Matematica Financeira com HP12C

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maTemáTica financeira 
com HP-12c
AdministrAção regionAl do senAc no estAdo de são PAulo
Gerência de Desenvolvimento 
Sidney Zaganin Latorre
Coordenação Técnica
Andrea Cury Borges de Gouvea Tonanni
Apoio Técnico
Patrícia Vivaldo dos Santos
© Senac-SP 2006
Elaboração
Anísio Costa Castelo Branco
Atualização
Alexandre Francisco Zanata
Arnaldo Célio Freire Silva
Revisão Gramatical
Edições Jogo de Amarelinha
Edição e Produção
Edições Jogo de Amarelinha
maTemáTica financeira com HP-12c
2006
�
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
Sumário
1. OPeraçõeS matemáticaS báSicaS / 6
Potência
RegRa de tRês
PoRcentagem
2. FunçõeS báSicaS da HP-12c / 9
tecla [on]
tecla [ . ]
testes de funcionamento
 teste nº 1 (usando as tecla [On] e [X])
 teste nº 2 (usando as tecla [On] e [+])
 teste nº 3 (usando as teclas [On] e [:])
teclado
 a tecla [f]
 tecla [g]
 teclado branco
limPeza de RegistRo
 Limpeza total (usando as teclas [On] e [-])
 Limpeza do visor
 Limpeza dos registros estatísticos (“0” a “6”)
 Limpeza de programa
 Limpeza dos registros financeiros
 Limpeza de todos os registros
tecla [cHs] ou cHange signal
tecla [sto] ou (stoRe)
tecla [Rcl] ou (Recoll)
tecla [Yx]
 Potenciação
 Radiciação
tecla [1/x]
tecla [%t] e [x><Y]
tecla [%]
tecla [%]
cálculo em cadeia
3. FundamentOS da matemática Financeira / 19
conceitos básicos
definições e teRminologias básicas
diagRama de fluxo de caixa
aPResentação das taxas
Regimes de caPitalização
4. JurOS SimPLeS / 23
oPeRações de juRos simPles
juRos exato e juRo comeRcial
exeRcícios sobRe juRos simPles
exeRcícios de RefoRço
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5. JurOS cOmPOStOS /34
conceitos de juRos comPostos
ValoR futuRo (fV) ou montante (m)
difeRença entRe os juRos simPles e juRos comPostos
função “c” na HP 12c, teclas [sto] e [eex]
ValoR PResente (PV) ou caPital (c)
PRazo (n)
função [fRac] e [intg]
taxas equiValentes a juRos comPostos
exeRcícios sobRe juRos comPostos
exeRcícios de RefoRços
6.OPeraçõeS cOm taXaS de JurOS / 43
taxas equiValentes
 Programa para taxa equivalente com HP 12c
taxa oVeR equiValente
taxa acumulada de juRos (com taxas VaRiáVeis)
taxa média de juRos
taxa Real de juRos
exeRcícios sobRe taxas juRos
7. deScOntOS / 51
desconto Racional simPles ou “PoR dentRo”
desconto bancáRio, ou comeRcial ou “PoR foRa”
oPeRações com um conjunto de títulos
 Prazo médio de um conjunto de títulos
desconto comPosto
 relação em taxas de desconto simples e composto
exeRcícios sobRe desconto
8. SérieS uniFOrmeS de PagamentOS / 57
ValoR PResente de uma séRie de Pagamento “PosteciPada”
ValoR de PRestação de uma séRie “PosteciPada”
númeRo de PRestações de uma séRie unifoRme de Pagamento “PosteciPada”
cálculo da taxa de uma séRie de Pagamento unifoRme “PosteciPada”
séRie unifoRme de Pagamentos “anteciPados”
 Fórmulas para série de pagamentos antecipados
 Fórmula do valor presente
 Fórmula da prestação
ValoR futuRo de uma séRie unifoRme
exeRcício sobRe séRies unifoRmes de Pagamentos
9. SiStemaS de amOrtizaçãO de emPréStimOS e FinanciamentOS / 63
sistema de amoRtização constante (sac)
sistema PRice (ou fRancês) de amoRtização
10. aPLicabiLidade da matemática Financeira / 65
ceRtificado de dePósito bancáRio (cdb) Recibo de dePósito bancáRio (Rdb)
taxa inteRna de RetoRno (iRR) e ValoR PResente líquido (nPV)
ValoR da PRestação de leasing
foRmação do PReço de Venda Pelo conceito do ValoR atual
reFerênciaS bibLiOgráFicaS / 72
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Potência
a)	(-12)2				=	144
b)	(2)5									=	32
c)	(-2)4						=	16
d)	(+5)	+	(-4)5	–	(-100-35)	=	-	884
e)	(150)/(-2)	+	[2*(40-20)2]	=				725
Regra de três
Regra	de	três	é	a	operação	que	nos	permite,	dadas	duas	grandezas,	direta	ou	inversamente	
proporcionais	e	variando-se	o	valor	delas,	determinar	a	variação	da	outra	grandeza.	Pode	
ser	simples	ou	composta.
CAPÍTULO 1
OPERAÇÕES 
MATEMÁTICAS BÁSICAS
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1)	 Com	100	kg	de	trigo	pode-se	fazer	85	kg	de	farinha.	Que	quantidade	de	farinha	pode-
se	obter	com	480	kg	de	trigo?
	 R.:	408	kg
2)	 Oito	eletricistas	podem	fazer	a	instalação	de	uma	casa	em	três	dias.	De	quantos	dias	
seis	eletricistas	precisam	para	fazer	o	mesmo	serviço?
	 R.:	Quatro	dias
3)	 Se	15	m	de	certo	tecido	custam	R$	90,00	quanto	custarão	32	m	desse	tecido?
	 R.:	R$	192,00
4)	 Na	extremidade	de	uma	mola	é	colocado	um	corpo	de	massa	de	10	kg	e	verifica-se	
que	o	comprimento	da	mola	é	de	42	cm.	Se	colocarmos	um	peso	de	15	kg	na	extremi-
dade	dessa	mola,	qual	será	seu	comprimento?
	 R.:	63	cm
5)	 Ao	participar	de	um	treino	de	Fórmula	1	para	disputa	da	pole position,	um	competidor,	
imprimindo	velocidade	de	200	km/h	faz	o	percurso	em	18	segundos.	Se	sua	velocidade	
fosse	de	240	km/h,	que	tempo	ele	teria	gastado	no	percurso?
	 R.:	15	segundos
Porcentagem
1)	 Uma	multa	de	R$	800,00	sobre	um	valor	de	R$	8.000,00	corresponde	a	quantos	%	
sobre	o	valor?
	 R.:	10%
2)	 O	sr.	Manoel	tem	aplicado	na	poupança	R$	4.500.00,	e	no	mês	de	janeiro	vai	ter	um	
rendimento	de	1,2%.	Qual	será	o	novo	saldo	da	poupança	do	sr.	Manoel?
	 R.:	R$	4.554,00	
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3)	 Dos	350	candidatos	que	prestaram	um	concurso,	28	 foram	aprovados.	Qual	a	 taxa	
percentual	de	aprovados?
	 R.:	8%
4)	 Uma	pesquisa	foi	realizada	para	verificar	a	audiência	de	televisão	do	horário	nobre	(	20	às	
22	h).	Foram	entrevistadas	1.640	residências	e	verificou-se	que	45%	tinham	a	televisão	
ligada	no	canal	A.	Quantas	residências	estavam	com	a	televisão	ligada	nesse	canal?
	 R.:	738
5)	 Um	prejuízo	de	40	mil	reais	sobre	200	mil	reais	representa	que	%	de	prejuízo?
