LISTA 11

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Cálculo Vetorial
11ª Lista de Exercícios - Prof. Caitano Cintra
Pense no que disse o grande matemático húngaro George Polya (1887 – 1985): ”... A 
Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser apreciada e aprendida
sem a participação ativa do aluno... E a primeiríssima coisa, quando se trata de 
ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais...”
1) Calcule o divergente e o rotacional dos seguintes campos:
 a) F(x , y , z )=(x2 z , y2 x , y+2z)
 b) F( x , y , z )=(3x+ y ) i⃗ +xy2 z j⃗+xz2 k⃗
 c) F(x , y , z )=(xy 2 z4 , 2x2 y+ z , y3 z2)
 d) F( x , y , z )=(x3 ln z , xe− y , y2+2 z)
 e) F(x , y , z )=(x2+ y2 , x3−z3 , x2+ y2+z2)
2) Calcule o fluxo do rotacional de F (x , y , z )=(x , y , xyz ) através da superfície dada por
z=1+x+ y ; x⩾0 y⩾0 e x+ y⩽1 , com n apontando para baixo. 
 3) Calcule ∬
S
rotF⋅ndS , onde S é a reunião das faces do tetraedro x+ y+z=1 , 
 que está situada no primeiro octante, n é a normal apontando para fora do tetraedro e
F ( x , y , z )=(−y , x , xyz ) 
4) Calcule o fluxo do campo vetorial F (x , y , z )=(x , y ,−z ) sobre o sólido limitado por
z=1− x2− y2 e z=0 , orientada pela normal exterior.
 5) Calcule o fluxo do campo vetorial F( x , y , z )=xy2 i⃗+x2 y j⃗+ y k⃗ sobre o sólido limitado por
x 2+ y 2=1 ; z=−1 e z=1 , com superfície orientada pela normal exterior.
6) Verifique o teorema da Divergência para a função F (x , y , z )=(2x+ y , x− y 2 , x+ y+ z ) , 
 sobre o cubo de vértices A(0,0 ,0) ; B(0,0,1) ; C (0,1 ,0) ; D(0,1,1) ; E (1,0,0)
e F (1,1,1) no espaço Oxyz , com normal apontando para fora.
 7) Considere o tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+2y+3z=6 . 
Sejam S a sua superfície, orientada pela normal exterior, e
F (x , y , z)=(2 x− y , x+ y , y+2 z) uma função definida sobre S .Verifique o teorema da 
 Divergência.
 8) Seja F (x , y , z )=( y ,0 , x+ y ) e g (u , v)=(u , v ,2−u2−v2) , com u2+v2≤1 e a 
 normal n⃗ apontando para cima.
 a) Calcule ∬
S
(rotF)⋅ndS b) Calcule essa integral pelo Teorema de Stokes. 
9) Verifique o teorema de Stokes para o campo F (x , y , z )=(3y ,−xz , yz 2) , em que S é a 
superfície do paraboloide dado por 2z= x2+ y2 limitado por z=2 , orientada pela normal 
exterior e C é seu contorno com orientação compatível com a orientação S
10) Verifique o Teorema da Divergência para o campo vetorial dado por
F (x , y , z)=4 x i⃗−2 y j⃗−z k⃗ , sobre o sólido limitado pelo paraboloide z= x2+ y2 e o 
 plano z=4 , com orientação dada pela normal exterior.
11) Verifique o teorema de Gauss para o campo F(x , y , z )=(x2 ,−1, 1) , em que S é a 
 superfície do cubo 0≤x≤1 , 0≤ y≤1 , 0≤z≤1 e n⃗ está sempre apontando para 
 fora da superfície.
12) Verifique o teorema de Stokes para o campo F(x , y , z )=(2z ,3x ,5 y ) e S é superfície 
 dada por z=4−x2− y2 que está acima do plano xOy e orientada pela normal exterior.
13) Verifique o teorema da divergência para o campo F(x , y , z )=(x ,− y ,0) , sendo S dada 
por x2+ y2≤9 ; 0≤z≤4 e n⃗ apontando para fora.