Resistência dos Materiais

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Educação a Distância
GRUPO
Caderno de Estudos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 Prof. Felipe Ratajenski
UNIASSELVI
2009
NEAD
Copyright  UNIASSELVI 2009
Elaboração:
Prof. Felipe Ratajenski
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo Da Vinci - UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
UNIASSELVI – Indaial.
620.112 
R433r Ratajenski, Felipe .
 Caderno de estudos : Resistência dos Materiais I / 
 Felipe Ratajenski, Centro Universitário Leonardo Da
 Vinci. – Indaial : ASSELVI, 2009.
 x ; 133 p. : il.
 Inclui bibliografia.
 ISBN 978-85-7830-173-6
 1. Resistência de Materiais – Engenharia 2. Torção 
 I. Ratajenski, Felipe II Centro Universitário Leonardo Da
 Vinci. Núcleo de Ensino a Distância. II. Título.
CENTRO UNIVERSITÁRIO
LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040, Bairro Benedito
89130-000 - INDAIAL/SC
www.uniasselvi.com.br
APRESENTAÇÃO
Prezados(as) acadêmicos(as)!
A resistência dos materiais é o ramo da Mecânica que estuda as relações entre cargas 
externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro 
do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo de deformação do corpo e o estudo de sua 
estabilidade, quando ele está sujeito a forças externas.
Estudamos, na Física e na Mecânica, equações da estática baseadas nas leis de 
Newton, que nos permitem calcular o equilíbrio de corpos rígidos, porém não levamos em 
consideração as propriedades dos materiais que compõem estes corpos, assim como não 
consideramos as suas características geométricas. Em resistência dos materiais, utilizaremos 
este conhecimento da estática que possuímos para determinar forças e reações a elas, que 
atuam sobre elementos mecânicos e estruturais, mas estaremos focados nas deformações 
provocadas por elas, e o limite em que estas deformações são admissíveis, sem comprometer 
a estabilidade e segurança das estruturas e mecanismos. Para que esta análise seja possível, 
estudaremos as características mecânicas dos materiais, quando submetidos a esforços 
diversos e as equações que regem o efeito de cada um desses esforços de maneira a relacioná-
las com aplicações práticas da Engenharia. 
Nosso estudo estará baseado então nas forças externas que agem sobre um corpo, 
nas características do material que o compõe, nas características geométricas do mesmo, no 
ambiente em que se encontra e nos critérios de segurança a serem respeitados. Observe que 
muitas fórmulas e procedimentos de projeto, definidos nas normas de engenharia e usados 
na prática, baseiam-se nos fundamentos da resistência dos materiais e, por essa razão, 
compreender os princípios dessa matéria é muito importante.
Portanto, mãos à obra!
Professor Felipe Ratajenski
iiiRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
viRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
UNI
Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. 
Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus 
estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. 
Desejo a você excelentes estudos! 
 UNI
viiRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – ESTUDO DAS TENSÕES ........................................................................... 1
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS 
ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS ................................................ 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 3
2 CASO GERAL DA LEI DE HOOKE ................................................................................. 3
3 MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) .................................................................................. 8
4 ENERGIA DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA ..................................................................... 9
5 RESILIÊNCIA, TENACIDADE, DUCTILIDADE, FRAGILIDADE ...................................11
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................... 12
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 13
TÓPICO 2: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A 
ESFORÇO NORMAL ..................................................................................... 15
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 15
2 TIPOS DE ESFORÇOS.................................................................................................. 15
3 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS ....................................................................... 17
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO/COMPRESSÃO SIMPLES ................... 17
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................... 22
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 23
TÓPICO 3: VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO SEGUNDO 
CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS .................................................... 25
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 25
2 TIPOS DE CARGAS ...................................................................................................... 25
2.1 CARGA ESTÁTICA...................................................................................................... 25
2.2 CARGA INTERMITENTE ............................................................................................ 26
2.3 CARGA ALTERNADA .................................................................................................. 26
3 TENSÃO ADMISSÍVEL .................................................................................................. 27
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................... 29
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 30
TÓPICO 4: ESTADO DE CISALHAMENTO PURO ......................................................... 31
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 31
2 TENSÃO DE CISALHAMENTO ..................................................................................... 31
3 TENSÕES DE CISALHAMENTO SIMPLES .................................................................. 32
4 TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO ..................................................................... 32
5 DIMENSIONAMENTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO ..................................... 33
RESUMO DO TÓPICO 4 ................................................................................................... 35
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 36
TÓPICO 5: TORÇÃO E CISALHAMENTO ....................................................................... 39
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 39
2 DEFINIÇÕES.................................................................................................................. 39
3 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA CIRCULAR .................................... 40
4 A FÓRMULA DE TORÇÃO ............................................................................................46
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................ 49
RESUMO DO TÓPICO 5 ................................................................................................... 50
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 51
AVALIAÇÃO ...................................................................................................................... 52
UNIDADE 2 – ESTUDO DA FLEXÃO .............................................................................. 53
TÓPICO 1: FLEXÃO ......................................................................................................... 55
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 55
2 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO .................................................................................. 56
3 FORÇA CORTANTE Q .................................................................................................. 56
3.1 VIGAS HORIZONTAIS ................................................................................................ 57
3.2 VIGAS VERTICAIS ...................................................................................................... 57
4 MOMENTO FLETOR M ................................................................................................. 57
4.1 MOMENTO POSITIVO ................................................................................................ 57
4.2 MOMENTO NEGATIVO .............................................................................................. 58
5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO .............................................................................. 58
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................... 66
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 67
TÓPICO 2: EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA ................................................................ 69
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 69
2 VARIÁVEIS DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA ..................................................... 69
3 CONDIÇÕES DE CONTORNO ...................................................................................... 70
4 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA POR INTEGRAÇÃO .......... 71
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................... 82
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 83
TÓPICO 3: ESTUDO DA FLAMBAGEM .......................................................................... 87
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 87
2 FLAMBAGEM ................................................................................................................ 87
3 CARGA CRÍTICA ........................................................................................................... 88
4 COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM .................................................................. 88
5 ÍNDICE DE ESBELTEZ ( λ ) .......................................................................................... 89
6 TENSÃO CRÍTICA ......................................................................................................... 89
7 FLAMBAGEM NAS BARRAS NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES 
 ELASTOPLÁSTICAS .................................................................................................. 90
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................ 92
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................... 94
viiiRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ixRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................. 95
AVALIAÇÃO ...................................................................................................................... 97
UNIDADE 3 – COMBINAÇÃO DOS ESFORÇOS ............................................................ 99
TÓPICO 1: ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO GERAL DE TENSÕES ...................... 101
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 101
2 TRANSFORMAÇÃO NO ESTADO PLANO DE TENSÕES ........................................ 101
3 OS DIFERENTES ESTADOS DE TENSÃO NUM PONTO ......................................... 102
4 EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PARA O ESTADO 
PLANO ......................................................................................................................... 105
5 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO .... 106
6 CÁLCULO DAS TENSÕES PRINCIPAIS .................................................................... 109
RESUMO DO TÓPICO 1 ..................................................................................................116
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................117
TÓPICO 2: CÍRCULO DE MOHR ....................................................................................119
1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................................119
2 TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHR ...........................................................................119
3 TENSÕES PRINCIPAIS ............................................................................................... 121
4 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO .............................................. 122
5 TENSÕES NUM PLANO QUALQUER ........................................................................ 122
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 124
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 125
TÓPICO 3: ESFORÇOS COMBINADOS ....................................................................... 127
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 127
2 COMBINAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES ........................................................................ 127
3 MÉTODO DE ANÁLISE ............................................................................................... 129
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 130
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 131
AVALIAÇÃO .................................................................................................................... 132
REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 133
 
xRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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UNIDADE 1
ESTUDO DAS TENSÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 Após o estudo desta unidade, o acadêmico estará apto a:
	classificar e interpretar as propriedades mecânicas de 
materiais elásticos, inelásticos e plásticos, que definem suas 
características de resistência;
	entender o conceito de Tensão. Identificar os tipos de esforços 
e suas respectivas tensões;
	dimensionar uma peça estrutural ou elemento mecânico,adequando a tensão de operação para a tensão admissível, 
levando em consideração todos os fatores que podem 
comprometer a resistência de um elemento mecânico.
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO 
MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, 
INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
TÓPICO 2 – TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS 
SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO 
NORMAL
TÓPICO 3 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E 
DIMENSIONAMENTO SEGUNDO CRITÉRIO 
DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
TÓPICO 4 – ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
TÓPICO 5 – TORÇÃO E CISALHAMENTO
PLANO DE ESTUDOS
Esta unidade está dividida em cinco tópicos. No final de 
cada um deles, você encontrará atividades que contribuirão para sua 
reflexão e análise dos estudos já realizados.
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INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO 
MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, 
INELÁSTICOS E PLÁSTICOS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 1
Quando falamos em propriedades mecânicas de um material, estamos nos referindo 
ao comportamento deste uma vez sujeito a um esforço mecânico, ou seja, como se comporta 
determinado material em termos de deformação quando sofre um impacto ou quando uma 
força o comprime ou traciona. São muitos os tipos de esforços mecânicos a que um elemento 
mecânico pode estar sujeito e estes podem agir isoladamente ou combinados. Sabemos, 
pela prática do dia a dia, que materiais distintos reagem de forma distinta a um mesmo tipo de 
esforço mecânico. Por exemplo, se compararmos o material “vidro” com “borracha”, podemos 
perceber que o primeiro é menos resistente ao impacto do que o segundo. Porém, se o critério 
for resistência ao desgaste devido a uma força de atrito, a situação se inverte e o vidro se 
demonstra mais resistente do que a borracha.
No estudo da resistência dos materiais, os grandes norteadores 
dessas propriedades são as características elásticas de cada tipo de 
material, obtidas empiricamente por ensaios em laboratórios. Estas 
características serão apresentadas neste primeiro capítulo e um bom 
entendimento deste assunto é de fundamental importância para o 
andamento das atividades que seguem no estudo dessa disciplina.
2 CASO GERAL DA LEI DE HOOKE
Vamos voltar um pouco no tempo e relembrar o que aprendemos no estudo da Física 
lá no ensino médio, quando estudamos o comportamento das molas, estando estas sujeitas 
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à ação de uma força, seja ela de tração ou compressão. Três variáveis estavam envolvidas 
nos cálculos: “F” força que comprime ou traciona a mola; “K“ constante elástica da mola e “x“ 
deformação linear da mola. Estas estão relacionadas matematicamente na seguinte equação:
F=-K.x
Onde: F – Newton (N)
K – Newtons por metro (N/m)
x – metros (m)
 
A variável “K” representa a característica elástica da mola, ou seja, quanto ela se deforma 
linearmente, sujeita à ação de determinada força. 
A lei de Hooke descreve a relação linear entre a força e a deformação da mola, sendo 
estas diretamente proporcionais, quando atuam dentro do limite de proporcionalidade da 
mola, ou seja, sem que haja deformação plástica. Quando retirada a ação da força, a mola 
retornaria à sua condição inicial. Veja o gráfico a seguir, neste aparecem alguns termos que 
serão estudados mais adiante. A lei de Hooke abrange este gráfico somente até o ponto A, 
dentro do limite de proporcionalidade.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001, p. 98.
Sendo: ponto O - Início de ensaio carga nula;
 ponto A - Limite de proporcionalidade;
 ponto B - Limite superior de escoamento;
 ponto C - Limite inferior de escoamento;
 ponto D - Final de escoamento início da recuperação do material;
FIGURA 1 – ENSAIO DE TRAÇÃO
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 ponto E - Limite máximo de resistência;
 ponto F - Limite de ruptura do material.
UNI
Conversar com o aluno: no estudo da resistência dos materiais, 
analisamos não mais o comportamento de uma mola, mas o de um 
elemento mecânico estático ou dinâmico, em que uma força é aplicada 
em uma secção deste provocando uma tensão, razão de uma força por 
uma área, e que provocará determinada deformação, de acordo com as 
características elásticas do material que o compõe. Estas características 
estarão determinadas não mais por um coeficiente de mola “k” como 
doravante citado e sim pelo módulo de elasticidade “E”. Temos, então, a 
mesma lei de Hooke, agora aplicada sob um novo foco e cujas variáveis 
passam a ser Tensão, Módulo de Elasticidade e Deformação unitária.
Após uma série de experiências, o cientista inglês Robert Hooke, no ano de 1678, 
constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga normal, sofre 
variação na sua dimensão linear inicial, bem como na área da secção transversal inicial. Ao 
fenômeno da variação linear, Hooke denominou alongamento, constatando que:
• quanto maior a carga normal aplicada e o comprimento inicial da peça, maior o alongamento, 
e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do material médio, através do 
seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando daí a equação:
Onde: ∆l- Alongamento da peça (m;.......);
 σ- Tensão normal (Pa;.......);
 F - Carga normal aplicada (N;.......);
 A -Área da secção transversal (m2;.........);
 E - Módulo de elasticidade do material (Pa;........);
 l - Comprimento inicial da peça (m;.........).
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O alongamento será positivo quando a carga aplicada tracionar a peça, e será negativo 
quando a carga aplicada comprimir a peça.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde: ∆l - Alongamento da peça (m;.......);
 L - Comprimento inicial da peça (m;........);
 lƒ - Comprimento final da peça (m;.......). 
Deformação longitudinal (ε) :
 
Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento (µ.c) de uma 
peça submetida à ação de carga axial.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Deformação transversal (εt)
Determina-se através do produto entre a deformação unitária (ε) e o coeficiente de 
Poisson (ν).
FIGURA 2 – DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL
FIGURA 3 – FÓRMULA E EXEMPLO DE DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL (ε)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001 
Razão ou coeficiente de Poisson
 Sabemos que, além da deformação dos materiais na direção da tensão normal aplicada, 
outra propriedade marcante pode ser observada em todos os materiais sólidos, a saber, a 
expansão ou contração lateral (transversal) que ocorre perpendicularmente a direção da tensão 
aplicada. Esse fenômeno está ilustrado na figura (5a), cujas deformações aparecem exageradas.
UNI
Conversar com o aluno: para maior clareza pode-se reescrever assim 
o fenômeno: se um corpo sólido for submetido à tensão axial, ele se 
contrai lateralmente. Por outro lado, se ele for comprimido, o material se 
expande para os lados. Com isso em mente, as direções das deformações 
laterais são facilmente determinadas, dependendo do sentido da tensão 
normal aplicada.
