Introdução à Mecânica das Estruturas

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2019
Introdução à MecânIca 
das estruturas
Prof. Lucas Onghero
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Prof. Lucas Onghero
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
ON58i
 Onghero, Lucas
 Introdução à mecânica das estruturas. / Lucas Onghero. – Indaial: 
UNIASSELVI, 2019.
 250 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0322-5
 1. Mecânica das estruturas. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo 
Da Vinci.
CDD 624.171
III
apresentação
Caros alunos, sejam bem-vindos ao curso de mecânica das estruturas, 
nesta disciplina busca-se capacitar os alunos a analisar as estruturas 
reticuladas no geral, sendo estas hiperestáticas, isostáticas ou hipostáticas. 
Será dada maior ênfase às estruturas planas, determinando suas reações de 
apoios e esforços internos pelos diferentes métodos existentes, aplicando 
cada um com sura devida particularidade.
Se define estrutura a parte da construção responsável pela estabilidade 
e pela resistência à esforços esternos aplicados. As estruturas devem 
apresentar estabilidade local e global de todos os seus elementos, assim 
como apresentar resistência mecânica para suportar os esforços, de maneira 
que não ocorra a ruptura dos materiais que a compõem. Além disso, outro 
fator que deve ser analisado nos sistemas estruturais é o seu desempenho 
relacionado com as deformações de durabilidade, o qual está diretamente 
ligado com a vida útil para a qual a estrutura foi planejada.
Uma vez definido o sistema construtivo e materiais a serem utilizados 
na construção, é então desenvolvida a análise estrutural da edificação, sendo 
a primeira parte de um projeto estrutural. Portanto, como objetivo desta 
disciplina é esperado que ao final do estudo o aluno possa avaliar uma 
estrutura, suas deformações e esforços à qual está submetida, partindo das 
suas características como: geometria, dimensões, características mecânicas, 
propriedades dos materiais utilizados, esforços externos aplicados.
Para atingir o objetivo proposto pela disciplina, a primeira unidade 
apresenta os conceitos básicos que envolvem a análise estrutural: a representação 
e redução dos esforços à um ponto; sua representação em uma estrutura, 
a formulação de sistemas equivalentes de forças para facilitar a análise da 
estrutura; os conceitos que envolvem o equilíbrio da estrutura e a estática dos 
sistemas materiais planos e espaciais. Além disso, serão abordadas, ainda nesta 
unidade, as definições dos tipos de apoios considerados durante a análise; como 
é realizada a determinação das reações que surgem nos apoios das estruturas.
Ainda na primeira unidade será abordado o conceito de tensão e como 
estas tensões são transmitidas pela estrutura, para então ser iniciada a análise 
das tensões/esforços solicitantes das estruturas, onde ocorre o primeiro contato 
do leitor com os teoremas fundamentais da estática para construções e um dos 
principais métodos de análises para estruturas isostáticas e hipostáticas.
A Unidade 2 tem como foco apresentar alguns dos modelos de 
estruturas isostáticas mais utilizados e suas particularidades, além das 
considerações a serem adotadas na análise na presença de rótulas ou engastes 
em estruturas. Além disso, serão apresentados alguns métodos de análise 
mais gerais, como o método de Cremona, método dos nós e revisado o 
método de Ritter (das seções). Juntamente com a apresentação dos métodos, 
será abordada a construção dos diagramas de esforços solicitantes para cada 
tipo de estrutura apresentado e para todos os métodos abordado na unidade.
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Na terceira unidade, será dada continuidade na abordagem de 
métodos de análises para estruturas, porém nesta seção serão tradados 
os casos onde as estruturas apresentam grau de estaticidade maior que 0, 
ou seja, estruturas hiperestáticas. Os métodos abordados para este tipo de 
estruturas apresentados nesta apostila são o Método dos Deslocamentos, o 
Método das Forças e o Método de Cross.
Antes de tudo, é importante pontuar que esta disciplina é baseada 
nas leis da física, abordadas nas disciplinas de base do curso e que sempre 
estão dando suporte à engenharia. Portanto, apesar da primeira unidade 
desta apostila fazer uma breve revisão dos pontos mais importantes, é 
recomendado ao acadêmico que estiver com alguma dificuldade, retomar as 
disciplinas básicas para melhor aproveitamento deste conteúdo. 
Bons estudos!
Prof. Lucas Onghero
V
VI
VII
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS ....................................................1
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL .............................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 NOÇÕES FUNDAMENTAIS ..............................................................................................................4
2.1 REGRA DA MÃO DIREITA .............................................................................................................6
2.2 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS EM UM PONTO ................................................ 10
2.3 SISTEMAS MECANICAMENTE EQUIVALENTES .................................................................. 11
2.3.1 Método direto .......................................................................................................................... 14
2.3.2 Método indireto ...................................................................................................................... 14
2.4 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 15
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 17
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 18
TÓPICO 2 – ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS ............................................... 21
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 21
2 EQUILÍBRIO ..........................................................................................................................................21
2.1 REVISÃO ........................................................................................................................................... 22
2.2 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 23
3 APOIOS ................................................................................................................................................. 23
4 DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO ........................................................................... 28
4.1 ESTRUTURA APORTICADA ........................................................................................................ 29
4.2 PÓRTICO ISOSTÁTICO ................................................................................................................. 30
4.3 TRELIÇA ISOSTÁTICA .................................................................................................................. 31
4.4 PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO ............................................................................... 32
5 ESTÁTICA DOS SISTEMAS ESPACIAIS ...................................................................................... 33
5.1 PÓRTICO ESPACIAL ...................................................................................................................... 35
5.2 PÓRTICO ESPACIAL ...................................................................................................................... 36
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 38
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 40
TÓPICO 3 – O CONCEITO DE TENSÃO........................................................................................... 49
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 49
2 ANÁLISE DE TENSÕES DE ESTRUTURAS .................................................................................. 49
3 ESFORÇOS SOLICITANTES ............................................................................................................ 53
4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES .................................... 56
5 RESUMO DO PROCEDIMENTO DE ANÁLISE ........................................................................... 63
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 65
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 67
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 68
UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS .................................................. 75
TÓPICO 1 – ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ..................................................................................... 77
suMárIo
VIII
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 77
2 ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS: ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS ............. 77
2.1 DIAGRAMA DOS ESFORÇOS SOLICITANTES ........................................................................ 78
2.2 GRÁFICOS DE ESFORÇOS SOLICITANTES .............................................................................. 82
3 ANÁLISE DE TRELIÇAS ................................................................................................................... 88
3.1 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE DAS TRELIÇAS ................................................................ 90
4 MÉTODO DOS NÓS ........................................................................................................................... 90
5 MÉTODO DE CREMONA .................................................................................................................. 94
6 MÉTODO DE RITTER OU MÉTODO DAS SEÇÕES .................................................................. 99
6.1 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE .................................................................................................. 99
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................103
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................104
TÓPICO 2 – VIGAS ISOSTÁTICAS .................................................................................................115
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................115
2 MÉTODO DIRETO ............................................................................................................................115
2.1 VIGAS SIMPLES: MÉTODO DIRETO PARA DIAGRAMAS ..................................................115
2.2 VIGAS GERBER .............................................................................................................................121
2.2.1 Procedimento de análise .....................................................................................................121
2.3 VIGAS INCLINADAS ...................................................................................................................124
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................132
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................133
TÓPICO 3 – PÓRTICOS .......................................................................................................................137
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................137
2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ........................................................................................................137
2.1 PÓRTICOS SIMPLES .....................................................................................................................138
2.2 PÓRTICO COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE .......................................................................140
2.3 PÓRTICOS COMPOSTOS ............................................................................................................142
3 CABOS ..................................................................................................................................................147
3.1 REAÇÕES DE APOIO PARA CABOS ........................................................................................149
5 ARCOS ..................................................................................................................................................153
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................157
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................159
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................160
UNIDADE 3 – ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ........................................................................167
TÓPICO 1 – MÉTODO DAS FORÇAS..............................................................................................169
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................169
2 MÉTODODAS FORÇAS ..................................................................................................................170
2.1 HIPERESTÁTICOS E SISTEMAS PRINCIPAIS .........................................................................171
2.2 RESTABELECIMENTO DA COMPATIBILIDADE ...................................................................173
3 MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DOS TERMOS DE CARGA ..................................178
3.1 ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL .......................................................................................179
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................193
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................194
TÓPICO 2 – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ ..................197
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................197
2 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................................197
2.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO .........................................................................................................198
IX
2.1.1 Viga engastada-apoiada ......................................................................................................199
2.1.2 Viga biengastada ...................................................................................................................201
2.1.3 Viga contínua.........................................................................................................................205
2.1.4 Treliças – barra de material homogêneo e seção transversal constante
 submetida à carga axial .......................................................................................................210
2.1.5 Treliças – barra composta de duas hastes de materiais, comprimentos e seções 
diferentes submetidas a carregamento axial .....................................................................211
2.2 RESUMO DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PARA ESTRUTURAS
 RETICULADAS DIVIDIDAS EM ELEMENTOS ......................................................................215
2.3 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ ......................................................................................216
2.4 ELEMENTO DE TRELIÇA PLANA ............................................................................................220
2.5 ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO ...........................................................................................222
2.6 REGRA DA CORRESPONDÊNCIA ...........................................................................................228
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................234
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................235
TÓPICO 3 – MÉTODO DE CROSS....................................................................................................237
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................237
2 PROCESSO DE CROSS .....................................................................................................................237
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................244
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................245
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................246
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................249
X
1
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO À ANÁLISE
DE ESTRUTURAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender como as forças agem em uma estrutura;
• utilizar programas básicos de resolução de análise estrutural;
• avaliar uma estrutura de qualquer grau de estaticidade;
• realizar a análise de diferentes configurações estruturais possíveis de 
serem utilizadas;
• avaliar o resultado obtido em programas computacionais de análise 
estruturais; 
• escolher entre os métodos existentes de análise de acordo com a estrutura 
ser avaliada.
Esta unidade está dividia em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
TÓPICO 2 – ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
TÓPICO 3 – O CONCEITO DE TENSÃO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
1 INTRODUÇÃO
A estabilidade de uma edificação se dá devido a um projeto estrutural 
bem elaborado, em que são apresentadas todas as partes resistentes de maneira 
otimizada para as cargas consideradas.
 
Ao elaborar os projetos são realizadas algumas simplificações para ser 
possível a verificação e análise do comportamento da estrutura, definindo o 
modelo estrutural e, assim, poder encontrar um modelo que melhor se adéqua à 
situação em estudo. Para isso, alguns fatores devem ser levados em consideração:
• projeto arquitetônico;
• aspectos funcionais (dimensões, iluminação, limitação do espaço);
• aspectos estéticos;
• carregamentos atuantes (permanentes ou acidentais);
• condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura;
• material estrutural a ser utilizado.
Dessa forma, essa disciplina tem como objetivo proporcionar aos alunos o 
conhecimento teórico necessário para dimensionar e analisar a concepção estrutural 
adotada em projeto. Nessa disciplina serão abordados os conceitos fundamentais, 
necessários para desenvolver a análise dos esforços e dos deslocamentos sofridos pela 
estrutura com o carregamento previsto. Portanto, esse livro didático busca apresentar 
estes conceitos de maneira prática e sistemática, apresentando um passo a passo. 
Para efetuar a análise serão apresentados os métodos mais conhecidos 
para a execução de estruturas hiperestáticas e isostáticas, dentre elas encontra-se 
o método cremona, o método das seções, método do deslocamento e método das 
forças, todos sendo detalhados no decorrer deste livro. Vale ressaltar que você, 
acadêmico, deve ter o conhecimento básico de resistências dos materiais para 
facilitar o entendimento da disciplina. Além disso, todos os cálculos apresentados 
nesse documento levam em consideração a teoria de Euller-Bernoulli. 
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
4
Ressaltamos que todas as autoatividades propostas podem ser resolvidas 
através do uso do software FTOOL, desenvolvido pela PUC-RIO, podendo ser encontrado 
para download acessando o link: http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftool/.
ATENCAO
2 NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
Para efetuar a análise de estruturas é necessário ter o conceito de força 
bem assimilado. A força é definida pelo 3º Princípio da Mecânica Clássica: “em 
cada instante, a ação mecânica de um corpo sobre um ponto material pode ser 
representada por um vetor aplicada no ponto”. Desta forma, é possível afirmar 
que a força aplicada sobre um ponto em um corpo rígido pode ser representada 
por vetores aplicados em pontos sólidos.
Esta ação entre sólidos pode se manifestar a distância ou por contato direto 
entre os corpos, podendo ser citado como exemplo a força gravitacional (ação de 
forças de volume) e a força que o asfalto exerce nas rodas do carro (ação por contato).
Se a superfície sobre a qual a força está sendo aplicada é muito pequena, 
pode-se considerá-la reduzidaa um ponto, considerando assim a força 
concentrada; já quando esta superfície de contato é muito estreita, admite-se que 
ela seja uma linha, podendo assim considerar a força linearmente distribuída.
A consideração do ponto de aplicação da força é de extrema importância 
para a análise da ação entre sólidos, pois ao aplicar uma força de mesma intensidade 
em diferentes pontos de um mesmo sólido, produz efeitos totalmente distintos.
Matematicamente, as forças interativas são representadas por um par 
constituído por um vetor e um ponto. Uma força concentrada F

 aplicada a um ponto 
P é matematicamente representada por (P, F

), ou seja, pelo vetor aplicado (P, F

).
Outra definição importante é a linha de ação da força F

 quando é aplicada 
a um ponto P. Esta força age no ponto P, tendo uma linha de ação paralela à força 
F

nele aplicada, conforme pode ser visto na Figura 1.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
5
FIGURA 1 – LINHA DE AÇÃO DA FORÇA APLICADA EM UM PONTO
FONTE: Neto (1996, p. 2)
F
P
Lin
ha 
de 
açã
o (
P, F
)
O momento de ação de uma força (P, F

) em relação a um ponto O é um 
vetor passando por O e definido matematicamente por 0 0M P F= Λ
 

, e apresenta 
como característica as seguintes propriedades: 
• Direção: perpendicular ao plano determinado pela linha de ação da força e 
pelo ponto O; 
• Sentido: determinado pela regra da mão direita;
• Módulo ou intensidade: || . | || || si| | n| ||OM OP F α=
 

Para simplificar o entendimento, sempre será desenhado OM

 com origem 
no ponto O a ser analisado e, para não haver confusão entre força e momento, 
o vetor de momento é representado por setas duplas. Todas as propriedades 
citadas estão demonstradas na Figura 2.
FIGURA 2 – AÇÃO DE UMA FORÇA F EM UM PONTO O.
FONTE: Neto (1996, p. 2)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
6
De acordo com a Figura 2 é possível afirmar que sinOP α

 é igual a d 
(Figura 3a e b), ou seja, a distância do ponto O à linha de ação de força (P, F

) e, 
desta maneira, então é possível escrever a equação de momento sendo .=


OM F d 
e, para esta distância d se dá o nome de braço de momento (ou braço de alavanca).
FIGURA 3 – DETERMINAÇÃO DO BRAÇO DE ALAVANCA QUE COMPÕE O MOMENTO
DE (P, F

) EM RELAÇÃO A O
FONTE: <https://docplayer.net/docview/81/83229432/#file=/storage/81/83229432/83229432.
pdf>. Acesso em: 23 maio 2019.
a) b)
É possível observar que o momento de uma força em relação a um ponto 
possui a dimensão do produto de uma força por uma distância, sendo mensuradas 
em N.n, kgf.cm, tf.m, entre outras combinações possíveis.
Agora já é possível descobrir a intensidade do momento de força aplicado 
ao ponto estudado, mas para descrever exatamente os efeitos desse momento se 
faz necessário ainda descrever seu sentido e direção, para isso será explicada a 
seguir a regra da mão direita.
2.1 REGRA DA MÃO DIREITA
Sabe-se que o momento OM

 tem a direção da reta “r” (mostrada na 
Figura 4), passando por O e perpendicular ao plano definido pela linha de ação 
de (P, F

) e pelo ponto O (plano p).
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
7
FIGURA 4 – APLICAÇÃO DA REGRADA MÃO DIREITA
FONTE: Neto (1996, p. 3)
O sentido de momento F

 é determinado da seguinte maneira:
• No plano que contém a linha de ação de (P, F

) e é perpendicular a π, coloque a 
mão direita com a palma voltada para a reta “r” e com os dedos no sentido de F

.
• Deixe o polegar perpendicular aos demais dedos.
• O sentido de OM

 é então apontado pelo polegar da mão direita (ver Figura 4).
A equação .=


OM F d apresenta que a intensidade do momento de uma 
força (P, F

) em relação a um ponto O é o produto de duas grandezas, sendo a 
intensidade da força atuante e a distância entre a sua linha de ação e o ponto 
aplicado. Portanto, desta equação é possível obter as seguintes propriedades:
 0 0 0= = =


OM para F ou d
Essa propriedade trata que o momento é nulo em relação ao ponto de análise 
(no caso, ponto O) se, e somente se, a força F

 é nula, ou então se a distância entre 
o ponto O e a linha de ação for igual a 0, ou seja, a sua linha de ação passa pelo 
ponto O (Figura 5).
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
8
FIGURA 5 – LINHA DE AÇÃO DA FORÇA PASSANDO PELO PONTO O
FONTE: <https://docplayer.net/docview/81/83229432/#file=/storage/81/83229432/83229432.pdf>. 
Acesso em: 23 maio 2019.
1- Se (P, F

) e (Q, F

) têm a mesma linha de ação, então seus momentos em relação 
a um mesmo ponto são iguais.
Dado um sistema de forças ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3P, , P, , P, , , P, nS F F F F= …    tem-
se que:
• A resultante S é a soma vetorial das forças que o compõe, essa resultante é 
indicada por R

, sendo calculado por:
1
n
i
i
R F
=
=∑


• O momento de S em relação a um ponto O é a soma vetorial dos momentos 
de cada uma das forças do sistema em relação a esse ponto. Dessa maneira, o 
momento de S em relação à O é indicado por:
M0 = Σ0P Λ F,
• Um binário é um sistema formado por duas forças que apresentam mesma 
intensidade e direção, porém com sentidos opostos e com diferentes linhas de 
ação, conforme mostrado na Figura 6.
n=1
n
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
9
FIGURA 6 – DEMONSTRAÇÃO DE UM SISTEMA BINÁRIO DE FORÇAS
FONTE: Neto (1996, p. 5)
• O momento de um binário é o mesmo, independentemente qual seja o ponto 
de análise, essa afirmação pode ser comprovada facilmente de maneira 
matemática (fica como dica para fixação dessa propriedade o desenvolvimento 
matemático).
• Como o momento de um binário em relação a um ponto independente, ele será 
simplesmente chamado de momento de binário e identificado por M

.
• Já que o momento de um binário independe do polo, qualquer ponto pode ser 
utilizado em sua determinação. Adotar os pontos P e Q conhecidos (Figura 6) facilita 
a obtenção de M

, já que em relação a eles, uma das forças do binário será nula. 
Da mesma maneira que o momento de uma força aplicada a um ponto, 
o momento de um binário apresenta características de intensidade, direção 
e sentido. Sendo que o método utilizado para determinar a direção e sentido 
do momento do binário é exatamente igual ao aplicado anteriormente para 
encontrar o momento da força em um ponto. A única diferença se dá no cálculo 
da intensidade, determinado por:
.=
 
M F b
Em que b é a distância entre as linhas de ação entre as duas forças (braço 
de alavanca de um binário). 
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
10
FIGURA 7 – SISTEMA DE MOMENTO DE UM BINÁRIO
FONTE: Neto (1996, p. 6)
Portanto, como visto anteriormente, a intensidade do momento do 
binário é o produto da intensidade de uma das forças que constituem o binário 
pelo braço de alavanca.
2.2 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS EM UM PONTO 
A Redução de um sistema de forças ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3P, , P, , P, , , P, nS F F F F= …
   
 
em um ponto A consiste em aplicar neste ponto dois vetores: R

 e AM

. Nota-se que 
R

 é a resultante do sistema de forças S e este componente independe do ponto 
de redução.
A redução de um mesmo sistema de forças S em dois pontos distintos A e B 
pode ainda levar aos momentos AM

 e BM

, tendo sua relação descrita pela fórmula:
MB = MA + BA Λ R
Essa fórmula mostra que o momento BM

 é a soma vetorial de AM

 com o 
momento que a resultante R

 aplicada em A tem em relação a B, ou seja, quando 
se reduz em B um problema previamente reduzido em A, consistem em aplicar 
em B uma força ( R

) e dois momentos ( AM

) e o momento de (A, R

).
 
Após o exposto acima, deve-se ressaltar outra propriedade dos vetores, 
quando a resultante R

 de um sistema de forças é nula, então o momento BM

 
independe da posição do ponto B de redução, e a recíproca dessa situação também 
se faz verdadeira,ou seja, sendo o momento BM

 independe do ponto B de redução 
(para qualquer ponto B), então a resultante R

 é nula. Essa afirmação pode ser 
mostrada matematicamente da seguinte maneira: 0= ⇔


BR M .
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
11
Outra propriedade importante e que deve ser lembrada é que, se a resultante 
R

 de um sistema de forças for nula, e seu momento em relação a um ponto A 
também é nulo, então a redução desse sistema para qualquer outro ponto B resulta 
em um momento BM

 nulo. Portanto: 0 0 0, A BR e M M B= = ⇔ = ∀
  
 
.
2.3 SISTEMAS MECANICAMENTE EQUIVALENTES 
É possível afirmar que dois sistemas de forças (S e S’) são equivalentes 
quando suas reduções em um mesmo ponto genérico A levam aos mesmos 
esforços solicitantes. Ou seja, um ponto de redução qualquer, sempre a redução de 
dois sistemas de esforços mecânicos equivalentes em um mesmo ponto resultará 
nos mesmos esforços, qualquer seja o ponto de redução considerado. 
Inicialmente deve-se definir melhor o conceito de equivalente. É 
considerado sistema equivalente quando dois sistemas de esforços aplicados em 
um mesmo corpo rígido o levam a apresentar o mesmo movimento.
Como um exemplo, é possível considerar uma mesma barra rígida, 
homogênea e submetida a dois sistemas de esforços distintos, porém 
mecanicamente equivalentes. Imediatamente constata-se que os dois sistemas de 
forças da Figura 8 são equivalentes mecanicamente. Para realizar essa conferência, 
reduz-se os sistemas em um mesmo ponto qualquer.
Nesse caso será reduzido ao centro de massa da barra e, nos dois casos, será 
obtido que 2 0 R P j e M= =
 
 
; portanto o sólido passará a ter o mesmo movimento 
ao ser aplicado os esforços, desde que esse sólido apresente as mesmas condições 
no instante de aplicação da carga.
FIGURA 8 – EXEMPLOS DE SISTEMAS DE ESFORÇOS EQUIVALENTES
FONTE: Neto (1996, p. 9)
a)
b)
Sabe-se que após o sistema de esforços ser reduzido a um ponto, essa 
redução faz surgir uma força e um momento mecanicamente equivalente a esse 
sistema no ponto selecionado, como é apresentado no exemplo a seguir.
Exemplo 1: considerando a barra da Figura 9a, em que são aplicadas duas 
forças coplanares estabelecendo um sistema de esforços SI. Se reduzirmos esses 
esforços no ponto A as resultantes dessa redução são apresentadas na Figura 9b, 
formando um sistema de esforços SII.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
12
20 50 30R i i i= − = −

  
20.2 50.4 160AM k k k= − + =
   
FIGURA 9 – EXEMPLO DE REDUÇÃO DE ESFORÇOS PARA SISTEMAS
MECANICAMENTE EQUIVALENTES
FONTE: Neto (1996, p. 11)
a) b)
c)
Porém, caso a redução de SI ocorra no ponto B, leva a uma resultante de 
força 30= −

R i e momento dado por 20.4 50.2 20= − = −

  
BM k k k e, a redução 
do sistema SII no ponto B resulta em uma força 30= −

R i e ao momento dado por 
30.6 160 20= − + = −

  
BM k k k , comprovando que os sistemas SI e SII são sistemas 
equivalentes.
Deve-se ressaltar que essa equivalência de sistemas de forças só poderá ser 
considerada quando os esforços são aplicados em corpos rígidos e sob as mesmas 
condições iniciais. Portanto, é de extrema importância observar que dois sistemas 
de forças equivalentes podem produzir efeitos distintos em sólidos deformáveis, 
como pode ser observado na Figura 10.
A redução de ambos os sistemas de forças no centro de massa (G) leva a 
um valore de 0=

