UNIVESP - Revisão - MÉTODOS NUMÉRICOS - MMN001 - 2019

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27/11/2019 Texto-base - Revisão: MÉTODOS NUMÉRICOS - MMN001
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MÉTODOS NUMÉRICOS - MMN001
Tratamento Numérico de Equações
Diferenciais7
TEXTO-BASE
Revisão
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE, MUDANÇA DE BASE E ZEROS DE FUNÇÕES
Mudança de base 10 para base 2:
Se o número for maior ou igual a 1: dividir o número (N) por 2, que resulta em: (N) = 2. X + resto
(R1). Esse X divide de novo por 2 que leva a outro resto (R2). Fazer isso sucessivamente até que X seja
1 com o último resto (Rn). O número na base 2 será tomando o último resto e demais, do fim para o
começo: (Rn...R2R1).
10 10
Se o número for menor que 1: multiplique a parte decimal por 2. Continue multiplicando a parte
decimal por esse número obtido. O número na base 2 será a parte inteira do resultado de cada
multiplicação realizada, com um “0” na frente.
Mudança de base 2 para base 10:
Se o número não tem “0” no início: multiplicar cada algarismo do número dessa base por potências
crescentes de 2, da direita para a esquerda. Ao final, some os termos e terá o número na base 10.
Se o número tem “0” no início: multiplicar cada algarismo do número depois da vírgula por potências
decrescentes de 2, da esquerda para direita e somar ao final.
Exemplos: clique aqui (https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videos-de-apoio-semana-1?
module_item_id=215097) .
Zeros de Funções:
Bissecção: 
Newton-Raphson: 
Falsa-Posição: 
Secantes: e com 
Exemplos: Clique aqui. (https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/video-de-apoio-introducao-ao-
calculo-numerico-bissecao-newton-e-secante-parte-1?module_item_id=211660)
SISTEMAS LINEARES
Método de Cramer: a resolução do sistema linear do tipo [A] {x} = {b}nxn n n
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 em que Ai é a matriz que se obtém substituindo a coluna i de A pelo vetor
b. 
Exemplo: Clique aqui (https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videos-de-apoio-semana-3?
module_item_id=214425) .
Eliminação de Gauss: a resolução do sistema linear do tipo [A] {x} = {b} é feita de modo a
triangularizar o sistema da seguinte forma: 
Em seguida, obtém-se o vetor x realizando o algoritmo de retrosubstituição:
Exemplo: Clique aqui (https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videos-de-apoio-semana-3?
module_item_id=214425) .
nxn n n
Fatoração LU: a resolução do sistema linear do tipo [A] {x} = {b} é feita transformando a matriz A em
uma matriz triangular inferior L e outra superior U: A=LU. A decomposição de A em L e U pode ser feita
na sequência: 
1) l = 0 e u = 0 (i,j=1,…,n)
2) l = 1 (i=1,…,n) 
3) u = a (j = 1,…,n)
4) l = a (i=2,…,n)
5) u = a - l .u (j=2,…,n)
6) l = (a - l .u )⁄a (i = 3,…,n)
7) 
Se A = LU, então podemos reescrever o sistema como: Lux = b, de maneira a resolvê-lo em duas
etapas: Ly = b e Ux = y. Perceba que como L e U são triangulares, fica fácil obter os vetores y e x, por
substituição direta. 
Exemplo: Clique aqui (https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videos-de-apoio-semana-3?
module_item_id=214425) .
nxn n n
ij ij
ii
1j 1j
i1 i¹⁄a11
2j 2j 21 1j
i2 i2 i1 12 22
Método de Gauss-Jacobi: considere o sistema linear Ax = b de ordem n. O presente método de
resolução linear é iterativo. Parte-se de um vetor solução inicial (x) na iteração k = 0. Isola-se para a
linha 1 a incógnita x , para a linha 2 o vetor x , e assim por diante. Dessa forma, a resposta obtida do
vetor solução x na iteração k + 1 é dado no sistema adiante, substituindo x do passo k. Obtendo um
novo vetor solução x na iteração (k + 1). Para-se na iteração de modo que o erro relativo, 
, entre cada posição atenda ao critério de tolerância. Veja o exemplo a seguir: 
1 2
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Exemplo: clique aqui (https://www.youtube.com/watch?v=ZPtnWCfFuVw) .
