tensão e deformação

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EDIMAR N. MONTEIRO 
 
 
 
2019 
EDIMAR N. MONTEIRO 
UNNESC 
23/7/2019 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
1 – Tensão e deformação 
Imagem: 
CRAYG. Roy. R. Jr. Mechanics of Materials. 3. ed. 
New York: John Willey & Sons, Inc. 2011, p. 41 
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Prof. Edimar N. Monteiro e-mail: eng.enmonteiro@gmail.com 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 2 
1.1 CONCEITO DE TENSÃO .................................................................................................................. 2 
1.1.1 TENSÃO NORMAL MÉDIA SOB CARGA AXIAL ..................................................................... 6 
Exercícios ........................................................................................................................................15 
1.1.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA ...................................................................................18 
Exercícios ........................................................................................................................................28 
1.1.3 TENSÃO NO PLANO OBLÍQUO...............................................................................................30 
Exercícios ........................................................................................................................................35 
1.2 CONCEITO DE DEFORMAÇÃO .....................................................................................................37 
1.2.1 DEFORMAÇÃO NORMAL .........................................................................................................38 
Exercícios ........................................................................................................................................42 
1.2.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO ..................................................................................44 
Exercícios ........................................................................................................................................48 
1.3 RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO: PROPRIEDADES MECÂNICAS...................................49 
1.3.1 ENSAIOS DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO E DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO .......49 
Exercícios ........................................................................................................................................53 
1.3.2 COMPORTAMENTO DA TENSÃO-DEFORMÇÃO DE MATERIAIS DÚCTEIS E FRÁGEIS
 ...............................................................................................................................................................54 
Exercícios ........................................................................................................................................59 
1.3.3 LEI DE HOOKE...........................................................................................................................60 
Exercícios ........................................................................................................................................65 
1.3.4 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO..................................................................................................68 
Exercícios ........................................................................................................................................71 
1.3.5 COEFICIENTE DE POISSON ...................................................................................................72 
Exercícios ........................................................................................................................................75 
1.3.6 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO PARA O CISALHAMENTO .....................................76 
Exercícios ........................................................................................................................................80 
1.4 FATOR DE SEGURANÇA E TENSÃO ADMISSÍVEL ..................................................................82 
Exercícios ........................................................................................................................................89 
RESPOSTAS ...........................................................................................................................................93 
REFERÊNCIAS........................................................................................................................................95 
APÊNCIDE A – PROPRIEDADES DE ALGUNS MATERIAIS ...........................................................96 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Inicialmente, cumpre destacar que a resistência dos materiais (ou mecânica dos 
materiais) é o ramo da ciência que estuda a relação entre as cargas externas que agem 
sobre um determinado corpo sólido e a distribuição dessas cargas em seu interior, o que 
chamamos de tensões, bem como, as deformações que estão relacionadas a essas 
tensões. 
Assim, ao contrário do que é estabelecido no estudo da mecânica dos corpos rígidos, 
em que, os elementos estruturais e/ou de máquinas são considerados como sendo 
perfeitamente rígidos, ou seja indeformáveis, no estudo da resistência dos materiais 
estabeleceremos a relação entre os carregamentos externos, as tensões e as deformações 
provocadas por esses carregamentos em um corpo sólido (não mais perfeitamente rígido). 
Em resumo: 
 
Figura 1.1 – Escopos de estudo da resistência dos materiais 
Fonte: Autor 
 
1.1 CONCEITO DE TENSÃO 
 
Considerem um corpo rígido sob solicitação externa cujas forças internas resultantes 
que atuam numa dada seção transversal arbitrária estão orientadas sobre um eixo de 
referência tridimensional como mostrado na Figura 1.1. 
 
Figura 1.2 – (a) Corpo rígido sob solicitação interna, (b) distribuição do carregamento interno, (c) cargas 
internas resultantes em um ponto de referência “0” e (d) cargas internas resultantes decompostas sob um 
eixo de referência. 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 4 
Resistência dos 
materiais
estudo das tensões (distribuição interna do carregamento)
estudo das deformações
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Observe-se que a aplicação dos preceitos do equilíbrio dos corpos rígidos – nesse 
caso, a aplicação do método das seções – nos permite determinar um conjunto de cargas 
resultantes decompostas sobre um referencial newtoniano fixo, ponto “0”: momento de 
torção (𝑇), força normal (𝑁), força de cisalhamento (𝑉) e momento fletor (𝑀). 
As formas com que esses carregamentos são distribuídos sobre a área da seção 
transversal em estudo dão origem a dois “tipos” distintos de tensões: as tensões normais 
e as tensões de cisalhamento (cisalhantes), entretanto, a relação entre essas cargas e a 
geometria da seção transversal (que nos permite determinar essas tensões) são diferentes 
e resultam em quatro fórmulas matemáticas distintas, vejamos: 
 
Fonte 1.3 – Expressões matemáticas das tensões 
Fonte: Autor 
 
Para que possamos estabelecer o conceito de tensão, considerem que a área 
secionada da Figura 1.2 pode ser subdividida em pequenas áreas de módulo ∆𝐴, como 
mostrado na Figura 1.4. 
 
Figura 1.4 – Elemento de área ∆𝐴 de uma seção arbitrária e as cargas que atuam sobre ele 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 17. 
Tensões
normais
(𝜎)
𝜎 =
𝑁
𝐴
(devido à força normal) 
𝜎 =
𝑀𝑐
𝐼
(devido ao momento fletor) 
decisalhantes
(𝜏)
𝜏 =
𝑇𝑐
𝐽
(devido ao momento de torção)
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
(devido à força de cisalhamento)
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Prof. Edimar N. Monteiro e-mail: eng.enmonteiro@gmail.comSe decompormos a componente de força ∆𝐹, que atua sobre um dos elementos de 
área ∆𝐴, sobre um referencial newtoniano 𝑥, 𝑦 e 𝑧 com origem em seu centro, obtemos: ∆𝐹𝑧 
que age na direção normal (perpendicular) ao elemento de área e as componentes ∆𝐹𝑥 e 
∆𝐹𝑦 que agem na direção tangente ao elemento de área. É justamente essas direções de 
ação das cargas que dão origem as tensões normais ou cisalhantes. 
Por definição, a tensão é o quociente (a divisão) entre a força interna e a área de 
seção transversal sobre a qual ela atua (que a sustenta) e descreve a intensidade da 
força interna sobre um plano específico (área) que passa por um ponto. 
O quociente entre a força que age na direção normal, ou perpendicular, a área é 
definida com tensão normal, 𝝈 (sigma), e é dada por: 
 
𝜎𝑧 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑧
∆𝐴
 (1.1) 
 
Observem, que a tensão é, em resumo, a intensidade da força por unidade de 
área. 
Se a força está tracionando o elemento a tensão normal resultantes será de tração, 
caso contrário, ou seja, se a força está comprimento o elemento, a tensão resultante será 
de compressão. 
Por sua vez, a tensão de cisalhamento, 𝝉 (tau), é o quociente entre a força que age 
tangente a área e a unidade de área, dada por: 
 
𝜏𝑧𝑥 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
 (1.2) 
 
𝜏𝑧𝑦 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑦
∆𝐴
 (1.3) 
 
Notem a notação da tensão de cisalhamento tem dois subscritos, sendo um para 
indicar a orientação do plano da área ∆𝐴 e outro para indicar a direção da força. Por 
exemplo: 
 
Figura 1.5 – Exemplo de nomenclatura para tensão de cisalhamento 
Fonte: Autor 
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No Sistema Internacionais de Unidades (SI), tanto a tensão normal quanto a de 
cisalhamento são expressas em unidades de Newton por metro quadrado (𝑁 𝑚2⁄ ) que 
equivale a unidade de 1 Pascal (1 𝑃𝑎 = 1 𝑁 𝑚2⁄ ). Como essa unidade é muito pequena para 
expressar os resultados obtidos em situações práticas de engenharia, adota-se, 
comumente, os múltiplos: (103) simbolizado por 𝑘, resultando em 𝑘𝑃𝑎; (106) simbolizado 
por 𝑀, resultando em 𝑀𝑃𝑎 e (109) simbolizado por 𝐺, resultando em 𝐺𝑃𝑎. 
Se o corpo rígido mostrado na Figura 1.4 for secionado em outros planos paralelos, 
planos 𝑥 − 𝑧 e 𝑦 − 𝑧, como mostrado na Figura 1.5, podemos obter um elemento cúbico de 
volume capaz de representar o estado de tensão em torno do ponto escolhido no corpo. 
 
Figura 1.5 – (a) seção 𝑥 − 𝑦, (b) seção 𝑥 − 𝑧 e (c) seção 𝑦 − 𝑧 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 17. 
 
Esse elemento cúbico obtido mostra que o estado de tensão em um ponto do corpo é 
caracterizado por componentes que agem em cada uma de suas faces. Se determinarmos 
as componentes que agem nos seis lados do elemento cúbico, conseguimos expressar o 
estado geral de tensões que age nesse ponto, tal como mostrado na Figura 1.6. 
 