R e 30= −

R i . Porém se as barras se encontram em repouso no 
instante da solicitação dos esforços, elas irão se deformar, uma vez que se trata 
de elementos deformáveis e permanecerão com sua configuração deformada, em 
repouso, desde que seja mantida a configuração de carregamento nela aplicada.
Na Figura 10 são apresentados dois sistemas de aplicação de cargas 
equivalentes, porém com diferentes configurações (Figuras 10a e 10c) e 
suas respectivas deformações (Figuras 10b e 10d). É possível perceber que a 
concavidade da deformada dos casos apresentados são totalmente diferentes, 
mesmo os esforços sendo mecanicamente equivalentes.
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
13
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO DA DIFERENÇA DE DEFORMAÇÃO SOFRIDA NA ESTRUTURA
DE DOIS SISTEMAS DE CARREGAMENTO EQUIVALENTE
FONTE: O autor
a)
c) d)
b)
Portanto, como apresentado no exemplo da Figura 10, é mostrado 
claramente que dois sistemas de forças equivalentes só produzem os mesmos 
efeitos na estrutura quando ela for composta por um mesmo sólido rígido, sendo 
completamente distintos quando se tratar de um sólido deformável. 
Esse conceito de redução de sistema de esforços deve estar bem esclarecido 
para facilitar o processo de análise das estruturas.
NOTA
Deve-se ressaltar ainda que toda análise realizada abrangerá apenas 
forças coplanares, ou seja, que estejam atuando no mesmo plano de forças, 
sendo assim, possível a redução de seu sistema. Para a realização da redução 
do sistema serão apresentados dois métodos possíveis de serem utilizados: o 
método direto e o indireto.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
14
2.3.1 Método direto
Esse processo consiste na redução do sistema de forças em um ponto 
qualquer (Q) da barra e na determinação de qual deve ser a posição desse ponto 
para realizar o cálculo do momento de redução para que os esforços se anulem, 
conforme é mostrado na Figura 11.
O momento de redução é
( ). .QM P x P l x= − −
Em que o valor encontrado para x é a posição que resulta em um 
momento nulo do sistema, ou seja, encontrando o equilíbrio entre o sistema 
original e o sistema reduzido. 
FIGURA 11 – EXEMPLO DE REDUÇÃO DE SISTEMAS FORÇAS COPLANARES,
CONFIGURAÇÃO ORIGINAL (A) E CONFIGURAÇÃO REDUZIDA (B)
a) b)
FONTE: Neto (1996, p. 18)
Como se busca um valor de x para que o sistema entre em equilíbrio, tem-
se então:
( ). . 0QM P x P l x= − − =
2 . . 0P x P l− =
2
lx =
2.3.2 Método indireto
Esse método de solução se baseia no fato de que o sistema original e o 
reduzido sejam mecanicamente equivalentes, possibilitando que a determinação 
do ponto de redução procurada seja feita indiretamente, de modo a responder à 
pergunta que se faz: Qual deve ser o valor da posição x do ponto Q em que os dois 
sistemas se tornam equivalentes mecanicamente?
TÓPICO 1 | CONCEITOS FUNDAMENTAIS EM ANÁLISE ESTRUTURAL
15
Por exemplo, reduzindo os sistemas apresentados na Figura 12 no ponto 
A, e impondo que os dois momentos sejam iguais, então é possível obter a posição 
do ponto Q de aplicação da força.
FIGURA 12 – REDUÇÃO DOS SISTEMAS APRESENTADOS NO PONTO A
FONTE: Neto (1996, p. 20)
. 2. .AM P l P x= − = −
2
lx =
É possível observar que os resultados encontrados pelo método direto e 
indireto resultam nos mesmos valores. A maior diferença entre os métodos é que 
pelo método indireto se tem maior liberdade da escolha do ponto de redução para 
comparar com o sistema original.
2.4 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
Exemplo: para o sistema mostrado na sequência, aplicar uma única carga 
equivalente ao sistema.
FIGURA 13 – EXEMPLO DE SISTEMA
FONTE: O autor
Reduzindo esse sistema em relação ao ponto A, encontra-se:
 30.2 40.3 180 .AM kN m=− − =−
O esforço resultante do sistema acima é:
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
16
FIGURA 14 – RESULTANTE DO SISTEMA
FONTE: O autor
Com a redução desse sistema no ponto A obtém-se 90.AM x= − .
Sabendo que para comprovar a equivalência dos sistemas utilizados, esses 
dois momentos encontrados são iguais. Portanto:
 180 . 90.AM kN m x=− =−
180 2 
90
x m−= =
−
Portanto:
FIGURA 15 – RESULTADO DO SISTEMA
FONTE: O autor
=
17
Neste tópico, você aprendeu que:
• Toda força aplicada em um ponto possui módulo, direção e sentido.
• Toda força aplicada em um plano irá gerar um binário em outro ponto qualquer 
diferente do qual a força é aplicada.
• O momento gerado por uma força é igual ao produto da sua intensidade e a 
distânciada força ao ponto analisado.
• O sentido do momento gerado obedece a regra da mão direita.
• Todo carregamento apresentado por uma estrutura pode ser reescrito em uma 
forma mais simplificada, formando um sistema equivalente.
• Ao montar um sistema equivalente de esforços, são facilitados o entendimento 
e a análise da estrutura.
RESUMO DO TÓPICO 1
18
1 Determinar a posição da força resultante para que o sistema reduzido seja 
mecanicamente equivalente ao sistema original:
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
a)
b)
c)
c)
c)
AUTOATIVIDADE
19
2 Substitua o sistema de forças que atua sobre a viga por uma força e um 
momento equivalente no ponto B.
3 Substitua as três forças atuantes no cano por uma única força resultante. 
Especifique onde a força atua, utilizando a extremidade B como referência.
4 Substitua as cargas por uma força equivalente e especifique a sua localização 
sobre a viga, a qual deve ser medida a partir do ponto B.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 149)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 149)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 159)
20
5 Substitua o carregamento distribuído por uma força equivalente resultante, 
especifique sua localização medida a partir do ponto A.
6 Substitua as cargas por uma força resultante e momento equivalente atuantes 
no ponto O.
7 O concreto molhado exerce uma pressão distribuída ao longo das paredes 
da fôrma. Determine a força resultante dessa distribuição e especifique a 
altura h em que a escora deve ser colocada para que se posicione na linha de 
ação da força resultante. O muro possui espessura de 5 m.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 159)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 160)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 160)
21
TÓPICO 2
ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
A estática dos sistemas materiais planos estuda o equilíbrio das estruturas 
contidas no mesmo plano que as forças que atuam no sistema, através das 
equações de equilíbrio apresentadas adiante, no Quadro 1. 
Porém, uma exata análise da estrutura nunca poderá ser realizada, 
devido à estimativa de carregamento e das resistências dos materiais utilizados 
na estrutura. Outro fator que aumenta a imprecisão das análises é o ponto de 
aplicação dos carregamentos utilizados.
Portanto, neste tópico, serão abordados todos os mecanismos que 
envolvem o equilíbrio da estrutura, seus conceitos, classificação da estrutura 
quanto a seu grau de estaticidade para, então, iniciar os cálculos de análise.
2 EQUILÍBRIO
Um sistema estrutural se encontra em equilíbrio quando ele estiver em 
repouso em relação a um ponto de referência, ou seja, se qualquer ponto contido 
em seu sistema não varia de posição em relação a esse referencial adotado. 
Dessa forma, pode-se afirmar que para o corpo se encontrar em equilíbrio, 
a resultante das forças atuantes no corpo é nula, assim como o momento resultante 
dessas forças no ponto de análise também é nulo. 
A teoria da análise estrutural é baseada no princípio da superposição, o 
qual trata que: O deslocamento total ou cargas internas em um ponto de uma 
estrutura sujeita a várias cargas externas podem ser determinadas pela soma dos 
deslocamentos ou cargas internas causadas por cada uma das cargas externas 
atuantes separadamente.
Porém essa declaração só é válida para:
• Material com comportamento elástico-linear, ou seja, obedece à Lei de Hooke 
e, dessa maneira, a carga será proporcional ao deslocamento.
• A geometria da estrutura não pode passar por mudança significativa quando 
as cargas são aplicadas, ou seja, não pode haver grandes deslocamentos da 
estrutura de forma a mudar a orientação e posição das cargas.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
22
Portanto, através do exposto, para um ser possível afirmar que um corpo 
está em equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas:
QUADRO 1 – CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO
No plano No espaço
ΣFx=0
ΣFy=0
ΣMx=0
ΣMy=0
ΣFx=0
ΣFy=0
ΣFZ=0
ΣMx=0
ΣMy=0
ΣMz=0
FONTE: O autor
No Quadro 1, as componentes F representam as somas das forças em cada 
eixo (x,y e z) e M é o momento causado pelo carregamento, também podendo 
ocorrer nos três eixos (x, y e z).
Toda vez que essas equações são aplicadas, se faz necessário traçar o 
diagrama de corpo livre do sistema, o qual será abordado nos subtópicos a seguir.
2.1 REVISÃO
Equilíbrio: quando todas as forças que atuam sobre o ponto material 
têm força resultante nula, podendo este corpo estar em repouso ou se movendo 
com velocidade constante. Para realizar essa análise se faz necessário o estudo 
do diagrama de corpo livre, que nada mais é que o contorno da forma do ponto 
material, mostrando todas as forças com suas intensidades e sentidos conhecidos 
e desconhecidos.
Duas dimensões: em duas dimensões, basta realizar o somatório das 
forças nos dois eixos em que se encontra o corpo rígido e igualando-as a zero. Se 
o resultado obtido for negativo, então a força desconhecida possui sentido oposto 
àquela mostrada no diagrama de corpo livre.
Três dimensões: por ser um pouco mais difícil de visualizar, em sistemas 
espaciais (tridimensionais) a equação de equilíbrio pode ser aplicada utilizando 
a análise vetorial cartesiana, o que requer primeiro expressar cada força no 
diagrama de corpo livre e então soma-se as forças de cada componente vetorial 
(j, j, k). Quando somados e igualados a zero, esses componentes também devem 
ser nulos, de modo que o somatório das forças em cada eixo seja igual a zero.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
23
2.2 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
Os problemas de equilíbrio de forças, sejam eles no plano, são resolvidos 
usando o seguinte procedimento:
1- Diagrama de corpo livre:
• Definir os eixos x, y e z.
• Identificar todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das 
forças no diagrama.
• O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é suposto.
2- Equações de equilíbrio:
• Usar as equações escalares de equilíbrio ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Fz =0 nos casos em 
que seja fácil decompor cada força em seus componentes x, y, z.
• Se a geometria tridimensional parecer difícil, primeiro expressar cada força 
como vetores cartesianos e depois substituir pelos vetores na equação de ∑F=0, 
igualando a zero os componentes i,j,k.
• Se a solução der resultado negativo, isso indica que o sentido da força é oposto 
ao mostrado no diagrama de corpo livre.
3 APOIOS 
Todos os esforços atuantes em um sistema podem ser classificados em 
esforços externos ativos e reativos, ou seja, as ações atuantes (peso próprio dos 
elementos, pressão de vento, cargas de uso da edificação etc.)
Portanto, os esforços ativos são todas as cargas que a estrutura das 
construções deve suportar, caso contrário, a estrutura perde seu funcionamento 
e não justifica o seu uso.
Já os esforços reativos são os esforços provindos dos apoios de ligação 
entre os sistemas da estrutura, criando vinculação entre eles e impedindo alguns 
movimentos da estrutura, de acordo com seu grau de rigidez.
Os principais tipos de apoios considerados nas análises estruturais, suas 
representações e restrições impostas aos movimentos estão apresentados na 
Quadro 2, sendo considerado o eixo de referência apresentado na Figura 16.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
24
FIGURA 16 – COORDENADAS DE REFERÊNCIAS CARTESIANAS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 3)
QUADRO 2 – RESUMO DOS TIPOS DE APOIOS UTILIZADOS NAS ANÁLISES DE ESTRUTURAS
Tipo de Apoio Representação Reações (impedimento do movimento) Plano
Apoio Simples ou de primeiro 
gênero Rx=0; Mz=0; Ry ≠ 0 X-Y
Articulação, rótula ou apoio do 
segundo gênero Rx ≠ 0; Mz=0; Ry ≠ 0 X-Y
Engaste Rx ≠ 0; Mz≠0; Ry ≠ 0 X-Y
FONTE: O autor
As restrições impostas pelos apoios ao movimento da estrutura recebem 
o nome de vínculo, e o número de reações impostas pelos vínculos nos pontos 
vinculados é igual à quantidade de movimentos que são impedidos pelo apoio.
Uma vez conhecendo as diferentes maneirasque as ligações das estruturas 
podem ser idealizadas, serão apresentadas então algumas técnicas para elaborar a análise.
IMPORTANT
E
Inicialmente, quando as equações são aplicadas, se faz necessário traçar 
o diagrama de corpo livre da estrutura e seus elementos. Dessa forma, se um 
membro é escolhido para a análise, ele deve ser isolado dos suportes e adjacências, 
assim pode-se descobrir os valores das reações de apoio do sistema.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
25
O primeiro passo para iniciar a análise é estabelecer a determinação e 
estabilidade da estrutura, em outras palavras, definir o grau de estaticidade do 
sistema. Define-se determinação da estrutura sendo a condição que as equações 
de equilíbrio fornecem para a estrutura analisada. Ou seja, quando todas as 
forças podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio, a estrutura é 
conhecida como estaticamente denominada.
Quando esse fato não é permitido, ou seja, há mais forças desconhecidas 
do que equações de equilíbrio, a estrutura é chamada de estaticamente 
indeterminada.
Para facilitar o entendimento, é possível definir a estrutura como:
r = 3n, estaticamente determinada
r > 3n, estaticamente indeterminada
Em que: 
• r = número de componentes de reação;
• n = número de partes seletiva dos membros através do diagrama de corpo livre.
Em particular, em estruturas estaticamente indeterminadas, as equações 
adicionais necessárias para selecionar os sistemas de equações encontrados 
são obtidas relacionando as cargas aplicadas e reações aos deslocamentos das 
estruturas. A quantidade de equações que serão necessárias obter está relacionada 
diretamente com o grau de estaticidade (por grau de indeterminação) da estrutura. 
Nesse aspecto, a estrutura pode ser classificada como:
• ISOSTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas é 
igual ao número de equações de equilíbrio do sistema.
• HIPERESTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas 
é superior ao número de equações de equilíbrio do sistema.
• HIPOSTÁTICA: quando a estrutura é restringida e o número de incógnitas é 
inferior ao número de equações de equilíbrio do sistema.
Uma das formas de calcular o grau de estaticidade da estrutura é através 
da seguinte fórmula: 
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
Em que: 
• gh = grau de estaticidade ou hiperestaticidade
• C1 = número de vínculos da 1ª classe
• C2 = número de vínculos da 2ª classe
• C3 = número de vínculos da 3ª classe
• m = número de hastes presentes na estrutura
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
26
Através da fórmula apresentada é possível afirmar que quando gh=0, se 
trata de uma estrutura ISOSTÁTICA; para gh<0, uma estrutura HIPOSTÁTICA; 
e quando gh>0 trata-se de uma estrutura HIPERESTÁTICA, com seu grau de 
hiperestaticidade igual ao valor encontrado na equação. Alguns exemplos do 
cálculo do grau de hiperestaticidade serão apresentados a seguir:
Exemplos:
QUADRO 3 – ESTRUTURAS PLANAS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 10)
Quantidade de 
apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 1 + 2.(1) + 3.(0) – 3.(1)
gh = 1 + 2 – 3
gh = 0
Estrutura Isostática
Quantidade de 
apoios
C3=1
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 0 + 2.(0) + 3.(1) – 3.(1)
gh = 0
Estrutura Isostática
Quantidade de 
apoios
C1=2
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(0) + 3.(0) – 3.(1)
gh = –1
Estrutura Hipostática
Quantidade de 
apoios
C1=2; C2=1
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(1) + 3.(0) – 3.(1)
gh = 1
Estrutura Hiperestática
Existem situações em que há a presença de articulação ou uma rótula, 
neles a rótula representa mais uma restrição, no caso interna, para esses casos é 
considerado o tipo de ligação e o número de barras conectadas -1.
Exemplo: 
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
27
QUADRO 4 - ARTICULAÇÃO OU RÓTULA
A rótula é uma conexão do 
tipo C2 e, nesse caso, ligados 
por 2 barras.
Quantidade de 
apoios
C1=2; C2=1
Número de 
barras
m=2
Ligações internas
C2 = 2-1 = 1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(2) + 3.(0) – 3.(2)
gh = 0
 
Estrutura Isostática
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 11)
Além da rótula, ainda é possível encontrar restrições internas como 
Tirantes e Ligações engastadas, conforme representado a seguir.
QUADRO 5 – LIGAÇÕES INTERNAS
Tirantes (C1)
Articulação ou
Rótula (C2)
Ligação engastada
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 12)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
28
Exemplos:
QUADRO 6 – PÓRTICOS E ARCOS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 12-13)
Quantidade de apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=3
Ligações internas
C3= 2-1 = 1
C2 = 2-1 = 1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 1 + 2.(2) + 3.(1) – 3.(3)
gh = 1 + 4 + 3 – 9
gh = –1
Estrutura Hipostática
Quantidade de apoios
C3=1; C2=1
Número de barras
m=1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 0 + 2.(1) + 3.(1) – 3.(1)
gh = 0 + 2 + 3 – 3
gh = 2
Estrutura Hiperestática
Quantidade de apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=2
Ligações internas
C1= 2-1 = 1
C2 = 2-1 = 1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(2) + 3.(0) – 3.(2)
gh = 2 + 4 + 3 – 6
gh = 0
Estrutura Isostática
Quantidade de apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=4
Ligações internas
C3= 2-1 = 1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 1 + 2.(1) + 3.(4) – 3.(4)
gh = 1 + 2 + 12 – 12
gh = 3
Estrutura Hiperestática
Quantidade de apoios
C1=1; C2=1
Número de barras
m=3
Ligações internas
C1= 2-1 = 1
C2 = 2-1 = 1
C3= 2-1 =1
gh = C1 + 2.C2 + 3.C3 – 3.m
gh = 2 + 2.(2) + 3.(1) – 3.(3)
gh = 2 + 4 + 3 – 9
gh = 0
Estrutura Isostática
4 DETERMINAÇÃO DAS REAÇÕES DE APOIO 
Uma vez que é conhecido o sistema a ser analisado e suas equações 
(baseadas nas equações de equilíbrio já comentado anteriormente), então é 
possível realizar os cálculos para encontrar as forças de reações nos apoios devido 
à aplicação de carga, conforme exemplos a seguir.
Deve-se ressaltar que os somatórios de forças devem ocorrer no mesmo 
plano, sendo relacionados aos eixos dos planos, portanto um esforço inclinado 
deverá ser reduzido em duas componentes que o formaram.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
29
4.1 ESTRUTURA APORTICADA
FIGURA 17 – EXEMPLO DE ESTRUTURA APORTICADA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 16)
Primeiramente é necessário encontrar os esforços nas direções x e y. Para 
isso, o primeiro passo é decompor o esforço de 10 kN.
FIGURA 18 – ESTRUTURA APORTICADA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 16)
Uma vez encontrado o valor de cada componente, aplica-se as equações 
de equilíbrio da estrutura no plano:
I- ∑Fx=0
 
HA + 6kN = 0 . . HA = –6kN
II- ∑Fy=0
VA + VB – 8kN – (10.3) = . . VA + Vb = 38kN
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
30
III- ∑MA=0
7.VB – (30.5,5) – (6.1,5) = 0 . . 7.VB = 190kN . . VB = 27,14kN
Como VA + VB = 38 kN e VB = 27,14 kN, temos que VA = 38 -27,14 = 10,86 kN. 
A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório 
de momentos em relação ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa 
necessariamente ser igual a zero.
4.2 PÓRTICO ISOSTÁTICO
FIGURA 19 – PÓRTICO ISOSTÁTICO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar Pillar (2013, p. 17)
I- ∑Fx=0
–HA + 40kN = 0 . . HA = 40kN
II- ∑Fy=0 
VA + VB = 60kN
III- ∑MA=0
8.VB + 80 – (40.6) – (60.4) = 0 . . 8VB = 400kN . . VB = 50kN
Como VA + VB = 60 kN e VB = 50 kN, temos que VA = 60 -50 = 10 kN. A verificação 
dos valores encontrados pode ser feita através do somatório de momentos em relação 
ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa, necessariamente, ser igual a zero.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
31
4.3 TRELIÇA ISOSTÁTICA
FIGURA 20 – TRELIÇA ISOSTÁTICA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 17)
I- ∑Fx=0
–HB + 12 – 4 = 0 . . HB = 8kN
II- ∑Fy=0 
VA + VB = 14kN
III- ∑MA=0
( ) ( ) ( ) 44.4 8.1,5 12.2 3. 0 3 16 12 24 1,33 
3A A A
V V kN V kN + − − = ∴ = + − ∴ = = 
 
Como VA + VB = 14 kN e VA =1,33 kN, temos que VB = 14 -1,33 = 12,67 
kN. A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório 
de momentos em relação ao ponto B, em que o valor dessa soma precisa, 
necessariamente, ser igual a zero.
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
32
4.4 PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO
FIGURA 21 – PÓRTICO TRIARTICULADO ISOSTÁTICO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 18)
I- ∑Fx=0
HA + HB + 20 – 12 . . HA + HB = –8kN
II- ∑Fy=0 
 VA + VB – (10.4) = 0 . . VA + VB = 40kN
III- ∑MA=0
4VB–(40.2) + (12.2) – (20.4) = 0 . . 4VB = 80 – 24 + 80 . . VB = 40 – 34 = 6kN
IV- ∑MC=0 
Por se tratar de uma rótula, nesse ponto da estrutura o momento fletor deve 
ser sempre nulo. Portanto é possível continuar a análise da estrutura separando-a 
em duas partes, passando o ponto de divisão pela rótula e escolhendo um dos 
lados para ser analisado, conforme exemplo a seguir.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
33
FIGURA 22 – ANÁLISE DA ESTRUTURA DO PÓRTICO TRIARTICULADO
À ESQUERDA DA RÓTULA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 18)
Mc – (6.2) + (20.1) + (HA.4) = 0
Como MC = 0 temos que 4HA= 12 – 20, logo, HA = -2kN. Se HA + HB = -8kN, 
então HB = -6kN.
A verificação dos valores encontrados pode ser feita através do somatório 
de momentos em relação ao ponto D, em que o valor dessa soma precisa, 
necessariamente, ser igual a zero. 
5 ESTÁTICA DOS SISTEMAS ESPACIAIS 
Os sistemas espaciais são aqueles que não possuem suas partículas e 
todos os esforços solicitantes situados no mesmo plano. Nesse sentido, existem 
dois tipos de sistemas espaciais:
• Quando todas as partículas estão situadas no mesmo plano, porém os esforços 
solicitantes não pertencem a esse plano (Figuras 23a e 23b).
• Quando nem todas as partículas estão situadas em um mesmo plano (Figuras 
23c e 23d).
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
34
FIGURA 23 – SITUAÇÕES POSSÍVEIS DE SISTEMAS ESPACIAIS
FONTE: Neto (1996, p. 55)
Assim como nas estruturas contidas em um único plano, os vínculos que 
podem existir em uma estrutura podem ser de primeiro gênero, segundo gênero 
e engaste. Além desses conhecidos, ainda é necessário destacar a utilização 
de rótulas nos vínculos. As rótulas impedem qualquer movimento do ponto 
analisado, porém possibilita a rotação do sistema pelos eixos que passam pelo 
ponto de análise.
Dito isso, os esforços são encontrados através das equações de equilíbrio 
de um corpo no espaço: ∑Fx =0; ∑Fy =0; ∑Fz =0; Mx =0; ∑My =0; ∑Mz =0.
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
35
5.1 PÓRTICO ESPACIAL
FIGURA 24 – TRELIÇA ESPACIAL
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 22)
Passo 1 – Verificação da estaticidade da estrutura:
r + b = 3n . . 9 + 3 = 3.4 . . 12 = 12
Portanto, trata-se de uma estrutura isostática.
Passo 2 – Cálculo de equilíbrio do nó D:
FIGURA 25 – EQUILÍBRIO DO NÓ
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 22)
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
36
Nesse caso, temos três incógnitas (N1, N2, N3) e três equações (somatório das 
forças em x, y e z). Após conhecer os valores desses esforços, é possível selecionar 
os nós que possuem os apoios e calcular o valor das reações de cada apoio. 
5.2 PÓRTICO ESPACIAL
FIGURA 26 – EXEMPLO DE PÓRTICO ESPACIAL
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 23)
Na estrutura apresentada é possível perceber que se trata de um pórtico 
espacial engastado, que apresenta a seguinte configuração:
• 6 incógnitas;
• 6 equações de equilíbrio;
• restringida.
Dessa forma é possível resolver o sistema facilmente, conforme mostrado 
a seguir:
I- ∑Fx =0;
RAX – 2tf = 0; RAX =2tf
II- ∑Fy =0; 
RAy -4tf =0; RAy =4tf
TÓPICO 2 | ESTÁTICA DOS SISTEMAS MATERIAIS PLANOS
37
III- ∑Fz =0; 
RAz – 1tf =0; RAz =1tf
IV- ∑Mx =0; 
MAx – (4.3) - (1.5) =0; MAx = 17tf.m
V- ∑My =0; 
MAy + (2.3) + (1.4) = 0; MAy =10tf.m
VI- ∑Mz =0;
MAz + (2.5) – (4.4) =0; MAz = 6tf.m
Portanto, encontrando assim os valores dos esforços de reação dos apoios 
da estrutura. É possível verificar se as reações encontradas nos cálculos estão 
corretas através do somatório dos momentos em cada eixo, utilizando os valores 
das reações encontradas e, esse somatório, necessariamente, deve ser nulo para 
satisfazer a condição de equilíbrio.
Porém, esse método de conferência não é infalível, pois essa é uma 
condição necessária para o equilíbrio, mas não suficiente para que as reações 
obtidas estejam corretas. 
38
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Ao analisar qualquer problema de equilíbrio, é necessário, antes de tudo, 
desenhar um diagrama de corpo livre. Isso signifi ca realizar um esquema das 
forças e momentos atuantes na estrutura. Para isso, é importante lembrar que 
os apoios exercem uma força sobre o corpo em uma direção particular, de 
acordo com o tipo de vinculação.
• No caso de cargas e/ou apoios inclinados, a direção dos esforços deve ser 
indicada no diagrama de corpo livre.
• Em estruturas de corpos rígidos no plano (duas dimensões), as três equações de 
equilíbrios (somatórios de forças nas direções X e Y e somatório dos momentos 
igual a zero) são sufi cientes para encontrar os esforços solicitantes. Para isso, 
basta somar as forças em cada eixo, formando um sistema de equações e, para 
eliminar os esforços desconhecidos, basta realizar o somatório dos momentos 
no ponto onde essas forças são aplicadas.
• Para estruturas tridimensionais, em geral é vantajoso uma análise vetorial 
cartesiana, para então para aplicar as equações de equilíbrio. Para essa 
decomposição dos esforços é necessário expressar os momentos e as incógnitas 
mostrados no diagrama de corpo livre como um vetor cartesiano. Dessa 
forma, é possível realizar o somatório das forças de cada eixo e igualar a zero. 
Considerar o momento em relação a um ponto qualquer, desde que ele se 
encontre na linha de ação de tantos componentes de forças quanto possível.
• É preciso orientar os vetores de posição para cada força e usar o produto 
vetorial para determinar o momento de cada uma.
• Um corpo rígido no espaço necessita de seis equações de equilíbrio para poder 
ser determinado e igualar essas equações a zero.
• As cargas internas em um corpo consistem em uma força normal, uma força de 
cisalhamento, um momento fl etor e um momento torçor. Elas representam as 
resultantes de uma distribuição de tensão normal e de tensão de cisalhamento 
que agem na seção transversal.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 4)
39
• Para encontrar os valores da resultante, utiliza-se o método das seções e as 
equações de equilíbrios:
 ◦ ∑Fy=0
 ◦ ∑Fx=0
 ◦ ∑Fz=0
 ◦ ∑My=0
 ◦ ∑Mx=0
 ◦ ∑Mz=0
40
1 Determine o grau de estaticidade das estruturas a seguir, classificando-as 
em ISOSTÁTICA, HIPOSTÁTICA E HIPERESTÁTICA:
a)
b)
c)
d)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
AUTOATIVIDADE
41
2 Determine as reações de apoio das seguintes estruturas:
a)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
e)
f)
g)
h)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 176)
42
b)
c)
d)
e)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 21)
FONTE: Neto (1996, p. 97)
43
f)
g)
h)
i)
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
44
j)
k)
l)
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: Hibbeler (2010, p. 189)
3 A estante simétrica está submetida a uma carga uniforme de 4 kPa. O apoio 
é fornecido por um parafuso (ou pino) localizado em cada extremo A e A' e 
pelos suportes simétricos que se apoiam na parede li a, em ambos os lados B 
e B'. Determine a força de resistência oferecida por cada parafuso na parede 
e a força normal em B para manter o equilíbrio.
45
FONTE: Hibbeler (2010,p. 218)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 218)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 218)
4 Determine a reações no apoio A e B para o equilíbrio da viga.
5 Determine o componente de reação x, y, z nos apoios esféricos B, C e na junta 
esférica A (não mostrada na figura) para a placa carregada uniformemente.
46
6 Determine o componente horizontal vertical da reação no pino A e a reação 
no rolete B, necessária para apoiar a treliça. Considere F = 600 kN.
7 Se o rolete em B é capaz de sustentar uma carga máxima de 3 kN, 
determine a maior intensidade cada uma das três forças que podem ser 
sustentadas pela treliça.
8 Determine a força no cabo e os componentes horizontal e vertical da 
reação do pino em A. A polia em D é sem atrito e o cilindro pesa 80 lb.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 217)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 217)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 191)
47
9 O anteparo AD está sujeito às pressões da água e do aterramento. Supondo 
que AD esteja ‘fixado por pinos’ ao solo em A, determine as reações horizontal 
e vertical nesse ponto e a força do reforço BC necessária para manter o 
equilíbrio da estrutura. Considere que o anteparo possui massa de 800 kg.
10 A lança AC é apoiada por uma junta esférica em A e por dois cabos BDC e CE. 
O cabo BDC é contínuo e passa pela polia em D. Calcule a força nos cabos e 
os componentes de reação x, y, z em A, se o engradado tem peso de 80 lb.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 193)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 215)
48
12 Determine os componentes x, y, z na parede fixa A. A força de 150 N é 
paralela ao eixo z e a força de 200 N é paralela ao eixo y.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 219)
49
TÓPICO 3
O CONCEITO DE TENSÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Até o presente momento, foram apresentadas e recordadas algumas 
noções de estática dos corpos rígidos. Agora, iremos adentrar no estudo dos 
sólidos utilizados na mecânica das estruturas, os sólidos deformáveis, ou seja, 
estruturas que mudam de forma quando solicitadas por esforços.
O comportamento dos sólidos deformáveis, no geral, é regido pela Lei 
de Hooke, como visto na disciplina de resistência dos materiais, onde define que 
a há uma relação entre a tensão aplicada na estrutura e a deformação que ela 
sofre. Portanto, o objetivo de realizar uma análise é verificar a segurança desta 
estrutura frente às tensões geradas pelos esforços, assim como as deformações 
obtidas não ultrapassem os limites suportados.
Desta forma, no decorrer deste tópico, serão abordados os tipos de tensões 
que podem surgir nos elementos estruturas, como devem ser considerados em 
uma uma análise, seus efeitos quanto ao deslocamento da estrutura e apresentado 
um método de análise.
2 ANÁLISE DE TENSÕES DE ESTRUTURAS
Ao projetar uma estrutura, se faz necessário considerar a deformabilidade 
do material que a constitui, e para ser possível então iniciar esse estudo, deve-se 
estar com o conceito de tensão bem consolidado. Portanto será apresentado uma 
primeira ideia mais informal do que são tensões e das tensões internas geradas 
em um sólido.
Se pensarmos nas edificações construídas, o que ocorre quando seu espaço 
é ocupado? Ou em uma ponte, quando um automóvel passa por ela?
 
Todas essas solicitações citadas são transmitidas pela estrutura até suas 
fundações, quando geram reações de apoios que, como visto anteriormente, são 
vínculos necessários para que a estrutura se mantenha em equilíbrio e assim 
possibilita sua utilização.
50
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
FIGURA 27 – ESQUEMA DE TRANSMISSÃO DOS ESFORÇOS EM UMA ESTRUTURA
FONTE: Neto (1996, p. 71)
Na Figura 27, a estrutura da ponte mostrada sofre a ação das forças P1 e 
P2 (contato das rodas do veículo com a ponte). Esse carregamento é transferido 
até as sapatas de fundação e, destas, transmitidos ao solo.
Mesmo não estando detalhado, o mecanismo de transferência de cargas, 
nesse exemplo, no geral é o fenômeno que ocorre em qualquer estrutura, 
mostrando a funcionalidade da estrutura, que é transmitir os esforços solicitantes 
externos, do ponto de aplicação até os apoios onde serão transmitidos para o solo.
Essa transferência do esforço pela estrutura resulta em deformação da 
estrutura, devido à modificação das posições relativas de suas moléculas. 
Além da deformação, a ruptura da estrutura também pode ser explicada 
por esse caminhamento dos esforços, em que a aplicação de uma carga muito 
elevada pode levar a estrutura à ruptura, uma vez que os esforços internos 
solicitantes também serão muito grandes, podendo romper a estrutura caso 
supere a resistência do material.
Dentro desse aspecto, deve-se ressaltar que um mesmo material apresenta 
resistência distinta a diferentes esforços internos. Uma peça de cerâmica apresenta 
diferente resistência quando submetida a esforços de tração, compressão e flexão. 
Deve-se acrescentar que o corpo se deforma com a aplicação da força, 
qualquer que seja a natureza dela (tração, compressão ou flexão), e essa deformação, 
para uma mesma carga, vai depender da rigidez que o material apresenta. 
Como exemplo é possível comparar duas réguas escolares com diferentes 
rigidezes e submetê-las a um mesmo carregamento. Se compararmos as duas, é 
possível verificar que a régua que apresenta menor rigidez irá deformar mais.
Portanto, é possível afirmar que corpos muito rígidos deformam pouco 
quando submetidos a um carregamento, muitas vezes, essa deformação será 
imperceptível.
Dessa maneira, como já comentado, as tensões nada mais são que os 
esforços internos que surgem em um sólido quando esforços externos são 
transmitidos de um ponto a outro, e esses esforços externos, quando resultam 
em tensões superiores ao suportado pelo material, ocorre a ruptura do material.
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
51
Uma vez entendendo como se transmite a tensão dentro da estrutura, é 
possível então defini-la fisicamente, sendo as forças distribuídas que atuam nos 
planos internos de um sólido. Matematicamente é possível definir a tensão em 
um ponto qualquer P contido no plano sendo:
m
F
Aρ
∆= ∆


Em que:
 = tensão média;
 = resultante da força distruída atuando na região;
 = área.
A tensão mρ

