Aula 8 - Interpolação - Método de Lagrange

Prévia do material em texto

Profº Gregorio GonzagaAula 6
• META:
Compreender o processo da interpolação polinomial.
• OBJETIVO:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
 Analisar situações em que poderá se aplicar (ou não) a interpolação.
 Aplicar o método da interpolação de Lagrange em solução de problemas
• PRÉ-REQUISITOS:
Conhecimentos em funções polinomiais.
 Aula 6: Interpolação polinomial – Método de Lagrange.
 Situação problema:
A temperatura, em °C, de determinado líquido varia com o tempo conforme nos
mostra a tabela abaixo.
t (min) P (°C)
0 25
6 50
8 70
10 100
15 110
Fonte: autor - 2015 
a) Determine, através de uma reta, a temperatura
desse líquido após 5 minutos do início do seu
aquecimento?
b) Em que instante do tempo 𝑡 a temperatura atingiu
97 °C? Utilize uma função quadrática para
determinar o instante 𝑡.
 Interpolação:
 A necessidade de obter um valor intermediário que não
consta de uma tabela ocorre comumente.
 Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções
complexas são exemplos desta situação.
 Como obter estes dados?
 Interpolação:
• A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores
conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).
• A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser
adequada às características que pretendemos que a função possua.
• Função a ser considerada:
• Polinômios Interpolação Polinomial
 Interpolação Polinomial:
• Consiste em aproximar os valores de uma função 𝑓(𝑥) através de um
polinômio interpolador do tipo:
𝑃 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛
 Método de Lagrange:
Podemos utilizar o método de Lagrange para determinar o polinômio interpolador,
o que nos poupa resolver sistemas de ordem superior a dois.
Onde
Fórmula:
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑦0𝐿0 𝑥 + 𝑦1𝐿1 𝑥 +⋯+ 𝑦𝑛𝐿𝑛(𝑥)
𝐿𝑘 𝑥𝑘 =
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥𝑛
𝑥𝑘 − 𝑥0 𝑥𝑘 − 𝑥1 𝑥𝑘 − 𝑥2 … 𝑥𝑘 − 𝑥𝑛
Abaixo, segue as fórmulas para os polinômios de grau 1 e grau 2 dadas pelo
método de Lagrange.
e
Interpolação Linear:
𝑃1 𝑥 = 𝑦0𝐿0 𝑥 + 𝑦1𝐿1 𝑥
𝐿0 𝑥 =
𝑥 − 𝑥1
𝑥0 − 𝑥1
𝐿1 𝑥 =
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
Interpolação Quadrática:
𝑃2 𝑥 = 𝑦0𝐿0 𝑥 + 𝑦1𝐿1 𝑥 +𝑦2𝐿2 𝑥
𝐿0 𝑥 =
𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥1
𝐿1 𝑥 =
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥2
𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥2
𝐿2 𝑥 =
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1
 Situação problema:
A temperatura, em °C, de determinado líquido varia com o tempo conforme nos
mostra a tabela abaixo.
t (min) P (°C)
0 25
6 50
8 70
10 100
15 110
Fonte: autor - 2015 
a) Determine, através de uma reta, a temperatura
desse líquido após 5 minutos do início do seu
aquecimento?
b) Em que instante do tempo 𝑡 a temperatura atingiu
97 °C? Utilize uma função quadrática para
determinar o instante 𝑡.
 Exercício:
Para um tanque de água, são fornecidos valores de temperatura em função da
profundidade conforme a tabela a seguir:
a) Utilize o método de Lagrange para determinar o polinômio linear e descobrir a
temperatura da água a 2,70 m. Utilize o arredondamento para 4 casas decimais.
b) Utilize o método de Lagrange para determinar o polinômio quadrático e descobrir a
temperatura da água a 2,70 m. Utilize o arredondamento para 4 casas decimais.
Profundidade (m), x Temperatura (oC), T
1.0 66
1.5 52
2.0 18
2.5 11
3.0 10
 Bibliografia:
• BARROSO, L. C. Cálculo Numérico. 2ª ed. São Paulo: Editora
HARBRA, 1987.
• CUNHA, M. C. Métodos Numéricos. 2ª edição, São Paulo: Editora da
Unicamp, 2000.
• PAZ, Alvaro Puga; PUGA, Leila Zardo; TARCIA, José H. M. Cálculo
Numérico. 1ª edição. Editora LTC, 2009.
• RUGGIERO, M. A. G; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico - Aspectos
Teóricos e Computacionais. 2ª edição, São Paulo: Pearson, 1997.