3 - mauricio-natassia-vytor pdf

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ 
DEPARTAMENDO DE CIÊNCIA EXATAS E TECNOLÓGICAS 
ENGENHARIA QUIMÍCA 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTO III - PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS. 
 
 
 
 
MAURICIO MENEZES DE SOUSA SILVA (201411589) 
 NATÁSSIA DE PAULA ALONSO (201411488) 
VITOR MATEUS OLIVEIRA SILVA CAFÉ (201411489) 
 
 
 
 
 
 
ILHÉUS-BAHIA 
2014 
 
 
 
MAURICIO MENEZES DE SOUSA SILVA (201411589) 
NATÁSSIA DE PAULA ALONSO (201411488) 
VITOR MATEUS OLIVEIRA SILVA CAFÉ (201411489) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTO III - PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado como parte dos critérios de avaliação da 
disciplina CET788 – FÍSICA EXPERIMENTAL I. Turma P04. 
Dia de execução do experimento: 24 de abril de 2014. 
 
Professora: Fabiane Jesus 
 
 
 
 
 
 
 
ILHÉUS – BAHIA 
2014
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 RESUMO ................................................................................................................................ 3 
2 RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................... 3 
2.1. Procedimento para o cilindro de madeira ................................................................................ 3 
2.1.1. Propagação de incertezas ............................................................................................... 5 
2.2. Procedimento para o cilindro de plástico ................................................................................. 6 
2.3. Procedimento para o cilindro de metal .................................................................................... 8 
3 CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 10 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 11 
 
 
3 
 
1 RESUMO 
 
Nesse experimento 3 - propagação de incertezas. Vai-se medir o diâmetro e à altura de 03 
cilindros de diferentes materiais (madeira, metal e plástico) utilizando-se um paquímetro, e a 
massa dos mesmos dispondo de uma balança, afim de, obter o volume e posteriormente a 
densidade dos três cilindros e suas incertezas. Nosso objetivo também neste experimento é 
saber calcular grandezas que não podem ser medidas diretamente através dos instrumentos 
disponíveis. É importante ressaltar que no cálculo da densidade, ao medir essas grandezas 
mencionadas anteriormente, não se encontra o valor real e sim aproximado, isso ocorre devido 
a fatores como: a falta de precisão dos instrumentos, falha humana, deformidade dos objetos, 
além de fatores ambientais que podem influenciar nessas medidas, ou seja, erros grosseiros, 
sistemáticos e aleatórios. Resumindo: os erros grosseiros podem e devem ser eliminados; os 
erros sistemáticos podem ser evitados ou compensados; os erros aleatórios não podem ser 
eliminados totalmente e deve-se conviver com eles, avaliando-os corretamente. Assim, para 
obter um valor mais próximo do valor real será necessária utilização de recursos da 
propagação de incerteza bem como artifícios do cálculo das derivadas. 
 
 
 
2 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
A seguir foram apresentados os valores coletados e os resultados obtidos neste 
experimento. 
 
2.1. Procedimento para o cilindro de madeira 
 
Logo a baixo ver-se a Tabela 1 com os valores do cilindro de madeira. 
Tabela 1 – Medidas das alturas (h), diâmetros (D) e massas (m) do cilindro de madeira, obtidas com o 
paquímetro e balança. 
N (h 0,05) m (D 0,05) m (m 0, 1) kg 
1 76,35 11,80 4,9 
2 76,50 12,00 5,0 
3 76,25 12,35 4,9 
4 76,60 12,60 4,9 
4 
 
5 76,30 12,25 4,9 
6 76,65 11,95 4,9 
7 76,50 12,35 4,9 
8 76,60 11,80 4,9 
9 76,30 12,35 4,9 
10 76,45 12,25 4,9 
 
Para o cálculo do valor médio do diâmetro, altura e massa dos cilindros de madeira, 
metal e plástico, foram utilizados os dados da Tabela 01, ou seja, somaram-se todos os valores 
do mensurando e dividindo o valor total pela quantidade de medidas com o uso da eq. (1) 
mostrada a seguir, na qual é o valor médio, N é a quantidade de medidas realizadas e 
representa o valor da i-ésima medida sendo que i vai de 1 até N. 
 
