Definição de Porcentagem e Algumas Observações Importantes

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Definição de Porcentagem e Algumas Observações Importantes
Porcentagem, nada mais é de que uma fração de denominador 100. Também conhecida como uma razão centesimal.
Exemplo:
“Vinte por cento” escreve-se 20% e significa “vinte centésimos”, isto é,
O símbolo % resultou de diversas abreviações e mudanças da expressão  “por cento”, usada por comerciantes venezianos e genovezes.
Quando se diz “vinte por cento” está se pensando em 20% de uma determinada grandeza. Essa grandeza pode ser, uma quantidade de dinheiro, um terreno, etc.
Isto significa um quinto dessa grandeza, pois
Mas atenção, nem toda porcentagem pode se simplificada como acima. Exemplo:
“Vinte e três por cento são vinte e três centésimos” e fim.
O uso de porcentagens é tão comum no nosso cotidiano (linguagem do dia-a-dia) que é muito conveniente ter em mente os significados de alguma delas.
Isso vai nos ajudar muito em relação a resolução de problemas, na aula #3. Observe:
100% → tudo (o todo)
50% → a metade
25% → a quarta parte
20% → um quinto
10% → a décima parte (um décimo)
5% → a vigésima parte (um vigésimo)
1% → a centésima parte (um centésimo)
Outras porcentagens dão uma ideia aproximada. Por exemplo:
60% → pouco mais da metade
40% → pouco menos da metade
30% → quase um terço (quase a terça parte)
Vejamos agora as transformações equivalentes.
Transformação da Taxa Percentual em uma Fração Centesimal ou Equivalente Irredutível
Para isso, escrevemos uma fração de numerador correspondente ao número da taxa percentual e o denominador, 100.
Conforme a possibilidade, simplificamos até encontrar uma fração irredutível.
Veja exemplos:
a) 12%
b) 175%
Transformação da Taxa Percentual em Número Decimal (ou forma unitária)
Primeiro, escrevemos a taxa percentual na forma de fração centesimal. Depois, dividimos o numerador pelo denominador (100).
Veja exemplos:
a) 15%
Assim, 15% = 0,15.
b) 23,4%
Assim, 23,4% = 0,234.
Transformação de Número Decimal para Taxa Percentual
Esse processo é bem simples. Basta apenas multiplicar o número decimal por 100 e colocar o símbolo %.
Talvez, pesquisando, você encontre o processo em que, primeiro transforma-se o número decimal para um fração de denominador 100 e só depois, escreve-se na forma de taxa percentual.
Observação: nosso objetivo é a aplicação direta de técnicas (ou propriedades matemáticas) para o cálculo de porcentagens, portanto, aqui não iremos abordar demonstrações matemáticas.
Veja exemplos:
a) 0,7
Assim, 0,7 = 70%.
b) 0,275
Assim, 0,275 = 27,5%.
Transformação de Fração para Taxa Percentual
Primeiro, transformamos a fração para um número decimal e depois, multiplicamos o resultado por 100, colocando ao final o símbolo de %.
Caso a fração já tenha o denominador 100, não há a necessidade do processo acima. Basta apenas escrever o numerador em taxa percentual.
Para transformarmos a fração para um número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador.
Veja exemplos:
a) 3/10
Assim, 3/10 = 30%.
b) 5/8
Assim, 5/8 = 62,5%.
Soma e Subtração com Taxas Percentuais
Para somar ou subtrair duas ou mais taxas percentuais, basta somar (ou subtrair) os números e colocar o símbolo de porcentagem (%) ao final.
Veja os exemplos:
a) 12% + 5% = (12 + 5)% = 17%.
b) 5,75% – 4,10% = (5,75 – 4,10)% = 1,65%.
Viu como é simples!
Não precisa usar parênteses, aqui, só estamos fazendo passo a passo. De modo que fique “bem claro” para você.
Multiplicação com Taxas Percentuais
Vamos aprender a multiplicar taxas percentuais de dois modos.
Primeiro, o modo tradicional que é ensinado na vídeoaula.