 é um vetor com direção e sentido de F∆

 e intensidade F∆

/ A∆ , comprovando o conceito físico apresentado, tendo sua dimensão de uma 
força dividida por uma área. No Sistema Internacional, a unidade de medida de 
tensão é o pascal (Pa), onde 1 Pa = 1 N/m².
É possível analisar que a unidade de medida de tensão e de pressão são as 
mesmas, isso ocorre pelo fato de serem grandezas de mesmas dimensões (força/área). 
Deve-se ressaltar ainda que na prática de engenharia não é comum 
representar as tensões em Pa, por se tratar de uma unidade muito pequena, sendo 
normalmente expressa em: MPa = 0,1 kN/cm².
Porém, para avaliar o nível de solicitação de um elemento é necessário 
considerar as tensões que ocorrem em todos os planos, isso porque dois 
carregamentos distintos podem levar à mesma tensão em um ponto escolhido P, 
porém, tensões totalmente diferentes em outros planos de análise, apesar de que 
o estado de tensão seja caracterizado pelo nível de solicitação de um ponto.
Dessa forma, em projetos estruturais deve-se comparar o estado de tensão 
em um ponto com os resultados experimentais, pois é o conjunto das tensões em 
um ponto que deve ser comparado com os estados de tensões limites, uma vez que 
tensões em planos particulares não caracterizam o nível de solicitação do ponto.
O conhecimento das tensões no ponto P permite que, utilizando apenas 
as equações de equilíbrio da estática, obtenham-se as tensões segundo todos 
os demais planos que passam por “P”. O trabalho de calcular infinitas tensões 
não existe, reduzindo-se ao trabalho de calcular três tensões em três planos 
perpendiculares entre si.
A influência da tensão na resistência do material pode ser melhor 
visualizada no exemplo a seguir. Considere que um prisma de concreto é 
submetido à compressão em uma prensa. A amostra acabarompendo quando o 
seu limite de resistência é atingido.
m
F
Aρ
∆= ∆


m
F
Aρ
∆= ∆


m
F
Aρ
∆= ∆


52
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Se lançarmos uma amostra idêntica à anterior no fundo do mar, a uma 
distância de 20 km de profundidade (por exemplo), ela atinge o fundo sem ocorrer sua 
ruptura, apesar de ser solicitado por um esforço maior do que o aplicado pela prensa. 
O comportamento nas situações citadas é completamente diferente, devido 
aos estados de tensão dos pontos do prisma nos dois casos serem diferentes, 
resultando em resistências limites diferentes.
A Figura 28 mostra um pedaço desse prisma utilizado para demonstrar os 
estados de tensão da situação acima. É possível ver que, nesses casos, as tensões 
nas faces dos cubos são iguais às forças distribuídas que atuam nas faces dos 
prismas paralelas a elas.
O estado de tensões na compressão simples (prisma colocado na prensa) 
apresenta tensões nulas nas faces verticais do prisma e, nas faces horizontais, 
só atuam forças normais de compressão. Para a amostra jogada no mar, temos 
um estado hidrostático de compressão, em que todas as faces possuem apenas 
tensões normais de compressão, sendo estas iguais em todas as faces.
Então, como é possível ver, há uma distinção dos estados de tensões nas 
duas situações apresentadas, sendo submetido à compressão em uma direção no 
caso da prensa e nas três direções no caso submerso. 
Todo material apresenta resistência extremamente elevada quando 
submetido à compressão em todas as direções, esse comportamento é, de certa 
maneira, intuitivo, uma vez que, ao comprimir uma amostra em uma única 
direção, não há tensões nos planos verticais para impedir a desagregação da 
amostra e ter um efeito de confinamento. Portanto, é visível que a resistência do 
material está diretamente ligada ao estado de tensão em que o corpo se encontra.
FIGURA 28 – DIFERENTES CARREGAMENTOS E SEUS EFEITOS NO ESTADO
DE TENSÃO DE UM CORPO
FONTE: Neto (1996, p. 82)
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
53
3 ESFORÇOS SOLICITANTES 
Na análise e resistência de materiais são utilizados modelos idealizados 
constituídos por barras, e para conseguir caracterizar o estado de tensão dos 
pontos das estruturas, se faz necessário conhecer as tensões que atuam nos três 
planos perpendiculares entre si. No caso de barras, um dos planos é a seção 
transversal, que contém o ponto cujo o estado de tensão se pretende conhecer.
Os esforços solicitantes são os esforços obtidos pela redução das tensões 
no centro de gravidade da seção transversal em que atuam, ou seja, aplicar no 
ponto escolhido os esforços resultantes de tensão e momento.
Deve-se lembrar do princípio de ação e reação, em que diz: quando se 
divide uma barra em duas seções, os esforços solicitantes da seção à direita da 
divisão possuem intensidades e direção iguais aos esforços encontrados na seção 
à esquerda, porém irão apresentar sentidos opostos.
Devido a essa propriedade, os esforços solicitantes se tornam úteis, e como 
são de fácil determinação, tornam-se atrativos para executar a análise de estruturas.
Uma vez que se conhece os esforços externos atrativos e reativos, a 
determinação dos esforços solicitantes atuantes na seção transversal de uma barra 
é realizada com a utilização das equações de equilíbrio da estática, anteriormente 
discutidas, aplicadas no centro de gravidade da seção de corte. 
A seguir, serão exemplificados os efeitos dos diferentes esforços aplicados em 
uma barra e a aplicação de seções para determinar os esforços solicitantes internos.
FIGURA 29 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE TRAÇÃO (A) SISTEMA DE 
ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO 
DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 86)
54
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
FIGURA 30 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE COMPRESSÃO (A) SISTEMA DE 
ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO 
DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 87)
FIGURA 31 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO CORTANTE (A) SISTEMA DE ESFORÇOS E 
DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO DE SEÇÃO E (C) 
DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 87)
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
55
FIGURA 32 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO EXTERNO DE TORÇÃO (A) SISTEMA DE 
ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO 
DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 88)
FIGURA 33 – BARRA SOLICITADA POR ESFORÇO DE MOMENTO FLETOR (A) SISTEMA DE 
ESFORÇOS E DETERMINAÇÃO DO LOCAL DA SEÇÃO, (B) ESFORÇOS INTERNOS NO PLANO 
DE SEÇÃO E (C) DEFORMAÇÃO DEVIDO AO ESFORÇO APLICADO
FONTE: Neto (1996, p. 88)
56
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
4 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
Os esforços solicitantes atuantes na seção transversal são obtidos através do 
corte de uma seção (S) da barra e reduzindo no centro de gravidade, ou todos os 
esforços externos aplicados de um lado do corte ou todos os esforços externos aplicados 
no outro lado deste corte, conforme pode ser observado no exemplo a seguir:
FIGURA 34 - DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
FONTE: Neto (1996, p. 92)
Portanto, os esforços podem ser encontrados cortando a barra na seção S 
e reduzindo os esforços no centro de gravidade da barra e analisando os esforços 
externos aplicados tanto na direita como pela esquerda.
FIGURA 35 - DIAGRAMA DE CORPO LIVRE SECCIONADO NA SEÇÃO S
FONTE: Neto (1996, p. 92)
Dessa forma, aplicando as equações de equilíbrio da estática e fazendo 
a redução dos esforços externos à direita e à esquerda, estão representados da 
seguinte maneira:
FIGURA 36 - ANÁLISE DO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE SECCIONADO NA SEÇÃO S
FONTE: Neto (1996, p. 93)
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
57
Através dos resultados encontrados é possível verificar que, na seção 
delimitada, há um esforço cortante de 40 kN, tendendo a girar a barra no sentido 
anti-horário, além da aplicação de um momento fletor de 120 Nm, tracionando as 
fibras inferiores da barra.
É importante lembrar que os esforços encontrados apresentam intensidades 
iguais e sentidos opostos, obedecendo ao princípio da ação e reação citada anteriormente.
ATENCAO
Tendo em vista isso, para encontrar os esforços solicitantes que atuam na 
estrutura, basta iniciar a análise dos esforços por apenas um dos lados da estrutura, 
tornando assim uma atividade simples de redução.
Na Unidade 2 iremos aprofundar a análise de diferentes estruturas 
isostáticas pelo método da seção, mas de maneira geral, a análise se dá de maneira 
sistemática, realizando uma seção entre cada tipo ou mudança de carregamento 
ou apoio, possibilitando encontrar equações para cada seção realizada, estando 
diretamente ligadas ao carregamento aplicado nessa parte da estrutura, assim é 
possível conhecer o valor dos esforços solicitantes ao decorrer da estrutura.
Exemplo: utilizando o conceito apresentado do teorema fundamental, 
determine os esforços solicitantes que atuam na seção S da viga a seguir:
FIGURA 37 – VIGA POLIGONAL
FONTE: Neto (1996, p. 97)
58
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Para encontrar os valores das reações de apoios, a parte direita da seção 
é analisada utilizando as equações de equilíbrio da estática. Como resultado, 
encontramos os valores a seguir: 
FIGURA 38 – VIGA POLIGONAL
FONTE: Neto (1996, p. 97)
Uma vez encontrados os esforços solicitantes com a utilização das equações 
de equilíbrio em casa seção, tem-se então:
• Esforço normal: será feito um somatório das forças em X.
• Esforço cortante: será feito um somatório das forças em Y. 
• Esforço momento: será feito um somatório de momento na seção.
Portanto é possível traçar o diagrama de todos os esforços, dessa maneira 
é possível analisar como os esforços estão sendo transmitidos pela estrutura. Paraser possível traçar os diagramas, faz-se necessário convencionar os sinais de cada 
esforço, conforme sugerido pelo quadro a seguir:
QUADRO 7 – CONVENÇÃO DE SINAIS DOS ESFORÇOS SOLICITANTES
FONTE: Neto (1996, p. 106)
Esforço Solicitante Sinal Positivo (+) Sinal Negativo (-)
Força normal Tração Compressão
Força cortante Gira o trecho de barra em que atua no sentido horário
Gira o trecho de barra em que atua 
no sentido anti-horário
Momento fletor Traciona as fibras inferiores da barra Traciona as fibras superiores da barra
Momento de torção
O vetor momento tem o sentido da 
normal externa à seção transversal 
em que atua
O vetor momento tem o sentido 
o contrário da normal externa à 
seção transversal em que atua
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
59
Para melhor exemplificar, é possível ver na figura seguinte a convenção 
de sinais adotada:
FIGURA 39 – CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
FONTE: Teles (2013, p. 1)
Simplificando, para os gráficos de forças normais e cortantes, a carga positiva 
é desenhada na parte superior ao eixo de simetria, para o momento fletor, a parte 
positiva demonstrada pela parte tracionada inferior, portanto sua representação é 
realizada na parte inferior, conforme pode ser visto no exemplo a seguir:
Exemplo:
a)
FIGURA 40 – EXEMPLO DE FORÇA NORMAL, CORTANTE E MOMENTO FLETOR
FONTE: Adaptado de Neto (1996)
60
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Passo 1: cálculo das reações de apoio.
ΣFy=0
ΣFy = Ra – 50 – 30 – 90 + Rb = 0
Ray + Rby = 50 + 30 + 90 = 170
 
Como Rby =110 kN, então:
Ray + 110 = 170 . . Ray = 60kN
ΣFx = 0
Rax = 0
ΣMA = 0
(50.4) + (30.8) + (90.11) – Rby.13 =0
13Rby = 1430 . . Rby = 110kN
 
Portanto, os esforços externos atuantes nessa estrutura são os apresentados 
na seguinte figura:
FIGURA 41 – CÁLCULO DOS ESFORÇOS EXTERNOS ATUANTES
FONTE: Adaptado de Neto (1996)
Para conhecer os esforços internos atuantes e conseguir analisar o 
comportamento da estrutura, é necessário analisar as seções separadas.
Seção 1: Para 0 ≤ x ≤ 4
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
61
FIGURA 42 – CÁLCULO DOS ESFORÇOS EXTERNOS ATUANTES
FONTE: Adaptado de Neto (1996)
ΣFy = 0
RS1 + 60 = 0 . . RS1y = –60kN
ΣFx = 0
RS1x = 0
ΣMS1 = 0
MS1 – 60.x = 0 . . MS1 = 60.x
Seção 2: Para 4 ≤ x ≤ 8
FIGURA 43 – CÁLCULO DOS ESFORÇOS EXTERNOS ATUANTES
FONTE: Adaptado de Neto (1996)
62
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
2 2
0
60 50 0 10
0
4 . 0 4
2 0
2 60. 50( 4) 0 2 60. 50 200 10 200
y
S S y
x
F
R R kN
F
m x
MS
MS x x MS x x x
−
=
+ − = ∴ =
=
= −
=
− + − = ∴ = − + = +
∑
∑
∑
Seção 3: Para 8 ≤ x ≤ 11
FIGURA 44 – CÁLCULO DOS ESFORÇOS EXTERNOS ATUANTES
FONTE: Adaptado de Neto (1996)
3 3
3
3
3 3
3
0
60 50 30 0 20
0
0
0
60. 50( 4) 30( 8) 0 60. 50 200 30. 10 240
20. 440
y
S S y
x
S x
S
S S
S
F
R R kN
F
R
M
M x x x M x x x x
M x
=
+ − − = ∴ =
=
=
=
− + − + − = ∴ = − + − = +
= − +
∑
∑
∑
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
63
Uma observação: a equação interna da seção 3 pode ainda ser feita através 
da análise da parte esquerda da estrutura, conforme visto no decorrer da unidade 
e como pode ser visto na sequência. 
Para 0 ≤ x ≤ 2:
FIGURA 45 – CÁLCULO DOS ESFORÇOS EXTERNOS ATUANTES
FONTE: Adaptado de Neto (1996)
3 3
3
3
3 3
0
110 0 110
0
0
0
110. 0 110.
y
S S y
x
S x
S
S S
F
R R kN
F
R
M
M x M x
=
+ = ∴ = −
=
=
=
+ = ∴ = −
∑
∑
∑
5 RESUMO DO PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
O método das seções pode ser usado para determinar o carregamento 
interno numa posição específica de um elemento, seguindo o procedimento já 
mostrado e resumido logo na sequência:
• Reações de apoio: antes que um elemento seja cortado ou secionado, é 
necessário determinar as reações de apoio desse elemento, utilizando as 
equações de equilíbrio para calcular os esforços internos.
64
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
• Diagrama de corpo livre: mantenha toda a carga distribuída, o momento e 
a forças atuante no elemento em suas posições exatas. Em seguida, faça um 
secionamento imaginário através do elemento, perpendicularmente ao seu 
eixo, no ponto onde o carregamento interno deve ser determinado. Feito isso, 
desenhe um diagrama de corpo livre do segmento que contenha o menor 
número de carga sobre ele e indique as componentes x,y e z e o momento 
resultante na reação correspondente. Se o elemento está submetido a um 
sistema de forças coplanares, apenas atuam nele V, M e N.
• Equações de equilíbrio: os momentos devem ser somados na seção em relação 
aos eixos que passam pelos centroides ou centro geométrico da seção transversal 
do elemento para eliminar as componentes de cisalhamento e normal, obtendo 
soluções diretas para os momentos. Toda vez que a solução da equação para o 
esforço a ser determinado for um escalar negativo, significa que o sentido real 
da força é o oposto do adotado no diagrama de corpo livre.
TÓPICO 3 | O CONCEITO DE TENSÃO
65
LEITURA COMPLEMENTAR
EQUILÍBRIO INTERNO – SOLICITAÇÕES INTERNAS
 Maria Regina Costa Leggenerini
I- EQUILÍBRIO INTERNO
Quando se trata do equilíbrio externo dos corpos, ou seja, não há a 
consideração da possibilidade de deformação dos corpos sendo os mesmos 
considerados rígidos. Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas 
que atua na estrutura e devem ser calculadas as cargas reativas capazes de manter 
o corpo em equilíbrio. 
As cargas reativas ou reações vinculares são determinadas com a aplicação 
das equações fundamentais da estática. Observe-se que após o equilíbrio externo 
ser obtido pode-se então passar a analisar o equilíbrio interno. De uma maneira 
geral pode-se dizer que: 
1- O equilíbrio externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as 
cargas para os apoios. 
2- O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até 
atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas 
internamente), gerando solicitações internas. 
3- O equilíbrio interno ocorre na configuração deformada, que admitimos ser 
bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações). 
Pretende-se analisar os efeitos que a transmissão deste sistema de 
cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo 
em equilíbrio. Para tanto, supõe-se o corpo em equilíbrio sob efeito de um 
carregamento qualquer. Se este corpo for cortado por um plano qualquer (a-a), 
rompe-se o equilíbrio, pois é destruída a sua cadeia molecular na seção "S" de 
interseção do plano com o corpo.
66
UNIDADE 1 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilibradas, deve-se 
aplicar, por exemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia 
sobre ela, ou seja, resultante de força (R) e resultante de momento (M). O mesmo 
deve ser feito com a parte da esquerda cujas resultantes estão também representadas.
R- Resultante de forças da parte retirada.
M- Resultante de momentos da parte retirada, criado pela translação da resultante 
R para o baricentro da seção de corte.
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que 
reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, 
ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma 
direção e sentidos opostos. 
R e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de 
gravidade da seção de corte da barra.
FONTE: LEGGERINE, M. R. Mecânica dos sólidos EQ. Porto Alegre: PUC – Rio Grande do Sul, 2007. 
http://www.politecnica.pucrs.br/professores/mregina/ENGENHARIA_-_Mecanica_dos_Solidos/
mecanica_dos_solidos_apostila_2007_2.pdf. Acesso em: 27 maio 2019.
Quando se quer conhecer os esforços em uma seção S de uma peça, deve-se 
cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um). Pode-
se dizer que no centro de gravidade desta seção devem aparecer esforços internos 
(resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio.
Estesesforços representam à ação da parte retirada do corpo. Em 
isostática a seção de referência adotada será a seção transversal das peças em 
estudo e estes esforços internos devidamente classificados se constituem nas 
solicitações internas. Este procedimento descrito chama-se Método das Seções.
67
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma estrutura pode possuir esforços normais, cortantes e de momento fletores.
• O esforço normal é caracterizado por apresentar efeito de compressão ou de 
tração no elemento ao qual está aplicado.
• O esforço cortante tende a cisalhar ou cortar a seção do elemento da estrutura.
• O momento fletor é a tendência de uma força aplicada em rotacionar a 
estrutura em um ponto analisado, portanto é o produto de uma força aplicada 
e a distância dela ao ponto de análise.
• Por convenção, o momento fletor positivo traciona as fibras inferiores da 
estrutura e, quando negativo, as fibras tracionadas são as superiores.
• Os esforços internos das estruturas podem ser encontrados através da aplicação 
do método das seções.
68
1 Sem calcular previamente as reações, determine as expressões analíticas do 
esforço axial (N), esforço cortante (V) e momento fletor (M), em cada tramo 
da estrutura representada na figura. Desenhe os diagramas dos esforços (N, 
V e M) caracterizando todos os pontos notáveis.
a)
b)
c)
FONTE: Teles (2013b, p.1)
FONTE: Teles (2013a, p.1)
FONTE: Teles (2013c, p.1)
AUTOATIVIDADE
69
d)
e)
f)
FONTE: Teles (2013e, p.1)
FONTE: Teles (2013d, p.1)
FONTE: Teles (2013e, p.5)
70
g)
h)
i)
FONTE: Teles (2013e, p.9)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
71
j)
k)
l)
m)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 20)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 21)
FONTE: Neto (1996, p. 97)
FONTE: O autor
72
n)
o)
p)
q)
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FONTE: O autor
73
r)
FONTE: O autor
2 O eixo é apoiado por um mancal de rolamento em A e um mancal axial em 
B. Determine a força normal, a força de cisalhamento e o momento em uma 
seção que passa (a) pelo ponto C, próximo ao lado direito do mancal em A, 
e (b) pelo ponto D, próximo ao lado esquerdo da força de 3.000 lb.
3 Determine a força interna normal e de cisalhamento e o momento fletor nos 
pontos C e D da viga. Considere que o apoio em B é um rolete. O ponto C 
está localizado imediatamente à direita da carga de 8 kip.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 286)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 286)
74
4 Determine a força normal, a força de cisalhamento e o momento na seção 
que passa pelo ponto C. Suponha que o apoio em A possa ser considerado 
como um pino e B, como um rolete.
5 Determine a força normal, a força de cisalhamento e o momento na seção 
reta que passa pelo ponto D. Considere w = 150 N/m.
6 A viga AB cederá se o momento interno máximo em D atingir o valor de 800 
N.m ou a força normal no elemento BC for de 1.500 N. Determine a maior 
carga “w” que pode ser sustentada pela viga.
7 Determine a força interna normal e de cisalhamento e o momento interno 
atuante no ponto C e no ponto D, o qual está localizado imediatamente à 
direita do suporte tipo rolete em B.
FONTE: Hibbeler (2010, p. 287)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 287)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 287)
FONTE: Hibbeler (2010, p. 287)
75
UNIDADE 2
INTRODUÇÃO À ANÁLISE
DE ESTRUTURAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• identificar que se trata de uma estrutura isostática;
• identificar o tipo de estrutura isostática e definir melhor método de 
análise para a mesma;
• aplicar o método de Ritter para a solução de análise de estruturas;
• aplicar o método dos nós para análise de treliças espaciais ou planas;
• realizar a análise de esforços internos para treliças;
• confeccionar os diagramas de esforços para qualquer estrutura; e 
• determinar os esforços máximos aos quais a estrutura está submetida.
Esta unidade está dividia em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – ESTRUTURAS ISOSTÉTICAS
TÓPICO 2 – VIGAS ISOSTÁTICAS
TÓPICO 3 – PÓRTICOS
76
77
TÓPICO 1
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Conforme visto na unidade anterior, as estruturas são classificadas em 
isostática, hiperestática e hipostática, de acordo com a quantidade de restrições 
que são impostas às estruturas no momento da realização do projeto.
Neste tópico serão apresentados os métodos de análise possíveis de serem 
executados na análise de estruturas, assim como a aplicação destes em estruturas. 
Também será abordado os conceitos e procedimentos de análise de treliças.
Portanto, ao final deste tópico, o aluno deverá ser capaz de avaliar observar 
a estrutura a ser analisada e escolher o método de análise mais conveniente 
para encontrar os internos e deslocamentos sofridos pela estrutura ao receber o 
carregamento de trabalho.
2 ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS: ESFORÇOS E 
DESLOCAMENTOS
Para resolver estruturas isostáticas pelo método das seções, aplica-se uma 
forma sistemática de resolução a partir de cortes na estrutura entre cada mudança 
de carregamento e/ou apoio. Esses cortes irão possibilitar a definição das equações 
para cada tipo de esforço solicitante aplicado no trecho analisado da estrutura.
Uma vez encontrada a equação de cada tipo de esforços encontrados no 
trecho, é necessário apenas realizar a plotagem desta equação ao longo deste pedaço 
da estrutura e assim é possível encontrar os valores dos esforços solicitantes em 
qualquer lugar da estrutura.
A facilidade deste método é que não necessita do uso de ábacos ou tabelas 
para encontrar os deslocamentos, uma vez que este valor pode ser encontrado 
apenas realizando a integração das equações dos esforços. 
Para ficar mais claro, será demonstrado um exemplo de uma viga isostática 
e pelo método das seções será encontrado o seu deslocamento.
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
78
• Exemplo:
Inicialmente, deve-se encontrar as reações de apoio da estrutura, conforme 
foi abordado na unidade anterior.
FIGURA 1 – VIGA BIAPOIADA
FONTE: Júnior (2013, p. 7)
Reações de apoio:
0( )
5. 27 24
10,2
0
24
24 10,2 13,8
a
y
M considerandoo sentido horário positivo
Rb
Rb kN
F
Ra Rb
Ra kN
=
= +
=
=
+ =
= − =
∑
∑
Como no eixo x não há nenhum esforço solicitante, a reação de A na direção 
do eixo x é nula, resultando na configuração das reações apresentadas na sequência.
FIGURA 2 – DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL
FONTE: Júnior (2013, p. 7)
2.1 DIAGRAMA DOS ESFORÇOS SOLICITANTES
Conforme comentado na explicação do método, para ser possível 
encontrar os esforços solicitantes é necessário dividir a estrutura em pedaços a 
fim de encontrar as equações dos esforços solicitantes.
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
79
Esses cortes devem ser posicionados de maneira correta, sendo necessários 
sempre entre apoios ou em alteração de carregamento. No caso do exemplo 
anterior, teremos uma divisão no carregamento distribuído, um segundo corte 
entre o carregamento distribuído e o carregamento concentrado e outro corte 
entre a carga concentrada e o apoio simples.
1º Corte:
FIGURA 3 – SEÇÃO 1 DA VIGA ISOSTÁTICA ANALISADA
FONTE: Júnior (2013, p. 8)
No corte apresentado, observa-se que foi realizado um corte da parte 
esquerda da estrutura no carregamento distribuído, expondo-se os esforços 
cortantes, normal e de momento. A distância total desse trecho é indeterminada, 
sendo chamada de “X”. 
Dessa forma, a carga concentrada resultante da carga distribuída nesse 
trecho é igual a q*X, se encontrando na posição intermediária do intervalo X, nesse 
caso, X/2. Para encontrar as equações de cada esforço desse trecho analisado, deve-
se aplicar as equações de equilíbrio da estática, em que o somatório dos esforços 
é igual a zero.
Dessa forma tem-se:
• Esforço normal: será feito um somatório dasforças no eixo X.
Para o exemplo que estamos desenvolvendo, temos N=0.
• Esforço cortante: é realizado o somatório das forças no eixo Y.
–V – 6.X + 13,8 = 0
V = –6.X + 13,8
• Momento: é feito o somatório de momento na seção andando para a esquerda 
notando que 6X é a carga que foi concentrada a partir da carga distribuída e x/2 
é a distância dessa carga à seção, além disso, 13,8 é a reação de apoio no ponto 
A, e X é a distância total dessa carga até a seção, resultando assim em:
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
80
6. . 13,8 0
2
6. . 13,8
2
XM X
XM X
− − + =
= − +
As equações encontradas nessa primeira seção valem apenas para os valores de 
X compreendidos entre o ponto inicial (ponto A) e o ponto onde se termina a uniformidade 
de esforços da estrutura, nesse caso, 3 m. Portanto, pode-se escrever que estas equações 
são válidas para as posições de X nesta estrutura, em que: 0 ≤ X ≤ 3.
IMPORTANT
E
2º Corte:
FIGURA 4 – SEÇÃO 2 DA VIGA ISOSTÁTICA ANALISADA
FONTE: Júnior (2013, p. 9)
Na figura anterior é possível observar que foi realizado um corte na 
estrutura em que é avaliado o carregamento da parte esquerda, logo após o fim da 
carga distribuída e antes da carga concentrada. Percebe-se que a distância total do 
corte é chamada de X e, nesse caso, é conhecida a distância na qual o carregamento 
distribuído é aplicado, sendo possível descobrir a carga concentrada resultante 
desse esforço (q*3).
Essa força concentrada q*3 estará localizada a uma distância da seção 
igual a [(x-3) +1,5]. A parte da expressão x-3 deve-se ao fato de que se conhece o 
comprimento da força distribuída de 3 m, e X é a distância total do trecho, a qual 
é desconhecida. Dessa forma, a distância da carga distribuída até a seção é x-3, 
assim é possível encontrar as equações dos esforços para o trecho selecionado, 
realizando o somatório para as equações de equilíbrio.
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
81
• Esforço normal: será feito um somatório das forças no eixo X.
Para o exemplo que estamos desenvolvendo, temos N=0.
• Esforço cortante: é realizado o somatório das forças no eixo Y.
18 13,8 0
4,2
V
v kN
− − + =
= −
• Momento: é feito o somatório de momento na seção andando para a esquerda:
18.( 1,5) 13,8. 0
4,2. 27
M x x
M X
− − − + =
= − +
As equações encontradas nessa seção valem apenas para os valores de 
X compreendidos entre a primeira seção e o ponto onde se termina a uniformidade de 
esforços da estrutura, nesse caso, 4 m. Portanto, pode-se escrever que essas equações são 
válidas para as posições de X nessa estrutura, em que: 3 ≤ X≤ 4.
NOTA
3º Corte:
FIGURA 5 – SEÇÃO 3 DA VIGA ISOSTÁTICA ANALISADA
FONTE: Júnior (2013, p. 10)
Observação: 
• qc – carga concentrada;
• qd – carga concentrada do carregamento distribuído.
O procedimento de análise se repete das demais seções, portanto é possível 
ir logo aplicando o somatório das equações de equilíbrio para a estrutura.
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
82
• Esforço normal: será feito um somatório das forças no eixo X.
Para o exemplo que estamos desenvolvendo, temos N=0.
• Esforço cortante: é realizado o somatório das forças no eixo Y.
-V – 6 – 18 + 13,8 = 0
V = –10,2 kN
• Momento: é feito o somatório de momento na seção andando para a esquerda:
–M – 6.(x–4) – 18.(x–1,5) + 13,8.x =0
M = –10,2.X + 47
Essas equações são válidas para as posições de X nessa estrutura, em 
que: 4 ≤ X≤ 5.
2.2 GRÁFICOS DE ESFORÇOS SOLICITANTES
Uma vez encontradas as equações que regem o comportamento dos esforços 
para todo o comprimento da estrutura ao longo da viga, é possível traçar os gráficos 
desses esforços para todo o comprimento da estrutura, lembrando que é necessário 
respeitar os limites de cada equação para obter o comportamento real da estrutura.
Dessa forma, as equações encontradas no trecho 1 serão utilizadas para a 
parte inicial da viga, em que 0 ≤ x ≤ 3; para 3 ≤ x ≤ 4 deve-se utilizar as equações 
da seção 2 e no último trecho, em que 4 ≤ x ≤ 5, só valerão as equações encontradas 
para a seção 3.
Para o traçado do diagrama, não se faz necessário apenas o valor do 
esforço no ponto calculado, mas também o sentido deles. Neste aspecto, deve-se 
tomar alguns cuidados no momento da construção dos gráficos:
• A convenção adotada pelos engenheiros calculistas é que, para valores de momento 
NEGATIVO, deve-se desenhar a curva acima da linha da viga (tracionando as 
fibras superiores da viga), e, quando o momento for POSITIVO, desenha-se a 
curva abaixo da viga (quando as fibras tracionadas serão as inferiores).
• A cortante segue o sentido da reação de apoio que causa o cisalhamento da 
viga, portanto, quando positiva, ela deverá ser traçada para cima e quando 
negativa deve ser traçada para baixo da viga.
• O esforço normal será positivo quando estiver tracionando a seção da viga, e 
será negativo quando ela estiver comprimindo a seção.
Portanto, para a viga em que foi desenvolvido o equacionamento dos 
esforços, teremos os seguintes diagramas para cada esforço:
• Cortante (V-kN)
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
83
FIGURA 6 – CORTANTE
FONTE: Júnior (2013, p. 11)
• Momento fletor (M-kN.m)
FIGURA 7 – MOMENTO FLETOR
FONTE: Júnior (2013, p. 11)
No caso do exemplo apresentado, o diagrama do esforço normal é uma 
linha coincidente com a viga, uma vez que, em todas as seções, o valor de seu 
equacionamento foi nulo, já que não há esforços normais aplicados na estrutura.
O método das seções acaba sendo uma solução sistêmica, uma vez que o 
aluno só precisa plotar os pontos das equações conforme os respectivos trechos.
Além disso, o aluno ainda deve identificar as formas e os tipos de cargas e 
esforços que aparecem na estrutura, fazendo assim uma verificação das equações 
encontradas.
Exemplo: 
Determine as equações analíticas do esforço normal, cortante e momento 
fletor em cada tramo da estrutura representada na figura a seguir. Aproveite para 
desenhar os diagramas e representar os pontos notáveis.
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
84
FIGURA 8 – ESTRUTURA DE PÓRTICO ISOSTÁTICO
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
FIGURA 9 - TRAMO CD
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
FIGURA 10 - TRAMO DE
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
85
FIGURA 11 - TRAMO EB
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
Seção em que o momento é nulo: M=0; 10 – 10.x – 4x2 = 0, então x=0,766 m.
FIGURA 12 - TRAMO IH
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
FIGURA 13 - TRAMO HG
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
86
FIGURA 14 - TRAMO FG:
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
Seção em que o momento é nulo: M=0; –6 + 14.x = 0, então x=0,429 m.
FIGURA 15 - TRAMO BF
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
Seção em que o momento é nulo: M=0; –8 + 14.x = 0, então x=0,571 m.
FIGURA 16 - TRAMO AB
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
87
Seção em que o momento é nulo: M=0; 7,64 – 7.x = 0, então x=1,091 m.
FIGURA 17 - DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (N)
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
FIGURA 18 - DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (V)
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
88
FIGURA 19 - DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (M)
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
3 ANÁLISE DE TRELIÇAS 
Por definição, treliças são estruturas reticuladas, ou seja, formadas por 
barras em que se tem uma direção predominante, apresentam eixo reto, ligadas 
por rótulas ou articulações, formando unidades triangulares. As forças externas 
e reações são consideradas, de maneira simplificada, aplicadas nesses pontos, 
chamadas de nós.
Uma vez que as articulações são consideradas como rótulas, os esforços 
que surgem nos elementos podem ser de tração ou compressão, além do que os 
esforços são considerados aplicados diretamente nos nós.
As treliças podem ser classificadas em planar/bidimensional quando todos 
os membros e nós encontram-se no mesmo plano ou espacial/tridimensional, 
quando há membros e nós presentes nas três direções. 
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS89
FIGURA 20 – TRELIÇA PLANA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 25)
Para realizar o projeto de treliças (membros e nós) é necessário determinar a 
força desenvolvida em cada membro quando a treliça é submetida a um carregamento. 
Para isso, é preciso seguir dois pressupostos para realizar a idealização da treliça:
1- Os membros são unidos por pinos lisos: 
• Esta hipótese é geralmente satisfatória para estruturas aparafusadas ou 
soldadas, desde que as linhas de centro dos membros se unindo sejam 
concorrentes em um determinado ponto. 
• Uma vez que as ligações reais proporcionem alguma rigidez ao nó, faz com 
que surja uma tensão de flexão, chamada de tensão secundária. Enquanto a 
tensão na treliça idealizada (ligadas por pinos) é chamada de tensão primária.
2- Todas as cargas são aplicadas nos nós:
• Na maioria das vezes, esse pressuposto é verdadeiro. Frequentemente se 
despreza o peso dos membros da treliça, uma vez que a força resistente por 
esses membros é muito superior ao seu peso. 
FIGURA 21 – EXEMPLOS DE LIGAÇÕES DAS EXTREMIDADES DAS BARRAS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 26)
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
90
3.1 ESTATICIDADE E ESTABILIDADE DAS TRELIÇAS
A partir do apresentado na unidade anterior, para se conseguir obter uma 
treliça isostática é necessário que duas condições sejam obedecidas:
• Equilíbrio estável (restringida, com nós indeslocáveis).
• Número de incógnitas igual ao número de equações de equilíbrio da estática.
Desse modo é possível definir o número de incógnitas dado por:
• Número de reações (r) + Número de barras (b).
 (Incógnitas externas) + (Incógnitas internas).
• Número de equações de equilíbrio é o resultado de:
 ◦ Número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido à existência de uma 
equação no eixo x e outa no y).
Portanto, para uma estrutura de treliça isostática temos que r+b = 2.n, 
conforme a Figura 10.
FIGURA 22 – ESTRUTURA DE TRELIÇA ISOSTÁTICA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 29)
Uma vez determinado o grau de estaticidade resultando em uma 
estrutura isostática é possível obter os esforços em treliças através dos métodos 
de Equilíbrio de Nós, Método Cremona (Maxwell) e Método de Ritter, os quais 
serão detalhados a seguir.
4 MÉTODO DOS NÓS
Se considerarmos que uma treliça se encontra em equilíbrio, então quer 
dizer que cada um de seus nós também se encontra equilibrado. Sendo assim, 
este método consiste em satisfazer às equações de equilíbrios da estática ( ∑Fx=0 
e ∑Fy=0) para as forças exercidas sobre o pino de ligação de cada nó.
r + b = 3 + 11 = 14
2n = 2 x 7 = 14
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
91
Para conseguir aplicar este método é necessário, primeiramente, traçar o 
diagrama de corpo livre de cada nó da estrutura, para então conseguir aplicar as 
equações de equilíbrio. Para isso, é necessário lembrar que a linha de ação das 
forças aplicadas nos membros é especificada através da geometria da treliça e 
passa ao longo do eixo do membro.
De maneira geral, recomenda-se iniciar a análise através de um nó em que 
se tenha ao menos um esforço conhecido e, no máximo, duas forças desconhecidas, 
assim, aplicando as equações ∑Fx=0 e ∑Fy=0 é possível encontrar a solução para 
resolver as duas incógnitas. O sentido correto de uma força desconhecida pode 
ser determinado de duas maneiras possíveis:
1- Sempre presumindo que as forças de membros desconhecidas atuando sobre 
o diagrama de corpo livre da junta estão em tração (“puxando” o nó). Dessa 
forma, o resultado algébrico apresentará escalares positivos quando o esforço 
for de tração, e negativo caso o esforço atuante seja compressão. Deve-se 
ressaltar que, uma vez encontrado o esforço, se faz o uso dele com seu sentido 
correto para os diagramas de corpo livre subsequentes.
2- O sentido de direção correto de uma força de membro desconhecida pode ser 
determinado por inspeção, ou seja, o calculista analisará os esforços aos quais 
o nó é submetido e, através do sentido destes consegue presumir o sentido dos 
esforços desconhecidos. Da mesma maneira que anteriormente, o resultado 
algébrico das equações de equilíbrio será negativo caso o sentido real da força 
deve ser revertido.
O procedimento de análise através desse método pode ser resumido através 
dos seguintes passos:
• traçar o diagrama de corpo livre do nó, tendo pelo menos uma força conhecida 
e no máximo duas desconhecidas (para os nós que estejam nos apoios, primeiro 
deve-se calcular as reações de apoio desses pontos);
• usar um dos métodos citados para estabelecer o sentido da força desconhecida;
• os eixos x e y devem ser orientados de maneira que as forças no diagrama de 
corpo livre possam ser facilmente decompostas;
• aplicar as equações de equilíbrio;
• repetir o processo para todos os demais membros, lembrando sempre que um 
membro comprimido “empurra” o nó e um membro tracionado “puxa” o nó.
Exemplo 1
 
