aula 9

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Fundamentos de Análise
Aula 9 - Séries in�nitas de termos positivos e
negativos
INTRODUÇÃO
Até então, temos trabalhado com séries de termos positivos. Na aula de hoje, você irá distinguir as séries nas quais os
termos são alternadamente positivos e negativos – são séries ditas alternadas.
OBJETIVOS
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Determinar a convergência de séries alternadas.
Usar o teste de Leibniz para determinar se uma série alternada é convergente.
Usar o teste razão para determinar a convergência de séries.
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SÉRIES ALTERNADAS
De�nição.
Se a › 0, ∀n inteiro positivo, chamamos de alternadas as séries:
 
(-1) a = a1 - a2 + a3 - a4 + ... (-1) a + ... e (-1) a = -a1 + a2 - a3 + a4 - ... (-1) a + ...
 
Considere a série Trata-se de uma série alternada, cujo termo geral é 
, TESTE DE LEIBNIZ OU TESTE DA SÉRIE ALTERNADA
Para séries alternadas, utilizamos a recíproca do teorema que diz, se a série converge então seu termo geral tende a zero, desde
que o valor absoluto do termo geral tenda a zero decrescentemente.
Esse teste foi proposto por Gottfried Leibniz e se chama Teste da Série Alternada ou Teste de Leibniz.
TEOREMA - TESTE DE LEIBNIZ OU TESTE DA SÉRIE ALTERNADA
Formulação 1
Seja (u ) uma sequência que tende a zero decrescentemente, isto é, se os números u , u , u , u , ..., u são
alternadamente positivos e negativos, |u | ‹ |u |, ∀n inteiro positivo e u = 0, então, a série alternada Σ a
é convergente.
Formulação 2
A série (-1) u = u - u + u - u + ... convergirá se todas as três condições a seguir forem satisfeitas.
Os termos un são positivos.
u ≥ u para n ≥ N, para algum N inteiro.
u = 0, ou seja, u tende a zero.
n
n+1
n
n+1
n
n
n
n
n
n 1 2 3 4 n
n+1 n n
(-1)n+1
n
n+1
n 1 2 3 4
n n+1
n n
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Utilizaremos preferencialmente a Formulação 1.
Atenção
, Clique aqui (galeria/aula9/docs/a09_t04.pdf) e veja exemplos de Teste de Leibniz., , A demonstração desse teorema pode ser
encontrada em:
THOMAS, George B., Finney, Weir, Giordano Cálculo. v. 2.  10. ed. Rio de Janeiro: Pearson Education, 2002.
LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
SÉRIE HARMÔNICA ALTERNADA
A série harmônica é divergente, como já sabemos.
Vamos determinar agora se a série harmônica alternada converge ou diverge.
Fonte da Imagem: �le404 / Shutterstock
(I) A série é alternada.
(II) Precisamos veri�car se |a | ‹ |a | ou equivalentemente, ou seja, se os termos decrescem em valor absoluto.
(III) .
De fato, então, pelo Teste de Leibniz, temos que a série harmônica alternada é convergente, apesar da série de valores
absolutos correspondente não ser convergente.
SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES E CONDICIONALMENTE
CONVERGENTES
É
n+1 n
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SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES
Dizemos que a série converge absolutamente ou é absolutamente convergente se a série é convergente.
Clique aqui (galeria/aula9/docs/a09_t06a.pdf) e veja exemplos de Séries Absolutamente Convergentes.
SÉRIES CONDICIONALMENTE CONVERGENTES
Dizemos que a série é condicionalmente convergente quando a série diverge e a série converge.
Clique aqui (galeria/aula9/docs/a09_t06b.pdf) e veja exemplos de Séries Condicionalmente Convergentes.
Convergência
Observamos que uma série pode convergir, porém não convergir absolutamente. No entanto, se temos uma série
absolutamente convergente, essa série converge.
Teorema
Toda série absolutamente convergente é convergente e
| a | ≤ |a |
Podemos então escrever: Se |a | converge, então a converge.
Demonstração
Precisamos provar que se |a | converge, então a converge.
Para cada n temos -|a | ≤ a ≤ |a |, podemos escrever 0 ≤ a + |a | ≤ 2 |a |.
Se |a | converge, então 2|a | converge, e pelo Teste da Comparação, a série não negativa (a + |a |)
converge.
Observe a = (a + |a |) - |a |, portanto |a | = (a + |a |) - |a | = (a + |a |) - |a |. Assim, 
|a | converge.
Exemplo:
n n
n n
n n
n n n n n n
n n n n
n n n n n n n n n n n
n
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon573/galeria/aula9/docs/a09_t06a.pdf
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon573/galeria/aula9/docs/a09_t06b.pdf
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Considere a série 
A série de valores absolutos correspondente é a série convergente .
Assim, a série alternada converge porque converge absolutamente.
Exemplo: A p-série 
Se p é uma constante positiva a sequência é uma sequência decrescente com limite zero.
Portanto, a p-série alternada com p › 0, converge.
Se p › 1, a série converge absolutamente.
Se 0 ‹ p ≤ 1, a série converge condicionalmente.
TESTE DA RAZÃO
Teorema:
Seja Σu uma série in�nita para a qual todo u seja não nulo. Então:
Se , a série dada é absolutamente convergente.
Se ou se , a série dada é divergente.
Se , nada se pode a�rmar quanto à convergência da série.
n n
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Em outras palavras,
Seja Σu uma série de termos positivos tal que existe o limite L do quociente . Então, a série converge se L < 1 e diverge se L
> 1, sendo que se L = 1 nada podemos a�rmar.
Re�exão
, Clique aqui (galeria/aula9/docs/a09_t09.pdf) e veja mais sobre Teste da Razão.
EXERCÍCIO
Vamos agora exercitar o conteúdo aprendido nessa aula.
Considere a �gura abaixo que mostra os quatro primeiros termos de uma série in�nita de quadrados. Sabe-se que o
quadrado exterior tem uma área de 4m e cada um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios dos
lados do quadrado anterior. Determine a soma das áreas de todos os quadrados.
Fonte da Imagem:
O quadrado exterior, o inicial, tem área de 4 m . Seu lado então mede 2m.
Unindo os pontos médios desse quadrado de lado 2, teremos um novo quadrado de lado √2m ( diagonal do quadrado
de lado 2 ), e assim por diante.
Dessa forma, as áreas serão uma Progressão Geométrica (PG) in�nita (4, 2, 1, 0.5,...)
Precisamos calcular a soma dessa PG:
ATIVIDADE PROPOSTA
1. Analise a convergência da série 
Corrigir (glossário)
n
2
2
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2. Analise a convergência 
Corrigir (glossário)
3. Analise a convergência da série 
Podemos mostrar que converge pelo teste de Leibniz.
Podemos mostrar que diverge pelo teste de Leibniz.
Não podemos mostrar que converge pelo teste de Leibniz.
O teste de Leibniz não permite concluirmos se a série converge.
Podemos usar a regra de L´Hospital para mostrar que converge.
Justi�cativa
4. Analise a convergência da série 
Podemos mostrar que converge pelo teste de Leibniz.
Podemos mostrar que diverge pelo teste de Leibniz.
Não podemos mostrar que converge pelo teste de Leibniz.
O teste de Leibniz não permite concluirmos se a série converge.
Podemos usar a regra de L´Hospital paramostrar que converge.
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Justi�cativa
Glossário
GABARITO 1
GABARITO 2
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