Teorema Angular

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Matemática 
 
 
 
 
TEOREMA ANGULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Teorema Angular .................................................................................................................. 2 
1.1. Conceito ............................................................................................................................ 2 
1.2. Coeficiente angular .......................................................................................................... 3 
1.3. Calculando o coeficiente angular de uma reta não vertical por dois de seus pontos ... 4 
1.4. Equação fundamental da reta ......................................................................................... 5 
1.5. Posições relativas de duas retas em função de suas inclinações ................................... 7 
 
Exercícios .................................................................................................................................... 10 
 
Gabarito ...................................................................................................................................... 11 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila sobre Equação da Reta, estudamos a equação da reta com sua 
equação geral, a intersecção de duas retas, retas paralelas e concorrentes e formamos 
a equação da reta. 
Hoje veremos o teorema angular, coeficiente angular, equação da reta, 
ângulos de duas retas e condições de paralelismo e perpendicularismo. 
Objetivo 
• Conceituar o teorema angular; 
• Entender o que é o coeficiente angular; 
• Estabelecer as condições de paralelismo e perpendicularismo. 
 
1. Teorema Angular 
1.1. Conceito 
O teorema angular, também chamado de Teorema angular de Tales, pois foi 
criado por Tales de Mileto, um matemático e filósofo grego, nos diz que em todo 
triângulo a soma dos ângulos internos é de 180º. 
Podemos dizer que a soma dos ângulos internos é representada pela equação 
a + b + c = 180º, onde a, b e c são os ângulos internos do triângulo. Vejamos os 
exemplos abaixo: 
 
 
60º + 60º + 60º = 180º 45º + 90º + 45º = 180º 30º + 120º +º +30º = 180º 
Representação do conceito de Tales de Mileto 
 
 
 
3 
 
1.2. Coeficiente angular 
Antes de falarmos sobre o coeficiente angular, precisamos definir a inclinação 
de uma reta. Vamos considerar uma reta r do plano cartesiano, que seja concorrente 
com o eixo Ox no ponto P(Xp, 0) e que passa pelo ponto Q(Xq, Yq), com Yq >0 e seja 
M(Xm, 0) com Xm > Xp: 
 
Chamamos de inclinação da reta r, a medida α, 0º ≤ α < 180º, do ângulo MPQ 
orientado a parir do lado PM no sentido anti-horário. 
Assim, chama-se coeficiente angular de uma reta r de inclinação α, α ≠ 90º, o 
número m tal que : m = tg α. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
No primeiro exemplo temos o coeficiente angular de r é 
 60º 3rm tg= =
 . Já 
no segundo exemplo, o coeficiente angular de s é 
sm =
 tg 135º = -1. 
 
Retas verticais não tem coeficiente angular, pois não existe tg 90º. 
y y
Q Q
α
P ) α x x
O
M
O
P M
y y
r
 ) 60o x 45o x
O O s
α = 180o - 45o
y
t
 
O
x
 
4 
 
A declividade de uma rampa, é muito utilizada na engenharia civil. Quando por 
exemplo se diz que uma rampa tem declive de 30%, isso significa que a tangente do 
ângulo α que a rampa forma com o plano horizontal é 0,3, ou seja, 
 0,3tg  =
 
 
 
1.3. Calculando o coeficiente angular de uma reta não vertical por 
dois de seus pontos 
Ao considerarmos dois pontos distintos 
( ), A AA X Y
 e 
( ), B BB X Y
 de uma reta 
r não vertical, de inclinação α, temos três casos para analisar: 
Primeiro Caso Segundo Caso Terceiro Caso 
0º < α < 90 α > 90º α = 0º 
 
Sem perder a generalidade, podemos supor os pontos A e B nas posições 
indicadas nesses três casos conforme abaixo: 
Primeiro caso: 
 
No triângulo retângulo ABP, temos: 
 / – / – B A B Atg PB AP Y Y X X = = 
 
y
YB B r 
A ) α P
YA
 ) α
XA XB x
e
XB > XA
YB > YA
 
5 
 
 
PB YB YA
tg
AP XB XA
 −= =
−
 
Assim temos que o coeficiente angular da reta r é 
r
YB YA
m
XB XA
−
=
−
 . 
Segundo e terceiro caso: 
Para o segundo e o terceiro caso, obtém-se como coeficiente angular da reta r 
a razão da diferença das ordenadas de A e B para a diferença de suas abscissas: 
r
YB YA
m
XB XA
−
=
−
 
Se multiplicarmos por -1 o numerador e o denominador dessa fração, 
obteremos uma equivalente, ou seja, 
r
YB YA YA YB
m
XB XA XA XB
− −
= =
− −
. 
De uma forma mais simplificada, podemos indicar por 
y
 a diferença entre 
ordenadas e por Δx a diferença entre as abscissas: 
r
y
m
x

=

 
 