 ̅ 
 
 
∑ 
 
 (1) 
 
Depois de obter valor médio, é feito em seguida o cálculo do desvio padrão, para 
calcular esse desvio são utilizados os valores das amostras medidas e o valor médio calculado 
anteriormente, esses valores serão substituídos na eq. (2) logo a baixo. Onde é a -ésima 
medida da grandeza , é o número total de medidas e ̅ é o valor médio. 
 
 √
 
 
∑ ( ̅) 
 
 (2) 
 
O valor do desvio padrão é necessário para que seja feito posteriormente o cálculo do 
desvio padrão do valor médio ( ), assim, podemos encontrar o com o uso da eq. (3). 
Onde é o desvio padrão obtido na equação anterior e é o número de medidas. 
 
 
 
√ 
 (3)
 
 Logo, com o valor do desvio padrão do valor médio é possível calcular a incerteza da 
média ( ̅). Essa incerteza ̅ representa a dispersão dos valores limites (mínimos ou 
5 
 
máximos) que podem ser atribuídos aos objetos medidos. Essa incerteza ̅ é calculada com a 
utilização da eq. (4). Onde ̅ é a incerteza média, o é o desvio padrão do valor médio e 
 é a incerteza do instrumento, neste caso o paquímetro e uma balança, com sua incerteza 
respectivamente de 0,05x m e 0,1 x 10-3 Kg como incerteza instrumental. 
 
 ̅ √ (4) 
 
 
 
2.1.1. Propagação de incertezas 
 
Para encontrar a propagação de incerteza, inicialmente é preciso calcular a 
densidade , que é obtida com o uso da eq. (5) a seguir. Onde ̅, ̅ e ̅ são respectivamente o 
valor médio da massa, do diâmetro e da altura. 
 
 
 ̅
 ̅ ̅
 (5) 
 
No entanto, o que queremos encontrar é o valor da incerteza da densidade . Analisando 
a eq.(5), é notável que para calcular a incerteza da densidade seja necessário primeiro 
encontrar as incertezas na massa, no diâmetro e na altura do cilindro. Esta por sua vez 
depende da incerteza na determinação do diâmetro e da altura do cilindro. Assim de acordo 
com a teoria de propagação de incerteza teremos: 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (
 
 
)
 
 
 (6) 
 
Calculando a derivada parcial da densidade em relação a massa o diâmetro e à altura pela 
eq. (6), temos, 
 
6 
 
 
 (
 
 ̅ ̅
)
 
 
 (
 ̅
 ̅ ̅
)
 
 
 (
 ̅
 ̅ ̅ 
)
 
 
 ( ) 
Nesta eq.(7), é a incerteza na determinação da densidade, é a incerteza na 
determinação da massa, a incerteza na determinação do diâmetro e a incerteza na 
determinação da altura. 
Com os dados da Tabela 1, utilizados na eq. (1) para encontrar a media de cada 
variável e posteriormente calcular os valores nas eq. (2), (3), (4). Desta ultima encontramos a 
incerteza da média.Os valores encontrados estão armazenados na Tabela 2 logo a baixo. 
 
Tabela 2 – Médias ( ̅) e incerteza das médias ( ̅) para as medidas da altura (h), diâmetros (D) e massas (m). 
Variáveis ̅ ̅ ( ̅ ̅) 
h m 76,45 0,07 (76,45 ) 
D m 12,17 0,09 (12,17 ) 
m kg 4,91 0,1 (4,91 ) 
 
Deste modo, agora podemos calcular a densidade do cilindro de madeira usando a eq. 
(5), para encontrar o seguinte valor. 
 
