anterior. Neste caso, atuam tensão normal e tensão tangencial.
2 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO
Suponha-se que a figura representada a seguir seja uma peça com secção transversal 
de qualquer comprimento, que encontra-se submetida à flexão pela ação das cargas cortantes 
representadas.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, é determinada 
em relação à fibra, aos distantes da secção transversal através darelação entre o produto 
do momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia 
baricêntrico da secção.
Onde tensão máxima nas fibras comprimidas, também como se convenciona o momento 
fletor nas fibras comprimidas negativo, será sempre < 0 (negativo). Tensão máxima nas fibras 
tracionadas. Como, por convenção, o momento fletor é positivo nas fibras tracionadas, será 
sempre > 0 (positivo).
3 FORÇA CORTANTE Q
A força cortante será positiva quando provocar na peça momento fletor positivo.
FIGURA 47 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO SOBRE UMA PEÇA
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
3.1 VIGAS HORIZONTAIS
Convenciona-se a cortante como positiva aquela que atua à esquerda da secção 
transversal estudada, de baixo para cima.
3.2 VIGAS VERTICAIS
Convenciona-se cortante positiva aquela que atua à esquerda da secção estudada, 
com o sentido dirigido da esquerda para a direita.
4 MOMENTO FLETOR M
O momento fletor pode ser positivo ou negativo.
4.1 MOMENTO POSITIVO
O momento fletor é considerado positivo quando as cargas cortantes atuantes na peça 
tracionam as suas fibras inferiores.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 49 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO FLETOR POSITIVO
FIGURA 48 – REPRESENTAÇÃO DA FORÇA CORTANTE POSITIVA
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4.2 MOMENTO NEGATIVO
O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes na peça 
comprimirem as suas fibras inferiores.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
ATEN
ÇÃO!
Para facilitar a orientação, convenciona-se o momento horário à 
esquerda da secção transversal estudada, como positivo.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO
Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utiliza-se a tensão 
admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, não importando se a 
fibra estiver tracionada ou comprimida.
FIGURA 50 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO FLETOR NEGATIVO
FIGURA 51 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO HORÁRIO À 
ESQUERDA - POSITIVO
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde: σx e σy - tensão normal atuante na fibra mais afastada (PA;.......);
 δ - tensão admissível (PA;N/mm2.......)
 M - momento fletor (Nm; N.mm;.......)
 Wx e Wy - módulo de resistência da secção transversal (m
3; mm3;.....)
 Xmax e Ymax - distância máxima entre LN (linha neutra) e extremidade da secção 
(m; mm;.....)
Exemplos:
Força Cortante Q
Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da peça, 
através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção transversal estudada.
FIGURA 52 – REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA SUBMETIDA A UM 
ESFORÇO DE FLEXÃO
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Momento Fletor M
O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça obtém-se 
através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da secção estudada.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Exemplos de exercícios resolvidos.
1 Determinar as expressões de força cortante (Q) e Momento fletor (M) e construir 
os respectivos diagramas na viga em balanço solicitada pela carga concentrada P atuante na 
extremidade livre, conforme mostra a figura.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001
FIGURA 53 – REPRESENTAÇÃO DE FORÇA CORTANTE ATUANDO SOBRE 
SECÇÃO TRANSVERSAL DA PEÇA
FIGURA 54 – REPRESENTAÇÃO DE UM MOMENTO FLETOR ATUANTE 
SOBRE UMA SECÇÃO TRANVERSAL DA PEÇA 
FIGURA 55 – REPRESENTAÇÃO PARA AUXÍLIO NO ENTENDIMENTO DO 
EXERCÍCIO
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Solução:
a) Através da variável x, estudam-se todas as secções transversais da viga, da extremidade 
livre ao engastamento. O momento fletor máximo ocorrerá no engastamento, ou seja, para 
o maior valor de x.
b) Expressões de Q e M
 Q = - P M = - P . x
Obs:
c) Construção dos diagramas
A equação da Q é uma constante negativa; portanto, o diagrama será um segmento de 
reta paralela à linha zero da Q. A distância entre a linha zero da Q e a linha limite inferior do 
diagrama representa a intensidade da carga P.
A equação do M é do 1° grau com a < 0; portanto, a sua representação será uma reta 
decrescente que parte da linha zero do M até o valor que representa Mmáx.
2- Determinar as reações nos apoios nas vigas solicitadas pela ação das cargas 
distribuídas, conforme as figuras dadas.
UNIDADE 2TÓPICO 162
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Na solução deste exercício, vimos dividir o trapézio em um triângulo e um retângulo, 
obtendo desta forma as concentradas a seguir.
UNIDADE 2 TÓPICO 1 63
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d)
3- Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas da viga AB 
da construção representada na figura.
UNIDADE 2TÓPICO 164
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Para determinar Q e M na viga AB é necessário conhecer a intensidade da carga axial 
atuante na barra (1).
a) Carga Axial na barra (1)
Como a concentrada da carga distribuída é simétrica ao apoio C e a barra 1, conclui-se que:
b) Expressões de Q e M na viga AB Reações nos apoios A e B
O intervalo 2 < x < 3 pode ser calculado através da variável x ’, partindo do apoio B 
até a extensão total da carga distribuída. Tem-se então o intervalo 0 < x ’ < 1. A utilização 
deste artifício implica a inversão da convenção de sinais.
UNIDADE 2 TÓPICO 1 65
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a) Diagramas de Q e M
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
UNIDADE 2TÓPICO 166
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Neste tópico, vimos que:
	O esforço de flexão configura-se na peça quando esta sofre a ação de cargas cortantes, que 
venham a originar momento fletor significativo.
	A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, é determinada em 
relação à fibra, aos distantes da secção transversal através da relação entre o produto do 
momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia 
baricêntrico da secção.
	A força cortante será positiva quando provocar na peça momento fletor positivo.
	O momento fletor é considerado positivo quando as cargas cortantes atuantes na peça 
tracionam as suas fibras inferiores.
	O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes na peça 
comprimirem as suas fibras inferiores.
	Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utiliza-se a tensão 
admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, não importando se a 
fibra estiver tracionada ou comprimida.
	Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da peça através 
da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção transversal estudada.
	O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça obtém-se através 
da resultante dos