FIGURA 4 – FÓRMULA E EXEMPLO DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
A relação entre o valor absoluto da deformação na direção laterale a deformação na 
direção axial, é a razão ou coeficiente de Poisson, isto é:
Pela experiência, sabe-se que o valor ν flutua para diferentes materiais, numa faixa 
relativamente estreita. Geralmente, está na vizinhança de 0,25 a 0,35. Em casos extremos, 
ocorrem valores baixos, como 0,1 (alguns concretos) e elevados, como 0,5 (borracha). O 
último valor é o maior possível para materiais isotrópicos, e é normalmente alcançado durante 
o escoamento plástico significando constância de volume.
3 MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)
Um fio metálico submetido a um esforço de tração sofre uma deformação que consiste no 
aumento de comprimento e em uma contração de sua secção. Suponhamos que o aumento de 
comprimento é o efeito dominante, sobretudo no fio grande e de pequena secção. Estudaremos 
o comportamento elástico dos fios, aquele em que existe uma relação de proporcionalidade 
entre a força F aplicada ao fio e o incremento ∆L de seu comprimento, ou então entre o esforço 
F/S e a deformação unitária ∆L/L0.
FIGURA 5 – ILUSTRAÇÃO DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde S é a secção do fio S=Pi r2, e Y é uma constante de proporcionalidade, característica 
de cada material que é denominado módulo de elasticidade ou módulo de Young. O quadro a 
seguir apresenta valores de E para alguns materiais:
FONTE: Autor
4 ENERGIA DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA
Já foi visto que a ação de qualquer força sobre um corpo altera sua forma, isto é, 
provoca uma deformação.
FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO DE ELASTICIDADE (E)
QUADRO 1 – VALORES DE ELASTICIDADE PARA ALGUNS MATERIAIS (E)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Por este gráfico, nota-se que a carga aplicada cresce uniformemente de zero até um 
certo P. Este esforço despendido realiza um trabalho que é armazenado sob forma de energia 
potencial de deformação e desenvolvido quando o corpo de prova readquire a forma primitiva. 
Se a carga for aplicada lenta e gradualmente até o valor P inferior ao limite de elasticidade, 
o trabalho armazenado é medido pela área do triângulo hachurado em figura. Logo:
Quando a carga P atinge o limite de elasticidade, a energia armazenada pela peça 
sem sofrer deformações permanentes é a máxima. Conclui-se que uma carga aplicada 
repentinamente produz um esforço interno duas vezes maior do que aplicado lenta e 
gradualmente. Nestes casos, o fator de segurança deverá ser o dobro.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 7 – GRÁFICO ILUSTRANDO O LIMITE DE ELASTICIDADE
FIGURA 8 – EXEMPLO DE LIMITE DE ELASTICIDADE E FATOR DE SEGURANÇA
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Evidenciar um erro comum:
1° - Não confundir resiliência com rigidez ou resistência. 
Resistência é a capacidade de um corpo de resistir à ação de forças, 
rigidez é a capacidade de um corpo de resistir às deformações e a 
resiliência é a resistência aos choques.
2° - Os materiais de pequena resiliência são chamados frágeis 
enquanto os de grande resiliência são chamados tenazes.
5 RESILIÊNCIA, TENACIDADE, DUCTILIDADE, 
FRAGILIDADE
Neste item, veremos que, conforme as características elásticas de cada material, o 
mesmo será classificado como dúctil ou frágil.
Palavras como ductilidade e fragilidade serão muito utilizadas no decorrer 
do nosso estudo. Portanto, é de suma importância o entendimento 
desses termos.
Aproveitamos este momento também para definir em que consiste a resiliência e a 
tenacidade. Portanto:
Materiais Dúcteis: Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes 
da ruptura é chamado de material dúctil. O aço doce é um exemplo. Os engenheiros escolhem 
materiais dúcteis para o projeto, porque são capazes de absorver choques ou energia e, quando 
sobrecarregados, exibem, em geral, grande deformação antes de falhar.
Materiais Frágeis: São materiais que se rompem antes de se deformarem de forma significativa, 
ou seja, após a fase elástica, vem o rompimento sem que haja nenhuma ou muito pouca 
deformação plástica. Exemplo: Concreto.
Resiliência: É a resistência aos choques, ou seja, a capacidade de absorver energia mecânica 
durante um choque. Quanto maior o índice de resiliência de um material, maior é a capacidade 
do material de resistir a um impacto.
Tenacidade: A tenacidade está diretamente relacionada à resiliência e indica a medida da 
quantidade de energia que um material pode absorver antes de fraturar.
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, vimos que:
	As propriedades mecânicas dos materiais serão os grandes balizadores do nosso estudo por 
definir as características de resistência de cada material.
	A lei de Hooke descreve a relação linear entre a força e a deformação de um corpo, sendo 
elas diretamente proporcionais quando atuam dentro do limite de proporcionalidade.
	Esforços de tração e compressão provocam deformações longitudinais e transversais e a 
relação entre as duas é equacionada pelo coeficiente de Poisson.
	O módulo de elasticidade consiste em uma aplicação da lei de Hooke à resistência dos 
materiais, relacionando tensão x deformação. 
	A resiliência é uma característica que define a capacidade de um determinado material 
absorver energia de impacto.
	Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes da ruptura é 
chamado de material dúctil.
	Materiais Frágeis são materiais que se rompem antes de se deformarem de forma significativa.
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Ao final deste tópico, para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva 
as questões que seguem. 
1 O corpo de prova de alumínio, mostrado na figura a seguir, tem um diâmetro do=25 
mm e um comprimento nominal Lo=250 mm. Se uma força de 165 KN alonga o 
comprimento em 1,2 mm, determine o módulo de elasticidade do material.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 9 – ILUSTRAÇÃO - CORPO DE PROVA - PARA O EXERCÍCIO
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TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM 
CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A 
ESFORÇO NORMAL
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 1
No estudo da Física, vimos o efeito de uma força que age sobre um corpo sem que 
ocorram deformações e sem levar em consideração as suas características geométricas. Em 
resistência dos materiais, precisamos saber o efeito desta força quando atua em uma secção do 
corpo, que pode ser quadrada, circular, maciça ou vazada etc. Para isto, utilizamos o conceito 
de tensão que representa a intensidade de força aplicada por unidade de área. Os tipos de 
esforços que geram estas tensões e a sua classificação serão o objeto de estudo deste tópico.
2 TIPOS DE ESFORÇOS
A resistência dos materiais é, na verdade, um conjunto de capítulos, divididos em função 
do tipo de esforço que possa vir a comprometer a peça ou estrutura em questão. Para nós, é 
importante, então, o conhecimento de todos os esforços existentes e as respectivas tensões 
a serem consideradas em cada caso. A princípio, será feito um comentário geral sobre cada 
tipo de esforço, ficando sua análise detalhada nos capítulos seguintes.
Esforço de TRAÇÃO - esforço que tende a esticar ou alongar o corpo/estrutura em questão.Trata-se de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE TRAÇÃO
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Esforço de COMPRESSÃO - esforço que tende a “empurrar” ou encurtar o corpo/estrutura em 
questão. Trata-se também de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente 
é a tensão normal.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Esforço de CISALHAMENTO - esforço que tende a cortar ou cisalhar o corpo/estrutura em 
questão. Trata-se de um esforço transversal (perpendicular ao eixo) e a tensão correspondente 
é a tensão tangencial.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Esforço de FLEXÃO - esforço que tende a flexionar ou encurvar uma viga/eixo em questão. 
Trata-se de um esforço normal (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal 
(trata-se, na verdade, de uma combinação dos esforços de tração e compressão, conforme 
se verá mais adiante).
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Esforço de TORÇÃO - esforço que tende a girar uma secção transversal em relação a outra 
adjacente de um eixo de transmissão. Trata-se de um esforço tangencial (perpendicular ao 
eixo) e a tensão correspondente é a tensão tangencial.
FIGURA 11 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE COMPRESSÃO
FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE CISALHAMENTO
FIGURA 13 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE FLEXÃO
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
3 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS
Genericamente, pode-se definir “tensão” como a resistência interna de um corpo a uma 
força externa aplicada sobre ele, por unidade de área.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde: p = tensão total resultante, atuante sobre a secção transversal considerada
 σ= componente de “p”, normal ao plano – TENSÃO NORMAL
 τ= componente de “p”, tangente ao plano – TENSÃO TANGENCIAL
4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO/
COMPRESSÃO SIMPLES
Agora que já vimos os tipos de esforços e a classificação das tensões, em normais 
e tangenciais, estamos prontos para estudar cada uma destas separadamente, focando em 
suas peculiaridades e métodos analíticos para cálculo dos efeitos produzidos por cada uma. 
FIGURA 14 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE TORÇÃO
FIGURA 15 – REPRESENTAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS
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Iniciamos este estudo com as tensões normais de tração e compressão. Quanto às 
deformações causadas por este tipo de tensão, já tivemos uma introdução quando vimos a 
lei de Hooke. 
Tensão Normal σ
A carga normal F, que atua na peça, origina nesta uma tensão normal que é 
determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a área da secção 
transversal da peça.
Onde: σ- tensão normal (Pa)
 F - força normal ou axial (N)
 A - área da secção transversal da peça (m2)
Unidade de Tensão no SI (Sistema Internacional)
A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N atuando sobre 
uma superfície de 1m2.
FONTE: Autor
Como a unidade pascal é infinitesimal, utiliza-se com freqüência os 
seus múltiplos: 
MPa (mega pascal) = 106 Pa, 
kPa (quilo pascal) = 103 Pa
FIGURA 16 – REPRESENTAÇÃO DA UNIDADE DE TENSÃO NO SI 
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A unidade MPa (mega pascal, corresponde à aplicação de 106 N (um milhão de newtons) 
na superfície de um metro quadrado (m2). Como m2 = 106 mm2, conclui-se que:
MPa corresponde à carga de 1N atuando sobre a superfície de 1mm2.
Podemos verificar então que esforços de tração e compressão geram tensões normais, 
porém seus efeitos são contrários, como veremos a seguir:
•	Tração: devido a um esforço de traça, o elemento tracionado deverá sofrer um alongamento 
no sentido tracionado (longitudinal) e uma diminuição da secção transversal. O quanto este 
corpo deforma vai depender de suas características elásticas (módulo de elasticidade) e da 
intensidade da tensão. A relação entre a deformação longitudinal e transversal será dada 
pelo coeficiente de Poisson, doravante citado quando estudamos a lei de Hooke.
•	Compressão: devido a um esforço de compressão, o elemento deve ter diminuição de sua 
dimensão longitudinal com aumento da secção transversal. O quanto este corpo deforma 
vai depender de suas características elásticas (módulo de elasticidade) e da intensidade da 
tensão. A relação entre a deformação longitudinal e transversal será dada pelo coeficiente 
de Poisson, doravante citado quando estudamos a lei de Hooke.
Em termos analíticos, utilizamos as seguintes equações para fins de determinar 
deformações e/ou dimensionar um elemento:
σ = E. ε
Veremos agora alguns exemplos de aplicação destas equações:
Exemplo 1 
Um fio de comprimento 30 cm e diâmetro 1 mm foi submetido ao ensaio de tração e com 
uma carga de 40 Kg e se obteve um alongamento total de 0,08 cm. Calcular o alongamento 
unitário, alongamento porcentual, tensão e módulo de elasticidade.
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a. Alongamento unitário e percentual:
b. Tensão:
a. Módulo de elasticidade:
Exemplo 2: 
Escolher a corrente destinada a resistir uma carga intermitente de 1 t. Material: aço 
ABNT 1040.
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Exemplo 3: 
Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030, destinado a manter suspenso 
um peso de 200 Kg.
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RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, vimos que:
	Diversos tipos de esforços serão objeto de nosso estudo ao longo da disciplina. São eles: 
tração, compressão, torção, flexão e cisalhamento.
	Estes esforços provocarão uma tensão considerada na secção transversal. A tensão 
provocada é dada pela relação entre a força e a área da secção e sua unidade no S.I é o 
Pascal.
	De acordo com a direção de atuação dos esforços, as tensões são classificadas em Normal 
e Tangencial.
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Para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões a seguir:
1) No dispositivo em figura, a bucha é de aço ABNT 1010 e o parafuso de aço ABNT 1030. 
Calcular os diâmetros do, e D quando a porca exerce uma força axial de 2t e d=20mm.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 17 – EXEMPLO DEMONSTRATIVO PARA O EXERCÍCIO
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VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E 
DIMENSIONAMENTO SEGUNDO CRITÉRIO 
DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 1
Para fins de projeto de uma peça estrutural ou elemento mecânico, temos como obter 
em tabelas a tensão de resistência do material que o compõe, determinada por ensaios em 
laboratório, com corpos de prova devidamente normatizados. Porém, na prática, algumas 
condições de fabricação, funcionamento e ambiente em que estão inseridos diferem das 
condições ensaiadas em laboratórios. Portanto, devemos adequar a tensão de operaçãopara 
uma tensão que chamamos de tensão admissível, para cada caso em particular, de forma a 
garantir que fatores particulares a cada situação não comprometam a resistência do elemento 
em questão. Para isto, utilizamos o coeficiente de segurança representado pela letra “K”.
Na definição do coeficiente de segurança a ser aplicado, levamos em consideração 
os processos de fabricação das peças, a forma com que a carga é aplicada, o ambiente de 
operação, dentre outros fatores. Estes fatores são sobrepostos através do produto de valores 
que representa o quanto cada um desses afeta a resistência do material. Para um bom 
entendimento, faremos agora uma breve distinção entre as formas que um carregamento pode 
se apresentar, tornando- se mais ou menos crítica para cada situação em particular.
2 TIPOS DE CARGAS
Agora você estudará os tipos de cargas, as quais podem ser: carga estática, carga 
intermitente e carga alternada.
2.1 CARGA ESTÁTICA
A carga é aplicada na peça e permanece constante.
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
2.2 CARGA INTERMITENTE
Neste caso, a carga é aplicada gradativamente na peça, fazendo com que o seu esforço 
atinja o máximo, utilizando, para isso, um determinado intervalo de tempo. Ao atingir o ponto 
máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo de tempo utilizado para se 
atingir o máximo, fazendo com que a tensão atuante volte a zero. E assim sucessivamente. 
Ex.: o dente de uma engrenagem.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
2.3 CARGA ALTERNADA
Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de máximo positivo para máximo 
negativo ou vice-versa, constituindo-se uma situação muito crítica para o material.