Figura 1.6 – Estado geral de tensão que agem em um elemento cúbico em torno de um ponto do corpo 
rígido 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 18. 
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1.1.1 TENSÃO NORMAL MÉDIA SOB CARGA AXIAL 
 
Para que possamos compreender a aplicabilidade prática do conceito de tensão 
normal, vamos, nesse primeiro momento, limitar a sua aplicação a elementos estruturais 
esbeltos (estreitos e delgados) submetidos somente a cargas axiais de tração ou 
compressão, como ocorre no caso das treliças e outras estruturas. 
Como exemplo desses casos, admita uma barra esbelta extraída de uma treliça que 
esteja submetida a cargas externas de tração com intensidade �⃗� (Figura 1.7b). A carga 
interna em uma seção arbitrária dessa barra pode ser determinada pelas equações de 
equilíbrio estático, resultando em uma carga interna 𝑁 igual e oposta a carga externa �⃗� 
como mostrado na Figura 1.7c. 
 
Figura 1.7 – (a) Treliça submetida a uma solicitação externa, (b) carga atuante no emento de treliça, (c) 
carga interna em uma seção arbitrária do elemento de treliça e (d) perfil de deformação da barra 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 19 e 37. 
 
Conhecendo-se a carga interna e a área de seção transversal perpendicular a ela, 
podemos determinar a tensão normal que atua na barra, entretanto, precisamos 
estabelecer algumas premissas simplificadoras: 
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• A barra deve permanecer reta antes e depois da aplicação da carga. Além 
disso, as linhas de grade horizontais (Figura 1.7d), marcadas na barra como 
referência, devem sofrer deformação uniforme, o que ocorre em regiões mais 
afastadas dos pontos de aplicação das cargas. Nas regiões próximas aos 
pontos de aplicação das cargas ocorrem distorções localizadas, entretanto, 
admitiremos que a deformação é uniforme em todos os pontos como ocorre na 
região central da barra. 
• Para que a barra seja deformada uniformemente é necessário que a carga 
externa �⃗� seja aplicada no centroide de sua seção transversal e que o 
material seja homogêneo1 e isotrópico2. 
 
Com a adoção dessas premissas, podemos determinar a distribuição da tensão 
normal média que atua em uma seção transversal arbitrária dessa barra. Para isso, 
consideremos a Figura 1.8 em que a área de seção transversal total da barra é subdividida 
em pequenas áreas ∆𝐴 que sustentam, cada uma, uma parcela da carga interna 𝑁, ou seja, 
cada elemento de área ∆𝐴 sustenta uma parcela de força ∆𝑁 que é resultando do produto 
entre tensão normal média (𝜎) que atua na barra e o valor do elemento de área ∆𝐴, ou seja, 
∆𝑁 = 𝜎∆𝐴. A soma dessas forças que agem em toda a área de seção transversal deve ser 
equivalente à carga 𝑁 na seção. 
 
Figura 1.8 – Distribuição da carga na área de seção transversal da barra 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 19. 
 
1 Materiais homogêneos têm as mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu volume. 
2 Materiais isotrópicos têm as mesmas propriedades em todas as direções, ao contrário dos materiais anisotrópicos 
que têm propriedades diferentes em direções diferentes. 
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Fazendo-se ∆𝐴 → 𝑑𝐴 e ∆𝑁 → 𝑑𝑁 e admitindo que 𝜎 é constante, obtemos: 
 
+↑ 𝐹𝑅𝑧 = ∑𝐹𝑧; ∫𝑑𝑁 = ∫𝜎𝑑𝐴; 𝑁 = 𝜎𝐴 ∴ 
 
𝝈 =
𝑵
𝑨
 (1.4) 
 
 Em que: 
𝜎 = tensão normal média em qualquer ponto na área de seção transversal, em 𝑃𝑎; 
𝑁 = força normal interna resultante aplicada no centroide da área de seção transversal, 
em 𝑁; 
𝐴 = área de seção transversal da barra, em 𝑚2. 
 
Deve ficar claro que existe somente uma tensão normal em qualquer elemento de 
volume do material localizado em cada ponto da seção transversal de uma barra sob 
carga axial. Isso pode ser evidenciado se considerarmos o diagrama de equilíbrio de um 
elemento de volume obtido de uma barra sob carga axial, tal como mostrado na Figura 
1.9(a). 
 
Figura 1.9 – (a) diagrama de equilíbrio de um elemento de volume obtido de uma barra sob tração axial e 
(b) equilíbrio de tensões (estado monoaxial). 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 20. 
 
Aplicando-se a equação de equilíbrio translacional na direção das forças (Figura 1.9a),obtemos: 
 
+↑ ∑𝐹𝑧 = 0; 𝜎(∆𝐴) − 𝜎
′(∆𝐴) = 0 ∴ 
 
𝜎 = 𝜎′ 
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Esse resultado mostra que as duas componentes da tensão normal no elemento 
devem ter valores iguais, porém, direções opostas, o que resulta em uma tensão uniaxial 
ou em um estado monoaxial de tensão, como mostrado na Figura 1.9(b). 
Toda a análise até então desenvolvida pode ser aplicada a análise de tensão normal 
que atua em elementos sob tração ou compressão como mostrado na Figura 1.10. 
 
Figura 1.10 – tensão normal média de tração e compressão 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 20. 
 
Até agora, nossa análise foi conduzida admitindo-se que a carga interna 𝑁 e a área 
de seção transversal da barra eram constantes, como resultado a tensão normal 𝜎 = 𝑁 𝐴⁄ 
também é constante em todo o comprimento da barra. Entretanto, em algumas situações 
práticas, uma mesma barra pode estar sujeita a várias cargas externas ao longo de seu 
eixo ou pode ocorrer mudanças em sua área de seção transversal, como mostra a Figura 
1.11(a). 
 
Figura 1.11 – (a) barra submetida a cargas axiais diversas e (b) diagrama de carga axial 
Adaptado de: HIBBELER, 2018, p. 22. 
 
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Nesses casos, a tensão no interior da barra irá variar de uma seção para a outra e 
para determinar a tensão normal máxima será necessário determinar o ponto em que a 
razão 𝑁 𝐴⁄ é máxima. Para isso, é necessário determinar a fora interna 𝑁 em cada uma das 
seções da barra, sendo conveniente, nesses casos, traçar o diagrama de carga axial ou 
normal que representa graficamente a variação da carga normal 𝑁 em relação à posição 𝑥 
ao longo do comprimento da barra, como mostrado na Figura 1.11(b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.1) Cada barra da treliça tem uma área de seção transversal de 780 𝑚𝑚2. 
Determine a tensão normal média nas barras 𝐵𝐶, 𝐵𝐷 e 𝐷𝐸. Considere 𝑃 = 40 𝑘𝑁. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.2) A barra na figura tem largura constante de 35 𝑚𝑚 e espessura de 10 𝑚𝑚. 
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é submetida à carga 
mostrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.3) O elemento 𝐴𝐶 mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 
3 𝑘𝑁. Determine a posição 𝑥 dessa força de modo que a tensão de compressão média no 
apoio liso 𝐶 seja igual à tensão de tração média na barra 𝐴𝐵. A área de seção transversal 
da barra é 650 𝑚𝑚2 e a área 𝐶é 500 𝑚𝑚2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.4) A barra possui uma área de seção transversal de 400 × 10−6 𝑚2. 
Considerando que está sujeita a uma carga axial triangular distribuída ao longo do seu 
comprimento, a qual vale 0 em 𝑥 = 0 e 9 𝑘𝑁/𝑚 em 𝑥 = 1,5 𝑚, e a duas cargas 
concentradas, como mostrado, determine a tensão normal média na barra como função de 
𝑥 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 0,6 𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1.1) Refazer os exemplos 1.6 e 1.7 da bibliográfica básica. 
1.2) As barras 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 possuem, cada uma, 5 𝑚𝑚 de diâmetro. Se uma carga 𝑃 = 2 𝑘𝑁 é 
aplicada no anel, determine a tensão normal média em cada barra quando 𝜃 = 60°. 
 
1.3) Determine a tensão normal média desenvolvida na seção transversal. Esboce a 
distribuição de tensão normal na seção transversal. 
 
1.4) Se a força de 600 𝑘𝑁 atua através do centroide da seção transversal, determine a 
tensão normal média desenvolvida. 
 
1.5) A viga uniforme é suportada por duas hastes 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 que possuem áreas transversais 
de 10 mm² e 15 mm², respectivamente. Determine a intensidade w da carga distribuída para 
que a tensão normal média em cada haste não exceda 300 𝑘𝑃𝐴. 
 
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1.6) O eixo construído consiste na junção de um tubo 𝐴𝐵 e uma barra sólida 𝐵𝐶. O tubo 
possui diâmetro interno de 20 𝑚𝑚 e diâmetro externo de 28 𝑚𝑚, enquanto a barra sólida 
tem diâmetro de 12 𝑚𝑚. Determine a tensão normal média nos pontos 𝐷 e 𝐸. Além disso, 
indique se a tensão é de tração ou compressão. 
 
1.7) Determine a tensão normal média desenvolvida nos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 da barra. O 
diâmetro de cada segmento é indicado na figura. 
 
1.8) A coluna feita de concreto com densidade de 2300 𝑘𝑔 𝑚3⁄ . Em sua parte superior 𝐵, 
esta está sujeita a uma força de compressão de 15 𝑘𝑁. Determine a tensão normal média 
na coluna em função da distância 𝑧 medida a partir da sua base. 
 