1º Modo: transforma-se as taxas percentuais em fração centesimal (denominador 100), depois é só multiplicá-las. O resultado final que será uma fração deve ser transformado em taxa percentual, novamente.
Veja os exemplos:
a) 25% x 32% =
Por que simplificamos por 100?
Observe que, neste caso, o denominador 10000 divido por 100 é igual a 100. Assim nossa fração final, terá o denominador 100, ou seja, uma fração centesimal. Desse modo, ficará mais simples escrever a taxa percentual final.
Portanto, 25% x 32% = 8%.
b) 22% x 4,25% x 40% =
Por que simplificamos por 10000?
Segue-se a mesma ideia do exemplo anterior. Temos que ter um fração centesimal e “olhando” para o denominador 1000000, percebemos que ao dividi-lo por 10000, obteremos uma fração centesimal ao final.
Por se tratar de uma simplificação, o que se faz com o denominador, também se faz com o numerador. Ambos divididos por 10000.
É claro que você deve ter aprendido na primeira aula, como transformar qualquer fração para taxa percentual. Tal técnica também pode ser usada.
Logo, 22% x 4,25% x 40% = 0,3740% ou 0,374%.
Agora, utilizaremos estes mesmos exemplos para aprender o segundo modo.
Neste segundo modo, vamos aprender um regra simples.
Você poderá usar o modo que se sentir mais confortável, pois ao final, os resultados devem ser os mesmos.
2º Modo: primeiro, multiplicam-se os números como se fossem números naturais, não leve em conta o símbolo de porcentagem. Ao resultado encontrado, desloque a vírgula (contando da direita para esquerda) uma quantidade de casas decimais igual ao dobro do número de símbolos de “%” encontrados nos fatores menos dois. Ao final, acrescenta-se o símbolo %.
Veja os exemplos novamente, com o segundo modo sendo aplicado.
a) 25% x 32% =
Primeiro, multiplicamos os números.
25 x 32 = 800.
Agora, vejamos a quantidade de casas decimais a ser deslocada.
Como deve ser o dobro do número de símbolos de %, devemos multiplicar por 2. Observe, temos dois símbolos de %, um do fator 25 e o outro, do fator 32. Depois de multiplicar subtraímos sempre 2.
2 x 2 – 2 = 4 – 2 = 2 casas decimais devemos deslocar para a esquerda.
Deslocando duas casas decimais para a esquerda (800,), temos: 8,00.
Portanto, 25% x 32% = 8,00% ou 8%.
Aplicando ao exemplo b.
b) 22% x 4,25% x 40% =
Multiplicando os números.
22 x 4,25 x 40 = 3740.
Quantidade de casas decimais a ser deslocada.
Temos três símbolos de %, então:
2 x 3 – 2 = 6 – 2 = 4 casas decimais devemos deslocar para a esquerda.
O resultado da multiplicação foi 3740,.
Deslocando quatro casas decimais, temos: 0,3740 ou 0,374.
Portanto, 22% x 4,25% x 40% = 0,374%.
Caso você não sabia, agora poderá responder a pergunta feita no início do artigo, pois acabou de aprender pelo menos dois métodos para multiplicar taxas percentuais.
Fique a vontade para escolher aquele que achar melhor para realizar seus cálculos, de qualquer modo, chegará a resposta correta.
A multiplicação de taxas percentuais é de grande importância para o seu aprendizado, constitui o embasamento para simplificação e resolução de grande parte dos problemas de porcentagem.
Vamos seguir em frente, para a divisão.
Divisão com Taxas Percentuais
Para realizar a divisão com taxas percentuais, dividem-se os números percentuais como se fossem números naturais. Os símbolos % são eliminados.
A divisão de uma taxa percentual por outra tem como resultado um número.
Exemplos:
a) 48% : 3% =
48 : 3 = 16.
Logo, 48% : 3% = 16.
b) 32% : 4% =
Logo, 32% : 4% = 8.
Potenciação com Taxas Percentuais
Para a operação de potenciação, vamos aplicar diretamente uma regra, como no segundo modo da multiplicação.