Determinar a força em cada membro da treliça de telhado mostrada a seguir, 
informando se os membros estão comprimidos ou tracionados.
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
92
FIGURA 23 - TRELIÇA
FONTE: Hibbeler (2013, p. 67)
Tendo em vista a simetria da treliça é necessário determinar apenas a 
metade das forças aplicadas nos membros. Assim temos:
Nó A:
A
4 kN
x
y
FAB
FAG
FONTE: Hibbeler
(2013, p. 67)
0;4 sin 30 0
8 ( )
0; 8cos30 0
6,928 ( )
Fy Fag
Fag kN compressão
Fx Fab
Fab kN tração
= − =
=
= − =
=
∑
∑
Nó G:
8 kN
G
FGF
FGB
3 kN
30º
60º
y
x
FONTE: Hibbeler
(2013, p. 68)
0; sin 60 3cos30 0
3 ( )
0;8 3sin 30 3cos 60 0 0
5 ( )
Fy Fgb
Fgb kN compressão
Fx Fgf
Fgf kN compressão
= − =
=
= − − − = =
=
∑
∑
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
93
Nó G:
6,928 kN
30º 60º
3,00 kN
B
x
y
FBC
FBF
FONTE: Hibbeler
(2013, p. 68)
0; sin 60 3sin 30 0
1,73 ( )
0; 1,73cos 60 3cos30 6,938 0
3,46 ( )
Fy Fbf
Fbf kN tração
Fx Fbc
Fbc kN tração
= − =
=
= + − − =
=
∑
∑
Exemplo 2
FIGURA 24 – RESOLUÇÃO DE TRELIÇAS PELO MÉTODO DE NÓS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 29)
Construção do diagrama de corpo livre:
FIGURA 25 – NÓ A
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 29)
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
94
FIGURA 26 – NÓ B
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 30)
5 MÉTODO DE CREMONA
O Método de Cremona é um método de análise gráfica que consiste 
em encontrar os esforços internos graficamente a partir dos nós da treliça. O 
procedimento de análise consiste em:
Iniciar a análise em um nó com apenas duas incógnitas.
• Desenhar em escala as forças externas atuantes neste nó, formando um polígono 
aberto.
• Nas extremidades dos polígonos são traçadas retas paralelas às barras que 
concorrem no nó analisado.
• Na intersecção destas paralelas formará um polígono fechado, obtendo assim o 
polígono de equilíbrio, em que é possível obter o módulo e sentido dos esforços 
nas barras.
• Os sinais dos esforços podem ser verificados:
 ◦ se o esforço normal aponta para o nó, sinal negativo (compressão);
 ◦ se o esforço normal sai do nó, sinal positivo (tração).
• Obtém-se 2 a 2 incógnitas na análise.
Exemplo 1: 
Considerando a treliça em que já foram calculadas as reações de apoio e os 
esforços internos pelo método dos nós, será realizada a verificação do resultado 
através do Método de Cremona.
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
95
FIGURA 27 – RESOLUÇÃO DE TRELIÇAS PELO MÉTODO DE CREMONA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 30)
FIGURA 28 – CONTRUÇÃO DO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 30-31)
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
96
Pela teoria apresentada, se um nó está em equilíbrio, então a soma vetorial 
das forças que atuam sobre ele será nula, portanto:
FIGURA 29 – NÓ A
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 31)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 31)
FIGURA 30 – NÓ B
FIGURA 31 – NÓ C
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 31)
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
97
Conforme pôde ser visto, os esforços calculadosforam confirmados, 
pois em todos os nós foram obtidos dos polígonos de equilíbrio com os valores 
encontrados através do método dos nós.
Exemplo 2: 
FIGURA 32 – NOTAÇÃO DE BOW
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 36)
FIGURA 33 - REAÇÕES DE APOIO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 36)
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
98
FIGURA 34 – NÓ A
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 36)
FIGURA 35 – NÓ D
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 37)
FIGURA 36 - NÓ B
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 37)
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
99
6 MÉTODO DE RITTER OU MÉTODO DAS SEÇÕES
É o método mais direto de obtenção dos esforços quando necessita encontrar 
apenas as forças atuantes em um dos nós da treliça. Este método consiste em passar 
uma seção imaginária através da treliça, cortando-a em duas partes.
Uma vez que a treliça inteira esteja em equilíbrio, cada uma das duas partes 
resultantes do corte também precisa estar em equilíbrio e, para determinar as forças 
dos membros para que a estrutura esteja em equilíbrio, utiliza-se as equações de 
equilíbrio, determinando assim as forças dos membros na seção de corte.
Porém, o posicionamento do corte deve ser realizado com muito critério, 
uma vez que temos apenas três equações de equilíbrio. Portanto, a seção deve 
conter, no máximo, três membros nos quais as forças sejam desconhecidas. 
É necessário observar que a linha de ação de cada força em um membro 
seccionado é especificada a partir da geometria da treliça, tendo em vista que a 
força em um membro passa ao longo do eixo de um membro. Além disso, as forças 
atuantes em um membro são iguais, mas opostas àquelas atuando na outra parte.
Assim como no método dos nós, há duas maneiras possíveis de determinar 
o sentido correto de uma força de membro desconhecida.
1- Sempre presuma que as forças de membros desconhecidas na parte seccionada 
estejam em tração. Com isso, a solução numérica resultará em um valor positivo 
para membros tracionados ou negativo se o membro for comprimido.
2- O sentido correto de uma força de membro desconhecida pode, em muitos 
casos, ser determinada por “inspeção”. Neste caso, se a solução produzir um 
valor negativo, indica que o sentido é oposto àquele determinado no diagrama 
de corpo livre.
6.1 PROCEDIMENTO DE ANÁLISE
• Determinar as reações de apoios externas da treliça.
• Definir a melhor maneira de cortar ou selecionar a treliça através dos membros 
em que as forças precisam ser determinadas.
• Traçar o diagrama de corpo livre.
• Determinar o sentido das forças desconhecidas por um dos métodos citados 
acima.
• Aplicar as equações de equilíbrio para determinar as forças desconhecidas e 
efetuar a análise.
Exemplo 1: 
Considere a seguinte treliça:
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
100
FIGURA 37 – TRELIÇA (EXEMPLO 1)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 40)
Suponha que queira determinar os esforços nas barras 3, 6 e 10. Para isso 
é possível dividir a estrutura em duas partes, particionando essas barras com 
a seção SS. Se considerarmos a parte da esquerda, deve-se colocar os esforços 
internos axiais que surgem nas barras para estabelecer o equilíbrio:
FIGURA 38 – AÇÃO NA PARTE DIREITA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 40)
As forças N3, N6 e N10 representam a ação da parte da direita da treliça 
sobre a parte da esquerda e esta ação é indiferente se considerarmos a parte da 
direita ou da esquerda.
TÓPICO 1 | ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
101
FIGURA 39 – AÇÃO NA PARTE ESQUERDA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 41)
Os esforços internos a serem encontrados (N3, N6 e N10) são iguais em 
módulos e direção, porém apresentam sentidos opostos dos que aparecem na parte 
esquerda, isso porque representam a ação da parte esquerda sobre a parte direita.
Com as equações de equilíbrio da estática é possível encontrar os valores 
dos esforços, resolvendo:
ΣMC = 0; obtém-se N3;
ΣMD = 0; obtém-se N6;
ΣFy = 0; obtém-se N10 (tanto faz pela esquerda ou direita).
Se os esforços forem positivos terão o sentido indicado (tração), se não, 
terão sentido inverso (compressão).
Exemplo 2: 
Determinar as forças internas nos membros GJ e CO da treliça apresentada 
a seguir.
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
102
FIGURA 40 – TRELIÇA (EXEMPLO 2)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 75)
Membro CF:
2m
30º FGH
FKJ
FGJ
4637 N
600 N
1,155m1200 N
G
I
FONTE: Hibbeler (2013, p. 75)
0
( sin 30).(2) 1200.(1,155) 0
1386( )
IM
FGJ
FGJ compressão
=
− + =
=
∑
Membro GC:
4637 N
30º
1200 N
600 N
1,155 m
FCO
FOP
CA
2m
FCD
FONTE: Hibbeler (2013, p. 76)
0
.(2) 1200.(1,155) 0
693 ( )
A
CO
GJ
M
F
F N tração
=
− =
=
∑
103
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Através das equações dos esforços, é possível encontrar o valor de cada um dos 
esforços em qualquer lugar da estrutura.
• O posicionamento das seções deve ser realizado corretamente, de maneira que 
sempre exista uma seção entre apoios ou alteração de carregamento.
• Há uma relação entre a equação de esforço cortante e momento fletor, sendo que 
as equações de esforço cortante é a derivada da equação do momento fletor.
• O diagrama de momento fletor é desenhado na direção das fibras tracionadas.
• Os carregamentos das treliças são realizados nos nós da estrutura.
• O grau de estaticidade de uma treliça é dado por r+b=2n.
• A análise de treliça isostática pode ser realizada através dos equilíbrios dos 
nós, método cremona ou método de Ritter.
• Entende-se que todo nó da treliça se encontra estático, portanto o somatório 
das forças em qualquer nó da treliça é igual a zero.
• O Método Cremona é um método gráfico, onde é possível encontrar os esforços 
internos a partir do equilíbrio do nó.
• Para a utilização do método cremona, deve-se iniciar em um nó que possua 
apenas duas incógnitas.
• Para utilizar o método de Ritter em estruturas de treliças, deve-se cuidar para 
cortar no máximo três barras com esforços desconhecidos em uma seção.
104
AUTOATIVIDADE
1 Determine as expressões analíticas do esforço normal (N), esforço cortante 
(V) e momento fletor (M) da viga apresentada a seguir:
FONTE: Teles (2013b, p.1)
2 Sem determinar as reações, determine as expressões analíticas do esforço 
normal (N), esforço cortante (V) e momento fletor (M) em todas as barras 
da estrutura representada. Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) 
caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, mínimos e zeros).
3 Sem determinar as reações, determine as expressões analíticas do esforço 
normal (N), esforço cortante (V) e momento fletor (M) em todas as barras 
da estrutura representada. Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) 
caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, mínimos e zeros).
FONTE: Teles (2013e, p. 1)
105
4 Sem determinar as reações, determine as expressões analíticas do esforço 
normal (N), esforço cortante (V) e momento fletor (M) em todas as barras 
da estrutura representada. Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) 
caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, mínimos e zeros).
5 Sem determinar as reações, determine as expressões analíticas do esforço 
normal (N), esforço cortante (V) e momento fletor (M) em todas as barras 
da estrutura representada. Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) 
caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, mínimos e zeros).
FONTE: Teles (2013e, p. 5)
FONTE: Teles (2013d, p. 1)
FONTE: Teles (2013a, p. 1)
106
6 Determine a força em cada membro da treliça do tipo tesoura mostrada na 
figura, informando se eles estão comprimidos ou tracionados.
a)
b)
c)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 68)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 70)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 70)
700N
800N CB
A
F
D
E
3m
Ay=502 N (a) Ey=764 N
60º60º
30º30º
45º45º
3m
3m
3m
10kNC
D
A B
107
FONTE: Hibbeler (2013, p. 71)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 71)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 72)
d)
e)
f)
D C
BA
2m
2m
8kN
60º
600N
A
B C D
E
H G F
600N
2m
2m2m 2m 2m
800N
4m
8kN
8kN
8kN
4kN4kN
B
A
G
F
E
C
D
2m
4m
108
g)
h)
i)
j)
3m
2m
5kN 5kN 5kN
A
G F
E
B C D
2m 2m
FONTE: Hibbeler (2013, p. 72)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 72)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 72)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 71)
F
E
DA
2kN
2m
30º 60º 60º 60º
60º
2m
2kN
B C
G
10kN
3m
3,6m
15kN
15kN
3m 3m 3m
H
G
F
EA
B C D
A
2m 2m 2m
2m
1m
B
H
8kN
8kN
6kN
G
E
F
C D
109
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 38)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 39)
7 Encontre os esforços internos das treliças a seguir através do Método de 
Cremona e classifique se são esforços de tração ou compressão:
a)
b)
1tf
A
VA=4tf VB=4tf
2m
4m 1m 3m 3m 1m 4m
2m
C
G
D E B
HF
1tf
2tf
2tf
2tf
G
E F
D
B
C
A
6tf 6tf
6tf
6m
6m 6m
6m
6m
2tf
2tf
2tf
110
c)
d)
e)
D C
A B
2m
2m
60º
8kN
FONTE: Hibbeler (2013, p. 71)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 71)
FONTE: Hibbeler (2013, p. 72)
FONTE: Süssekind (1981, p. 264)
2m
600N
800N
600N
2m 2m 2m
H G F
A
B C D
E
2m
8kN
8kN8kN
4kN4kN
4m
2m
B
F
EG
A
C
D
4m
8 Utilizando o Método de Ritter, encontre os esforços normais atuantes nas 
treliças:
a)
111
b)
c)
d)
FONTE: Süssekind (1981, p. 264)
FONTE: Süssekind (1981, p. 265)
FONTE: Süssekind (1981, p. 266)
112
e)
f)
FONTE: Süssekind (1981, p. 266)
FONTE: Süssekind (1981, p. 266)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 180)
9 Para a treliça a seguir, determine:
I- Os esforços nas barras (2), (7), (16), (23) usando o método de Ritter.
II- Os esforços em todas as barras por método gráfico.
113
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 181)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 181)
10 Obter os esforços atuantes através do Método de Ritter;
11 Determine os esforços nas barras (14), (27), (28) e (30) da treliça a seguir 
através do Método Ritter.
114
115
TÓPICO 2
VIGAS ISOSTÁTICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Até o presente momento, nós calculamos os esforços e diagramas de vigas 
através do método das seções, em que a estrutura é dividida em diferentes seções, 
sempre que houver alteração de carregamento.
Neste tópico será apresentado um método direto para o traçado dos 
diagramas de esforços, facilitando a análise de estruturas mais complexas; também 
serão apresentadas variações possíveis de serem encontradas em vigas, além da 
relação existente entre os diagramas de esforço cortante e momento fletor.
2 MÉTODO DIRETO
Através do método das seções é possível verificar que o equacionamento 
das estruturas resulta em alguns padrões dependentes exclusivamente do tipo de 
carregamento aplicado, ou seja, cada tipo de carregamento terá uma característica 
de forma e comportamento durante o trecho e seu ponto de transição. 
Exemplo:
• Carga vertical concentrada:
 ◦ Diagrama de esforço cortante (DEC): apresenta descontinuidade no ponto 
do carregamento.
 ◦ Diagrama de momento fletor (DMF): angulosidade no pondo do 
carregamento.
 
Uma relação que pode auxiliar nesta análise é sempre lembrar que a 
derivada do momento fletor da estrutura resulta no esforço cortante, ou seja, a 
curva do momento fletor sempre será de uma ordem superior àquela obtida no 
diagrama de esforço cortante.
2.1 VIGAS SIMPLES: MÉTODO DIRETO PARA DIAGRAMAS
O conhecimento dos comportamentos das cargas aplicadas na estrutura 
permite que seja possível traçar os diagramas sem que seja realizado todo o seu 
equacionamento, agilizando assim o processo de análise, por isso é conhecido 
como método direto.
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
116
Para melhor explicar o método, pode-se isolar um elemento de comprimento 
“l”, permanecendo em equilíbrio, conforme apresentado na Figura 28.
FIGURA 41 – MÉTODO DIRETO
FONTE: Leggerini; Kalil (2003, p. 76)
Supondo que se conhece os esforços no ponto anterior (n-1), observa-se 
as diferenças entre os cálculos através do método de seções e pelo método direto.
QUADRO 1 – DIFERENÇAS ENTRE OS MÉTODOS DE SEÇÕES E DIRETO
Método de seções Método direto
ΣFx=0
Nn–Nn–1 + H1=0
Nn=Nn–1–H1
ΣFY=0
–Qn+Qn–1+q.l–P1=0
Qn=+Qn–1+q.l–P1
ΣMn=0
Mn–Mn–1–Qn–1–q.l2/2+P1–M1=0
Mn=Mn–1+Qn–1+q.l2/2–P1+M1
Nn=Nn–1–H1
Nn=Nn–1±∑Fxext
Qn=+Qn–1+q.l–P1
Qn=Qn–1±∑Fyext
Mn=Mn–1 + Qn–1+q.l2/2–P1+M1
Mn=Mn–1+Qn–1±∑Fyiext.li±∑Miext
FONTE: Leggerini; Kalil (2003, p. 77)
É possível verificar que o método direto calcula diretamente os valores 
dos esforços nos pontos de transição e, com o conhecimento do efeito do 
comportamento da carga aplicada, é traçado o fechamento dos diagramas de 
esforços internos.
Deve-se ressaltar que, por calcular os esforços diretamente, o sinal deles 
segue a convenção já estudada, apresentada na Figura 42.
TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS
117
FIGURA 42 – CONVENÇÃO DE SINAIS UTILIZADA PARA ANÁLISE DOS ESFORÇOS
FONTE: Leggerini; Kalil (2003, p. 77)
Conforme já foi possível visualizar nos diagramas e nas equações 
anteriormente desenvolvidas, podemos escrever as relações diferenciais dos 
esforços sendo:
( ) ( )dM x Q x
dx
= ( ) ( ) M x Q x dx= ∫
Como por definição de integral é possível definir que o momento fletor em 
um ponto é igual à área do diagrama dos esforços cortantes em um determinado 
trecho até o ponto em análise. Sendo assim, pode-se generalizar que:
• Nn = Nn–1 ± ∑Fxext
• Qn = Qn–1 ± ∑Fyext
• Mn = Mn–1 + área do diagrama de esforço cortante entre pontos (n–1) e (n)
Observações: 
1- Quando somamos ao momento as áreas do cortante, elas devem entrar com os 
sinais do diagrama.
2- As linhas de fechamento dos diagramas devem seguir as conclusões 
matemáticas do método das equações.
3- O acima deduzido foi feito ao percorrermos a estrutura da esquerda para a 
direita. Se invertermos o caminho, os sinais são trocados: 
Qn = Qn-1 - Σ forças verticais de n-1 à n
Mn = Mn-1 - área do diagrama de cortante entre n-1 e n
4- As convenções devem ser observadas com cuidado. 
5- O momento em um determinado ponto P só pode ser calculado se conhecermos 
a área do diagrama de esforços cortantes no trecho considerado. Isso não 
acontece quando o trecho contiver uma carga triangular, pois o diagrama 
de cortante é delimitado por uma parábola de 2º grau de área desconhecida. 
Nesse caso, ou se calcula neste trecho o momento pelo método das equações ou 
se utiliza a equação:
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
118
Mn = Mn–1 + Qn–1 .l ± ∑Fyiext.li ± ∑Miext
6- Os valores das solicitações à direita e à esquerda dos pontos de transição 
devem ser calculados, pois dependendo do tipo de ponto de transição há 
descontinuidade nos diagramas. Se for uma carga vertical concentrada 
aparecerá descontinuidade no diagrama de esforços cortantes, de mesmo 
valor da carga, no seu ponto de aplicação; se for um momento concentrado 
aparecerá descontinuidade no diagrama de momentos fletores, de mesmo 
valor do momento, em seu ponto de aplicação.
7- Com a prática, podemos agilizar o cálculo dispensando o estudo à direita e à 
esquerda do ponto de transição.
8- As vigas Gerber (as quais veremos na sequência) tanto podem ser calculadas 
pelo método das equações como pelo método direto. O cálculo delas pode ser 
executado sobre toda a estrutura ou desmembrando-a em partes. Observe-se 
que a rótula é um ponto de transmissão de cargas verticais e horizontais não 
transmitindo momento, logo, o momento nas rótulas deve ser nulo. Quando 
executamos os diagramas pelo método direto, a rótula pode servir como uma 
referência para a confirmação da correção dos cálculos.
Exemplo 1:
FIGURA 43 - VIGAS ISOSTÁTICA PARA ANÁLISE ESTRUTURAL
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
DEN (kN):
Nesse caso, não há nenhum carregamento na direção horizontal da 
estrutura, portanto o diagrama de esforço normal desta viga será nulo.
TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS
119
FIGURA 44 - DEC DA VIGA BIAPOIADA
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
Percebe-se que nos pontos em que há carga concentrada aplicada, ocorre 
uma descontinuidade do diagrama de esforço cortante na mesma magnitude da 
força aplicada.
DMF (kN.m):FIGURA 45 - DMF DA VIGA BIAPOIADA
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
MCEsq = 60.4 = 240kN;
MDEsq = 60.8 – 50.4 = 280kN;
ou MD = MC + VC x4m
MEDir = 110.2 = 220kN;
MEEsq = 60.11 – 50.7 – 30.3 = 220kN;
ou MEEsq = MD + VD x3m
Exemplo 2:
FIGURA 46 - VIGA BIAPOIADA COM MOMENTO APLICADO NO NÓ
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
DEN (kN):
Neste caso, não há nenhum carregamento na direção horizontal da 
estrutura, portanto o diagrama de esforço normal desta viga será nulo.
DEC (kN):
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
120
FIGURA 47 - DEC DA VIGA BIAPOIADA COM MOMENTO APLICADO NO NÓ
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
DMF (kN.m):
FIGURA 48 - DMF DA VIGA BIAPOIADA COM MOMENTO APLICADO NO NÓ
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
Exemplo 3:
FIGURA 49 - DMF DA VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
DEN (kN):
Neste caso, não há nenhum carregamento na direção horizontal da 
estrutura, portanto o diagrama de esforço normal desta viga será nulo.
DEC (kN):
TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS
121
FIGURA 50 - DMF DA VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
FONTE: ADAPTADO JÚNIOR (2013)
DMF (kN.m):
FIGURA 51 - DMF DA VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO (2)
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
2.2 VIGAS GERBER
São vigas sobre diversos suportes, compostas com rótulas de forma que 
seus trechos se tornem estaticamente determinados e possibilitem a determinação 
dos esforços através das equações de equilíbrio. Este tipo de viga é muito aplicado 
em pontes e estruturas pré-fabricadas.
Portanto, trata-se de vigas formadas pela associação de vigas simples 
isostáticas, em que algumas delas servem de apoio para as outras, tornando o 
conjunto estável.
O seu surgimento se deu devido a motivos estruturais e construtivos 
e, para resolvê-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, 
resolvendo, inicialmente, aquelas sem estabilidade própria e, posteriormente, as 
que possuem estabilidade própria, considerando as cargas que são diretamente 
transferidas pelas demais vigas através das rótulas.
2.2.1 Procedimento de análise 
Será apresentado, na Figura 52, um roteiro de análise deste tipo de viga, 
em que os passos a serem seguidos estarão destacados com algarismos romanos. 
Basicamente o procedimento se dá da seguinte maneira:
DEC (kN):
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
122
I- Isola-se a viga que não apresenta estabilidade própria e resolve esta viga.
II- O diagrama do elemento já pode ser traçado separadamente, juntando as 
demais partes no final da análise.
III- As rótulas transmitem os esforços verticais e horizontais, porém não 
transmitem momento para as demais partes da estrutura, portanto nos pontos 
rotulados dos DMF devem ser nulos.
IV- Basta que um dos apoios da viga resista às forças horizontais na Viga Gerber.
V- Apenas as cargas verticais provocam esforço cortante e momento fletor, 
portanto, na decomposição, não há a necessidade de distinguir os apoios 
entre 1º e 2º gêneros.
FIGURA 52 – EXEMPLOS DE RESOLUÇÕES DE VIGAS GERBER
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 52-53)
TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS
123
Exemplo 1:
FIGURA 53 – VIGAS GERBER – EXEMPLO DE DECOMPOSIÇÃO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 54)
FIGURA 54 – DEC (tf)
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
FIGURA 55 – DMF (tfm)
FONTE: Adaptado Júnior (2013)
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
124
MBesq = -6 x 2 = -12
MCesq = -6 x 5 + 9,33 x 3 – 12 x 1,5 = -20
MDesq = -6 x 7 + 9,33 x 5 – 20 x 2,5 + 22,67 x 2 = -0,01 ≈ 0, portanto, OK.
O momento fletor na rótula é sempre nulo, a não ser que haja um binário 
aplicado na rótula.
MEdir = -36 + 18 x 3 – 12 x 1,5 = 0 OK
MFdir = -36
Quando, na rótula, não há força concentrada:
Vdesq = Vddir
Veesq = Vedir
2.3 VIGAS INCLINADAS
Seja uma viga igual à apresentada na figura a seguir, submetida a um 
carregamento distribuído verticamentel, as suas reações possuem a mesma 
magnitude, conforme indicado na figura.
Ao ser realizada uma seção pela estrutura, é possível verificar que o 
momento fletor atuante na seção S é dado por:
2 2 2
2
. . . . 
2 2 2S
q a q x q a x xM x
a a
   = − = −   
    