	 R.:	20%
6)	 O	preço	de	um	aparelho	de	som	é	R$	150,00.	Para	pagamentos	à	vista	é	dado	um	des-
conto	de	30%.	Nessas	condições:
a)	 Qual	a	quantia	que	corresponde	ao	desconto?
R.:	R$	45,00
b)	 Qual	o	preço	à	vista	desse	aparelho	de	som?
R.:	R$	105,00
7)	 Transforme	estas	porcentagens	em	decimais:
	 a)	25,2%	 b)	100,25%	 c)	101,26%	 d)	85,25%	 e)	75,29%	 f)	555,33%
8)	 Transforme	os	números	decimais	em	porcentagem:
	 a)	0,01	 b)	0,055	 c)	0,065	 d)	0,125	 e)	0,1565	 f)	0,1765
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Neste	capítulo	serão	abordadas	as	principais	funções	da	calculadora	HP-12C,	ou	seja,	os	
conceitos	básicos	relevantes	ao	desenvolvimento	da	matemática	financeira	com	a	utilização	
desse	equipamento.
Tecla [ON]
Tem	a	função	de	ligar	e	desligar	a	calculadora;	porém,	se	a	calculadora	permanecer	ligada	
sem	uso,	será	desligada	automaticamente	entre	sete	e	oito	minutos	aproximadamente.
Tecla [ . ]
Permite	 que	 a	 calculadora	 opere	 em	 dois	 padrões	 de	 moeda,	 o	 brasileiro	 e	 o	 dólar.	
Vamos	considerar	o	seguinte	exemplo:
R$		 1.425,56	(padrão	brasileiro)
US$		 1,425,56	(padrão	dólar)
Esta	conversão	pode	ser	efetuada	da	seguinte	forma:
•	 Mantenha	a	calculadora	desligada;
•	 Pressione	a	tecla	[	.	]	e	segure;
•	 Pressione	a	tecla	[ON]	e	solte.
Se	a	calculadora	estiver	no	padrão	brasileiro,	passará	para	o	padrão	do	dólar	e	vice-versa.
CAPÍTULO 2
FUNÇÕES BÁSICAS 
DA HP-12C
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Testes de funcionamento
A	calculadora	HP-12C	possui	três	testes	de	verificação	quanto	ao	seu	funcionamento,	uma	
espécie	de	controle	de	qualidade,	que	permite	 ao	usuário	uma	maior	 confiabilidade	do	
produto.
Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x])
Procedimentos:
•	 Mantenha	calculadora	desligada;
•	 Pressione	a	tecla	[ON]	e	segure;
•	 Pressione	a	tecla	[x]	e	segure;
•	 Solte	a	tecla	[ON];
•	 Solte	a	tecla	[x].
Ao	final	do	procedimento,	aparecerá	no	visor	a	palavra	running	piscando;	isso	significa	que	
a	calculadora	está	executando	o	TESTE	Nº	1.	Em	alguns	segundos	aparecerá	no	visor	o	
seguinte:
Se	aparecer	a	mensagem	“ERRO	9”,	a	calculadora	precisa	de	reparos,	mas	se	o	resultado	
for	exatamente	aquele	obtido	no	TESTE	Nº	1,	a	calculadora	estará	pronta	para	o	uso.
Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])
Procedimento:•	 Mantenha	a	calculadora	desligada;
•	 Pressione	a	tecla	[ON]	e	segure;
•	 Pressione	a	tecla	[+]	e	segure;
•	 Solte	a	tecla	[ON];
•	 Solte	a	tecla	[+];
•	 Pressione	e	solte	qualquer	tecla,	exceto	a	tecla	[ON].
 - 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 
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Na	verdade,	o	TESTE	Nº	2	é	muito	semelhante	ao	TESTE	Nº	1,	divergindo	apenas	na	du-
ração	de	execução,	que	é	indeterminada;	portanto,	para	completar	o	teste,	é	necessário	
cumprir	o	procedimento	nº	6.	Em	seguida	aparecerá	o	seguinte:
Se	você	pressionar	a	tecla	[ON]	o	teste	será	interrompido.
Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])
Procedimento:
•	 Mantenha	a	calculadora	desligada;
•	 Pressione	a	tecla	[ON]	e	segure;
•	 Pressione	a	tecla	[:]	e	segure;
•	 Solte	a	tecla	[ON];
•	 Solte	a	tecla	[:].
Pressione	todas	as	teclas	da	esquerda	para	a	direita,	de	cima	para	baixo,	ou	seja,	a	1ª	tecla	
a	ser	pressionada	será	a	tecla	[n]	e	a	última	será	a	tecla	[+].	Lembre-se:	é	necessário	pres-
sionar	todas	as	teclas,	inclusive	a	tecla	[ON].	A	tecla	[enter]	será	pressionada	duas	vezes,	
tanto	na	linha	três	quanto	na	linha	quatro.
Após	o	procedimento	concluído,	 aparecerá	no	visor	o	nº	12.	Assim	como	nos	 testes	
anteriores,	a	calculadora	estará	pronta	para	o	uso.	Mas	se	procedimento	não	for	reali-
zado	corretamente,	aparece	a	expressão	ERRO	9.	Neste	caso,	a	calculadora	necessita	
de	conserto.
Teclado
O	teclado	da	calculadora	HP-12C	é	multiuso,	pois	uma	mesma	tecla	pode	ser	utilizada	de	
três	maneiras.
 - 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 
USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM 
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A tecla [f]
A	tecla	[f]	(amarelo)	possui	duas	funções	básicas:
•	 1ª	função:	pressionado	a	tecla	ou	prefixo	[f],	poderemos	acessar	todas	as	funções	
em	amarelo	da	calculadora;
•	 2ª	função:	pressionado	a	tecla	ou	prefixo	[f]	seguida	de	um	número,	será	apresen-
tada	a	quantidade	de	casas	decimais	a	ser	mostrada	no	visor.
Veja	o	exemplo:
Digite	o	número	2,428571435	e	siga	os	procedimentos:
Procedimento
(teclas)
Visor
[f]	e	[9] 2,428571435
[f]	e	[8] 2,42857144
[f]	e	[7] 2,4285714
[f]	e	[6] 2,428571
[f]	e	[5] 2,42857
[f]	e	[4] 2,4286
[f]	e	[3] 2,429
[f]	e	[2] 2,43
[f]	e	[1] 2,4
[f]	e	[0] 2,
[f]	e	[9] 2,428571435
Tecla [g]
Através	da	tecla	ou	prefixo	[g],	é	possível	acessar	todas	as	funções	em	azul.
Teclado branco
Todas	as	teclas	possuem	em	sua	superfície	informações	em	branco,	na	verdade	tudo	o	que	
é	mostrado	em	branco	nas	teclas	não	necessita	de	função	auxiliar,	como	vimos	para	fun-
ções	em	amarelo	e	azul.
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Limpeza de registro
Apresentaremos	as	principais	formas	de	executar	a	limpeza	dos	registros	ou	informações,	
que	são	armazenadas	no	teclado	ou	memórias	da	calculadora.
Limpeza total (usando as teclas [ON] e [-])
Procedimento:
•	 Mantenha	a	calculadora	desligada;
•	 Pressione	a	tecla	[ON]	e	segure;
•	 Pressione	a	tecla	[-]	e	segure;
•	 Solte	a	tecla	[ON];
•	 Solte	a	tecla	[-].
