FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA TUDÃO PARA AV AVS

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O DEZ 
É 
CERTO! 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE 
ÁLGEBRA 
1
a
 aula 
 Lupa 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CEL1406_EX_A1__V1 29/10/2019 
Aluno(a): RÉGIS F 2019.3 EAD 
Disciplina: CEL1406 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 9 
 
 
 
 1
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 4 
 1 
 5 
 12 
 3 
Respondido em 30/10/2019 19:18:29 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 
 Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A 
partir dela podemos dizer que 16 * 4 é: 
 
 13 
 4 
 12 
 1 
 0 
Respondido em 30/10/2019 19:18:36 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 Existe elemento neutro e = 0 
 Existe elemento neutro e = 2 
 Não existe elemento neutro 
 Existe elemento neutro e = 1 
 Existe elemento neutro e = -1 
Respondido em 30/10/2019 19:18:40 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 
 
O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? 
 
 Sim, pois existe elemento simétrico 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição 
suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. 
 Sim, pois existe elemento neutro e = 1 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e 
existe elemento simétrico. 
Respondido em 30/10/2019 19:18:47 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 
 O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de 
grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é: 
 
 Elemento neutro. 
 Distributiva. 
 Associativa. 
 Comutativa. 
 Elemento inverso. 
Respondido em 30/10/2019 19:25:34 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 
 Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y + xy 
Verifique a existência do elemento neutro. 
 
 Existe elemento neutro e = 0 
 Existe elemento neutro e = 1 
 Não existe elemento neutro 
 Existe elemento neutro e = 2 
 Existe elemento neutro e = -1 
Respondido em 29/10/2019 00:03:19 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 
 O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? 
 
 Não, pois não existe elemento simétrico. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e 
existe elemento simétrico. 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição 
suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. 
 Não, pois não existe elemento neutro. 
Respondido em 30/10/2019 19:27:51 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 
 
O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine 
o elemento neutro. 
 
 e = 6 
 e = 3 
 e = 4 
 e = -2 
 e = 1 
Respondido em 30/10/2019 19:27:54 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
2
a
 aula Lupa 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CEL1406_EX_A2__V1 29/10/2019 
Aluno(a): RÉGIS F 2019.3 EAD 
Disciplina: CEL1406 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 1
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 e = f2 
 e = f4 
 e = f1 
 e = f3 
 Não existe elemento neutro. 
Respondido em 30/10/2019 19:15:28 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 
 
Considere o conjunto (Z8, +). Marque a alternativa que indica a solução da 
equação x + 5 = 3. 
 
 -2 
 2 
 0 
 3 
 6 
Respondido em 30/10/2019 19:15:33 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 
 Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em 
Z11. 
 
 
 
 {(-14/13;119/39)} 
 {(1,4)} 
 {(0,6)} 
 {(-3,7)} 
 {(2,3)} 
Respondido em 30/10/2019 19:15:41 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 
 Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na 
tábua de operação abaixo. 
 
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os 
elementos regulares. 
 
 1, 2 e 5 
 2, 3 e 5 
 2, 3, 4 e 5 
 1, 2 ,3, 4 e 5 
 1, 3 e 4 
Respondido em 30/10/2019 19:15:50 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 
 Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8. 
 
 2 
 - 5/3 
 3 
 1 
 4 
Respondido em 30/10/2019 19:16:14 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 
 Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto Z11. 
 
 48 
 8 
 4 
 6 
 5 
Respondido em 30/10/2019 19:16:22 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 
 Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as 
seguintes afirmações: 
(I) e * x = x = x * e, para todo x. 
(II) a * x = a = x * a, para todo x. 
(III) x * x = e, para todo x diferente de a. 
(IV) b * d = c; 
(V) b, c, d são regulares. 
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar 
completa. 
 