Aliás, para calcular potências de taxas percentuais, você também poderá aplicar as regras da multiplicação.
Atenção, este modo, não é ensinado na vídeoaula.
Regra: calcula-se a potência como se fosse de números naturais. Ao resultado encontrado, desloque a vírgula (contando da direita para esquerda) uma quantidade de casas decimais igual ao dobro do expoente menos dois. Ao final, acrescenta-se o símbolo %.
É semelhante ao segundo modo da multiplicação!
Exemplos:
a) (3%)² =
3 x 3 = 9.
Para a quantidade de casas decimais, temos: o dobro do expoente (2) menos dois.
2 x 2 – 2 = 4 – 2 = 2 casas decimais para a esquerda.
O resultado foi 9,. Deslocando a vírgula: 0,09.
Portanto, (3%)² = 0,09%.
b) (20%)³ =
20 x 20 x 20 = 8000.
Quantidade decasas decimais.
2 x 3 – 2 = 6 – 2 = 4 casas decimais.
O resultado foi 8000,. Deslocando a vírgula: 0,8000 ou 0,8.
Portanto, (20%)³ = 0,8%.
Radiciação com Taxas Percentuais (raiz quadrada)
Neste caso, também vamos aprender uma regra. Porém, na vídeoaula, apresentamos outra técnica.
Novamente, você poderá usar uma técnica ou outra. Ambas, ao final, devem dar o mesmo resultado.
Regra: calcula-se a raiz do número como se fosse um número natural. Depois, multiplica-se o resultado por 10, acrescentando-se o símbolo de %.
Exemplos:
Calculando a raiz…
Agora, multiplicamos por 10.
10 x 6 = 60. Colocamos o símbolo de %. Temos que:
Calculando a raiz…
Multiplicamos o resultado por 10.
10 x 2 = 20. Acrescentando o símbolo de %, temos que:
Resumo das Operações com Taxas Percentuais
Abaixo, apresentamos um resumo para as operações mencionadas acima.
Soma e Subtração com Taxas Percentuais
Realize a soma ou a subtração de taxas percentuais como se fossem números naturais. Ao resultado final coloque o símbolo de %.
Multiplicação com Taxas Percentuais
Neste caso apresentamos dois modos:
1º Modo: considerado o tradicional, transforma-se as taxas percentuais para fração centesimal, depois multiplique as frações. O resultado obtido que será uma fração, deve ser transformado para taxa percentual.
2° Modo: Multiplicam-se os números como se fossem números naturais. Ao resultado, colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do número de símbolos % nos fatores menos dois. Coloque o símbolo de %.
Divisão com Taxas Percentuais
Dividem-se os números como se fossem números naturais, anulando o símbolo de %.
Lembre-se, o resultado da divisão de uma taxa percentual por outra, é um número (e não uma taxa!).
Potenciação com Taxas Percentuais
Também apresentamos dois modos, um na vídeoaula (você assistiu?) e outro na descrição.
1º Modo: conhecido por ser o mais comum, primeiro transformamos as taxas percentuais para fração centesimal. Multiplicamos as frações e depois transformamos o resultado final que será uma fração em taxa percentual, novamente.
2° Modo: calcula-se a potência como se fosse uma potência de números naturais. Ao resultado, colocam-se as casas decimais em número igual ao dobro do expoente menos dois. Acrescenta-se o símbolo de % ao resultado final.
Radiciação com Taxas Percentuais
Apresentamos também dois modos, o primeiro você viu na vídeoaula. Basta transformar para fração e extrair a raiz dos números envolvidos. Depois, transforma-se para taxa percentual novamente.
A grande dificuldade que pode aparecer será no cálculo da raiz quadrada, pois nem todos os números (a maioria) tem raiz quadrada exata. Mas, não vamos nos aprofundar neste ponto, pois este não é nosso foco aqui.
Além do mais, grande parte das questões de concursos não exigem cálculos avançados.
No segundo modo, temos uma regra bem simples:
Calcula-se a raiz quadrada do número como se fosse um número natural, depois multiplica-se o resultado por 10. Coloca-se o símbolo de % ao final.
