Aula2_Sistemas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
REGIONAL CATALÃO
FÍSICA
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Dr. Lúcio Aurélio Purcina
Matrizes e Sistemas Lineares
Sistemas de Equações Lineares
• Uma equação linear em n variáveis x1, x2, ..., xn é uma equação da
forma
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b ,
em que a1, a2, ..., an e b são constantes reais.
• Um sistema de equações lineares ou simplesmente sistema linear é
um conjunto de equações lineares, ou seja, é um conjunto de
equações da forma
em que aij e bk são constantes reais, para i, k = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 1
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   
    


    
Usando o produto de matrizes que definimos na aula anterior, o
sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial
AX = B, em que 
Uma solução de um sistema linear é uma matriz tal que as
equações do sistema são satisfeitas quando subs-
tituímos x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn. O conjunto de todas as soluções do
sistema é chamado conjunto solução ou solução geral do sistema.
A matriz A é chamada matriz, dos coeficientes, do sistema linear.
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
, e
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
A X B
a a a x b
     
     
       
     
     
     
1
2
n
s
s
S
s
 
 
 
 
 
 
• Definição: Dizemos que um sistema linear S é
incompatível se S não admite nenhuma
solução. Um sistema linear S que admite uma
única solução é chamado compatível
determinado. Se um sistema linear S admitir
mais do uma solução, então ele recebe o
nome de compatível indeterminado.
Exemplo 1.9: O Sistema linear de duas equações e duas incógnitas
Pode se escrito como
A solução (geral) do sistema acima é x = e y = . Ou
1 2 1
2 1 0
x
y
     
     
     
2 1
2 0
x y
x y
 

 
1
3
2
3
X
 
 
  
 
  
1
3

2
3
Que possui uma única solução geral dada por:
Neste caso dizemos que o sistema possui infinitas soluções.
Teorema: Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado e,
retiradas as equações do tipo 0 = 0, restam p equações com n
incógnitas.
(I)Se a última das equações restantes é
0x1 + ... +0xn = p , (p ≠ 0)
Então o sistema é incompatível (não admite solução).
Caso contrário, sobram duas alternativas:
(II) Se p = n o sistema é compatível determinado (admite única solução)
(III) Se p < n, então o sistema é compatível indeterminado (admite
infinitas soluções)
1.2.3 Sistemas Lineares Homogêneos
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
   
    


    
• Um sistema linear da forma
É chamado sistema homogêneo. Este sistema pode ser escrito da
forma . Todo sistema linear é compatível, admite ao
menos a solução: chamada solução trivial.
0AX 
1
2
0
0
0n
x
x
X
x
   
   
    
   
   
  
• Observação. Para resolver um sistema linear homogêneo AX = 0,
basta escalonarmos a matriz A do sistema, já que sob a ação de
uma operação elementar a coluna de zeros não é alterada.
• Teorema. Se A = (aij)m×n, é tal que m < n, então o sistema
homogêneo AX = 0 tem solução diferente da solução trivial, ou seja,
todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas
tem infinitas soluções.
• Proposição. Seja A = (aij)m×n.
(a) Se X e Y são soluções do sistema homogêneo, AX = 0, então X + Y
também o é.
(b) Se X é solução do sistema homogêneo, AX = 0, então αX também
o é.
Exercícios
1. Discutir e resolver os seguintes sistemas:
a) .
b)
c) 
1
2 2 0
3 1
x y z
x y z
x y z
  

  
   
2 1
2 3 0
7 3
x y z
x y z
x y
  

  
  
1
2
2 3
x y z
x y z
x y z
  

  
   