 
 
 a 
 b 
 d 
 c 
 e 
Respondido em 29/10/2019 00:04:43 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 
 
Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯2 
 em Z3. 
 
 e = ¯¯¯ ¯¯ −2 
 e 
= 
¯1 
 e = ¯2 
 e = ¯¯¯ ¯¯ −1 
 e = ¯3 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
3
a
 aula Lupa 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CEL1406_EX_A3__V1 29/10/2019 
Aluno(a): RÉGIS F 2019.3 EAD 
Disciplina: CEL1406 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 1
a
 Questão 
 
 
 
 Considere o grupo (Z
*
7, .) e a = 5. Determine a
2
 . 
 
 1 
 25 
 3 
 0 
 4 
Respondido em 30/10/2019 19:06:40 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 
 
Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo 
através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta 
corretamente essa proposição. 
 
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de 
G se é satisfeita a seguinte propriedade: ∀ 
h1,h2 ∈H, temos h1h2 ∈ 
H. 
 Então H é um 
subgrupo de 
G se é 
satisfeita a 
seguinte 
propriedade: 
 ∀ 
h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈ 
H. 
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um 
subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade: 
Para todo h ∈ 
H, ∃ h ∈H, tal que h ∈ 
H. 
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um 
subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes 
propriedades: 
∀ 
h1,h2 ∈H, temos h1h2 ∈ 
H e 
 ∀ 
h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈ 
H. 
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um 
subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade: 
Para todo h1,h2 ∈ 
H temos h1h2 ∈ 
H. 
 
 
Respondido em 30/10/2019 19:06:48 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 
 Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2. 
 
 [2] = {2,4,8,0} 
 [2] = {2,4,6,0} 
 [2] = {2,4,6,8,0} 
 [2] = {4,6,8,0} 
 [2] = {2,4,6,8} 
Respondido em 30/10/2019 19:07:07 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 
 Determine 2
-4
 em (Z, +). 
 
 8 
 2 
 -8 
 4 
 -4 
Respondido em 30/10/2019 19:07:14 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 
 Considere o grupo (Z,+) e a = 4. Determine a
2
. 
 
 1 
 4 
 2 
 816 
Respondido em 30/10/2019 19:07:24 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 
 Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de 
(Z6, +). 
 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é 
elemento de H. 
 H é subgrupo de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +). 
 H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em 
Z6. 
Respondido em 30/10/2019 19:07:30 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 
 A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. Determine os geradores de G. 
 
 
 B, D e F 
 A e D 
 B e C 
 A e F 
 C e F 
Respondido em 30/10/2019 19:07:41 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 
 A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. Determine os geradores de G. 
 
 
 B e C 
 A e F 
 A e D 
 C e F 
 B, D e E 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
4
a
 aula Lupa 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CEL1406_EX_A4__V1 29/10/2019 
Aluno(a): RÉGIS F 2019.3 EAD 
Disciplina: CEL1406 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 1
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 1 + H 
 2 + H 
 3 + H 
 H 
 H + H 
Respondido em 30/10/2019 18:56:43 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H 
Respondido em 30/10/2019 18:56:37 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 
 Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais. 
 
 2 
 6 
 1 
 4 
 3 
Respondido em 30/10/2019 18:56:29 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 
 Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as 
classes laterais de N em G. 
 
 G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} 
 G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} 
 G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} 
 G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} 
 G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} 
Respondido em 30/10/2019 18:56:21 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 
 Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: 
 
 A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. 
 H é cíclico 
 A ordem de H divide a ordem de G. 
 Grupos finitos não têm subgrupos. 
 A ordem de G divide a ordem de H. 
Respondido em 30/10/2019 18:56:17 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 
 Considere o Teorema de Lagrange: 
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou 
seja, o Teorema mostra que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, 
O(G), e O(G) = (G:H).O(H). 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. 
 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas 
as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G 
, já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Logo 
(G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a 
união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada 
elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o 
número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = 
o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à 
esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de 
todas as classes laterais módulo H é igual a G. Temos então que r.o(H) = 
o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas 
as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G 
, já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como 
cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número 
de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r 
= (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas 
as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G 
figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de 
cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = 
o(G) ou o(H)/o(G). 
Respondido em 29/10/2019 00:27:48 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 
 Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} 
subgrupo de G. Marque a alternativa que indica as classes laterais G. 
 