FIGURA 18 – REPRESENTÇÃO GRÁFICA DA CARGA ESTÁTICA
FIGURA 19 – REPRESENTÇÃO GRÁFICA DA CARGA INTERMITENTE
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
3 TENSÃO ADMISSÍVEL
Para determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias apresentadas, 
deverá ser utilizada a expressão a seguir:
Valores para x (fator de tipo de material)
x = 2 para materiais comuns.
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga.
Valores para y (fator do tipo de solicitação)
y = 1 para carga constante.
y = 1 para carga intermitente.
y = 3 para carga alternada.
Valores para z (fator do tipo de carga)
z = 1 para carga gradual.
z = 1,5 para choques leves.
z = 2 para choques bruscos.
Valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação)
w = 1 a 1,5 para aços e outros materiais.
w = 1,5 a 2 para fofo.
FIGURA 20 – REPRESENTÇÃO GRÁFICA DA CARGA ALTERNADA
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Para carga estática, normalmente, utiliza-se 2≤ k ≤3 aplicado a σe (tensão 
de escoamento do material), para o material dúctil e ou aplicado a σ 
(tensão de ruptura do material) para o material frágil. Para o caso de 
cargas intermitentes ou alternadas, o valor de k cresce como nos mostra 
a equação para sua obtenção.
A tensão admissível é determinada através da relação entre (tensão de escoamento) 
e coeficiente de segurança para os materiais dúcteis, σr (tensão de ruptura) e coeficiente de 
segurança para os materiais frágeis.
Exemplo 1
Um determinado tipo de aço que compõe um elemento de uma máquina possui tensão 
de escoamento de 480 Mpa. Como o mesmo opera com carga intermitente na definição do 
K, temos: 
x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga.
y = 1 para carga intermitente.
Portanto: K= x.y = 1,5 . 1,0= 1,5.
A tensão admissível é, então, 480/1,5 = 320 MPa.
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Neste tópico, vimos que:
	Um mesmo tipo de esforço pode ser provocado por cargas atuando de formas diferentes, 
provocando efeitos com maior ou menor impacto sobre a resistência do corpo solicitado. 
Estas são classificadas como estáticas, intermitentes e alternadas.
	As condições de trabalho normalmente diferem das ensaiadas em laboratório. Portanto, 
utilizamos a tensão chamada de tensão admissível para fins de cálculo da resistência de um 
elemento mecânico.
	A tensão admissível é resultado da divisão da tensão de resistência ao escoamento ou à 
ruptura, obtida em ensaios normatizados pelo coeficiente de segurança K.
	O coeficiente de segurança K é obtido a partir do produto de valores que representam a 
influência de fatores como: processo de fabricação, tipo de carga, ambiente de trabalho, 
dentre outros que podem comprometer a resistência de um elemento mecânico.
RESUMO DO TÓPICO 3
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Exercite seus conhecimentos, resolvendo as questões a seguir:
1) Determine o diâmetro da barra de aço 1 indicada na figura a seguir. A barra está presa 
ao solo no ponto C e sujeita as forças mostradas. Admita que o material possui as 
seguintes características: σ(adm)=220 Mpa; fator falha de fabricação = 1; material 
comum; carga constante e gradual.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
2) A barra rígida AB mostrada na figura a seguir é suportada pela barra de alumínio AC, 
que está acoplada por meio de pinos. Determine o diâmetro da barra de alumínio e 
dos pinos, sujeitos a cisalhamento duplo, sabendo que σ(adm) alumínio = 10,6 x 10³ 
Ksi e σ (adm) aço = 29 x 10³ Ksi. Utilize um fator de segurança K = 2 para oalumínio 
e um fator K = 2,5 para o aço.
FIGURA 21 – REPRESENTÇÃO ILUSTRATIVA DE UMA BARRA DE AÇO PARA 
O EXERCÍCIO 
FIGURA 22 – REPRESENTÇÃO ILUSTRATIVA DE UMA BARRA RÍGIDA 
AB, SUPORTADA POR OUTRA BARRA DE ALUMÍNIO AC.
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ESTADO DE CISALHAMENTO PURO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
UNIDADE 1
Nos Tópicos 1, 2, 3 desta unidade, vimos que a tensão pode ser classificada como 
Normal ou Tangencial. Neste tópico, teremos um primeiro contato com as tensões do tipo 
tangencial que, como o próprio nome diz, age tangencialmente na secção transversal, tendendo 
a cisalhar o elemento solicitado. Devemos, neste estudo, observar com atenção qual a área de 
secção transversal que está sendo solicitada bem como se um mesmo elemento está sujeito a 
esforços que tendem a cisalhar em mais de uma secção, situação em que temos que distribuir 
a carga entre as áreas.
2 TENSÃO DE CISALHAMENTO
A tensão de cisalhamento decorre de uma força que tende a cisalhar uma secção. Esta 
age tangencialmente ao plano. Portanto, trata-se de tensão tangencial.
Tensão de Cisalhamento: Age tangencialmente à superfície do material
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos 
e Científicos, 2000.
FIGURA 23 – CONEXÃO PARAFUSADA EM QUE O PARAFUSO É CARREGADO 
POR CISALHAMENTO DUPLO.
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Sob a ação de forças de tração P, a barra e a junta irão exercer uma pressão cortante 
contra o parafuso, e as tensões de contato, chamadas de tensões cortantes, serão criadas. A 
barra e a junta tendem a cisalhar o parafuso (cortá-lo). Essa tendência é resistida por tensões 
de cisalhamento no parafuso.
Tensão Cortante Média
3 TENSÕES DE CISALHAMENTO SIMPLES
O cisalhamento é provocado pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre frequentemente 
em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material desolda etc.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Em casos como este, aplica-se direto a equação:
4 TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO
Neste caso, temos duas secções sendo cisalhadas em um mesmo elemento. Ainda 
é válida a mesma equação, porém temos que ficar atentos para observar que a carga está 
FIGURA 24 – EXEMPLO DE CHAPAS COM ACOPLAMENTOS SIMPLES, USANDO 
PARAFUSOS, PINOS MATERIAL DE SOLDA.
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distribuída em duas secções transversais. Portanto, ao aplicar a equação da tensão, devemos 
duplicar a área ou dividir a carga por dois.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos 
e Científicos, 2000.
Escrevemos, então, a equação da seguinte forma:
Onde “n” representa o número de áreas sujeitas a esforço de cisalhamento.
5 DIMENSIONAMENTO PELA TENSÃO DE 
CISALHAMENTO
Para o dimensionamento de um elemento pela tensão de cisalhamento, utilizamos a 
mesma equação citada e utilizamos a tensão de ruptura do material, lembrando de aplicar o 
coeficiente de segurança sempre que necessário. 
Vejamos um exemplo:
Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 125 kN, aplicada conforme a figura 
a seguir. A junta deverá contar com 5 rebites. τ= 105 MPa; tch = 8mm (espessura das chapas).
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 25 – REPRESENTAÇÃO DE TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO.
FIGURA 26 – ILUSTRAÇÃO DA PROJEÇÃO DE UMA JUNTA 
REBITADA PARA SUPORTE DE CARGA
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Solução: 
a. Cisalhamento nos rebites: Observa- se na figura que a junta é simplesmente cisalhada, 
ou seja, cada rebite sofre cisalhamento na sua respectiva secção AA. Tem- se, então, que:
Como os rebites possuem secção transversal circular, a área do circulo é dada por:
A fórmula da tensão do cisalhamento, então, passa a ser:
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Neste tópico, vimos que:
	A tensão de cisalhamento decorre de uma força que tende a cisalhar uma secção. Esta age 
tangencialmente ao plano. Portanto, trata-se de tensão tangencial.
	A tensão de cisalhamento simples é provocada pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre 
frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material 
de solda etc.
	No caso de cisalhamento duplo, temos duas secções sendo cisalhadas em um mesmo 
elemento.
	Para o cálculo da tensão de cisalhamento, utilizamos a equação: 
	Para o dimensionamento de um elemento pela tensão de cisalhamento, utilizamos a mesma 
equação citada e utilizamos a tensão de ruptura do material, lembrando de aplicar o coeficiente 
de segurança sempre que necessário. 
RESUMO DO TÓPICO 4
UNIDADE 1TÓPICO 436
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Ao final deste tópico, resolva os exercícios a seguir, visando à fixação do 
conhecimento adquirido: 
1) Uma prensa usada para fazer furos em placas de aço é mostrada na Figura 27a. 
Assuma que uma prensa com diâmetro de 0,75 in. é usada para fazer um furo em 
uma placa de ¼ in., como mostrado na vista transversal (Figura 27b). Se uma força 
P=28000 lb é necessária para criar o furo, qual é a tensão de cisalhamento média 
na placa e a tensão de compressão média na prensa?
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
2) O elo do tirante mostrado na figura 28 suporta uma força de 600 Lb, aplicada pelo cabo. 
Se o pino tem um diâmetro de 0,25in, determine a tensão cisalhante média no pino.
FONTE: Autor
FIGURA 27 – ILUSTRAÇÃO PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 1
FIGURA 28 – ILUSTRAÇÃO DE UM ELO TIRANTE PARA 
SUPORTE DO EXERCÍCIO 2
UNIDADE 1 TÓPICO 4 37
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3) A alavanca mostrada na figura é mantida fixa ao eixo através de um pino localizado 
em AB, cujo diâmetro é de 6 mm. Se um homem aplica as forças mostradas na figura 
ao girar a alavanca, determine a tensão cisalhante média no pino na seção entre este 
e a alavanca.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
4) A luminária mostrada na figura a seguir, é suportada pelo pino A, cujo diâmetro é de 1/8” 
in. Se a luminária pesa 4 Lb e o braço AB do suporte pesa 0,5 Lb/ft, determine a tensão 
cisalhante média no pino necessária para suportar a luminária.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
5) A junta mostrada na figura utiliza dois parafusos para unir as placas. Determine o 
diâmetro necessário aos parafusos, considerando que a tensão cisalhante admissível 
τ(adm)=110 MPa. Admita que a carga seja igualmente distribuída entre os parafusos.
FIGURA 29 – ILUSTRAÇÃO DE UMA ALAVANCA FIXA AO UM EIXO POR PINOS 
PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 3
FIGURA 30 – ILUSTRAÇÃO DE UMA LUMINÁRIA FIXA NO PONTO “A”. 
UNIDADE 1TÓPICO 438
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
6) A alavanca mostrada na figura é fixada ao eixo A por uma chaveta de largura d 
e comprimento de 25 mm. Se o eixo está fixo e uma força de 200 N é aplicada 
perpendicularmente à alavanca, determine a dimensão d considerando que a tensão 
cisalhante admissível para o material da chaveta é τ(adm)=35 MPa. 
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Obs:
1ksi= 6,867 MPa
1Ksi= 1000 Psi
Psi= Lb/in.in
1in=2,54 cm
1ft= 12 in
Atividades complementares: Observações: Resolver os exercícios da 
seção de tensão cisalhamento e tensão admissível do livro Resistência 
dos Materiais, do autor, Hibbeler, 2000.
FIGURA 31 – ILUSTRAÇÃO DE PLACAS UNIDAS POR DOIS PARAFUSOS. 
FIGURA 32 – ILUSTRAÇÃO DE UMA ALAVANCA FIXADA A UM EIXO “A”. 
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TORÇÃO E CISALHAMENTO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 5
UNIDADE 1
Neste item, utilizaremos uma linguagem um pouco mais complexa e faremos uso de 
equações diferenciais para justificar alguns conceitos. Vocês serão apresentados também a 
duas características geométricas importantes no que tange a elementos sujeitos a esforços 
que tendem a provocar rotação. São eles o raio de giração e o momento polar de inércia. 
2 DEFINIÇÕES
A torção se refere ao giro de uma barra retilínea, quando carregada por momentos (ou 
torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra. Veja a Figura 33.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 33 – TORÇÃO DE UMA CHAVE DE FENDA DEVIDO A UM 
TORQUE T APLICADO NO CABO.
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Exemplos de barras em torção: Hastes, eixos, eixos propulsores, hastes de direção 
e brocas de furadeiras. Caso idealizado do carregamento de torção:
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Os momentos que produzem giro na barra, como os momentos T1 e T2 da Figura 34, 
são chamados de torques ou momentos torçores.
Os membros cilíndricos submetidos a torques e que transmitem potência através de 
rotação são chamados de eixos.
Ex.: O virabrequim de um automóvel ou o eixo propulsor de um navio. A maioriados 
eixos tem seções transversais circulares, sólidas ou tubulares.
3 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA 
CIRCULAR
Considere uma barra prismática de seção transversal circular girada por torques T 
agindo nas extremidades como na Figura 35.
FIGURA 34 – BARRA SUBMETIDA À TORÇÃO PELO TORQUE T1 E T2.
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Torção Pura: Toda a seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T.
Considerações
Das condições de simetria, as seções transversais da barra não variam na forma 
enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as seções transversais 
permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos. Caso o ângulo de rotação 
entre uma extremidade da barra e outra seja pequeno, nem o comprimento da barra e nem 
seu raio irão variar.
Variáveis: f, φ - Ângulo de torção.
O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ
Se toda a seção transversal da barra tem o mesmo raio e está submetida ao mesmo 
torque (torção pura). O ângulo φ (x) irá variar linearmente. Considere a Figura 36:
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 35 – DEFORMAÇÕES DE UMA BARRA CIRCULAR EM TORÇÃO PURA.
FIGURA 36 – DEFORMAÇÃO DE UM ELEMENTO DE COMPRIMENTO DX EXTRAÍDO 
DE UMA BARRA EM TORÇÃO.
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Os ângulos no canto do elemento, na Figura 36b não são mais iguais a 90º. O elemento 
está em um estado de cisalhamento puro e a magnitude da deformação de cisalhamento γ 
max é igual à diminuição no ângulo no ponto a, isto é, a diminuição no ângulo bad. Da figura, 
vemos que a diminuição nesse ângulo é:
Onde γ max é medido em radianos, bb’ é a distância através da qual o ponto b se move 
e ab é o comprimento do elemento (igual a dx). Com r denotando o raio da barra, podemos 
expressar a distância bb’ como rdφ, em que dφ também é medido em radianos. Dessa maneira, 
a equação anterior fica:
Essa equação relaciona a deformação de cisalhamento na superfície externa da barra 
com o ângulo de torção. A relação dφ/ dx é a razão da variação do ângulo de torção φ em 
relação à distância x medida ao longo do eixo da barra. Vamos denotar dφ/ dx pelo ângulo θ 
e nos referimos a ele como razão de torção ou ângulo de torção por unidade de comprimento.
