GB Apol 02 - Equações Diferenciais

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Questão 1/5 - Equações Diferenciais
Analise as alternativas dessa questão e determine qual delas tem como solução y1=x3y1=x3.
A – y′′+1=0y″+1=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′+1=0y″+1=0, temos:
6x+1=06x+1=0
Essa igualdade não é verdadeira.
B – xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0
Você acertou!
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0, temos:
x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0 de forma que essa igualdade é verdadeira, pois os
cálculos do lado esquerdo da igualdade resultam em zero.
C – y′′′=0y‴=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′′=0y‴=0, temos:
6=06=0
Essa igualdade não é verdadeira.
D – y′′′+y′=0y‴+y′=0
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos:
(y1)′=3x2(y1)′=3x2
(y1)′′=6x(y1)″=6x
(y1)′′′=6(y1)‴=6
Substituindo esses valores em y′′′+y′=0y‴+y′=0, temos:
6+3x2=06+3x2=0
Essa igualdade não é verdadeira.
Questão 2/5 - Equações Diferenciais
Utilize a integração direta para encontrar a solução geral de y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x)
A – y=x22−sen(x)+Cy=x22−sen(x)+C
B – y=2x−cos(x)y=2x−cos(x)
C – y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C
y=x33+sen(x)+C
Você acertou!
Integrando y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) temos
y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C
D – y=3x3−sen(x)y=3x3−sen(x)
Questão 3/5 - Equações Diferenciais
Utilize o método dos fatores integrantes para calcular z′+z=0z′+z=0 no ponto inicial z(0)=1z(0)=1
A – z=−etz=−et
B – z=e2tz=e2t
C – z=et2z=et2
D – z=e−tz=e−t
Você acertou!
Após identificar p(t)=1p(t)=1, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja,
μ(t)=e∫1dt=etμ(t)=e∫1dt=et.
Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos
ddt[et.z]=et.0ddt[et.z]=et.0. Integrando essa expressão e isolando z, temos
z=ce−tz=ce−t que é a solução geral para o problema.
Para obter a solução particular, substituímos a condição inicial z(0)=1z(0)=1, ou seja:
1=ce−01=ce−0 que resulta em c=1c=1 e podemos escrever a solução particular
z=e−tz=e−t
Questão 4/5 - Equações Diferenciais
Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução de y′−12y=4y′−12y=4 no ponto inicial
y(0)=1y(0)=1
A – y=tet−ty=tet−t
B – y=e−2t+2ety=e−2t+2et
C – y=−13+4e12t3y=−13+4e12t3
Você acertou!
D – y=(1−t)ety=(1−t)et
Questão 5/5 - Equações Diferenciais
Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral de y′−5y=−25xy′−5y=−25x
A – y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x
Você acertou!
Como temos 1 multiplicando y' e P(x)=−5P(x)=−5, podemos utilizar a
fórmula μ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dx
Assim, temos que
(e−5xy)′=−25xe−5x(e−5xy)′=−25xe−5x
integrando em x
e−5xy=−25∫xe−5xe−5xy=−25∫xe−5x
que após a integração por partes, temos
e−5xy=e−5x(5x+1)+Ce−5xy=e−5x(5x+1)+C
isolando y
y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x
B – y=5ex+Cy=5ex+C
C – y=e−5Cy=e−5C
D – y=C−25exy=C−25ex