 {1, -1} , {i, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} 
 {i, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} 
Respondido em 29/10/2019 00:26:35 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 
 Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: 
 
 H∩J é um subgrupo normal de G. 
 H∩J é um subgrupo cíclico de G. 
 H∩J é um subgrupo abeliano de G. 
 H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal. 
 H∩J não é um subgrupo de G. 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
5
a
 aula Lupa 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
 
 
Exercício: CEL1406_EX_A5__V1 29/10/2019 
Aluno(a): RÉGIS F 2019.3 EAD 
Disciplina: CEL1406 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
 
 
 
 
 1
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 (12341432) 
 (12343241) 
 (12342413) 
 (12344213) 
 (12343124) 
Respondido em 29/10/2019 00:28:51 
 
 
 
 
 2
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 (12341432) 
 (12342413) 
 (12344213) 
 (12343241) 
 (12343124) 
Respondido em 30/10/2019 18:52:47 
 
 
 
 
 3
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 12341432 
 12343124 
 12343241 
 12342413 
 12344213 
Respondido em 29/10/2019 00:30:18 
 
 
 
 
 4
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 (12342413) 
 (12343241) 
 (12341432) 
 (12343124) 
 (12344213) 
Respondido em 30/10/2019 18:53:01 
 
 
 
 
 5
a
 Questão 
 
 
 
 
Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos: 
Sejam m, n elementos de N* tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então 
pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que 
 
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 30/10/2019 18:53:14 
 
 
 
 
 6
a
 Questão 
 
 
 
 
 
 
 x é igual a 1 2 3 4 
 4 3 1 2 
 x é igual a 1 2 3 4 
 4 1 3 2 
 x é igual a 1 2 3 4 
 4 2 3 1 
 x é igual a 1 2 3 4 
 2 1 3 4 
 x é igual a 1 2 3 4 
 1 4 3 2 
Respondido em 30/10/2019 18:53:21 
 
 
 
 
 7
a
 Questão 
 
 
 
 
Seja f: G1 →G2 um homomorfismo de grupos, onde os grupos considerados são 
(G1,*) e (G2,∆) , e o elemento neutro de G2 , e2. Definimos núcleo do 
homomorfismo f ao conjunto {x ∈ 
G1/ f(x) = e2}. Marque a alternativa que mostra corretamente que o núcleo de f, Ker(f), 
definido por Ker(f) = {x∈ 
G1/ f(x) = e2} é um subgrupo normal de G1. 
 
 Note que para todo g em G1 e para todo x∈ 
ker(f) temos f(gxg
-1
) = f((gx)g
-1
) = 
=f(gx).f(g
-1
) = f(g).f(x).(f(g))
-1
 = f(g).e2.(f(g))
-1
 = f(g)(f(g))
-1
 = e2. Portanto,gxg
-1
 ∈ 
ker(f), para todo g em G1 e para todo x ∈ 
ker(f). Assim, concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal. 
 Vamos 
considerar 
x,y∈ 
ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈ ker(f) e que x-1 ∈ ker(f). Note que por f ser um 
homomorfismo de grupos podemos escrever f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy 
∈ ker(f). Também podemos escrever que f(x-1)(f(x))-1 = (e2)-1 = e2. Portanto, x-1 ∈ 
ker(f). 
Assim, 
concluímos 
que o 
núcleo de f 
é um 
subgrupo 
normal. 
 Vamos considerar x,y∈ 
ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈ ker(f) e que x-1 ∈ ker(f). Note que por f ser um 
homomorfismo de grupos podemos escrever f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy 
∈ ker(f). Note que para todo g em G1 e para todo x∈ ker(f) temos f(gxg-1) = f((gx)g-1) 
= f(gx).f(g
-1
) = f(g).f(x).(f(g))
-1
 = f(g).e2.(f(g))
-1
 = f(g)(f(g))
-1
 = e2. Portanto, gxg
-1
 ∈ 
ker(f), para todo g em G1 e para todo x ∈ 
ker(f). 
Assim, 
concluímos 
que o 
núcleo de f 
é um 
subgrupo 
normal. 
 Vamos considerar x,y∈ 
ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈ ker(f) e que x-1 ∈ 
ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever 
f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈ 
ker(f). Também podemos escrever que 
f(x
-1
)(f(x))
-1
 = (e2)
-1
 = e2. Portanto, x
-1
 ∈ 
ker(f). Note que para todo g em G1 e para todo x∈ 
ker(f) temos f(gxg
-1
) = f((gx)g
-1
) = f(gx).f(g
-1
) = f(g).f(x).(f(g))
-1
 = 
=f(g).e2.(f(g))
-1
 = f(g)(f(g))
-1
 = e2. Portanto, gxg
-1
 ∈ 
ker(f), 
para todo g em G1 e para todo x ∈ 
ker(f). 
Assim, 
concluímos 
que o 
núcleo de f 
é um 
subgrupo 
normal. 
 Vamos considerar x,y∈ 
ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈ ker(f) e que x-1 ∈ 
ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever 
f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈ 
ker(f). Assim, concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal. 
Respondido em 30/10/2019 18:53:34 
 
