GB Apol 01 - Equações Diferenciais

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Questão 1/5 - Equações Diferenciais
Seja a equação diferencial dydx=3x2ydydx=3x2y. Analise as sentenças a seguir, assinalando V para as afirmativas
verdadeiras e F para as alternativas falsas:
( ) dydx=3x2ydydx=3x2y é uma equação linear;
( ) dydx=3x2ydydx=3x2y é uma equação não linear;
( ) Se dydx=3x2ydydx=3x2y, então y=ex3y=ex3 é uma solução para a equação.
Agora, marque a sequência correta:
A – V,F,V
B – F,V,V
Você acertou!
A afirmativa I é falsa e a II é verdadeira, pois dydx=3x2ydydx=3x2y possui o produto x² que é um termo
não linear.
A afirmativa III é verdadeira, pois ao derivarmos y=ex3y=ex3, temos
dydx=3x2ex3dydx=3x2ex3
Como y=ex3y=ex3, podemos substituir esse valor no resultado dessa derivação. Assim teremos
dydx=3x2ydydx=3x2y que é a equação diferencial apresentada no problema.
C – V,F,F
D – F,V,F
Questão 2/5 - Equações Diferenciais
Para modelar uma equação diferencial de crescimento de uma população P que cresce a uma taxa proporcional à
população inicial, podemos utilizar a equação dPdt=kPdPdt=kP, onde k é uma constante de proporcionalidade.
Como estamos falando do crescimento da população, analise as setenças a seguir, assinalando V para as afirmativas
verdadeiras e F para as alternativas falsas:
( ) k>0k>0
( ) dPdt<0dPdt<0
( ) dPdt>0dPdt>0
Agora, marque a sequência correta:
A – F,F,F
B – F,F,V
C – V,F,V
Você acertou!
Afirmativas I e III são verdadeiras, pois o modelo trata de uma taxa de crescimento da população P.
D – F,V,V
Questão 3/5 - Equações Diferenciais
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por (1+y)dy−xdx=0(1+y)dy−xdx=0.
A – 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0
Você acertou!
No método de solução para equações separáveis, basta integrar a expressão no formato padrão.
Assim, após a integração obtemos y+y22−x22+c=0y+y22−x22+c=0.
Multiplicando por 2 essa equação, temos 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0.
B – x+5y+xy=2x+5y+xy=2
C – 2y+x2=32y+x2=3
D – x2+y2=0x2+y2=0
y+y2−x2−3=0y+y2−x2−3=0
Questão 4/5 - Equações Diferenciais
Encontre uma solução geral para a equação diferencial y′+5y=t3e−5ty′+5y=t3e−5t utlizando o método dos fatores
integrantes.
A – y=x+lnxy=x+lnx
B – y=ex+cy=ex+c
C – y=ln(x+3)+cy=ln(x+3)+c
D – y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t
Você acertou!
Após identificar p(t)=5p(t)=5, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja, μ(t)=e∫5dt=e5tμ(t)=e∫5dt=e5t.
Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos
ddt[e5t.y]=e5tt3e−5tddt[e5t.y]=e5tt3e−5t. Integrando essa expressão e isolando y, temos
y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t que é a solução geral para o problema.
Questão 5/5 - Equações Diferenciais
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por 3ydydx=2x2−33ydydx=2x2−3
A – y=√4x39−2x+2c3y=4x39−2x+2c3
Você acertou!
Como a expressão do problema já está no formato padrão, basta integrar ambos os lados da equação e obter
3y22=2x33−3x+c3y22=2x33−3x+c. Isolando y nessa expressão, temos
y=√4x93−2x+2c3y=4x93−2x+2c3 que é a solução geral do problema.
B – y=4x3−2xy=4x3−2x
C – y=x5−6y=x5−6
D – y=3x+ex