O estudo de análise combinatória e probabilidade através da resolução de problemas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
REGIONAL JATAÍ
UNIDADE ACADÊMICA ESPECIAL DE CIÊNCIAS EXATAS 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ESTÁGIO SUPERVISIONADO II
O ENSINO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Virgínia de Assis Amorim
Jataí - GO
2019
Virgínia de Assis Amorim
O ENSINO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE ATRAVÉS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Trabalho Final de Curso, elaborado sob orientação da Profa. Dra. Adriana Aparecida Molina Gomes, apresentado à banca avaliadora da Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática da Unidade Acadêmica Especial de Ciências Exatas, Regional Jataí, Universidade Federal de Goiás como exigência para conclusão da disciplina de Estágio Supervisionado II. 
Jataí - GO
Novembro/2019
AMORIM, Virgínia Assis. O ensino de análise combinatória e probabilidade através de resolução de problemas. Trabalho Final de Curso (Estágio Supervisionado II), defendido e aprovado na Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática da Unidade Acadêmica Especial de Ciências Exatas, Regional Jataí, Universidade Federal de Goiás, em 29 de novembro de 2019, pela banca examinadora constituída pelas professoras:
_____________________________________________
Profa. Dra. Adriana Aparecida Molina Gomes
Presidente e orientadora.
_____________________________________________
Profa. Ma. Grace Kelly Souza Carmo Goulart
Examinadora.
_____________________________________________
Prof. Me. Fernando Ricardo Moreira
Examinador.
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS/REGIONAL JATAÍ
CURSO DE MATEMÁTICA
COORDENAÇÃO DE ESTÁGIO SUPERVISIONADO 
PROJETO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
ESTÁGIO SUPERVISIONADO II
IDENTIFICAÇÃO
Da Estagiária:
	Nome: Virgínia de Assis Amorim Matrícula: 1405766
Aspectos Gerais do Projeto
	Carga Horária de Desenvolvimento do Projeto: 96 h/a
	Período de Desenvolvimento do Projeto:
13/03/2019 a 12/12/2019
Das Unidades Responsáveis:
	Licenciatura em Matemática da UAE de Ciências Exatas, Regional Jataí/UFG
	Instituição onde será desenvolvido o Projeto: Centro de Ensino em Período Integral João Roberto Moreira
Dos Professores Responsáveis:
	Professora orientadora:
Nome: Profa. Dra. Adriana Aparecida Molina Gomes
	Unidade/Órgão de lotação: UAE de Ciências Exatas, Regional Jataí/UFG
	Titulação: ( ) graduada ( ) especialista () mestra (X) doutora
	Telefones: (64) 99618158 Endereço eletrônico: adrianaapmolina@yahoo.com.br
	Carga horária de orientação do projeto: 40h/a
	Professora Supervisora
Nome: Simone Dias de Assis CPF: 806.084.851-87
	Endereço: Avenida Veriano de Oliveira Lima, n. 287 - Vila Olavo Cidade: Jataí Estado: Goiás
	Telefones: (64) 99906-3048 Endereço eletrônico: simonedias_2009@hotmail.com 
	Carga horária de supervisão do projeto: 88h
AMORIM, Virgínia Assis. O ensino de análise combinatória e probabilidade através de resolução de problemas. 2019. 98f. Trabalho Final de Curso (Estágio Supervisionado II), Licenciatura em Matemática, Unidade Acadêmica Especial de Ciências Exatas, Regional Jataí, Universidade Federal de Goiás. Jataí, GO. 
Resumo
Este trabalho refere-se ao Trabalho Final de Curso (TFC) do curso de licenciatura em matemática da Unidade Acadêmica Especial de Ciências Exatas, Regional Jataí, Universidade Federal de Goiás. O trabalho foi desenvolvido em um Centro de Ensino de Período Integral (CEPI) do município de Jataí – GO, em uma turma de 2º ano do Ensino Médio, sob a supervisão da professora regente. A metodologia aplicada foi a Resolução de Problemas no ensino e aprendizagem de análise combinatória e probabilidade. Para tanto, buscamos responder a seguinte questão de investigação: “Como o uso de resolução de problemas pode facilitar o estudo de análise combinatória e de probabilidade?”. Tem-se como objetivos gerais: desenvolver o raciocínio lógico, a interpretação e a resolução de problemas combinatórios ou probabilísticos. Os objetivos específicos foram: compreender Princípio Fundamental da Contagem através da Resolução de Problemas; compreender o que é um arranjo simples e permutação; compreender a diferença entre arranjo e permutação; resolver problemas utilizando o princípio multiplicativo e princípio aditivo; compreender a probabilidade de um evento; desenvolver a capacidade de interpretar e compreender os conceitos de probabilidade; e, compreender a nomenclatura dos termos. Esta é uma pesquisa qualitativa, com foco na intervenção pedagógica, cujos instrumentos são: teste diagnóstico inicial e final, batalha, jogo e listas de resoluções de problemas. O período de aplicação teve duração de 32 h/a na qual foi subdivida em 6 (seis) momentos. Para análise, buscou-se interpretar os dados e compreender as experiências vividas. Nesse sentido, pudemos perceber que os alunos tiveram uma grande evolução em resolver problemas, tendo uma desenvoltura melhor na interpretação e raciocínio lógico. Para a estagiária, o trabalho contribuiu significativamente para sua futura vida docente.
Palavras chave: Resolução de Problemas. Análise Combinatória. Probabilidade.
LISTA DE ABREVIATURAS
BR.......................................................................................................................................Brasil
CEPI.................................................................................Centro de Ensino em Período Integral
GO........................................................................................................................................Goiás
MEC....................................................................................................... Ministério da Educação
PCN......................................................................................Parâmetros Nacionais Curriculares
PDDE..................................................................................Programa Dinheiro Direto na Escola
PFC.....................................................................................Princípio Fundamental da Contagem
PJF........................................................................................................ Projeto Jovem do Futuro
PPP...................................................................................................Projeto Político Pedagógico
PROEMI................................................................................Programa Ensino Médio Inovador
PROFMAT..................Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
TFC........................................................................................................Trabalho Final de Curso
LISTA DE ANEXOS
Anexo A: Exemplos Princípio Fundamental da Contagem.....................................................75
Anexo B: Lista de Resolução de Problemas sobre Princípio Fundamental da Contagem.......76
Anexo C: Lista de Resolução de problemas sobre Arranjo........................................................77
Anexo D: Lista de Exercícios sobre Permutação.......................................................................78
Anexo E: Lista de Exercícios sobre Combinação....................................................................79
Anexo F: Lista de Exercícios sobre conceitos de Probabilidade..............................................80
Anexo G: Lista de Exercícios sobre Probabilidade..................................................................81
Anexo H: Modelo de cartelas do bingo....................................................................................83
Anexo I: Problemas utilizados no bingo..................................................................................84
LISTA DE APÊNDICES
Apêndice A: Questionário do
aluno..................................................................................................87
Apêndice B: Questionário do professor............................................................................................89
Apêndice C: Teste Diagnóstico Inicial.............................................................................................91
Apêndice D: Plano de Aula 1.............................................................................................................92
Apêndice E: Plano de Aula 2................................................................................................................93
Apêndice F: Plano de Aula 3................................................................................................................94
Apêndice G: Plano de Aula 4...............................................................................................................95
Apêndice H: Plano de Aula 5...............................................................................................................96
Apêndice I: Plano de Aula 6.................................................................................................................97
Apêndice J: Plano de Aula 7.................................................................................................................98
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Organograma............................................................................................................17
Figura 2: Idade dos alunos 2ª B................................................................................................26
Figura 3: Alunos que estudam em casa 2º B.............................................................................27
Figura 4: Cursos complementares 2º B.....................................................................................27
Figura 5: Tempo dos alunos do Colégio 2º B...........................................................................28
Figura 6: Metodologias esperadas 2º B.....................................................................................29
Figura 7: Idade dos alunos 2º C................................................................................................30
Figura 8: Hábito de estudo dos alunos 2º C.............................................................................31
Figura 9: Cursos complementares 2º C....................................................................................31
Figura 10: Tempo dos alunos no Colégio 2º C........................................................................32
Figura 11: Metodologias esperadas 2º C..................................................................................33
Figura 12: Questão 1 – 2º B.....................................................................................................48
Figura 13: Resposta dada pelo aluno S - 2º B..........................................................................49
Figura 14: Análise da Questão 2 - 2º B...................................................................................50
Figura 15: Questão 2 – 2º B.....................................................................................................51
Figura 16: Questão 6 – 2º B.....................................................................................................52
Figura 17: Questões elaboradas pelos alunos – 2º B...............................................................55
Figura 18: Erros cometidos pelos alunos - 2º B.......................................................................57
Figura 19: Questão elaborada pela aluna A - 2º B...................................................................58
Figura 20: Questão elaborada e resolvida pelo aluno B - 2º B................................................58
Figura 21: Questão elaborada pelo aluno C - 2º B.....................................................................59
Figura 22: Questão elaborada e resolvida pelo aluno D - 2º B................................................60
Figura 23: Questão elaborada e resolvida pelo aluno E - 2º B................................................61
Figura 24: Questão elaborada e resolvida pela aluna F - 2º B.................................................61
Figura 25: Mapa conceitual...............................................................................................................62
Figura 26: Questão elaborada pelo aluno B e resolvida pelo aluno H - 2ºB...........................63
Figura 27: Questão sendo resolvida pelo aluno B - 2ºB..........................................................65
Figura 28: Todos problemas do bingo.....................................................................................66
Figura 29: Problemas do bingo sobre Arranjo.........................................................................67
Figura 30: Problema do bingo sobre arranjo resolvida pela aluna A - 2ºB.............................67
Figura 31: Problema do bingo sobre combinação resolvida pela aluna G - 2ºB.....................68
Figura 32: Problema do bingo sobre combinação resolvida pela aluna I - 2ºB.......................68
Figura 33: Avaliação do aluno C - 2ºB....................................................................................69
Figura 34: Avaliação do aluno I - 2ºB.....................................................................................70
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Grade curricular.......................................................................................................16
Tabela 2: Cronograma..............................................................................................................47
INTRODUÇÃO
Esse trabalho refere-se a uma pesquisa qualitativa do Estágio Supervisionado II, com foco na intervenção pedagógica em que trabalhamos com resolução de problemas com o conteúdo de análise combinatória e probabilidade em uma turma de ensino médio. 