 
 
 
 8
a
 Questão 
 
 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos. 
 
 
 Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos se, e 
somente se, f é uma bijeção e f(x*y) = f(x)*f(y) ∀ 
∈ 
G1 onde f é um homomorfismo de grupos. 
 Vamos 
considerar 
dois grupos 
(G1,*) e 
(G2,∆). 
Dizemos 
que uma 
aplicação f: 
G1 →G2 é 
um 
isomorfismo 
de grupos, 
de (G1,*) 
em (G2,∆) 
se, e 
somente se, 
f é uma 
bijeção e 
f(x*y) = 
f(x)∆f(y) ∀ 
∈ 
G1 onde f é 
um 
homomorfismo 
de grupos. 
 Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma 
aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em 
(G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção. 
 Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma 
aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em 
(G2,∆). se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y) ∀ 
∈ 
G1 onde f é 
um 
homomorfismo 
de grupos. 
 Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma 
aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em 
(G2,∆) se f é uma bijeção e f(x*y) = f(x)*f(y) ∀ 
∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos. 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
CEL1406_A6__V1 
 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
Aluno: RÉGIS F Matr.: 
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 2019.3 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões 
que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
1. 
 
 
Julgue as proposições abaixo e marque a 
alternativa correta. 
 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O 
produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) 
um anel. Denotamos por A
K
 o conjunto de 
todas as funções de K em A. 
 
 
 
I e II , apenas 
 
I , apenas 
 
II , apenas 
 
III , apenas 
 I e III , apenas 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 ∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z 
 ∀x∈Z,∃(2+ x)∈Z 
 ∀x∈Z,∃(−2+ x)∈Z 
 ∀x∈Z,∃(1−x)∈Z 
 ∀x∈Z,∃(−1−x)∈Z 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
3. 
 
 
Indique a opção que representa uma solução para o 
sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no anel 
Z12: 
 
 
x= 3 e y= 4 
 x= 3 e y= 5 
 
x=5 e y={3,8,9} 
 
x= 3 e y= 8 
 
x= 1 e y= 5 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a solução do sistema de equações 
determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no 
Anel Z7 . 
 
 
X= 2 e y=4 
 
X= 2 e y=3 
 
X= 2 e y=2 
 
X= 5 e y=6 
 X= 3 e y=3 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Julgue as proposições abaixo e marque a 
alternativa correta. 
 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O 
produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) 
um anel. Denotamos por A
K
 o conjunto de 
todas as funções de K em A. 
 
 
I e II , apenas 
 I e III , apenas 
 
II , apenas 
 
 I , apenas 
 
III , apenas 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 
encontramos como solução : 
 
 
x = 3 
 x = 1 
 
x = 8 
 
x = 5 
 
x = 10 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
a - b 
 
b - c 
 
c - b 
 
a - c 
 
 d - c 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Marque a alternativa correta que apresenta o 
elemento neutro do anel (Q,*, Δ 
) com as operações definidas por: 
 
a * b = a + b - 1 
 
a Δ 
 
b = a + b - ab 
 
 
 
e = 3 
 
e = 5 
 e = 1 
 
e = 4 
 
e = 2 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
CEL1406_A7__V1 
 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
Aluno: RÉGIS F Matr.: 
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 2019.3 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões 
que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
1. 
 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos 
anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração 
correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z∈A 
 
 então (x - y)z = xz - yz. 
 