1.9) A viga é suportada por duas hastes, 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷, que têm áreas de seção transversal de 
12 𝑚𝑚2 e 8 𝑚𝑚2, respectivamente. Determine a posição 𝑑 da carga de 6 𝑘𝑁 para que a 
tensão normal média em cada haste seja a mesma. 
 
 
 
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1.10) A barra possui uma área de seção transversal de 400 × 10−6 𝑚2. Considerando que 
foi sujeita a uma carga axial triangular distribuída ao longo do seu comprimento, a qual vale 
0 em 𝑥 = 0 e 9 𝑘𝑁/𝑚 em 𝑥 = 1,5 𝑚, e ás duas cargas concentradas, como mostrado, 
determine a tensão normal média na barra como função de 𝑥 para 0,6 ≤ 𝑥 ≤ 1,5 𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÉDIA 
 
Como vimos, a tensão de cisalhamento resulta da aplicação de uma carga na direção 
tangente a área de sustentação. Para que possamos compreender a aplicação do conceito 
de tensão de cisalhamento média vamos nos concentrar no estudo do cisalhamento 
direto que ocorre no caso de aplicação de uma carga transversal sobre um elemento 
estrutural ou de máquina cuja distância livre entre os pontos de sustentação da carga é 
suficientemente pequena para que a flexão seja desprezada. 
Para que possamos visualizar a ocorrência dessa situação, observemos a Figura 1.12 
que representa a vista em corte de uma conexão com um parafuso. 
 
Figura 1.12 – Vista em corte de uma conexão com um parafuso em cisalhamento 
Fonte: BEER et al., 2011, p. 30 
 
Imaginemos agora, que as duas chapas finas fixadas pelo parafuso são puxadas em 
sentidos opostos, ou seja, são submetidas a uma carga de tração (Figura 1.13a). Nesse 
caso elas aplicarão cargas iguais e opostas no parafuso, como mostrado na Figura 1.13(b). 
 
 
(a) (b) (c) 
 
Figura 1.13 – (a) junta de sobreposição sujeita a cargas externas iguais e opostas, (b) diagrama de corpo 
livre do parafuso de fixação e (c) seção no parafuso 
Adaptado de: BEER et al., 2011, p. 30 
 
Observem que devido a pequena espessura das chapas a distância entre as cargas 
opostas é suficientemente curta para que a flexão (dobra) experimentada pela parteentre 
as cargas possa ser desprezada. Assim, nesse caso, ocorrerá cisalhamento direto, de 
modo que o único efeito da carga sobre o parafuso será a tendência a “cortá-lo” num plano 
tangente à carga, como mostrado na Figura 1.13(c). 
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Uma vez compreendido o conceito de cisalhamento direto, vamos definir o valor da 
tensão de cisalhamento média que age no plano em que o parafuso sobre a ruptura (corte). 
Para isso, notem que a as chapas, quando tracionadas com cargas iguais e opostas (Figura 
1.13(a), aplicam cargas externas no parafuso também iguais e opostas de intensidades 𝐹 
e 𝐹′⃗⃗ ⃗ (Figura 1.13b). Se fizermos uma seção, por exemplo, abordando a parte superior do 
parafuso, obtemos o diagrama de corpo livre representado na Figura 1.13(c). 
Aplicando a equação de equilíbrio translacional nesse diagrama de corpo livre, 
obtemos a carga interna que atua na seção transversal, 𝑉 = 𝐹 , que tem módulo igual à 
carga externa. Assim, podemos obter a tensão de cisalhamento média distribuída sobre 
a área de seção transversal do parafuso na forma: 
 
𝝉 =
𝑽
𝑨
 (1.5) 
 
Em que: 
𝜏 = tensão de cislhamento média na seção, em 𝑃𝑎; 
𝑉 = força de cisalhamento interna resultante na seção, em 𝑁; 
𝐴 = área da seção de sustentação da carga, em 𝑚2. 
 
A ação da tensão de cisalhamento média que atua na seção transversal do parafuso 
é mostrada na Figura 1.14, apontando que a tensão pode ser considerada como tendo um 
valor único (médio) em qualquer ponto da área de seção transversal. 
 
Figura 1.14 – Ação da tensão de cisalhamento média na seção transversal 
Fonte: BEER et al., 2011, p. 43. 
 
O caso discutido até então é um exemplo de cisalhamento simples, visto que é 
provocado pela ação direta da carga externa que é aplicada ao elemento, ou seja, a carga 
interna 𝑉 na seção de ruptura é sempre igual à carga externa aplicada 𝐹 . Esses 
acoplamentos onde o cisalhamento simples ocorre são chamados de juntas sobrepostas. 
 
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Entretanto, há casos práticos de engenharia em são utilizadas juntas de dupla 
superposição, como a mostrada na Figura 1.15(a). Nesse caso, se cargas externas iguais 
e opostas são aplicadas nas chapas, obtemos, por exemplo, o diagrama de corpo livre 
mostrado na Figura 1.15(b) para o parafuso HJ. 
 
 
 
(a) (b) (c) 
Figura 1.15 – (a) junta de dupla superposição sujeita às cargas externas iguais e opostas, (b) diagrama de 
corpo livre do parafuso HJ e (c) seção KK’/LL’ do parafuso HJ 
Adaptado de: BEER et al., 2011, p. 31 
 
Se o parafuso é secionado entre os planos KK’ e LL’, obtemos o diagrama de corpo 
livre representado pela Figura 1.15(c). Assim, a aplicação da condição de equilíbrio estático 
na direção das cargas resulta em 𝑉 = 𝐹/2, ou seja, cada uma das áreas de sustentação 
(observem que agora o parafuso tende a romper em dois planos diferentes KK’ e LL’) é 
responsável por suportar metade (𝐹/2) da cara externa aplicada. Nesse caso, temos a 
condição denominada de cisalhamento duplo. 
Para que possamos visualizar, de forma mais clara, a diferença entre o cisalhamento 
simples e o duplo, observemos a Figura 1.16 que representa o diagrama esquemático de 
uma ferramenta de corte industrial. 
 
(a) (b) 
Figura 1.16 – (a) aplicação prática do cisalhamento simples e (b) aplicação prática do cisalhamento duplo 
Adaptado de: BEER et al., 2011, p. 48. 
 
 
 
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Na Figura 1.16(a) temos uma situação de cisalhamento direto simples. Direto 
porque o tamanho da peça a ser seccionada é pequeno o suficiente para que a flexão 
sofrida seja desprezada. Simples, pois, somente a área de seção transversal de um dos 
lados está submetida à tensão de cisalhamento, de modo que a força cortante interna nessa 
seção será igual e oposta à força externa, ou veja, 𝑉 = 𝐹. 
Na situação representada pela Figura 1.16(b) ocorre cisalhamento direto duplo. 
Direto porque o tamanho da peça a ser seccionada é pequeno o suficiente para que a flexão 
sofrida seja desprezada. Simples, pois, as áreas de seção de ambos os lados da peça a 
ser cortada, em contato com a ferramenta de corte, estarão submetidas à tensão de 
cisalhamento, de modo que a força interna em cada uma dessas seções será equivalente 
à metade da carga interna, ou seja, 𝑉 = 𝐹/2. 
Assim, de forma resumida o cisalhamento pode direto se resume em: 
 
Figura 1.17 – Resumo das características do cisalhamento direto 
Fonte: Autor 
 
Vimos que um elemento de volume, escolhido arbitrariamente, em um membro 
estrutural submetido ao carregamento axial está sujeito a um estado monoaxial de tensão 
devido a condição de equilíbrio estático requerido para esse elemento (Figura 1.9). A 
mesma situação ocorre com a tensão de cisalhamento. Para que possamos visualizar essa 
condição, chamada de propriedade complementar do cisalhamento, considere um 
elemento de volume tomado em um ponto da seção localizado na superfície de uma área 
onde age uma tensão de cisalhamento média, tal como mostrado pela Figura 1.18(a). 
Nesse caso haverá uma tensão direta de cisalhamento devido a força cortante 𝑉 
(superfície superior), denotada por 𝜏𝑧𝑦, entretanto, as condições de equilíbrio translacional 
e rotacional exigirão que tensões de cisalhamento de mesma intensidade atuem nos outros 
três lados do elemento, como mostrado na Figura 1.18(b). 
Cisalhamento
direto
Simples
quando a força externa tende a 
"cortar" a peça em uma única 
seção, de modo que a força 
interna na seção de cortecserá 
igual a externa 
Duplo
quando a força externa tende a 
"cortar" a peça em duas seções, 
de modo que a força interna em 
cada uma dessas seções será 
equivalente metade da força 
externa aplicada
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Figura 1.18 – (a) força cortante aplicada a um plano, (b) tensões de cisalhamento que agem em um 
elemento cúbico extraído desse plano, (c) forças que agem no elemento cúbico e (d) estado de tensão de 
um elemento de volume sob cisalhamento puro 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 25. 
 
Para que possamos compreender por que isso ocorre, devemos relembrar que a força 
atuante em cada face do elemento é o produto da tensão pela área. Com base nessa 
definição podemos estabelecer, por exemplo, a condição de equilíbrio translacional na 
direção 𝑦. Para isso, escrevemos (com base na Figura 1.18c): 
 
∑𝐹𝑦 = 0; 𝜏𝑧𝑦(∆𝑥∆𝑦) − 𝜏
′
𝑧𝑦(∆𝑥∆𝑦) = 0, o que resulta em: 
 
𝜏𝑧𝑦 = 𝜏
′
𝑧𝑦 
 
Esse resultado implica que a aplicação de uma tensão de cisalhamento na face 
superior do elemento na direção 𝑦 e sentido positivo (ou seja, 𝜏𝑧𝑦) requer a ação de uma 
tensão de cisalhamento na face inferior do elemento na direção 𝑦, porém, no sentido 
negativo (ou seja, 𝜏′𝑧𝑦) para que o equilíbrio translacional nesse sentido seja estabelecido. 
Considere agora o momento gerado pela tensão 𝜏𝑧𝑦 em relação ao eixo 𝑥, que tende 
a rotacionar o elemento de volume no sentido horário em torno do eixo 𝑥. Para que o 
equilíbrio rotacional em torno desse eixo seja estabelecido é necessária a ação de uma 
tensão de cisalhamento no plano perpendicular ao eixo 𝑦 na direção 𝑧 (ou seja, 𝜏𝑦𝑧) que 
tenda a rotacionar o elemento de volume no sentido anti-horário em torno do eixo 𝑥 e assim, 
fazer com que a condição de equilíbrio rotacional seja estabelecida. Issopode ser 
demonstrado escrevendo-se (com base na Figura 1.18c): 
 
∑𝑀𝑥 = 0; −[𝜏𝑧𝑦(∆𝑥∆𝑦)]∆𝑧 + [𝜏𝑦𝑧(∆𝑥∆𝑧)]∆𝑦 = 0, o que resulta em: 
 
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𝜏𝑧𝑦 = 𝜏𝑦𝑧 
 
 
Esse resultado mostra que a ação de uma tensão de cisalhamento em uma das faces 
de um elemento cúbico de volume, fazendo que ele tenda a girar em um sentido, requer a 
ação de uma tensão de cisalhamento de mesma intensidade em um plano perpendicular 
ao plano de ação da tensão inicial, fazendo com que ele tensa a girar no sentido oposto. 
Os oriundos da aplicação da propriedade complementar do cisalhamento fazem com 
que o estado de tensão de um elemento de volume submetido a uma única força cortante 
seja aquele mostrado na Figura 1.18c, que representa o estado de tensão de um elemento 
sob cisalhamento puro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.5) Se a junta de madeira tem uma espessura de 150 𝑚𝑚, determine a tensão 
de cisalhamento média desenvolvida ao longo das seções 𝑎 − 𝑎 e 𝑏 − 𝑏. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.6) O elemento inclinado na figura está submetido a uma força de compressão 
de 3.000 𝑁. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal 
definido por 𝐸𝐵𝐷. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.7) A viga é apoiada por um pino em 𝐴 e um elo curto 𝐵𝐶. Se 𝑃 = 15 𝑘𝑁, 
determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pinos 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Todos os pinos 
estão sujeitos a cisalhamento duplo, como mostra a figura, e cada um tem diâmetro de 
18 𝑚𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1.11) Refazer o exemplo 1.9 da bibliografia básica. 
1.12) Se 𝑃 = 20 𝑘𝑁, determine a tensão normal média desenvolvidas nos pinos 𝐴 e 𝐶. Os 
pinos estão sujeitos a cisalhamento duplo como mostrado e cada um tem diâmetro de 
18 𝑚𝑚. 
 
1.13) Se a junta está sujeita a um carregamento axial de 9 𝑘𝑁, determine a tensão de 
cisalhamento média desenvolvida em cada pino de 6 𝑚𝑚 de diâmetro: (a) entre as placas, 
𝜏𝑃 e (b) entre os pinos e a madeira 𝜏𝑚. 
 
1.14) A roda de apoio em um andaime é mantida em sua extremidade por um pino de 4 𝑚𝑚 
de diâmetro. Considerando que a roda está sujeita a uma força normal de 3 𝑘𝑁, determine 
a tensão de cisalhamento média no pino. Suponha que o pino suporta apenas uma carga 
vertical de 3 𝑘𝑁. 
 
 
 
 
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1.15) Determine a tensão de cisalhamento média no pino 𝐴 da treliça se uma força 
horizontal 𝑃 = 40 𝑘𝑁 é aplicada ao nó 𝐶. O pino tem diâmetro de 25 𝑚𝑚 e está submetido 
ao cisalhamento duplo. 
 
1.16) O alicate de pressão é usado para dobrar a extremidade do arame 𝐸. Se uma força 
de 100 𝑁 for aplicada nas hastes do alicate, determine a tensão de cisalhamento média no 
pino 𝐴. O pino está sujeito a cisalhamento duplo e tem diâmetro de 5 𝑚𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1.3 TENSÃO NO PLANO OBLÍQUO 
 
Vimos nas seções anteriores que as forças axiais aplicadas em uma barra provocam 
tensões normais na direção perpendicular a área de sustentação da carga, ao passo que a 
aplicação de forças transversais em parafusos e pinos, por exemplo, provocam tensões de 
cisalhamento que agem na direção tangente ao plano de aplicação da carga. Entretanto, 
essas relações entre carregamento e tensão somente são válidas se tivermos analisando 
planos perpendiculares as barras ou conexões, como mostrado nas Figuras 1.19(a) e (b). 
 
 
(a) (b) 
Figura 1.19 – (a) tensão normal agindo em um plano perpendicular da barra e (b) tensão de cisalhamento 
agindo em um plano perpendicular do parafuso 
Adaptado de: BEER et al., 2011, p. 43. 
 
Vamos agora estender nossa análise a situações em que desejamos determinar as 
tensões que agem em um plano obliquo de uma barra submetida à carga axial, como 
mostrado na Figura 1.20(a). 
 
 
(a) (b) 
 
 
(c) (d) 
Figura 1.20 – (a) plano de tensões orientado a um ângulo 𝜃 medido em relação a um eixo perpendicular a 
carga externa e (b) diagrama de corpo livre da barra seccionada, (c) decomposição da cara e (d) tensões 
que agem no plano obliquo. 
Adaptado de: BEER et al., 2011, p. 43. 
 
 
 
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Se o plano obliquo for medido 𝜃 graus em relação a uma linha perpendicular ao plano 
de aplicação da carga, como mostrado na Figura 1.20(a), podemos estabelecer uma 
equação específica para essa situação. 
Para a condução dessa análise, estabelecemos a seção em um plano obliquo e 
obtemos a carga interna nessa seção, como mostrado na Figura 1.20(b). A carga interna 
resultante, 𝑃, pode ser decomposta em uma componente perpendicular e outra tangente 
ao plano obliquo, denotadas por 𝑁 e 𝑉, respectivamente, como mostrado na Figura 1.20(c). 
Observem que a área 𝐴𝜃 do plano obliquo sobre o qual agem as componentes da 
carga 𝑃 depende da inclinação 𝜃 do plano e é diferente da área de seção transversal 𝐴 da 
barra (Figura 1.20c). Uma relação entre essas áreas pode ser estabelecida. Para isso, 
considere a relação entre as áreas 𝐴, 𝐴𝜃 e 𝜃 tal como representado na Figura 1.21. 
 
Figura 1.21 – relação entre 𝐴, 𝐴𝜃 e 𝜃 
Fonte: Autor 
 
Podemos escrever 𝐴𝜃 em função de 𝐴 através de relação trigonométrica: 
 
cos𝜃 =
𝐴𝜃
𝐴
 ∴ 𝐴𝜃 =
𝐴
cos𝜃
 
 
A razão entre a componente normal da carga interna, 𝑁, e a área do plano obliquo 𝐴𝜃, 
resulta em uma tensão normal no plano, ou seja, 𝜎 = 𝑁/𝐴𝜃. Entretanto, podemos 
escrever essa tensão em função da carga interna 𝑃 e da área de seção transversal 𝐴. 
 
𝜎 =
𝑃 cos𝜃
𝐴
cos𝜃
=
𝑃 cos𝜃 cos𝜃
𝐴
 ∴ 
 
𝝈 =
𝑷
𝑨
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 (1.6) 
 
 
 
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Por sua vez, a razão entre a componente tangencial da carga interna, 𝑉, e a área do 
plano obliquo 𝐴𝜃, resulta em uma tensão de cisalhamento no plano, 𝜏 = 𝑉/𝐴𝜃. Da mesma 
forma, podemos escrever essa tensão em função da carga externa �⃗� e da área de seção 
transversal 𝐴: 
 
𝜏 =
𝑃 sin 𝜃
𝐴
cos 𝜃
=
𝑃 sin 𝜃 cos𝜃
𝐴
 ∴ 
 
𝝉 =
𝑷
𝑨
𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐜𝐨𝐬 𝜽 (1.7) 
 
Nas Equações 1.6 e 1.7, temos: 
 
𝜎 = tensão normal no plano obliquo, em𝑃𝑎; 
𝜏 = tensão de cisalhamento no plano obliquo, em 𝑃𝑎; 
𝑃 = carga interna na barra, em 𝑁; 
𝜃 = ângulo de inclinação do plano obliquo, medido em relação ao plano perpendicular ao 
eixo de aplicação da carga; em ° (graus); 
𝐴 = área da seção transversal, perpendicular, da barra, em 𝑚2. 
 