 = 552, 00 kg/m³ 
 
 Com uso da eq. (7) vai-se calcular a propagação de incerteza para o cilindro de 
madeira, o valor encontrado esta logo a baixo. 
 
 | 
 
 
2.2. Procedimento para o cilindro de plástico 
 
A baixo os dados coletados a partir do cilindro de plástico. 
Tabela 3 – Medidas das alturas (h), diâmetros (D) e massas (m) do cilindro de plástico, obtidas com o 
paquímetro e balança. 
N (h 0,05) m (D 0,05) m (m 0, 1) kg 
1 50,90 9,80 5,4 
7 
 
2 50,90 9,75 5,4 
3 50,85 9,70 5,4 
4 50,85 9,55 5,4 
5 50,90 9,60 5,4 
6 50,90 9,55 5,4 
7 50,90 9,60 5,4 
8 50,85 9,75 5,4 
9 50,90 9,50 5,4 
10 50,90 9,60 5,4 
 
Do mesmo modo que foi feito para o cilindro de madeira, agora com os valores da 
Tabela 3, utilizando a eq. (1) são calculadas as médias para cada variável, assim fazendo os 
cálculos com as equações (2), (3) e (4). Os valores encontrados estão armazenados na tabela 
(4). 
 
Tabela 4 – Médias ( ̅) e incerteza das médias ( ̅) para as medidas das alturas (h), diâmetros (D) e massas (m). 
Variáveis ̅ ̅ ( ̅ ̅) 
h m 50,88 0,05 (50,88 ) 
D m 9,64 0,06 (9,64 ) 
m kg 5,4 0,1 (5,4 ) 
 
 Desta forma, podemos calcular então a densidade do cilindro de plástico utilizando a 
eq. (5). 
 
 | 
 
Com uso da eq. (7) calcula-se a propagação de incerteza e se obtém. 
 
 | 
 
 
 
8 
 
2.3. Procedimento para o cilindro de metal 
 
A seguir os valores do cilindro de metal coletados que foram utilizados no 
procedimento. 
Tabela 5 – Medidas das alturas (h), diâmetros (D) e massas (m) do cilindro de metal, obtidas com o paquímetro e 
balança. 
N (h 0,05) m (D 0,05) m (m 0, 1) kg 
1 100,90 9,50 56,0 
2 100,95 9,50 56,0 
3 100,90 9,45 56,0 
4 101,10 9,45 56,0 
5 101,10 9,55 55,9 
6 100,80 9,50 56,0 
7 100,90 9,50 56,0 
8 100,95 9,50 56,0 
9 100,90 9,40 55,9 
10 100,90 9,50 56,0 
 
Analogicamente, ao que foi feito com os dois cilindros anteriores, utilizando os 
valores da Tabela 5 calcula-se a media pela eq. (1) de cada variável seguindo dos cálculos 
utilizando as eq. (2), (3), (4), encontrando a incerteza da media. Os valores encontrados estão 
contidos na Tabela seguinte. 
Tabela 6 – Médias ( ̅) e incerteza das médias ( ̅) para as medidas da altura (h), diâmetros (D) e massas (m). 
Variáveis ̅ ̅ ( ̅ ̅) 
h m 100,94 0,06 (100,94 ) 
D m 9,48 0,05 (9,48 ) 
m kg 55,98 0,1 (55,98 ) 
 
Depois de obter os valores da Tabela 6, agora se pode utilizar a eq. (5) para calcular a 
densidade do cilindro de metal. 
 
 | 
9 
 
Com a eq. (7) se calcula a propagação de incerteza para o cilindro de metal. 
 
 | 
 
 
Segue logo a baixo os valores encontrados para a densidade. 
Tabela 7: valores da densidade e propagação da incerteza da densidade dos cilindros. 
Cilindros x 10-6 kg/m³ 
 ³ ( ) x 10
-6
 kg/m³ 
Madeira 552 (552 ) 
Plástico ( ) 
Metal ( ) 
 
