Fatoriais Fracionários

Prévia do material em texto

1
Fatoriais
Fracionários2-
Níveis k=2 k=3 k=4 k=5 k=6
2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64
3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729
Fatores
Tabela 1 – Número de pontos experimentais em fatoriais 2k e 3k
2
Ponto 
Experimental
Notação 
de Yates
A B AB C AC BC ABC
1 (1) -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1
2 a -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1
3 b -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1
4 ab -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1
5 c +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1
6 ac +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1
7 bc +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1
8 abc +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
3
Delineamentos Fatoriais Fracionários
Efeitos
Pontos Notação 
de Yates I A B AB C AC BC ABC
1 a + - + - - + - +
2 b + - - + + - - +
3 c + + - - - - + +
4 abc + + + + + + + +
5 (1) + - - + - + + -
6 ab + - + - + - + -
7 ac + + + + - - - -
8 bc + + - - + + - -
Tabela 2 - Sinais + e - para o fatorial 23 ordenados pela interação de maior ordem. 
4
   
   
   
A BC
B AC
C AB
1 1= -a - b + c + abc ; = -a - b + c + abc
2 2
1 1= a - b - c + abc ; = a - b - c + abc
2 2
1 1= -a + b - c + abc ; = -a + b - c + abc .
2 2
 
 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES DE CONFUNDIMENTO
A + BC B + AC C + AB    A B C; ;
A - BC B - AC C - AB    A B C; ;
EFEITOS ASSOCIADOS
Fração Principal
Fração Complementar
5
FRAÇÃO 1/2 DE UM DELINEAMENTO 2K
Vamos considerar o experimento fatorial: 23=8 tratamentos. 422222
2
1 213133  
Considerações
O fatorial fracionário 23-1, é formado pelos tratamentos com sinal + para a coluna ABC. Logo 
ABC é chamado de GERADOR da fração.
I=ABC RELAÇÃO DE DEFINIÇÃO
Dada a tabela de sinais (+ e -), as combinações lineares para estimar os efeitos principais de A, B e C, 
1
A 2
1
B 2
1
C 2
( a b c abc)
(a b c abc)
( a b c abc)
    
   
    



1
BC 2
1
AC 2
1
AB 2
( a b c abc)
(a b c abc)
( a b c abc)
    
   
    