Equação para deformação de cisalhamento na superfície externa
Torção Pura
• Razão de torção
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• Deformação de cisalhamento
As deformações por cisalhamento no interior da barra podem ser encontradas pelo 
método usado para encontrar a deformação de cisalhamento γ max na superfície externa. 
Como os raios nas seções transversais permanecem retos e não distorcidos durante o giro, 
vemos que a discussão anterior para um elemento abcd na superfície externa (Figura 36 b) 
também se aplica para um elemento similar situado na superfície de um cilindro interno de raio 
ρ , como na Figura 36c. Dessa forma, elementos internos também estão em cisalhamento puro 
com as deformações de cisalhamento correspondentes dadas pela equação:
A Figura 37 apresenta a variação linear na deformação de cisalhamento entre a 
deformação máxima na superfície externa e a deformação mínima na superfície interna. As 
equações para essas deformações são as seguintes:
Considere-se que r1 e r2 são raios interno e externo, respectivamente, do tubo.
Essas equações são válidas para qualquer material, tanto para comportamento elástico 
ou inelástico, linear ou não linear. As equações são limitadas para barras tendo pequenos 
ângulos de rotação e pequenas deformações.
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares
As direções das tensões são determinadas por inspeção como indica a Figura 38.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Como explicado em aulas anteriores, usualmente desenhamos elementos de tensão 
em duas dimensões, como na Figura 38b, mas devemos lembrar que os elementos de tensão 
na realidade são objetos tridimensionais com uma espessura perpendicular ao plano da figura. 
Caso o material seja elástico-linear, podemos usar a lei de Hooke em cisalhamento.
FIGURA 37 – DEFORMAÇÕES DE CISALHAMENTO EM UM TUBO 
CIRCULAR.
FIGURA 38 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA BARRA CIRCULAR EM TORÇÃO.
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Em que G é o módulo de elasticidade de cisalhamento e γ é a deformação de 
cisalhamento em radianos.
Em que τ max é a tensão de cisalhamento na superfície externa da barra (raio r), τ 
é a tensão de cisalhamento em um ponto interior (raio ρ ) e θ é a razão de torção. (Nessas 
equações, θ tem unidades de radianos por unidade de comprimento). As equações acima 
mostram que as tensões de cisalhamento variam linearmente com a distância com o centro da 
barra, como ilustrado pelo diagrama de tensão triangular na Figura 38c. Essa variação linear 
de tensão é uma consequência da Lei de Hooke. As tensões de cisalhamento, agindo num 
plano transversal, são acompanhadas pelas tensões de cisalhamentos de mesma magnitude 
agindo em planos longitudinais como na Figura 39.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente a tensões iguais 
de compressão e tração agindo num elemento orientado num ângulo de 45º. Verifique a Figura 40.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos 
e Científicos, 2000.
FIGURA 39 – TENSÕES DE CISALHAMENTO LONGITUDINAL 
E TRANSVERSAL EM UMA BARRA CIRCULAR 
SUBMETIDA À TORÇÃO.
FIGURA 40 – TENSÕES DE COMPRESSÃO E TRAÇÃO AGINDO EM UM 
ELEMENTO DE TENSÃO ORIENTADO A 45º DO EIXO LONGITUDINAL.
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Se uma barra é feita de um material que é mais frágil em tração do que em cisalhamento, 
a falha irá ocorrer em tração ao longo de uma hélice a 45º do eixo.
4 A FÓRMULA DE TORÇÃO
A distribuição de tensões de cisalhamento agindo em uma seção transversal foi ilustrada 
anteriormente. Como essas tensões agem continuamente ao redor da seção transversal, têm 
uma resultante na forma de um momento – um momento igual ao torque agindo na barra. 
Analise a Figura 41.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
UNI
Conversar com o aluno: Objetivo: Determinar a relação entre as 
tensões de cisalhamento e o torque T.
Força de cisalhamento agindo no elemento da Figura 41.
τdA
Onde τ é a tensão de cisalhamento no raio ρ. O momento elementar dessa força sobre 
o eixo da barra é:
FIGURA 41 – DETERMINAÇÃO DA RESULTANTE DAS TENSÕES 
DE CISALHAMENTO AGINDO EM UMA SEÇÃO 
TRANSVERSAL.
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O momento resultante (igual ao torque) é a soma de todos os momentos elementares 
sobre a área da seção transversal.
Em que
é o momento de inércia polar da seção transversal circular. Para um círculo de raio r, 
e diâmetro do momento de inércia polar é:
Portanto, tem–se a seguinte expressão para a tensão de cisalhamento máxima:
τ= Tr
 Ip
Estaexpressão é conhecida como a fórmula de torção. A tensão de cisalhamento 
máxima é diretamente proporcional ao torque aplicado, T, e inversamente proporcional ao 
momento de inércia polar, I P.
A fórmula aplica-se para barras sólidas e tubos circulares. A tensão de cisalhamento à 
distância ρ do centro da barra é:
Ângulo de Torção 
Para obter o ângulo de torção, utilizamos a seguinte expressão:
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UNI
Em que θ tem unidades de radianos por unidade de comprimento. Essa equação mostra 
que a razão de torção θ é diretamente proporcional ao torque T e inversamente proporcional 
ao produto GIP, conhecido como rigidez de torção da barra. 
O ângulo de torção total para uma barra em torção pura φ =θL.
As mesmas expressões básicas para as tensões de cisalhamento podem ser usadas. 
Logicamente, a distância radial ρ está limitada ao intervalo r1 até r2 , onde r1 é o raio interno 
e r2 é o raio externo da barra, como na Figura 42.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
Momento de Inércia Polar da área de Seção Transversal do Tubo:
Tubos circulares
Conversar com o aluno: Tubos circulares são mais eficientes do que 
barras sólidas. Por quê? (Pense e responda).
FIGURA 42 – MOMENTO DE INÉRCIA POLAR DA ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL 
DO TUBO
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MEDIDA DO MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)
LEITURA COMPLEMENTAR
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Na figura 43, é mostrado o dispositivo experimental. É empregado um fio de um metro 
de comprimento, disposto horizontalmente fiado por um extremo, enquanto que no outro passa 
por uma polia. Do extremo livre, pendem pesos de 100 g, 250 g ou 500 g. 
Ao colocar pesos sobre o extremo livre do fio, este é esticado e a polia gira um ângulo 
igual a ∆L/r. Sendo r o raio da polia.
Como o alongamento ∆L é pequeno, pode ser medido mediante uma agulha indicadora 
que marca sobre um setor circular cujo raio é R=10·r vezes o raio da polia.
Exemplo:
•	Raio da secção do fio, 0.25 mm 
•	Material, Alumínio 
•	Se colocamos 6 pesos de 250 g no extremo livre do fio 
A força aplicada é F=mg=6·0.25·9.8 N
A leitura na escala graduada semicircular é s=1.19 cm, que corresponde a uma 
deformação de ∆L=1.19 mm.
O quociente entre o esforço e a deformação é o módulo de Young ( E ) Y=6.29·1010 N/m2.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001, p. 98
FIGURA 43 – ILUSTRAÇÃO DE UM DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
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Neste tópico, vimos que:
	A torção se refere ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos (ou torques) 
que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.
	A tensão gerada por um esforço de torção varia de um valor mínimo no centro da secção 
transversal em que o raio de giração é zero até uma tensão máxima na extremidade da 
secção em que o raio de giração é máximo.
	O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ
	Para obter o ângulo de torção, utilizamos a seguinte expressão:
	A chamada fórmula da torção máxima para uma secção circular é dada por: 
τ= T.r/Ip
RESUMO DO TÓPICO 5
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Para exercitar seus conhecimentos, resolva as questões a seguir:
1) Calcular a tensão de cisalhamento máxima de um eixo de 25 mm de diâmetro, 
submetido a 5000 kgf.cm de torque.
2 ) Calcular a tensão máxima e mínima para um eixo vazado de diâmetro externo 25 mm 
e interno 12 mm, quando um momento torçor de 5000 kgf.cm atua sobre o mesmo. 
3) Um momento de torção de 3 KN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze indicado. 
Determinar: a) a máxima tensão de cisalhamento; b) a tensão de cisalhamento no 
ponto D que fica em uma circunferência de 15 mm de raio; c) a parcela do momento 
(%) resistida pelo cilindro interior (imaginário) de 15 mm de raio.
AUT
OAT
IVID
ADE �
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
4) Sabe-se que as tensões admissíveis das barras circulares AB e BC são respectivamente 
83 MPa e 48 MPa. O momento torçor aplicado em A é de 7,5 KN.m. Determinar o diâmetro 
necessário: a) da barra AB; b) da barra BC.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., 
Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 44 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 45 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO
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AVAL
IAÇÃ
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade. 
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UNIDADE 2
ESTUDO DA FLEXÃO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Após o estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto a:
	dimensionar peças submetidas a esforço de flexão, utilizando a 
tensão admissível;
	determinar analiticamente a deflexão e a inclinação em pontos 
específicos de eixos e vigas, levando em consideração como 
os vários tipos de apoio implicam a limitação da inclinação ou o 
deslocamento;
	entender em que consiste uma peça esbelta e sua influência sobre 
a resistência de uma estrutura sujeita à compressão.
TÓPICO 1 – FLEXÃO
TÓPICO 2 – EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
TÓPICO 3 – ESTUDO DA FLAMBAGEM
PLANO DE ESTUDOS
 Esta unidade está dividida em três tópicos, sendo que em cada 
um deles você encontrará atividades que o auxiliarão na apropriação 
do conteúdo apresentado.
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FLEXÃO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 2
Nesta segunda unidade, estudaremos esforços que tendem a provocar efeitos de flexão. 
Este tipo de efeito pode ser proveniente de cargas concentradas ou cargas distribuídas e, ainda, 
combinações destas. Muitos fatores devem ser considerados durante este estudo, tais como: 
tipos de engastes, geometria do corpo, posição relativa entre esforços e secção transversal, 
assim como as características elásticas dos materiais. Precisamos então estabelecer algumas 
convenções quanto a sinais e metodologias de cálculo, para padronizar análises gráficas que 
servirão para perceber como se distribuem estes efeitos ao longo da estrutura de um corpo 
em estudo. 
O esforço de flexão configura-se na peça quando esta sofre a ação de cargas cortantes, 
que venham a originar momento fletor significativo.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 46 – REPRESENTAÇÃO DO ESFORÇO DE FLEXÃO SOBRE UMA PEÇA
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A flexão é denominada simples quando as secções transversais da peça estiverem 
submetidas à ação de força cortante e momento fletor simultaneamente. Exemplos: intervalos 
AC e DB da figura anterior. Neste caso, atuam tensão normal e tensão tangencial.
2 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO
Suponha-se que a figura representada a seguir seja uma peça com secção transversal 
de qualquer comprimento, que encontra-se submetida à flexão pela ação das cargas cortantes 
representadas.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, é determinada 
em relação à fibra, aos distantes da secção transversal através darelação entre o produto 
do momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia 
baricêntrico da secção.
Onde tensão máxima nas fibras comprimidas, também como se convenciona o momento 
fletor nas fibras comprimidas negativo, será sempre < 0 (negativo). Tensão máxima nas fibras 
tracionadas. Como, por convenção, o momento fletor é positivo nas fibras tracionadas, será 
sempre > 0 (positivo).
3 FORÇA CORTANTE Q
A força cortante será positiva quando provocar na peça momento fletor positivo.
FIGURA 47 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO SOBRE UMA PEÇA
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
3.1 VIGAS HORIZONTAIS
Convenciona-se a cortante como positiva aquela que atua à esquerda da secção 
transversal estudada, de baixo para cima.
3.2 VIGAS VERTICAIS
Convenciona-se cortante positiva aquela que atua à esquerda da secção estudada, 
com o sentido dirigido da esquerda para a direita.
4 MOMENTO FLETOR M
O momento fletor pode ser positivo ou negativo.
4.1 MOMENTO POSITIVO
O momento fletor é considerado positivo quando as cargas cortantes atuantes na peça 
tracionam as suas fibras inferiores.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
FIGURA 49 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO FLETOR POSITIVO
FIGURA 48 – REPRESENTAÇÃO DA FORÇA CORTANTE POSITIVA
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4.2 MOMENTO NEGATIVO
O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes na peça 
comprimirem as suas fibras inferiores.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
ATEN
ÇÃO!
Para facilitar a orientação, convenciona-se o momento horário à 
esquerda da secção transversal estudada, como positivo.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO
Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utiliza-se a tensão 
admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, não importando se a 
fibra estiver tracionada ou comprimida.
FIGURA 50 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO FLETOR NEGATIVO
FIGURA 51 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO HORÁRIO À 
ESQUERDA - POSITIVO
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Onde: σx e σy - tensão normal atuante na fibra mais afastada (PA;.......);
 δ - tensão admissível (PA;N/mm2.......)
 M - momento fletor (Nm; N.mm;.......)
 Wx e Wy - módulo de resistência da secção transversal (m
3; mm3;.....)
 Xmax e Ymax - distância máxima entre LN (linha neutra) e extremidade da secção 
(m; mm;.....)
Exemplos:
Força Cortante Q
Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da peça, 
através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção transversal estudada.
FIGURA 52 – REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA SUBMETIDA A UM 
ESFORÇO DE FLEXÃO
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Momento Fletor M
O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça obtém-se 
através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da secção estudada.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
Exemplos de exercícios resolvidos.
1 Determinar as expressões de força cortante (Q) e Momento fletor (M) e construir 
os respectivos diagramas na viga em balanço solicitada pela carga concentrada P atuante na 
extremidade livre, conforme mostra a figura.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001
FIGURA 53 – REPRESENTAÇÃO DE FORÇA CORTANTE ATUANDO SOBRE 
SECÇÃO TRANSVERSAL DA PEÇA
FIGURA 54 – REPRESENTAÇÃO DE UM MOMENTO FLETOR ATUANTE 
SOBRE UMA SECÇÃO TRANVERSAL DA PEÇA 
FIGURA 55 – REPRESENTAÇÃO PARA AUXÍLIO NO ENTENDIMENTO DO 
EXERCÍCIO
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Solução:
a) Através da variável x, estudam-se todas as secções transversais da viga, da extremidade 
livre ao engastamento. O momento fletor máximo ocorrerá no engastamento, ou seja, para 
o maior valor de x.
b) Expressões de Q e M
 Q = - P M = - P . x
Obs:
c) Construção dos diagramas
A equação da Q é uma constante negativa; portanto, o diagrama será um segmento de 
reta paralela à linha zero da Q. A distância entre a linha zero da Q e a linha limite inferior do 
diagrama representa a intensidade da carga P.