 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade). 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade).Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade). 
 Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
A Professora Claudia definiu 
múltiplo de um anel e apresentou a 
seguinte proposição sobre o assunto 
estudado: 
 Seja A um anel, a um elemento de A e m,n 
elementos de Z, m(na) = (mn)a 
Ela fez a demonstração dessa 
proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a 
demonstração correta. 
 
 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
m(ka) = (mk)a 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n temos n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A 
A Professora Ana definiu múltiplo de 
um anel e apresentou a seguinte 
proposição sobre o assunto estudado: 
Seja A um anel, a∈A 
 e ∀∈Z 
 
 temos: 
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por 
indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
Seja A um anel, e m,n∈Z 
 . 
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 
Seja A 
um anel, 
e 
m,n∈Z 
 . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 
Seja A 
um anel, 
e 
m,n∈Z 
 . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 
Seja A 
um anel, 
e 
m,n∈Z 
 . 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
(m - k)a = ma - ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 
Seja A 
um anel, 
e 
m,n∈Z 
 . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A Professora Ana definiu múltiplo de 
um anel e apresentou a seguinte 
proposição sobre o assunto estudado: 
Seja A um anel, a,b∈A 
 e m∈Z 
 
 temos: m(a + b) = ma + mb 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
 Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
Seja A um anel, a,b∈A 
 e m∈Z 
. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora note que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 
Seja A 
um 
anel, 
a,b∈A 
 e m∈Z 
. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
 
Seja A 
um 
anel, 
a,b∈A 
 e m∈Z 
. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 
Seja A 
um 
anel, 
a,b∈A 
 e m∈Z 
. 
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 
Seja A 
um 
anel, 
a,b∈A 
 e m∈Z 
. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Indique nas alternativas abaixo a unidade 
do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um 
elemento do conjuntos dos inteiros. 
 
 ¯1 
 ¯2 
 ¯5 
 ¯3 
 ¯4 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de 
entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que: 
 
 
M_2x2 (R) tem divisores de zero 
 
Nenhuma das anteirores 
 
M_2x2 (R) tem unidade. 
 
M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma. 
 M_2x2 (R) é um anel comutativo. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos 
anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração 
correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z∈A 
 então (x - y)z = xz - yz. 
 
 
 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade). 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da 
distributividade). 
 Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) 
podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo 
as seguintes algumas propriedades. Diga, entre as 
opções abaixo a propriedade que identifica o anel 
comutativo.(x.y).z = x.(y.z) 
 
x(y + z) = x.y + x.z 
 
(x + y) + z = x + (y + z) 
 x.y= y.x 
 
x + y = y + x 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
CEL1406_A8__V1 
 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
Aluno: RÉGIS F Matr.: 
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 2019.3 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões 
que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
1. 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I) 2 e 3 são divisores próprios de zero 
do anel Z6. 
(II) O anel Z7 possui divisores próprios 
de zero. 
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos 
dizer que x é um divisor de zero, se o 
mdc(x,m) = 1. 
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) 
tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
Podemos afirmar que: 
 
 
Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
 
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Marque a única alternativa correta sobre os 
subanéis. 
 
 
O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6. 
 
 
O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = 
{2n/ n ∈ 
Z} 
 
(Z,+,.) 
não é 
um 
subanel 
de 
(Q,+,.) 
(R,+,.) 
(C,+,.). 
 
Q,+,.) 
não é 
um 
subanel 
de 
(R,+,.) 
e 
(C,+,.). 
 
 
O 
conjunto 
dos 
números 
ímpares 
é um 
subanel 
de Z. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O anel Z6 admite quantos divisores de zero? 
 
