apol- Cálculo e integral de uma variavel- objetiva

Prévia do material em texto

Questão 1/5 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Considere a área delimitada pelas curvas f(x)=x³−xf(x)=x³−x e g(x)=x²g(x)=x² no intervalo [0,1]. 
De acordo com os conteúdos da vídeo-aula sobre aplicação de integrais, item 2 da aula 6 do Roteiro de estudos, a área da região acima, considerando o intervalo dado é:
Nota: 20.0
	
	A
	712712
Você acertou!
A=∫10g(x)−f(x)=x33−(x44−x22)|104x3−3x4+6x212|104−3+612=712A=∫01g(x)−f(x)=x33−(x44−x22)|014x3−3x4+6x212|014−3+612=712
A aplicação de integrais para cálculo de áreas é vista na vídeo aula, minuto 42. 
	
	B
	512512
	
	C
	2
	
	D
	7575
	
	E
	12
Questão 2/5 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
A função dada por y=x3−5x+1y=x3−5x+1 é uma curva do terceiro grau, conforme mostra a figura a seguir:
Fonte: Livro-base, p. 67.
Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, a equação da reta tangente à curva, dada acima, no ponto x=3x=3 é igual a:
Nota: 20.0
	
	A
	20x−40.20x−40.
	
	B
	22x−53.22x−53.
Você acertou!
Para a solução do problema, calcula-se a derivada da função no ponto x=3x=3 – que corresponde ao coeficiente angular da reta tangente a curva e, na sequência, obtém-se a equação dessa reta. Assim, a derivada é: f′(x)=ddx(x3−5x+1)=3x2−5f′(x)=ddx(x3−5x+1)=3x2−5 e f′(3)=3⋅32−5=22.f′(3)=3⋅32−5=22. Logo, a equação da reta é y=22x+b.y=22x+b. Como f(3)=33−5⋅3+1=13f(3)=33−5⋅3+1=13, temos 13=22⋅3+b⇒b=−53.13=22⋅3+b⇒b=−53. A equação da reta tangente à curva é y=22x−53y=22x−53 (livro-base, p. 67).
	
	C
	21x−50.21x−50.
	
	D
	25x−45.25x−45.
	
	E
	26x−55.26x−55.
Questão 3/5 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
A primitiva F(x)F(x) de uma função f(x)f(x) num intervalo II obedece a seguinte relação: ∫f(x)dx=F(x)+c.∫f(x)dx=F(x)+c. Seja f(x)=x3+xf(x)=x3+x uma função definida no intervalo II. Considerando essas informações e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, a primitiva de f(x)f(x) que satisfaz F(1)=6F(1)=6 é dada por:
Referência: Livro-base, p. 142.
Nota: 20.0
	
	A
	x33+x24+254.x33+x24+254.
	
	B
	x44+x22+214.x44+x22+214.
Você acertou!
Para resolver o problema, faz-se a integração de f(x)f(x) e, depois, calcula-se a constante cc. Ou seja, 
∫(x3+x)dx=x44+x22+c⇒x44+x22+c.∫(x3+x)dx=x44+x22+c⇒x44+x22+c.
Fazendo F(1)=6F(1)=6, temos F(1)=144+122+c=6⇒c=214.F(1)=144+122+c=6⇒c=214. Assim, a primitiva é F(x)=x44+x22+214.F(x)=x44+x22+214. 
(livro-base, p. 142).
	
	C
	x55+x33+234.x55+x33+234.
	
	D
	x343+x22+204.x343+x22+204.
	
	E
	x33+x3+13.x33+x3+13.
Questão 4/5 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
O teorema do Valor Médio garante que existe x0∈(a,b)x0∈(a,b) tal que f′(x0)=f(b)−f(a)b−af′(x0)=f(b)−f(a)b−a, onde f(x)f(x) é contínua em [a,b][a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b)(a,b). Considere a seguinte função f(x)=x3−2x2f(x)=x3−2x2 definida no intervalo [1,3].[1,3].
Fonte: Livro-base, p. 104.
Considerando os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, assinale a alternativa que menciona corretamente qual é, a partir do teorema do Valor Médio, o valor de x0x0 que satisfaz esse teorema para a função f(x)f(x):
Nota: 20.0
	
	A
	4−√7664−766.
	
	B
	2+√7632+763.
	
	C
	2−√7632−763.
	
	D
	1+√5621+562.
	
	E
	4+√7664+766.
Você acertou!
A solução do problema consiste em aplicar o teorema do valor médio no intervalo considerado e, na sequência, obter x0x0. Assim, a partir da expressão f′(x0)=f(b)−f(a)b−af′(x0)=f(b)−f(a)b−a, calcula-se f′(x0)f′(x0): f′(x0)=3x20−4x0f′(x0)=3x02−4x0 e 
f′(x0)=f(3)−f(1)3−1,  (1)f′(x0)=f(3)−f(1)3−1,  (1)
onde f(1)=−1f(1)=−1 e f(3)=9.f(3)=9. Substituindo esses valores na expressão (1)(1): 3x20−4x0=9−(−1)3−1⇒3x20−4x0−5=0;3x02−4x0=9−(−1)3−1⇒3x02−4x0−5=0; cujas raízes são 4±√7664±766. Porém, considerando o intervalo, o valor é 4+√7664+766.
(livro-base, p. 104).
Questão 5/5 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
"O gráfico a seguir ilustra o crescimento, em milhões, de uma população de microrganismos em função do tempo xx, dado em dias. O crescimento dessa população é representado pela função f(x)=(x2−4x)(x2−3x−4)f(x)=(x2−4x)(x2−3x−4)  no intervalo de tempo [3,5][3,5], exceto no ponto x=4x=4 dias."
Considere o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral para responder a questão a seguir:  A população limite de microrganismos no quarto dia, em milhões, é dada por limx→4(x2−4x)(x2−3x−4)limx→4(x2−4x)(x2−3x−4), cujo valor é igual a:
Nota: 20.0
	
	A
	4545
Você acertou!
Para o cálculo do limite da função, devemos escrever as expressões na forma fatorada e depois simplificar os termos, pois temos uma indeterminação do tipo 00.00.
Assim, a expressão (x2−4x)(x2−3x−4)(x2−4x)(x2−3x−4) pode ser fatorada e simplificada:
(x2−4x)(x2−3x−4)= x(x−4)(x−4)(x+1)= x(x+1)(x2−4x)(x2−3x−4)= x(x−4)(x−4)(x+1)= x(x+1)
Logo, limx→4(x2−4x)(x2−3x−4)= limx→4x(x+1)= 4(4+1)=45limx→4(x2−4x)(x2−3x−4)= limx→4x(x+1)= 4(4+1)=45
(livro-base, p. 48-51)
	
	B
	5454
	
	C
	44
	
	D
	5252
	
	E
	66