Atenção, tal regra deve ser usada somente para raiz quadrada de uma taxa percentual.
Bom, estas são as operações básicas com taxas percentuais que você deve ter total domínio para ser bem sucedido na resolução de problemas.
Observe também que é necessário dominar as operações básicas da Matemática, aqui, nos referimos a soma, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e potenciação.
Considere também as operações com frações.
Ter dúvidas após estudar o conteúdo pela primeira vez é normal. Fique tranquilo, volte novamente e estude mais um pouco.
Cada um de nós tem seu próprio ritmo de aprendizagem. Isso pode ser devido a diversos fatores, os quais não entraremos em detalhe agora.
Descubra seu ritmo e continue a aprender.
Dentre todas as operações apresentadas, a multiplicação é uma das mais requisitadas, então bastante atenção. Procure ter total domínio.
Foram apresentados diversos exemplos resolvidos para você, mas não se limite somente a estes.
É a prática de exercícios que irá fazer total diferença na sua aprendizagem.
Não adianta aprender toda essa carga de teoria se não praticar.
Questão 5.
Veja que a compra será realizada a prazo. Portanto, iremos calcular o valor a prazo primeiro.
Valor a Prazo = (preço à vista) + (10% sobre o preço à vista).
Valor a Prazo = 540 + 10% de 540.
Valor a Prazo = 540 + 0,10 x 540
Observe que 10% = 10/100 = 0,10.
Valor a Prazo = 540 + 54.
Valor a Prazo = 594 reais.
De posse do valor a prazo, podemos calcular o valor equivalente a 30% de entrada.
Valor da Entrada = 30% de 594.
Valor da Entrada = 0,30 x 594.
Valor da Entrada = 178,20 reais.
De 594 reais subtraímos 178,20 reais. Temos o restante que será pago em duas parcelas iguais.
Valor Restante = 594 – 178,20.
Valor Restante = 415,80 reais.
Os 415,80 reais serão pagos em duas prestações iguais, para descobrirmos o valor de cada prestação, basta dividir o valor restante por dois.
Valor de Cada Prestação = (415,80) : 2.
Valor de Cada Prestação = 207,90 reais.
Portanto, o valor de cada prestação será de R$ 207,90.
Questão 6.
De acordo com o enunciado, uma pessoa percorre 40% de uma estrada, andando mais 1500 m percorreria 70% da estrada.
Em termos matemáticos podemos escrever da seguinte forma:
(40% da estrada) + (1500 m) = (70% da estrada).
Espero que tenha compreendido a equação acima!
Vamos “chamar” o comprimento total da estrada de E, só para facilitar nossa escrita.
(40% de E) + 1500 = (70% de E).
Observe que 40% de E mais 1500 m é igual a 70% de E, logo podemos perceber que os 1500 m equivalem a 30% da estrada, certo? É só ter atenção a equação!
Com essa equivalência em mente, podemos chegar ao comprimento total da estrada (100%) por regra de três.
Comprimento          Porcentagem
1500                                30
E                                    100
As grandezas são proporcionais, temos:
Logo, o comprimento total da estrada é de 5000 m.
Um segundo modo de pensar na solução do problema é o seguinte:
Como já sabemos que 1500 m equivalem a 30% da estrada, se dividirmos 1500 por 3, teremos o equivalente a 10% da estrada.
1500 : 3 = 500.
Cada 10% da estrada equivale a 500 m.
E como 100% (total) é a igual “10 vezes 10%”, basta multiplicar 10 por 500, assim encontraremos a extensão total.
10 x 500 = 5000.
Novamente, a extensão total da estrada é de 5000 m.
Questão 7.
Repare que em nenhum ponto do enunciado foi dado algum valor referente a quantia da caderneta de poupança.
É nesse ponto que muitos estudantes ficam perdidos, isto é, sem saber por onde começar.
Bem, é possível demonstrar matematicamente que não é necessário ter um valor definido para a caderneta. A resposta final independe de tal valor.
Mas, não vamos demonstrar isso aqui, pois nosso objetivo é a aplicação direta de estratégias que agilizam a resolução.