 
4 
 3 
 
5 
 
1 
 
2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A definição de divisores de uma anel diz que: Seja 
A um anel com as operações usuais de adição e 
multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, 
com x ≠ 0 e 
 y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são 
divisores próprios de zero. A partir da definição 
marque a alternativa correta. 
 
 
O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
 
2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 
 
o anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
 2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
 
3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
 não é um anel de integridade 
 
o elemento neutro do anel é e = 1 
 
não é um anel comutativo 
 
o anel possui unidade 
 
o elemento simétrico do anel é x' = 1 - x 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
 Marque a única alternativa correta sobre os 
subanéis. 
 
 
(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.) 
 
(Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.) 
 
O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o 
conjunto 
S = {2n/ n∈ 
Z} 
 
 O 
conjunto 
3Z6 não 
é um 
subanel 
de Z6 
 
O 
conjunto 
dos 
números 
ímpares 
é um 
subanel 
de Z 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
De acordo com a teoria de Subanel verificamos que 
o conjunto dos números ímpares não é um subanel 
de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, 
desenvolveu uma justificativa para essa proposição. 
Marque a alternativa que apresenta corretamente a 
justificativa desenvolvida pelo Carlos. 
 
 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 
Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Z 
} veja que: 
∀x,y∈S 
e ∀m,n∈S 
, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 
1 que é um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto 
dos números ímpares não é um subanel de Z. 
 
Dado o 
conjunto 
S = 
{2n / 
n∈Z 
} veja que: 
∀x,y∈S 
e ∀m,n∈S 
, temos x = 2n e y = 2m 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto 
dos números ímpares não é um subanel de Z. 
 
Dado o 
conjunto 
S = {2n 
+ 1/ 
n∈Z 
} veja que: 
 ∀x,y∈S 
 e ∀m,n∈S 
, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é 
um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto 
dos números ímpares não é um subanel de Z. 
 
 
Dado o 
conjunto 
S = {2n 
+ 1/ 
n∈Z 
} veja que: 
∀x,y∈S 
e ∀m,n∈S 
, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número 
par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números 
ímpares não é um subanel de Z. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
CEL1406_A9__V1 
 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
Aluno: RÉGIS F Matr.: 
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 2019.3 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões 
que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
1. 
 
 
No anel Z4 determine Reg(Z4 ). 
 
 
Reg(Z4 ) = {1} 
 
Reg(Z4 ) = {0,3} 
 
Reg(Z4 ) = {3} 
 
Reg(Z4 ) = {0,1,3} 
 
Reg(Z4 ) = {1,3} 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um anel comutativo com unidade K e denominado 
um corpo se todo elemento nao nulo de K possuir 
....: 
 
 
elemento simétrico. 
 
elemento neutro da multiplicação 
 
elemento neutro da adição 
 inverso multiplicativo 
 
inverso aditivo 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Marque a única afirmação correta. 
 
 
o anel Zn é um corpo para todo n 
 Todo anel de integridade finito e um corpo 
 
Todo anel de integridade é um corpo 
 
Todo subanel é um corpo 
 
Todo anel comutativo é um corpo 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
4. 
 
 
Marque a alternativa que indica a definição correta 
de corpo. 
 
 
Um Corpo é um anel que tem apenas unidade que chamaremos de K. Este 
anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso 
multiplicativo, ou seja, se ∀ 
x ∈K, x = 0, então existe x-1 ∈ 
K tal que x.x
-1
 = 1. 
 
 
 
Um Corpo é 
um anel 
comutativo 
com unidade 
que 
chamaremos 
de K. Este 
anel é 
denominado 
corpo se todo 
elemento não 
nulo de K 
possuir 
inverso 
multiplicativo,ou seja, se ∀ 
x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈ 
K tal que x.x
-1
 = 1. 
 
Um Corpo é 
um anel 
comutativo 
com unidade 
que 
chamaremos 
de K. Este 
anel é 
denominado 
corpo se todo 
elemento não 
nulo de K não 
possuir 
inverso 
multiplicativo. 
 