A equação do M é do 1° grau com a < 0; portanto, a sua representação será uma reta 
decrescente que parte da linha zero do M até o valor que representa Mmáx.
2- Determinar as reações nos apoios nas vigas solicitadas pela ação das cargas 
distribuídas, conforme as figuras dadas.
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Na solução deste exercício, vimos dividir o trapézio em um triângulo e um retângulo, 
obtendo desta forma as concentradas a seguir.
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d)
3- Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas da viga AB 
da construção representada na figura.
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Para determinar Q e M na viga AB é necessário conhecer a intensidade da carga axial 
atuante na barra (1).
a) Carga Axial na barra (1)
Como a concentrada da carga distribuída é simétrica ao apoio C e a barra 1, conclui-se que:
b) Expressões de Q e M na viga AB Reações nos apoios A e B
O intervalo 2 < x < 3 pode ser calculado através da variável x ’, partindo do apoio B 
até a extensão total da carga distribuída. Tem-se então o intervalo 0 < x ’ < 1. A utilização 
deste artifício implica a inversão da convenção de sinais.
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a) Diagramas de Q e M
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001
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Neste tópico, vimos que:
	O esforço de flexão configura-se na peça quando esta sofre a ação de cargas cortantes, que 
venham a originar momento fletor significativo.
	A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, é determinada em 
relação à fibra, aos distantes da secção transversal através da relação entre o produto do 
momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia 
baricêntrico da secção.
	A força cortante será positiva quando provocar na peça momento fletor positivo.
	O momento fletor é considerado positivo quando as cargas cortantes atuantes na peça 
tracionam as suas fibras inferiores.
	O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes na peça 
comprimirem as suas fibras inferiores.
	Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utiliza-se a tensão 
admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, não importando se a 
fibra estiver tracionada ou comprimida.
	Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da peça através 
da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção transversal estudada.
	O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça obtém-se através 
da resultante dosmomentos atuantes à esquerda da secção estudada.
RESUMO DO TÓPICO 1
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Ao final deste tópico, para aprofundar seus conhecimentos, resolva as questões 
que seguem.
1) Uma viga simples AB com um vão de comprimento L=22 ft suporta um carregamento 
uniforme de intensidade q=1,5 k/ft e uma carga concentrada P=12 k. O carregamento 
uniforme inclui uma margem para o peso da viga. A carga concentrada age em um 
ponto 9,0 ft da extremidade esquerda da viga, como apresenta a Figura 56. A viga é 
feita de madeira laminada colada e tem uma seção transversal de largura b=8,75 in. 
e altura h=27 in. Determine as tensões de flexão máximas.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
2) A viga ABC ilustrada na Figura 57 tem apoios simples A e B e uma extremidade 
suspensa de B até C. O comprimento do vão é 3,0 m e o comprimento da extremidade 
suspensa é de 1,5 m. Um carregamento uniforme de intensidade q=3,2 kN/m atua ao 
longo de todo o comprimento da viga (4,5 m). A viga tem uma seção transversal na 
forma de canal com largura b=300 mm e altura h=80 mm, como mostra a Figura. A 
espessura da alma é t = 12 mm, e a espessura média nos flanges é a mesma. Com 
o propósito de calcular as propriedades da seção transversal, assuma que a seção 
transversal consiste de três retângulos, conforme ilustrado na Figura.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., 
Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.
Obtenha os gráficos de esforços cortantes e o de momentos fletores.
FIGURA 56 – ILUSTRAÇÃO DE UMA VIGA - AB
FIGURA 57 – ILUSTRAÇÃO DE UMA VIGA - ABC
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EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 2
Frequentemente é preciso estabelecer limites para o valor da deflexão que uma viga ou um 
eixo podem suportar quando submetidos a cargas; por conta disso, neste capítulo discutiremos 
métodos para determinar a deflexão e a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos. Ao 
diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada área de secção 
transversal da viga denominamos Linha elástica. Ao fazer o diagrama, entretanto, é necessário 
saber como os vários tipos de apoio limitam a inclinação ou o deslocamento. Em geral, os apoios 
que resistem a forças, como um pino, limitam o deslocamento e os que resistem a momento, 
como uma parede, limitam a rotação ou a inclinação, bem como o deslocamento. Veremos na 
figura 58 dois exemplos de linhas elásticas com carga, traçadas em escala exagerada.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
2 VARIÁVEIS DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA
A equação será regida pela lei de Hooke e a fórmula da flexão; teremos como variáveis, 
então, o módulo de elasticidade E, o momento de inércia da secção transversal I, o raio de 
FIGURA 58 – EXEMPLOS DE LINHAS ELÁSTICAS COM CARGA
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3 CONDIÇÕES DE CONTORNO
Para determinarmos analiticamente a equação da linha elástica utilizamos condições 
de contorno, de forma a facilitar a eliminação de incógnitas, tornando sistemas de equações 
inicialmente indeterminados, com maior número de incógnitas do que equações, em 
determinados, ou seja, com número de incógnitas compatíveis com o número de equações 
disponíveis. Estas condições serão apresentadas na figura a seguir.
curvatura de um ponto específico da curva elástica ρ, e o momento fletor interno da viga no 
ponto em que ρ deve ser determinado. 
1/ρ= M/E.I
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos 
Materiais. 3º Ed., Makron Books, 1995.
FIGURA 59 – INCÓGNITAS COMPATÍVEIS
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4 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA 
ELÁSTICA POR INTEGRAÇÃO
UNI
Caro(a) Acadêmico(a)! Agora iremos estudar a determinação da deflexão 
de vigas prismáticas submetidas a um dado carregamento. O interesse da 
determinação da máxima deflexão, em uma viga sujeita a um determinado 
carregamento, está no fato de que as especificações do projeto de uma 
viga incluem um valor máximo admissível para esta deflexão.
Sabemos que uma viga prismática, sujeita à flexão pura, se encurva tomando a forma 
de um arco de circunferência e que, dentro do regime elástico, a curvatura da superfície neutra 
pode ser expressa por:
1/ρ= M/E.I (Equação 1)
Quando uma viga está sujeita a um carregamento transversal, a Equação 1 ainda 
permanece válida para qualquer secção transversal, dentro das condições de aplicação do 
princípio de Saint-Venant. No entanto, o momento fletor e a curvatura superfície neutra variam 
de seção para seção. Denotando por x a distância da extremidade esquerda da viga até a 
seção considerada, escrevemos:
1/ρ= M(x)/ E.I (Equação 2)
Para estabelecer a declividade e a deflexão de vigas em um determinado ponto 
deduzimos a equação diferencial da linha elástica, a qual rege a curva ou linha elástica, que 
caracteriza a forma da viga deformada.
d2y/dx2 = M(x)/EI (Equação 3)
Se o momento fletor pode ser representado, para todos os valores de x, por uma simples 
função M(x), como nos casos das vigas com os carregamentos mostrados na figura a seguir, 
a declividade θ = dy/dx e a deflexão y, em qualquer ponto da viga, podem ser obtidas através 
de duas integrações sucessivas. As duas constantes de integração são determinadas pelas 
condições de contorno indicadas na figura 60.
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FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron Books, 
1995.
Como são necessárias funções analíticas diferentes para representar o momento fletor 
nas várias porções da viga, então diferentes equações diferenciais também serão necessárias, 
definindo a linha elástica nas várias porções da viga. No caso da viga e carregamento da figura 
61, duas equações diferenciais são necessárias, uma para a porção AD da viga e outra para 
a porção DB. A primeira equação produz as funções θ1 e y1, e a segunda as funções θ2 e 
y2. No total, as quatro constantes de integração devem ser determinadas; duas serão obtidas 
escrevendo-se que a deflexão é zero em A e B, e as outras duas, expressando que as porções 
da viga AD e DB têm a mesma declividade e a mesma deflexão em D.
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., 
Makron Books, 1995.
No caso de uma viga suportar uma carga distribuída w(x), a linha elástica pode ser 
obtida diretamente de w(x), através de quatro integrações sucessivas. As constantes serão 
determinadas a partir dos valores de contorno de V, M, q e y.
Lembramos do cálculo elementar, a expressão que fornece a curvatura de uma curva 
plana em um ponto Q(x, y):
FIGURA 60 – ILUSTRAÇÃO DE VIGA EM BALANÇO E VIGA APOIADA
FIGURA 61 – ILUSTRAÇÃO DA VIGA AD – DB
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Nessa equação, dy/dx e d2y/dx2 são a primeira e a segunda derivadas da função y(x) que 
a curva representa. Para a linha elástica de uma viga, a declividade dy/dx é muito pequena, de 
modo que o seu quadrado pode ser desprezado em face da unidade. Podemos escrever, então:
1/ρ = d2y/dx2 (Equação 4)
Substituindo o valor de 1/ρ dado da (Equação 4) na equação (2), teremos:
d2y/dx2 = M(x)/EI (Equação 5)
A equação(5) é uma equação diferencial linear de segunda ordem; é a equação 
diferencial que rege o comportamento da linha elástica.
O produto E.I é chamado de rigidez flexional. Se a rigidez flexional varia ao longo da 
viga, como é o caso de vigas de seção variável, devemos exprimi-la como uma função de x 
antes de proceder à integração da Equação (5). No caso de vigas prismáticas, que é o caso 
considerado aqui, a rigidez flexional é constante. Podemos então multiplicar os dois membros 
da por E.I e integrar na variável x. Vamos ter:
EIdy/dx= € M(x)dx + C1 (Equação 6)
Onde C1 é uma constante de integração. Chamando de q(x) o ângulo, medido em 
radianos, que a tangente à curva elástica no ponto Q forma com a horizontal (Fig. 62). Lembrando 
que este ângulo nas vigas é muito pequeno, podemos escrever:
dy/dx = tg θ(x)= θ(x)
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º 
Ed., Makron Books, 1995.
Podemos escrever a Eq.(6) na forma:
EI θ(x)= € M(x)dx + C1
 
Fazendo a integração de ambos os membros da Eq.(6), temos:
FIGURA 62 – ILUSTRAÇÃO DE VIGA EM ÂNGULO
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EIy = € [€ M(x)dx + C1]dx + C2
 EIy = € dx € M(x)dx + C1x + C2 (Equação 7)
Onde C2 é uma constante de integração, e onde o primeiro termo do segundo membro 
representa a função de x obtida ao se integrar duas vezes a equação M(x) do momento fletor. 
Se as constantes de integração C1 e C2 ainda sejam indeterminadas, a Eq.(7) define a flecha 
da viga em qualquer ponto Q, e a Eq. (5) define a declividade da viga em Q.
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron Books, 
1995.
As constantes C1 e C2 são determinadas a partir de condições de contorno, ou seja, 
de condições impostas à viga pelos seus apoios. Se limitarmos nossa análise apenas às 
vigas estaticamente determinadas, serão consideradas as vigas simplesmente apoiadas, as 
vigas com balanços e as vigas em balanço (Fig. 63). Nos dois primeiros casos, os apoios são 
articulados. Em A, um pino fornece um apoio articulado fixo e em B um rolete fornece um apoio 
articulado móvel. Nos dois pontos, os apoios impedem o afundamento da viga, e a flecha é 
nula. Fazendo x = xA, y = yA = 0 e também x = xB, y = yB = 0 na Eq. (7), obtemos duas 
equações que levam aos valores de C1 e C2. No caso da viga em balanço (Fig. 64c), vemos 
que tanto a flecha como a declividade devem ser nulas no ponto A. Fazendo x = xA, y = yA 
= 0 na Equação (7) e x = xA, θ= θA = 0 na Eq.(6), vamos obter também duas equações que 
levam aos valores de C1 e C2.
Exemplo 1
A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e suporta a força P na sua extremidade 
livre A (Fig.64). Determinar a equação da linha elástica, a flecha e a declividade no ponto A.
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron Books, 1995.
FIGURA 63 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS.
FIGURA 64 – VIGA EM BALANÇO AB, COM FORÇA P NA EXTREMIDADE A
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No diagrama de corpo livre de porção AC da viga, de comprimento x (Fig.64), temos:
M = -Px (Equação 8)
Substituindo o valor de M na Eq. (5) e multiplicando os dois membros da equação pela 
constante EI, obtemos:
EI(d2y/dx2) = -Px
Integrando, obtemos:
EI(dy/dx) = -1/2(Px2) + C1 (Equação 9)
Observamos então que na extremidade fixa B temos x=L e θ = dy/dx=0. Substituindo 
esses valores na Equação (9), calculamos o valor de C1:
C1 = 1/2(PL2)
Que colocado novamente à Eq.(9), apresenta:
EI(dy/dx) = -1/2(Px2) + 1/2(PL2) (Equação 10)
Integrando os dois membros da Eq. (10), temos:
EI y = -1/6(Px3) + 1/2(PL2x) + C2 (Equação 11)
Mas, em B, temos x=L e y=0. Levando esses valores à Eq.(11), encontramos:
0 = -1/6(PL3) + 1/2(PL3) + C2
C2 = -1/3(PL3)
O valor calculado de C2 é levado novamente à Eq. (11), para completar a equação da 
linha elástica, que é:
EI y = -1/6(Px3) + 1/2(PL2x) -1/3(PL3)
y = P(-x3 +3L2x-2L3)/ (6EI) (Equação 12)
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FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., 
Makron Books, 1995.
A flecha e a declividade no ponto A são obtidas fazendo-se x=0 nas Equações (12) e 
(10). Temos:
yA = (-PL3)/3EI e θA = (dy/dx)A = (PL2)/2EI
Exemplo 2
A viga prismática simplesmente apoiada AB suporta uma carga uniformemente 
distribuída w por unidade de comprimento (Fig.66). Determinar a equação da linha elástica e 
a flecha máxima da viga.
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron 
Books, 1995.