. . cos
2S
q aV q x α = − 
 
. . sin
2S
q aN q x α = − 
 
Ao compararmos esta equação com a equação de momento de uma viga 
simples, é possível afirmar que, para efeito de momento fletor, a viga se comporta 
como uma viga horizontal de vão a e, o diagrama é o apresentado abaixo.
TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS
125
FIGURA 56 – VIGA INCLINADA COM CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 58)
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
126
FIGURA 57 – DIAGRAMAS DE ESFORÇOS PARA A VIGA INCLINADA
COM CARREGAMENTO VERTICAL DISTRIBUÍDO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 59)
Ou quando for submetido a um esforço distribuído verticalmente:
FIGURA 58 – VIGA INCLINADA COM CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO
DEN:
TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS
127
FIGURA 59 – DIAGRAMAS DE ESFORÇOS PARA A VIGA INCLINADA
COM CARREGAMENTO HORIZONTAL DISTRIBUÍDO
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
128
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 61)
Ou, ainda, em situação em que o carregamento também se encontra 
inclinado, é possível o valor ser encontrado somando a parcela vertical e a parcela 
horizontal, conforme pode ser visto na sequência:
FIGURA 60 – VIGA INCLINADA COM CARREGAMENTO INCLINADO DISTRIBUÍDO (2)
TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS
129
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 62)
Portanto, o diagrama de momento fletor é:
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
130
FIGURA 61 – DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DA VIGA INCLINADA
COM CARREGAMENTO UNIFORME INCLINADO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 63)
Exemplo 1:
FIGURA 62 - VIGA INCLINADA SUBMETIDA A UM ESFORÇO DISTRIBUÍDO VERTICALMENTE 
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 64)
TÓPICO 2 | VIGAS ISOSTÁTICAS
131
Exemplo 2:
FIGURA 63 - VIGA INCLINADA SUBMETIDA A UM ESFORÇO DISTRIBUÍDO VERTICALMENTE (2)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 63)
132
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• O traçado de diagramas de vigas pode ser realizado utilizado o método de 
Ritter, ou o método direto.
• Para uma carga concentrada, o diagrama de esforço cortante (DEC) apresenta 
descontinuidade no ponto do carregamento e o diagrama de momento fletor 
(DMF) apresenta angulosidade no pondo do carregamento.
• Uma vez conhecendo o comportamento do carregamento da estrutura, é 
possível traçar os diagramas de forma direta.
• Assim como no método de Ritter, existe relação entre o DEC e DMF, onde o valor 
de máximo para o trecho analisado é a área do diagrama de esforço cortante.
• Vigas Gerber são vigas que apresentam rótulas em sua composição de forma a 
tornar o sistema da estrutura estaticamente determinável.
• A análise das vigas Gerber é iniciada pelo trecho que não apresenta estabilidade 
própria, ou seja, onde há a presença de rótulas.
• A presença de rótulas na estrutura faz com que os esforços horizontais e verticais 
sejam transferidos, mas não transferem os esforços de momento fletor, portanto 
no nó rotulado, o diagrama de momento fletor é necessariamente zero.
• Em vigas inclinadas, pode ocorrer de existir carregamento vertical, horizontal 
ou ainda inclinado e, neste último caso, pode ser decomposto em carregamento 
vertical + horizontal.
133
AUTOATIVIDADE
1 Utilizando o método direto, trace os diagramas de esforços (DEC, DEN e 
DMF) das estruturas a seguir:
a)
b)
c)
FONTE: Adaptado de Júnior (2013)
FONTE: Adaptado de Júnior (2013)
FONTE: Adaptado de Júnior (2013)
134
d)
e)
FONTE: Adaptado de Süssekind (1981)
FONTE: Adaptado de Süssekind (1981)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 56)
FONTE: Adaptado de Süssekind (1981)
FONTE: Adaptado de Süssekind (1981)
2 Encontre as reações e trace o diagrama de esforços para as estruturas a 
seguir:
a)
b)
c)
135
d)
FONTE: Adaptado de Süssekind (1981)
FONTE: Süssekind (1981,p. 88)
FONTE: Adaptado de Júnior (2013)
3 A figura a seguir representa o diagrama de esforço cortante de uma Viga 
Gerber, que possui uma rótula a ser determinada. Portanto, determine:
I- A posição da rótula.
II- Reconstrua o carregamento aplicado nessa viga.
III- Trace o diagrama de momento fletor.
4 Obtenha os diagramas dos esforços solicitantes para a viga:
136
137
TÓPICO 3
PÓRTICOS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico será aplicado os métodos de análises vistos até agora em 
estruturas de pórticos, arcos e cabos, apresentando em cada estilo de estrutura 
suas particularidades.
Pórticos são estruturas lineares constituídas por barras retas ligadas entre 
si. Eles podem ser planos (bidimensionais) ou espaciais (tridimensionais). Em 
nosso estudo, estaremos limitados a análise de pórticos planos.
Os cabos são estruturas flexíveis, lineares e capazes de resistir apenas aos 
esforços de tração, sem apresentar resistência aos demais esforços. Sua utilização 
se dá de diversas maneiras na construção civil, sendo, desde pontes pênseis à 
teleféricos portantes, linhas de transmissão de energias, entre outros.
Os arcos são estruturas que podem ser utilizadas para reduzir os 
momentos fletores em estruturas que possuem vãos muito grandes. A atuação 
do arco na estrutura é a inversa de um cabo, ou seja, ele recebe a sua carga 
fundamentalmente em compressão. Ao contrário dos cabos, os arcos são rígidos, 
portanto, necessitam resistir aos momentos fletores e esforços cortantes que agem 
na estrutura carregada.
Será iniciado os estudos apresentando a confecção dos diagramas de 
esforços para pórticos, e a partir daí, evoluindo para as outras estruturas.
2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS
A ligação entre as barras dos pórticos é realizada através de engastes ou 
rótulas internas para permitir que a sua estrutura trabalhe em conjunto, e não 
como ocorre em colunas e vigas, onde cada elemento trabalha isoladamente.
Os Diagramas de Esforço Normal (DEN) e Diagramas de Esforço Cortante 
(DEC) não precisam ser feitos para o mesmo lado da barra, basta, apenas, ter os 
mesmos valores e sinais. Já os Diagramas de Momento Fletor (DMF) devem estar 
sempre no lado tracionado da barra, podendo os sinais dos resultados serem 
diferentes dos sinais utilizados neste livro didático.
138
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Considerações sobre os sinais dos diagramas: 
• As fibras inferiores serão tracejadas, definindo, portanto, a parte à esquerda e à direita 
da seção. 
Exemplo:
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 70)
NOTA
2.1 PÓRTICOS SIMPLES
FIGURA 64 – ESTRUTURA DE PÓRTICO SIMPLES
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 74)
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
139
É possível descobrir os esforços solicitantes na estrutura pelo método 
direto, como visto anteriormente, facilitando a análise da estrutura. Os cálculos 
estão apresentados a seguir:
Reações:
∑Fx = 0 . . RAx = 1tf
∑Fy = 0 . . RAy = 3 + 1.4 + 1
RAy = 8 tf
∑MA = 0 . . 3.2 – 1.4.2 – 1.1 + 1.2 + MA = 0
MA = 1 tf.m
Seção S1: trecho DC
N = 0;
V = -3 tf
MC = -6 tf.m
Seção S2: trecho CE
N = 0;
V = 1.x
Para x = 0; V = 0
x = 4; V = 4 tf
M = -1.x2/2
Para x = 0; M = 0
x = 4; M = -8 tf.m
Seção S5: trecho AB
N = -8 tf
V = -1 tf
M = -1 – 1.x
Para x = 0; M = -1 tf.m
x = 2; M = -3 tf.m
Seção S4: trecho BC
N = -7tf
V = 0
M = -2tf.m
Seção S3: trecho FB
N = -1 tf;
V = 1 tf
M = -1.x
Para x =0; M =0
x = 1; M = -1 tf.m
Com isso, é possível traçar os diagramas de esforços solicitantes do pórtico.
140
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
FIGURA 65 – DIAGRAMA DE ESFORÇOS DA ESTRUTURA DE PÓRTICO SIMPLES
FONTE: Süssekind (1981, p. 116)
2.2 PÓRTICO COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
141
FIGURA 66 – ESTRUTURA DE PÓRTICO COM ARTICULAÇÃO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 80)
142
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
FIGURA 67 – DIAGRAMA DE ESFORÇOS DO PÓRTICO ARTICULADO
FONTE: Süssekind (1981, p. 116)
2.3 PÓRTICOS COMPOSTOS
É denominado pórtico composto a associação de pórticos simples. Se eles 
forem isostáticos, será uma associação de pórticos simples isostáticos.
Diagramas:
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
143
FIGURA 68 – PÓRTICO COMPOSTO – EXEMPLO 1
FONTE: Süssekind (1981, p. 130)
FONTE: Süssekind (1981, p. 131)
144
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
FIGURA 69 – PÓRTICO COMPOSTO – EXEMPLO 2
FONTE: Süssekind (1981, p. 134)
FIGURA 70 – PÓRTICO COMPOSTO – EXEMPLO 3
FONTE: Süssekind (1981, p. 133)
FIGURA 71 – PÓRTICO COMPOSTO – EXEMPLO 4
FONTE: Süssekind (1981, p. 133)
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
145
FIGURA 72 – PÓRTICO COMPOSTO – EXEMPLO 5
FONTE: Süssekind (1981, p. 135)
Decompondo:
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 84)
Decompondo:
∑Fx = 0 . . HC = 30 kN
∑Fy = 0 . . VA + VC = 80 kN
∑MA = 0 . . 8.VC + 4.HC – 80.4 – 30.2 = 0
VC = 32,5 kN VA = 47,5 kN
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 84)
∑Fx = 0 . . HD + HG + 30 = 0
∑Fy = 0 . . VD + VG = 20 + 32,5 + 80
VD + VG = 132,5 kN
∑MD = 0 . . 8.VG – 20.5 – 80.4 – 30.4 = 0
VG = 67,5 kN VD = 65 kN
MCD = 0 . . 4.HD = 0
HD = 0 HG = -30 kN
146
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Diagramas:
FIGURA 73 – DIAGRAMA DE ESFORÇOS DA ESTRUTURA DE PÓRTICO COMPOSTO
FONTE: Süssekind (1981, p. 136)
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
147
3 CABOS
Os cabos são estruturas flexíveis, lineares e capazes de resistir apenas aos 
esforços de tração, sem apresentar resistência aos demais esforços. Sua utilização 
se dá de diversas maneiras na construção civil, sendo desde pontes pênseis à 
teleféricos portantes, linhas de transmissão de energias, entre outros.
Na estática, assume-se a hipótese de que os cabos são perfeitamente 
flexíveis, ou seja, o momento fletor e o esforço cortante, neste tipo de estrutura 
são nulos durante todo o seu comprimento, tornando os cabos submetidos a 
esforços de tração.
Quanto à consideração dos esforços de solicitação, dependendo do caso 
deve-se considerar o peso próprio do cabo. Em situações em que o peso próprio 
do cabo seja muito menor que as cargas externas solicitantes, pode-se desprezar a 
parcela do peso próprio da estrutura. A geometria da configuração deformada do 
cabo, para um dado carregamento é denominada forma funicular do cabo.
Alguns exemplos de formas funiculares podem ser observados a seguir:
QUADRO 3 – EXEMPLO DE FORMAS FUNICULARES
Carregamento Forma Funicular
Triângulo
Trapezoide
Polígono
148
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Parábola
Catenária
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 89)
É importante ressaltar que a catenária apresenta uma curvatura mais 
baixa do que a parábola, uma vez que seu peso próprio se concentra mais nas 
extremidades dos cabos.
A partir de estudos comparativos entre a forma da parábola e da 
catenária, para várias relações de flecha (f) e do vão entre extremidades (L), 
constata-se que para relações (f / L) ≤ 0,2 as formas da parábola e da catenária são 
praticamente coincidentes. Nesses casos é mais prático usar a forma da parábola 
para determinação dos lugares geométricos dos pontos ao longo do cabo.
FIGURA 74 – EXEMPLO DE CATENÁRIA DE ESTRUTURA DE CABO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 90)
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
149
3.1 REAÇÕES DE APOIO PARA CABOS
Os sistemas de cabos acabam desenvolvendo em suas extremidades 
empuxos horizontais, fazendo com que sejam necessários vínculos de segunda 
ordem para a manutenção da estabilidade.
Podemos considerar uma estrutura de cabos suportando duas cargas 
pontuais (concentradas) P, dispostas nos terços do vão, conforme esquema a seguir:
FIGURA 75 – CATENÁRIA DE UM CABO SUPORTADO DUAS CARGAS CONCENTRADAS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 91
Como estamos trabalhando com um sistema de forças em um plano, 
utiliza-se as equações de equilíbrio para encontrar as incógnitas desconhecidas:
(∑Fx=0, ∑Fy=0, ∑Mz=0)
Deve-se ressaltar que, em qualquer ponto da estrutura o momento fletor 
é nulo, portanto, temos:
ΣFx = 0
Ax – Bx = 0, logo Ax = Bx = H (empuxo horizontal)
ΣMA = 0
PL / 3 + P (2L / 3)– By.L = 0, portanto By = P
ΣFy = 0
Ay + By = 2P, então Ay = 2P – By = P
Ainda não é possível calcular o valor do empuxo horizontal “H” se 
faz necessária uma quarta equação de equilíbrio, que sai da hipótese de que o 
momento fletor em qualquer ponto do cabo é nulo. Portanto, basta fazer uma 
seção em qualquer ponto conhecido que será possível obter a equação necessária.
Portanto, faremos uma seção no ponto C e temos:
150
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
FIGURA 76 – SEÇÃO 1, COINCIDENTE COM O PONTO C DO CABO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 92)
ΣMc = 0 
- H.f + (P.L) / 3 = 0, portanto H = (P. L) / 3f.
Através da equação anterior é possível verificar que quanto menor for a 
flecha, maior é o valor de empuxo obtido. Uma analogia interessante e que nos 
auxilia para a resolução de problemas com cabos é a substituição do sistema por 
uma viga simples de mesmo vão e mesmo carregamento.
Como é possível observar na figura a seguir, as reações de apoio verticais 
coincidem para o cabo “AB” e para a viga de substituição “AB’, facilitando os 
cálculos dos esforços da estrutura. 
De agora em diante, iremos referenciar as reações de apoio e esforços na viga 
de substituição como Ay* e By*, e no cabo como Ay e By.
ATENCAO
Além das reações de apoio, outra vantagem da substituição do sistema de 
cabos por uma viga é a determinação do gráfico do empuxo do cabo.
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
151
QUADRO 4 – COMPARAÇÃO DO CARREGAMENTO EM CABOS COM UMA VIGA BIAPOIADA
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 93)
Cabos 
Viga de substituição
DMF
M*máx = PL / 3, logo H = PL / 3f = M*máx / f.
Em que f é a distância vertical máxima do cabo até a linha de fechamento 
entre as extremidades A e B do cabo. 
Esta analogia é válida para outros tipos de carregamentos, fica como desafio 
ao acadêmico provar estas relações.
ATENCAO
152
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Uma vez conhecidas as reações de apoio, é possível determinar os esforços 
normais atuantes no cabo. Usando mais uma vez o exemplo do cabo submetido a 
duas cargas concentradas equidistantes, de valor “P” cada uma:
QUADRO 5 – ESFORÇOS NORMAIS DE TRAÇÃO ATUANTES EM CABOS
Esforço normal no trecho AC Substitui-se a parte do cabo retirada, 
pelo seu efeito, a Força Normal NAC. 
Aplicam-se as equações de equilíbrio:
ΣFx = 0 
NACx = PL/3f
ΣFy = 0 
NACy = P, logo 
NAC2 = (NACx)2 + (NACy)2
NAC = [(PL/3f) 2 + P2] ½
Esforço normal no trecho DC ΣFx = 0 
NCD = H = PL/3f
ΣFy = 0 
P – P = 0, equilíbrio satisfeito 
Esforço normal no trecho DB: 
NDB = NAC = [(PL/3f)2 + P2] ½
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 96)
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
153
De acordo com as equações encontradas da figura é possível verificar que 
o esforço normal máximo se encontra nos trechos AC e DB, juntos da extremidade 
do cabo, ficando de acordo com o pressuposto anteriormente, na caracterização 
do sistema de cabos.
5 ARCOS
Os arcos são estruturas que podem ser utilizadas para reduzir os 
momentos fletores em estruturas que possuem vãos muito grandes. A atuação 
do arco na estrutura é a inversa de um cabo, ou seja, ele recebe a sua carga 
fundamentalmente em compressão. Ao contrário dos cabos, os arcos são rígidos, 
portanto, necessitam resistir aos momentos fletores e esforços cortantes que agem 
na estrutura carregada.
Em particular, se o arco tem uma forma parabólica e é sujeito a uma carga 
vertical uniforme distribuída horizontalmente, então da análise de cabos vê-se que 
apenas forças compressivas serão resistidas pelo arco. Nessas condições, a forma 
do arco é chamada de arco funicular porque nenhuma força de flexão ou cortante 
ocorre dentro do arco. A figura a seguir apresenta uma estrutura típica de um arco.
FIGURA 77 – ESTRUTURA TÍPICA DE UM ARCO
FONTE: Hibbeler (2013, p. 139)
vértice
fundação
linha de pressão elevação da linha de centro
côncavo
intradorso
(ou sofito)
extradorso
(ou costas)
O tipo de arco escolhido se dá devido a sua aplicação e aos esforços a que 
estará submetido. Eles podem apresentar estruturas biengastadas, biarticuladas, 
triarticuladas ou atirantadas. Suas diferenças consistem no seu método 
construtivo, materiais utilizados, local de aplicação e grau de liberdade.
FIGURA 78 – DIFERENÇAS ENTRE OS TIPOS DE ARCOS
FONTE: Hibbeler (2013, p. 139)
arco biengastado (a)
arco triarculado (c) arco atirantado (c)
arco bienarticulado (b)
154
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Os arcos com apoios rotulados permitem a rotação nas extremidades 
quando o carregamento atuar.
Os arcos com vínculos engastados são mais rígidos que os de 
extremidade rotulada, apresentando menores deslocamentos quando sob a ação 
do carregamento. Por serem mais rígidos, adaptam-se menos às variações de 
carregamento ao longo da vida da estrutura, surgindo, assim, esforços solicitantes 
mais elevados que nos pórticos rotulados.
Os arcos hiperestáticos por dependerem de uma condição adicional de 
compatibilidade das deformações, além das equações de equilíbrio, sofrem alterações 
significativas nos esforços quando há recalques de apoios ou variações de temperatura. 
Para eliminar esses efeitos, pode-se acrescentar uma rótula ao arco biarticulado.
Nos cabos, para cada tipo e intensidade de carregamento a forma funicular 
seria diferente de forma que todas seções transversais estivessem submetidas a 
momentos nulos. Além disso, o empuxo horizontal nos apoios sempre é com 
sentido a afastar as extremidades.
Nos arcos, para cada tipo e intensidade de carregamento existirá uma forma 
funicular para a qual os momentos serão nulos para todas as seções transversais. 
Esta forma funicular é chamada “linha de pressão” de um carregamento sempre 
que a geometria de um arco coincidir com a linha de pressão do carregamento 
aplicado sobre o arco, os únicos esforços atuantes serão de compressão, com Ms=0 
e Vs=0. Além disso, independentemente de o arco estar submetido exclusivamente 
a esforços de compressão ou não, os empuxos horizontais nas extremidades do 
arco têm sentido de aproximação das extremidades equilibrando a tendência de 
o arco deformar-se com o afastamento dos apoios.
Exemplo: 
Encontrar esforços internos no arco circular para pontos de coordenadas 
x = 0, 4, 8, 12 e 16 m.
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
155
FIGURA 79 – ARCO TRIARTICULADO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 126)
(R-3)2 + 162 = R2 
R2 - 6R + 9 + 256 = R2 
6R = 256 + 9 
R = 44,17m 
Centro do Círculo: 
a = 16m 
b = - (R-3) 
Equação do Arco: 
(x-16)2 + [y + (R-3)]2 = R2
Derivando em relação a x:
2(x-16) + 2 [y + (R-3)] dy/dx = 0
Teremos que: 
tg ϕ = dy/dx = (16 - x) / (y + R - 3) R = 44,17 m 
Da viga de substituição obtemos: 
. 8.32 128 
2 2a
q lV kN= = =
2 8
* . 8.32 1024 
8 8g
q lM kN= = =
H= M*g/f = 1024/3 = 341,33 Kn
156
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
TABELA 1 - RESOLUÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS PARA ESTRUTURA DE ARCOS
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 127)
Pontos x y tg ϕ ϕ sen ϕ cos ϕ NS VS MS
0 0 0 0,388 21,24º 0,362 0,932 - 364,5 - 4,3 0
1 4 1,34 0,283 15,96º 0,272 0,962 - 354,5 - 0,5 - 9,4
2 8 2,27 0,184 10,43º 0,181 0,983 - 347,1 1,1 - 6,8
3 12 2,82 0,091 5,20º 0,091 0,996 - 342,9 0,8 - 2,6
4 16 3,00 0 0º 0 1,0 - 341,3 0 0
M*s =Vax – (q.l2)/2
Diagramas:
FIGURA 80 – DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES PARA ARCO
COM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 128)
TÓPICO 3 | PÓRTICOS
157
LEITURA COMPLEMENTAR
LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA ESTRUTURAS
DETERMINADAS ESTATICAMENTE
R. C. Hibbeler
Linhas de influência têm uma aplicação importante para o projeto de 
estruturas que resistem a grandes sobrecargas. Neste capítulo discutiremos como 
traçar a linha de influência para uma estrutura determinada estaticamente. A 
teoria é aplicada a estruturas sujeitas a uma carga distribuída ou a uma série 
de forças concentradas, e são dadas aplicações específicas para vigas de piso e 
treliças de pontes. A determinação do cortante e momento máximos absolutos em 
um membro é discutida no fim docapítulo.
Nos capítulos anteriores desenvolvemos técnicas para analisar as forças em 
membros estruturais em razão de cargas permanentes ou fixas. Foi mostrado que 
os diagramas de cortante e n1ornento representam os métodos mais descritivos 
para mostrar a variação dessas cargas em um membro. Se uma estrutura é sujeita 
a uma sobrecarga ou cargas 111óveis, entretanto, a variação do cortante e do 
momento fletor no membro é mais bem descrita se for usada a linha de influência. 
Uma linhade influência representa a variação da reação, cortante, momento 
ou deflexão em um ponto especifico em um membro à medida que uma força 
concentrada se desloca sobre o membro. Uma vez que essa linha seja construída, 
você pode dizer de relance onde a carga em movimento deve ser colocada sobre 
a estrutura de maneira que ela crie a maior influência no ponto especificado. 
Além disso, a magnitude da reação associada, cortante, momento ou deflexão no 
ponto podem então ser calculados a partir das ordenadas do diagrama de linha 
de influência. Por essas razões, linhas de influência têm um papel importante no 
projeto de pontes, vigas de pontes rolantes, transportadores e outras estruturas 
em que as cargas se deslocam através de seu vão.
Apesar de o procedimento para construir uma linha de influência ser bastante 
básico, é preciso que se tenha bem claro a diferença entre construir uma linha de 
influência e construir um diagrama de cortante ou momento. Linhas de influência 
representam o efeito de uma carga em movimento apenas em um ponto especificado 
em um membro, enquanto diagramas de cortante e momento representam o efeito 
de cargas fixas em todos os pontos ao longo do eixo do membro.
Procedimento de análise
Qualquer um dos dois procedimentos a seguir pode ser usado para construir 
a linha de influência em um ponto específico P em um membro para qualquer função 
(reação, cortante ou momento). Para ambos os procedimentos consideraremos que 
a força em movimento tem uma magnitude de unidade adimensional.
158
UNIDADE 2 | INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE ESTRUTURAS
Valores tubulados
• Coloque uma carga unitária em várias posições, x, ao longo do membro, em 
cada posição use a estática para determinar o valor da função (reação, cortante 
ou momento) no ponto especificado.
• Se a linha de influência para uma reação de força vertical em um ponto sobre 
uma viga deve s~r construída, considere a reação como positiva no ponto 
quando ela atua para cima sobre a viga.
• Se uma linha de influência de cortante ou momento deve ser traçada para um 
ponto, tome o cortante ou momento no ponto como positivo de acordo com a 
mesma convenção de sinais usada para traçar os diagramas de cortante e momento. 
• Todas as vigas determinadas estaticamente terão linhas de influência que 
consistem de segmentos em linha reta. Após alguma prática você deve ser 
capaz de minimizar os cálculos e localizar a carga unitária somente em pontos 
representando as extremidades de cada segmento de linha.
• Para evitar erros, recomenda-se que primeiro se construa uma tabela, listando 
“carga unitária em x” versus o valor correspondente da função calculada no 
ponto específico; isto é, “reação R”, “cortante V” ou “momento M”. Uma vez 
que a carga tenha sido colocada em vários pontos ao longo do vão do membro, 
os valores tabulados podem ser representados graficamente e os segmentos de 
linha de influência construídos.
Equações de linho de influência
• A linha de influência também pode ser construída colocando a carga unitária 
em uma posição variável x no membro e então calculando o valor de R, V ou 
M no ponto como uma função de x. Desta maneira, as equações dos vários 
segmentos de linha compondo a linha de influência podem ser determinadas e 
representadas graficamente.
FONTE: HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 12. ed. São Paulo: Editora Pearson, 2013. p. 147-148.
159
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• A ligação entre as barras dos pórticos é realizada através de engastes ou rótulas 
internas, resultando em diferentes comportamentos da estrutura.
• A adição de rótula fornece uma equação a mais para o sistema.
• Sempre que possível, utilizar da simetria da estrutura para a resolução de 
estruturas de pórticos.
• O momento fletor e o esforço cortante nos cabos são nulos, estes apresentando 
apenas esforços de tração.
• A geometria da configuração deformada do cabo, para um dado carregamento, 
é denominada forma funicular do cabo.
• Extremidades dos cabos é necessário apoio de segundo grau.
• A substituição do sistema por uma viga simples de mesmo vão e mesmo 
carregamento pode ser utilizado para facilitar a resolução da estrutura.
• A atuação do arco na estrutura é a inversa de um cabo, ou seja, ele recebe a sua 
carga fundamentalmente em compressão.
• Como os arcos são rígidos, eles precisam resistir à momentos fletores e esforços 
cortante.
• A análise de estruturas de arcos pode ser feita através da alteração da estrutura 
por uma viga rígida de mesmo vão e carregamento.
160
1 Traçar os diagramas dos esforços solicitantes dos pórticos simples a seguir:
a)
b)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, 76)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, 78)
AUTOATIVIDADE
161
2 Determine as reações de apoio no cabo AB e as cotas verticais nos pontos 
“C” e “E”.
3 Qual é o comprimento total do cabo que suporta uma sobrecarga 
uniformemente distribuída ao longo do vão de 100 N/m e que possui peso 
próprio igual a 50 N/m, sabendo-se que os pontos de fixação estão no topo de 
postes de 6 m de altura e que estão afastados entre si de 50 m? Além disso, há 
a informação de que o ponto mais baixo do cabo está 4,5 m acima do solo.
c)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, 79)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 104)
162
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 107)
4 Uma passarela, que liga duas edificações afastadas de 15,0 m, possui 3,0 m de 
largura e deve suportar uma sobrecarga de 5 kN/m2 além de seu peso próprio, 
também estimado em 5 kN/m2. A passarela será suspensa por dois cabos com 
uma flecha de 3 m. Determine a força normal máxima que tracionará o cabo.
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 108)
163
5 O cabo de aço de uma ponte pênsil de 600 m em vão, cujos pontos de 
suspensão estão no mesmo nível, deve suportar uma carga total máxima 
uniformemente distribuída de 3,5 kN/m. Se a flecha do cabo é de 90 m:
I- Determine a área necessária de sua seção transversal, sabendo que a tensão 
admissível deste aço à tração é de σt=200 Mpa.
II- Calcule o comprimento total do cabo.
6 O cabo de uma linha de transmissão, suspenso entre dois pontos no mesmo 
nível, deve vencer um vão de 80 m e suportar uma carga uniformemente 
distribuída de 0,05 kN/m. Se o comprimento total do cabo é de 110 m, qual 
é sua flecha e qual seu valor do esforço normal máximo atuante?
7 O cabo BC suporta uma carga uniformemente distribuída de 50 N/m e 
possui comprimento total de 120 m. Se no ponto A atua um momento fletor 
de 200 kN.m, calcule:
I- A flecha “f” do cabo.
II- O valor do esforço normal máximo no cabo.
8 Dois cabos parabólicos são unidos no ponto C, no topo de uma torre. 
Considerando que a torre não deve ser solicitada por componentes 
horizontais, determine h.
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 194)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 193)
164
9 Calcule o valor de f para que o arco triarticulado AGB tenha a geometria da 
linha de Pressões do carregamento indicado e para que o esforço normal 
máximo valha 200 kN (compressão). Pede-se também:
I- Aspecto a Linha de Pressões.
II- Equações da Linha de Pressões em todos os trechos, referidas aos eixos x e y.
III- Esforço normal em G.
IV- Inclinação da Linha de Pressões no apoio A.
V- Esforço normal mínimo.
10 Deseja-se construir um sistema triarticulado AGB cuja geometria coincida 
com a Linha de Pressões do carregamento da figura. Pede-se:
I- Equações da Linha de Pressões em todos os trechos, referidas aos eixos x e y.
II- Esforço normal máximo atuante.FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 195)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 195)
165
11 O triarticulado AGB deve coincidir com a geometria da Linha de Pressões 
do carregamento indicado, de tal forma que o esforço normal seja 100 kN 
(compressão). Pede-se:
I- Equação da tangente da Linha de Pressões com a horizontal.
II- Abscissa da seção que tem o esforço normal mínimo.
12 Deseja-se construir um triarticulado AGB que trabalha segundo a Linha de 
Pressões para o carregamento indicado, de tal forma que o esforço normal 
máximo seja de 250 kN (compressão). Pede-se:
I- Valor de p.
II- Equação da Linha de Pressões.
III- Abscissa da seção que tem o esforço normal mínimo.
IV- Equação da tangente da Linha de Pressões com a horizontal.
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 196)
FONTE: Valle; Rovere; Pillar (2013, p. 196)
166
167
UNIDADE 3
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• identificar uma estrutura hiperestática;
• escolher o melhor método de análise de estrutura;
• aplicar o método das forças para análise da estrutura;
• aplicar o método dos deslocamentos para análise da estrutura;
• aplicar o método de cross para análise da estrutura;
• calcular a matriz de rigidez de qualquer estrutura hiperestática;
• aplicar a regra de correspondência para a avaliação das estruturas.
Esta unidade está dividia em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – MÉTODO DAS FORÇAS
TÓPICO 2 – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA 
 RIGIDEZ
TÓPICO 3 – MÉTODO DE CROSS
168
169
TÓPICO 1
MÉTODO DAS FORÇAS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
O início de todo projeto estrutural consiste em estabelecer um modelo 
estrutural a ser adotado na análise. As estruturas podem ser tratadas globalmente 
ou divididas em diversos elementos. Essas estruturas podem receber diferentes 
classificações, conforme vimos nas unidades anteriores, mas, resumidamente são:
• Reticuladas: quando uma dimensão predomina em relação às outras duas. 
Normalmente são denominadas barras em que o eixo (retilíneo ou curvo) é 
mais longo do que as demais dimensões.
• Laminar: quando duas dimensões predominam em relação a uma terceira. Ex.: 
chapas, placas, paredes.
• Tridimensional: quando nenhuma dimensão é predominante. Ex.: blocos de 
fundações, alguns modelos de barragens.
Além disso, as estruturas ainda são classificadas em hipostática, 
isostáticas e hiperestáticas. As estruturas são denominadas hipostáticas quando 
seus movimentos de corpo rígido não são restringidos e elas atingem uma 
configuração de equilíbrio estável.
Por sua vez, as estruturas isostáticas, quando apresentam restrições ao 
movimento de corpo rígido e o número de incógnitas a serem determinadas é igual 
à quantidade de equações de equilíbrio da estática. Já as estruturas hiperestáticas, 
que é objeto desta unidade, quando apresentam restrições ao movimento 
do corpo rígido, o número de incógnitas a serem determinadas é superior ao 
número de equações de equilíbrio estático. O método de cálculo utilizado para 
a caracterização da estrutura já foi abordado na Unidade 1 e, portanto, não será 
detalhado nesta unidade.
Deve-se ressaltar que sempre será admitido que as estruturas apresentam 
comportamento elástico linear, ou seja, apresentam pequenos deslocamentos e 
deformações ao se deformar, e são constituídas de material elástico linear.
O objetivo deste tópico é capacitar você, acadêmico, a analisar 
estruturas hiperestáticas, determinando seus esforços internos e deslocamentos 
generalizados, sendo apresentados três métodos de análise: método dos 
deslocamentos, método das forças e o processo de Cross, que serão detalhados 
no decorrer desta unidade.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
170
Nesta unidade será adotado o método do princípio dos trabalhos virtuais (PTV), 
o qual pode ser executado através de integração ou das tabelas de Kurt-Beyer.
IMPORTANT
E
2 MÉTODO DAS FORÇAS
Este subtópico possui o objetivo de apresentar a metodologia de análise 
de estruturas hiperestáticas através do método das forças.
Para realizar a análise estrutural deve-se considerar três grupos básicos: 
condições de equilíbrio e condições pelas leis constitutivas dos materiais, 
condições estas abordadas pelo método das forças.
Procedimento: são liberados os vínculos excedentes ou hiperestáticos e 
são substituídos por forças estaticamente equivalentes, impondo-se condições 
de compatibilidade de deslocamentos. O sistema estrutural hiperestático é 
transformado em um sistema isostático equivalente denominado sistema 
principal (vários sistemas principais são possíveis).
• Incógnitas: forças (número de incógnitas = grau de hiperestaticidade = g).
• Equações: compatibilidade de deslocamentos.
• Formulação matricial: formula-se a Matriz de Flexibilidade da estrutura.
Os deslocamentos podem ser obtidos através do:
• Método da integração direta.
• Método da analogia de Mohr.
• Teorema de Castigliano.
• Princípio dos trabalhos virtuais.
Na prática, o método consiste em somar as soluções básicas que 
satisfazem às condições de equilíbrio, mesmo não satisfazendo às condições 
de compatibilidade da estrutura original, para no momento da superposição, 
restabelecer as condições de compatibilidade.
Cada solução básica não satisfaz isoladamente a todas as condições de 
compatibilidade da estrutura original, elas são restabelecidas no momento da 
superposição de todos os casos.
A estrutura utilizada para a superposição é uma estrutura isostática 
auxiliar, obtida a partir da estrutura original, que fica restabelecida quando se 
superpõem todos os casos básicos.
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
171
Para essa estrutura isostática dá-se o nome de Sistema Principal (SP), em 
que as forças ou momentos associados aos vínculos liberados são incógnitas do 
problema e são denominados hiperestáticos.
Para facilitar o entendimento do método, sua explicação será baseada em 
um modelo, conforme apresentado na seguinte figura:
FIGURA 1 – ESTRUTURA UTILIZADA PARA A DESCRIÇÃO DA METODOLOGIA
DO MÉTODO DAS FORÇAS
FONTE: Martha (2017, p. 130)
A configuração da deformada do pórtico apresentado está exagerada para 
facilitar o entendimento. Neste exemplo será considerado que todas as barras 
da estrutura têm os mesmos valores para área (A=5.10-3m²), momento de inércia 
(I=5.10-4 m4) e módulo de elasticidade (E=2.108kN/m²).
2.1 HIPERESTÁTICOS E SISTEMAS PRINCIPAIS
Para ser realizada a análise da estrutura em relação as suas condições de 
equilíbrio, são apresentadas na figura a seguir as suas componentes de reações.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
172
FIGURA 2 – COMPONENTES DE REAÇÕES DE APOIO DA ESTRUTURA DA FIGURA 1
FONTE: Martha (2017, p. 131)
A estrutura deve obedecer às três equações de equilíbrio global de uma 
estrutura plana:
• somatório das forças horizontais igual a zero;
• somatório das forças verticais igual a zero;
• somatório de momento em relação a um ponto qualquer igual a zero;
Como estamos tratando de estruturas hiperestáticas e o número de incógnitas 
a serem determinados é superior ao número de equações de equilíbrio, este excesso 
de incógnitas ao número de equações é denominado como grau de hiperestaticidade 
(g). No caso do exemplo mostrado, o grau de hiperestaticidade g é 2 (g=2).
 