Importante observar que há uma limitação na aplicação das Equações 1.6 e 1.7. 
Isso ocorre porque elas foram desenvolvidas para determinar as tensões normais e de 
cisalhamento que agem em um plano obliquo cuja inclinação é medida em relação a um 
plano perpendicular ao eixo de aplicação da carga externa. Assim, caso o ângulo do plano 
obliquo seja medido em relação a um plano tangente ao eixo de aplicação da carga, deve-
se utilizar o ângulo complementar a 90° para o valor de 𝜃 nas Equações 1.6 e 1.7. Vejam 
essa diferença nos exemplos 1.8 e 1.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.8) A junta de topo quadrada aberta é usada para transmitir uma força de 250 𝑁 
de uma placa a outra. Determine as componentes da tensão de cisalhamento média e da 
tensão normal média que essa cria na face da solda, seção 𝐴𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.9) Dois elementos de madeira de seção retangular uniforme são unidas 
através de uma cola específica. Sabendo que 𝑃 = 11 𝑘𝑁, determine as tensões normal e 
de cisalhamento desenvolvidas na junta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1.17) O corpo de falhou no ensaio de tração a um ângulo de 52° sob uma carga axial de 
100 𝑘𝑁. Se o diâmetro do corpo de prova for 12 𝑚𝑚, determine a tensão de cisalhamento 
média e a tensão normal média que agem na área do plano de falha inclinado. Determine 
também qual a tensão normal média em atuação sobre a seção transversal quando ocorreu 
a falha. 
 
1.18) A prancha de madeira está sujeita a uma força de tração de 2 𝑘𝑁. Determine a tensão 
de cisalhamento média e a tensão normal média desenvolvidas nas fibras de madeira 
orientadas ao longo da seção 𝑎 − 𝑎 a 30° em relação ao eixo da prancha. 
 
1.19) O bloco de plástico é sujeito a uma força de compressão axial de 600 𝑁. Supondo 
que as tampas nas partes superior e inferior distribuam a carga uniformemente ao longo 
do bloco, determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que age na 
seção 𝑎 − 𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.20) Dois elementos usados na construção de uma fuselagem de aeronave são unidos por 
uma solda boca de peixe (do inglês, fish-mouth weld) de 30°. Determine a tensão normal 
média e a tensão de cisalhamento média no plano de cada solda. Suponha que cada plano 
inclinado suporta uma força horizontal de 2 𝑘𝑁. 
 
1.21) Dois elementos de ação são unidos por uma solda de topo angulada de 30°. 
Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média suportada no plano 
da solda. 
 
1.22) Determine a maior intensidade 𝑤 da carga uniforme que pode ser aplicada à estrutura 
sem que a tensão normal média ou tensão de cisalhamento média na seção 𝑏 − 𝑏 
ultrapasse 𝜎 = 15 𝑀𝑃𝑎 e 𝜎 = 16 𝑀𝑃𝑎, respectivamente. O elemento 𝐶𝐵 possui uma seção 
transversal quadrada de 30 𝑚𝑚 cada lado. 
 
 
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1.2 CONCEITO DE DEFORMAÇÃO 
 
Vimos nas seções anteriores que a aplicação de cargas externas (solicitações) em 
elementos estruturais ou de máquinas tem como efeito o aparecimento de tensões, normais 
ou cisalhantes, em planos internos desses corpos sólidos. Entretanto, as tensões não são 
o único efeito das solicitações. Há também o surgimento de deformações. 
Para que possamos visualizar como as deformações ocorrem, observemos a Figura 
1.22(a). Nela temos um elemento de alta elasticidade (grande capacidade de deformação) 
fixado a um equipamento de aplicação de carga axial, porém, sem, ainda, aplicação de 
carga. Notem que existem três linhas de referência marcadas no elemento: uma vertical, 
uma horizontal e outra inclinada. 
 
(a) (b) 
Figura 1.22 – (a) corpo de prova altamente elástico antes da aplicação da carga e (b) corpo de prova 
altamente elástico após a aplicação da carga. 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 58. 
 
A Figura 1.22(b) mostra o elemento após a aplicação da carga axial de tração. 
Observem que a linha vertical sofreu um alongamento e a linha horizontal uma contração 
(veremos que essa diferença é proporcional). Além disso, é possível observar que a linha 
inclinada sofreu uma rotação no sentido horário, de modo que houve um aumento do ângulo 
entre ela e a linha horizontal. 
Como veremos, a extensão e a contração das linhas vertical e horizontal estão 
relacionadas à tensão normal e por isso são chamadas de deformação normal, ao passo 
que a rotação da linha inclinada está relacionada à tensão de cisalhamento, e por isso é 
chamada de deformação por cisalhamento. 
 
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Veremos que, até certo ponto, existe uma proporcionalidade entre a tensão e a 
deformação, em ambos os casos. 
 
1.2.1 DEFORMAÇÃO NORMAL 
 
Para que possamos compreender o conceito de deformação normal, analisemos a 
Figura 1.23 que representa uma barra de comprimento inicial de 𝐿0 (m), submetida a uma 
carga axial 𝑃. Observem que, após a aplicação da carga, o comprimento final da barra 
muda para 𝐿 (m), sofrendo um acréscimo de 𝛿 (delta) metros. 
 
Figura 1.23 – Deformação normal sofrida por uma barra sob carga axial 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 58. 
 
Com base nessa observação experimental, estabelecemos matematicamente a 
deformação normal média – 𝛿 (delta), ou simplesmente deformação normal – da barra 
como: 
 
𝐿0 + 𝛿 = 𝐿 ∴ 
 
𝜹 = 𝑳 − 𝑳𝟎 (1.8) 
 
Em que: 
𝛿 = deformação normal média, em 𝑚; 
𝐿 = comprimento final; em 𝑚; 
𝐿0 = comprimento inicial; em 𝑚. 
 
A deformação norma média depende, além da carga e das propriedades mecânicas 
dos materiais, das características geométricas (comprimento inicial e área de seção 
transversal) do elemento estrutural ou de máquina em questão. Dessa forma, é conveniente 
estabelecermos uma relação adimensional entre o comprimento final e o comprimento 
inicial do elemento, de modo que essa relação seja independente de suas características 
geométricas. 
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Chamaremos essa relação adimensional de deformação específica normal média 
– 𝜖 (épsilon), ou simplesmente deformação específica – que estabelece a razão entre a 
deformação sofrida pelo elemento e seu comprimento inicial, ou seja, estabelece uma 
porcentagem de deformação em relação ao comprimento inicial. Matematicamente, é dada 
por: 
 
𝜖 =
𝐿−𝐿0
𝐿0
 (1.9) 
 
Substituindo a Equação 1.9 em 1.8, escrevemos 𝜖, na forma: 
 
𝝐 =
𝜹
𝑳𝟎
 (1.10) 
 
Em que:𝜖 = deformação específica normal média, adimensional ou 𝑚𝑚 𝑚𝑚⁄ , 𝑖𝑛 𝑖𝑛⁄ ; 
𝛿 = deformação normal média, em 𝑚,𝑚𝑚, etc.; 
𝐿0 = comprimento inicial, em 𝑚,𝑚𝑚, etc. 
 
Observem que a razão é adimensional pois tanto 𝛿 como 𝐿0 são dados em unidade 
de comprimento (𝑚,𝑚𝑚, 𝑖𝑛, etc.). Entretanto, na prática de engenharia essa grandeza é 
comumente expressa em unidades de: 𝑚 𝑚⁄ ,𝑚𝑚 𝑚𝑚⁄ , 𝑖𝑛 𝑖𝑛⁄ , entre outras. 
Importante notar a diferença entre 𝜹 e 𝝐. A deformação, 𝛿, estabelece a deformação 
(alongamento ou contração) de um elemento estrutural ou de máquina quando este é 
submetido a uma carga axial, ou seja, mede o alongamento ou redução de seu 
comprimento em unidades dimensionais. 
Por sua vez, a deformação específica, 𝜖, estabelece o percentual de deformação 
(alongamento ou contração) de um elemento estrutural ou de máquina quando este é 
submetido a uma carga axial, ou seja, mede a porcentagem de alongamento ou contração 
de seu comprimento em relação ao tamanho inicial. 
A maioria dos materiais de engenharia sofre pequenas deformações normais, ou seja, 
𝜖 ≪ 1. Sempre que isso for verdadeiro, podemos adotar a premissa da “análise de 
pequenas deformações” que permite a simplificação dos cálculos da deformação normal. 
Dentre as simplificações possíveis podemos adotar que tan 𝜃 ≈ 𝜃, com 𝜃 dado em radianos. 
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EXEMPLO 1.10) A barra rígida é sustentada por um pino em 𝐴 e pelos cabos 𝐵𝐶 e 𝐶𝐸. Se 
a carga �⃗� aplicada à viga provocar um deslocamento de 10 𝑚𝑚 para baixo na extremidade 
𝐶, determine a deformação normal específica desenvolvida nos cabos 𝐶𝐸 e 𝐵𝐷. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.11) Parte de uma ligação de controle para um avião consiste em um elemento 
rígido 𝐶𝐵𝐷 e um cabo flexível 𝐴𝐵. Se uma força for aplicada à extremidade 𝐷 do elemento 
e provocar uma rotação 𝜃 = 0,3°, determine a deformação normal específica no cabo. Em 
sua posição original o cabo não está esticado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1.23) Refazer os exemplos 2.1 e 2.2 da bibliografia básica. 
1.24) Parte de uma ligação de controle para um avião consiste em um elemento rígido 𝐶𝐵𝐷 
e um cabo flexível 𝐴𝐵. Se uma força for aplicada à extremidade 𝐷 do elemento e provocar 
uma rotação deformação normal no cabo de 0,0035 𝑚𝑚/𝑚𝑚, determine o deslocamento 
do ponto 𝐷. Em sua posição original o cabo não está esticado. 
 
