area01_06

Prévia do material em texto

Boyce/DiPrima 9ª ed.
2.6: Equações Exatas e Fatores Integrantesc.
• Considere a EDO de primeira ordem
• Se exite uma função F tal que
então a EDO (@) torna-se
• Assim, F(x,y) = c define 
• uma solução implicita
• Neste caso a EDO (@) é
• chamada de EXATA
M ( x,y )+N ( x,y ) y'=0 (@)
F x( x,y )=M ( x,y ) , F y( x,y )=N ( x,y )
M ( x,y )+N ( x,y ) y'=∂F
∂ x
+∂F
∂ y
dy
dx
= d
dx
F [ x,y (x )]
d
dx
F [ x,y( x )]=0
∂F
∂ x
+∂ F
∂ y
dy
dx
= d
dx
F [x,y ( x )]
∂F
∂ x
dx+∂ F
∂ y
dy=d F [ x,y ]
Lembre que o Diferencial de F(x,y) é
Ou equivalentemente
Exemplo 1: Equação exata
• Considere a equação:
• Não é linear nem separável, então vamos procurar uma função 
F tal que 
2x +y2+2 xy y'= 0
∂F
∂ x
=2x+y2 e ∂ F
∂ y
=2 xy
F (x,y )=x2+xy2
= 2x +y2+2xy y'=0
dF
dx
= d
dx
( x2+xy2 )=( x2+xy 2)x+( x
2 +xy2)y
dy
dx
⇒F ( x,y )=x2+xy2 =c
Veremos como 
(quando podemos) 
encontrar esta
 função F
Teorema 2.6.1
• Considere a EDO
onde as funções M, N, My e Nx são todas contínuas no 
retângulo R: (x, y) em (a,b)x(c,d). Então a Eq. (1) é exata se 
e somente se
• Isto é existe uma função F satisfazendo as condições
se M e N satisfazem (2).
M ( x,y )+N ( x,y ) y'=0 (1 )
M y( x,y )=N x( x,y ) , ∀( x,y )∈R (2 )
F x( x,y )=M ( x,y ) , F y( x,y )=N ( x,y ) (3)
Exemplo 2: Equação exata (1 de 3)
( y cos x+2 xey )+(sin x+x2e y−1) y '=0
M ( x,y )=y cos x+ 2 xey , N ( x,y )=sin x+x2 ey−1
M y( x,y )=cos x+ 2 xe
y =N x( x,y ) ⇒ EDO exata
F x( x,y )=M=y cos x+ 2 xe
y , F y ( x,y )=N=sin x+x
2 ey−1
F ( x,y )=∫F x( x,y )dx=∫ ( y cos x+ 2 xe y )dx =y sin x+x2 ey +C ( y )
Verificação
Solução
Queremos encontrar uma função F tal que
Exemplo 2: Solução (2 de 3)
F x(x,y )=M=y cos x+ 2 xe
y , F y ( x,y )=N=sin x+x
2 ey−1
F (x,y )=∫F x( x,y )dx=∫ ( y cos x+ 2 xe y )dx =y sin x+x2 ey +C ( y )
F y ( x,y )=sin x+x
2e y +C ' ( y )
F ( x,y )=y sin x+x2 ey− y+k
y sin x+x2 ey− y=c
Solução geral na 
forma implícita
F y ( x,y )=sin x+x
2e y−1
⇒ C ' ( y )=−1 ⇒ C ( y )=−y+k
F(x,y)=c 
é a sol.
Exemplo 3: Equação não-exata 
(3 xy+y2)+(x2+xy ) y'=0
M ( x,y )=3 xy+y2 , N ( x,y )=x2+xy
M y( x,y )=3x+2y≠2x +y=N x( x,y ) ⇒ EDO não-exata
Fator Integrante
Às vezes é possível converter uma equação diferencial que não 
é exata em uma equação exata multiplicando a equação por 
um fator de integração adequado µ(x, y): 
• Para esta equação ser exata precisamos
• Esta equação diferencial parcial pode ser difícil de resolver. 
Se µ é função só de x, então µy = 0 e, assim,
Desde que o lado direito seja uma função de x somente. 
Similarmente se µ é uma função só de y. Veja o texto para 
mais detalhes.
M ( x,y )+N ( x,y ) y '=0
μ( x,y )M ( x,y )+μ( x,y )N ( x,y ) y '=0
( μ M ) y= ( μ N )x ⇔ Mμ y−Nμ x+( M y−N x ) μ= 0
dμ
dx
=
M y−N x
N
μ,
Exemplo 4: Equação não-exata
Considere a seguinte equação diferencial não-exata.
Buscando um fator integrante, resolvemos a equação linear
Multiplicando nossa equação diferencial por µ, obtemos a 
equação exata
que tem suas soluções dadas implicitamente por
(3 xy+y2)+( x2+xy ) y'=0
dμ
dx
=
M y−N x
N
μ ⇔ dμ
dx
= μ
x
⇒ μ ( x )=x
(3x2 y+xy2 )+( x3+x2 y ) y '=0,
x3 y+ 1
2
x2 y2=c
Boyce/DiPrima 9ª ed. - Seção 2.6 - 1,2,3,7,11,13,25,27,29
Extra: o Fator integrante da resolução das EDOs lineares é o 
mesmo fator integrante que transforma uma não-exata em exata.
M ( x,y )+N ( x,y ) y'=0
dμ
dx
=
M y−N x
N
μ,
y'+p ( x ) y=g ( x ) linear
p ( x ) y−g ( x ) +y'=0
M ( x,y )=p ( x ) y−g ( x )
N ( x,y )=1
M y ( x,y )=p ( x )
N x( x,y )=0
dμ
dx
=
p ( x )−0
1
μ=p ( x ) μ,
Assim, vemos que uma EDO linear não é exata, mas podemos usar
o que foi feito nos slides anteriores para obter o fator integrante para
transformá-la numa exata. Fazendo isso vemos que este fator 
integrante será o mesmo que obtemos na seção 2.1, quando estávamos
resolvendo as lineares por fator integrante.
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10