Após	 a	execução	desta	 seqüência	de	procedimentos,	deve	 aparecer	 a	expressão	 “PR	
ERROR”,	 indicando	que	 todos	os	dados	 armazenados	nos	 registros,	 inclusive	os	pro-
gramas,	 foram	 apagados.	 Portanto,	 é	 preciso	 tomar	 muito	 cuidado	 ao	 executar	 este	
procedimento.
Limpeza do visor
A	utilização	dessa	 função	é	muito	simples:	basta	pressionar	a	 tecla	 [CLx]	e	o	visor	será	
limpo.
Limpeza dos registros estatísticos (0 a 6)
Com a seqüência de teclas [f] [ ∑ ] estaremos processando a limpeza dos registros esta-
tísticos,	ou	seja,	estaremos	limpando	os	registros	armazenados	nas	teclas	[1],	[2],	[3],	[4],	
[5]	e	[6].
Limpeza de programa
Procedimento:
•	 Pressionar	[f]	[P/R]	para	entrar	no	modo	de	programação;
•	 Pressionar	[f]	[PRGM]	para	limpar	o	programa;
•	 Pressionar	[f]	[P/R]	ou	[ON]	para	sair	do	modo	de	programação.
Este	procedimento	se	faz	necessário	devido	à	grande	dificuldade	de	elaboração	de	um	pro-
grama,	ou	seja,	um	programa	não	pode	ser	destruído	facilmente	sem	a	menor	proteção.
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Limpeza dos registros financeiros
Registros	financeiros:
•	 [n]	prazo;
•	 [	i	]	taxa;
•	 [PV]	Present	Value	ou	Valor	Presente;
•	 [PMT]	Periodic	Payment	ou	Prestação;
•	 [FV]	Future	Value	ou	Valor	Futuro.
A	limpeza	dos	registros	é	feita	através	da	seqüência	de	teclas	[f]	[FIN].
Limpeza de todos os registros
Com	a	seqüência	de	teclas	[f]	[REG],	é	possível	apagar	todos	os	registros,	ou	seja,	de		0		a	
9,	de	.0	a	.9	e	os	registros	financeiros,	ficando	apenas	os	programas	sem	serem	apagados.
Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNAL
Esta	tecla	serve	basicamente	para	trocar	o	sinal	de	um	número,	ou	seja,	trocar	o	sinal	ne-
gativo	para	o	positivo	e	vice-versa.
Tecla [STO] ou (STORE)
Serve	para	guardamos	valores	nas	memórias.	A	HP	possui	20	memórias	diretas:	de	0	a	9	e	
de	.0	a	.9.
Consideremos	que	o	número	145	precise	ser	guardado	na	memória,	e	que	decidimos	guar-
dar	na	memória	“5”.	Como	fazer?
Procedimento:
•	 Digite	o	número	145;
•	 Digite	[STO];
•	 Digite	[5].
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Tecla [RCL] ou (RECOLL)
Esta	tecla	serve	para	recuperar	os	números	guardados	nas	memórias.	Vamos	verificar	sua	
aplicação	com	base	nos	dados	do	item	anterior.
Procedimento:
•	 Digitar	[RCL];
•	 Digitar	[5].
Tecla [YX]
Esta	tecla	pode	ser	utilizada	tanto	pra	efetuarmos	operações	de	potenciação	e	de	radi-
ciação.
Potenciação
Radiciação
Tecla [1/x]
Esta	tecla	é	normalmente	utilizada	para	demonstrar	o	inverso	de	um	número.
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Tecla [%T] e [x><y]
A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] recupera o 
valor base de cálculo.
a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais:
•	 Moradia	 	 R$	450,00
•	 Educação	 	 R$	500,00
•	 Combustível	 	 R$	150,00
•	 Alimentação	 	 R$	200,00
•	 Lazer	 	 	 R$	250,00
Total R$ 1.550,00
Determinar	quanto	representa	percentualmente	cada	valor	em	relação	ao	total	dos	gastos.
Solução:
1.550	 [ENTER]
		 450	 [%T]	 29,03%
[x><y]	 500	 [%T]	 32,26%
[x><y]	 150	 [%T]	 		9,68%
[x><y]	 200	 [%T]	 12,90%
[x><y]	 250	 [%T]	 16,13%
	 	 	 	 	 	 100,00%
Tecla [∆%]
Esta	tecla	nos	ajuda	a	calcular	a	diferença	percentual	entre	dois	números.
a)	 Considere	que	um	produto	possui	um	preço	de	R$	132,75	em	jan/2006;	em	fev/2006	o	
preço	desse	produto	passou	para	R$	155,71.	Qual	foi	o	percentual	de	aumento	desse	
produto?
1�
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Dados:
Preço	em	jan/2006:	R$	132,75
Preço	em	fev/2006:	R$	155,71
Solução:
132,75	 [ENTER]
155,71 [∆%]
17,30%
b)	 No	mês	de	março/2006	o	preço	do	produto	passou	para	R$	141,00.	Qual	foi	o	percen-
tual	de	desconto?
Dados:
Preço	fev/2006:	R$	155,71
Preço	mar/2006:	R$	141,00
Solução
155,71	 [ENTER]
141,00 [∆%]
-9,45%
1�
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Tecla [%]
Esta	tecla	serve	exclusivamente	para	o	calculo	de	percentagem.
a)	 Calcular	5%	de	R$	10.450,00
	 Solução:
	 450.450	 [ENTER]
	 5	 	 [%]
	 R$ 522,50
Cálculo em cadeia
a)	 soma
25,82	+	1.852,25	+	156,68	=	2.034,75
25,82	[ENTER]	1852,25	[+]	156,68	[+]	 2.034,75	 [STO]	 1
b)	 subtração
250	–	91,82	–	5,81	=	152,37
250	[ENTER]	91,82	[-]	5,81	[-]	 152,37	 [STO]	 2
c)	 multiplicação
21	x	18,41	x	1,0562		=	408,34
21	[ENTER]	18,41	[x]	1,0562	[x]	 408,34	 [STO]	 3
d)	 divisão
1.750,25	:	1,08	=	1.620,60
1.750,25	[ENTER]	1,08	[:]	 1.620,60	 [STO]	 5
e)	 adição,	subtração,	multiplicação	e	divisão
(memória	1)	–	(memória	2)	x	(memória	3)	:	(memória	5)
[RCL]	 1
[RCL]	 2	 [-]
[RCL]	 3	 [x]
[RCL]	 5	 [:]
474,30
Observação:	as	demais	funções	e	teclas	da	calculadora	HP-12C	serão	demonstradas	com	
aplicações	práticas	dos	conceitos	de	matemática	financeira.
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Matemática Financeira com HP-12C
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Conceitos básicos
A	matemática	financeiratem	como	objetivo	básico	estudar	a	evolução	do	valor	do	dinheiro	
no	tempo	(prof.	Carlos	Shinoda).
A	matemática	financeira	visa	estudar	as	formas	de	evolução	do	dinheiro	com	o	tempo	nas	
aplicações	e	pagamentos	de	empréstimo	(profs.	Samuel	Hazzan	e	José	Nicolau	Pompeu).
A	matemática	financeira	tem	como	objetivo	principal	a	transformação	e	manuseio	de	fluxos	
de	caixa,	com	a	aplicação	das	taxas	de	juros	de	cada	período,	para	se	levar	em	conta	o	valor	
do	dinheiro	no	tempo	(prof.	Abelardo	de	Lima	Puccini).
A	matemática	financeira	tem	como	objetivo	principal	estudar	o	valor	do	dinheiro	em	fun-
ção	do	tempo	(prof.	Anísio	Costa	Castelo	Branco).