Então, para resolver este pórtico hiperestático pelo método das forças 
é realizada a superposição de soluções isostáticas criando-se uma estrutura 
isostática auxiliar (SP) através da estrutura original, eliminando alguns vínculos 
necessários, como o exemplo mostrado na figura a seguir:
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
173
FIGURA 3 – SISTEMA PRINCIPAL ADOTADO PARA A SOLUÇÃO DA ESTRUTURA DA FIGURA 1
FONTE: Martha (2017, p. 131)
É possível observar que foram eliminados dois vínculos externos da estrutura 
original (a rotação em A e o deslocamento horizontal em B),tornando as estruturas 
isostáticas e possibilitando a sua resolução através das equações de equilíbrio.
A escolha do SP é arbitrária, assim, qualquer estrutura isostática escolhida 
é válida para a resolução do sistema, desde que seja estável estaticamente.
Os esforços eliminados são reações de apoio, chamados de hiperestáticos, 
e são incógnitas da solução pelo método das forças. É utilizada a nomenclatura 
Xi para indicar os hiperestáticos, em que o índice i indica o hiperestáticos, que 
varia de 1 até g.
Para o exemplo abordado, temos:
X1 = HA, reação de momento associada ao vínculo de apoio θA = 0;
X2 = HB, reação de momento associada ao vínculo de apoio 
H
B∆ = 0.
Os hiperestáticos estão mostrados no exemplo acima, com os sentidos que 
foram convencionados como positivos.
2.2 RESTABELECIMENTO DA COMPATIBILIDADE
A solução do método recai em encontrar os valores que as incógnitas 
X1 e X2 devem ter para recompor os vínculos de apoio eliminados, levando em 
consideração o carregamento aplicado na estrutura. Portanto, nada mais é que 
procurar os valores dos hiperestáticos para que as condições de compatibilidade 
na criação do SP sejam restabelecidas.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
174
Para determinar os valores dos hiperestáticos X1 e X2, deve-se aplicar a 
superposição de efeitos utilizando a estrutura SP como estrutura para soluções 
básicas. O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperasticidade 
mais um (g+1), portanto, para o exemplo aplicado, teremos o caso (0), (1) e (2).
• Caso (0) – Solução do carregamento externo isolado no SP
Nessa situação é isolado o efeito do carregamento externo na estrutura 
isostática SP, conforme pode ser visto na Figura 4. Nessa configuração pode ser 
observada a rotação δ10 e o deslocamento δ20. 
Este termo de carga pode ser definido como sendo o deslocamento ou 
rotação na direção do vínculo eliminado e que é associado ao hiperestático 
naquele ponto. No caso o δ10, significa a rotação do primeiro hiperestático para o 
caso 0 de análise.
FIGURA 4 – SOLICITAÇÃO EXTERNA ISOLADA NO SP DA ESTRUTURA DA FIGURA 1 
FONTE: Martha (2017, p. 133)
O sinal negativo da rotação mostra que a rotação real apresenta sentido 
contrário ao considerado para o hiperestático X1 no caso (1). Da mesma forma, o 
sentido considerado para o hiperestático X2 no caso (2).
• Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP
Analogamente ao caso (0), neste caso o Hiperestático X1 é colocado em 
evidência, já que ele é uma incógnita a ser encontrada. Portanto, considera-se 
o X1 com um valor unitário (1), sendo que o valor de X1 encontrado deverá ser 
multiplicado por 1.
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
175
A rotação δ11 e o deslocamento δ21 provocado por X1=1, nas direções dos 
vínculos eliminados para a criação do SP, são conhecidos como coeficientes de 
flexibilidade, sendo definidos como:
δij = coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do 
vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi devido a um valor unitário do 
hiperestático Xj, atuando isoladamente.
Os valores encontrados para o coeficiente de flexibilidade no caso (1) são 
apresentados na figura a seguir, sendo suas unidades correspondentes as suas 
respectivas unidades do hiperestático em questão. Ressalta-se que as considerações 
feitas no caso (0) quanto aos sinais encontrados vale para qualquer caso analisado.
FIGURA 5 – HIPERESTÁTICO X
1
 ISOLADO NO SP DA FIGURA 1
FONTE: Martha (2017, p. 13A)
• Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP
A Figura 6 mostra a configuração deformada do SP para o caso (2) com 
uma amplificação para que seja possível de ser visualizada. Assim como no caso 
(1), o hiperestático X2 é colocado em evidência, considerando um valor unitário e 
multiplicando-o a sua deformação por este valor ao final das operações. 
Desta forma, encontra-se a rotação δ12 e o deslocamento δ22 surgidos 
considerando X2=1, assim como feito no caso (1). Após realizar as operações 
matemáticas, é possível verificar que os valores encontrados para os coeficientes de 
flexibilidades δ12 e δ21. Isso é devido ao teorema de Maxwell, que comprova que os 
coeficientes δij e δji — sendo i e j os índices dos hiperestáticos —sempre serão iguais.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
176
FIGURA 6 – HIPERESTÁTICO X
2
 ISOLADO NO SP DA FIGURA 1
FONTE: Martha (2017, p. 135)
Uma vez já encontrados os coeficientes de flexibilidade para todos os casos 
considerados, é aplicado o teorema da superposição dos efeitos com o intuito de 
restabelecer as condições de compatibilidade violadas na criação do SP. Desta 
forma, então, são obtidas as seguintes equações:
Nó A (rotações surgidas nos casos analisados):
10 11 1 12 2 . . 0X Xδ δ δ+ + =
Nó B (deslocamentos surgidos nos casos analisados):
20 21 1 22 2 . . 0X Xδ δ δ+ + =
Obtendo assim um sistema de equações de compatibilidade:
10 11 1 12 2
20 21 1 22 2
 . . 0
 . . 0
X X
X X
δ δ δ
δ δ δ
+ + =
 + + =
3 3 3
1 2
3 3 3
1 2
13,64.10 0,1152.10 . 0,6997.10 . 0
115,2.10 0,6997.10 . 6,1180.10 . 0
X X
X X
− − −
− − −
− + − =

− + =
Resolvendo este sistema, obtém-se que X1=13,39 kN.m e X2=-17,29 kN.
Mais uma vez, os sinais encontrados nos resultados indicam os sentidos 
dos esforços, se positivos, possuem o mesmo sentido arbitrado no início do 
exercício, caso negativo, o sentido real é o oposto do arbitrado. Dessa forma, os 
esforços do exemplo desenvolvido são apresentados na Figura 7.
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
177
FIGURA 7 – VALORES E SENTIDOS DOS HIPERESTÁTICOS NA SOLUÇÃO
DA ESTRUTURA DA FIGURA 1
FONTE: Martha (2017, p. 136)
Estes valores encontrados fazem com que a rotação no ponto A seja nula, 
assim como o deslocamento horizontal no ponto B, atingindo a solução correta 
para a estrutura, pois satisfazem às equações de equilíbrio e de compatibilidade.
Porém, a análise da estrutura não termina encontrando apenas os 
valores dos hiperestáticos. Ainda se faz necessário obter os diagramas de 
esforços internos e os deslocamentos da estrutura, para isso é possível executar 
de duas maneiras diferentes:
1- Calcula-se uma estrutura isostática com o carregamento principal aplicado 
simultaneamente aos hiperestáticos, como se fossem esforços aplicados nos nós.
2- Utiliza-se a superposição dos casos básicos para a obtenção dos esforços 
internos finais.
Apesar da primeira maneira ser mais simples de ser calculada, a segunda 
opção é a mais utilizada, isso porque no cálculo dos termos de carga e coeficientes 
de flexibilidade é necessário o conhecimento dos diagramas de esforços internos 
dos casos básicos (0), (1) e (2).
Desta maneira, como já se tem os diagramas de esforços internos disponíveis, 
facilita a obtenção dos esforços internos finais da estrutura hiperestática original, 
aplicando a superposição dos esforços internos dos casos básicos.
Desta forma:
0 1 1 2 2M M M X M X= + +
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
178
A equação apresentada pode ser generalizada para todos os esforços internos 
— normal (N), cortante (V) e momentos fletores (M) — de uma estrutura hiperestática.
3 MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DOS TERMOS DE CARGA
No subtópico anterior foi mostrado como chegar ao sistema de equações 
de compatibilidade da estrutura. Este sistema pode ainda ser apresentado de 
forma matricial:
10 11 12 1
20 21 22 2
0
0
X
X
δ δ δ
δ δ δ
       
+ =      
     
E no caso de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g, pode-se 
escrever:
{ } [ ]{ } { }0 0Xδ δ+ =
Em que:
• {δ0} : vetor dos termos de carga;
• [δ] : matriz de flexibilidade;
• {X} : vetor dos hiperestáticos.
O número de equações de compatibilidade é igual ao grau de 
hiperestaticidade da estrutura, sendo que cada equação restabelece o vínculo 
associado ao hiperestático genérico xi. O termo δi0 é o deslocamento ou rotação 
que aparece no vínculo eliminado, diretamente associado ao vínculo eliminado 
ao hiperestático Xi no caso (0). Já o coeficiente δij da matriz de flexibilidade é odeslocamento ou a rotação que aparece no vínculo associado ao hiperestático Xi 
originado pela aplicação do carregamento Xj = 1 no caso (j).
Percebe-se que o vetor termo de cargas depende do SP escolhido e da 
solicitação externa. Desta maneira, caso o carregamento for alterado, mantendo-se 
os SP, se faz necessário calcular novamente apenas os termos de cargas da estrutura.
Através do proposto até o momento a respeito do método, duas 
observações devem ser feitas:
1- Através do teorema de Maxwell, a matriz de flexibilidade é simétrica, logo é 
possível afirmar que δij = δji.
2- Os coeficientes de flexibilidades correspondentes a um dado caso básico 
possuem o mesmo índice j do caso em específico. Portanto, a j-ésima coluna da 
matriz de flexibilidade da estrutura corresponde ao conjunto de deslocamentos 
generalizados nas direções dos vínculos eliminados do SP provocados por Xj=1.
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
179
3.1 ESCOLHA DO SISTEMA PRINCIPAL
Conforme foi explicado no início do método, não há uma única maneira 
de construir o SP do método das forças. No exemplo anterior, os vínculos de apoio 
foram tirados, porém há situações em que é conveniente eliminar os vínculos 
internos da estrutura e, em alguns casos, esta é a única alternativa.
O próximo exemplo será desenvolvido aplicando as duas possibilidades 
para as resoluções citadas. Neste exemplo, iremos considerar a viga contínua 
mostrada, com três vãos e com carga uniformemente distribuída no primeiro 
vão da esquerda. Considera-se a rigidez da estrutura da viga sendo EI e pede-
se para o diagrama de momentos fletores da estrutura. Neste cálculo não são 
considerados os esforços axiais.
FIGURA 8 – VIGA CONTÍNUA COM TRÊS VÃOS E CARREGAMENTO
UNIFORME DISTRIBUÍDO NO PRIMEIRO VÃO
FONTE: Martha (2017, p. 139)
A estrutura apresentada possui grau de hiperestaticidade g=2 e serão 
resolvidas considerando dois sistemas principais (SP), deixando visível para o 
leitor as diferenças entre as opções de resolução.
Primeiramente, os vínculos externos (vínculos de apoios) serão 
eliminados. Portanto, serão eliminados os apoios internos da viga para chegar 
à estrutura isostática do SP. Assim irá resultar nos hiperestáticos X1 e X2, sendo 
estes as reações de apoio associadas aos vínculos excluídos.
FIGURA 9 – PRIMEIRA OPÇÃO PARA SP DA ESTRUTURA DA FIGURA 8
FONTE: Martha (2017, p. 140)
Neste caso, necessitamos encontrar os valores que as reações de apoio X1 
e X2 devem ter para que possam suportar as cargas atuantes. Lembramos que, 
nestes pontos, o deslocamento vertical deve ser nulo, estabelecendo a condição 
de compatibilidade do sistema para a criação do SP.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
180
• Caso (0) – Solução do carregamento externo isolado no SP
Nesta situação é isolado o efeito do carregamento externo na estrutura 
isostática SP e os valores dos hiperestáticos (X1 =0 e X2=0). A figura mostra a 
configuração deformada do caso (0), indicando os termos de carga δ10 e δ20, assim 
como o diagrama de momento fletor do caso. 
FIGURA 10 – SOLICITAÇÃO EXTERNA ISOLADA NO SP DA FIGURA 8
FONTE: Martha (2017, p. 140)
Os termos de cargas no caso (0) possuem uma interpretação física:
• δ10: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1, 
provocado pelo carregamento externo (0). 
• δ20: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X2, 
provocado pelo carregamento externo (0).
• Caso (1) – Solução do carregamento externo isolado no SP
Nesta situação, somente o hiperestático X1=1 atua no SP, sem nenhuma 
solicitação externa e o valor do hiperestático X2=0. A figura a seguir mostra a 
configuração deformada do caso (1), indicando os termos de carga δ11 e δ21, assim 
como o diagrama de momento fletor do caso. 
Os coeficientes de flexibilidades para o caso (1) são fisicamente 
interpretados como:
• δ11: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1, 
provocado por X1=1 no caso (1).
• δ21: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X2, 
provocado por X1=1 no caso (1).
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
181
FIGURA 11 – HIPERESTÁTICO X
1
 ISOLADO NO SP DA FIGURA 9
FONTE: Martha (2017, p. 141)
• Caso (2) – Solução do carregamento externo isolado no SP
Nesta situação somente o hiperestático X2=1 atua no SP, sem nenhuma 
solicitação externa e o valor do hiperestático X1=0. A Figura 12 mostra a 
configuração deformada do caso (2), indicando os termos de carga δ12 e δ22, assim 
como o diagrama de momento fletor do caso.
 
Os coeficientes de flexibilidades para o caso (2) são fisicamente 
interpretados como:
• δ12: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X1, 
provocado por X2=1 no caso (2).
• δ22: deslocamento vertical no ponto do apoio eliminado associado a X2, 
provocado por X2=1 no caso (2).
FIGURA 12 – HIPERESTÁTICO X
2
 ISOLADO NO SP DA FIGURA 9
FONTE: Martha (2017, p. 142)
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
182
Uma vez encontrados os valores dos deslocamentos, é possível reestabelecer 
as condições de compatibilidade violadas pela criação do SP, desta forma, 
reestabelecendo as condições impostas pelos apoios eliminados. Assim temos:
10 11 12 1
20 21 22 2
0
.
0
X
X
δ δ δ
δ δ δ
       
+ =      
     
Para determinar o valor do hiperestático X1 é preciso, primeiramente, 
determinar os deslocamentos generalizados δ10 e δ11. Estes deslocamentos podem 
ser encontrados através do Princípio dos Trabalhos Virtuais (TIMOSHENKO, 
1967; POPOV, 1978; SUSSEKIND,1994b).
 
Segundo o teorema do Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicados 
aos corpos elásticos, o trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho 
virtual das forças internas para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis 
com os vínculos da estrutura. Este processo trabalha com um sistema real de 
deformações e um sistema virtual de forças, com uma força aplicada na direção 
do deslocamento a ser calculado.
No presente exemplo da viga contínua com três vãos, para o SP adotado, 
os deslocamentos a serem calculados são sempre os deslocamentos verticais nos 
pontos dos apoios eliminados para a criação do SP. Portanto, os sistemas de 
forças virtuais adotados sempre serão forças unitárias aplicadas nestes pontos. 
Observa-se que estes sistemas correspondem justamente aos casos (1) e (2) para 
os hiperestáticos X1 e X2 com valores unitários. 
Cálculo de δ10:
Para calcular o tempo de carga δ0 pelo método de trabalhos virtuais, o 
sistema de deformação real é o caso (0) e o sistema de forças virtuais é o caso (1) 
com X1 = 1. Portanto, a expressão para encontrar o coeficiente, desprezando as 
deformações por cisalhamento é dado por:
3
10 1 0
0
1 1 l
viga
MMdx M M dx
EI EI
δ = =∫ ∫
3 2 3
1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 2
l l l l
l
M M dx M M dx M M dx M M dx= + +∫ ∫ ∫ ∫
3 4
10 1 0
0
1
4
l qlM M dx
EI EI
δ = = −∫
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
183
Os valores dessa integral para a viga em questão devem ser calculados 
e, para facilitar a resolução do problema, é possível utilizar as tabelas que se 
encontram ao longo desta unidade. Porém, para isso, deve-se aplicar a tabela 
para cada trecho da estrutura. A figura a seguir mostra a solução para o caso (0) e 
as composições dos seus momentos.
FIGURA 13 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO DO 
TERMO DE CARGA Δ10 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9
FONTE: Martha (2017, p. 144)
Cálculo de δ20:
Para calcular o tempo de carga δ0 pelo método de trabalhos virtuais, o 
sistema de deformação real é o caso (0) e o sistema de forças virtuais é o caso (2) 
com X2 = 1. Portanto, a expressão para encontrar o coeficiente, desprezando as 
deformações por cisalhamento é dado por:
3
20 2 0
0
1 1 l
viga
MMdx M M dx
EI EI
δ = =∫ ∫
3 2 3
2 0 2 0 2 0 2 0
0 0 1 2
l l l l
l
M M dx M M dx M M dx M M dx= + +∫ ∫ ∫ ∫
3 4
20 2 0
0
1 5
24
l qlM M dx
EI EI
δ = = −∫
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
184
FIGURA 14 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA OCÁLCULO DO 
TERMO DE CARGA Δ20 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9
FONTE: Martha (2017, p. 145)
Cálculo de δ11:
Para calcular o coeficiente de flexibilidade δ11 pelo método de trabalho 
virtual, o sistema real e o sistema de forças virtuais coincidem, assim como no 
caso (1). Portanto:
3
11 1 1
0
1 1 l
viga
MMdx M M dx
EI EI
δ = =∫ ∫
3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 2
l l l l
l
M M dx M M dx M M dx M M dx= + +∫ ∫ ∫ ∫
3 3
11 1 1
0
1 4
9
l qlM M dx
EI EI
δ = =∫
FIGURA 15 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO DO 
COEFICIENTE DE FLEXIBILIDADE Δ11 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9
FONTE: Martha (2017, p. 146)
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
185
Cálculo de δ21e δ12:
Para calcular o coeficiente de flexibilidade δ21 pelo método de trabalho 
virtual, o sistema real de deformação é o caso (1) com X1 = 1 e o sistema de forças 
virtuais é o caso (2), com X2 = 1. Para o cálculo do coeficiente de flexibilidade δ12, 
os papéis dos casos (1) e (2) se invertem, ou seja, o sistema de deformação passa 
a ser o caso (2), em que X2 = 1 e o sistema de forças virtuais passa a ser o caso (1), 
em que X1 = 1. Resultando em:
3
21 2 1
0
1 1 l
viga
MMdx M M dx
EI EI
δ = =∫ ∫
3
12 1 2
0
1 1 l
viga
MMdx M M dx
EI EI
δ = =∫ ∫
Como mencionado anteriormente, δ21 e δ12 são iguais, portanto:
FIGURA 16 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO 
DOS COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE Δ12 E Δ21 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9
3 3 3
12 21 1 2 2 1
0 0
7
18
l l lM M dx M M dx
EI
δ δ= = = =∫ ∫
FONTE: Martha (2017, p. 148)
Cálculo de δ22:
Para calcular o coeficiente de flexibilidade δ22 pelo método de trabalho 
virtual, o sistema real e o sistema de forças virtuais coincidem, assim como no 
caso (2). Portanto:
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
186
3
22 2 2
0
1 1 l
viga
MMdx M M dx
EI EI
δ = =∫ ∫
3 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 1 2
l l l l
l
M M dx M M dx M M dx M M dx= + +∫ ∫ ∫ ∫
3 3
22 2 2
0
1 4
9
l qlM M dx
EI EI
δ = =∫
FIGURA 17 – COMBINAÇÃO DE DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES PARA O CÁLCULO DO 
COEFICIENTE DE FLEXIBILIDADE Δ22 RELATIVO AO SP DA FIGURA 9
FONTE: Martha (2017, p. 149)
Uma vez calculado os coeficientes de flexibilidades e os termos de cargas, 
é possível resolver o sistema de equações de compatibilidade final, necessário 
para descobrir os valores dos hiperestáticos.
10 11 12 1
20 21 22 2
0
.
0
X
X
δ δ δ
δ δ δ
       
+ =      
     
4 3
1
2
741 09 184 .
5 7 04
24 18 9
Xql l
XEI EI
         − + =             
1
2
13
20
10
qlX
qlX
 =

 = −

TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
187
Com o resultado obtido é possível observar que os valores dos hiperestáticos 
independem do parâmetro EI (rigidez da viga).
Para finalizar a solução da viga contínua, falta apenas determinar o 
diagrama de momentos fletores, e ele pode ser determinado de duas formas:
1- Calculando o SP principal com o carregamento aplicado simultaneamente com 
os hiperestáticos obtidos nos cálculos.
2- Utilizando a superposição de casos básicos para a obtenção dos momentos 
fletores finais:
M = M0 + M1X1 + M2X2
Normalmente utiliza-se a segunda opção, uma vez que os diagramas 
de momentos dos casos já estão disponíveis durante a solução do problema. O 
diagrama de momento fletor final da estrutura pode ser observado na Figura 18.
FIGURA 18 – REAÇÕES DE APOIO E DIAGRAMA DE MOMENTOS
FLETORES FINAIS DA ESTRUTURA DA FIGURA 8
FONTE: Martha (2017, p. 150)
Anteriormente foi realizada a análise da viga contínua eliminando os 
vínculos externos (vínculos de apoios). Agora iremos obter o SP através da 
inserção de rótulas internas. Portanto, serão inseridas duas rótulas nas seções dos 
apoios internos da estrutura. Assim surgiram dois hiperestáticos X1 e X2, que serão 
momentos fletores associados à continuidade da estrutura, conforme a Figura 19.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
188
FIGURA 19 – SEGUNDA OPÇÃO PARA SP DA ESTRUTURA DA FIGURA 8
FONTE: Martha (2017, p. 151)
• Caso (0) – Solução do carregamento externo isolado no SP
Nesta situação é isolado o efeito do carregamento externo na estrutura 
isostática SP. A figura mostra a configuração deformada do caso (0), indicando os 
termos de carga δ10 = δ10 e δ20 = 0, assim como o diagrama de momento fletor do caso. 
FIGURA 20 – SOLICITAÇÃO EXTERNA ISOLADA NO SP DA FIGURA 19
FONTE: Martha (2017, p. 151)
Os termos de cargas no caso (0) possuem uma interpretação física:
• δ10: rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devido ao 
carregamento do caso (0).
• δ20: rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X2 devido ao 
carregamento do caso (0).
• Caso (1) – Solução do carregamento externo isolado no SP
• δ11: rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devido ao 
carregamento do caso (1).
• δ21: rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X2 devido ao 
carregamento do caso (1).
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
189
FIGURA 21 – HIPERESTÁTICO X
1
 ISOLADO NO SP DA FIGURA 19
FONTE: Martha (2017, p. 152)
• Caso (2) – Solução do carregamento externo isolado no SP
• δ12: rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X1 devido ao 
carregamento do caso (2).
• δ22: rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a X2 devido ao 
carregamento do caso (2).
FIGURA 22 – HIPERESTÁTICO X
2
 ISOLADO NO SP DA FIGURA 19
Martha (2017, p. 152)
Assim como executado anteriormente, uma vez encontrado os valores dos 
deslocamentos, é reestabelecido as condições de compatibilidade violadas pela 
criação do SP. Assim temos:
10 11 12 1
20 21 22 2
0
.
0
X
X
δ δ δ
δ δ δ
       
+ =      
     
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
190
Primeiramente é determinado os valores de deslocamentos generalizados, 
para então encontrar o valor do hiperestático X1. Para isso é aplicado o princípio 
dos trabalhos virtuais, conforme realizado no exemplo anterior.
O cálculo dos coeficientes deste sistema de equações também é feito com 
auxílio do Princípio das Forças Virtuais (PFV). Para o Sistema Principal adotado 
são calculadas as rotações relativas entre as seções adjacentes a cada rótula 
introduzida na criação do SP. Portanto, os sistemas de forças virtuais adotados 
são sempre pares de momentos unitários aplicados adjacentes às rótulas. 
Assim como para a primeira opção de resolução, observa-se que estes 
sistemas correspondem justamente aos casos (1) e (2) para os hiperestáticos X1 
e X2 com valores unitários. Assim, os sistemas de deformação real são os casos 
(0), (1) e (2) e os sistemas de forças virtuais são os casos (1) e (2) com X1 = 1 e 
X2 = 1, respectivamente.
Uma grande vantagem dessa segunda opção do SP é a facilidade no cálculo 
dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade. Este cálculo é mostrado 
na sequência, com base na combinação dos diagramas de momentos fletores dos 
casos básicos mostrados anteriormente:
( )
3 2 3
10 1 0
0
1 1 1. . 1 . .
3 8 24
l ql qlM M dx l
EI EI EI
δ
  
= = − = −  
  
∫
20 0δ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11
1 1 1 2. . 1 . 1 . . 1 . 1 .
3 3 3
ll l
EI EI
δ  = + =  
( ) ( ) ( )12 21
1 1. . 1 . 1 .
6 6
ll
EI
δ δ  = = =  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
1 1 1 2. 1 . 1 . . 1 . 1 .
3 3 3
ll l
EI EI
δ  = + =  
Uma vez calculados os coeficientes de flexibilidades e os termos de cargas, 
é possível resolver o sistema de equações de compatibilidade final, necessário 
para descobrir os valores dos hiperestáticos.
10 11 12 1
20 21 22 2
0
.
0
X
X
δ δ δ
δ δ δ
       
+ =      
     
3 3
1
2
2 11 03 64 .
1 2 00 6 3
Xql l
XEI EI
         − + =             
TÓPICO 1 | MÉTODO DAS FORÇAS
191
2
1
2
2
15
60
qlX
qlX

=

 = −
Observa-se que os valores de X1 e X2 correspondem exatamente aos valores 
dos momentos fletores nas seções dos apoios internos da viga contínua,conforme 
calculado anteriormente. Portanto, esta opção do SP acarreta, como não poderia 
deixar de ser, a mesma solução da estrutura hiperestática.
Outra vantagem desta segunda opção do SP é a facilidade no traçado do 
diagrama dos momentos fletores finais. Nas seções em que foram introduzidas 
rótulas o valor do momento fletor final é o próprio valor do hiperestático 
correspondente a cada rótula. O traçado do diagrama ao longo das barras é obtido 
por uma superposição simples dos diagramas dos casos básicos. No primeiro 
vão é uma superposição de um triângulo com uma parábola, no segundo é uma 
superposição de dois triângulos e no terceiro é só um triângulo.
A aplicação do método das forças para estruturas simétricas é facilitada 
quando se analisa uma estrutura simétrica. Nestes casos, basta resolver a metade 
da estrutura e traçar os diagramas de esforços. Depois, estender para o restante 
da estrutura lembrando que estruturas simétricas com:
1- Carregamento simétrico: o diagrama de esforço normal (N) e momentos 
fletores (M) são simétricos e o diagrama de esforço cortante (V) é antissimétrico.
2- Carregamento antissimétrico: o diagrama de esforço normal (N) e momentos 
fletores (M), são antissimétricos e o diagrama de esforço cortante (V) é simétrico.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
192
Q
U
A
D
R
O
 1
 –
 T
A
B
E
LA
 D
E
 K
U
R
T
 B
E
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E
R
FO
N
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s:
//
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n
g
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il2
0
14
2
.fi
le
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w
o
rd
p
re
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.c
o
m
/2
0
17
/0
3
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-k
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.
A
c
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ss
o
 e
m
: 
24
 m
ai
o
 2
0
19
.
193
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você aprendeu que:
• Para a análise estrutural completa deve levar em consideração três grupos básicos: 
condições de equilíbrio e condições as pelas leis constitutivas dos materiais.
• O método das forças consiste em somar as soluções básicas que satisfazem 
as condições de equilíbrio, mesmo não satisfazendo as condições de 
compatibilidade da estrutura original, para no momento da superposição, 
restabelecer as condições de compatibilidade.
• Cada solução básica não satisfaz isoladamente todas as condições de 
compatibilidade da estrutura original, estas restabelecidas no momento da 
superposição de todos os casos.
• A estrutura utilizada para a superposição é uma estrutura isostática auxiliar 
obtida a partir da estrutura original, as quais ficam restabelecidas quando se 
superpõem todos os casos básicos.
• A para essa estrutura isostática dá-se o nome de Sistema Principal (SP), onde 
as forças ou momentos associados aos vínculos liberados são incógnitas do 
problema e são denominados hiperestáticos.
• A estrutura deve obedecer às três equações de equilíbrio global de uma 
estrutura plana:
 ◦ somatório das forças horizontais igual a zero;
 ◦ somatório das forças verticais igual a zero;
 ◦ somatório de momento em relação a um ponto qualquer igual a zero.
• Para resolver este pórtico hiperestático pelo método das forças, é realizado 
a superposição de soluções isostáticas criando-se uma estrutura isostática 
auxiliar (SP) através da estrutura original.
• Para formar a estrutura isostática, elimina-se os vínculos externos da estrutura 
original até que essa se torne uma estrutura isostática, possibilitando a sua 
resolução através das equações de equilíbrio.
• Os esforços eliminados são reações de apoio, chamados de hiperestáticos e, são 
incógnitas da solução pelo método das forças.
• Para determinar os valores dos hiperestáticos X1 e X2, deve-se aplicar a superposição 
de efeitos, utilizando a estrutura SP como estrutura para soluções básicas. 
• O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperasticidade mais 
um (g+1.
194
1 Determine os esforços nas barras das treliças hiperestáticas a seguir:
a)
b)
c)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 65)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 65)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 65)
AUTOATIVIDADE
195
2 Determine os esforços e trace os diagramas para as seguintes estruturas:
a)
3 Determine as reações de apoio e trace os diagramas dos esforços internos da 
viga a seguir. Considere I1 = 4375 cm4 e I2 = 4102 cm4.
b)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 71)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 40)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 37)
196
197
TÓPICO 2
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Esse é o método mais adequado para implementação computacional, desta 
forma, é o mais utilizado atualmente na maioria dos programas computacionais.
• Procedimento: definir o sistema principal (único), fixando todos os 
deslocamentos dos nós (graus de liberdade). É calculado neste sistema principal 
os esforços nas extremidades das barras causados por cargas atuantes nas 
barras (esforços de engastamento perfeito); soma-se então, a eles, os esforços 
causados pelos deslocamentos impostos nos nós iguala o resultado às forças 
externas causadas nos nós, em cada direção ou grau de liberdade (∑Fext=∑Fint).
• Incógnitas: forças (dos nós, número de incógnitas = nº de graus de liberdade).
• Equações: compatibilidade de deslocamentos.
• Formulação matricial: formula-se a Matriz de rigidez da estrutura.
2 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
O procedimento matemático entre os métodos das forças e o método dos 
deslocamentos é bastante parecido, devendo a escolha do método a ser utilizado 
conforme a sua vantagem de aplicação.
O método dos deslocamentos pode ser utilizado tanto em estruturas 
isostáticas como em estruturas hiperestáticas, sendo especialmente útil na 
análise deste segundo tipo de estruturas. Este método é facilmente aplicável em 
programação automática, diferentemente do método das forças, isso porque 
todos os deslocamentos são restringidos, ao contrário do que acontece no método 
das forças, em que apenas algumas liberações são introduzidas para se obter a 
estrutura isostática. A única estrutura que não pode ser analisada por este método 
é a viga biengastada, quando modelada por uma única barra.
No caso de estruturas reticuladas (barras ligadas por pontos nodais), o 
número total de incógnitas será o número de deslocamentos nodais de todos os 
nós da estrutura ou o número total de “grau de liberdade”.
Neste método, determina-se, primeiramente, o deslocamento e, 
indiretamente os esforços; as incógnitas são, então, os deslocamentos.
198
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
O grau de liberdade (GL) de um nó é definido como a direção à qual este 
nó pode se deslocar. Portanto, no caso de estruturas espaciais, há seis direções 
possíveis de deslocamento, já em estruturas planas, em que os eixos das barras se 
situam no plano XY, existem três direções possíveis de deslocamento para cada 
nó, as quais são enumeradas sequencialmente.
O esforço axial das estruturas pode ser desprezado quando a magnitude 
dos deslocamentos neste sentido não for significativa. Quando existirem forças 
horizontais aplicadas nas vigas, elas devem ser modeladas como pórticos.
FIGURA 23 – SISTEMAS DE REFERÊNCIA E DIREÇÕES POSSÍVEIS DE DESLOCAMENTO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 89)
2.1 DESCRIÇÃO DO MÉTODO
Resumidamente, este método consiste em fixar a estrutura, introduzir 
os vínculos fictícios tornando a estrutura cinematicamente determinada. Então 
são consideradas as cargas aplicadas nas barras e calculados os esforços que elas 
causam na estrutura fixa.
Em seguida, são impostos os deslocamentos nos nós e calculados os 
esforços que eles provocam na estrutura. De acordo com a teoria da superposição, 
os esforços totais que devem estar em equilíbrio com as forças externas, que estão 
aplicadas, são calculados, chegando então a um sistema de equações de equilíbrio 
de forças em torno dos nós da estrutura.
Em estruturas reticuladas, há apenas um único sistema principal a ser 
encontrado através da fixação dos nós. Logo abaixo, o processo de aplicação do 
método será melhor detalhado:
• Passo 1: determina-se o grau de indeterminação cinemática e é escolhido um 
sistema de coordenadas de modo a poder identificara posição e a direção dos 
deslocamentos dos nós. Em seguida são introduzidas as forças de restrição que 
impedem o deslocamento dos nós.
• Passo 2: determinam-se as forças de restrição somando as forças de fixação dos 
extremos das barras convergentes nos nós. Essas forças impedem os deslocamentos 
em qualquer tipo de ação externa (cargas, variação térmica, pré-carregamentos), e 
estas ações podem ser consideradas individualmente ou em conjunto. 
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
199
 Se na estrutura analisada existir algum deslocamento prescrito (assentamento 
de apoio), as forças de restrição correspondentes ao impedimento devem ser 
consideradas nesta etapa. Então, são determinados os esforços internos nas 
barras, correspondentes aos impedimentos impostos na estrutura.
• Passo 3: a estrutura é considerada deformada de maneira que em uma das 
suas coordenadas o deslocamento é considerado unitário (igual a 1) e nulo 
nas demais coordenadas. As forças necessárias para levar a estrutura a esta 
configuração, então, podem ser calculadas facilmente, devendo repetir este 
processo para as demais restrições impostas.
• Passo 4: os deslocamentos obtidos no passo 2, que são necessários para eliminar os 
esforços de restrições, são então determinados aplicando a sobreposição de efeitos 
para todos os deslocamentos impostos e igualando aos esforços de restrição.
• Passo 5: por fim, encontra-se os esforços na estrutura original, que são obtidos 
adicionando os esforços da estrutura restringida aos esforços originados pelos 
deslocamentos encontrados no passo 4.
2.1.1 Viga engastada-apoiada 
Considerando a viga engastada-apoiada de rigidez à flexão EI da figura 
a seguir. Esta viga apresenta apenas um grau de liberdade, a rotação no ponto B. 
As vigas em geral apresentam dois graus de liberdade por nó.
FIGURA 24 – VIGA ENGASTADA-APOIADA E SUA DEFORMADA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 91)
De acordo com os procedimentos apresentados anteriormente, primeiro 
os esforços de engastamento perfeito são calculados. Portanto, é calculado para 
a estrutura fixa, o momento que surge na barra na direção do GL devido ao 
carregamento externo.
FIGURA 25 – ESFORÇOS DEVIDOS AO CARREGAMENTO EXTERNO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 91)
200
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Em seguida, é imposto o deslocamento θB no nó e calcula-se os esforços 
correspondentes. Como a estrutura real não é fixa em B, o nó B sofre um 
pequeno deslocamento θB. Após impor este deslocamento, calcula-se o esforço 
correspondente na barra, na direção do grau de liberdade. Este esforço será 
proporcional ao deslocamento imposto (θB) e esta proporcionalidade é dada pelo 
coeficiente de rigidez da barra (4EI/l).
FIGURA 26 – ESFORÇO DEVIDO AO DESLOCAMENTO θ
B
 IMPOSTO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 91)
Para finalizar a análise, efetua-se o equilíbrio das forças em torno do nó 
B. Através da superposição de efeitos, o esforço total na extremidade da barra é 
calculado e igualado ao momento aplicado no nó.
2. 4. . . 0
12 B
q l E I
l
− + =
Resolvendo a equação e isolando a incógnita θB, é obtido:
2 3. .. 
4. . 12 48. .B B
l q l q l
E I E I
θ θ= =
É possível generalizar a equação escrevendo o equilíbrio das forças 
conforme apresentado na equação a seguir:
FEP + S.d = Fno = A
Em que FEP é a força de engastamento perfeito, S é o coeficiente de rigidez 
da barra, d é o deslocamento e A é a força ou binário aplicado no nó.
De maneira a sintetizar o Método dos Deslocamentos, ao invés de impor 
deslocamentos reais são impostos deslocamentos unitários na direção do grau de 
elasticidade. Portanto, para d1=1, tem-se 11
4. . B
E IM S
l
= = . Dessa maneira, para d1=θB 
se tem 114. . . . B B BE IM Sl θ θ= = , em que S11 é o esforço na barra causado pelo deslocamento 
unitário na direção 1.
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
201
FIGURA 27 – ESFORÇO NA BARRA CAUSADO POR UM DESLOCAMENTO UNITÁRIO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 92)
Para um grau de liberdade, tem-se a seguinte equação de equilíbrio de 
forças na direção 1:
FEP + S11.d11 = A1
Em estruturas com muitos graus de liberdade é possível montar um 
sistema de equações de equilíbrio de forças: {FEP} +[S].{D} = {A}.
Em que:
• {FEP} = vetor de esforços de engastamento perfeito;
• [S] = matriz de rigidez da estrutura;
• {D} = vetor de deslocamentos nodais;
• {A} = vetor de ações nodais.
Cada coeficiente Sij da matriz de rigidez (i = efeito; j = causa) representa 
o esforço na barra na direção ou grau de liberdade i, causado pelo deslocamento 
unitário na direção j. 
2.1.2 Viga biengastada
No caso de vigas biengastadas, os esforços de engastamento perfeito 
podem ser encontrados através do Método das Forças. Vamos considerar o 
exemplo da figura a seguir, em que é apresentada uma viga biengastada com 
carregamento uniformemente distribuído. Neste caso, têm-se quatro incógnitas 
(lembrando que se despreza os esforços axiais) e duas equações de equilíbrio.
FIGURA 28 – VIGA BIAPOIADA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 93)
202
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
A partir da estrutura mostrada, é montado o sistema principal de análise que, 
devido à simetria da estrutura e do carregamento, é possível afirmar que X1 = X2.
FIGURA 29 – SISTEMA PRINCIPAL E HIPERESTÁTICOS
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 93)
É calculado, então, o momento fletor devido aos hiperestáticos e ao 
carregamento aplicado na barra, em que o resultado está apresentado a seguir:
FIGURA 30 – DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 93)
Combinando os diagramas de momentos fletores apresentados, obtém-se:
2 3
10 20
1 . . . .
3 8 24
q l q lEI EI lδ δ= =− = −
11 22
1 .
3
EI EI lδ δ= =
12 21
1 .
6
EI EI lδ δ= =
As equações de compatibilidade, então, podem ser dadas por:
1 10 11 1 12 2. . 0X Xδ δ δ δ= + + =
2 20 21 1 22 2. . 0X Xδ δ δ δ= + + =
Uma vez que já se conhece os coeficientes δij, é possível substituí-los nas 
equações de compatibilidade apresentadas, assim, encontrando o sistema de 
equações da estrutura:
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
203
3
1 2
1 1 .. .
3 6 24
q lX X+ =
3
1 2
1 1 .. .
6 3 24
q lX X+ =
Resolvendo esse sistema e conforme comentado anteriormente, o valor 
de X1 = X2 = 
3.
24
q l . Portanto, os esforços de engastamento perfeito estão indicados 
na Figura 31. Deve-se ressaltar que há tabelas para o cálculo dos engastamento 
perfeito de vigas bi engastadas para diversos tipos de carregamentos.
FIGURA 31 – ESFORÇOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 94)
Os coeficientes de rigidez das vigas podem ser encontrados pelo método 
das forças, impondo deslocamentos unitários em seus graus de liberdade. No 
caso da viga engastada e apoiada, em que se faz necessário encontrar os valores 
dos coeficientes S11, é fixada a estrutura e imposto um deslocamento unitário no 
grau de liberdade 1, como apresentado na Figura 32.
FIGURA 32 – SISTEMA PRINCIPAL DA VIGA ENGASTADA-APOIADA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 94)
Aplicando o método das forças, é montado o sistema principal eliminando 
os vínculos excedentes e compatibilizando os deslocamentos da estrutura, em 
que δ1=1 e δ2=0.
204
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
FIGURA 33 – CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DESLOCAMENTO DA ESTRUTURA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 95)
Desta forma, é possível calcular o momento fletor devido aos 
carregamentos. Neste caso, o momento originado pelo carregamento externo é 
nulo, uma vez que a carga “q” aplicada é nula. O diagrama de momento devido 
ao momento unitário aplicado na direção X1 é apresentado a seguir, assim como 
o momento unitário na direção do hiperestático X2.
FIGURA 34 – MOMENTO UNITÁRIO E SEU RESPECTIVO DIAGRAMA (M
2
)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 95)
a) Momento Unitário M1
c) Momento Unitário M2
b) Diagrama de momento M1
d) Diagrama de momento M2
A partir dos diagramas de momentos é possível calcular os deslocamentosgeneralizados:
10 20 0EI EIδ δ= =
11 22
1 .
3
EI EI lδ δ= =
12 21
1 .
6
EI EI lδ δ= =−
As equações de compatibilidade, então, podem ser dadas por:
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
205
10 11 1 12 2 1. .( . . ) . . . .1 .E I X X E I E I E Iδ δ δ δ+ + = = =
20 21 1 22 2 2. .( . . ) . . . .0 0E I X X E I E Iδ δ δ δ+ + = = =
Uma vez que já se conhece os coeficientes δij, é possível substituí-los nas 
equações de compatibilidade apresentadas, assim, encontrando o sistema de 
equações da estrutura:
1 2
1 1. . .
3 6
X X E I+ =
1 2
1 1. . 0
6 3
X X− + =
1
4. .E IX
l
=
2
2. .E IX
l
=
Portanto, o coeficiente de rigidez é S11 = X1 = (4EI/l). O esforço na 
extremidade da barra será igual à reação no engaste, e é observado na outra 
extremidade que o esforço é a metade.
2.1.3 Viga contínua
Considerando a viga contínua apresentada a seguir, com dois graus de 
liberdade (d1 e d2) e não considerando os deslocamentos horizontais:
FIGURA 35 – VIGA CONTÍNUA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 96)
Aplicamos o princípio da superposição de efeitos, em que inicialmente é 
fixada a estrutura, aplicado as cargas nas barras e, aí sim, calculado o engastamento 
perfeito. Este cálculo pode ser realizado utilizando tabelas (encontradas nesta 
unidade) e, então, são encontradas as forças Fep1 e Fep2.
206
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
FIGURA 36 – MOMENTO DE ENGASTAMENTO PERFEITO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 96)
Após calcular os esforços de engastamento perfeito, é imposto um 
deslocamento unitário no primeiro grau de liberdade (d1=1 e d2=0). Encontram-se 
os esforços correspondentes, sendo o S11 para o grau de liberdade 1 e S21 para o 
grau de liberdade 2.
FIGURA 37 – DESLOCAMENTO UNITÁRIO EM 1
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 97)
Em seguida, é imposto um deslocamento no grau de liberdade 2 (d1=0 e 
d2=1). Então, são encontrados os esforços correspondentes a esta configuração, 
sendo o S12 para o grau de liberdade 1 e S22 para o grau de liberdade 2.
FIGURA 38 – DESLOCAMENTO UNITÁRIO EM 2
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 97)
Para a estrutura estar em equilíbrio, a soma dos esforços em um nó, em 
uma certa direção ou grau de liberdade, tem que ser igual à ação aplicada neste 
mesmo nó, na mesma direção. Portanto, para o grau de liberdade 1 tem-se: 
FEP1 + S11.d1 + S12.d2 = A1 = M
De forma análoga, para o grau de liberdade 2, tem-se:
 1 11 12 1
2 21 22 2
.
0
EP
EP
F S S d M
F S S d
       
+ =      
      
 ou ainda { } [ ] { } { }.EPF S D A+ = .
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
207
Em que:
• {FEP} = vetor de esforços de engastamento perfeito;
• [S] = matriz de rigidez da estrutura;
• {D} = vetor de deslocamentos nodais;
• {A} = vetor de ações nodais externas aplicadas diretamente nos nós.
Deve-se ressaltar que o produto de [S]. {D} é equivalente aos esforços 
internos da estrutura, causados pelo deslocamento dos nós e que o somatório 
{FEP} + [S]. {D} é o esforço interno total, o qual deve estar em equilíbrio com as 
ações externas.
Portanto, para se obter o vetor {D} basta resolver o sistema de equações 
apresentado anteriormente, isolando o vetor de deslocamentos nodais. Desta 
forma temos:
[S].{D} = {A} – {FEP}
{D} = [S]-1.{A – FEP}
Para estruturas isostáticas, a matriz de rigidez sempre poderá ser invertida, 
logo será fácil determinar o vetor de deslocamentos {D}. Porém, se a estrutura for 
hipostática, a matriz de rigidez [S] será singular (determinante da matriz igual a 
zero (det [S] =0)) e o sistema não terá solução.
Para a viga mostrada a seguir, em que a rigidez à flexão das barras (EI) é 
igual a 73x103 kNm2. Trata-se de um sistema de 2 graus de liberdade, submetidos 
às ações nodais mostradas na figura.
FIGURA 39 – VIGA CONTÍNUA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 98)
FIGURA 40 – GRAUS DE LIBERDADE E AÇÕES NOS NÓS
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 98)
208
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Conforme o procedimento de análise, fixa-se a estrutura e aplicam-se as 
cargas às barras para então encontrar aos esforços de engastamento perfeito.
FIGURA 41 – ESTRUTURA PRINCIPAL PARA ANÁLISE
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 98-99)
Os momentos de engastamento perfeito nos graus de liberdade 1 e 2, 
considerando o momento positivo no sentido anti-horário, temos: FEP1=4 kNm e 
FEP2=-10 kNm. Portanto, já é conhecido o vetor de força de engastamento perfeito:
{ } 4
10EP
F  =  − 
A seguir, é aplicado um deslocamento unitário em 1, ou seja, d1 = 1 e d2 = 
0 e encontram-se os esforços correspondentes.
FIGURA 42 – APLICAÇÃO DO DESLOCAMENTO UNITÁRIO NO ELEMENTO 1 DA ESTRUTURA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 99)
Este procedimento é repetido para o ponto 2, implementando, dessa vez, 
o deslocamento unitário no ponto 2, ou seja, d1 = 0 e d2 = 1, e encontram-se os 
esforços correspondentes.
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
209
FIGURA 43 – APLICAÇÃO DE DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS NO ELEMENTO 2 DA ESTRUTURA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 99)
Através da aplicação da teoria de superposição de efeitos, o sistema de 
equações de equilíbrio de forças para os nós pode ser escrito por:
Nó B:
 
FEP1 + S11.d1 + S12.d2 = A1
Nó C:
FEP2 + S21.d1 + S22.d2 = A2
Ou, matricialmente, temos:
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
.EP
EP
F S S d A
F S S d A
       
+ =      
       
Então, aplicando as propriedades de rigidez das barras e os valores 
conhecidos das ações e esforços de engaste perfeito, temos:
13
2
4 168 36 12
.10 .
10 36 72 0
d
d
−      
+ =      −      
13
2
168 36 16
.10 . ,
36 72 10
d
d
−    
=    
     então
3
1
3
2
0,14 1 0 
0,21 1 0 
d x rad
d x rad
−
−
   −
=   
   
Uma vez encontrados os valores dos deslocamentos, é possível obter os 
esforços nas barras multiplicando os coeficientes de rigidez de cada barra pelos 
deslocamentos sofridos em suas extremidades, e somando o resultado com os 
esforços de engastamento perfeito nas extremidades dessas barras. Além disso, as 
reações de apoio também podem ser calculadas a partir dos deslocamentos nodais.
210
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
O exemplo que realizamos considerou a estrutura global, porém é mais 
fácil encontrar a solução do problema se dividirmos a estrutura em elementos e 
tratar cada elemento separadamente, como será abordado mais adiante.
2.1.4 Treliças – barra de material homogêneo e seção 
transversal constante submetida à carga axial
Considere uma barra discretizada por um elemento de treliça, coincidente 
com o eixo longitudinal da barra, possuindo dois nós nas extremidades. A 
barra é fixa à esquerda, o deslocamento do nó 2 é nulo. Sendo assim, o sistema 
fica reduzido a um sistema de apenas um grau de liberdade, o deslocamento 
horizontal do nó 1.
FIGURA 44 – BARRA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 101)
A força aplicada P é proporcional ao deslocamento u1, sendo essa 
proporcionalidade dada pela rigidez axial da barra ou do elemento, assim como 
no caso de uma mola, em que a constante elástica k é proporcional a sua rigidez. 
Portanto, a equação de equilíbrio das forças para o nó 1 na direção 1.
FIGURA 45 – ANALOGIA COM MOLA ELÁSTICA DE RIGIDEZ K
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 101)
Suponha que a rigidez axial da barra é o inverso da sua flexibilidade, 
obtida através do método dos trabalhos virtuais:
.E Ak
l
=
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
211
Então, a solução para o sistema de um grau de liberdade apresentado 
pode ser expressa por:
1
.
.
P P lu
k E A
= =
2.1.5 Treliças – barra composta de duas hastes de 
materiais, comprimentos e seções diferentes submetidas a 
carregamento axial
Neste caso, se tratando de duas hastes de características diferentes 
(comprimento, material e seções), a estrutura pode ser idealizada como a 
associação de dois elementos de treliças de rigidez diferentes, k1 e k2,interligados 
por duas molas elásticas diferentes.
FIGURA 46 – SISTEMA ESTRUTURAL ORIGINAL
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 102)
FIGURA 47 – SISTEMA ESTRUTURAL IDEALIZADO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 102)
Uma vez que a extremidade da esquerda é fixa, trata-se de um problema 
de dois graus de liberdade (u1 e u2). As equações de equilíbrio resultam, então, em 
um sistema de equilíbrio de forças em torno dos nós da estrutura formados por 
duas equações e duas incógnitas, sendo escrito por:
S11.u1 + S12.u2 = A1 = 0
S21.u1 + S22.u2 = A2 = P
Ou, ainda, sob a forma matricial: [S].{D}={A}.
Para encontrar a matriz de rigidez [S] são impostos os deslocamentos u1=1 
e u2=0 à estrutura, originando assim os coeficientes S11=k1+k2 e S21=-k2.
212
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
FIGURA 48 - DISCRETIZAÇÃO DO SISTEMA POR DUAS MOLAS ELÁSTICAS DIFERENTES
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 102)
Em seguida é feito o mesmo procedimento aplicando o deslocamento no 
nó 2, portanto u1=0 e u2=1, obtendo os coeficientes S12=-k2 e S22=k2. Substituindo os 
coeficientes encontrados no sistema de equações de equilíbrio, temos:
1 2 2 1
2 2 2
0
.
k k k u
k k u P
+ −     
=    −     
Resolvendo o sistema de equações é possível encontrar o valor de u1 e u2. 
No exemplo mostrado, não há formas axiais aplicadas nas barras, mas no caso 
delas existirem, devem ser incluídas no equilíbrio de forças dos nós os esforços 
de engastamento perfeito.
Quando uma estrutura é composta por diversas barras, divide-se ela em 
diversos elementos, ao invés de tratá-la globalmente como fazemos até o momento.
 
Ao dividir as estruturas, cada elemento é calculado individualmente e, 
a partir delas é possível obter a matriz de rigidez da estrutura, somando-se os 
coeficientes correspondentes aos mesmos graus de liberdade.
As estruturas reticuladas, são ligadas entre si através dos pontos nodais, 
onde se supõe que todos os esforços de ligação entre os elementos se concentram. 
A discretização das ações e dos deslocamentos nos nós e a composição destes 
elementos para constituir a estrutura resultam em um sistema matricial.
No método de deslocamento, esse sistema é o sistema de equilíbrio de 
forças em torno de um nó. Portanto uma matriz com N nós e com uma quantidade 
M de graus de liberdade resulta em um sistema N x M de equações, incluindo as 
suas direções restringidas por vínculos.
Quanto ao processo de modelagem de uma estrutura, cada elemento é 
representado por uma linha reta, coincidente com o eixo da barra, ligando os 
dois nós. Os nós são posicionados nas extremidades das barras, sejam livres ou 
vinculados a algum tipo de apoio.
Em situações em que há troca de material ou modificação de seção da 
estrutura, para ser possível realizar a modelagem deve-se criar um nó fictício 
neste local. A criação do nó fictício ainda pode ser realizada sob uma carga 
concentrada, mas, neste caso, não é obrigatório o uso deste artifício.
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
213
FIGURA 49 – NÓ FICTÍCIO SOBRE UMA CARGA CONCENTRADA 
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 104)
O sistema de coordenadas cartesianas é utilizado como referencial para 
solucionar estruturas reticuladas. Durante o processo utiliza-se um sistema global 
(X, Y, Z) e um sistema local no elemento (x,y,z). Tanto no sistema global quanto no 
sistema local, os eixos são perpendiculares entre si e obedecem à regra da mão direita.
Para o sistema local, o eixo x coincide com o eixo longitudinal da barra, 
passando pelo seu centroide, sendo o positivo deste eixo, conforme apresentado 
na figura a seguir.
FIGURA 50 – EXEMPLO DE PÓRTICO PLANO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 105)
Ressalta-se ainda que o grau de liberdade da estrutura é determinado em 
relação ao eixo de coordenadas local.
Existem seis tipos de estruturas reticuladas, ou seja, estruturas em que uma 
das suas dimensões são predominantes sobre as outras, sendo classificadas em:
214
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
• vigas (2 GL por nó);
• treliças planas (2 GL por nó); 
• pórticos planos (3 GL por nó);
• treliças espaciais (3 GL por nó);
• grelhas (3 GL por nó); e
• pórticos espaciais (6 GL por nó).
Cada uma apresenta característica mecânica e geométrica especial. A 
caracterização de uma estrutura plana se dá quando os eixos das barras e suas 
deformações se situam no mesmo plano, caso contrário, a estrutura é classificada 
em estrutura espacial.
Em estruturas planas é necessário que seu eixo vertical seja um eixo 
de simetria, uma vez que essas estruturas se deformam em seu próprio plano. 
Assim, o produto de inércia de sua seção em relação aos eixos da seção transversal 
será nulo. Isso nos diz que os eixos x e y são os eixos principais de inércia e que 
coincidem com o centro de torção da seção.
Desta forma, se existirem forças aplicadas no eixo XY e os binários 
também atuarem no eixo XY, em um eixo paralelo ao eixo Z, não haverá torção, 
sua deformação ocorrendo por flexão, axialmente ou por cisalhamento. Caso esta 
situação não se apresente (y não for eixo de simetria), haverá torção da barra, 
ocasionando a deformação da estrutura fora do plano XY. 
Em geral as ligações entre as barras de treliças (espaciais ou planas) são 
rotuladas e ligações das barras de vigas, grelhas, pórticos (planos e especiais) 
são rígidos, mas neste caso pode ser que ocorra alguma situação em que seja 
considerada uma ligação rotulada.
Até o momento foi visto que, considerando uma estrutura constituída 
de material elástico linear, todos os esforços submetidos na estrutura resultam 
em deformações correspondentes a suas ações em qualquer ponto da estrutura, 
conforme apresentado na sequência.
FIGURA 51 – TIPOS DE DEFORMAÇÕES SOFRIDAS POR UMA BARRA DE ACORDO 
COM O ESFORÇO APLICADO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 107)
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
215
Deve-se ressaltar que, em treliças (planas e espaciais), haverá apenas os 
esforços e deformações axiais caso essas cargas estejam aplicadas diretamente 
nos nós da treliça, ou se houver cargas axiais aplicadas ao longo das barras, caso 
contrário, haverá ainda esforços de flexão e esforços cortantes, porém o esforço 
axial predomina na estrutura.
Já no caso de vigas e pórticos planos, a deformação axial pode ser 
desprezada, uma vez que as deformações por flexão são predominantes. Como 
as barras das estruturas reticuladas são geralmente longas, normalmente é 
desprezada a deformação por cisalhamento, porém devendo ser considerado no 
caso de vigas ou pilares parede.
Nas estruturas espaciais (pórticos ou grelhas), em geral predomina a 
deformação por flexão, mas em barras rígidas à torção, como as seções caixão, a 
deformação por torção pode se tornar significativa. E, como os dois eixos da seção 
de barras são eixos de simetria, não há uma iteração entre flexão e torção.
É sugerido, aos acadêmicos, olhar as particularidades possíveis de encontrar em 
cada tipo de estrutura, plana e espacial, para aprofundar o conhecimento. Algumas sugestões 
de livros e apostilas para serem consultadas se encontram na bibliografia desta unidade.
NOTA
2.2 RESUMO DO MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PARA 
ESTRUTURAS RETICULADAS DIVIDIDAS EM ELEMENTOS
1- Isolar cada elemento; calcular sua matriz de rigidez do elemento não restringido 
considerando todos os graus de liberdade do elemento no sistema local de 
coordenadas.
2- Calcular o vetor de engastamento perfeito para o elemento fixo, inicialmente 
no sistema local, sempre que houver cargas aplicadas ao longo dos elementos 
ou barras.
3- Após uma transformação de coordenadas são encontrados a matriz de rigidez 
do sistema global e o vetor de engastamento perfeito do sistema global.
4- Assim, somando a contribuição de cada elemento no sistema é formado o 
sistema de equação de equilíbrio para a estrutura não restringida, no sistema 
global de coordenadas, em relação à cada grau de liberdade possível.
{ } [ ] [ ] { }* * * *.EPF S D A+ =
216UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Em que:
• [ ]* [ ]*S elementos Sg=∑
• { }* { }*EP GEPF elementos F=∑
E, ∑elementos é a soma dos coeficientes que correspondem ao mesmo grau 
de liberdade dos elementos que concorrem no mesmo nó. Portanto, se a estrutura 
tem N nó e cada nó tem M graus de liberdade, a matriz resultante será N x M.
Então são aplicadas as condições de contorno da estrutura, encontrando o 
sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida:
{FEP} + [S].{D} = {A}
Portanto, resolvendo esse sistema, obtém-se:
{D} = [S]-1.{A–FEP}
Uma vez encontrado o vetor deslocamento {D} é possível obter as reações 
de apoio da estrutura, os esforços no sistema local e o deslocamento das barras 
no sistema local:
{AL} = {FLEP} + {SL}.{ul}
Da mesma forma que apresentado anteriormente para um elemento inteiro, 
é necessário encontrar a matriz de rigidez da estrutura. Agora iremos abordar 
o conceito, considerando a separação dos elementos que compõem a estrutura 
separadamente, e, após análise individual, será formada a matriz global da estrutura.
2.3 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ
Será abordado o exemplo de uma viga com dois graus de liberdade por 
nó, em que o sistema local coincide com o sistema global da estrutura. 
FIGURA 52 – ELEMENTO DE VIGA COM 2 GRAUS DE LIBERDADE POR NÓ
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 113)
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
217
O elemento ou barra (i) mostrado possui nó inicial J e nó final K, seu 
comprimento l e o momento de inércia da seção do elemento é I. Desta forma, o 
vetor de deslocamento nodal do elemento e a matriz de rigidez do elemento no 
sistema local pode ser expressa, respectivamente por:
{ }
1
2
4 1
3
4
l x
u
u
u
u
u
 
 
 =  
 
  
[ ]
11 12 13 14
21 22 23 24
4 4
31 32 33 34
41 42 43 44
l x
S S S S
S S S S
S
S S S S
S S S S
 
 
 =
 
 
 
e
Então é aplicado o método de deslocamento, inicialmente fixando as 
extremidades das estruturas e impondo deslocamentos unitários em cada 
elemento, conforme pode ser observado a seguir:
FIGURA 53 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U1, U2, U3 E U4
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 114)
d) Deslocamento unitário u4c) Deslocamento unitário u3
a) Deslocamento unitário u1 b) Deslocamento unitário u2
Os coeficientes de rigidez podem ser calculados pelo método das forças. 
Já foi demonstrado como se obtém os coeficientes S44, S24, ou S22, S42 anteriormente. 
Já os demais coeficientes podem ser encontrados através do equilíbrio, sabendo 
que a matriz de rigidez é uma matriz simétrica, ou seja, Sji = Sij.
Portanto, para o exemplo em questão, impondo-se inicialmente a 
deformação unitária u2=1, têm-se:
22 42
4 2 EI EIS e S
l l
= =
218
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
E através das equações de equilíbrio (∑MJ=0 e ∑Fy=0), pode-se obter:
32 122 2
4 2
6 6 
EI EI
EI EIl lS e Sl l l
 − − 
 = ∴− =
Da mesma forma, ao impor o deslocamento u4 =1 é possível obter 
44
4 EIS l= e 24 2 EIS l= e, através das equações de equilíbrio, 43 34 2
6 EIS S
l
= = − e 41 14 26 EIS S l= = . 
Conforme comentado anteriormente, a matriz de rigidez é uma matriz simétrica, 
portanto, S23 = S32 e S12 = S21. E através das equações de equilíbrio é possível obter 
os coeficientes restantes.
FIGURA 54 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U1 E U2
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 115)
∑MJ=0:
∑Fx=0:
2 2
31 3
6 6 12EI EI EIl lS l l
 +   = − = −     
11 31 3
12S S EI
l
= − =
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
219
FIGURA 55 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U3 E U4
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 115)
23 432 2
6 6 ; EI EIS S
l l
= − = −
( )2 2
31 13 3
6 6 12 
EI EI EIl lS S l l
+ −
= =− =
33 13 3
12 EIS S
l
=− =
e
Dessa forma, a matriz de rigidez do elemento de viga (não restringido) no 
sistema local é:
[ ]
3 2 3 2
2 2
4 4
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
l x
EI EI EI EI
l l l l
EI EI EI EI
l l l lS
EI EI EI EI
l l l l
EI EI EI EI
l l l l
 − 
 
 − 
=  
 − − −
 
 
 −
 
Essa matriz de rigidez é singular, portanto, não pode ser inversível. Desta 
forma, para ser possível a resolução do sistema de equações de equilíbrio faz-se 
necessário restringir o elemento. Ou seja, não há uma matriz de flexibilidade 
para elementos não restringidos.
 