1.25) Quando a força �⃗� é aplicada ao braço rígido 𝐴𝐵𝐶, o ponto 𝐵 desloca-se verticalmente 
para baixo através de uma distância de 0,2 𝑚𝑚. Determine a deformação normal 
desenvolvida no fio 𝐶𝐷. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.26) Se a força aplicada �⃗� faz com que o braço rígido 𝐴𝐵𝐶 gire no sentido horário sobre o 
pino A através de um ângulo de 0,02°, determine a tensão normal desenvolvida nos fios 𝐵𝐷 
e 𝐶𝐸. 
 
1.27) As hastes rígidas 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶, conectadas por pinos, estão inclinadas em 𝜃 = 30° quando 
estão descarregadas. Quando a força �⃗� é aplicada, 𝜃 se torna 30,2°. Determine a 
deformação normal média no cabo 𝐴𝐶. 
 
1.28) O cabo 𝐴𝐵 não está alongado quando 𝜃 = 45°. Se uma carga é aplicada à barra 𝐴𝐶, 
o que faz com que 𝜃 se torne 47°, determine a deformação normal no cabo. 
 
 
 
 
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1.2.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO 
 
Para que possamos entender como ocorre a deformação por cisalhamento em um 
corpo sólido, observemos a Figura 1.24(a) que mostra um elemento estrutural ou de 
máquina sobre o qual foram marcados dois segmentos de reta perpendiculares entre si. 
 
(a) (b) 
 
(c) 
Figura 1.24 – deformação normal sofrida por uma barra sob carga axial 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 59. 
 
Se aplicarmos uma força cortante nesse elemento, esses segmentos de reta tendem 
a sofrer uma mudança de ângulo de modo que deixem de ser perpendiculares entre si, 
como mostrado na Figura 1.24(b). Notem que o ângulo, antes reto, pode tornar-se agudo 
ou obtuso, a depender do sentido de aplicação da carga. 
Essa mudança de ângulo que ocorre entre os segmentos de reta é chamada de 
deformação por cisalhamento, 𝑦 (gama), e é sempre medido em radianos (rad), que são 
adimensionais. 
Assim, a deformação por cisalhamento, 𝑦, representa a variação na inclinação de dois 
segmentos de reta que estão inicialmente perpendiculares entre si de modo que o ângulo 
final se torne 𝜃. Essa deformação pode ser, matematicamente, expressa por: 
 
𝒚 =
𝝅
𝟐
− 𝜽 (1.11) 
 
Em que: 
𝑦 = deformação por cisalhamento, em 𝑟𝑎𝑑; 
𝜃 = ângulo dos segmentos após a aplicação da carga, em 𝑟𝑎𝑑. 
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Notem que a Equação 1.11 mede a diferença entre o ângulo de 90° (𝜋 2⁄ 𝑟𝑎𝑑) e o 
ângulo final 𝜃, de modo que, de forma simplificada, a deformação por cisalhamento mede 
o quanto o ângulo de 𝟗𝟎° foi alterado, podendo tornar-se maior ou menor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.12) A forma original da peça de borracha é retangular. Determine a 
deformação por cisalhamento média 𝑦𝑥𝑦, se os cantos 𝐵 e 𝐷 forem submetidos a 
deslocamentos que provoquem a distorção da borracha mostrada pelas linhas tracejadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.13) A forma original de uma peça de plástico é retangular. Determine (a) a 
deformação por cisalhamento em 𝐷 e (b) a deformação normal média que ocorre ao longo 
das diagonais 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1.29) Refazer o exemplo 2.3 da bibliografia básica. 
1.30) A placa retangular é deformada na forma de um losango mostrado pela linha 
tracejada. Determine a deformação por cisalhamento média no ponto 𝐴 em relação aos 
eixos 𝑥 e 𝑦. 
 
1.31) A placa triangular é deformada na forma mostrada pela linha tracejada. Determine a 
deformação normal desenvolvida ao longo da aresta 𝐵𝐶 e a tensão de cisalhamento 
média no canto 𝐴 em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦. 
 
1.32) A placa quadrada é deformada na forma mostrada pela linha tracejada. Determine a 
tensão normal média ao longo da diagonal 𝐴𝐶 e a deformação de cisalhamento do ponto 
𝐸 em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦. 
 
 
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1.3 RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO: PROPRIEDADES MECÂNICAS 
 
Nas seções anteriores, abordamos os conceitos de tensão e deformação de forma 
isolada. Nessa seção, discutiremos como a tensão e a deformação podem ser 
correlacionadas de forma experimental para determinar as propriedadesmecânicas dos 
materiais através dos diagramas tensão-deformação. 
Veremos que a resistência de um material depende de sua capacidade de suportar 
carga sem sofrer deformação excessiva. Essa propriedade é inerente ao próprio material e 
pode ser determinada de forma experimental. 
 
1.3.1 ENSAIOS DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO E DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
 
As propriedades mecânicas dos materiais são determinadas através de ensaios 
mecânicos específicos em corpos de provas padronizados (Figura 1.24a) capazes de 
representar de maneira apropriada o comportamento do material quando solicitado 
mecanicamente. O ensaio de tração é o mais comum e o mais importante dos ensaios, 
sendo conduzido em uma máquina específica capaz alongar o corpo de prova a uma taxa 
lenta e constante até a sua ruptura, medindo, a cada instante, a tensão e a deformação 
sofrida pelo corpo de prova. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 1.24 – (a) corpo de prova padronizado (𝑑0 ≈ 12,4 𝑚𝑚 e 𝐿0 ≈ 51 𝑚𝑚) típico para ensaio de tração e 
(b) máquina para condução do ensaio de tração 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 72 e BEER et al., 2011, p. 59. 
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Nesse tipo de ensaio, a tensão e a deformação de engenharia são calculadas pela 
área da seção transversal e comprimento de referência originais do corpo de prova. 
Matematicamente, esses dados são obtidos pelas Equações: 
 
𝝈 =
𝑷
𝑨𝟎
 (1.12) 
 
𝝐 =
𝜹
𝑳𝟎
 (1.13) 
 
Em que: 
𝜎 = tensão nominal ou tensão de engenharia, [𝑃𝑎] 
𝜖 = deformação específica ou deformação de engenharia, [𝑚/𝑚] 
𝑃 = carga axial, [𝑁] 
𝐴0 = área original da seção transversal do corpo de prova, [𝑚
2] 
𝛿 = deformação (𝐿 − 𝐿0) do corpo de prova num dado instante, [𝑚] 
𝐿0 = comprimento original do corpo de prova. 
 
Um diagrama tensão-deformação convencional é importante na engenharia porque 
proporciona um meio para obtenção de dados sobre a resistência à tração ou à compressão 
de um material sem considerar suas características geométricas. 
Um material dúctil, como o aço doce, por exemplo, apresenta quatro comportamentos 
distintos quando é carregado na condução de um ensaio de tração: elástico, escoamento, 
endurecimento por deformação (encruamento) e estricção. A Figura 1.25 é uma 
representação típica de um diagrama tensão-deformação de engenharia para um aço de 
baixo teor de carbono (aço doce) e mostra as regiões em que esses comportamentos se 
apresentam. 
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Figura 1.25 – Diagrama tensão-deformação de engenharia para aços baixo carbono (material dúctil) – Esse 
tipo de diagrama apresenta ponto de escoamento bem definido, assim o limite de escoamento pode ser 
determinado pela simples observação desse ponto 
Fonte: BEER et al., 2011, p. 72. 
 
O comportamento elástico ocorre quando as deformações estão dentro da primeira 
região do gráfico (até 𝜖 = 0,0012), que na verdade é uma reta de inclinação constante, ou 
seja, nessa porção do gráfico a tensão e a deformação são linearmente proporcionais. Esse 
comportamento ocorre até o ponto que marca a tensão limite de escoamento, 𝝈𝒆, ou 
limite de elasticidade. Qualquer deformação sofrida pelo corpo de prova dentro dessa 
porção é recuperada com o cessamento da carga. 
Um pequeno aumento da tensão acima do limite de escoamento fará com que o 
material se deforme plasticamente (permanentemente), passando a um comportamento 
chamado de escoamento, pelo qual o corpo de prova continuará a alongar-se 
apreciavelmente sem qualquer aumento significativo da carga. 
Após o escoamento, a deformação continuará a ocorrer até que a tensão limite de 
resistência, 𝜎𝑈, ou tensão última do material seja alcançada. Entretanto, isso somente 
ocorre com o aumento da carga aplicada, de modo que esse comportamento recebe o 
nome de endurecimento por deformação ou encruamento. Nessa região, a deformação 
é uniformemente distribuída em todo o corpo de prova. 
Uma vez alcançada a tensão limite de resistência, a área de seção transversal do 
corpo de prova começa a diminuir em uma região localizada. Como resultado, tem-se uma 
constrição ou estricção, também chamada de empescoçamento (Figura 1.26). Nessa 
região, a mediada que o corpo de prova se alonga até a ruptura, onde fica caracterizada a 
tensão de ruptura, 𝜎𝑅. 
 