Defi nições e terminologias básicas
O	valor	inicial	de	uma	operação	financeira	ou	capital	inicial	pode	ser	expresso	por:
(	C )	CAPITAL;
(	PV )	VALOR	PRESENTE	ou	PRESENT	VALUE;
( P )	PRINCIPAL.
Define-se	como	valor	presente	o	volume	de	recurso	financeiro	aplicado	ou	emprestado	
em	uma	determinada	operação.
Algumas	palavras	ou	expressões	também	podem	ser	associadas	a	este	conjunto	de	defini-
ções	apresentadas,	por	exemplo:	investimento	inicial,	valor	aplicado	etc.
CAPÍTULO 3
FUNDAMENTOS 
DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
20
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
JURO	(	J	):	é	a	remuneração	obtida	a	partir	do	capital	de	terceiros.	Esta	remuneração	pode	
ocorrer	a	partir	de	dois	pontos	de	vista:
•	 de	quem	paga:	nesse	caso,	o	juro	pode	ser	chamado	de	despesa	financeira,	custo,	
prejuízo	etc.
•	 de	quem	recebe:	podemos	entender	como	sendo	rendimento,	receita	financeira,	
ganho	etc.
TAXA	(	i ):	é	o	coeficiente	obtido	da	relação	dos	juros	( J )	com	o	capital	( C ),	que	pode	ser	
representado	em	forma	percentual	ou	unitária.	A	terminologia	“i“	vem	do	inglês	interest,	
que	significa	juro.
PRAZO	ou	TEMPO	ou	PERÍODOS	( n ):	é	o	tempo	necessário	que	um	certo	capital	( C )	
aplicado	a	uma	taxa	(	i	)	necessita	para	produzir	um	montante	(	M	).	Nesse	caso,	o	período	
pode	ser	inteiro	ou	fracionário.	Vejamos	um	exemplo:
•	 período	inteiro:	1	dia;	1	mês	comercial	(30	dias),	1	ano	comercial	(360	dias)	etc.
•	 período	fracionário:	3,5	meses,	15,8	dias,	5	anos	e	dois	meses	etc.
Podemos	também	considerar	um	período	inteiro	quando	usamos	a	expressão	do	tipo:	um	
período	de	15	dias,	um	período	de	30	dias	etc.
O	valor	futuro	ou	montante	se	refere	ao	valor	presente	acrescido	do	valor	referente	ao	
juro	oriundo	da	operação,	e	pode	ser	expresso	por:
(	M	)	MONTANTE
(	FV	)	VALOR	FUTURO	ou	FUTURE	VALUE
Diagrama de fluxo de caixa
Definimos	fluxo	de	caixa	como	a	movimentação	de	recursos	monetários	(entradas	e	saídas	
de	 caixa)	 de	 uma	 empresa	 ou	 de	 uma	 transação	 financeira	 em	 especial,	 dentro	 de	 um	
período	de	tempo.
 (+)	entradas
	 tempo	(n)	
	 (-)	saídas
21
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
Apresentação das taxas
As	taxas	podem	ser	apresentadas	de	duas	formas:	a	forma	percentual	e	a	forma	decimal	ou	
unitária.	Veja	um	exemplo.
EXEMPLO	Nº	1:	Faça	a	transformação	das	seguintes	taxas:
Taxa	
percentual
Taxas	decimal	
ou	Unitária
25%
5%
1,5%
0,5%
0,025
0,02
0,0018
15
Regimes de capitalização
Pode-se	definir	como	regime	de	capitalização	o	conjunto	de	métodos	pelos	quais	os	capi-
tais	são	remunerados.	Os	regimes	de	capitalização	podem	ser	simples	ou	compostos,	ou	
métodos	de	capitalização	linear	e	exponencial,	respectivamente.	Conforme	o	exemplo:
EXEMPLO	Nº	2:	Seja	um	capital	de	R$	1.000,00	aplicado	a	uma	taxa	de	10%	a.m.	durante	
três	meses.	Qual	o	valor	acumulado	no	final	de	cada	período	pelos	regimes	de	capitalização	
simples	e	composto?
Regime	de	Capitalização	Simples
n
Capital 
Aplicado
Juros de cada período
Valor
Acumulado
1 R$ 1.000,00 R$	1.000,00	x	10%	=	R$	100,00 R$	1.000,00	+	R$	100,00	=	R$	1.100,00
2 R$	1.000,00 R$	1.000,00	x	10%	=	R$	100,00 R$	1.100,00	+	R$	100,00	=	R$	1.200,00
3 R$	1.000,00 R$	1.000,00	x	10%	=	R$	100,00 R$	1.200,00	+	R$	100,00	=	R$ 1.300,00
-						Na	 HP-12C,	 poderemos	 usar	 as	 taxas	 na	
forma	percentual.
-						Nas	fórmulas,	somente	poderemos	usar	as	
taxas	na	forma	decimal	ou	unitária.
22
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
DIAGRAMA	DE	FLUXO	DE	CAIXA	PARA	O	REGIME	DE	CAPITALIZAÇÃO	SIMPLES
 M	=	R$	1.300,00
	 	 								C	.	i	=	R$	100,00	 								C	.	i	=	R$	100,00	 									C	.	i	=	R$	100,00
C	=	R$	1.000,00
Regime	de	Capitalização	Composta
n
Capital 
Aplicado
Juros de cada período
Valor
Acumulado
1 R$ 1.000,00 R$	1.000,00	x	10%	=	R$	100,00 R$	1.000,00	+	R$	100,00	=	R$	1.100,00
2 R$	1.100,00 R$	1.100,00	x	10%	=	R$	110,00 R$	1.100,00	+	R$	110,00	=	R$	1.210,00
3 R$	1.210,00 R$	1.210,00	x	10%	=	R$	121,00 R$	1.210,00	+	R$	121,00	= R$ 1.331,00
DIAGRAMA	DE	FLUXO	DE	CAIXA	PARA	O	REGIME	DE	CAPITALIZAÇÃO	COMPOSTA
 M	=	R$	1.331,00
	 	 						C	.	i	=	R$	100,00	 									M1	.	i	=	R$	110,00	 															M2	.	i	=	R$	121,00
C	=	R$	1.000,00
23
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
Pode-se	entender	como	juros	simples	o	sistema	de	capitalização	linear,	conforme	foi	de-
monstrado	no	item	sobre	regimes	de	capitalização.
No	Brasil,	a	aplicabilidade	dos	sistemas	de	capitalização	simples	ocorre	basicamente	nas	
situações	em	que	os	períodos	não	são	inteiros.
Operações de juros simples
Serão	apresentadas	várias	operações	envolvendo	juros	simples,	ou	seja,	cálculo	de	juros,	
capital,	taxa	e	montante.	Para	melhor	facilitar	a	compreensão,	as	fórmulas	serão	divididas	
em	três	grupos.
Nº 1º Grupo de Fórmulas Significado
1 J = FV – PV Fórmula	de	juros
2 FV = PV + J Fórmula	do	montante	ou	valor	futuro
3 PV = FV – J Fórmula	do	capital	ou	valor	presente
EXEMPLO	Nº	3:	Qual	o	valor	dos	juros	resultante	de	uma	operação	na	qual	foi	investido	
um	capital	de	R$	1.250,18	e	que	gerou	um	montante	de	R$	1.380,75?
CAPÍTULO 4
JUROS SIMPLES
2�
Matemática Financeira com HP-12C
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Dados:
PV	=	R$	1.250,18
FV	=	R$	1.380,75
J	=	?
Solução 1:
J	=	1.380,75	–	1.250,18
J = R$ 130,57
EXEMPLO	Nº	4:	Uma	aplicação	obteve	um	rendimento	líquido	de	R$	78,25	durante	um	
determinado	tempo.	Qual	foi	o	valor	resgatado,	sabendo-se	que	a	importância	aplicada	foi	
de	R$	1.568,78?