Desenhamos o diagrama de corpo livre da parte AD da viga (Fig.66) e calculamos os 
momentos das forças em relação ao ponto D, encontrando:
M = (1/2)wLx - (1/2)wx2 (Equação 13)
Substituindo M na Equação (5) e multiplicando os dois membros da equação pela 
constante EI, escrevemos:
EI(d2y/dx2) = -(1/2)wx2 + (1/2)wLx (Equação 14)
Integrando duas vezes a expressão, encontramos:
FIGURA 65 – VIGA COM DECLIVIDADE NO PONTO A
FIGURA 66 – VIGA PRISMÁTICA AB
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EI(dy/dx) = -(1/6)wx3 + (1/4)wLx2 + C1 (Equação 15)
EI y = -(1/24)wx4 + (1/12)wLx3 + C1x + C2 (Equação 16)
Como y=0 nos dois apoios da viga (Fig. 68), fazemos x=0 e y=0 na Equação (16), 
encontrando C2=0. Fazendo então x=L e y=0 na mesma equação, vamos ter:
0 = -(1/24)wL4 + (1/12)wL4 + C1L
C1 = -(1/24)wL3
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 
3º Ed., Makron Books, 1995.
Levamos os valores de C1 e C2 mais uma vez na Equação (16), obtendo a equação 
da linha elástica.
EI y = -(1/24)wx4 + (1/12)wLx3 - (1/24)wL3x
y = w(-x4 + 2Lx3 -L3x)/24EI (Equação 17)
Substituindo o valor obtido para C1 na Equação (15), obtemos a declividade da viga 
igual a zero para x=L/2 e que a linha elástica tem um ponto de mínimo no ponto médio C da 
viga. Fazendo x=L/2 na Eq.(17), temos:
yc = w[(-L4/16) + 2L(L3/8) - L3(L/2)]/24EI = -5wL4/384EI
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º 
Ed., Makron Books, 1995.
FIGURA 67 – VIGA AB
FIGURA 68 – VIGA AB
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A flecha máxima, ou o maior valor absoluto da deformação, é, desse modo:
|y|máx = (5wL4)/384EI
UNI
Caro(a) Acadêmico(a)! Nos exemplos vistos até agora foi necessário apenas um 
diagrama de corpo livre para determinarmos a expressão do momento fletor da viga. 
Consequentemente, o momento fletor M, ao longo de toda a viga, foi representado 
por uma única função de x. Porém, não é o caso comum. A ocorrência de cargas 
concentradas, cargas distribuídas descontínuas e reações de apoios exigem que a viga 
seja dividida em várias partes para que se represente o momento fletor como uma 
função M(x) diferente para cada parte da viga. Cada uma das funções M(x) vai levar 
a expressões diferentes para a declividade θ(x) e para a flecha y(x). Cada expressão 
obtida para o cálculo da deformação vai ter duas constantes, de modo que um grande 
número de constantes de integração terá de ser determinado.
Exemplo 3
Determinar, para a viga prismática com o carregamento (Fig. 69), a flecha e a declividade 
no ponto D.
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 
3º Ed., Makron Books, 1995.
Dividindo a viga em duas partes, AD e DB, e determinar as funções y(x) que definem 
a linha elástica em cada uma dessas partes.
1. Trecho de A a D (x <L/4)
Desenhando o diagrama de corpo livre da porçãoAE, de comprimento x (Fig. 70). 
Calculando momentos das forças em relação ao ponto E, vamos obter:
FIGURA 69 – VIGA PRISMÁTICA AB
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Ml = 3Px/4 (Equação 18)
ou, pela Equação (05),
EId2y1/dx2 = 3Px/4 (Equação 19)
Onde y1(x) é a função que descreve a linha elástica da parte AD da viga. Integrando, 
encontramos:
EIq1 = EIdy1/dx = 3Px2/8 + Cl (Equação 20)
EIy1 = 1Px3/8 + C1x + C2 (Equação 21)
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron Books, 1995.
2. Trecho de D e B (x>L/4)
Fazendo o diagrama de corpo livre da parte AE da viga, de comprimento (x>L/4) (Fig. 
71), calculando:
M2 = 3Px/4 - P(x - L/4) (Equação 22)
ou, pela Eq. (05), reagrupando os termos,
EId2y2/dx2 = -Px/4 + PL/4 (Equação 23)
Onde y2(x) é a função que descreve a curva elástica da parte DB da viga. Integrando, 
encontramos:
EIq2 = EIdy2/dx = -Px2/8 + PLx/4 + C3 (Equação 24)
EIy2 = -Px3/24 + PLx2/8 + C3x + C4 (Equação 25)
FIGURA 70 – DIAGRAMA AE
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Determinação das constantes de integração
As condições que devem ser satisfeitas pelas constantes de integração estão resumidas 
na Fig. 72. No apoio A, onde a flecha é definida pela Eq. 21, devemos ter x=0 e yl=0.
FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º 
Ed., Makron Books, 1995.
No apoio B, onde a flecha é definida pela Eq. (25), devemos ter x=L e y2=0. Além disso, 
pelo fato de não poder ocorrer nenhuma mudança brusca na flecha e na declividade, no ponto 
D teremos θ1=θ2 e y1=y2 para x=L/4. Encontramos então:
[x=0, y1=0], Eq. (21): 0=C2 (Equação 26)
[x=L, y2 =0], Eq. (25): 0=(1/12)PL3 + C3L + C4 (Equação 27)
[x=L/4, θ1=θ2], Eqs. (20) e (24):
(3PL2)/128 + C1 = (7PL2)/128 + C3 (Equação 28)
[x=L/4,y1=y2], Eqs. (21) e (25):
(PL3)/512 + C1L/4 = (11PL3)/1536 + C3L/4 + C4 (Equação 29)
Resolvendo essas equações simultaneamente, obtemos:
C1 = -(7PL2)/128, C2 = 0, C3 = -(11PL2)/128,
C4 = PL3/384
Levando os valores de C1 e C2 nas Equações (21) e (22), escrevemos que, para x<L/4,
EIq1 = (3Px2)/8 -(7PL2)/128 (Equação 30)
FIGURA 71 – VIGA AB
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EI y1 = Px3/8 -(7PL2)x/128 (Equação 31)
Fazendo x=L/4 em cada uma dessas equações, encontramos para a flecha e a 
declividade da viga em D as expressões:
θD=-PL2/(32EI) e yd=-(3PL3)/256EI
 
Uma vez que Dθ = 0, a flecha no ponto D não é a máxima deformação da viga.
UNIDADE 2TÓPICO 282
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Neste tópico vimos que:
	Ao diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área de 
secção transversal da viga denomina-se Linha elástica.
	Para determinarmos analiticamente a equação da linha elástica utilizamos condições de 
contorno de forma a facilitar a eliminação de incógnitas.
	Para estabelecer a declividade e a deflexão de vigas em um determinado ponto deduzimos a 
equação diferencial da linha elástica, a qual rege a curva ou linha elástica, que caracteriza 
a forma da viga deformada.
	No caso de uma viga suportar uma carga distribuída w(x), a linha elástica pode ser obtida 
diretamente de w(x), através de quatro integrações sucessivas. As constantes serão 
determinadas partir dos valores de contorno de V, M, q e y.
RESUMO DO TÓPICO 2
UNIDADE 2 TÓPICO 2 83
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Ao final deste tópico, para aprofundar seus conhecimentos adquiridos, resolva 
as questões que seguem.
1) Determinar, para o carregamento indicado: a) a equação da linha elástica da viga em 
balanço AB; b) a flecha e a declividade na extremidade livre.
AUT
OAT
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ADE �
2) Determinar, para a viga a seguir: a) a equação da linha elástica; b) a flecha e a 
declividade na extremidade livre.
3) Determinar, para a viga em balanço com o carregamento indicado: a) a equação da 
linha elástica para o trecho AB; b) a flecha e declividade no ponto B.
UNIDADE 2TÓPICO 284
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4) A barra rígida DEF é soldada ao perfil laminado AB no ponto D. Determinar, para 
o carregamento indicado: a) a declividade para a viga no apoio A; b) A flecha no 
ponto médio C. Adotar, para o perfil W 410 x 60, E = 207 GPa e I = 210x10
6 
mm
4 
.
5) Determinar, para a viga e o carregamento indicados: a) a declividade no ponto A; 
b) a flecha no ponto D. Adotar E = 200 GPa e I = 13,33x10
6 
mm
4
.
6) Determinar para a viga em balanço indicada, a declividade e a flecha no ponto B. 
Adotar E = 200 GPa.
UNIDADE 2 TÓPICO 2 85
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7) Determinar as equações da linha elástica usando as coordenadas x1 e x2 . 
Considerar EI constante.
8) Determinar as equações da linha elástica da viga usando as coordenadas x1 e x2. 
Considerar EI constante. Especificar a inclinação em A e a deflexão máxima.
9) Determinar as equações da linha elástica da viga usando as coordenadas x1 e x2. 
Considerar EI constante. Especificar a deflexão máxima.
UNIDADE 2TÓPICO 286
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10) O eixo apoia-se em A por um mancal que exerce apenas ações verticais sobre ele, 
e em C por um mancal de encosto que exerce reações horizontal e vertical sobre 
tal eixo. Determinar as equações da linha elástica usando as coordenadas x
1 
e x
2
. 
Considerar EI constante.
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ESTUDO DA FLAMBAGEM
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 2
Neste item estudaremos o fenômeno da flambagem, que consiste em uma deformação 
semelhante à de flexão, mas que ocorre devido à atuação de cargas axiais de compressão 
sendo aplicadas em elementos esbeltos. Durante este estudo iremos entender em que consiste 
uma peça esbelta, quando estudaremos o índice de esbeltez e sua influência sobre a resistência 
de uma estrutura sujeita a compressão.
Ao sofrer a ação de uma carga axial de compressão, a peça pode perder a sua 
estabilidade, sem que o material tenha atingido o seu limite de escoamento. Este colapso 
ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua secção transversal.
2 FLAMBAGEM
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 72 – REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA RECEBENDO 
CARGA AXIAL DE COMPRESSÃO
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3 CARGA CRÍTICA
Denomina-se carga crítica a carga axial que faz com que a peça venha a perder a sua 
estabilidade, demonstrada pelo seu encurvamento na direção do eixo longitudinal.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
Onde: Pcr - carga crítica [ N; kN;...]
 E - módulo de elasticidade do material [M pa; G Pa;...]
 J - momento de inércia da secção transversal [m4; cm4 ; ...] 
 lf - comprimento livre de flambagem [m; m m ; ...]
4 COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM
Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta diferentes 
comprimentos livres de flambagem. Representados nas figuras por Le.
FIGURA 73 – REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA RECEBENDO 
CARGA CRÍTICA
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 
2000.
5 ÍNDICE DE ESBELTEZ ( λ )
É definido através da relação entre o comprimento de flambagem Lf e o raio de giração 
mínimo da secção transversal da peça i.
λ - Índice de esbeltez (adimensional)
ℓf - Comprimento de flambagem (m; mm; .....)
imin - Raio de giração mínimo (m; ......)
6 TENSÃO CRÍTICA
A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade do material. 
Desta forma, observa-se que o material deverá estar sempre na região de formação elástica, 
pois o limite de proporcionalidade constituiu-se no limite máximo para validade da lei de Hooke.
FIGURA 74 – PEÇAS COM DIVERSOS COMPRIMENTOS DE FLAMBAGEM
UNIDADE 2TÓPICO 390
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ATEN
ÇÃO!
Onde: σc r - tensão crítica (MPa; .....)
 E - módulo de elasticidade do material (MPa; GPa; .....) 
 λ - índice de esbeltez (adimensional)
 π - constante trigonométrica 3, 1415....
7 FLAMBAGEM NAS BARRAS NO CAMPO DAS 
DEFORMAÇÕES ELASTO-PLÁSTICAS
Evidenciar um erro comum: Quando a tensão de flambagem ultrapassa 
a tensão de proporcionalidade do material, a fórmula de Euler perde a 
sua validade. Para estes casos utiliza-se o estudo Tetmajer, que indica:
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
Exemplo 1
A figura 75 representa uma barra de aço ABNT 1020 que possui d = 50 mm. Determinar 
o comprimento mínimo para que possa ser aplicada a equação de Euler.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., 
Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 76 – REPRESENTAÇÃO DE UMA BARRA DE AÇO
QUADRO 2 – ESTUDO DE TETMAJER 
UNIDADE 2 TÓPICO 3 91
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Solução:
Para que possa ser aplicada a equação de Euler, > 105 (aço doce). Tem-se, então, que:
Como a peça está duplamente engastada, conclui-se então que 
Exemplo 2
Determinar a carga axial de compressão máxima que poderá ser aplicada na barra, 
admitindo-se um coeficiente de segurança k= 2 dados: L= 1,2m ; d= 34mm; E= 210 Gpa.
Solução:
Obs: A barra sendo biarticulada, o seu comprimento de flambagem é o comprimento 
da própria barra.
a) Índice de Esbeltez
O raio de giração da secção transversal circular é, portanto:
Portanto maior que 105. Conclui-se que a barra encontra-se no domínio da equação 
de Euler.
b) Carga Crítica
O momento de inércia de secção circular é:
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Então;
Como o coeficiente de segurança é k = 2, a carga máxima admitida que seja aplicada 
na barra é:
LEITURA COMPLEMENTAR
EQUIPAMENTO TESTA RESISTÊNCIA DE MATERIAIS EM NANOESCALA
O projeto, o desenvolvimento e a fabricação de produtos como automóveis, aviões 
e computadores devem grande parte de seu sucesso aos sistemas de testes de materiais 
em larga escala - os MTS (“Material Testing Systems”). Eles permitiram que os engenheiros 
entendessem os fundamentos do comportamento mecânico de vários materiais e estruturas.
No mundo da nanotecnologia, entretanto, onde a caracterização de materiais e estruturas 
acontece na escala de átomos e moléculas, os sistemas atuais de testes de materiais não têm 
UNIDADE 2 TÓPICO 3 93
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qualquer utilidade. Mas o problema com que se deparam os nanotecnologistas é o mesmo dos 
primeiros engenheiros mecânicos e de materiais.
É por isto que o desenvolvimento de um sistema de testes de materiais universal em 
nanoescala, que possa ser colocado em um microscópio de força atômica - instrumento capaz 
de ampliar imagens aproximadamente um milhão de vezes - e possua a resolução e precisão 
necessárias para testar mecanicamente objetos em nanoescala tem sido um dos grandes 
desafios da comunidade científica que trabalha com nanotecnologia.
Agora, pesquisadores da Universidade Northwestern, Estados Unidos, construíram a 
primeira micromáquina completa que é capaz de testar e analisar fenômenos de nanomecânica 
em tempo real. O equipamento, minúsculo o suficiente para ser inserido em um microscópio 
eletrônico, já demonstrou suas capacidades ao caracterizar as propriedades mecânicas de 
nanofios e nanotubos de carbono.
