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Teorema Angular

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Matemática 
 
 
 
 
TEOREMA ANGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Teorema Angular .................................................................................................................. 2 
1.1. Conceito ............................................................................................................................ 2 
1.2. Coeficiente angular .......................................................................................................... 3 
1.3. Calculando o coeficiente angular de uma reta não vertical por dois de seus pontos ... 4 
1.4. Equação fundamental da reta ......................................................................................... 5 
1.5. Posições relativas de duas retas em função de suas inclinações ................................... 7 
 
Exercícios .................................................................................................................................... 10 
 
Gabarito ...................................................................................................................................... 11 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila sobre Equação da Reta, estudamos a equação da reta com sua 
equação geral, a intersecção de duas retas, retas paralelas e concorrentes e formamos 
a equação da reta. 
Hoje veremos o teorema angular, coeficiente angular, equação da reta, 
ângulos de duas retas e condições de paralelismo e perpendicularismo. 
Objetivo 
• Conceituar o teorema angular; 
• Entender o que é o coeficiente angular; 
• Estabelecer as condições de paralelismo e perpendicularismo. 
 
1. Teorema Angular 
1.1. Conceito 
O teorema angular, também chamado de Teorema angular de Tales, pois foi 
criado por Tales de Mileto, um matemático e filósofo grego, nos diz que em todo 
triângulo a soma dos ângulos internos é de 180º. 
Podemos dizer que a soma dos ângulos internos é representada pela equação 
a + b + c = 180º, onde a, b e c são os ângulos internos do triângulo. Vejamos os 
exemplos abaixo: 
 
 
60º + 60º + 60º = 180º 45º + 90º + 45º = 180º 30º + 120º +º +30º = 180º 
Representação do conceito de Tales de Mileto 
 
 
 
3 
 
1.2. Coeficiente angular 
Antes de falarmos sobre o coeficiente angular, precisamos definir a inclinação 
de uma reta. Vamos considerar uma reta r do plano cartesiano, que seja concorrente 
com o eixo Ox no ponto P(Xp, 0) e que passa pelo ponto Q(Xq, Yq), com Yq >0 e seja 
M(Xm, 0) com Xm > Xp: 
 
Chamamos de inclinação da reta r, a medida α, 0º ≤ α < 180º, do ângulo MPQ 
orientado a parir do lado PM no sentido anti-horário. 
Assim, chama-se coeficiente angular de uma reta r de inclinação α, α ≠ 90º, o 
número m tal que : m = tg α. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
No primeiro exemplo temos o coeficiente angular de r é 
 60º 3rm tg= =
 . Já 
no segundo exemplo, o coeficiente angular de s é 
sm =
 tg 135º = -1. 
 
Retas verticais não tem coeficiente angular, pois não existe tg 90º. 
y y
Q Q
α
P ) α x x
O
M
O
P M
y y
r
 ) 60o x 45o x
O O s
α = 180o - 45o
y
t
 
O
x
 
4 
 
A declividade de uma rampa, é muito utilizada na engenharia civil. Quando por 
exemplo se diz que uma rampa tem declive de 30%, isso significa que a tangente do 
ângulo α que a rampa forma com o plano horizontal é 0,3, ou seja, 
 0,3tg  =
 
 
 
1.3. Calculando o coeficiente angular de uma reta não vertical por 
dois de seus pontos 
Ao considerarmos dois pontos distintos 
( ), A AA X Y
 e 
( ), B BB X Y
 de uma reta 
r não vertical, de inclinação α, temos três casos para analisar: 
Primeiro Caso Segundo Caso Terceiro Caso 
0º < α < 90 α > 90º α = 0º 
 
Sem perder a generalidade, podemos supor os pontos A e B nas posições 
indicadas nesses três casos conforme abaixo: 
Primeiro caso: 
 
No triângulo retângulo ABP, temos: 
 / – / – B A B Atg PB AP Y Y X X = = 
 
y
YB B r 
A ) α P
YA
 ) α
XA XB x
e
XB > XA
YB > YA
 
5 
 
 
PB YB YA
tg
AP XB XA
 −= =
−
 
Assim temos que o coeficiente angular da reta r é 
r
YB YA
m
XB XA
−
=
−
 . 
Segundo e terceiro caso: 
Para o segundo e o terceiro caso, obtém-se como coeficiente angular da reta r 
a razão da diferença das ordenadas de A e B para a diferença de suas abscissas: 
r
YB YA
m
XB XA
−
=
−
 
Se multiplicarmos por -1 o numerador e o denominador dessa fração, 
obteremos uma equivalente, ou seja, 
r
YB YA YA YB
m
XB XA XA XB
− −
= =
− −
. 
De uma forma mais simplificada, podemos indicar por 
y
 a diferença entre 
ordenadas e por Δx a diferença entre as abscissas: 
r
y
m
x

=

 
 
É muito importante lembrar que as diferenças 
y
 e 
x
 devem ser efetuadas 
sempre no mesmo sentido, ou seja, ambas de A para B, 
YA YB
XA XB
−
−
 ou ambas de B para 
A, 
YB YA
XB XA
−
−
 . 
Vejamos um exemplo, onde vamos calcular o coeficiente angular da reta AB, 
onde A(2,5) e B(4,11). 
11 5 6
3
4 2 2
r
y
m
x
 −
= = = =
 −
 
Podemos também calcular de A para B. 
5 11 6
3
2 4 2
y
m
x
 − −
= = = =
 − −
 
 
1.4. Equação fundamental da reta 
Para a equação fundamental da reta, temos um teorema que diz se r é a reta 
não vertical que passa pelo ponto 
( )0 0, P X Y
 e tem coeficiente angular m, então uma 
equação de r é
( )0 0 – – y y m x x=
 . 
Vamos então demonstrar este teorema. 
 
6 
 
 
 
G(x,y) é um ponto genérico, distinto de P e o ponto G pertence a reta r, se, e 
somente se, o coeficiente angular calculado através de P e G é igual a m, ou seja: 
0
0
y y
m
x x
−
=
−
, então
( )0 0 – – y y m x x=
 . 
Podemos notar que o ponto 
( )0 0, P x y
 também satisfaz essa equação. Vamos 
observar: 
( )0 0 0 0– – 0 0y y m x x= → =
 
Assim concluímos que a equação 
( )0 0 – – y y m x x=
 representa todos os 
pontos da reta r. 
Como exemplo, vamos determinar uma equação da reta r que passa pelo 
ponto P(-2,1) e tem coeficiente angular m = -3. 
Tendo a equação fundamental da reta
( )0 0 – – y y m x x=
, vamos substituir 
x0, y0 e m por -2, 1 e -3 respectivamente. 
y – 1 = -3(x –(-2)) 
y - 1 = -3(x + 2) 
y – 1 = -3x -6 → 3x + y + 5 = 0 
Esta equação também pode ser obtida da forma reduzida, isolando a variável 
y, temos: y = mx + y0 – mx0 
Fazendo
0 0– y mx q=
 , podemos escrever y = mx + q. Ao termo independente 
q damos o nome de coeficiente linear. 
Na equação reduzida y = 3x + 5 temos m = 3 (coeficiente angular) e q = 5 
(coeficiente linear). 
y
r
G(x,y)
Y0 P
m= tg α
 ) α
X0 x
 
7 
 
1.5. Posições relativas de duas retas em função de suas inclinações 
Em um plano cartesiano, duas retas r e s são paralelas se, e somente se, tem o 
mesmo coeficiente angular ou não existem seus coeficientes angulares. 
r // s ←→ mr = ms