 
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Figura 1.26 – Região de estricção (empescoçamento) do corpo de prova 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 75. 
 
Se ao invés de usarmos a área de seção e o comprimento original, usarmos a área 
de seção e o comprimento real do corpo de prova em cada instante em que a carga é 
obtida, seremos capazes de traçar o diagrama tensão-deformação real, ou seja, a 
representação gráfica dos valores verdadeiros de tensão e deformação. A Figura 1.27 é 
uma representação desse tipo de diagrama. 
 
Figura 1.27 – Diagrama tensão-deformação obtido em um ensaio de tração de um aço dúctil 
Fonte: BEER et al., 2011, p. 75. 
 
Nesse caso, a tensão verdadeira é obtida por 𝜎𝑉 = 𝑃 𝐴⁄ , em que 𝐴 representa a área de 
seção no momento de aplicação da carga e a deformação específica verdadeira é obtida pela 
expressão: 𝜖𝑉 = ∫
𝑑𝐿
𝐿
𝐿
𝐿0
= ln
𝐿
𝐿0
. 
Embora os diagramas tensão-deformação real e de engenharia sejam diferentes, quando 
utilizados dentro do regime elástico, como é o caso da maioria dos projetos de engenharia, o erro 
de utilização dos valores de engenharia, 𝜎 e 𝜖, é muito pequeno (aproximadamente 0,1%). 
Os pontos mais importantes no diagrama tensão-deformação de engenharia, para os casos 
de aplicação prática, são o limite de proporcionalidade ou limite de elasticidade, a tensão de 
escoamento e o limite de resistência. 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1.33) Defina material homogêneo e isotrópico. 
1.34) Indique os pontos, do diagrama tensão-deformação, que representam o limite de 
proporcionalidade e limite de resistência. 
 
1.35) Discuta as regiões 𝑂𝐴, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 e 𝐷𝐸. 
1.36) Defina limite de proporcionalidade 
1.37) Tensões e deformação de engenharia são calculadas usando-se a área e o 
comprimento atual do corpo de prova. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta. 
1.38) O que diferencia o diagrama tensão-deformação de engenharia do diagrama tensão-
deformação verdadeiro? 
1.39) Porque não é conveniente utilizar o diagrama tensão-deformação verdadeiro na 
prática da engenharia estrutural? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.2 COMPORTAMENTO DA TENSÃO-DEFORMÇÃO DE MATERIAIS DÚCTEIS E 
FRÁGEIS 
 
Em função de suas características de tensão-deformação, os materiais de engenharia 
podem ser classificados em dúcteis e frágeis. 
Um material é considerado dúctil quando pode ser submetido a grandes deformações 
antes de sofrer ruptura. São muito empregados em projetos em que a estrutura ou máquina 
necessita absorver grandes choques de energia e, caso fiquem sobrecarregados, 
apresentarão grandes deformações antes da ruptura. São exemplos os aços doces (com 
baixo teor de carbono). 
A ductilidade de um material pode ser especificadapela porcentagem de 
alongamento ou pela porcentagem de redução da área do corpo de prova. 
 
%𝑨𝑳 =
𝑳𝒓𝒖𝒑−𝑳𝟎
𝑳𝟎
(𝟏𝟎𝟎) (1.14) 
 
%𝑹𝑨 =
𝑨𝟎−𝑨𝒇
𝑨𝟎
(𝟏𝟎𝟎) (1.15) 
 
Em que: 
%𝐴𝐿 = porcentagem de alongamento, ductilidade 
%𝑅𝐴 = porcentagem de redução de área, ductilidade 
𝐿𝑟𝑢𝑝 = comprimento de ruptura do corpo de prova, [𝑚] 
𝐿0 = comprimento inicial do corpo de prova, [𝑚] 
𝐴𝑓 = área final ou área d corpo de prova no momento da ruptura, [𝑚
2] 
𝐴0 = área original do corpo de prova, [𝑚
2] 
 
Em equipamentos mais modernos, a ductilidade pode ser determinada pela 
porcentagem de alongamento, uma vez que o alongamento do corpo de prova é 
constantemente medido durante o ensaio de tração. 
Entretanto, tanto o comprimento quanto a área de seção após a ruptura podem ser 
facilmente medidos devido ao modo de falha apresentado por esses materiais. Isso ocorre 
porque a fratura tipo taça-cone, típica de materiais dúcteis, permite que as peças sejam 
perfeitamente “encaixadas” uma na outra após a ruptura, uma vez que não ocorre a 
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projeção de estilhaços no momento da falha. A Figura 1.28 é uma fotografia de um corpo 
de prova dúctil e revela a zona de estricção e a fratura tipo taça-cone. 
 
Figura 1.28 – região de estricção do corpo de prova e fratura tipo taça-cone 
Adaptado de: BEER et al., 2011, p. 72. 
 
Por sua vez, materiais frágeis exibem pouco ou nenhum escoamento ou deformação 
antes da falha. A Figura 1.29 mostra um típico diagrama tensão-deformação de engenharia 
para um material frágil sob tração. 
 
Figura 1.29 – Diagrama tensão-deformação para um material frágil típico 
Fonte: BEER et al., 2011, p. 72. 
 
A falha abrupta desses materiais (sem muita deformação anterior) ocorre devido a 
presença de imperfeições em seu interior, o que origina a formação de trincas que se 
propagam rapidamente, levando-as a falha repentina. A Figura 1.30 evidencia o modo de 
falha típico de materiais frágeis sob tração. 
 
Figura 1.30 – Modo de falha típico de materiais frágeis sob tração 
Fonte: BEER et al., 2011, p. 73. 
 
 
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O comportamento dos materiais frágeis muda quando submetidos a compressão. 
Nesse caso, como não ocorre a formação de trincas, eles suportam cargas maiores e, 
consequentemente, tensões muito superiores do que quando submetidos a tração. Assim, 
materiais frágeis como o ferro fundido e o concreto, por exemplo, são utilizados para 
solicitações em compressão. A Figura 1.31 mostra o comportamento do ferro fundido 
cinzento e do concreto quando submetidos à compressão. 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 1.31 – Diagrama tensão-deformação de engenharia típico: (a) para o ferro fundido cinzento e (b) 
para o concreto 
Adaptado de: HIBBELER, 2018, pp. 78-79. 
 
De uma forma geral, a maioria dos materiais de engenharia apresentam, 
originalmente, comportamentos dúcteis ou frágeis, entretanto, mudanças em suas 
temperaturas podem alterar esse comportamento original. Isso ocorre porque em baixas 
temperaturas os materiais tornam-se mais duros e mais frágeis, ao passo que a altas 
temperaturas eles ficam mais macios e dúcteis. A Figura 1.32 ilustra a influência da 
temperatura no comportamento dúctil-frágil dos materiais. 
 
Figura 1.32 – Influência da temperatura na transição dúctil-frágil em um polímero metacristalino 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 79. 
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A Figura 1.33 é uma representação gráfica do comportamento tensão-deformação em 
tração para metais frágeis e dúcteis carregados até a fratura. Tecnicamente, os metais são 
considerados frágeis se sua deformação até a fratura for menor que 5%. 
 
Figura 1.33 – Influência da temperatura na transição dúctil-frágil em um polímero metacristalino 
Fonte: CALLISTER, 2013, p. 143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.14) Um corpo de prova metálico com formato cilíndrico, com diâmetro original 
de 12,8 𝑚𝑚 e comprimento útil de 50,8 𝑚𝑚 é tracionado até a fratura. O diâmetro no ponto 
de fratura é 6,60 𝑚𝑚 e o comprimento útil na fratura é 72,14 𝑚𝑚. Calcule a ductilidade em 
termos da redução percentual de área e do alongamento percentual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1.40) Defina ductilidade. 
1.41) Quais as formas de se determinar a ductilidade de um material? 
1.42) Diferencie materiais dúcteis de materiais frágeis. Dê exemplos desses materiais e 
indique os modos de falhas de cada um quando submetidos a tração. 
1.43) Á temperatura ambiente, o aço doce (baixo carbono) é dúctil. Verdadeiro ou falso? 
1.44) Cite alguns fatores que afetam a transição dúctil frágil de um material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.3 LEI DE HOOKE 
 
Um material é linear elástico se a tensão for proporcional à deformação dentro da 
região elástica. Essa propriedade é denominada lei de Hooke e a inclinação da curva é 
denominada módulo de elasticidade, 𝐸. A Equação 1.16 é a expressão matemática dessa 
lei, que só pode ser aplicada na porção elástica do diagrama. A Figura 1.34 é uma 
representação desse comportamento. 
 