Método de Gauss-Seidel: Seja o sistema dado na forma (3.3). O método iterativo de Gauss-
Seidel consiste em: 
a) partindo-se de uma aproximação inicial 
b) calcula-se a sequência de aproximação utilizando-se as equações: 
i = 1, 2, ..., n 
k = 0, 1, 2, ...
Continua-se a gerar aproximação até que um dos critérios abaixo seja satisfeito. 
 tolerância.
Exemplo: clique aqui (https://www.youtube.com/watch?v=A3oqQk6jEYU) .
Interpolação
Interpolar Pares (x , y )i i
Técnica 1: escrever as n + 1 equações para p(x ) = y i i
Forma de Lagrange: podemos representar um polinômio p (x) de grau n que interpola x , x ,..., x , da
seguinte forma de Lagrange: p (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + ⋯ + y L (x) 
Com: 
E y , y ,..., y são as ordenadas dos pontos para interpolação. 
Para o caso de polinômio de grau 1: 
 
Para o caso de polinômio de grau 2, tem-se: 
n 0 1 n
n 0 0 1 1 2 2 n n
0 1 n
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Exemplo: Clique aqui (https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videos-de-apoio-semana-4?
module_item_id=211609) .
Polinômio de Newton: podemos representar um polinômio p (x) interpola f(x) em x , x ,..., x , da
seguinte forma de Newton: 
Com d sendo o operador diferenças divididas dado por: com 
Exemplos:
Método de Newton [Interpolação Polinomial] (https://www.youtube.com/watch?
reload=9&v=pnf8UCJ2Gwg) 
Método de Newton - EXERCÍCIO RESOLVIDO (https://www.youtube.com/watch?v=4Kf6VEhv7ok)
n 0 1 n
k
Spline: para quando se tem muitos pontos para interpolar, o uso de uma única função interpoladora
pode ser de grau muito ato, o que pode levar a problemas de avaliação muito impreciso de valores
interpolados ou na obtenção de extremos. É possível aproximar grupos adjacentes desses pontos por
polinômios mais simples de maneira a garantir continuidade até derivada segunda entre esses
polinômios nos pontos de intersecção. Assim, pode-se aplicar funções splines de grau p. Dois tipos bem
empregados de funções splines são destacados:
Spline Linear: 
Desvantagem: . derivada descontinua entre as retas
(https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videoaula-21-interpolacao?module_item_id=211605) .
(Veja vídeo de 16’51” a 17’57”)
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Spline Cúbica: 
https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videoaula-21-interpolacao?module_item_id=211605
(https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videoaula-21-interpolacao?module_item_id=211605) 
(Veja vídeo de 18’02” a 25’17”)
Quadrados Mínimos:
Caso contínuo: ajustar uma f(x) por um polinômio, P (x), de grau máximo m. Esse polinômio não passa
necessariamente pelos pontos da função, mas é obtido pela busca de uma curva que minimize o
quadrado da diferença entre a curva desejada e cada ponto da função a ser aproximado pelo polinômio: 
Essa minimização fica escrita em termos dos coeficientes do polinômio (α , α ,.., α ) de ajuste,
resultando na resolução do sistema linear a seguir:
 com 
sendo o produto interno. Assim, com a resolução desse sistema linear, obtem-se os coeficientes de
modo a ficar definido o polinômio, podendo em seguida substituir qualquer valor, interpolado ou, o mais
comum, extrapolado.
Caso discreto: no caso discreto, tem-se uma tabela de pontos medidos de alguma forma e quer-se uma
curva de grau n que ajuste esses pontos. Recaindo também no sistema linear, mas o produto interno é
dado conforme indicado a seguir: 
Exemplos: Clique aqui (https://cursos.univesp.br/courses/2730/pages/videos-de-apoio-semana-5?module_item_id=215253) .
m
0 1 m