Ídem para as combinações lineares para estimar os efeitos das interações com dois fatores são:
Observamos, que: A BC B AC C AB        
6
Na realidade, estamos estimando: A+BC; B+AC; C+AB
Dois ou mais efeitos com esta propriedade são chamados de ASSOCIADOS. Portanto, A e BC 
são associados, e assim por diante. Notação: 
A B CA BC; B AC; C AB       
A estrutura dos associados pode ser encontrada usando a relação de definição I=ABC.
Multiplicando qualquer coluna pela relação de definição, obtemos os associados para aquele
efeito. No exemplo, o associado do efeito A é:
A.I=A.ABC=A2BC=A0BC=BC=A=BC
Esta fração, com I=+ABC, é denominada de fração principal.
A fração 1/2 complementar, é formada pelos tratamentos (1), ab, ac e bc. A relação de 
definição para esta fração é: 
I=-ABC
As combinações lineares, para esta fração, são:
' ' '
A B CA BC; B AC; C AB       
7
CONSTRUÇÃO DAS FRAÇÕES 1/2 EM FATORIAIS 2k-1.
Para ilustrar a técnica consideraremos um experimento 25-1
(1º) Montamos um fatorial completo (delineamento básico), com 2k-1 tratamentos. 
(2º) Adicionar uma coluna para o fator E, de modo que, E=ABCD.
(3º) A relação de definição é dada por: I=ABCDE. 
Exemplo 1 - Com o propósito de estudar a influência de algumas variáveis descritas na tabela
1 em relação a reação de esterificação do óleo residual de soja para a produção de Biodiesel.
Silva e Neto (2013) apresentam um experimento considerando os seguintes níveis.
Fator Descrição -1 +1
TC (A) : Tipo de catalisador HCL H2SO4
PC (B) : Porcentagem do catalisador (m/m) 1 3
Ra (C) : Razão óleo: metanol (m/m) 1:1 3:1
T (D) : Temperatura (◦C) 30 60
R (E) : Rotação (rpm) 80 170
8
Efeitos y
Notação de 
Yates
Exp. A B C D E=ABCD I=ABCDE % 
esterificação
(1) - - - - + + 82
a 2 + - - - - + 86
b 3 - + - - - + 79
ab 4 + + - - + + 93
c 5 - - + - - + 90
ac 6 + - + - + + 88
bc 7 - + + - + + 95
abc 8 + + + - - + 97
d 9 - - - + - + 79
bd 10 + - - + + + 81
cd 11 - + - + + + 79
ad 12 + + - + - + 82
abc 13 - - + + + + 84
abd 14 + - + + - + 91
bdc 15 - + + + - + 92
abcd 16 + + + + + + 95
Tabela 7 – Delineamento da fração 2k-1 e resposta para cada ponto experimental.
9
Consideramos I=ABCDE temos o conjunto de equações de confundimento dado por
ℓA→A+BCDE ℓB→B+ACDE ℓC→C+ABDE
ℓD→D+ABCE ℓE→E+ABCD
ℓAB→AB+CDE ℓBD→BD+ACE
ℓAC→AC+BDE ℓBE→BE+ACD
ℓAD→AD+BCE ℓCD→CD+ABE
ℓAE→AE+BCD ℓCE→CE+ABD
ℓBC→BC+ADE ℓDE→DE+ABC
10
A CONSTRUÇÃO DAS FRAÇÕES 1/4 DE UM DELINEAMENTO 2k-2
(1) Planeje um fatorial completo 2k-2;
(2) Escolha a interação apropriada para determinar as frações geradoras,
considerando o fatorial completo realizado no passo 1;
(3) Adicione duas colunas correspondendo a dois fatores, nas quais os sinais “+” e “-”
serão alocados como produto das interações escolhidas no passo 2.
ExemploExemplo 22 :: Com o objetivo de otimizar a produção de doce em massa de banana,
realizou-se um estudo para verificar a relação dos diferentes ingredientes e aditivos para
obter uma melhor formulação para o produto. Para a melhoria do doce de banana, foram
utilizados 6 fatores: porcentagem de polpa (A), porcentagem de pectina (B), adição de
ácido cítrico em gramas (C), sólidos solúveis (D), adição de sorbato de potássio em
gramas (E) e temperatura utilizada durante a cocção em oC (F).
11
Tabela 8 – Delineamento da fração 2k-2
Efeitos y
Pontos A B C D E=BCD F=ACD 
Perda de 
Textura
1 - - - - - - 0,38
2 + - - - - + 0,27
3 - + - - + - 0,15
4 + + - - + + 0,18
5 - - + - + + 0,16
6 + - + - + - 0,25
7 - + + - - + 0,26
8 + + + - - - 0,39
9 - - - + + + 0,33
10 + - - + + - 0,29
11 - + - + - + 0,45
12 + + - + - - 0,18
13 - - + + - - 0,28
14 + - + + - + 0,39
15 - + + + + - 0,12
16 + + + + + + 0,18
12
ℓB→B+ACE+CDF+ABDEF ℓAE→AE+BC+DF+ABCDEF
ℓC→C+ABE+BDF+ACDEF ℓAF→AF+DE+BCEF+ABCD
ℓD→D+BCF+AEF+ABCDE ℓBD→BD+CF+ACDE+ABEF
ℓE→E+ABC+ADF+BCDEF ℓBF→BF+CD+ACEF+ABDE
ℓF→F+BCD+ADE+ABCEF ℓABD→ABD+CDE+ACF+BEF
ℓAC→AC+BE+ABDF+CDEF ℓACD→ACD+BDE+ABF+CEF.
ℓAD→AD+EF+ABCF+BCDE
Com base nesses geradores, a relação de definição completa, combinando as duas 
frações geradoras é determinada por
I = ABCE = BCDF ADEF
Logo, o sistema de equações gerado é dado por
13
CONSTRUÇÃO DAS FRAÇÕES DE UM DELINEAMENTO 2k-p
Fatores
Pontos A B C D=AB E=AC F=BC G=ABC
1 - - - + + + -
2 + - - - - + +
3 - + - - + - +
4 + + - + - - -
5 - - + + - - +
6 + - + - + - -
7 - + + - - + -
8 + + + + + + +
Tabela 9 - Construção de um fatorial 27-4 com geradores I=ABD; I=ACE; I=BCF e I=ABCG.
Exemplo 3 - Dado o experimento citado no exemplo 2, porém adicionando o fator 
temperatura de envase em oC (G), temos o seguinte fracionamento.
(1) (2) (3) (4)
I ABD, I ACE I BCF I ABCG   
A relação de definição completa, 
combinando os geradores é dado por
14
I ABD ACE BCF ABCG BCDE ACDF CDG ABEF
BEG AFG DEF ADEG CEFG BDFG ABCDEFG
       
      
 (1) (2) (3) (4) (1)(2) (1)(3) (1)(4) (2)(3)
(2)(4) (3)(4) (1)(2)(3) (1)(2)(4) (2)(3)(4) (1)(3)(4) (1)(2)(3)(4)
A relação de definição completa é construída, multiplicando-se os geradores dois a dois,
três a três e quatro a quatro, conforme a igualdade.
Para exemplificar, vejamos a obtenção dos efeitos associados para o efeito principal B,
multiplicando o mesmo por cada igualdade que I assume.
B = AD = ABCE = CF = ACG = CDE = ABCDF = BCDG = AEF
= EG = ABFG = BDEF = ABDEG = BCEFG = DFG = ACDEFG
ℓA → A + BD + CE + FG ℓE → E + AC + BG +DF
ℓB → B + AD + CF +EG ℓF → F + BC + AG + DE
ℓC → C + AE + BF + DG ℓG → G + CD + BE +AF.
ℓD → D + AB + CG + EF
15
1- Resolução III. Os efeitos principaisnão estão associados com qualquer outro efeito
principal, mas efeitos principais estão associados com interações com dois fatores e
interações com dois fatores podem estar associadas entre elas.
2- Resolução IV. O s efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito
principal ou com qualquer interação de dois fatores, mas interações com dois fatores estão
associadas entre elas.
3- Resolução V. Os efeitos principais ou interações com dois fatores não estão associados
com qualquer outro efeito principal ou interação com dois fatores, mas interações com dois
fatores estão associadas com interações de três fatores.
RESOLUÇÃO DE UM DELINEAMENTO
16
Tratamentos
k 4 8 16 32 64 128
2 Completo
3 III Completo
4 IV Completo
5 III V Completo
6 III IV VI Completo
7 III IV IV VII Completo
8 IV IV V VIII
9 III IV IV VI
10 III IV IV V
11 III IV IV V
12 III IV IV IV
13 III IV IV IV
14 III IV IV IV
15 III IV IV IV
Tabela 10 - Construção de um fatorial 27-4 com geradores 
I=ABD; I=ACE; I=BCF e I=ABCG.