Pode-se então discutir a disparidades em relação ao diferentes resultados obtidas dos 
cilindros. Primeiramente isso se deve pelo fato dos 3 cilindros serem de material diferentes e 
por apresentarem comprimentos, massa e diâmetros únicos entre se. 
Para inferir a análise dos resultados encontrados, deve-se ressaltar que a densidade, 
por não ser medida, é calculada através dos valores coletados da massa, altura e diâmetro dos 
cilindros. Para calcular as incertezas utiliza-se da técnica da propagação de incertezas, com o 
auxílio matemático das derivadas. Assim, a incerteza da densidade vai depender das 
incertezas da massa, da altura e do diâmetro dos cilindros. 
Observou-se que para o cilindro de madeira houve uma grande diferença entre os 
valores do comprimento, e diâmetro medidos, devido a visível deformidade da superficial do 
mesmo. Também se deve por em nota falha que pode acontecer com erros grosseiros com 
leitura e manuseio do instrumento de medida (paquímetro). O que pode ter contribuído para a 
disparidade de medidas. 
Tendo os resultados da densidade encontrados para o cilindro de madeira, e com base em 
estudos feitos para os diferentes tipos de densidades de madeira, pode-se deduzir que a 
madeira do cilindro medido é cedro (cedrela odorata) que tem densidade entre 485 kg/m
3
, 
635 kg/m
3
. 
Para o cilindro de plástico, com base nas medidas coletadas da massa, diâmetro e altura, 
notou-se que houve também um desvio, principalmente em seu diâmetro que obteve um erro 
10 
 
de 0,06 x 10
-3
m maior que o instrumental (paquímetro 0,05 x 10
-3
m). Isso pode ter ocorrido 
devido à falha em leitura do instrumento ou alguma deformação na estrutura do cilindro o que 
contribui para diferentes valores. 
Com base na densidade encontrada para o cilindro de plástico, e com pesquisas feitas 
sobre diferentes densidades de plásticos pode-se, desse modo, concluir que provavelmente é 
um Poli (tereflalato de etileno) conhecido como PET, de alta densidade, cuja está no intervalo 
1220 – 1450 kg/m³. 
Já nas medidas coletadas para o cilindro de metal, para a massa, densidade e altura se 
observa que houve uma maior fuga do valor médio na altura que se obteve um erro de 0,06 x 
10
-3
m maior que o instrumental (paquímetro 0,05 x 10
-3
m). Esse acréscimo da incerteza da 
altura deve-se ao erro grosseiro de utilização ou por também, ter alguma irregularidade nas 
extremidades do cilindro. 
De acordo com a densidade encontrada no experimento para o cilindro de metal e tendo 
feito uma pesquisa para o conhecimento dos diferentes tipos de densidade de matéria 
metálica. Chega-se a uma possível determinação para o tipo de metal usado no experimento 
que é provavelmente aço cuja densidade média esta em torno de 7000 Kg/m
3
 a 8000 Kg/m
3
. 
 
 
3 CONCLUSÃO 
 
Com os dados coletados para realizar o experimento se nota a importância do número de 
medidas para uma analise com um resultado mais significativo, sendo importante lembrar 
erros que podem ter ocorrido durante o experimento e também a deformação na superfície dos 
cilindros. 
É importante saber que para calcular as incertezas do mensurando requisitado (densidade) 
foi feito primeiramente os cálculos das variáveis que compõem a densidade eq. 5 e assim 
junto com seus erros e incertezas. O que propõem em cálculos indiretos para se alcançar o 
resultado desejado. Analisa-se por fim, que com os resultados obtidos, e em base de estudos 
feitos, se consegui inferir o tipo de material de cada cilindro utilizado, com base nas 
densidades encontradas o que nos propõe apenas uma possível dedução levando em conta 
também a característica visual dos cilindros. 
11 
 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
Estimativas e erros em experimentos de fisica \ Alberto Santoro (et al); Vitor Oguri (org) – 
Rio de Janeio EdUERJ, 2005. 
 
 
Laboratório de Física Experimental I 
Prof. Adriano Hoth Cerqueira 
Profª. Alejandra Kandus 
Profª. Maria Jaqueline Vasconcelos 
Prof. Sandro Barboza Rembold 
Departamento de Ciências Exatas e TecnológicasUniversidade Estadual de Santa Cruz 
Material de apoio à disciplina de Física Experimental I 
 
 
 
TEORIA DE ERROS: CONCEITOS BÁSICOS E APLICAÇÕES 
Professor Dr. Arturo Rodolfo Samana 
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC