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Matemática TEOREMA ANGULAR 1 Sumário Introdução .................................................................................................................................... 2 Objetivo......................................................................................................................................... 2 1. Teorema Angular .................................................................................................................. 2 1.1. Conceito ............................................................................................................................ 2 1.2. Coeficiente angular .......................................................................................................... 3 1.3. Calculando o coeficiente angular de uma reta não vertical por dois de seus pontos ... 4 1.4. Equação fundamental da reta ......................................................................................... 5 1.5. Posições relativas de duas retas em função de suas inclinações ................................... 7 Exercícios .................................................................................................................................... 10 Gabarito ...................................................................................................................................... 11 Resumo ....................................................................................................................................... 12 2 Introdução Na apostila sobre Equação da Reta, estudamos a equação da reta com sua equação geral, a intersecção de duas retas, retas paralelas e concorrentes e formamos a equação da reta. Hoje veremos o teorema angular, coeficiente angular, equação da reta, ângulos de duas retas e condições de paralelismo e perpendicularismo. Objetivo • Conceituar o teorema angular; • Entender o que é o coeficiente angular; • Estabelecer as condições de paralelismo e perpendicularismo. 1. Teorema Angular 1.1. Conceito O teorema angular, também chamado de Teorema angular de Tales, pois foi criado por Tales de Mileto, um matemático e filósofo grego, nos diz que em todo triângulo a soma dos ângulos internos é de 180º. Podemos dizer que a soma dos ângulos internos é representada pela equação a + b + c = 180º, onde a, b e c são os ângulos internos do triângulo. Vejamos os exemplos abaixo: 60º + 60º + 60º = 180º 45º + 90º + 45º = 180º 30º + 120º +º +30º = 180º Representação do conceito de Tales de Mileto 3 1.2. Coeficiente angular Antes de falarmos sobre o coeficiente angular, precisamos definir a inclinação de uma reta. Vamos considerar uma reta r do plano cartesiano, que seja concorrente com o eixo Ox no ponto P(Xp, 0) e que passa pelo ponto Q(Xq, Yq), com Yq >0 e seja M(Xm, 0) com Xm > Xp: Chamamos de inclinação da reta r, a medida α, 0º ≤ α < 180º, do ângulo MPQ orientado a parir do lado PM no sentido anti-horário. Assim, chama-se coeficiente angular de uma reta r de inclinação α, α ≠ 90º, o número m tal que : m = tg α. Vejamos alguns exemplos: No primeiro exemplo temos o coeficiente angular de r é 60º 3rm tg= = . Já no segundo exemplo, o coeficiente angular de s é sm = tg 135º = -1. Retas verticais não tem coeficiente angular, pois não existe tg 90º. y y Q Q α P ) α x x O M O P M y y r ) 60o x 45o x O O s α = 180o - 45o y t O x 4 A declividade de uma rampa, é muito utilizada na engenharia civil. Quando por exemplo se diz que uma rampa tem declive de 30%, isso significa que a tangente do ângulo α que a rampa forma com o plano horizontal é 0,3, ou seja, 0,3tg = 1.3. Calculando o coeficiente angular de uma reta não vertical por dois de seus pontos Ao considerarmos dois pontos distintos ( ), A AA X Y e ( ), B BB X Y de uma reta r não vertical, de inclinação α, temos três casos para analisar: Primeiro Caso Segundo Caso Terceiro Caso 0º < α < 90 α > 