O n-MTS (“nano-Material Testing System”), desenvolvido pela equipe do Dr. Horacio D. 
Espinosa, consiste de um atuador e um sensor de carga, fabricados por meio da microtecnologia 
utilizada na fabricação de chips de computador. O sensor de carga é baseado no sensoriamento 
de diferencial capacitivo, o que lhe dá uma resolução de cerca de 10 nano-Newtons. 
Este é o primeiro sistema de testes de materiais em nanoescala que oferece capacidade 
de observação contínua da deformação e falha de amostras, com resolução subnanométrica, 
ao mesmo tempo em que mede eletronicamente as forças aplicadas com resolução de nano-
Newtons. Sua construção foi possível graças à integração de componentes eletromecânicos 
e termomecânicos em escala microscópica.
Um dos desafios resolvidos pelos pesquisadores foi a integração dos sistemas 
microeletromecânicos (MEMS) com os circuitos para a medição de sinais eletrônicos. Eles 
resolveram o problema utilizando uma arquitetura de duplo chip, consistindo de um chip MEMS 
e de outro chip contendo os sensores microeletrônicos.
Outro desafio foi a montagem das nanoestruturas individuais sobre o dispositivo 
de testes. Utilizando um nanomanipulador no interior de um microscópio de rastreamento 
eletrônico de duplo feixe e de um aparato de foco de feixe iônico - uma nova ferramenta agora 
à disposição dos nanocientistas -, os pesquisadores pegaram as nanoestruturas, cortaram-nas 
no comprimento adequado e as soldaram sobre o n-MTS utilizando uma técnica que consiste 
na deposição de platina, induzida por meio de um feixe de elétrons.
FONTE: Extraído de: Inovação Tecnológica. Equipamento testa resistência de materiais em nanoescala, 
Disponível em: <http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=010165050928>. 
Acesso em: 06 abr. 2009.
UNIDADE 2TÓPICO 394
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Neste tópico vimos que: 
	Denomina-se carga crítica a carga axial que faz com que a peça venha a perder a sua 
estabilidade, demonstrada pelo seu encurvamento na direção do eixo longitudinal.
	Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta diferentes 
comprimentos livres de flambagem. Representados nas figuras por Le.
	O índice de esbeltez é definido através da relação entre o comprimento de flambagem Lf e 
o raio de giração mínimo da secção transversal da peça i.
	A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade do material. Desta 
forma, observa-se que o material deverá estar sempre na região de formação elástica, pois 
o limite de proporcionalidade constituiu-se no limite máximo para validade da lei de Hooke.
RESUMO DO TÓPICO 3
UNIDADE 2 TÓPICO 3 95
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Para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões que seguem.
1) Determinar o índice de esbeltez de uma barra de madeira de 8 m de comprimento e 
secção retangular 20 x 25 cm. Considerar engastada em ambas as extremidades.
2) Uma barra quadrada de 25 cm de lado e 800 cm de comprimento apresenta módulo 
de elasticidade 2E4 Kgf/mm2. Calcular a carga crítica de Euler para a barra engastada 
em uma extremidade e livre na outra.
3) É dada uma barra prismática de aço com extremidade engastada e outra articulada 
com 5 x 7cm de secção. Sendo a tensão de proporcionalidadedo material 23Kgf/
mm2, determinar o comprimento para a aplicação da equação de Euler.
4) Qual a carga crítica de flambagem no problema anterior, se as extremidades forem 
engastadas e o comprimento da coluna for de 2,5 m? Determine a carga útil utilizando 
um coeficiente de segurança de 2.
5) Calcular o diâmetro de uma biela para suportar uma carga de flambagem de 8tf, 
sendo E= 2,1. 106 Kgf/cm2, seu comprimento de 80 cm, limite de proporcionalidade 
do material 22Kgf/mm2 e o coeficiente de segurança adotado 2.
6) Uma barra bi-rotulada de 500 cm de comprimento e secção transversal retangular de 
30 x 15cm é solicitada por uma força de compressão P = 14 tf. Verificar as condições 
de segurança da barra, considerando o fenômeno da flambagem.
Dados:
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	E = 15.104 Kgf/cm2
	tensão prop. = 100 Kgf/cm2
	tensão escoamento = 120 Kgf/cm2
	H = 1,64 Kgf/cm2
	K = 300 Kgf/cm2
	n = 2 (sobre a tensão de escoamento).
7) Uma barra de aço doce possui secção transversal circular e encontra-se articulada nas 
extremidades, devendo ser submetida a uma carga axial de 1600 Kgf. Sabendo-se 
que o seu comprimento é de 1,2m, determinar por Euler o seu diâmetro, considerando 
um coeficiente de segurança de 8. (Eaço = 210 GPa).
8) Uma barra de aço de 7 x 5 cm de secção é duplamente articulada e seu comprimento 
é de 2,5 m. Usando um c.s. de 2,0 e E = 21000 Kgf/m2, determine a carga máxima 
admissível na barra.
9) Uma barra de aço doce tem secção retangular; de 10 x 5cm com um furo central de 
3 cm de diâmetro. Sabendo-se que seu comprimento é de 200cm e é duplamente 
articulada, determine a carga crítica.
Dados: E = 2,1 E 6 Kgf/cm2 .
UNIDADE 2 TÓPICO 3 97
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AVAL
IAÇÃ
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 2, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade. 
UNIDADE 2TÓPICO 398
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UNIDADE 3
COMBINAÇÃO DOS ESFORÇOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 Após o estudo desta unidade o(a), acadêmico estará apto a:
•	 determinar analiticamente e graficamente os valores das tensões 
máximas e mínimas atuantes num plano;
•	 utilizar-se graficamente do Círculo de Mohr para determinação de 
tensões e direções principais, por exemplo;
•	 analisar um elemento de construção mecânica submetido as mais 
diversas solicitações combinadas, utilizando as equações de 
transformação ou o Círculo de Mohr.
PLANO DE ESTUDOS
 Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada 
um deles, você encontrará atividades que o auxiliarão a fixar os 
conteúdos.
TÓPICO 1 – ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO GERAL 
DE TENSÕES 
TÓPICO 2 – CÍRCULO DE MOHR
TÓPICO 3 – ESFORÇOS COMBINADOS
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Neste tópico, mostraremos como transformar os componentes de tensão, associados 
a um sistema de coordenadas particular, em componentes associados a um sistema de 
coordenadas que tenha orientação diferente. Uma vez estabelecidas as equações de 
transformação necessárias, poderemos obter a tensão normal máxima em um ponto e 
determinar a orientação dos elementos sobre os quais atua. A transformação em um estado 
plano de tensões será discutida na primeira parte do capítulo, uma vez que essa condição é 
a mais comum na prática da engenharia. No final, discutiremos um método para determinar a 
tensão de cisalhamento máxima absoluta em um ponto quando o material esta sujeito a estados 
de tensão tanto planos como tridimensionais.
ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO 
GERAL DE TENSÕES
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 3
2 TRANSFORMAÇÃO NO ESTADO 
PLANO DE TENSÕES
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
O estado de tensão da Figura 76a não é encontrado com frequência na prática da 
Engenharia. Aproximações ou simplificações das cargas sobre o corpo são efetuadas a fim de que 
FIGURA 76 – ESTADO GERAL DE TENSÃO (a), ESTADO PLANO DE TENSÕES (b,c)
UNIDADE 3TÓPICO 1102
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a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisada em um plano simples.
Observações gerais:
1. Em torno de um ponto, um elemento de superfície, podendo assumir uma infinidade de 
posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes 
a cada uma dessas posições.
2. O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os 
planos passando pelo ponto.
Observações sobre o paralelepípedo de tensões:
1. Demonstra-se que o estado de tensão num ponto fica definido quando forem conhecidas 
as tensões nesse ponto referentes aos três planos ortogonais entre si, que se interceptam 
no ponto considerado.
2. Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo tri- 
retângulo, situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõem-se as tensões conhecidas.
3. Orientamos o nosso paralelepípedo considerado como um sólido de dimensões infinitesimais, 
tomando como origem o ponto em estudo e como eixos de referência as arestas a ele 
concorrentes.
4. Nas três faces do paralelepípedo que são “visíveis”, ocorrem tensões iguais e de sentidos 
opostos.
5. O estado de tensões num ponto, no caso mais geral, ficará então definido conhecendo-se 
nove tensões, que são as que atuam nas faces do paralelepípedo elementar.
3 OS DIFERENTES ESTADOS DE TENSÃO 
NUM PONTO
Os diferentes estados de tensão num ponto são:
 
•	Estado Triplo ou Triaxial – As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo elementar 
admitem componentes nas direções de todas as suas arestas.
•	Estado Plano, Duplo, ou Biaxial – As tensões no paralelepípedo apresentam componentes 
paralelas a apenas dois eixos.
UNIDADE 3 TÓPICO 1 103
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•	Estado Simples ou Uniaxial – Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de uma 
única aresta.
•	Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões 
tangenciais. O simples valor τ xy =τ yx é suficiente para definir o estado de tensão no ponto.
Análise das tensões no Estado Plano
O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão 
num plano qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais 
passando pelo ponto e supostas previamente conhecidas.
Estado Geral Plano de tensões em um ponto:
Dois componentes de tensão normal, σx, σy, e um componente de tensão de 
cisalhamento, τ xy, que atuam sobre as quatro faces do elemento.
Convenção: Estado de tensão no plano x-y.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 77 – ESTADO DE TENSÃO NO PLANO X-Y 
UNIDADE 3TÓPICO 1104
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Objetivo: Supondo que o estado de tensão seja definido pelos componentes σ x, σ y, τ 
xy orientados ao longo dos eixos x, y, como na Figura 76a, mostraremos como obter os quatro 
componentes σ x’ , σ y’ e τ x’ y’, orientados ao longo dos eixos x’, y’, Figura 76b, de modo que 
representem o mesmo estado de tensão no ponto.
Procedimento para determinar os componentes σ x’, τ x’ y’ que atuam sobre a face 
x’ do elemento.
1 Secionar o elemento da Figura 78a (Figura 78c). Área secionada (ΔA).
2 Desenhar o diagramade corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam 
sobre o elemento, ou seja, multiplicam-se os componentes de tensão de cada face pela área 
sobre a qual atuam.
3 Aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções x’ e y’ para obter os 
componentes de tensão desconhecidos σ x’, τ x’ y’.
4 Se σ y’, que atua sobre a face +y’ do elemento da Figura 78b, tiver de ser determinado, 
considere um elemento como na Figura 79d. Depois é só seguir o procedimento já descrito. 
Note que a tensão de cisalhamento não precisará ser determinada se ela já tiver sido calculada, 
visto que ela atende à propriedade complementar de cisalhamento.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 78 – REPRESENTAÇÃO DE ESTADOS DE TENSÃO
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4 EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO 
DE TENSÃO PARA O ESTADO PLANO
Convenção de Sinal:
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
O componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na 
direção positiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direção negativa 
da coordenada da face negativa do elemento como na Figura 79a.
Para lembrar a convenção de sinais: a tensão normal é positiva quando atua para fora 
de todas as faces, e a tensão de cisalhamento é positiva quando atua para cima na face direita 
do elemento.
Ângulo θ: Orientação do plano inclinado no qual devem ser determinados os 
componentes das tensões normal e de cisalhamento (positivo no sentido anti-horário), Figura 
79b.
Componentes das tensões normal e de cisalhamento.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
FIGURA 79 – CONVENÇÃO DE SINAIS
FIGURA 80 – ELEMENTO NO ESTADO PLANO DE TENSÕES (a, b, c)
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Aplicam-se as equações de equilíbrio de força para se determinar os componentes 
desconhecidos das tensões normal e de cisalhamento, σ x’, τ x’ y’.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
Equações Gerais de Transformação de tensão para o estado plano.
Para determinar σ y’ , basta substituir θ por (θ + 90) , em (1) e assim tem-se:
5 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE 
CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO
Prática da Engenharia: é importante determinar a orientação dos planos que fazem a 
tensão normal chegar ao máximo e ao mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem 
a tensão de cisalhamento chegar ao máximo.
Observações
1. Posição Principal: Posição para a qual as tensões tangenciais nas faces do paralelepípedo 
FIGURA 80d – ELEMENTO NO ESTADO PLANO DE TENSÃO
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elementar são todas nulas, restando apenas tensões normais.
Estado Triplo de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2-3
Tensões Principais - σ 1 −σ 2 −σ 3
Planos Principais - Planos 1-2-3
Estado Plano de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2
Tensões Principais - σ 1 −σ 2
Planos Principais - Planos 1-2
Tensões Principais no Plano
Determinação da tensão normal máxima e mínima.
(Equação 4)
(Equação 5)
(Equação 6)
(Equação 7)
Lembrando que:
Então:
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Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões 
normais, a tensão de cisalhamento é nula.
Importante:
1 - Tensões Principais - Tensões normais máxima e mínima.
2 - Planos Principais – Planos de atuação das tensões principais.
3 - Direções Principais – Definem os planos principais.
Posição dos Planos Principais
Resolvendo a eq. (5), obtemos a orientação θ =θ p dos planos de tensões normais 
máxima e mínima.
(Equação 8)
(Equação 9)
(Equação 10)
θ p - ângulo que define o plano de tensão normal extrema.
Solução de (8)
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(Equação 11)
(Equação 12)
Duas menores determinações:
Os eixos principais são definidos por θ p1 e θ p2 através dos quais os planos principais 
ficam determinados. Os planos principais são ortogonais entre si, como apresenta a Figura 81.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
6 CÁLCULO DAS TENSÕES PRINCIPAIS
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos 
e Científicos, 2000.
FIGURA 81 – PLANOS PRINCIPAIS.
FIGURA 82 – ORIENTAÇÃO DOS PLANOS DE TENSÕES NORMAIS MÁXIMA E 
MÍNIMA.
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Solução: Duas raízes θ p1 e θ p2. Os valores de 2θ p1 e 2θ p2 estão defasados de 
180º. θ p1 e θ p2 estarão defasados de 90º.
Para calcularmos as tensões principais devemos substituir os valores de sen2θ p1 e cos 
2θ p1, nas equações (1) e (3). Dessa forma, encontraram-se os valores do seno e cosseno a 
partir dos triângulos apresentados na Figura 7. A montagem dos triângulos da Figura 7 baseia-
se na equação (8).
Supondo-se que τ xy e σ x-σ y são quantidades positivas ou ambas as quantidades 
negativas, temos:
Para θ p1
(Equação 13)
(Equação 14)
(Equação 15)
(Equação 16)
Para θ p2
Substituindo-se um dos conjuntos de equações (13) e (14) ou (15) e (16) nas equações 
(1) e (3), teremos:
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(Equação 17)
Caro(a) Acadêmico(a)! A equação (17) nos dá a tensão normal máxima 
ou mínima no plano a qual atua sobre um ponto em que σ 1 ≥σ 2. As 
trincas na viga de concreto da Figura 84 foram provocadas por tensões 
de tração, apesar de ela estar submetida tanto ao momento interno 
como a cisalhamento. As equações de transformação de tensão são 
usadas para prever a direção das trincas, bem como as tensões normais 
principais que as provocaram.
FIGURA 83: TESTE DE TENSÃO EM VIGA DE CONCRETO
FONTE: Autor
Tensões Tangenciais Extremas e seus Planos
Planos de Tensões Tangenciais Extremas
Deriva-se a expressão (6) em relação a θ e iguala-se esta derivada a zero. θ c - Ângulo 
que define aqueles planos.
Dessa forma tem-se:
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(Equação 18)
(Equação 19)
(Equação 20)
(Equação 21)
(Equação 22)
A Solução da equação (18) é da seguinte forma:
Para as menores determinações:
Planos Principais x Planos de Tensões Tangenciais Extremas
As conclusões obtidas a partir das expressões (22) são as seguintes:
1 tg (2θp)= - 1/ tg (2θc).
2 Os ângulos 2θc e 2 θp diferem de 90o (2θc - 2θp= 900).
3 Os ângulos θc e θp diferem de 450 (θc- θp= 450).
4 O par de eixos ortogonais relativos às tensões de cisalhamento máximas, no plano xy, é 
obtido pela rotação de 450 nos eixos principais.
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(Equação 23)
(Equação 24)
Tensões Tangenciais Extremas
Para calcularmos as tensões de cisalhamento máximas, devemos substituir os valores de 
sen2θ c ecos 2θ c, na equação (2). Dessa forma, encontram-se os valores do seno e cosseno 
a partir dos triângulos apresentados na Figura 84. A montagem dos triângulos da Figura 9 se 
baseia na equação (18).
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
Supondo-se que τ xy e σ x-σ y são quantidades positivas ou ambas as quantidadesnegativas, temos:
Para θ c1
Substituindo-se as expressões (23) e (24) na equação (2) teremos:
FIGURA 84 – TRIÂNGULOS FORMADOS A PARTIR DA EXPRESSÃO 18.
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τ max é chamada de tensão máxima no plano, porque atua sobre o elemento no plano 
x-y. Substituindo-se os valores de sen2θ c e cos 2θ c , na equação (1), verificamos que há uma 
tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máximo dada por:
(Equação 25)
(Equação 26)
Caro(a) Acadêmico(a)! Como no caso das equações de transformação 
de tensão, é conveniente programar as equações anteriores de tal 
forma que sejam usadas numa calculadora de bolso.
Conclusões:
1- As tensões tangenciais extremas diferem apenas em sinal. Seus valores absolutos são iguais. 
Isto, aliás, está de acordo com a lei da reciprocidade das tensões, visto que τ max e τ min 
agem em planos perpendiculares conforme demonstrado anteriormente. O sinal indicará o 
sentido da tensão tangencial, conforme convenções estabelecidas anteriormente.
2- Tensões Principais:
3- Tensões tangenciais extremas:
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(Equação 27)
(Equação 28)
(Equação 29)
(Equação 30)
(Equação 31)
De onde
Então:
4- É constante a soma das tensões normais que agem em dois planos ortogonais quaisquer, 
passando no ponto.
Somando as expressões (28) e (29), chega-se a:
5- Cada ponto admitirá, pois um invariante característico de seu estado de tensões, dado por:
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Neste tópico, vimos que:
	Em torno de um ponto, um elemento de superfície, podendo assumir uma infinidade de 
posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes 
a cada uma dessas posições.
	O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os 
planos passando pelo ponto.
	Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo tri-retângulo 
situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõe-se as tensões conhecidas.
	O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num 
plano qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais, 
passando pelo ponto e supostas previamente conhecidas.
	Dois componentes de tensão normal, σx, σy e um componente de tensão de cisalhamento, 
τ xy, atuam sobre as quatro faces do elemento.
	As chamadas Tensões Principais são as tensões normais máxima e mínima.
	Os Planos Principais são os planos de atuação das tensões principais.
	As Direções Principais definem os planos principais.
RESUMO DO TÓPICO 1
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Para exercitar seus conhecimentos, resolva as questões a seguir:
1 Em um ponto de um membro estrutural sujeito a tensões planas, há tensões sobre 
os planos horizontal e vertical através do ponto, como apresenta a figura a seguir.
(a) Determine as tensões principais e as tensões tangenciais extremas no ponto.
(b) Localize os planos sobre os quais estas tensões atuam e mostre as tensões num 
esboço completo.
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos 
e Científicos, 2000.
2 Quando a carga de torção é aplicada à barra da figura a seguir, produz um estado 
de tensão de cisalhamento puro no material. Determinar:
a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média; 
b) A tensão principal.
FIGURA 85 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO 1
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., 
Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.
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Resolver exercícios do livro do Hibbler, citado nas referências 
(capítulo 9).
FIGURA 86 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO 2
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CÍRCULO DE MOHR
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
UNIDADE 3
O Circulo de Mohr consiste em um método gráfico para determinar o estado de 
tensões de um elemento solicitado, utilizando ferramentas matemáticas que aprendemos no 
estudo da geometria analítica. O estudo do estado de tensão num ponto segundo direções 
arbitrárias, a determinação das tensões e direções principais, entre outras possibilidades, 
pode ser efetuada graficamente recorrendo-se ao Círculo de Mohr. Portanto, trata-se de uma 
importante ferramenta a ser adotada em análises de resistência dos materiais, e como tal 
merece grande atenção em seu estudo.
2 TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHR
O traçado do Círculo de MOHR:
1 - Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ, 
com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ, 
com sentido positivo para baixo. Figura 87. 
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e 
Científicos, 2000.
2 - Usando a convenção de sinal positiva para σ x, σ y e τ xy, como mostra a figura 88, marcamos 
o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância da origem dada por:
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora 
Livros Técnicos e Científicos, 2000.
FIGURA 87 – TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHR
FIGURA 88 – REPRESENTAÇÃO DO ESTADO DE TENSÃO
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3- Marcar o “ponto de referência” A de coordenadas A (σ x ,τ xy ). Esse ponto representa os 
componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, 
como o eixo x’ coincide com o eixo x, isso significa que θ=0.
4- Unir o ponto A ao centro C e determinar CA, usando trigonometria. Essa distância representa 
o raio R do círculo.
5- Traçar o círculo.
3 TENSÕES PRINCIPAIS
1- Pontos B e D da Figura 87 - Definem as tensões normais extremas, σ 1 e σ 2 (σ 1 ≥σ 2). 
Observe as tensões de cisalhamento que são nulas nesses pontos.
2- Essas tensões atuam sobre os planos definidos pelos ângulos θ p1 e θ p2, como na Figura 
89. Eles sã representados no círculo pelos ângulos 2θ p1 (mostrado) e 2θ p2 e medidos da 
linha de referência radial CA para as linhas CB e CD, respectivamente.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
1- Apenas um desses ângulos precisa ser calculado pelo círculo, usando-se trigonometria, 
uma vez que θ p1 e θ p2 estão 90º afastados. A direção de rotação no círculo 2θ p (nesse 
caso, no sentido anti-horário) representa a mesma direção de rotação θ p a partir do eixo 
de referência (+x) para o plano principal (+x’) como apresenta a Figura 89.
FIGURA 89 – TENSÕES ATUAM SOBRE OS PLANOS
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4 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO
1- Coordenadas do Ponto E e F (Figura 88).
2- Os ângulos θ c1 e θ c2 dão a orientação dos planos que contêm os componentes, Figura 
90. O ângulo 2θ c1 é determinado por trigonometria a partir da Figura 87.
FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
3- Nesse caso, a rotação ocorre no sentido horário e, desse modo, θ c1 deve estar no sentido 
horário no elemento.
5 TENSÕES NUM PLANO QUALQUER
1- Os componentes das tensões normal e de cisalhamento ‘σ x e τ x’ y’ que atuam sobre um 
plano especificado definido pelo ângulo θ, como na Figura91 são obtidos no círculo usando-
se trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P na Figura 87.
FIGURA 90 – TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO
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FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros 
Técnicos e Científicos, 2000.
1- Para localizar P, o ângulo conhecido para o plano θ (nesse caso, no sentido anti-horário), 
Figura 91 deve ser medido no círculo na mesma direção de 2θ (sentido anti-horário), da 
linha de referência CA para a linha radial CP, Figura 87.
FIGURA 91 – REPRESENTAÇÃO DE UM PLANO ESPECIFICADO 
DEFINIDO PELO ÂNGULO θ
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Neste tópico, vimos que:
	Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ, 
com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ, 
com sentido positivo para baixo.
	Usando a convenção de sinal positiva para σx, σy, τxy, marcamos o centro do círculo, localizado 
no eixo σ a uma distância σmédia= (σx + σy) /2 da origem.
	Marcar o ponto de referência A de coordenadas A (σx, σxy). Esse ponto representa os 
componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, 
como o eixo x´ coincide com o eixo x, isso significa que θ = 0º.
	Unir o ponto A ao centro C e determinar CA por trigonometria. Essa distância representa o 
raio R do círculo.
	Uma vez determinado R, traçar o círculo.
RESUMO DO TÓPICO 2
UNIDADE 3 TÓPICO 2 125
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Para melhor compreender o conteúdo estudado, resolva as questões que 
seguem.
1) Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A do cilindro maciço da figura a seguir, 
está sujeito ao estado de tensão mostrado. Determinar as tensões principais que 
atuam nesse ponto.
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Resolver exercícios do livro do Hibbler citado nas referências 
(capítulo 9).
UNIDADE 3TÓPICO 2126
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ESFORÇOS COMBINADOS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
UNIDADE 3
Um elemento de construção mecânica pode, com frequência, ser submetido às mais 
diversas solicitações, ao mesmo tempo. As solicitações podem ser divididas de acordo com as 
tensões às quais estão submetidas. Vimos, nos dois primeiros itens deste caderno, métodos 
para determinar os diferentes estados de tensão num ponto, bem como determinar graficamente 
e analiticamente os valores das tensões máximas e mínimas atuantes num plano. Neste item, 
buscamos apresentar de forma mais simples e objetiva os efeitos das combinações das cargas 
e apresentar um método de análise para seus efeitos, utilizando os conceitos e as equações 
doravante apresentadas neste caderno.
2 COMBINAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES
A combinação das solicitações pode ser da seguinte forma:
•	Tensão Normal: tração, compressão, flexão.
•	Tensão Tangencial: cisalhamento e torção.
•	Tensão Ideal: Normal + Tangencial.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.
FIGURA 92 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO NORMAL
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.
FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.
FIGURA 93 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO TANGENCIAL
FIGURA 94 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO IDEAL (TRAÇÃO + TORÇÃO)
FIGURA 95 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO IDEAL (FLEXÃO + TORÇÃO)
FIGURA 96 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO IDEAL (TRAÇÃO + CISALHAMENTO)
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FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.
3 MÉTODO DE ANÁLISE
Como método de análise, você deve:
1 – Selecione um ponto da estrutura em que as tensões e as deformações devem ser 
determinadas. (O ponto é geralmente selecionado em uma seção transversal em que as 
tensões são grandes, como uma seção transversal cujo momento fletor apresenta seu valor 
máximo).
2 – Para cada carregamento na estrutura, determine as resultantes de tensão na seção 
transversal, contendo o ponto selecionado. (As resultantes de tensão possíveis são uma 
força axial, um momento de torção, um momento fletor e uma força de cisalhamento).
3 – Calcule as tensões normais e de cisalhamento no ponto selecionado devido a cada uma 
das resultantes de tensão. Se a estrutura é um vaso de pressão, determine as tensões 
devido à pressão interna. (As tensões são encontradas a partir das fórmulas deduzidas. 
Por exemplo:
4 – Obtenha as tensões σ x, σ y e τ xy agindo em um elemento de tensão no ponto.
5 – Determine as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas no ponto 
selecionado, usando as equações de transformação de tensão ou o círculo de Mohr.
6 – Determine as deformações no ponto a partir da Lei de Hooke para tensão plana.
7 – Escolha pontos adicionais e repita o processo.
FIGURA 97 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO TANGENCIAL (FLEXÃO + 
CISALHAMENTO)
UNIDADE 3TÓPICO 3130
R
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S
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S
 
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A
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S
Neste tópico, vimos que:
	Um elemento de construção mecânica pode, com frequência, ser submetido às mais diversas 
solicitações, ao mesmo tempo.
	A combinação das solicitações resulta em:
•	Tensão Normal: tração, compressão, flexão.
•	Tensão Tangencial: cisalhamento e torção.
•	Tensão Ideal: normal + tangencial.
	Para análise destas tensões, utilizamos as equações que aprendemos ao longo de todo o 
nosso estudo para determinação da intensidade de cada uma das solicitações separadamente 
e então a combinamos utilizando as equações de transformação ou o círculo de Mohr 
apresentados no Tópico 1. 
RESUMO DO TÓPICO 3
UNIDADE 3 TÓPICO 3 131
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S
Para melhor entendimento do conteúdo estudado, resolva as questões a seguir:
1) Um eixo do rotor de um helicóptero gira as pás do rotor que fornecem a força 
de sustentação para manter o helicóptero no ar, conforme figura a seguir. Como 
consequência, o eixo é submetido a uma combinação de torção e carregamento axial 
(figura a seguir). Para um eixo de 50 mm de diâmetro transmitindo um torque T=2,4 
kN.m e uma força de tração P=125 kN, determine a tensão de tração máxima, tensão 
de compressão máxima e a tensão de cisalhamento máxima do eixo.
AUT
OAT
IVID
ADE �
UNIDADE 3TÓPICO 3132
R
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S
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final da 
Unidade 3, você deverá fazer a Avaliação referente a esta unidade. 
133
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S
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C
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O
S
 
M
A
T
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A
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S
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron Books, 1995.
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Editora Thomson Learning, 2003.
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e
Científicos, 2000.
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência de Materiais. São Paulo: Érica, 1999.
NASH, William A. Resistência de Materiais. São Paulo: MacGraw Hill, 1993.
SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.
PROVENZA, Francesco. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pro Tec, 1995.