O Estágio Supervisionado II foi realizado em um Centro de Ensino em Período Integral (CEPI) localizado no município de Jataí - Goiás, no qual os alunos e professores se dedicam exclusivamente para escola. 
O modelo de Centro Integral deu início em Pernambuco, depois no Ceará, sendo posteriormente aplicado em diversas regiões no Brasil. O objetivo desse modelo é que aconteça um desenvolvimento integral do aluno, isto é, intelectual, afetivo, social, físico e crítico. 
Todas as propostas do CEPI são fundamentadas no Instituto de Corresponsabilidade de Educação (ICE) e respeitam as diretrizes educacionais da Secretaria de Educação do Estado de Goiás (SEE/GO). 
Como se trata de um novo modelo de educação de Ensino Médio em tempo integral, a estrutura organizacional dos CEPI foi criada pela Lei 17.920 em 27 de dezembro de 2012. Esta é pautada na reengenharia de gestão que cria uma nova estrutura organizacional. Nesta proposta de tempo integral, além do currículo escolar comum, também são ofertados Núcleos Diversificados, que pressupõe práticas diversificadas que podem auxiliar os alunos a desenvolver conhecimentos para execução do seu projeto de vida, isto é, ensiná-los a serem protagonistas e cidadãos críticos. 
Nesse seguimento, a escola oferece aos alunos diversas oportunidades de aprendizado e autodesenvolvimento. 
O capítulo a seguir, retrata sobre o ambiente escolar, matriz curricular, equipe pedagógica, análise do livro didático e uma análise das duas turmas observadas inicialmente, em que a mesma foi realizada através de um questionário socioeconômico. Ainda neste capítulo trazemos os objetivos que tange esse projeto juntamente com o problema de pesquisa.
No terceiro capítulo discorremos sobre os métodos utilizados nesse trabalho em cada momento. Já no quarto capítulo retrata sobre a análise de todas as atividades e metodologias
utilizadas.
A seguir daremos a conhecer o referente projeto.
CONTEXTUALIZAÇÃO
Realizamos o projeto no Centro de Ensino em Período Integral (CEPI). Este se trata de uma escola com um amplo espaço, salas temáticas e apoios pedagógicos. O diferencial desse Colégio é sua formação integral, em que essa formação se dá cognitivamente e é voltada para o autodesenvolvimento dos alunos.
É de suma importância fazer um exame do ambiente escolar para uma possível análise dos fatores que podem interferir na aprendizagem desse aluno, e até mesmo para possíveis melhorias.
Histórico da escola
O Colégio foi fundado em 1961, após ter um terreno doado pelo senhor César de Almeida Melo. Cerca de um ano depois, a escola entrou em funcionamento, por um período de apenas 12 anos. Isto ocorreu porque houve um temporal que acabou por destruir o mesmo. 
Posteriormente, o colégio foi parcialmente recuperado, funcionando em estado precário até 1979. Um ano depois, ele mudou sua localização e se encontra até hoje no mesmo local. 
O maior público do Colégio possui uma faixa etária de 14 a 20 anos. Esse público, de modo geral, reside nas imediações da mesma, sendo filhos de pais trabalhadores de classe média baixa.
Estrutura física
Todas as informações descritas abaixo se deram a partir do Projeto Político Pedagógico (PPP); este foi atualizado em 2019.
O Colégio possui um espaço bem generoso além de sistema de água, esgoto, coleta de lixo e instalações elétricas adequadas. A estrutura consta de um prédio em bom estado de conservação e bem arejado, além de apresentar boa iluminação e ter um espaço físico que comporta toda a demanda de alunos atualmente. 
O prédio está distribuído da seguinte forma: uma sala de direção, uma sala de secretaria dividida em três ambientes, sendo: espaço de atendimento ao público, arquivo e sala de assuntos financeiros; uma sala de arquivo passivo, um refeitório, um auditório, uma sala de coordenação pedagógica, um banheiro masculino e um feminino para funcionários, três pavilhões, uma sala de professores, uma biblioteca, uma sala de vídeo/mídias, uma sala de materiais pedagógicos, uma sala de almoxarifado, dez salas de aula em funcionamento, uma sala de laboratório de ciências, uma sala de projeto de vida, uma sala de jogos de educação física, três banheiros masculinos para alunos (sendo 1 banheiro desativado), três banheiros femininos para alunos (sendo 1 banheiro desativado), uma cozinha experimental, um depósito de alimentos, uma quadra coberta de esportes e um saguão central coberto. 
As salas de aula do colégio são temáticas, os alunos se deslocam de uma sala para outra de acordo com o horário de suas disciplinas.
Projeto Político Pedagógico
Para construir o PPP foi necessário fazer um levantamento detalhado sobre a situação econômica, social e cultural dos alunos que deve ser feito através das matrículas. Deve-se analisar as informações quantitativas para se obter dados sobre aprovação, reprovação e transferências.
É importante descrever toda a gestão da escola, recursos financeiros e descrever toda a estrutura física (sala, prédios, equipamentos), além das metas de aprendizagem e as formas de avaliar. 
De acordo com o Projeto Político Pedagógico (PPP) temos uma gestão democrática e colegiada, para garantir um bom funcionamento no Colégio. Para tanto, acontecem frequentemente reuniões, nas duas primeiras aulas das segundas-feiras. O propósito é acompanhar o mais perto possível o planejamento e execução das atividades, bem como as questões administrativas e financeiras. 
Matriz curricular
A matriz do colégio é uma ampliação curricular, a partir de uma análise realizada por uma equipe pedagógica da Secretaria de Educação, Cultura e Esporte – Programa Novo Futuro – em parceria com o Instituto de Corresponsabilidade pela Educação (ICE), visto que seu objetivo é garantir o direito à educação e formação do indivíduo.
A Escola segue o modelo proposto para o Ensino Médio, tendo como suporte os Referenciais Curriculares para Ensino Médio organizados pela Secretaria Estadual de Educação, conforme a tabela a seguir:
Tabela 1: Grade Curricular
	
Núcleo Comum
	
Núcleo Diversificado
	Língua Portuguesa
	Práticas de Laboratório
	Língua Espanhola
	Preparação Pós Médio
	Língua Inglesa
	Estudo Orientado
	Educação Física
	Projeto de Vida
	Artes
	Eletiva
	Geografia
	Protagonismo Juvenil
	História
	Avaliação Semanal
	Filosofia
	
	Sociologia
	
	Biologia
	
	Física
	
	Química
	
	Matemática
	
Fonte: dados extraídos do PPP, em 25 abril 2019.
A matriz curricular do Colégio é voltada para a formação de cidadãos críticos, autônomos e protagonistas promovendo também educação social. 
Planejamento escolar e avaliação
Durante o ensino médio, espera-se que os alunos adquiram algumas competências e habilidades específicas da matemática, tais como: reconhecer no contexto social diferentes significados e representações dos números naturais, inteiros, racionais ou reais; interpretar e localizar objetos no espaço tridimensional e dimensional; identificar a relação entre grandezas e unidades de medida; compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis; dentre outros. 
Assim, no CEPI, acontecem avaliações semanalmente que devem pautar-se nas competências e habilidades que constam no Currículo de Referência da Rede Estadual. 
O bimestre é dividido em dois ciclos, no qual cada ciclo comporta três blocos de provas, na qual a formação desses blocos são das áreas afim, sendo: Bloco 1: 15 questões de Português; 10 questões de Inglês, 5 questões de artes e 5 questões de Educação Física; Bloco 2: 15 questões de Matemática, 13 questões de Química, 10 questões de Geografia e 5 questões de Sociologia; Bloco 3: 13 questões de Física, 13 questões de Biologia, 10 questões de História e 5 questões de Filosofia. 
A cada semana é aplicado um bloco de provas, de forma que, aconteçam seis aplicações por bimestre, uma produção de texto e um simulado para as turmas de 1ª e 2ª séries. 
Já nas 3ª séries, são aplicadas seis provas de blocos, duas produções de texto e dois simulados. Isto ocorre devido estarem finalizando o ensino médio e porque muitos alunos visam ingressar no ensino superior. 