Dados:
J	=	R$	78,25
PV	=	R$	1.568,78
FV	=	?
Solução 1:
FV	=	1.568,78	+	78,25
FV = R$ 1.647,03
EXEMPLO	Nº	5:	Qual	o	valor	do	investimento	de	gerou	um	resgate	de	R$	1.500,00,	sa-
bendo-se	que	o	rendimento	deste	investimento	foi	de	R$	378,25?
Dados:
FV	=	R$	1.500,00
J	=	R$	378,25?
PV	=	?
Solução 1:
PV	=	1.500,00	–	378,25
PV = R$ 1.121,75
2�
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
Nº 2º Grupo de Fórmulas Significado
4 J = PV x i x n Fórmula	de	juros	simples
5 PV = J / i x n Fórmula	do	capital	ou	valor	presente
6 i = J / PV x n Fórmula	da	taxa
7 n = J / PV x i Fórmula	do	prazo
EXEMPLO	Nº	6:	Determine	o	juro	obtido	com	um	capital	de	R$	1.250,23	durante	cinco	
meses,	com	a	taxa	de	5,5%	ao	mês.
Dados:
PV	=	R$	1.250,23
n	=	5	meses	ou	150	dias
i	=	5,5%	a.m.
Solução1:
J	=	1.250,23	x	,055	x	5
J = R$ 343,81
EXEMPLO	Nº	7:	Qual	foi	o	capital	que	gerou	rendimentos	de	R$	342,96	durante	11	me-
ses,	a	uma	taxa	de	2,5%	a.m.?
Dados:
PV	=	?
i	=	2,5%	ao	mês
n	=	11	meses
J	=	R$	342,96
Solução 1:
PV	=	342,96	/	0,025	x	11
PV	=	342,96	/	0,275
PV	=	R$	1.247,13
26
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
EXEMPLO	Nº	8:	Pedro	pagou	ao	Banco	Exemplo	S.A.	a	importância	de	R$	2,14	de	juros	
por	um	dia	de	atraso	sobre	uma	prestação	de	R$	537,17.	Qual	foi	a	taxa	mensal	de	juros	
aplicado	pelo	banco?
Dados:
J	=	R$	2,14
n	=	1	dia
PV	=	R$	537,17
i	=	?
Solução	1:
i	=	2,14	/	537,17	x	1
i	=	2,14	/	537,17
i	=	0,003984	x	100
i	=	0,3984%	ao	dia
imensal	=	0,3984	x	30
imensal = 11,95% ao mês
EXEMPLO	Nº	9:	Durante	quanto	tempo	foi	aplicado	um	capital	de	R$	1.500,00	que	gerou	
rendimentos	de	R$	351,00,	com	uma	taxa	de	1,8%	ao	mês?
Dados:
n	=	?
PV	=	R$	1.500,00
i	=	1,8%	ao	mês
J	=	R$	351,00
Solução 1:
n	=	351	/	1.500	x	0,018
n	=	351	/	27
n	=	13	meses
Nº 3º Grupo de Fórmulas Significado
8 FV = PV (1 + i x n) Fórmulado	montante	ou	valor	futuro
9 PV = FV / (1 + i x n) Fórmula	do	capital	ou	valor	presente
10 i(ac) = { ( FV / PV ) –1} x 100 Fórmula	da	taxa	acumulada
2�
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
EXEMPLO	Nº	10:	Qual	o	valor	de	resgate	de	uma	aplicação	de	R$	105.000,00	aplicados	
em	um	CDB	de	90	dias,	a	uma	taxa	de	1,92%	ao	mês.
Dados:
FV	=	?	
PV	=	R$	105.000,00
i	=	1,92%	ao	mês
n	=	90	dias	ou	(3	meses)
Solução	1:
FV	=	105.000	(1	+	0,0192	x	3	)
FV	=	105.000	(	1	+	0,0576)
FV	=	105.000	(	1,0576	)
FV	=	R$	111.048,00
EXEMPLO	Nº	11:	Determine	o	valor	da	aplicação	em	um	Título	de	Renda	Fixa,	cujo	valor	
de	resgate	bruto	foi	de	R$	84.248,00	por	um	período	de	três	meses,	sabendo-se	que	a	taxa	
da	aplicação	foi	de	1,77%	ao	mês.
Dados:
PV	=	?
FV	=	R$	84.248,00
i	=	1,77%	ao	mês.
n	=	3	meses
Solução 1:
PV	=	84.248	/	(	1	+	0,0177	x	3	)
PV	=	84.248	/	(	1	+	0,0531	)
PV	=	84.248	/	(	1,0531	)
PV = R$ 80.000,00
2�
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
EXEMPLO	Nº	12:	Joaquim	emprestou	R$	15,00	de	Salim.	Após	seis	meses,	Salim	resolveu	
cobrar	sua	dívida.	Joaquim	efetuou	um	pagamento	de	R$	23,75	a	Salim.	Qual	foi	a	taxa	de	
juros	acumulados	nessa	operação?	Qual	foi	a	taxa	mensal	de	juros?
Dados:
PV	=	R$	15,00
FV	=	R$	23,75
n	=	6	meses
i(ac)	=	?
imensal	=	?
Solução 1:
i(ac)	=	{(23,75/15)	–1}	x	100
i(ac)	=	{1,5833	–1}	x	100
i(ac)	=	0,5833	x	100
i(ac) = 58,33% a.p. ou (ao semestre)
imensal	=	58,33	:	6
imensal = 9,72% a.m.
Juros exatos e juros comerciais
Quando	falamos	em	juros	exatos,	estamos	na	verdade	nos	referindo	aos	dias	do	calendário,	
ou	seja,	devemos	considerar	a	quantidade	de	dias	existente	em	cada	mês:	janeiro	(31	dias),	
fevereiro	(28	ou	29	dias)	etc.	Dessa	forma,	um	ano	pode	ter	365	ou	366	dias.
No	caso	do	juro	comercial,	devemos	considerar	sempre	um	mês	de	30	dias	e,	sendo	assim,	
um	ano	comercial	vai	ter	sempre	360	dias.
29
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
EXEMPLO	Nº	13:	Uma	prestação	no	valor	de	R$	1.500,00	venceu	em	01/02/01,	sendo	
quitada	em	15/03/01,	com	a	taxa	de	60%	ao	ano.	Determine	os	juros	exatos	e	comerciais	
pagos	nesta	operação.
Dados:
PV	=	R$	1.500,00
i	=	60%	ao	ano
Vencimento	da	Prestação:	01/02/01
Data	do	Pagamento:	15/03/01
Solução:
[f] 6
01.022001 [ENTER]
15.032001 [g] [∆DYS]
42 dias
a)	 J.E.	=	(	1.500	x	0,6	x	42	)/	365	=	R$	103,56
b)	 J.C.	=	(	1.500	x	0,6	x	42	)/360		=	R$	105,00
30
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Exercícios sobre juros simples
Considerar	o	ano	comercial	(360	dias)
1)	 Qual	o	valor	dos	juros	correspondentes	a	um	empréstimo	de	R$	5.000,00,	pelo	prazo	
de	cinco	meses,	sabendo-se	que	a	taxa	cobrada	é	de	3,5%	ao	mês?
Resposta: R$ 875,00
2)	 Um	capital	de	R$	12.250,25,	aplicado	durante	nove	meses,	rende	juros	de	R$	2.756,31.	
Determine	a	taxa	correspondente.
Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês
3)	 Uma	aplicação	de	R$	13.000,00	pelo	prazo	de	180	dias	obteve	um	rendimento	de	R$	
1.147,25.	Qual	a	taxa	anual	correspondente	a	essa	aplicação?
Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano
4)	 Sabendo-se	que	os	juros	de	R$	7.800,00	foram	obtidos	com	uma	aplicação	de	R$	9.750,	
à	taxa	de	8%	ao	trimestre,	pede-se	que	calcule	o	prazo.
Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos
5)	 Qual	o	capital	que,	à	taxa	de	2,8%	ao	mês,	rende	juros	de	R$	950,00	em	um	ano?	
Resposta: R$ 2.827,38
6)	 Um	empréstimo	de	R$	21.749,41	é	liquidado	por	R$	27.612,29	no	final	de	152	dias.	
Calcular	a	taxa	mensal	de	juros.
Resposta: 5,32% ao mês
7)	 Calcular	o	valor	dos	juros	e	do	montante	de	uma	aplicação	de	R$	21.150,00,	feita	de	
3,64%	ao	mês,	pelo	prazo	de	72	dias.
Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66
8)	 Calcular	o	valor	futuro	da	aplicação	de	um	capital	de	R$	7.565,01,	pelo	prazo	de	12	
meses,	à	taxa	de	2,5%	ao	mês.	
Resposta: R$ 9.834,51
31
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
9)	 Determinar	o	valor	presente	de	um	título	cujo	valor	de	resgate	é	de	R$	56.737,59,	
sabendo-se	que	a	taxa	de	 juros	é	2,8%	ao	mês	e	que	 faltam	três	meses	para	o	seu	
vencimento.	
Resposta: R$ 52.340,95
10)	Em	quanto	tempo	um	capital	aplicado	a	2,95%	ao	mês	dobra	o	seu	valor?
Resposta: 33 meses e 27 dias
Exercícios de reforço
1.	 Determinar	quanto	renderá	um	capital	de	R$	60.000,00	aplicado	à	taxa	de	24%	ao	ano,	
durante	sete	meses.
Resposta: R$ 8.400,00
2.	 Um	capital	de	R$	28.000,00,	aplicado	durante	oito	meses,	rendeu	juros	de	R$	11.200,00.	
Determinar	a	taxa	anual.
Resposta: 60% ao ano.
3.	 Durante	155	dias,	certo	capital	gerou	um	montante	de	R$	64.200,00.	Sabendo-se	que	
a	taxa	de	juros	é	de	4%	ao	mês,	determinar	o	valor	do	capital	aplicado.
Resposta: R$ 53.204,42
4.	 Qual	o	valor	dos	juros	contidos	no	montante	de	R$	100.000,00,	resultantes	da	aplicação	
de	certo	capital	à	taxa	de	42%	ao	ano,	durante	13	meses?
Resposta: R$ 31.271,48
5.	 Qual	 o	 valor	 a	 ser	 pago,	 no	 final	 de	 cinco	 meses	 e	 18	 dias,	 correspondente	 a	 um	
empréstimo	 de	 R$	 125.000,00,	 sabendo-se	 que	 a	 taxa	 de	 juros	 é	 de	 27%	 ao	
semestre?
Resposta: R$ 156.500,00
6.	 Em	quanto	tempo	um	capital	de	R$	800,00,	aplicado	à	taxa	de	0,1%	ao	dia,	gera	um	
montante	de	R$	1.000,00?
Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses
Os	 exercícios	 de	 reforço	 têm	 como	 objetivo	 principal	 complementar	 os	 exemplos	
apresentados	em	sala	de	aula	e	os	exercícios	praticados	pelos	alunos.
32
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
7.	 Um	capital	de	R$	50.000,00	foi	aplicado	do	dia	19/06/X1	e	resgatado	em	20/01/X2.	
Sabendo-se	que	a	taxa	de	juros	da	aplicação	foi	de	56%	ao	ano,	calcular	o	valor	dos	
juros,	considerando-se	o	número	de	dias	efetivos	entre	as	duas	datas.
Resposta: R$ 16.722,22
8.	 Uma	empresa	aplicou	R$	2.000,00	no	dia	15/07/XX	e	resgatou	essa	aplicação	no	dia	
21/07/XX	por	R$	2.018,00.	Qual	foi	a	taxa	mensal	de	rendimento	proporcionada	por	
essa	operação?
Resposta: 4,5% ao mês.
9.	 Calcular	o	valor	do	capital	que,	aplicado	à	taxa	de	50,4%	ao	ano,	durante	dois	anos	e	
três	meses	produz	um	montante	de	R$	600.000,00.
Resposta: R$ 281.162,14
10.		Ao	fim	de	quanto	tempo	o	capital	de	R$	40.000,00,	aplicado	à	taxa	de	5%	ao	mês,	
produz	R$	18.600,00	de	juros?
 Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias.
11.	Obteve-se	um	empréstimo	de	R$	10.000,00	para	ser	liquidado	por	R$	14.675,00	no	
final	de	oito	meses	e	meio.	Qual	a	taxa	de	juros	anual	cobrada	nessa	operação?
Resposta: 66% ao ano.
12.	Em	quanto	tempo	um	capital	aplicado	a	48%	ao	ano	dobra	o	seu	valor?
Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses.
13.	A	que	taxa	de	juros	um	capital	aplicado	durante	dez	meses	rende	juros	igual	a	¼	do	seu	
valor?
Resposta: 2,5% ao mês.
14.	Um	 capital	 emprestado	 gerou	 R$	 96.720,00	 de	 juros.	 Sabendo-se	 que	 o	 prazo	
da	 aplicação	 foi	 de	 13	 meses	 e	 a	 taxa	 de	 juros	 de	 6%	 ao	 mês,	 calcular	 o	 valor	 do	
montante.
Resposta: R$ 220.720,00
15.	Em	quantos	dias	um	capital	de	R$	270.420,00	produzirá	juros	de	R$	62.304,77	a	uma	
taxa	de	5,4%	ao	mês?
Resposta: 128 dias.
33
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
16.	Determinar	o	capital	necessário	para	produzir	um	montante	de	R$	798.000,00	no	final	
de	um	ano	e	meio,	aplicado	a	uma	taxa	de	15%	ao	trimestre.
Resposta: R$ 420.000,00
17.	A	aplicação	de	R$	35.600,00	gerou	um	montante	de	R$	58.028,00	no	 final	de	nove	
meses.	Calcular	a	taxa	anual.
Resposta: 84% ao ano. 
18.	Certo	capital	aplicado	gerou	um	montante	de	R$	1.000,00.	Sabendo-se	que	a	taxa	de	
juros	é	de	5%	ao	mês	e	o	prazo	de	oito	meses,	calcular	o	valor	dos	juros.
Resposta: R$ 285,71
19.	Determinar	o	montante	correspondente	a	uma	aplicação	de	R$	450.000,00,	por	225	
dias,	à	taxa	de	5,6%	ao	mês.
Resposta: R$ 639.000,00
20.	Calcular	o	valor	do	capital	que,	aplicado	a	uma	taxa	de	6,2%	ao	mês,	por	174	dias,	
produziu	um	montante	de	R$	543.840,00.
Resposta: R$ 400.000,00
21.	Um	 título	 de	 renda	 prefixada	 foi	 adquirido	 por	 R$	 80.000,00	 e	 resgatado	 por	 R$	
117.760,00	no	final	de	oito	meses.	Calcular	a	taxa	mensalde	juros.
Resposta: 5,9% ao mês.