Deve-se ressaltar que os coeficientes da diagonal principal da matriz de 
rigidez são sempre positivos.
220
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
2.4 ELEMENTO DE TRELIÇA PLANA
Para o elemento de barra de dois graus de liberdade apresentado a seguir, 
sabe-se que o sistema local não é coincidente com o sistema global e, portanto, o 
vetor de deslocamentos nodais é {uL}4x1 e a matriz de rigidez é [SL]4x4.
FIGURA 56 – ELEMENTO DE TRELIÇA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 116)
Considerando que os elementos possuem comprimento l e seção 
transversal é A. O procedimento de análise é similar ao realizado anteriormente 
no caso da viga. Primeiro deve-se fixar os elementos a movimentos de translação, 
uma vez que as ligações são articuladas e, portanto, as rotações não produzem 
esforços nos elementos.
FIGURA 57 – ELEMENTO DE TRELIÇA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 117)
Feito isso, impõe-se o deslocamento unitário em u1 = 1 e é obtido:
11
EAS l=
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
221
31 11S S
EI
l
= − = −
E, ainda, que S21 = S41 = 0.
É feito o mesmo procedimento para o deslocamento u2 = 1 e, neste caso, 
obtém-se que S12 = S22 = S32 = S42 =0:
FIGURA 58 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U
1
 E U
2
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 117)
Para deslocamento unitário em u3:
33
EAS l=
∑Fx=0:
13S
EA
l
= −
E, ainda, que S23 = S43 = 0.
É feito o mesmo procedimento para o deslocamento u4 = 1 e, neste caso, 
obtém-se que S14 = S24 = S34 = S44 =0:
FIGURA 59 – IMPOSIÇÃO DOS DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS U
3
 E U
4
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 118)
∑Fx=0:
222
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Desta forma, a matriz de rigidez do elemento da treliça plana no sistema 
local pode ser escrita por:
[ ]4 4
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
l x
EA EA
l l
S
EA EA
l l
 
 
 
 =  
 
 
  
2.5 ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO
Sendo que o elemento de pórtico plano, possuindo 3 graus de liberdade 
por nó, formado pelos nós J e K. O vetor de deslocamentos nodais é {uL}6x1 e a 
matriz de rigidez é [SL]6x6. E sabendo que normalmente o sistema local não 
coincide com o sistema global do elemento.
FIGURA 60 – ELEMENTO DE PÓRTICO PLANO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 118)
Desta maneira, a matriz de rigidez do elemento do pórtico plano pode ser 
encontrada superpondo-se à matriz de rigidez do elemento de viga com a matriz de 
rigidez do elemento de treliça, já que não ocorre iteração entre o esforço axial e de 
flexão, e a estrutura é considerada linear e submetida a pequenos deslocamentos. 
Desta forma, a matriz de rigidez do pórtico é formada da seguinte maneira:
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
223
QUADRO 2 – MATRIZ DE RIGIDEZ DO PÓRTICO
Matriz de Rigidez da Viga/Treliça Matriz de Rigidez do Pórtico
GL 1 do elemento de viga GL 2 do elemento do pórtico plano
GL 2 do elemento de viga GL 3 do elemento do pórtico plano
GL 3 do elemento de viga GL5 do elemento do pórtico plano
Gl 4 do elemento de viga GL 6 do elemento do pórtico plano
GL 1 do elemento de treliça GL 1 do elemento do pórtico plano
GL 3 do elemento de treliça GL 4 do elemento do pórtico plano
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 119)
Desta forma, a matriz de rigidez do sistema local do pórtico é dada por:
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 4 6 20 0
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 2 6 40 0
L
EA EA
l l
EI EI EI EI
l l l l
EI EI EI EI
l l l lS
EA EA
l l
EI EI EI EI
l l l l
EI EI EI EI
l l l l
 − 
 
 − 
 
 −
 =  
 −
 
 
− − − 
 
 −  
Em algumas situações, os eixos locais dos element em análise seencontram rotacionados em relação ao eixo global da estrutura. Nesse caso 
deve ser usada uma matriz de rotação para transportar os dados encontrados 
no eixo local até o eixo global.
FIGURA 61 – SISTEMA DE COORDENADAS (1)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 119)
a) Vetor de deslocamento no
sistema local
b) Vetor de deslocamento no
sistema global
224
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
Decompondo os deslocamentos u1 e u2 nos eixos locais, tem-se:
uL1 = uG1.cosθ + uG2.senθ
e
uL2 = -uG1.senθ + uG2.cosθ
FIGURA 62– SISTEMA DE COORDENADAS (2)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 120)
Sendo que a resultante dos vetores de translação 
11
22
 GL
GL
uu
uu
  
=   
    é a mesma e 
que uL3=uG3 e uL6 = uG6, pois a rotação nos nós J e K é a mesma no plano local e no 
plano global. Matricialmente, pode ser escrito:
• Para o nó J:
• Para o nó K:
1 1
2 2
3 3
0
0 .
0 0 1
L G
L G
L G
u cos sen u
u sen cos u
u u
θ θ
θ θ
     
    = −    
         
4 4
5 5
6 6
0
0 .
0 0 1
L G
L G
L G
u cos sen u
u sen cos u
u u
θ θ
θ θ
     
    = −    
         
Portanto, é possível escrever a relação entre os vetores de deslocamentos 
nodais do elemento no sistema local e o vetor de deslocamento nodal do elemento 
no sistema global.
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
225
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
.
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
 
L
G
L
G
L
G
L
G
L
G
L
G
u
ucos sen
u
usen cos
u
u
u
ucos sen
u
usen cos
u
u
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
 
   
    −    
     =     
     
     −
     
      
 
Uma vez que cos(-θ) = cos(θ) e sen(-θ) = - sen(θ), é observado que [R]-1 
= [R]T, ou seja, uma matriz [R] é uma matriz ortogonal, dessa forma, {uG} = [R]-
1.{uL} = [R]T.{uL}.
Em casos de treliça plana, há apenas dois graus de liberdade por nó. Não 
se considera o grau de liberdade de rotação dos nós dos elementos, uma vez que 
eles não resultam em esforços na barra, devido à presença de rotulação na junção 
dos elementos de barra.
FIGURA 63 – SISTEMAS DE COORDENADAS (3)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 120)
Portanto, a sua matriz de transformação é:
[ ]4 4
0 0
0 0
0 0
0 0
x
cos sen
sen cos
cos sen
sen cos
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
 
 − =
 
 − 
Analogamente aos vetores de deslocamentos, os vetores de esforções 
também podem ser escritos por:
226
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
{ } [ ] { }.L GA A= ℜ
{ } [ ] { } [ ] { }1 . .TG L LA A A
− =ℜ ℜ=
Sabendo que {AL} = [SL].{uL}, tem-se:
{ } [ ] [ ] { }. .L L GA S uℜ=
Multiplica-se os dois lados da expressão por { } [ ] [ ] { }. .L L GA S uℜ= T:
[ ] { } [ ] [ ] [ ] { }. . . .T TL L GA S uℜ=ℜ ℜ
Portanto:
{ } [ ] [ ] [ ] { }. . .TG L GA S uℜ ℜ=
E ainda é possível organizar essa equação isolando a matriz de rigidez 
global da estrutura (este trabalho algébrico das equações fica como exercício para o 
acadêmico, basta ir trabalhando com os conceitos vetoriais abordados até o momento):
{ } [ ] [ ] [ ]. .TG LS Sℜ= ℜ
Essas expressões são desenvolvidas considerando o elemento de pórtico 
plano, porém, em sua forma genérica, podem ser aplicadas para todos os tipos de 
estruturas reticuladas. Deve-se ressaltar que, para cada tipo de elemento, se tem 
uma matriz de rotação e uma matriz de rigidez do sistema local diferente.
Já foi visto como encontrar a matriz de rigidez do sistema global, 
utilizando os elementos de barras locais. O mesmo pode ser realizado para o 
vetor de engastamento perfeito de todos os elementos do sistema local para o 
global, utilizando a equação { } [ ] { }.TGEP LEPF Fℜ= .
As equações de equilíbrio das forças generalizadas em torno dos nós 
podem ser escritas por { } { } [ ] [ ].EPA F S D= + , sendo {A}, as ações aplicadas nos 
nós; {FEP} os esforços nas extremidades devido às cargas atuando nos elementos 
para a estrutura fixa; [S].[D] os esforços devido aos deslocamentos nodais.
Para a forma não restringida (sem apoios), esta forma pode ser reescrita 
como:
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
227
{A}*={FEP}*+[S]*[D]*
Todos os sistemas de equações apresentados anteriormente são 
considerados no sistema global de todos os elementos, os quais são formulados 
considerando o grau de liberdade dos elementos. Para relacionar o grau de 
liberdade dos elementos com o grau de liberdade da estrutura é aplicada a regra 
da correspondência, que será abordada mais adiante.
Primeiramente, deve ser mencionada a formação da matriz de rigidez da 
estrutura não restringida [S]*, que é formada a partir da matriz de rigidez dos 
elementos no sistema global:
[ ] [ ] [ ]
(i)Tn_elementos _
* i (i)
L
i=1 1
" S . " " "
n elementos
i
G
i
S S
=
= =∑ ∑
Portanto, a matriz de rigidez é formada somando-se à contribuição de 
todos os elementos S*ij, em que o índice “i” se refere ao grau de liberdade do nó da 
estrutura, os quais são obtidos somando os coeficientes das matrizes de rigidez [SG] 
dos elementos que concorrem a este mesmo nó ao mesmo G.L. Dessa forma, é de 
extrema importância identificar o G.L. na extremidade do elemento, correspondente 
a um G.L. de nó da estrutura, como é exemplificado na figura a seguir:
FIGURA 64 – PÓRTICO PLANO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 124)
No exemplo apresentado, percebe-se que no nó 5 são ligadas as barras (4), 
(6) e (7), em que os graus de liberdade nas suas extremidades, no sistema global, 
são apresentados a seguir:
228
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
FIGURA 65 – PÓRTICO PLANO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 124)
Percebe-se que o sistema local e o sistema global são coincidentes para o 
elemento (6), portanto, a sua matriz de rigidez será igual nos dois sistemas. Já nos 
elementos (4) e (7), a matriz de rigidez global deve ser obtida através do cálculo 
da matriz de rigidez e da matriz de rotação do elemento (
), conforme apresentado anteriormente. A aplicação desses conceitos deve ser 
estendida aos demais elementos da estrutura, viabilizando a construção da matriz 
de rigidez global da estrutura.
{ } [ ] [ ] [ ]. .TG LS Sℜ= ℜ
2.6 REGRA DA CORRESPONDÊNCIA
A regra da correspondência relaciona a numeração dos deslocamentos 
das extremidades dos elementos ({uG}) com a numeração dos deslocamentos 
nodais da estrutura ({D}). Em cada elemento (i) denominado J, o número do nó 
inicial e K o número do nó final, os deslocamentos são numerados de 1 a 2 × NGL/
nó (NGL/nó = número de graus de liberdade por nó), iniciando sempre pelo nó J 
e seguindo a ordem dos eixos no sistema global.
Levando em conta a estrutura de pórtico plana, anteriormente apresentada, 
a regra da correspondência pode ser organizada na seguinte tabela:
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
229
TABELA 1 – REGRA DA CORRESPONDÊNCIA PARA ELEMENTOS DE UMA ESTRUTURA E SUAS 
POSIÇÕES NA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
FONTE: O autor
Elemento 
(i)
GL da Estrutura GL do 
elemento 
{uG}1-3
(2)
2-4
(3)
3-4
(4)
3-5
(5)
4-6
(6)
5-6
(7)
5-7
(8)
6-7
3J-2 1 4 7 7 10 13 13 16 1
3J-1 2 5 8 8 11 14 14 17 2
3J 3 6 9 9 12 15 15 18 3
3k-2 7 10 10 13 16 16 19 19 4
3k-1 8 11 11 14 17 17 20 20 5
3k 9 12 12 15 18 18 21 21 6
Assim, para formar a matriz de rigidez [S]* da estrutura deve-se levar 
em conta a contribuição de todos os elementos, o que é normalmente feito por 
acumulação. Portanto, para cada elemento deve-se efetuar as seguintes etapas:
1- Calcula-se a matriz de rigidez do elemento no sistema global [SG].
2- Calcula-se a regra da correspondência de cada elemento.
3- Armazena-se cada coeficiente da matriz [SG] do elemento na posição 
correspondente na matriz [S]*, ou seja, os elementos são posicionados nas 
linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade da estrutura, obtidos 
através da regra da correspondência.
Como pode ser observado na Tabela 1, haverá situações em que coeficientes 
de elementos diferentes ocupam a mesma posição na matriz de rigidezglobal. 
Neste caso, deve-se somar os coeficientes. Desta maneira, os coeficientes que 
concorrem em um mesmo nó da estrutura acabam somando-se automaticamente.
Estes procedimentos ao serem realizados para todos os elementos, a 
matriz de rigidez estará pronta, restando, apenas, completá-la com zeros nas 
posições que não estiverem preenchidas com nenhum elemento.
Este procedimento também é executado para formar o vetor de 
engastamento perfeito da estrutura, {FEP}*, a partir dos vetores de engastamento 
perfeitos global {FGEP}.
Para melhor exemplificar o exposto, considere a haste a seguir, composta por 
duas barras de comprimentos, áreas e materiais diferentes, conforme a Figura 66. 
Considere que sejam dadas as rigidezes axiais das barras: E1.A1/L1 = 10 e, E2.A2/L2 = 30.
A modelagem do elemento é realizada por dois elementos e três nós, 
estando fixada na extremidade esquerda e submetida apenas a uma força axial 
na extremidade direita. Portanto, as incógnitas do problema são, então, os 
deslocamentos dos nós 2 e 3.
230
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
FIGURA 66 – ELEMENTO DE TRELIÇA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 128)
Como é o primeiro exemplo mostrado, os valores da matriz de rigidez não 
apresentaram as suas unidades, facilitando a visualização. Os elementos de barra 
utilizados na modelagem da barra são mostrados na Figura 67, sendo que cada 
nó apresenta apenas um grau de liberdade.
FIGURA 67 – ELEMENTOS DE ESTRUTURA TRACIONADA
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 129)
Através da análise dos elementos é aplicada a regra da correspondência, 
conforme a tabela a seguir:
TABELA 2 – REGRA DA CORRESPONDÊNCIA – GL DA ESTRUTURA
CORRESPONDENTE AO GL DOS ELEMENTOS
Elemento
J - K
Grau de liberdade da estrutura
GL do elemento
{uG}
1
1 - 2
2
2 - 3
J 1 2 1
K 2 3 2
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 129)
Portanto, a matriz de rigidez da estrutura não restringida é formada 
levando em consideração a contribuição dos dois elementos, somando os 
coeficientes das matrizes de rigidez no sistema global, que correspondem ao 
mesmo grau de liberdade da estrutura:
[ ] L
EA EA
L LS
EA EA
L L
 − 
=  
 −  
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
231
( ) ( )1 1 10 10 
10 10G L
S S
−    = =      − 
( ) ( )2 2 30 30 
30 30G L
S S
−    = =      − 
Portanto, a matriz de rigidez da estrutura é:
[ ]*
10 10 0 10 10 0
 10 10 30 30 10 40 30
0 30 30 0 30 30
S
− −   
   = − + − = − −   
   − −   
Para a viga ilustrada, faça a análise da estrutura encontrando: matriz de rigidez 
dos elementos; matriz de rigidez da estrutura; vetores de esforços de engastamento 
perfeito dos elementos e da estrutura; o vetor deslocamento da estrutura não restringida e 
o sistema de equações da estrutura não restringida. Obs.: considerar EI = 72 x 103.
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 133)
 Ao ser realizado o exercício anterior, é percebido que temos incógnitas nos dois 
lados da equação, portanto, para solucionar totalmente o problema deve-se considerar o 
sistema de equilíbrio para a estrutura restringida.
 Para isso, deve-se impor as condições de contorno da estrutura, ou seja, 
deslocamentos nulos nas direções restringidas por apoios. Portanto, os elementos da 
matriz [S]* que correspondem ao GL restringidos por apoios são eliminados. Desta forma, 
o sistema da estrutura restringida é: 
{FEP} + [S].{D} = {A}
 Dessa forma, considerando a estrutura a seguir, o sistema possuindo 4 graus de 
liberdade, em que dois desses graus de liberdade são restringidos. Portanto, o vetor de 
esforços de engastamento perfeito do elemento ou da estrutura é:
NOTA
232
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 137)
 Na estrutura não restringida, tem-se:
 Sabendo que D
1
 e D
2
 são nulos, os coeficientes da coluna 1 e da coluna 2 da 
matriz [S]* serão multiplicados por zero, podendo então ser eliminadas. Desta forma, 
obtém-se o sistema de equilíbrio para a estrutura restringida, em relação apenas aos 
graus de liberdade livres.
Exemplo: seja a viga analisada no exercício anterior e impondo-se as condições de 
contorno no sistema de equações de equilíbrio da estrutura não restringida, obtendo:
 Portanto, para obter os valores dos deslocamentos D3 e D4, basta resolver o 
sistema de equações acima. E, as reações de apoio da estrutura podem ser encontradas 
utilizando os resultados obtidos nas equações (i) e (ii):
{ } { }
/ 2
/ 8
/ 2
/ 8
EPG EPL
P
Pl
F F
P
Pl
 
 
 = =  
 
 − 
* * *
11 12 13 14 1 1 1
21 22 23 24 2 2 2
31 32 33 34 3 3
41 42 43 44 4 4
2
8 . 
0
2
8
P
S S S S D A R
Pl S S S S D A R
S S S S D AP
S S S S D A MoPl
 
         
         
         + = =         
         
         −     −  
* *
33 34 3
43 44 4
02 . 
8
P S S D
Pl S S D Mo
        + =       − −     
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *11 12 13 3 14 4 1 10 0 . . 2P S x S x S D S D A R i+ + + + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *21 22 23 3 24 4 2 20 0 . . 8Pl S x S x S D S D A R ii+ + + + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *31 32 33 3 34 4 3 30 0 . . 2P S x S x S D S D A R iii+ + + + = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * * *41 42 43 3 44 4 4 40 0 . . 8Pl S x S x S D S D A R iv− + + + + = =
TÓPICO 2 | MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS OU MÉTODO DA RIGIDEZ
233
 Com esses valores obtidos de D4 e D6 é possível encontrar as reações de apoio 
inserindo os valores dos deslocamentos nas equações para a estrutura não restringida:
 Encontrados os valores das reações de apoio, pode-se verificar o equilíbrio da 
estrutura (somatório das forças e momentos é igual a zero) e traçar os diagramas de 
esforços da estrutura.
43
6
4 168 36 12
.10 .
10 36 72 0
D
D
−      
+ =      −      
43
6
168 36 12 4
.10 .
36 72 0 10
D
D
− −    
=     +    
1
4 3
6
16 168 36
10 . .
10 36 72
D
D
−
− −     =     
    
4 3
6
0,14
.10 
0,21
D
rad
D
−−   =   
  
3
1 4 68 10 48 0 8 48 0,14 1,28 R x xD xD x x kN= + + = − =
3
2 4 66 10 48 0 0,72 R x xD xD kNm= + + = −
( )33 4 618 10 21 27 18 8,58 26,58 R x xD xD kN = + − + = + = 
[ ]34 4 610 10 27 27 10 1,86 8,14 R x xD xD kN= + − − = − =
234
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• A única estrutura que não pode ser analisada por este método é a viga bi-
engastada quando modelada por uma única barra.
• No caso de estrutura reticuladas (barras ligadas por pontos nodais), o número 
total de incógnitas será o número de deslocamentos nodais de todos os nós da 
estrutura ou o número total de “grau de liberdade”.
• Neste método, determinam-se primeiramente o deslocamento e, indiretamente 
os esforços; as incógnitas são então os deslocamentos.
• O grau de liberdade (GL) de um nó é definido como a direção a qual este nó 
pode se deslocar. 
• O esforço axial das estruturas pode ser desprezado quando a magnitude dos 
deslocamentos neste sentido não for significativa. Quando existirem forças 
horizontais aplicadas nas vigas, estas devem ser modeladas como pórticos.
• Resumidamente este método consiste em fixar a estrutura, introduzir os 
vínculos fictícios tornando a estrutura cinematicamente determinada. Então 
é considerado as cargas aplicadas nas barras e calculado os esforços que elas 
causam na estrutura fixa.
• É imposto os deslocamentos nos nós e calculados os esforços que estes 
provocam na estrutura. 
• A teoria da superposição sugere que seja calculado os esforços totais e estes que 
devem estar em equilíbrio com as forças externas que estão aplicadas na estrutura.
• Estruturas reticuladas, há apenas um único sistema principal a ser encontrado 
através da fixação dos nós.
235
AUTOATIVIDADE
1 Calcule os deslocamentos nodais, reações de apoio e trace os diagramas de 
esforços cortantes e momentos fletores da estrutura a seguir, considerando 
que as barras possuem seção transversalconstante de 12x40 cm, constituída 
com material homogêneo e módulo de elasticidade E=5x106 kN/m².
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 147)
2 Seja a viga apresentada a seguir possuindo o valor de EI = 72X103 kNm², 
calcule o valor das reações e trace os diagramas dos esforços.
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 139)
236
237
TÓPICO 3
MÉTODO DE CROSS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
O método de Cross trata-se de um método aproximado e baseado no método 
de deslocamento, em que as estruturas são classificadas em indeslocáveis (nós fixos) 
ou deslocáveis (nós móveis), considerando-se indeslocável o nó sem deslocabilidade 
de translação — normalmente é desprezado o efeito da deformação axial.
Nos casos de nós fixos, só há graus de liberdade de rotação e os esforços a 
determinar são momentos fletores nas barras por meio de um processo iterativo 
de equilíbrio de nós.
• Procedimento: os esforços nas barras são encontrados através de um processo 
iterativo de equilíbrio dos nós (desequilibrados).
• Incógnitas: momentos nas barras adjacentes aos nós (nº de incógnitas = nº de 
nós desiquilibrados).
• Equações: equilíbrio de momentos em torno dos nós.
Em situações de estruturas deslocáveis, deve-se determinar também as 
incógnitas de deslocabilidade de translação.
NOTA
2 PROCESSO DE CROSS
Este processo de análise é baseado no método dos deslocamentos e nas 
equações de equilíbrio de forças em torno de um nó.
O processo consiste em obter os esforços das barras por meio do equilíbrio 
de nó, distribuindo o momento total no nó de acordo com a rigidez das barras.
O processo de Cross é inspirado em um processo de resolução matemática 
por aproximações sucessivas dos sistemas lineares. Supõe-se, inicialmente, que 
os nós não sofrem rotação, supondo que os nós estejam bloqueados. 
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
238
Logo após a aplicação das cargas, os nós são liberados sucessivamente, 
sofrendo rotação. Em seguida, o nó liberado é bloqueado antes de passar ao nó 
seguinte. Essas operações são repetidas até que a liberação dos nós não provoque 
mais rotações, ou seja, atinge-se o estado de equilíbrio da estrutura.
O processo de Cross depende da solução de três problemas: a determinação 
dos momentos de engastamento perfeito; a rigidez de cada elemento; e o fator de 
distribuição de carga de cada membro da estrutura analisada.
Quanto à distribuição de momentos, a teoria de Cross é de que todos os 
nós da estrutura não pudessem girar e que momentos de engastamento perfeito 
nas extremidades das barras fossem calculados para esta condição. Assim, 
para cada nó da estrutura, distribui-se os momentos de engastamento perfeito 
desequilibrados entre os membros conectados na proporção entre os membros 
na proporção de cada rigidez.
O momento distribuído para cada nó é multiplicado pelo fator de 
distribuição de carga, porém deve-se ressaltar que se distribui somente a 
carga recebida. O processo é repetido até que os momentos transportados das 
extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro. 
Para uma estrutura com um único nó, a solução é exata, mas para mais de um nó 
a solução é aproximada, dependendo de um processo iterativo.
Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser 
encontrados através de tabelas, que podem ser encontradas na bibliografia 
sugerida. Algumas situações de carregamento e vinculações são apresentadas 
no quadro a seguir:
QUADRO 3 – MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 154)
TÓPICO 3 | MÉTODO DE CROSS
239
Neste procedimento de análise, a rigidez da barra (k) em nó é o valor do 
momento aplicado no ponto capaz de provocar o giro unitário do nó.
Se considerarmos a barra biengastada, ela é dada por:
FIGURA 68 – MOMENTOS DEVIDOS AO GIRO UNITÁRIO A
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 155)
4EIk
l
=
que é equivalente ao momento que surge no nó A devido ao giro 
unitário deste mesmo nó. Esse giro unitário em A provoca um momento no nó 
B da estrutura, esse momento apresenta mesmo sentido da rotação unitária de 
A. Portanto, o coeficiente de transmissão de um momento de um nó para outro 
também engastado, supondo a barra com inércia constante, é definida pela relação:
1
2
A
A
B
Mt
M
= =
Sendo MA e MB os momentos nas extremidades A e B, devido ao giro 
unitário na extremidade A. Já se considerarmos uma viga engastada rotulada:
FIGURA 69 – MOMENTO DEVIDO AO GIRO UNITÁRIO A
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 155)
Uma vez que estamos tratando de estruturas indeslocáveis, em estruturas 
em que há a presença de um único grau de liberdade, como por exemplo, em 
estruturas de pórtico, ele está relacionado à rotação (ϕ) do ponto (nó) livre.
Uma vez aplicado o momento M no nó A, este resulta em deformação nas 
demais barras do pórtico, e os esforços internos que surgirão nas extremidades das 
mesmas, serão proporcional à rigidez das mesmas à rotação sofrida pelo nó A.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
240
FIGURA 70 – PÓRTICO SUJEITO A UM BINÁRIO M
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 156)
a) Atuação do binário M b) Deformação e rotação sofridanas barras
No nó de atuação do binário, os esforços que surgem apresentam sentido 
inverso ao binário M aplicado no nó A, pois representam os esforços das barras 
sobre o nó e busca-se o equilíbrio do nó através do somatório dos esforços sendo 
igual a zero. Portanto, pode-se afirmar que:
(k1 + k2 + k3) . φ = M
Uma vez que o binário aplicado e os coeficientes de rigidez das barras (k) 
são conhecidos, é possível descobrir o valor da rotação ocorrida em A.
i
M
k
ϕ =
∑
E, com o resultado obtido para a rotação de A, obtém-se os valores dos 
momentos internos das barras:
1 1 1. .
i
MM k k
k
ϕ= =
∑
2 2 2. .
i
MM k k
k
ϕ= =
∑
3 3 3. .
i
MM k k
k
ϕ= =
∑
Portanto, um binário aplicado em um nó irá se distribuir pelas barras que 
concorrem este nó, proporcionalmente a sua rigidez. Sendo relacionado por um 
coeficiente de distribuição ii
i
k
kβ = ∑ e, portanto, é possível escrever o momento 
gerado na barra sendo: M1 = β1.M.
TÓPICO 3 | MÉTODO DE CROSS
241
A partir destes conceitos é possível utilizar o processo de Cross para 
análise de estruturas hiperestáticas. Porém, deve-se ressaltar que, quando existir 
cargas atuando ao longo das barras, os esforços de engastamento perfeito deve-se 
levar estes esforços em consideração para o equilíbrio dos nós.
De maneira mais resumida, as etapas do processo de Cross podem ser 
descritas assim:
1- Fixa-se os nós, calcula-se os momentos de engastamento perfeito devido aos 
carregamentos no elemento (transferidos para os nós utilizando-se a convenção 
de sinal de Grinter - horário +).
2- Soma-se os momentos aplicados nos nós.
3- Calcula-se a rigidez das barras (ki), coeficientes de distribuição (βi) e coeficientes 
de transmissão (ti).
4- Distribui-se o momento total no nó pelas barras, utilizando os coeficientes de 
distribuição, obtendo o equilíbrio no nó.
5- Transmitir os momentos obtidos nas barras ligadas ao nó até a outra extremidade 
da barra.
6- Traçar o diagrama de momento fletores.
Exemplo:
Considere o pórtico indeslocável a seguir, em que a rigidez à flexão (EI) 
seja constante. 
FIGURA 71 – PÓRTICO INDESLOCÁVEL
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 158)
Resolvendo a estrutura utilizando o processo de Cross, primeiramente 
fixa-se o nó e calcula-se o momento de engastamento perfeito da estrutura.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
242
( )220. 7,5 93,75 .
12A
M kN m
+
= = +
( )220. 7,5 93,75 .
12D
M kN m
−
= = −
Determina-se as rigidezes das barras. Para este exemplo, consideramos 
EI=30.
1
4 24
5
EIk = =
2
4 40
3
EIk = =
3
4 16
7,5
EIk = =
O coeficiente de distribuição (βi) é dado por:
1
24 0,30
80
β = =
2
40 0,50
80
β = =
3
16 0,20
80
β = =
Obs.: o somatório dos coeficientes deve ser igual a 1.
O próximo passo é efetuar o equilíbrio do nó, obtendo-se, assim, o 
momento nas barras.
FIGURA 72 – EQUILÍBRIO DO NÓ
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 159)
TÓPICO3 | MÉTODO DE CROSS
243
Após a determinação dos momentos nas barras é efetuada a transmissão 
destes momentos para as outras extremidades da estrutura, obtendo os momentos 
finais. Sendo, por convenção de sinais, momentos positivos nas barras (sentido 
anti-horário) e momentos negativos (sentido horário).
FIGURA 73 – DISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 160)
Dessa forma, é possível traçar o diagrama de momento fletor da estrutura, 
conforme segue:
FIGURA 74 – DIAGRAMA DOS MOMENTOS FLETORES
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 160)
Até o momento, abordamos estruturas com apenas um grau de liberdade, 
porém nada impede de a estrutura apresentar mais de um nó a ser equilibrado. 
Quando surgir essa situação, deve-se iniciar o equilíbrio da estrutura pelo nó 
mais desequilibrado equilibrado (o momento a ser equilibrado é maior).
Quando se tratar de estruturas deslocáveis é necessária a criação de um 
vínculo de 1º grau no nó deslocável da estrutura, não impedindo a translação 
do ponto, necessária à aplicação do método de Cross, surgindo neste ponto uma 
reação de apoio.
UNIDADE 3 | ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
244
LEITURA COMPLEMENTAR
ANÁLISE PELO MÉTODO DO DESLOCAMENTO:
DISTRIBUIÇÃO DE MOMENTO
R. C. Hibbler
O método de distribuição de momento é uma análise pelo método do 
deslocamento fácil de aplicar uma vez que determinadas constantes elásticas tenham 
sido determinadas. Neste capítulo, enunciaremos primeiro as definições e conceitos 
importantes para a distribuição de momento e então aplicaremos o método para 
solucionar problemas envolvendo vigas e pórticos indeterminados estaticamente. A 
aplicação a pórticos com andares múltiplos é discutida na última parte do capítulo.
Princípios e definições gerais
O método de analisar vigas e pórticos usando a distribuição de momento 
foi desenvolvido por Hardy Cross, em 1930. À época em que esse método foi 
publicado pela primeira vez, ele logo chamou atenção e foi reconhecido como um 
dos avanços mais notáveis da análise estrutural no século vinte.
Como será explicado em detalhes mais tarde, a distribuição de momento 
é um método de aproximações sucessivas que pode ser executado com qualquer 
grau desejado de precisão. Essencialmente, o método começa presumindo que 
cada nó de uma estrutura'~ fixo. Então, travando e destravando esses nós em 
sucessão, os momentos internos nos nós serão "distribuídos" e equilibrados até 
que eles tenham girado para suas posições finais ou quase finais. Veremos que 
esse processo de cálculo é repetitivo e fácil de aplicar. Entretanto, antes de explicar 
as técnicas de distribuição de momento, determinadas definições e conceitos 
precisam ser apresentados. 
Convenção de sinais. Estabeleceremos a mesma convenção de sinais já 
estabelecida para as equações de inclinação-deflexão: mon1entos no sentido 
horário que atuam sobre o membro são considerados positivos e momentos no 
sentido anti-horário são negativos.
Momentos de extremidade fixa (fixed-end Moments - FEMs)
Os momentos nas "paredes" ou nós fixos de um membro carregado são 
chamados de momentos de extremidades fixas. Esses momentos podem ser 
determinados a partir da tabela dada no Apêndice F, dependendo do tipo de 
carga sobre o membro. 
FONTE: HIBBELER, R.C, Análise estrutural. 12. ed., São Paulo: Editora Pearson, 2003. p.361-362
245
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você aprendeu que:
• O Processo de Cross é baseado no método dos deslocamentos e nas equações 
de equilíbrio de forças em torno de um nó.
• Este método consiste em obter os esforços das barras por meio do equilíbrio de 
nó, distribuindo o momento total no nó de acordo com a rigidez das barras.
• O processo de Cross é inspirado em um processo de resolução matemática por 
aproximações sucessivas dos sistemas lineares. 
• Supõe-se inicialmente que os nós não sofrem rotação, supondo que os nós 
estejam bloqueados. 
• O processo de Cross depende da solução de três problemas: 
 ◦ a determinação dos momentos de engastamento perfeito; 
 ◦ a rigidez de cada elemento; e 
 ◦ o fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura analisada.
• O momento distribuído para cada nó é multiplicado pelo fator de distribuição 
de carga, porém deve-se ressaltar que se distribui somente a carga recebida. 
• O processo é repetido até que os momentos transportados das extremidades 
das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro. 
• Para uma estrutura com um único nó, a solução é exata, mas para mais de um 
nó, a solução é aproximada, dependendo de um processo iterativo.
• Os momentos de engastamento perfeito já são conhecidos e podem ser 
encontrados através de tabelas,
246
AUTOATIVIDADE
1 Considerando as vigas contínuas mostradas a seguir, cuja rigidez é constante 
e possui valor EI, encontre o valor das reações e trace os diagramas de 
esforços para a estrutura.
a)
b)
c)
d)
e)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 161)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 163)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 166)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 169)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 171)
247
f)
g)
h)
i)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 175)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 176)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 177)
FONTE: Rovere e Moraes (2005, p. 181)
248
249
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos materiais. 2. ed. São Paulo:
McGraw-Hill, 1989. Disponível em: https://www.estudocerteiro.com/single-
post/2017/07/23/Resistencia-dos-Materiais---Ferdinand-Beer---3-Edicao---
Download. Acesso em: 21 maio. 2019.
CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. v. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: Ed. 
Guanabara Dois, 1985.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 12. ed. São Paulo: Editora Pearson, 
2013. Disponível em: https://vdocuments.site/analise-estrutural-hibbelerpdf.
html. Acesso em: 21 maio. 2019.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Editora 
Pearson, 2010. Disponível em: https://www.academia.edu/23488984/Livro_
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