É muito importante lembrar que as diferenças 
y
 e 
x
 devem ser efetuadas 
sempre no mesmo sentido, ou seja, ambas de A para B, 
YA YB
XA XB
−
−
 ou ambas de B para 
A, 
YB YA
XB XA
−
−
 . 
Vejamos um exemplo, onde vamos calcular o coeficiente angular da reta AB, 
onde A(2,5) e B(4,11). 
11 5 6
3
4 2 2
r
y
m
x
 −
= = = =
 −
 
Podemos também calcular de A para B. 
5 11 6
3
2 4 2
y
m
x
 − −
= = = =
 − −
 
 
1.4. Equação fundamental da reta 
Para a equação fundamental da reta, temos um teorema que diz se r é a reta 
não vertical que passa pelo ponto 
( )0 0, P X Y
 e tem coeficiente angular m, então uma 
equação de r é
( )0 0 – – y y m x x=
 . 
Vamos então demonstrar este teorema. 
 
6 
 
 
 
G(x,y) é um ponto genérico, distinto de P e o ponto G pertence a reta r, se, e 
somente se, o coeficiente angular calculado através de P e G é igual a m, ou seja: 
0
0
y y
m
x x
−
=
−
, então
( )0 0 – – y y m x x=
 . 
Podemos notar que o ponto 
( )0 0, P x y
 também satisfaz essa equação. Vamos 
observar: 
( )0 0 0 0– – 0 0y y m x x= → =
 
Assim concluímos que a equação 
( )0 0 – – y y m x x=
 representa todos os 
pontos da reta r. 
Como exemplo, vamos determinar uma equação da reta r que passa pelo 
ponto P(-2,1) e tem coeficiente angular m = -3. 
Tendo a equação fundamental da reta
( )0 0 – – y y m x x=
, vamos substituir 
x0, y0 e m por -2, 1 e -3 respectivamente. 
y – 1 = -3(x –(-2)) 
y - 1 = -3(x + 2) 
y – 1 = -3x -6 → 3x + y + 5 = 0 
Esta equação também pode ser obtida da forma reduzida, isolando a variável 
y, temos: y = mx + y0 – mx0 
Fazendo
0 0– y mx q=
 , podemos escrever y = mx + q. Ao termo independente 
q damos o nome de coeficiente linear. 
Na equação reduzida y = 3x + 5 temos m = 3 (coeficiente angular) e q = 5 
(coeficiente linear). 
y
r
G(x,y)
Y0 P
m= tg α
 ) α
X0 x
 
7 
 
1.5. Posições relativas de duas retas em função de suas inclinações 
Em um plano cartesiano, duas retas r e s são paralelas se, e somente se, tem o 
mesmo coeficiente angular ou não existem seus coeficientes angulares. 
r // s ←→ mr = msou ∄ mr e ms 
 
 
Representação de mesmo coeficiente angular 
 
 
Representação onde não existe coeficiente angular 
 
 
Duas retas r e s são concorrentes se, e somente se, tem coeficientes angulares 
diferentes ou existe coeficiente angular de uma das retas e não existe da outra. 
y y
r s
 ) α ) α x ) α x
O O
mr = ms r // s mr = ms r // s
r ≡ s
y y
r s
 
O
x O x
∄ mr e ms r // s ∄ mr e ms r // s
r ≡ s
 
8 
 
 
Representação de retas concorrentes 
 
Assim podemos enunciar que duas retas não verticais r e s de equações 
reduzidas 
 r ry m x q= +
 e
 s sy m y q= +
 , respectivamente são: 
• Paralelas distintas se, e somente se 
 r sm m=
 e 
 r sq q
 
• Paralelas coincidentes se, e somente se 
 r sm m=
 e 
 r sq q=
 
• Concorrentes se, e somente se mr ≠ ms. 
Vamos agora considerar as retas perpendiculares r e s conforme o gráfico: 
 
Retas perpendiculares 
 
mr = tg α é o coeficiente angular de r e 
 sm tg ß=
 é o coeficiente angular de s. 
No triângulo retângulo ABC, limitado por r, s e o eixo Ox, temos: 
y y
s r
s r
 ) α ß x ) α
O O
x
mr ≠ ms r concorre com s Ǝ mr e ∄ ms r concorre com s
y
s r
 .
 ) α ß x
O
 
9 
 
 
Representação do triângulo ABC 
 
(180º
 
)
AB
tg
AC
AC
tg
AB



=

− =

 
 
Utilizando a trigonometria, dizemos que
( )180º tg ß tg ß− = −
 . Assim 
temos: 
 
AC
tg
AB
AB
tg
AC



=

− =

 
(
)
 
(
 
1
)
AB A
AC
tg I
AB
Ctg II
AC AB



=


= − −



 
Vamos substituir (I) em (II), e temos 
1
 tg ß
tg
= −
 , ou seja: 
1
ms
mr
= −
 . 
Agora então podemos enunciar que duas retas r e s, não verticais, são 
perpendiculares, se e somente se, o coeficiente angular de uma delas é igual ao 
oposto do inverso do coeficiente angular da outra. 
Neste exemplo vamos obter a equação geral da reta s que passa pelo ponto 
P(2,-3) e é perpendicular à reta r:x + 2y + 5 = 0. 
Passando para forma reduzida temos: 
5 1
2 – 5 
2 2 2
r
x
y x y m= − → = − → = −
 