90º α = 0º Sem perder a generalidade, podemos supor os pontos A e B nas posições indicadas nesses três casos conforme abaixo: Primeiro caso: No triângulo retângulo ABP, temos: / – / – B A B Atg PB AP Y Y X X = = y YB B r A ) α P YA ) α XA XB x e XB > XA YB > YA 5 PB YB YA tg AP XB XA −= = − Assim temos que o coeficiente angular da reta r é r YB YA m XB XA − = − . Segundo e terceiro caso: Para o segundo e o terceiro caso, obtém-se como coeficiente angular da reta r a razão da diferença das ordenadas de A e B para a diferença de suas abscissas: r YB YA m XB XA − = − Se multiplicarmos por -1 o numerador e o denominador dessa fração, obteremos uma equivalente, ou seja, r YB YA YA YB m XB XA XA XB − − = = − − . De uma forma mais simplificada, podemos indicar por y a diferença entre ordenadas e por Δx a diferença entre as abscissas: r y m x = É muito importante lembrar que as diferenças y e x devem ser efetuadas sempre no mesmo sentido, ou seja, ambas de A para B, YA YB XA XB − − ou ambas de B para A, YB YA XB XA − − . Vejamos um exemplo, onde vamos calcular o coeficiente angular da reta AB, onde A(2,5) e B(4,11). 11 5 6 3 4 2 2 r y m x − = = = = − Podemos também calcular de A para B. 5 11 6 3 2 4 2 y m x − − = = = = − − 1.4. Equação fundamental da reta Para a equação fundamental da reta, temos um teorema que diz se r é a reta não vertical que passa pelo ponto ( )0 0, P X Y e tem coeficiente angular m, então uma equação de r é ( )0 0 – – y y m x x= . Vamos então demonstrar este teorema. 6 G(x,y) é um ponto genérico, distinto de P e o ponto G pertence a reta r, se, e somente se, o coeficiente angular calculado através de P e G é igual a m, ou seja: 0 0 y y m x x − = − , então ( )0 0 – – y y m x x= . Podemos notar que o ponto ( )0 0, P x y também satisfaz essa equação. Vamos observar: ( )0 0 0 0– – 0 0y y m x x= → = Assim concluímos que a equação ( )0 0 – – y y m x x= representa todos os pontos da reta r. Como exemplo, vamos determinar uma equação da reta r que passa pelo ponto P(-2,1) e tem coeficiente angular m = -3. Tendo a equação fundamental da reta ( )0 0 – – y y m x x= , vamos substituir x0, y0 e m por -2, 1 e -3 respectivamente. y – 1 = -3(x –(-2)) y - 1 = -3(x + 2) y – 1 = -3x -6 → 3x + y + 5 = 0 Esta equação também pode ser obtida da forma reduzida, isolando a variável y, temos: y = mx + y0 – mx0 Fazendo 0 0– y mx q= , podemos escrever y = mx + q. Ao termo independente q damos o nome de coeficiente linear. Na equação reduzida y = 3x + 5 temos m = 3 (coeficiente angular) e q = 5 (coeficiente linear). y r G(x,y) Y0 P m= tg α ) α X0 x 7 1.5. Posições relativas de duas retas em função de suas inclinações Em um plano cartesiano, duas retas r e s são paralelas se, e somente se, tem o mesmo coeficiente angular ou não existem seus coeficientes angulares. r // s ←→ mr = msou ∄ mr e ms Representação de mesmo coeficiente angular Representação onde não existe coeficiente angular Duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, tem coeficientes angulares diferentes ou existe coeficiente angular de uma das retas e não existe da outra. y y r s ) α ) α x ) α x O O mr = ms r // s mr = ms r // s r ≡ s y y r s O x O x ∄ mr e ms r // s ∄ mr e ms r // s r ≡ s 8 Representação de retas concorrentes Assim podemos enunciar que duas retas não verticais r e s de equações reduzidas r ry m x q= + e s sy m y q= + , respectivamente são: • Paralelas distintas se, e somente se r sm m= e r sq q • Paralelas coincidentes se, e somente se r sm m= e r sq q= • Concorrentes se, e somente se mr ≠ ms. Vamos agora considerar as retas perpendiculares r e s conforme o gráfico: Retas perpendiculares mr = tg α é o coeficiente angular de r e sm tg ß= é o coeficiente angular de s. No triângulo retângulo ABC, limitado por r, s e o eixo Ox, temos: y y s r s r ) α ß x ) α O O x mr ≠ ms r concorre com s Ǝ mr e ∄ ms r concorre com s y s r . ) α ß x O 9 Representação do triângulo ABC (180º ) AB tg AC AC tg AB = − = Utilizando a trigonometria, dizemos que ( )180º tg ß tg ß− = − . Assim temos: AC tg AB AB tg AC = − = ( ) ( 1 ) AB A AC tg I AB Ctg II AC AB = = − − Vamos substituir (I) em (II), e temos 1 tg ß tg = − , ou seja: 1 ms mr = − . Agora então podemos enunciar que duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares, se e somente se, o coeficiente angular de uma delas é igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra. Neste exemplo vamos obter a equação geral da reta s que passa pelo ponto P(2,-3) e é perpendicular à reta r:x + 2y + 5 = 0. Passando para forma reduzida temos: 5 1 2 – 5 2 2 2 r x y x y m= − → = − → = − Para que as retas r e s sejam perpendiculares, o coeficiente angular de s deve ser o oposto do inverso do coeficiente angular de r e assim temos: y s r A . ) α 180º - ß ß x O B C 10 P(2, 3) 1 1 1 2 2 S ms mr − − = − = − = Pela equação fundamental da reta, ( )0 0 – – y y m x x= , temos y – (-3) = 2(x – 2) → y + 3 = 2x – 4. Logo, uma equação geral da reta s é 2x – y – 7 = 0. RELEMBRANDO! Exercícios 1. (Autor, 2019) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto P(0,4) e tem coeficiente angular m = tg 135º. 2. (Paiva, 1999) São dadas as seguintes retas: r:y = 3x +5 s:y=3x -2 t:6x -2y +10 = 0 u:y = 5x Descrever a posição relativa entre: a) r e s b) r e t c) s e u 3. (Dante, 2005) Determinar a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são os pontos A(3,2) e B(-2,-4). A figura irá lhe ajudar na resolução. Retas que são coincidentes, ou seja, pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum, tem o mesmo coeficiente angular. 11 Gabarito 1. A tg 135º é igual a -1 e daí fazemos: (0,4) 1 P r m = − Substituindo 0 0 0, 4x y= = e m = -1 na equação fundamental da reta: ( ) ( )0 0 – – 4 1 – 0 – 4 4 0y y m x x y x y x x y= → − = − → = − → + − = A reta r tem como equação x + y -4 = 0. 2. 3rm = e 5rq = 3sm = e 2sq = − A forma reduzida de t é y = 3x + 5; logo 5 0u um e q= = a) r sm m= e r sq q r → e s são paralelas distintas; b) r tm m= e r tq q r= → e t são paralelas coincidentes; c) s um m s → e u são concorrentes. 3. Pela geometria plana, sabemos que a mediatriz de um segmento é uma reta perpendicular ao seguimento no seu ponto médio. Na figura, M é o ponto médio de AB. A equação da reta do seguimento AB: y 2 A -2 x 3 M -4 mediatriz B 12 1 3 2 1 0 2 4 1 x y = − − 2 2 12 4 3 4 0 6 5 8 0 x y y x x y − − + + + = − − = Calculamos o coeficiente angular m1 da reta: 1 6 5 8 0 5 6 8 5 6 – 8 6 8 5 5 6 5 x y y x y x y x m − − = → − = − + → = = − = O cálculo do coeficiente angular m2 da mediatriz é 2 1 56 5 6 m = − = − . O cálculo das coordenadas do ponto 3 2 1 : 2 2 M x − = = e 2 4 2 1 2 2 y − = = − = − . O problema, agora, fica reduzido a determinar a equação da reta que passa pelo ponto 𝑀( 1 2 , −1) e que tem coeficiente angular 5 6 − : ( )1 2 1 5 1 – – 1 6 2 5 5 1 12 12 10 5 6 12 10 12 7 0 y y m x x y x x y y x x y = → + = − − + = + → + = − + + + = Logo a equação da mediatriz do segmento é 10x + 12y + 7 = 0. Resumo Hoje vimos o teorema angular que nos diz que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Vimos também que chama-se coeficiente angular de uma reta r de inclinação α, m tg = α ≠ 90º, o número m tal que : m tg = . 13 Em relação a equação fundamental da reta, temos um teorema que diz se r é a reta não vertical que passa pelo ponto P(X0, Y0) e tem coeficiente angular m, então uma equação de r é ( )0 0 – – y y m x x= . Em um plano cartesiano, duas retas r e s são paralelas se, e somente se, tem o mesmo coeficiente angular ou não existem seus coeficientes angulares. r // s ←→ mr = ms ou ∄ mr e ms Duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares, se e somente se, o coeficiente angular de uma delas é igual ao oposto do inverso do coeficiente angular da outra. 14 Referências bibliográficas DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999
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