Métodos determinísticos I - AD2-Q4-2019-2-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 4 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019-2
Questa˜o 4 (2,5 pontos) Determine os pares de valores (x, y) que sa˜o soluc¸a˜o do sistema abaixo:{
3x2 + 4y2 = 5
6x2 + 17y2 − 9y = 28
Soluc¸a˜o: Multiplicando a primeira equac¸a˜o por −2, temos{ −6x2 − 8y2 = −10
6x2 + 17y2 − 9y = 28.
Somando agora as duas equac¸o˜es do sistema, obtemos
9y2 − 9y = 18.
Observe que podemos simplificar a equac¸a˜o acima dividindo por 9, obtendo
y2 − y = 2,
que equivale a
y2 − y − 2 = 0,
cujas ra´ızes sa˜o y = −1 e y = 2.
Para y = −1: substituindo y = −1 na primeira equac¸a˜o do sistema dado, temos
3x2 + 4 · (−1)2 = 5 ∴ 3x2 + 4 = 5 ∴ 3x2 = 1 ∴ y2 = 1
3
∴ x = − 1√
3
ou x =
1√
3
.
Assim, (x, y) =
(
− 1√
3
,−1
)
e (x, y) =
(
1√
3
,−1
)
sa˜o soluc¸o˜es do sistema.
Para y = 2: substituindo y = 2 na primeira equac¸a˜o do sistema dado, temos
3x2 + 4 · (2)2 = 5 ∴ 3x2 + 16 = 5 ∴ 3x2 = −11.
Como 3x2 na˜o pode ser um nu´mero negativo, temos que, para y = 2, na˜o existem valores de x que
satisfac¸am o sistema.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o do sistema e´ dado por
S =
{(
− 1√
3
,−1
)
,
(
1√
3
,−1
)}
.