 
Para que as retas r e s sejam perpendiculares, o coeficiente angular de s deve 
ser o oposto do inverso do coeficiente angular de r e assim temos: 
y
s r
A
 .
 ) α 180º - ß ß x
O B C
 
10 
 
P(2, 3)
1
1 1 2
2
S
ms
mr
−
 −

 = − = − =

 
 
Pela equação fundamental da reta, 
( )0 0 – – y y m x x=
 , temos y – (-3) = 2(x 
– 2) → y + 3 = 2x – 4. Logo, uma equação geral da reta s é 2x – y – 7 = 0. 
 
RELEMBRANDO! 
 
 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto P(0,4) e 
tem coeficiente angular m = tg 135º. 
 
2. (Paiva, 1999) São dadas as seguintes retas: 
r:y = 3x +5 s:y=3x -2 t:6x -2y +10 = 0 u:y = 5x 
Descrever a posição relativa entre: 
a) r e s 
b) r e t 
c) s e u 
 
3. (Dante, 2005) Determinar a equação da mediatriz do segmento cujas 
extremidades são os pontos A(3,2) e B(-2,-4). A figura irá lhe ajudar na 
resolução. 
Retas que são coincidentes, ou seja, 
pertencem ao mesmo plano e possuem todos os 
pontos em comum, tem o mesmo coeficiente angular. 
 
11 
 
 
Gabarito 
1. A tg 135º é igual a -1 e daí fazemos: 
 
(0,4)
1
P
r
m


= −
 
 
Substituindo 
0 0 0, 4x y= =
 e m = -1 na equação fundamental da reta: 
( ) ( )0 0 – – 4 1 – 0 – 4 4 0y y m x x y x y x x y= → − = − → = − → + − =
 
A reta r tem como equação x + y -4 = 0. 
 
2. 
 3rm =
 e 
 5rq =
 
 3sm =
 e 
 2sq = −
 
A forma reduzida de t é y = 3x + 5; logo 
 5 0u um e q= =
 
a) 
 r sm m=
 e 
 r sq q r →
 e s são paralelas distintas; 
b)
 r tm m=
 e 
 r tq q r= →
 e t são paralelas coincidentes; 
c) 
 s um m s →
 e u são concorrentes. 
 
3. Pela geometria plana, sabemos que a mediatriz de um segmento é uma reta 
perpendicular ao seguimento no seu ponto médio. Na figura, M é o ponto 
médio de AB. A equação da reta do seguimento AB: 
y
2 A
-2 x
3
M
 -4 mediatriz
B
 
12 
 
 
 
1
3 2 1 0
2 4 1
x y
=
− −
 2 2 12 4 3 4 0
6 5 8 0
x y y x
x y
− − + + + =
− − =
 
 
Calculamos o coeficiente angular m1 da reta: 
1
6 5 8 0 5 6 8 5 6 – 8
6 8
5 5
6
5
x y y x y x
y x
m
− − = → − = − + → =
= −
=
 
O cálculo do coeficiente angular m2 da mediatriz é 
2
1
56
5 6
m = − = −
. 
O cálculo das coordenadas do ponto 
3 2 1
: 
2 2
M x
−
= =
 e 
2 4 2
 1
2 2
y
−
= = − = −
 . 
O problema, agora, fica reduzido a determinar a equação da reta que passa 
pelo ponto 𝑀(
1
2
, −1) e que tem coeficiente angular 
5
6
−
 : 
 
( )1 2 1
5 1
 – – 1
6 2
5 5
 1 12 12 10 5
6 12
10 12 7 0
y y m x x y x
x
y y x
x y
 
= → + = − − 
 
+ = + → + = − +
+ + =
 
 
Logo a equação da mediatriz do segmento é 10x + 12y + 7 = 0. 
Resumo 
Hoje vimos o teorema angular que nos diz que a soma dos ângulos internos de 
um triângulo é 180º. Vimos também que chama-se coeficiente angular de uma reta r 
de inclinação α, 
 m tg =
 α ≠ 90º, o número m tal que :
 m tg =
 . 
 
13 
 
Em relação a equação fundamental da reta, temos um teorema que diz se r é 
a reta não vertical que passa pelo ponto P(X0, Y0) e tem coeficiente angular m, então 
uma equação de r é
( )0 0 – – y y m x x=
 . 
Em um plano cartesiano, duas retas r e s são paralelas se, e somente se, tem o 
mesmo coeficiente angular ou não existem seus coeficientes angulares. 
r // s ←→ mr = ms ou ∄ mr e ms 
Duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares, se e somente se, o 
coeficiente angular de uma delas é igual ao oposto do inverso do coeficiente angular 
da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999