Sempre que possível, vamos preferir o menor caminho para se chegar a resposta correta.
Então, vamos a solução!
Como não temos um valor definido para a caderneta, vamos supor um. Um valor que seja simples de trabalhar, isto é, que facilite nossos cálculos.
Vamos supor que o saldo inicial da caderneta seja de R$ 100,00.
Quantia de Ana = 70% de 100 = 0,70 x 100 = 70 reais.
Quantia de Lúcia = 30% de 100 = 0,30 x 100 = 30 reais.
Ora, o pai resolveu fazer um novo depósito igual ao saldo da caderneta, logo depositou R$ 100,00.
Novo Saldo da Caderneta = 100 + 100 = 200 reais.
Mas, este novo depósito de 100 reais, deverá ser dividido igualmente.
Então, cada filha ficará com 100/2 = 50 reais.
As novas quantias das filhas são:
Ana = 70 + 50 = 120 reais.
Lúcia = 30 + 50 = 80 reais.
Agora, vejamos a participação de Ana neste novo saldo em taxa percentual. Para isso, vamos utilizar razões:
Portanto, a participação de Ana no novo saldo, diminui para 60%.
Observação: você pode supor outro valor para o saldo inicial da caderneta, fique a vontade. Mas, procure sempre utilizar valores que facilitem os cálculos. Sua resposta final, deverá ser a mesma queencontramos, caso contrário, volte e revise seus cálculos.
Questão 8.
Novamente, seguiremos a mesma estratégia apresentada na questão anterior, isto é, vamos supor uma valor para o salário da pessoa.
Desse modo, nossos cálculos serão mais simples.
Vamos supor que o salário da pessoa tem valor inicial de R$ 1.000,00.
Houve perda de 20%. Temos:
1000 – (20% de 1000) = 1000 – 0,20 x 1000 = 1000 – 200 = 800.
Logo, o novo salário passará a ser de R$ 800,00.
Agora, de acordo com a pergunta, deseja-se saber que taxa percentual deve incidir sobre o novo salário para que a pessoa tenha novamente os R$ 1.000,00.
Repare que 800 para 1000, faltam 200.
Ora, que porcentagem 200 é de 800? Para isso, utilizaremos razão:
Veja, 200 equivale 25% de 800.
Portanto, aumentando em 25% o salário de R$ 800,00 a pessoa voltará a ganhar o mesmo salário inicial.
É claro que você pode supor outro valor para o salário inicial. Pode até mesmo não supor valor algum, trabalhar apenas com letras. Ao final, a resposta deverá ser a mesma.
Questão 5.
Veja que a compra será realizada a prazo. Portanto, iremos calcular o valor a prazo primeiro.
Valor a Prazo = (preço à vista) + (10% sobre o preço à vista).
Valor a Prazo = 540 + 10% de 540.
Valor a Prazo = 540 + 0,10 x 540
Observe que 10% = 10/100 = 0,10.
Valor a Prazo = 540 + 54.
Valor a Prazo = 594 reais.
De posse do valor a prazo, podemos calcular o valor equivalente a 30% de entrada.
Valor da Entrada = 30% de 594.
Valor da Entrada = 0,30 x 594.
Valor da Entrada = 178,20 reais.
De 594 reais subtraímos 178,20 reais. Temos o restante que será pago em duas parcelas iguais.
Valor Restante = 594 – 178,20.
Valor Restante = 415,80 reais.
Os 415,80 reais serão pagos em duas prestações iguais, para descobrirmos o valor de cada prestação, basta dividir o valor restante por dois.
Valor de Cada Prestação = (415,80) : 2.
Valor de Cada Prestação = 207,90 reais.
Portanto, o valor de cada prestação será de R$ 207,90.
Questão 6.
De acordo com o enunciado, uma pessoa percorre 40% de uma estrada, andando mais 1500 m percorreria 70% da estrada.
Em termos matemáticos podemos escrever da seguinte forma:
(40% da estrada) + (1500 m) = (70% da estrada).
Espero que tenha compreendido a equação acima!