22.	Em	que	prazo	uma	aplicação	de	R$	500.000,00	possibilita	o	resgate	de	R$	614.000,00	
à	taxa	de	7,2%	ao	mês?
Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.
23.	A	que	taxa	anual	devo	aplicar	um	capital	de	R$	275.000,00	para	obter	juros	de	177.320,00	
no	final	de	186	dias?
Resposta: R$ 124,8% ao ano. 
A lista de exercícios de reforço foi extraída de SOBRINHO, 
 José Dutra Vieira, Matemática Financeira (ver referências ao final do livro).
3�
Matemática Financeira com HP-12C
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Conceitos de juros compostos
Podemos	entender	os	juros	compostos	como	sendo	o	que	popularmente	chamamos	de	
juros	sobre	juros.	Na	verdade,	os	juros	são	calculados	tomando	como	base	o	montante,	
conforme	o	diagrama	de	fluxo	de	caixa	abaixo.
Observe	novamente	a	demonstração	do	regime	de	capitalização	composta.	Matematica-
mente,	o	cálculo	a	juros	compostos	é	conhecido	por	cálculo	exponencial	de	juros.
Regime	de	Capitalização	Composta
No
Capital 
Aplicado
Juros de cada período
Valor
Acumulado ou Montante
1 R$	1.000,00 R$	1.000,00	x	10%	=	R$	100,00 R$	1.000,00	+	R$	100,00	=	R$	1.100,00
2 R$	1.100,00 R$	1.100,00	x	10%	=	R$	110,00 R$	1.100,00	+	R$	110,00	=	R$	1.210,00
3 R$	1.210,00 R$	1.210,00	x	10%	=	R$	121,00 R$	1.210,00	+	R$	121,00	=	R$	1.331,00
DIAGRAMA	DE	FLUXO	DE	CAIXA	PARA	O	REGIME	DE	CAPITALIZAÇÃO	COMPOSTA
 M	=	R$	1.331,00
	C	.	i	=	R$	100,00									M1	.	i	=	R$	110,00										M2	.	i	=	R$	121,00
C	=	R$	1.000,00
CAPÍTULO 5
JUROS COMPOSTOS
3�
Matemática Financeira com HP-12C
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Valor futuro (FV) ou montante (M)
EXEMPLO	Nº	14:	Calcular	o	montante	de	um	capital	de	R$	5.000,00	aplicado	à	taxa	de	
4%	ao	mês,	durante	cinco	meses.
Dados:
FV	=	?
PV	=	R$	5.000,00
i	=	4%	ao	mês
n	=	5	meses
Diferença entre os juros simples e juros compostos
EXEMPLO	Nº	15:	Calcular	o	montante	de	um	capital	de	R$	50.000,00,	aplicado	à	taxa	de	
15%	ao	mês,	para	29	dias,	30	dias	e	31	dias,	pelos	regimes	de	juros	simples	e	juros	com-
postos.
Juros Simples
a. n	=	29	dias;	FV	=	50.000	(1	+	0,15	x	29	)	=	R$	57.250,00	(J.	Simples	>	J.	Compostos)
										30
b. n	=	30	dias;	FV	=	50.000	(1	+	0,15	x	30	)	=	R$	57.500,00	(J.	Simples	=	J.	Compostos)
																																																								30
c. n	=	31	dias;	FV	=	50.000	(1	+	0,15	x	31	)	=	R$	57.750,00	(J.	Simples	<	J.	Compostos)
				 	 																																30
Juros Compostos
a) n	=	29	dias;	 	FV	=	50.000	(1	,15)	29/30	=	R$	57.232,75
b) n	=	30	dias;	 	FV	=	50.000	(1	,15)	30/30	=	R$	57.500,00
c) n	=	31	dias;	 	FV	=	50.000	(1	,15)	31/30	=	R$	57.768,50
FV = PV ( 1 + i ) n
36
Matemática Financeira com HP-12C
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Função C na HP-12C, teclas [STO] e [EEX]
Com	a	seqüência	de	teclas	[STO]	[EEX],	aparecerá	no	visor	da	calculadora	HP-12C	a	letra	
C.	Se	a	letra	C	não	estiver	aparecendo	no	visor,	a	HP-12C	faz	esse	cálculo	com	base	na	
chamada	“convenção	linear”,	em	que	os	juros	são	calculados	de	acordo	com	o	regime	de	
capitalização	composto	para	períodos	inteiros	e	de	acordo	com	o	regime	de	capitalização	
simples	para	períodos	fracionários.	Vamos	comprovar:
EXEMPLO	Nº	16:	Calcular	o	valor	futuro	de	uma	aplicação	de	R$	1.450.300,00,	à	taxa	de	
15%	ao	ano,	durante	3,5	anos.
Dados:
PV	=	R$	1.450.300,00
i	=	15%	ao	ano
n	=	3,5	anos.
Observe	que	existe	uma	diferença	de	R$	5.777,83,	vejamos	o	porquê.
1º	PASSO:	determinar	o	valor	futuro	para	o	período	de	três	anos	(período	inteiro)	pelo	
regime	de	juros	compostos.
FV	(3	anos)	=	1.450.300	(1,15)	3	=	R$	2.205.725,01
2º	PASSO:	determinar	o	valor	dos	juros	correspondentes	a	meio	ano	(período	fracionário)	
pelo	regime	de	juros	simples.
J	(meio	ano)	=	(2.205.725,01	x	0,15	x	180)	/	360	=	R$	165.429,38
3º	PASSO:	determinar	o	valor	futuro	total	(3,5	anos)
FV	(3,5	anos)	=	R$	2.205.725,01	+	R$	165.429,38	=	R$	2.371.154,39
3�
Matemática Financeira com HP-12C
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Valor presente (PV) ou capital (C)
EXEMPLO	Nº	17:	No	final	de	dois	anos,	o	Sr.	Carlos	deverá	efetuar	um	pagamento	de	R$	
2.000,00	referente	ao	valor	de	um	empréstimo	contratado	na	data	de	hoje,	mais	os	juros	
devidos,	correspondentes	a	uma	taxa	de	4%	ao	mês.	Pergunta-se:	Qual	o	valor	empres-
tado?
Dados:
FV	=	R$	2.000,00
i	=	4%	ao	mês
n	=	24	meses
PV	=	?
Prazo (n)
 ou n =
PV = FV / ( 1 + i ) n
3�
Matemática Financeira com HP-12C
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EXEMPLO	Nº	18:	Em	que	prazo	um	empréstimo	de	R$	24.278,43	pode	ser	liquidado	
em	um	único	pagamento	de	R$	41.524,33,	sabendo-se	que	a	taxa	contratada	é	de	3%	
ao	mês?
Dados:
n	=	?
PV	=	R$	24.278,43
FV	=	R$	41.524,33
i	=	3%	ao	mês
Funções [FRAC] e [INTG]
Através	da	função	[FRAC],	é	possível	eliminar	a	parte	inteira	de	um	número	e	manter	a	
parte	fracionária.
Através	da	função	[INTG]	é	possível	eliminar	a	parte	fracionária	de	um	número	e	manter	
a	parte	inteira.
Vamos	comprovar:
Tomando	como	base	o	EXEMPLO	Nº	18,	temos	que	o	prazo	foi	de	18,156731...	meses;	
observe	que	existe	uma	parte	fracionária,	que	neste	caso	representa	a	quantidade	de	dias.	
Para	calcularmos	a	quantidade	de	dias,	basta	multiplicar	a	parte	 fracionária	por	30	(mês	
comercial).
39
Matemática Financeira com HP-12C
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Solução	Única.