Vale lembrar que todas as provas de Blocos e Simulados devem contemplar todas as disciplinas da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Nesse sentido, entendemos que é fundamental o professor ter alguns cuidados para garantir o bom funcionamento das avaliações semanais, tais como: é necessário sempre buscar relembrar os alunos sobre o acontecimento das avaliações para que não aconteçam despreparos; realizar uma breve revisão para os alunos retornarem aos assuntos de interesse; e, buscar discutir todos os conteúdos em aula.
A média bimestral é feita através das avaliações: subjetivas, objetivas e simulados. A avaliação subjetiva fica a critério do professor, desde que tenha no mínimo uma nota e que sejam aplicadas no mínimo duas avaliações por ciclo. 
Quando os alunos não conseguem atingir a média, no final do semestre, é feita uma avaliação substitutiva, cujo resultado é utilizado para repor a menor nota obtida nos bimestres anteriores.
Desse modo, entendemos ser fundamental a diversidade de avaliações e de modos de analisar e diagnosticar a aprendizagem dos alunos.
Além disso, ao fechamento de cada bimestre, acontece o conselho de classe. O intuito é elaborar novas estratégias coletivas e individuais, para melhorar os resultados globais e individuais dos alunos que apresentam dificuldades no desempenho acadêmico e/ou má conduta. 
No conselho, os professores apresentam relatórios com novas medidas de intervenção que podem ser adotadas pela escola para acompanhar cada grupo de perto. E após, é exposto, no mural do colégio, uma lista com
os nomes, série e classificação se ficou ou não de recuperação de cada aluno. A organização da classificação se dá seguinte forma: estudantes com notas abaixo de 6,0, aqueles com baixo desempenho nos simulados, estudantes sem notas e os que vieram com demandas do conselho. 
Os alunos com demandas do conselho, em geral, são aqueles que apresentaram dificuldades de aprendizagem e/ou não conseguiram alcançar a nota. Para eles é programado um horário especial estudo, geralmente durante as aulas de Protagonismo e Estudo Orientado.
Semanalmente, acontecem reuniões com os professores e seus respectivos coordenadores de suas áreas, para discutirem o rendimento dos alunos, resultados das avaliações e verificar se os resultados são satisfatórios. 
Os alunos, que não obtiveram os resultados acima de 6,0, passam a ser reagrupados de acordo com o nível de dificuldade e são direcionadas às aulas de Orientação de Estudo no final de cada bimestre.
Para um aluno suceder de série é necessário, que compreenda os conteúdos curriculares, possuir frequência igual ou superior a 75% da carga horária anual, e média anual igual ou superior a seis nos componentes curriculares avaliados. 
É notável que o sistema de avaliação do Colégio é um tanto quanto suficiente para atingir todos os alunos, levando em consideração que eles realizam avaliações semanalmente.
Apoio pedagógico
O colégio conta com o apoio pedagógico de uma bibliotecária e laboratorista, sendo que a primeira é responsável por:
Desenvolver as atividades da biblioteca em consonância com a área de Linguagens, códigos e suas Tecnologias;
Desenvolver o Plano de Atividades da Biblioteca;
Buscar parcerias para o desenvolvimento de projetos e serviços;
Orientar indicação de acervo específico de acordo com a demanda da escola;
Desenvolver, acompanhar, avaliar e sistematizar práticas educacionais, estudos, consultas e pesquisas, no âmbito da Biblioteca;
Atuar em atividades de orientação e apoio aos estudantes, para utilização de recursos de Tecnologia da Informática e Comunicação nas áreas de pesquisa e produção de materiais em mídias digitais;
Organizar, na escola, ambientes de leituras alternativos, além do espaço da Biblioteca;
Já os laboratoristas auxiliam as atividades com muito comprometimento e envolvimento no programa do projeto escolar e são parcialmente responsáveis nos resultados e em dispor meios necessários para a realização das atividades escolares. 
Entendemos que ambas as funções são fundamentais para o bom funcionamento do colégio e para o auxílio ao professor na aprendizagem do aluno.
Gestão e organização do ambiente escolar
O conjunto escolar é formado por: direção, administrativos, técnicos pedagógicos, corpo docente, corpo discente e pais e/ou responsáveis. A gestão é composta por uma diretora graduada em história pela Universidade Estadual de Goiás/Unidade Pires do Rio, e com especialização em História da região e do Brasil pela Universidade Estadual de Goiás/Unidade Cora Coralina da Cidade de Goiás. 
Conta com um corpo docente muito qualificado em diferentes áreas de formação específicas, sendo alguns mestres em suas áreas. 
O CEPI oferta a modalidade de Ensino Médio (EM) regular em tempo integral de 1ª a 3ª série, no qual suas atividades são iniciadas às 07h30min e finalizadas às 17h. Conta com quatro turmas de 1ª série, três de 2ª série e duas turmas de 3ª série, que são organizadas conforme a Lei específica para os Centros de Ensino em Período Integral. 
O ensino é constituído por três anos letivos com 5400 horas de atividades no mínimo, separados por Núcleo Comum (3800 horas) e Núcleo diversificado (1600 horas).
Os recursos financeiros são oriundos dos recursos públicos, sendo Recurso Federal: Recurso do Programa Dinheiro Direto na Escola (PDDE); Recurso Federal e Estadual: Merenda Escolar e Recurso Estadual: Pró Escola. 
O Colégio conta com vários recursos materiais, tais como: móveis, equipamentos eletrônicos, material pedagógico, acervo para a biblioteca e material específico para Educação Física, Matemática e Laboratório de Ciências da Natureza (Química, Física e Biologia).
Toda a Equipe Pedagógica, juntamente com a Gestão escolar e Serviços de Administração, tem como objetivo inspecionar e ordenar as atividades curriculares. A intenção é fazer com que o Projeto Político Pedagógico se efetive e ocorra a aprendizagem dos educandos. Toda a equipe pedagógica juntamente com os professores tem sua carga horária.
Os professores efetivos são modulados com 28h/a, distribuídas entre Núcleo Comum e Núcleo Diversificado. Já os professores contratados possuem uma modulação de até 30 h/a com os dois núcleos. Os professores que são coordenadores de áreas afins são modulados com até 14 h/a, completando sua carga horária na coordenação. 
Geralmente tem dois servidores administrativos para supervisionar o pátio e dois para auxiliar o financeiro. Nenhuma dessas duas funções podem ser exercidas por professores, ao menos que os mesmos sejam readaptados do quadro transitório ou contrato temporário de nível médio. 
A seguir, temos uma representação gráfica da estrutura hierárquica da escola:
Figura 1: Organograma
Fonte: Dados extraídos a partir do PPP da escola em março de 2019
Como podemos observar a organização do ambiente escolar, tem toda uma hierarquia, na qual cada um desempenha uma função extremamente importante no bom funcionamento do Colégio.
Gestor
É necessário que a gestão da escola tenha ações totalmente comprometidas com o projeto escolar e ações facilitadoras para realizar diversos projetos no CEPI. Esta é uma função que exige um olhar diferente, visto que, sempre deve estar atento a buscar novas soluções, planejar novos recursos e promover mudanças sempre que necessário. Dispondo sempre do espírito empreendedor para trabalhar em equipe e humildade em ajudar a todos. 
A Equipe Pedagógica
A coordenação pedagógica conta com o auxílio dos coordenadores das áreas afins. Sua função é coordenar a equipe de educadores, os coordenadores de áreas e a coordenação do Núcleo Diversificado, portanto, esta deve:
Apoiar, acompanhar e orientar o grupo de coordenadores da escola no atendimento a todos os projetos pedagógicos propostos e implantados pela Secretaria de Estado da Educação (SEDUCE);
Supervisionar e contribuir para o desenvolvimento pessoal e profissional dos professores por meio da presença constante nos mais diversos momentos de planejamento e execução dos Programas de Ação;
Promover situações saudáveis do ponto de vista educativo e socio afetivo.
Já o coordenador de área tem a função de facilitar e articular o trabalho nas áreas específicas de conhecimento, desenvolvendo as seguintes atividades:
Acompanhar juntamente com o coordenador pedagógico a elaboração e a definição dos Planos de Curso das disciplinas, bem como guias de aprendizagem;
Participar da reunião semanal com o coordenador pedagógico para a avaliação do trabalho com professores das áreas de conhecimento e discutir atividades de natureza interdisciplinar;
Analisar o planejamento quinzenal dos professores;
Acompanhar aulas a serem ministradas pelos professores da área com periodicidade semanal e/ou quinzenal.
O coordenador de núcleo diversificado auxilia o trabalho do Núcleo Diversificado do Currículo juntamente com o apoio do coordenador pedagógico, encarregado de acompanhar juntamente com o coordenador pedagógico o trabalho relativo ao Núcleo diversificado do Currículo (Preparação Pós-Médio, Estudo Orientado, Projeto de Vida, Disciplinas Eletivas, Protagonismo Juvenil).
Os assistentes de pátio são os apoios da equipe pedagógica e ficam encarregados de colaborar com a Gestão na manutenção da disciplina do corpo discente, através da aplicação das normas disciplinares vigentes, apoiando as ações pedagógicas e eventos que requeiram a presença ou ação do assistente de pátio monitorando as dependências da escola e do seu entorno quanto á presença das pessoas e seus afazeres e observar as condições das instalações informando
ao Coordenador Pedagógico quaisquer danos.
O Coordenador Administrativo Financeiro gerencia financeiramente atividades escolares exercendo sua função tendo algumas especificidades entre dois auxiliares. Um auxiliar fica responsável pelas refeições escolares com base nas Diretrizes determinadas pela SEDUCE e pela organização nos hábitos de alimentação dos educandos. Já o outro, auxilia o coordenador administrativo financeiro nas suas atividades. A função da equipe administrativa financeira é:
Verificar as condições da estrutura física da unidade educacional e repassar ao gestor, caso haja necessidade de intervenção;
Realizar reunião semanal com seus auxiliares para a apresentação da agenda semanal e avaliação das atividades desenvolvidas durante a semana anterior;
Articular com o gestor e a comunidade escolar a elaboração do PDDE e CEPI e verificar sua inserção no sistema de acompanhamento;
Elaborar o Plano de Aplicação dos recursos financeiros destinados à unidade educacional em conjunto com o gestor e conselho escolar;
Realizar sob a supervisão do gestor/conselho escolar a cotação e a compra de materiais previstos nos Planos de Aplicação dos recursos financeiros seguindo as diretrizes da SEDUCE e legislação vigente;
Confeccionar as prestações de contas dos recursos provenientes de PDDE, PROESCOLA, (Projeto Jovem do Futuro/Programa Ensino Médio Inovador) PJF/PROEMI, MERENDA ESCOLAR, de recursos recebidos pelo CEPI.
Estabelecer escalas de execução do trabalho de limpeza, segurança e merenda escolar, acompanhando, monitorando, avaliando e garantindo a qualidade dos serviços prestados e das atividades administrativo-financeiro e gerencial da escola.
O Secretário Geral
O secretário geral e seus auxiliares são responsáveis pela escrituração, documentação e arquivos do CEPI, incluindo coordenar, organizar e responder pelo expediente pelo expediente geral da Secretaria realizando a divisão de tarefas, junto com os funcionários sob sua coordenação e proceder a sua implementação.
O mesmo ainda deve fornecer, nas datas estabelecidas pelo cronograma anual do Colégio, dados e informações da organização do Colégio, necessários à elaboração e revisão da Proposta Pedagógica.
De modo geral, o secretário conduz toda a parte administrativa da escola, sendo uma das funções mais importantes do Colégio, já que os documentos mais importantes passam por sua condução.
Professora supervisora
A partir do questionário (APÊNDICE B) respondido pela professora supervisora, vimos que ela concluiu sua graduação em 1997, em Licenciatura em Matemática, pela Universidade Federal de Goiás. Possui dezoito anos de carreira docente, sendo a maioria em escolas do município e apenas há dois anos leciona no Centro de Ensino de Período Integral. 
Devido aos vários anos de experiência em sala de aula, a professora optou por não utilizar apenas um único instrumento de avaliação, bem como não avaliar apenas individualmente.
Para avaliar os alunos, além das provas de blocos e simulados, ela conta com avaliação contínua objetiva e subjetiva. Estas ocorrem em duplas ou individuais, bem como utiliza as notas das avaliações externas como objeto de nota.
Além dos instrumentos avaliativos, ela observa também a participação dos alunos e tenta sempre motivá-los preparando aulas diferentes. Para tanto, utiliza alguns recursos didáticos, sendo eles: data show, livro didático, atividades impressas, internet e o grupo no whatsapp.[1: Essa opção se dá porque todos os alunos têm acesso à internet.][2: O grupo serve para enviar trabalhos, esclarecer dúvidas e auxiliar nas dificuldades.]
Mesmo com essa variedade de recursos didáticos, a professora supervisora relatou que os alunos têm dificuldades em interpretar enunciados e em compreender conceitos, principalmente quando estes envolvem problemas de falta de concentração, devido a conversas paralelas. Nesse sentido, fizemos alguns combinados.
Devido às conversas paralelas durante as resoluções de problemas, a professora estabeleceu com os alunos um contrato didático interessante, pois durante as atividades os mesmos podem ouvir músicas no celular. A professora relatou que houve uma evolução significativa, o que evidenciou um melhor desempenho dos alunos. Esse contrato didático só foi possível depois do consentimento da diretora.
 O livro didático
Devido ao Projeto de Lei n.º 1508-A, de 2003, que dispõe sobre o período de utilização de livros didáticos nos estabelecimentos de ensino fundamental e médio nas redes pública e privada do País, existe a distribuição de livros didáticos para estas modalidades de ensino, sendo que uma vez escolhido o livro, eles devem ser utilizados no mínimo dois anos e no máximo três anos. 
O livro adotado pelo CEPI é da coleção: “Matemática: Contexto & Aplicação”, de Luiz Roberto Dante, da Editora Ática, terceira edição, ano de 2016.
A escolha do livro se deu de forma democrática pelos professores e diretores. O mesmo foi analisado e debatido entre os pares, tendo em vista que uma vez feita a escolha, seu uso se dará por três anos.
Assim, analisamos o livro. 
Acerca do exemplar utilizado para análise, este apresenta um tratamento adequado sobre os diferentes eixos temáticos, sem causar ambiguidade. Ele traz reflexões e curiosidades acerca da matemática que são acrescidas ao conhecimento do aluno de forma significativa. Ele contempla os conteúdos referentes à matriz curricular, além de uma excelente seleção de exercícios e resoluções de problemas. Lançando ao leitor alguns desafios e situações de inquietação.
A obra traz uma série de leituras complementares que instigam o leitor a buscar um conhecimento complementar em revistas, livros paradidáticos, documentários e até mesmo em recursos tecnológicos. 
Apesar de ser um livro muito interessante, apresenta características de ser conteudista, pois não trata os conceitos de modo contextualizados com o nosso cotidiano e nem os relaciona com a história da matemática. 
Temos que a contextualização tem grande importância, pois a partir daí, o aluno consegue ter outra visualização sobre o conceito a ser estudado, bem como visualizar a importância de se aprender o mesmo.
Segundo D’Ambrósio (1996), a história da matemática nada mais é que a motivação para determinado estudo matemático, além de fomentar naquele aluno certas curiosidades, o que pode despertar a vontade de buscar mais e mais.
O livro busca evidenciar uma interação entre os colegas durante as atividades, mas pouco contextualiza situações do cotidiano.
Além de ter uma série de ilustrações, o livro traz alguns exercícios que já foram abordados em vestibulares ou Enem, resolvidos passo a passo, isso é um diferencial importante a ser considerado.
Devido à ausência de exemplos, o livro, às vezes, não é suficiente para a professora supervisora utilizar em sala de aula, daí se faz necessário buscar uma complementação. O único conteúdo que o livro traz de maneira mais ampla sem ser necessário buscar um incremento é sobre probabilidade, já que, o livro traz exercícios e problemas contextualizados com diversas situações do cotidiano, além de ter vários exemplos sobre diversas situações, desde os conceitos mais simples sobre probabilidade até o cálculo de diversas situações que utilizamos a mesma. 
No conteúdo de análise combinatória, o livro apresenta poucos exercícios contextualizados, além de ter poucas atividades sobre o assunto.
De modo geral, observamos que o livro é interessante, mas que não pode ser o único instrumento utilizado pelo professor, visto que os conceitos e atividades necessitam de mais aprofundamento. Seu uso deveria ser de livro complementar para quase todos os conteúdos e não de livro base.
Descrição das turmas
O CEPI possui três turmas de segundo ano, sendo que inicialmente foram observadas a 2ª série B e a 2ª série C. 
Para conhecer as turmas, foi aplicado um questionário (APÊNDICE A) durante o período de observação. O mesmo continha questões sobre: a situação socioeconômica; as concepções, dificuldades e aprendizagens;
e, o que os alunos esperavam do projeto.
 2 º ano B
Na aplicação do questionário na 2ª série B, dos 24 alunos, apenas 21 estavam presentes, tendo em vista que 48% são do sexo feminino e 52% são do sexo masculino. 
Constatamos que a faixa etária de idade dos alunos tinha variação entre quinze e vinte e um anos, sendo que quatro alunos possuíam 15 anos, doze têm 16 anos, quatro têm 17 anos e apenas um aluno, tem 21 anos.
Figura 2: Idade dos alunos 2ª B
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019.
Dos que responderam o questionário, apenas dois alunos tiveram reprovação, sendo um aluno no quinto ano do ensino fundamental e o outro no primeiro ano do ensino médio. 
Apesar do Colégio ser em tempo integral, temos um aluno que ainda encontrou tempo para trabalhar, os demais ajudam apenas nas atividades de casa.
A maioria dos alunos não tem o hábito de estudar em casa, verificamos que apenas 4 alunos disseram estudar em casa, como podemos observar no gráfico a seguir (figura 3): 
Figura 3: Alunos que estudam em casa 2ª B
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019.
Ou seja, 81% da turma não tem o hábito de estudar em casa, se tornando uma maioria e apenas 19% têm o habito de estudar. Apesar da possível rotina exaustiva dos alunos, alguns deles realizam alguns cursos, sendo que 8 alunos fazem curso de informática básica, 1 aluno faz curso de auxiliar administrativo e 12 alunos não fazem nenhum curso, como foi possível observar no gráfico (figura 4):
Figura 4: Cursos complementares 2ª B
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019.
Perguntamos ainda com quem eles residiam, assim obtivemos como respostas que a maioria reside com os pais, sendo apenas dois deles com avôs e um com tios. 
A questão 5 tratava do tempo de permanência do aluno no colégio. Percebemos que haviam alunos com mais de sete (7) anos no CEPI. Isto pode ter ocorrido porque o colégio antes atendia o público do Ensino Fundamental II. Por isso, há alunos que estudam há mais de dois anos no colégio, como é evidenciado no gráfico “tempo de colégio” (figura 5).
Figura 5: Tempo dos alunos no colégio 2ª B
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019
Pudemos observar pelas respostas que oito alunos entraram na escola neste ano, ou seja, esse é o primeiro ano deles; onze alunos estudam há dois anos, ou seja, estão desde o primeiro ano do ensino médio; um aluno entrou no meio do ano letivo no colégio; e, apenas um aluno estuda há sete anos, esse tempo é devido ao aluno já estudar desde o ensino fundamental no CEPI.[3: Atualmente o colégio tem somente a modalidade ensino médio. Mas, há dois anos o mesmo também atendia o público do ensino fundamental II. Por isto, há alunos que estão no colégio por dois anos.]
Ainda, questionamos sobre a escolaridade dos responsáveis pelos alunos. Percebemos que a escolaridade variava entre o ensino fundamental e superior, mas não temos nenhum caso de analfabetismo. 
Em outra questão, percebemos que a turma tem afinidade com matemática. Pelas respostas, verificamos que 76% dos alunos responderam gostar de matemática e souberam relacionar diversas situações do dia a dia.
Alguns alunos superaram as expectativas na questão sobre quais as possíveis contribuições que a estagiária poderia realizar com aplicação do projeto de ensino e aprendizagem, tal como resposta obtemos aulas diferenciadas, onde poderiam estudar matemática de uma forma menos “chata”. 
Todos os alunos responderam que o trabalho a ser desenvolvido pela estagiária na sala de aula poderia auxiliar no conhecimento matemático dos alunos. Pelas respostas, vimos que muitos alunos justificaram ser importante ter a estagiária na sala porque tinha muitos alunos na turma e apenas uma professora para ensinar, assim eles teriam outras oportunidades de esclarecer suas dúvidas durante a aula.
Numa outra questão, notamos que alguns alunos têm muitas expectativas com relação ao projeto, que esperam aulas com métodos diferentes, tal como pode ser observado na figura 6:
Figura 6: Metodologias esperadas 2ª B
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019.
Alguns alunos afirmaram gostar de resolução de problemas, por ser considerado um desafio. Além disso, quando conseguem resolver, sentem como se fosse uma grande vitória.
De modo geral, a turma parece interessada em participar do projeto no segundo semestre.
2 º ano C
Na aplicação do questionário na 2º série C, dos 21 sujeitos matriculados, apenas 16 alunos estavam presentes. 
Dos que estavam presentes, observamos que 69% da turma são do sexo feminino e 31% são do sexo masculino. 
Constatamos que a faixa etária dos alunos variava entre 16 e 17 anos, pois onze alunos possuíam 16 anos e cinco alunos tinham 17 anos, como pode ser visto na figura 7. 
Figura 7: Idade dos alunos 2ª C
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019.
Após questionarmos os alunos se já haviam tido ou não reprovações, daqueles que responderam ao questionário, apenas dois alunos disseram ter uma reprovação no quinto ano.
Devido ao colégio ser em tempo integral, percebemos que nenhum aluno trabalhava em período contrário. Verificamos ainda que metade deles ajudam nas tarefas domésticas nos finais de semana e alguns, logo após chegar em casa. 
Questionamos ainda sobre os hábitos de estudos, a maioria respondeu não ter o hábito de estudar em casa, como pode ser observado na figura 8. 
Figura 8: Hábito de estudos dos alunos 2ª C
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019.
Verificamos que apenas 7 alunos estudavam em casa e os demais não tinham esse hábito. Em seguida, perguntamos se eles realizavam cursos complementares ao ensino médio. A seguir, podemos verificar na figura 9 que:
Figura 9: Cursos complementares 2º C
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019
Alguns alunos faziam cursos complementares, como pode ser observado na figura 9. Tendo em vista que após saírem do colégio, 9 alunos fazem curso de informática básica, 1 aluno faz língua espanhola e 6 alunos não fazem nenhum curso.
Outra informação obtida pelas respostas do questionário, é que a maioria residia com os pais, sendo apenas dois com os avós. Após, havia outra pergunta sobre o tempo de permanência no CEPI, como evidenciado na figura 10:
Figura 10: Tempo dos alunos no colégio 2ª C.
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019.
Apesar de atualmente, o colégio atender alunos na modalidade ensino médio. Pelas respostas, vimos que: dez alunos se matricularam, no colégio, esse ano; 3 alunos estudavam há dois anos, desde o nono ano do ensino fundamental II; dois alunos ingressam no meio do ano letivo de 2018 no colégio; e, apenas um aluno estuda há cinco anos, como pode ser observado na figura 10.
Sobre a escolarização dos responsáveis, esta é bem variada, indo do ensino fundamental ao superior, porém não há caso de analfabetismo. 
Ainda, percebemos pelas respostas que 50% dos alunos tem pouca afinidade com matemática, pois somente 50% da turma disseram gostar de matemática. Observamos nas respostas que muitos alunos souberam relacionar a matemática com o dia a dia, nem com o mercado de trabalho, finanças da casa ou mesmo olhar as horas em seu celular.
Ao responderem à pergunta sobre as possíveis contribuições que a estagiária poderia acrescentar na aula, 86% dos alunos alegaram ser muito importante a presença da estagiária pois além de poder auxiliar a professora na aula, também auxiliaria no esclarecimento de dúvidas.
Foi perceptível notar que alguns alunos tinham expectativas quanto ao projeto de estágio, pois muitos responderam que gostariam de trabalhar com jogos e resolução de problemas, como pode ser percebido na figura 11:
Figura 11: Métodos de ensino 2º C
Fonte: Dados extraídos do questionário aplicado em abril de 2019
Observando o gráfico da
figura 11, 31% dos alunos responderam que gostariam de trabalhar com jogos nas aulas de matemática. Entendemos que esta é uma informação importante para o desenvolvimento do trabalho.
De modo geral, a turma C apresenta dificuldade em relação à matemática. Já a turma B é considerada, nas avaliações, como uma turma mediana, sem muitas dificuldades de aprendizagem. Assim, como sugestão da professora supervisora, optamos por aplicar o teste diagnóstico nas duas turmas B e C. Inicialmente, íamos aplicar o projeto somente na turma B. No entanto, após o início do segundo semestre, optamos por aplicar o projeto na turma B, devido ser uma sugestão da supervisora. 
Sobre a contextualização do colégio, pudemos perceber que o Colégio é muito mais do que um local destinado a ensino coletivo, ele é um centro de formação de cidadãos críticos, no qual o intuito vai além do que seguir a núcleo comum, pois envolve aspectos intelectuais, emocionais, sociais e culturais. 
É necessário fazer uma análise tanto do perfil dos estudantes como o da escola, desde a estrutura física até a gestão, para podermos analisar possíveis fatores que podem interferir na aprendizagem dos alunos.
A seguir daremos, a conhecer o projeto de ensino e aprendizagem que foi aplicado no segundo semestre.
Análise Combinatória e Probabilidade Por Meio da Resolução de Problemas
Nesse estudo de ensino e aprendizagem trabalhamos o conceito de análise combinatória a partir da resolução de problemas, visto que este é o conteúdo do terceiro bimestre e a metodologia escolhida foi uma sugestão da professora supervisora devido aos apontamentos feitos pela estagiária durando o período de observação. 
Acerca do conteúdo, os Parâmetros Curriculares Nacional + do Ensino Médio (PCN+ EM) (BRASIL, 2006), apresentam a matemática dividida em três temas, que são eles: (1) álgebra: números e funções; (2) geometria e medidas; e, (3) análise de dados.
No caso do conceito de análise combinatória, este se encontra ligado ao tema “análise de dados”. Trata-se de um eixo temático muito importante, tendo em vista o raciocínio lógico e a interpretação de dados e informações.
Pensamos que seria interessante estimular os alunos a desenvolverem estratégias para resolver problemas sobre Princípios Multiplicativos, ou seja, construir juntamente com os alunos estratégias iniciais de contagem. Assim, considerando as dificuldades dos alunos e em conversa com a professora supervisora, optamos por trabalhar com resolução de problemas. 
Nesse sentido, o PCN+ EM (BRASIL, 2006), sugere que no ensino médio desenvolva os seguintes objetivos:
• identificar os dados relevantes entre as informações obtidas; 
• identificar diferentes formas de quantificar dados numéricos; 
• selecionar diferentes formas para representar um dado ou conjunto de dados e informações, reconhecendo as vantagens e limites de cada uma delas; 
• traduzir uma situação dada em determinada linguagem em outra;
• ler e compreender diferentes tipos de textos com informações em linguagem matemática; 
• ler e interpretar dados ou informações apresentadas em tabelas, gráficos, esquemas, diagramas, árvores de possibilidades, fórmulas, equações ou representações geométricas; 
• identificar as relações entre os dados obtidos e as suas regularidades; 
• extrair e sistematizar as principais conclusões e identificar problemas a serem enfrentados; 
• elaborar possíveis estratégias para enfrentar os problemas levantados, buscando, se necessário, novas informações e conhecimentos (BRASIL, 2006, p. 131).
Tendo em vista que cada objetivo é de suma importância, temos que o trabalho com a resolução de problemas pode auxiliar-nos a alcançar os mesmos.
Entendemos que a resolução de problemas propicia distintos processos de aprendizagem, tais como: o levantamento de hipóteses, a argumentação, formalização de conceitos, sistematização e comunicação de ideias e pensamentos, o posicionar-se frente a algo, e até mesmo introdução de novos conceitos.
Os PCNEM (BRASIL, 2000, p. 52) destacam que
a resolução de problemas é uma importante estratégia de ensino. Os alunos, confrontados com situações-problema novas, mas compatíveis com os instrumentos que já possuem ou que possam adquirir no processo, aprendem a desenvolver estratégia de enfrentamento, planejando etapas, estabelecendo relações, verificando regularidades, fazendo uso dos próprios erros cometidos para buscar novas alternativas; adquirem espírito de pesquisa, aprendendo a consultar, a experimentar, a organizar dados, a sistematizar resultados, a validar soluções; desenvolvem sua capacidade de raciocínio, adquirem autoconfiança e sentido de responsabilidade; e, finalmente, ampliam sua autonomia e capacidade de comunicação e de argumentação (BRASIL, 2000, p. 52).
De acordo com este documento, é importante o aluno saber: interpretar e analisar um problema; questionar a própria resposta; analisar os caminhos, as estratégias e a estrutura do problema; levantar hipóteses; e, comunicar suas resoluções. Essas habilidades auxiliam na construção de conhecimentos matemáticos, na criticidade e na argumentação.
Ao olharmos para a Base Nacional Comum Curricular observamos que existem competências a serem desenvolvidas relacionadas a resolução de problemas em que se torna necessário aprender matemática para resolver problemas: 
[...] assim, espera-se que eles desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações (BRASIL, 2017, p. 263).
Nesse sentido, o papel do professor é de mediar o processo de construção de conhecimento. De acordo com Allevato e Onuchic (2014, p. 44), o “professor não pode prescrever aos estudantes os métodos e/ou regras específicas para que obtenham a solução”. 
Cremos que é importante o professor trabalhar com a resolução de problemas. Mas primeiramente devemos entender o que é problema. Para Onuchic (1999, p. 208), problema se constitui em “tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessado em resolver”. 
Para Hilbert (1997 apud WALLE, 2009, p. 57), problema é “qualquer tarefa ou atividade na qual os estudantes não tenham nenhum método ou regra já receitados ou memorizados e nem haja uma percepção por parte dos estudantes de que haja um método ‘correto’ específico de solução”.
A partir daí, temos que pode ser interessante trabalhar com problemas de cunho matemático para desenvolver um conceito e/ou conhecimento. Toledo (2010) entende que o problema matemático é uma situação que requer uma descoberta de informações matemáticas, sendo estas desconhecidas pela pessoa que procura resolvê-la.
Para isto, Allevato e Onuchic (2014) sugerem que as tarefas envolvendo a resolução de problemas sejam organizadas da seguinte forma: (1) proposição do problema, (2) leitura individual, (3) leitura em conjunto, (4) resolução do problema, (5) observar e incentivar, (6) registro das resoluções na lousa, (7) plenária, (8) busca do consenso, (9) formalização do conteúdo, (10) resolução de novos problemas e proposição de novos problemas.
Nesse sentido, para Onuchic et al (2014), o professor deve selecionar e/ou criar um problema para ser proposto ou pode ser um problema criado/proposto pelos alunos, um problema nascido de uma inquietação deles. As autoras afirmam que o problema visa dar condições para envolver o aluno na construção de um novo conhecimento. 
Onuchic et al (2014) sugerem que os alunos, individualmente, devem ler o problema e depois se reunirem em grupos para fazerem uma nova leitura, só que de modo coletivo, em forma de uma discussão acerca das informações trazidas no enunciado, para elaboração de possíveis estratégias. 
Na fase de discussão e levantamento de ideias e estratégias, cabe ao professor ajudar os grupos a compreenderem o problema, bem como incentivar: na exploração de estratégias de resolução, na argumentação sobre posições, ideias
e estratégias; no aprimoramento da linguagem (ONUCHIC et al, 2014).
Temos que uma forma dos alunos entenderem os problemas, é pedir a eles que façam registros de suas ideias e analisem as mesmas. Allevato e Onuchic (2014, p. 45), evidenciam que o registro possibilita refletir, “colocar-se em contato com a linguagem matemática e desenvolver sua própria compreensão do problema proposto”. 
Além disso, quando os alunos releem seus registros e analisam suas escritas, podem ter outra concepção da sua argumentação, dos seus estudos. A análise pode ainda apontar para algumas estratégias utilizadas que não foram ou não seriam eficazes na resolução.
No que tange ao trabalho em grupo, a releitura do problema e das hipóteses levantadas, as discussões, as tomadas de decisões, a análise do processo de resolução possibilita a troca de ideias e a reflexão das perspectivas. De acordo com Van de Walle (2009, p.62): 
Independentemente de os alunos estarem ou não trabalhando em grupos, sempre é uma boa ideia que eles tenham alguma oportunidade para discutir suas ideias com um ou mais colegas antes de compartilharem seus pensamentos [...] [com toda a turma]. Quando trabalham sozinhos, os estudantes não têm ninguém para conversar sobre alguma ideia ou sobre algum modo de começar se estiverem bloqueados. (VAN DE WALLE, 2009, p. 62).
Assim, investigar a forma de resolver um problema em grupo é interessante, pois a troca de ideias pode levar o aluno buscar estratégias variadas. 
Quando o aluno se depara com um problema que não sabe imediatamente a resposta, ele começa automaticamente traçar meios ou caminhos para conseguir solucionar o mesmo. Posteriormente, testa sua estratégia para verificar se foi alcançada a(s) resposta(s) ou não do problema. 
A resolução de problemas enquanto metodologia de ensino é recente, sendo o precursor desse tipo de estudo Polya (1994). Este autor evidencia que há quatro etapas para se resolver um problema, são elas: a compreensão da tarefa; a concepção de um plano; a execução desse plano; a análise para determinar se a meta foi atingida. (POLYA, 1994).
No entanto, Allevato e Onuchic (2009) evidenciam que outras etapas e análises devem ser consideradas quando trabalhamos com problemas matemáticos em sala de aula. Para elas, é necessário seguir as seguintes fases de resolução:
1) Preparação do problema – Trata-se da escolha do problema que objetiva a apresentação de um novo conceito, princípio ou procedimento. Importante deixar claro que é desejável que o saber necessário para a resolução do problema não tenha ainda sido trabalhado em sala de aula. 
2) Leitura do problema – Uma cópia do problema deve ser entregue e lida por cada aluno e, posteriormente, pelo grupo. Nesta etapa, se os alunos apresentarem dificuldade, o próprio professor pode auxiliar na interpretação do problema. 
3) Resolução do problema – Se as dúvidas quanto ao enunciado já estiverem sanadas, espera-se que os alunos, em seus respectivos grupos e colaborativamente busquem resolvê-lo. 
4) Observar e incentivar – Durante o trabalho em equipe, o professor deve observar e analisar o comportamento dos alunos, estimulando o trabalho em conjunto. 
5) Registro das resoluções – Neste momento, cada grupo escolhe um representante que registrará sua resolução no quadro o registro deve ser feito de forma que todos os alunos observem, analisem e discutam, independente de certas, distintas ou erradas. 
6) Plenária – Nesta etapa todos os alunos são convidados a discutir as diferentes resoluções registradas, defendendo seus pontos de vista e esclarecendo seus questionamentos. 
7) Busca do consenso – Com as dúvidas sanadas e analisadas, o professor deve tentar, junto com os alunos, chegar a um consenso sobre o melhor resultado. 
8) Formalização do conteúdo – Esta etapa é denominada formalização, nela o professor registra uma apresentação formal escrita, organizada e estruturada em linguagem Matemática de modo a padronizar conceitos, princípios e procedimentos que foram construídos através da resolução do problema (ALLEVATO; ONUCHIC, 2009, p. 101).
É válido ressaltar que a última etapa é de suma importância, não sendo mais importante que as outras, pois, quando utilizamos trabalhar com resolução de problemas, o foco está no raciocínio e nas estratégias que o aluno utiliza para chegar a uma solução. Portanto, o que deve ser analisado é o processo que o aluno utilizou para resolver um problema, bem como interpretação e o entendimento a respeito do que se pede. 
As fases sugeridas por Allevato e Onuchic (2009) tem como intenção possibilitar condições para que o aluno desenvolva o raciocínio lógico, a criticidade e a autonomia. As autoras evidenciam que as fases são sugestões para professores e alunos resolverem problemas, no entanto elas argumentam que não necessitam ser seguidas totalmente, e nem ao menos na sequência.
Trabalhar com resolução de problemas, torna possível conhecer quais as estratégias de raciocínio que os alunos utilizam, sem o professor ter que pressupor as linhas de raciocínios utilizadas pelos estudantes, sendo possível o professor fazer uma reflexão sobre as diversas formas de raciocínio.
O docente não deve ensinar os alunos a seguirem regras ou atalhos que encurtam o caminho, e sim estimular e conscientizá-los o quão importante é entender, compreender e formar estratégias para resolver os problemas.
De acordo com Roa e Navarro-Pelayo (2001, p. 1), os
problemas combinatórios e as técnicas para sua resolução tiveram e têm profundas implicações no desenvolvimento de outras áreas da matemática como a probabilidade, teoria dos números, a teoria dos autônomos e inteligência artificial, investigação operativa, geometria e topologia combinatórias. (ROA; NAVARRO-PELAYO, 2001, p. 1).
É notável perceber que as resoluções de problemas são utilizadas tanto na matemática quanto em outras disciplinas e assuntos, não sendo uma metodologia de ensino isolada, que só se utiliza em matemática. 
A importância de os alunos não utilizar, necessariamente, as fórmulas, se deve à criação de estratégias para solucionar os problemas. Dessa forma, seria possível notar que os alunos conseguiram obter compreensão sobre o assunto.
De acordo com o Guia Nacional do Livro Didático do Ensino Médio (2001), o estudo de análise combinatória deve “desenvolver no aluno a capacidade para escolher diferentes
técnicas de contagem e usá-las de modo eficiente na resolução dos problemas. É prejudicial um ensino que habitue o aluno a se pretender resolver qualquer problema de contagem com o uso somente de fórmulas” (BRASIL, 2011, p. 29).
Fazer com que o aluno raciocine ao resolver um problema, evitando o uso repetitivo de fórmulas, se torna fundamental tendo em vista algumas indagações sobre os problemas, para que o aluno analise seus dados e consiga interpretar, ou seja, evitar o caminho mais rápido e estimular diversas estratégias para a resolução dos mesmos sem o uso repetitivo de fórmulas. Quando o uso sistémico de fórmulas não acontece, é possível trazer o conteúdo para a realidade do aluno, tendo em vista que, ele não estudará apenas as formulas diferentes, mas sim, contextos diferentes e problemas em que se encaixam em determinadas situações do nosso dia a dia, sendo possível realizar um estudo de análise combinatória, em que passa a ser claro seus conceitos e aplicações. 
O propósito de estudar Análise Combinatória através de resolução de problemas se dá devido à importância das estratégias utilizadas em cada passo, pois cada passo é necessário uma técnica de raciocínio e senso crítico, onde o uso imediato das fórmulas não se torna constante. O estudo de análise combinatória através de resolução de problemas contribui bastante com o raciocínio lógico-matemático dos alunos, ajudando e auxiliando em diversos outros conteúdos.
Gomez-Granel (2008, p. 276) afirma que a resolução de problemas é:
uma nova metodologia que pode levar o aluno a pesquisar formas diferentes de resolver determinada situação que é um problema, porque ele não resolve
de forma mecanizada. A resolução de problemas possibilita que se vejam os conteúdos como ferramentas que têm o objetivo de ajudar a resolver problemas contextualizados, com aplicação no cotidiano e em outras disciplinas e descontextualizados, ou seja, aqueles que têm sua aplicação apenas na Matemática. (GOMEZ-GRANEL, 2008, p. 276.)
Cremos que nós discentes e futuros docentes devemos buscar metodologias diferentes para ensinar matemática, no caso específico, análise combinatória. Estas novas perspectivas metodológicas não devem se limitar ao uso de fórmulas, mas propiciar o embasamento necessário para que o aluno utilize vários caminhos para resolver o mesmo problema. 
Para utilizar vários caminhos, é necessário fazer uma generalização das formas de resolver os problemas, de forma que não se crie um apego à utilização constante das fórmulas, mostrando entendimento na forma de solucionar os problemas. No caso do estudo sobre probabilidade é necessário desapegar-se também de certas práticas e buscar estratégias variadas para entender o conceito. 
Trabalhar com probabilidade através de resolução de problemas envolve os alunos a desenvolverem um raciocínio, pois é necessário entender e compreender o que o exercício pede, pois trabalhar com resolução de problemas não é suficiente apenas utilizar as fórmulas sem compreender o que se pede.
Probabilidade possui diferentes aplicações em inúmeros contextos associados ao cotidiano dos alunos, e fazer esse estudo através da resolução de problemas promove um desafio e requer que os alunos utilizem seus conhecimentos disponíveis para solucionar as diferentes situações, pois de acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio:
Ao estudar probabilidade e chance, os alunos precisam entender conceitos e palavras relacionados à chance, incerteza e probabilidade, que aparecem na nossa vida diariamente, particulamente na mídia. Outras idéias importante incluem a compreensão de que a probabilida é uma medida de incerteza, que os modelos são úteis para simular eventos, para estimular probabilidades, e que algumas vezes nossas intuições são incorretas e podem nos levar a uma conclusão equivocada no que se refere à probabilida e à chance. (BRASIL., 2006, p. 79)
O estudo de probabilidade é bastante relacionado com situações diarias na vida do aluno, em que é possivel relacionar probabilidade com experiencias diárias de vida.
Assim, a intenção do projeto de ensino e aprendizagem foi desenvolver o raciocínio lógico e combinatório do aluno por meio do Princípio Fundamental da Contagem e probabilidade além de ensina-lo a resolver um problema, ou seja, perspectiva-se resolver problemas com intuito de desenvolver a interpretação, bem como buscar evitar o uso de fórmulas sem significados, mas de compreender as informações e as ideias envolvidas nos processos. 
Aproximar o estudo de análise combinatória da realidade dos alunos, foi um dos nossos objetivos. Tendo em vista que a utilização da mesma é extremamente empregada no nosso dia a dia sem nos dar conta que estamos utilizando raciocínio lógico. 
A partir da seleção do conteúdo de análise combinatória e probabilidade, e de acordo com a dificuldade dos alunos com interpretação e pela opção de metodologia sobre resolução de problemas que foi escolhida, a seguir, daremos a conhecer os objetivos e a questão de investigação.
Problema e objetivos
Investigaremos nossos objetivos e questão de investigação nos tópicos a seguir: 
Problema de Pesquisa
Temos como problema:
Como o uso de resolução de problemas pode auxiliar no processo aprendizagem de análise combinatória e de probabilidade?
Objetivo Geral
No que tange o objetivo geral:
Levar o aluno a compreender o conteúdo de probabilidade e análise combinatória por meio da resolução de problemas.
Objetivos Específicos
Levar o aluno a:
Compreender o Princípio Fundamental da Contagem através da Resolução de Problemas;
Compreender o que é um arranjo simples e permutação;
Perceber a diferença entre arranjo e permutação;
Resolver problemas utilizando o princípio multiplicativo e princípio aditivo;
Resolver problemas envolvendo noções de arranjo simples, permutação e combinação;
Compreender a probabilidade de um evento;
Desenvolver a capacidade de interpretar e compreender os procedimentos que envolvam cálculos de probabilidade;
Compreender a nomenclatura dos termos probabilísticos. 
A seguir será apresentada a metodologia de trabalho. 
METODOLOGIA
O projeto deu início no primeiro semestre de 2019, em que contamos com alguns momentos de observação sobre: a estrutura e contexto escolar, documentações da instituição e turmas para aplicação do projeto; coparticipação e realização de um questionário.
Após escolher o Colégio para a realização do projeto, foi necessário conhecer a estrutura física, tendo em vista que conhecer o ambiente escolar do aluno é de extrema importância, pois é necessário observar todos os detalhes, levando em consideração que qualquer particularidade pode interferir no aprendizado cognitivo e social do aluno.
Para uma análise mais minuciosa do colégio, foi necessário analisar o PPP com intuito de conhecer detalhadamente a estrutura física, a equipe gestora e os demais funcionários, além de conhecer os estudantes e seus familiares.
Inicialmente foi observado as três turmas de segundo ano do Colégio, em que a escolhida para aplicação do projeto foi a turma B, devido as recomendações da professora supervisora e uma afinidade com a turma B, pelo fato em que os alunos gostaram da idéia de ter uma estagiária na sala, e nas palavras deles, seria melhor aprender matemática com mais uma professora na sala, em outras palavras, a turma B me chamou mais atenção pela receptividade e pela curiosidade imediata em saber qual a metodologia que iria utilizar no meu projeto.
Essa turma ficou tão empolgada com o projeto, devido ao ano anterior eles tiveram uma dupla de estagiárias na mesma disciplina que desenvolveram um projeto, então eles já tinham uma experiência, que pelo visto foi muito boa.
Nas primeiras semanas de aula, utilizei apenas para observar a metodologia que a professora supervisora utilizava e acompanhar a dificuldade de cada aluno juntamente com suas particularidades, conforme eu poderia contribuir para ajuda-los, sendo que as dificuldades dos alunos foi o meu foco.
Esse período de observação se torna extremamente necessário, pois para elaborar um projeto precisamos de um direcionamento, e um dos nortes que temos para iniciar essa ação é conhecer o público em que o seu projeto será desenvolvido.
Em algumas poucas semanas de observação realizada na sala de aula, foi possível constatar uma grande dificuldade dos alunos em problemas contextualizados. Inicialmente eles estavam estudando determinantes, e a maioria dos alunos já tinham compreendido o conteúdo, visto que quando a professora propunha uma atividade em que não tinha nenhuma contextualização, a maioria dos alunos executavam mostrando entendimento pelo assunto, mas, quando ela passava o mesmo exercício, só que de forma brevemente ou imensamente contextualizada, os alunos apresentavam uma enorme dificuldade, em que na maioria das vezes não sabiam nem por onde começar, com isso, causava um certo tumultuo nas aulas devido a supervisora ser muito solicitada para ajuda-los na resolução.
Devido a esse tumultuo, foi onde comecei a auxiliar a professora supervisora, ajudando os alunos a interpretarem e solucionar esses problemas. Á vista disso, fui observando que nas aulas em que não tinham exercícios contextualizados, eles quase não tinham dificuldade, além das aulas serem mais tranquilas e quase não solicitarem ajuda. A partir desse momento comecei a pensar em como poderia ajudar esses alunos, de forma que eles conseguissem compreender e interpretar uma questão elaborada e que quebrassem o tabu com problemas contextualizados. 
Depois de muitas buscas e pesquisas, considerei trabalhar com resolução de problemas, pois essa seria a maneira de ajudá-los de
diversas formas. Após várias pesquisas, e uma conversa com a supervisora, na qual ela afirmou que as maiores dificuldades dos alunos são nos problemas, chegamos à conclusão que a melhor metodologia a ser usada seria resolução de problemas. 
Continuei observando a turma, só que com outros olhos e foi a partir daí que comecei a ter várias ideias sobre como desenvolveria meu projeto. 
Ainda com dúvidas sobre a escolha da turma, hesitei em aplicar um questionário para fazer um levantamento das turmas B e C, para definir qual turma iria aplicar o projeto. O intuito da aplicação desse questionário é traçar o perfil socioeconômico, afinidades com a disciplina de matemática e expectativas sobre o projeto. Após uma análise desses questionários, a turma B foi escolhida para aplicação do projeto.
Encerramos o primeiro semestre, que foi dedicado apenas para observação e uma breve coparticipação, e após as férias demos continuidade no segundo semestre, que aconteceu a aplicação desse projeto e a estagiária assumiu um total de quatro aulas semanais. 
Na segunda semana do segundo semestre começou aplicação do projeto. Inicialmente foi apresentado o projeto de ensino e aprendizagem aos alunos, no qual a metodologia de resolução de problemas atrelada ao conteúdo de análise combinatória e probabilidade.
A aplicação desse projeto começou a partir do Teste Diagnóstico (APÊNDICE C), cujo objetivo é verificar conhecimentos prévios dos alunos com operações fundamentais. Após a análise e levantamento das principais dificuldades dos alunos, que acorreu através do teste diagnóstico foi feita a correção na mesma aula, sendo que os alunos responderão o teste a lápis em seguida trocaram suas atividades para realizarem as correções de caneta vermelha. Durante a correção foi esclarecida as (possíveis) dúvidas dos alunos, em forma de uma breve revisão. Tínhamos programada uma revisão em que abordasse todas as dificuldades dos alunos, mas, durante a correção os alunos foram bastante participativos, e a partir daí foi perceptível que não seria necessário fazer uma revisão detalhada, tanto é que os estudantes não dispunham de muitas dúvidas.
A partir daí demos início ao segundo momento em que utilizamos um total de quatro horas/aulas. Assim, iniciamos com quatro exemplos que se tratavam do Princípio Fundamental da Contagem (ANEXO A) os exemplos seriam apresentados aos alunos através de um projetor, por motivos técnicos não foi possível, então foi passado no quadro para os estudantes copiarem. Começamos com problemas simples, com um número pequeno de possibilidades. Este referiu-se ao gerador para as indagações e busca por caminhos de resolução. Demos sequência com uma lista de problemas (ANEXO B), na qual foi passada no quadro para os alunos copiarem e responderem. Lembrando, que durante a resolução, fui indagando-os sobre como resolver problemas, seguindo os principais passos de Allevato e Onuchic (2009).
Esse momento seria finalizado com um teste de duas fases, mas para dinamizarmos as aulas, não aplicamos o teste e elaboramos (estagiária e supervisora) uma batalha, em que abordasse arranjo e permutação e seria aplicada mais adiante.
Depois que os alunos compreenderam o raciocínio de PFC, iniciamos o estudo de arranjo, que se tratava sobre o nosso terceiro momento que contamos com oito horas/aulas para desenvolvê-lo, através de uma aula expositiva e dialogada na qual construímos os conceitos, de maneira que os alunos participassem, de acordo com Skovsmose: “Um cenário para investigação é aquele que convida os alunos a formularem questões e procurarem explicações.” (SKOVSMOSE, 2008, p.21). 
Lembrando que retratei alguns exemplos anteriormente, antes de construirmos o conceito, e todos exemplos resolvi por duas maneiras: pela fórmula e por raciocínio lógico. Memorando que não pregamos a utilização da fórmula de forma sistêmica, tendo em vista, que caso o aluno esqueça o conceito, ele consiga chegar ao mesmo por raciocínio lógico. 
Finalizamos o conteúdo de arranjo com uma lista de problemas (ANEXO C), que foi passada no quadro e corrigida pelos estudantes.
Demos continuidade com permutação, em que aos alunos sanaram todas suas dúvidas, além de participarem bastante e compreender a diferença entre os mesmos. Estes estudos foram desenvolvidos, analisados, discutidos juntamente com os alunos. Para tanto, buscamos exemplificar, debater e discutir, a intenção era mostrar aos alunos que eles poderiam utilizar tanto a fórmulas de arranjo como raciocínio utilizado pelo PFC.
Finalizando esse momento, com intuito de verificar se os alunos compreenderam ou não os conceitos estudados, aconteceu uma batalha de conhecimentos em quatro horas/aulas, em que a turma foi dividida em duas equipes que desafiaram uma a outra, na qual cada aluno deveria elaborar no mínimo três problemas, sobre o conteúdo que desejasse, sendo eles: princípio fundamental da contagem, arranjo e permutação.
Iniciamos com a explicação sobre as regras da batalha, para a batalha acontecer cada aluno deveria elaborar no mínimo três problemas para termos um banco de questões amplo e verificar se os conteúdos ministrados até o momento foram entendidos. Cada problema envolvia o conteúdo de sua preferência a nível fácil, médio e difícil, e os alunos poderiam utilizar como material de “auxílio” o caderno e o livro didático. O aluno tinha total liberdade para elaborar qualquer tipo de problema, desde que soubesse explicar corretamente o exercício, sem qualquer tipo de consulta.
Dando continuidade ao conteúdo, começamos o quarto momento que dispomos de seis horas/aulas. Introduzimos o conceito formal de Combinação, após uma série de exemplos que os alunos foram indagados a procurar soluções para resolver os mesmos. Em seguida ocorreu a explicação sobre o que é combinação, dando ênfase na diferença entre arranjo, permutação e combinação. 
Após trabalhar todos esses conceitos, a estagiária juntamente com os alunos construiu um mapa conceitual, no sentido de reforçar o conhecimento de forma prática e objetiva. De acordo com Romero (2007) “mapas conceituais é uma estrutura esquemática para representar um conjunto de conceitos imersos numa rede de proposições”. Em seguida, os alunos resolveram uma lista (ANEXO E) contendo seis questões e entregaram, e na aula posterior foi realizado a correção juntamente com os alunos, onde a estagiária precisou fazer apenas pequenas indagações.
No penúltimo momento foi trabalhado probabilidade em seis horas aulas. Primeiramente, foi apresentado aos alunos conceitos como espaço amostral, evento e experimento aleatório, seguido de exemplos. Em seguida foi passado duas atividades (ANEXO F) para fixação desses conceitos. 
Demos sequência, iniciando o estudo sobre cálculo de probabilidades, em que foi explicado como realizar esse cálculo, sem nenhum tipo de apego a fórmulas. Foi feito exemplos juntamente com os alunos, em seguida selecionei oito problemas do livro didático (ANEXO G) em que eles deveriam transcrever para o caderno e responderem. A correção desses exercícios foi realizada pelos próprios alunos, no quadro, sendo que eles mesmo se candidataram a ir no quadro corrigir os problemas e explicar sobre cada questão corrigida.
Estava previsto para concluirmos o estudo sobre probabilidade com o jogo mega duque, mas por falta de tempo, optamos por realizarmos um jogo no final do trabalho como teste diagnóstico final.
No sexto e último momento, usamos quatro horas/aulas para realizar o teste diagnóstico final em que verificamos o quanto foi válido o projeto para os alunos e para a estagiária, sem seguida corrigimos e fizemos uma confraternização. O teste foi realizado através do jogo bingo, de acordo com Petty (1995):
Jogar é uma das atividades em que a criança pode agir e produzir seus próprios conhecimentos. No entanto, nossa proposta não é substituir as atividades em sala de aula por situações de jogos. (...) a ideia será sempre considerá-los como outra possibilidade de exercitar ou estimular a construção de conceitos e noções também