Vamos “chamar” o comprimento total da estrada de E, só para facilitar nossa escrita.
(40% de E) + 1500 = (70% de E).
Observe que 40% de E mais 1500 m é igual a 70% de E, logo podemos perceber que os 1500 m equivalem a 30% da estrada, certo? É só ter atenção a equação!
Com essa equivalência em mente, podemos chegar ao comprimento total da estrada (100%) por regra de três.
Comprimento          Porcentagem
1500                                30
E                                    100
As grandezas são proporcionais, temos:
Logo, o comprimento total da estrada é de 5000 m.
Um segundo modo de pensar na solução do problema é o seguinte:
Como já sabemos que 1500 m equivalem a 30% da estrada, se dividirmos 1500 por 3, teremos o equivalente a 10% da estrada.
1500 : 3 = 500.
Cada 10% da estrada equivale a 500 m.
E como 100% (total) é a igual “10 vezes 10%”, basta multiplicar 10 por 500, assim encontraremos a extensão total.
10 x 500 = 5000.
Novamente, a extensão total da estrada é de 5000 m.
Questão 7.
Repare que em nenhum ponto do enunciado foi dado algum valor referente a quantia da caderneta de poupança.
É nesse ponto que muitos estudantes ficam perdidos, isto é, sem saber por onde começar.
Bem, é possível demonstrar matematicamente que não é necessário ter um valor definido para a caderneta. A resposta final independe de tal valor.
Mas, não vamos demonstrar isso aqui, pois nosso objetivo é a aplicação direta de estratégias que agilizam a resolução.
Sempre que possível, vamos preferir o menor caminho para se chegar a resposta correta.
Então, vamos a solução!
Como não temos um valor definido para a caderneta, vamos supor um. Um valor que seja simples de trabalhar, isto é, que facilite nossos cálculos.
Vamos supor que o saldo inicial da caderneta seja de R$ 100,00.
Quantia de Ana = 70% de 100 = 0,70 x 100 = 70 reais.
Quantia de Lúcia = 30% de 100 = 0,30 x 100 = 30 reais.
Ora, o pai resolveu fazer um novo depósito igual ao saldo da caderneta, logo depositou R$ 100,00.
Novo Saldo da Caderneta = 100 + 100 = 200 reais.
Mas, este novo depósito de 100 reais, deverá ser dividido igualmente.
Então, cada filha ficará com 100/2 = 50 reais.
As novas quantias das filhas são:
Ana = 70 + 50 = 120 reais.
Lúcia = 30 + 50 = 80 reais.
Agora, vejamos a participação de Ana neste novo saldo em taxa percentual. Para isso, vamos utilizar razões:
Portanto, a participação de Ana no novo saldo, diminui para 60%.
Observação: você pode supor outro valor para o saldo inicial da caderneta, fique a vontade. Mas, procure sempre utilizar valores que facilitem os cálculos. Sua resposta final, deverá ser a mesma que encontramos, caso contrário, volte e revise seus cálculos.
Questão 8.
Novamente, seguiremos a mesma estratégia apresentada na questão anterior, isto é, vamos supor uma valor para o salário da pessoa.
Desse modo, nossos cálculos serão mais simples.
Vamos supor que o salário da pessoa tem valor inicial de R$ 1.000,00.
Houve perda de 20%. Temos:
1000 – (20% de 1000) = 1000 – 0,20 x 1000 = 1000 – 200 = 800.
Logo, o novo salário passará a ser de R$ 800,00.
Agora, de acordo com a pergunta, deseja-se saber que taxa percentual deve incidir sobre o novo salário para que a pessoa tenha novamente os R$ 1.000,00.
Repare que 800 para 1000, faltam 200.
Ora, que porcentagem 200 é de 800? Para isso, utilizaremos razão:
Veja, 200 equivale 25% de 800.
Portanto, aumentando em 25% o salário de R$ 800,00 a pessoa voltará a ganhar o mesmo salário inicial.
É claro que você pode supor outro valor para o salário inicial. Pode até mesmo não supor valor algum, trabalhar apenas com letras. Ao final, a resposta deverá ser a mesma.