Um Corpo é 
um anel 
comutativo 
com unidade 
que 
chamaremos 
de K. Este 
anel é 
denominado 
corpo se todo 
elemento não 
nulo de K 
possuir 
inverso 
multiplicativo, 
ou seja, se ∀ 
x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈ 
K tal que x.x
-1
 = 1. 
 
 
 
Um Corpo é 
um anel 
comutativo 
que 
chamaremos 
de K. Este 
anel é 
denominado 
corpo se todo 
elemento nulo 
de K possuir 
inverso 
multiplicativo, 
ou seja, se ∀ 
x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈ 
K tal que x.x
-1
 = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, 
então K é anel de integridade. 
Indique a alternativa que apresenta a demonstração 
correta dessa proposição. 
 
 
Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso 
contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores 
próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso 
contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores 
próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso 
contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores 
próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por 
absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso 
contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores 
próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por 
absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso 
contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores 
próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
No corpo Z11 resolva a equação x
3 = x. 
 
 S = {0,1,10} 
 
S = {0,10} 
 
S = {0,2,12} 
 
S = {0,1 } 
 
S = {1,11} 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) . 
 
 
 U(Z4) = {0,1,3} 
 
U(Z4) = {0,1,2} 
 U(Z4) = {1,3} 
 
U(Z4) = {2,3} 
 
U(Z4) = {1,2,3} 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine U(Z12) em Z12. 
 
 
U(Z12) = {7,11} 
 U(Z12) = {1,5,7,11} 
 
U(Z12) = {1,5,11} 
 
U(Z12) = {5,7,11} 
 
U(Z12) = {1,7,11} 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
CEL1406_A10__V1 
 
 
Lupa Calc. 
 
 
 
 
 
 
PPT 
 
MP3 
 
Aluno: RÉGIS F Matr.: 
Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 2019.3 EAD (G) / EX 
 
 
Prezado (a) Aluno(a), 
 
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este 
exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será 
composto de questões de múltipla escolha. 
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à 
explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões 
que será usado na sua AV e AVS. 
 
 
 
 
1. 
 
 
Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a 
alternativa correta. 
 
 
A é comutativo ⇔ 
B não é comutativo. 
 
A não 
tem 
divisores 
de 
zero ⇔ 
 B tem divisores de zero. 
 
A é 
corpo ⇔ 
 B é corpo. 
 
A é 
domínio ⇔ 
 B não é domínio. 
 
A tem 
unidade 
⇔ 
B não tem unidade. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 
Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento 
inversível de A, então I ≠ A. 
 
2Z é um ideal no anel Z. 
 
Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, 
.). 
 
Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um 
ideal no anel Q. 
 
O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo 
elemento 2. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine todos os ideais de Z8. 
 
 
{0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 
{0}, {0,2,4,6} e {0,4} 
 
{0} e {0,2,4,6} 
 
{0}, {0,4} e Z8 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2]. 
 
 {0,2,4} 
 
{0} 
 
{0, 4} 
 
{0,2} 
 
{2,4} 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a seguinte proposição: 
Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um 
ideal de A, 
I ∩ J = {x ∈ 
A, x ∈ I e x ∈ 
 
J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z. 
 
 
3Z 
 
2Z 
 6Z 
 
4Z 
 
5Z 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2]. 
 
 
 
{0} 
 {0,2,4} 
 
{2,4} 
 
{0, 4} 
 
{0,2} 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a seguinte proposição: Sejam m e n 
elementos do conjunto dos números naturais. Então, 
mZ + nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A 
partir dela marque a alternativa que representa a 
operação 2Z + 3Z. 
 
 
3Z 
 Z 
 
5Z 
 
2Z 
 
6Z 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Diga , em qual das opções , temos que (I, +,.) é um 
ideal de anel (A,+, .) : 
 
 
I=3Z U 7Z , A=Z 
 
I=Z , A=Q 
 
I=elementos de z não divisores de 100 , A=Z 
 
I={f: IR -> IR/ f(1)+f(2)=0} , A= IR
IR
 
 
 I=3Z , A=z