Figura 1.33 – Comportamento elástico de um material dúctil 
Fonte: BEER et al., 2011, p. 100 
 
𝝈 = 𝑬𝝐 (1.16) 
 
Em que: 
𝜎 = tensão normal no regime elástico, [𝑃𝑎]; 
𝐸 = módulo de elasticidade, [𝑃𝑎]; 
𝜖 = deformação específica ou de engenharia, [𝑚/𝑚]. 
 
Se um material não apresentar um ponto de escoamento visualmente bem definido, 
como é o caso do alumínio, por exemplo, pode-se especificar um limite de escoamento e 
o módulo de elasticidade por meio de um procedimento gráfico. Esse procedimento é 
chamado de método da deformação residual ou método do desvio, tal como ilustrado 
na Figura 1.35. 
 
Figura 1.35 – Determinação do limite de escoamento pelo método do desvio 
Fonte: BEER et al., 2011, p. 73. 
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EXEMPLO 1.15) Um ensaio de tração para um aço liga resultou no diagrama tensão-
deformação mostrado na Figura que segue. Calcule e módulo de elasticidade e o limite de 
escoamento com base em uma deformação residual de 0,2%. Identifique no gráfico o limite 
de resistência e a tensão de ruptura. 
 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 83. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O limite de proporcionalidade, ou limite de escoamento, de um tipo particular de aço 
depende, originalmente, da composição de sua liga, principalmente do teor de carbono, tal 
como mostrado na Figura 1.36. Entretanto, a maioria dos aços,desde o mais macio até o 
mais duto (aço ferramenta), apresentam aproximadamente o mesmo módulo de 
elasticidade 𝐸, ou seja, a inclinação do diagrama tensão-deformação na região elástica 
permanece constante. 
 
Figura 1.36 – Relação entre a composição dos aços e o limite de escoamento 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 76. 
 
Além da adição de carbono e outros compostos em uma liga, o ponto de escoamento 
de um material pode ser elevado através do endurecimento por deformação ou 
encruamento. Isso é conseguido pela aplicação de uma carga grande o suficiente para 
provocar um aumento na tensão de modo a causar deformação plástica (escoamento) e, 
em seguida, liberando-se a carga. 
Quando isso ocorre, a deformação elástica é recuperada à medida e que o material 
volta ao seu estado de equilíbrio, entretanto, a deformação plástica permanece, e o 
resultado é que o material fica sujeito a uma deformação permanente. 
A Figura 1.37 é uma ilustração desse processo em que o material originalmente com 
diagrama tensão-deformação 𝑂𝐴𝐴′ tem limite de escoamento definido pelo ponto 𝐴. Após 
a deformação plástica e posterior recuperação elástica, passa a apresentar o diagrama 
tensão-deformação 𝑂′𝐴′𝐵 e ponto de escoamento definido por 𝐴′. Essa maior região 
elástica deve-se ao processo de endurecimento por deformação ou encruamento, 
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entretanto a ductilidade do material é reduzida, além disso, o módulo de elasticidade, 𝐸, 
permanece inalterado. 
 
Fig. 1.37 – Curva de endurecimento por deformação 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 80. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1.16) A Figura (a) que segue mostra uma haste de alumínio com área de seção 
transversal circular e sujeita a um carregamento de 10 𝑘𝑁. Se uma porção do diagrama 
tensão deformação para o material é a mostrada na Figura (b), determine o valor 
aproximado do alongamento da haste quando a carga é aplicada. Se a carga for removida, 
qual é o alongamento permanente da haste? Considere 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎. 
 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
1.45) Defina módulo de elasticidade. 
1.46) Qual o material é submetido a um aumento de temperatura há uma redução em seu 
módulo de elasticidade. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta. 
1.47) A adição de elementos de liga em um aço, especialmente o carbono, afeta 
consideravelmente seu módulo de elasticidade de modo que quanto maior o teor de 
carbono, maior o módulo de elasticidade. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta. 
1.48) O diagrama tensão-deformação de tração de uma liga de aço é mostrado, determine: 
(a) o módulo de elasticidade, (b) o limite de escoamento para um desvio de 0,02%, (c) o 
limite de resistência a tração, (d) se um cilindro de 10 𝑚𝑚 de diâmetro e 75 𝑚𝑚 de 
comprimento fabricado com esse material for submetido a uma carga de 20 𝑘𝑁, qual será 
o alongamento sofrido? 
 
1.49) Uma barra de 100 𝑚𝑚 de comprimento tem diâmetro de 15 𝑚𝑚. Se uma carga axial 
de 100 𝑘𝑁 é aplicada, determine a mudança no comprimento. 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎. 
1.50) Uma barra tem comprimento de 200 𝑚𝑚 e área de seção de 625 𝑚𝑚2. Determine o 
módulo de elasticidade do material se quando submetido a uma carga de 45 𝑘𝑁 sofre uma 
deformação de 0,075 𝑚𝑚. O material apresenta comportamento elástico nessa situação. 
1.51) Uma haste de 10 𝑚𝑚 de diâmetro possui módulo de elasticidade 𝐸 = 100 𝐺𝑃𝑎. Se a 
haste tem 4 𝑚 de comprimento e estiver sujeita a uma carga axial de tração de 6 𝑘𝑁, 
determine seu alongamento. Suponha comportamento linear elástico. 
1.51) Uma barra com comprimento inicial de 50 𝑚𝑚 apresenta o diagrama tensão-
deformação mostrado. Se ela for submetida a uma carga 𝑃 = 100 𝑘𝑁, determine a 
deformação resultante. 
 
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1.52) Se o cabo 𝐵𝐶 alonga-se 0,2 𝑚𝑚 após a aplicação da força 𝑃, determine sua magnitude. O 
cabo é fabricado com aço A-36 e apresenta diâmetro inicial de 3 𝑚𝑚. 
 
1.54) A adição de plastificadores ao cloreto de polivinil provoca a redução de sua rigidez. 
Os diagramas tensão-deformação apresentados a seguir mostram tal efeito para três tipos 
desse material. Especifique o tipo que deve ser usado na fabricação de uma haste com 
125 𝑚𝑚 de comprimento e 50 𝑚𝑚 de diâmetro que terá de suportar, no mínimo, uma carga 
axial de 100 𝑘𝑁 e alongar, no máximo, 6 𝑚𝑚. 
 
1.55) A figura mostra o diagrama 𝜎 − 𝜖 para as fibras elásticas que compõem a pele e os músculos 
dos seres humanos. Determine o módulo de elasticidade das fibras. 
 
1.56) Determine a deformação da barra vazada quando submetida a uma carga 𝑃 = 100 𝑘𝑁. A 
barra é feita com uma liga de aço cujo diagrama tensão deformação pode ser aproximado pela 
figura mostrada. 
 
 
 
 
 
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1.57) O diagrama tensão-deformação para uma resina de poliéster é mostrado na figura que segue. 
Se a viga rígida é suportada pela barra 𝐴𝐵 e o apoio 𝐶𝐷 que são fabricados com esse material, 
determine a maior carga 𝑃 que pode ser aplicada sem que ambos os suportes se rompam. O 
diâmetro da barra é 12 𝑚𝑚 e do apoio 40 𝑚𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.4 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
Energia de deformação é a energia armazenada no material por conta de sua 
deformação. Essa energia por unidade de volume é denominada densidade de energia 
de deformação, dada pela Equação 1.17. 
 
𝒖 =
∆𝑼
∆𝑽
=
𝟏
𝟐
𝝈𝝐 (1.17) 
 
Em que: 
𝑢 = densidade de energia de deformação, [𝐽/𝑚3]; 
𝜎 = tensão normal, [𝑃𝑎]; 
𝜖 = deformação específica, [𝑚/𝑚]. 
 
Uma situação particular ocorre quando a tensão, 𝜎, atinge o limite de escoamento do 
material. Nesse caso, a densidade de energia de deformação considerada equivale a área 
sob a reta do diagrama tensão-deformação, sendo esse valor chamado de módulo de 
resiliência, 𝒖𝒓. Em termos práticos, a resiliência de um material representa sua capacidade 
de absorver energia sem sofrer deformação permanente. A Figura 1.36 mostra a área 
triangular do diagrama tensão-deformação que representa esse módulo e a Equação 1.18 
é sua representação matemática. 
 
Figura 1.36 – Módulo de resiliência 
Fonte: HIBBELER, 2018, p. 81 
 
𝒖𝒓 =
𝝈𝒆
𝟐
𝟐𝑬
 (1.18) 
 
Em que: 
𝑢𝑟 = módulo de resiliência, [𝐽/𝑚
3]; 
𝜎𝑒 = limite de escoamento, [𝑃𝑎]; 
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Prof. Edimar N. Monteiro e-mail: eng.enmonteiro@gmail.com 
 
𝐸 = módulo de elasticidade, [𝑃𝑎]. 
 
Por sua vez, quando toda a área sob o gráfico tensão-deformação é utilizada para o 
cálculo da densidade de energia de deformação, estamos considerando o módulo de 
tenacidade do material. Essa importante propriedade indica a quantidade total de energia 
que o material pode absorver até imediatamente antes da falha. 
Na prática de engenharia, materiais com elevado módulo