Estando	com	o	número	18,156731...	no	visor	da	calculadora	HP-12C,	observar	o	procedi-
mento	a	seguir:
[g]	FRAC	30	[x]
4,701928	dias
no	caso	de	dias,	poderemos	arredondar	o	número	para	maior,	então	poderemos	dizer	que	
a	resposta	do	EXEMPLO	Nº	18	seja:	18	meses	e	5	dias.
Para	o	mesmo	EXEMPLO	Nº	18,	poderemos	eliminar	a	parte	 fracionária	e	 ficar	com	a	
parte	inteira,	fazendo	a	seqüência	de	teclas:	[g]	INTG.
Taxas equivalentes a juros compostos
EXEMPLO	Nº	19:	A	loja	“Arrisca	Tudo”	financia	a	venda	de	uma	mercadoria	no	valor	de	R$	
10.210,72,	sem	entrada,	para	pagamento	em	uma	única	prestação	de	R$	14.520,68	no	final	
de	210	dias.	Qual	a	taxa	mensal	cobrada	pela	loja?
Dados:
i	=	?
PV	=	R$	10.210,72
FV	=	R$	14.520,68
n	=	210	dias
�0
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Exercícios sobre juros compostos
1.	 Determinar	o	montante,	ao	final	de	dez	meses,	resultante	da	aplicação	de	um	capital	de	
R$	100.000,00	à	taxa	de	3,75%	ao	mês.
Resposta: R$ 144.504,39
2.	 Uma	pessoa	empresta	R$	80.000,00	hoje	para	receber	R$	507.294,46	no	final	de	dois	
anos.	Calcular	as	taxas	mensal	e	anual	desse	empréstimo.
Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.
3.	 Sabendo-se	 que	 a	 taxa	 trimestral	 de	 juros	 cobrada	 por	 uma	 instituição	 financeira	 é	
de	12,486%,	determinar	qual	o	prazo	em	que	um	empréstimo	de	R$	20.000,00	será	
resgatado	por	R$	36.018,23.
Resposta: cinco trimestres (ou 15 meses).
4.	 Quanto	devo	aplicar	hoje,	à	taxa	de	18,00%	ao	ano,	para	ter	R$	1.000.000,00	ao	final	
de	19	meses?
Resposta: R$ 769.461,37
Exercícios de reforço
1.	 Uma	empresa	obtém	um	empréstimo	de	R$	700.000,00	que	será	liquidado,	de	uma	
só	vez,	ao	final	de	dois	anos.	Sabendo-se	que	a	taxa	de	juros	é	de	25%	ao	semestre,	
calcular	o	valor	pelo	qual	esse	empréstimo	deverá	ser	quitado.
Resposta: R$ 1.708.984,38
2.	 Em	que	prazo	uma	aplicação	de	374.938,00,	à	taxa	de	3,25%	ao	mês,	gera	um	resgate	
de	R$	500.000,00?
Resposta: nove meses
3.	 Um	terreno	está	sendo	oferecido	por	R$	4.500,00	à	vista	ou	R$	1.500,00	de	entrada	e	
mais	uma	parcela	de	R$	3.500,00,	no	final	de	seis	meses.	Sabendo-se	que	no	mercado	
a	taxa	média	para	aplicação	em	títulos	de	renda	prefixada	gira	em	torno	de	3,5%	ao	
mês	(taxa	líquida,	isto	é,	com	o	Imposto	de	Renda	já	computado),	determinar	a	melhor	
opção	para	um	interessado	que	possua	recursos	disponíveis	para	comprar	o	terreno.
Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo.
�1
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4.	 A	que	taxa	de	juros	um	capital	aplicado	pode	ser	resgatado,	no	final	de	17	meses,	pelo	
dobro	do	seu	valor?
Resposta: 4,162% ao mês.
5.	 Em	quanto	tempo	um	capital	pode	produzir	juros	iguais	a	50%	do	seu	valor,	se	aplicado	
a	3,755%	ao	mês.
Resposta: 11 meses.
6.	 A	aplicação	de	certo	capital,	à	 taxade	69,588%	ao	ano,	gerou	um	montante	de	R$	
820.000,00	no	final	de	um	ano	e	três	meses.	Calcular	o	valor	dos	juros.
Resposta: R$ 396.288,79
7.	 O	que	é	mais		vantajoso:	aplicar	R$	10.000,00	por	três	anos,	a	juros	compostos	de	3%	ao	
mês,	ou	aplicar	esse	mesmo	valor,	pelo	mesmo	prazo,	a	juros	simples	de	5%	ao	mês?
Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.
8.	 No	fim	de	quanto	tempo	um	capital,	aplicado	à	taxa	de	4%	ao	mês,	quadruplica	o	seu	
valor…
•	 No	regime	de	capitalização	composta?	(Resposta: 35,35 meses)
•	 No	regime	de	capitalização	simples?	(Resposta: 75 meses)
9.	 Qual	o	montante	produzido	pela	aplicação	de	R$	580,00,	à	taxa	de	17,5%	ao	ano,	pelo	
prazo	de	213	dias?
Resposta: 638,07
10.	Qual	o	valor	do	capital	que,	aplicado	à	 taxa	de	18%	ao	trimestre	durante	181	dias,	
produziu	um	montante	de	R$	5.000,00?
Resposta: R$ 3.584,32
11.	A	aplicação	de	R$	211.009,90	proporcionou	um	resgate	de	R$	322.033,58	no	final	de	
seis	meses.	Determinar	as	taxas	mensal	e	anual	dessa	operação.
Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano. 
12.	Certa	aplicação	rende	0,225%	ao	dia.	Em	que	prazo	um	investidor	poderá	receber	o	
dobro	da	sua	aplicação?
Resposta: 308,41 dias ou 309 dias.
�2
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
13.	A	aplicação	de	R$	280,00	proporcionou	um	rendimento	de	R$	240,00	no	final	de	208	
dias.	Determinar	a	taxa	diária,	mensal,	trimestral	e	anual	de	juros.
Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.
14.	Em	 154	 dias	 uma	 aplicação	 rendeu	 21,43%.	 Calcular	 as	 taxas	 mensal	 e	 anual	
equivalentes.
Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.
15.	Um	banco	cobra	20%	a.a.	de	juros	(além	da	correção	monetária),	numa	operação	de	
capital	de	giro.	Quanto	cobrará	para	uma	operação	em	182	dias?	(Considerar	o	ano	
como	sendo	360	dias.)
Resposta: 9,66% a.p.
16.	Quanto	uma	pessoa	resgatará	no	final	de	93	dias	se	aplicar	R$	2.000,00	à	taxa	de	15%	
ao	ano?	E	qual	a	taxa	mensal	equivalente?
Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.
17.	Um	certificado	de	Depósito	Bancário	(CDB)	equivalente	a	US$	500,00	rende	juros	de	
15%	ao	ano.	Sendo	o	seu	prazo	de	243	dias,	calcular	o	valor	de	resgate	(em	dólar),	
antes	do	Imposto	de	Renda.
Resposta: US$ 549,47
18.	Qual	foi	a	taxa	mensal	de	juros	apurada	por	um	investidor,	para	uma	aplicação	de	R$	
10.000,00	efetuada	no	dia	13	de	março	de	2001,	cujo	valor	de	resgate	em	08	de	junho	
de	2001	foi	de	R$	10.968,42?
Resposta: 3,24% a.m.
19.	Qual	é	o	número	de	dias	necessário	para	que	uma	aplicação	de	R$	1.000,00	produza	um	
valor	de	resgate	de	R$	3.000,00,	se	a	taxa	de	juros	contratual	for	de	4,8%	ao	mês?
Resposta: 703 dias
20.	Um	título	de	renda	fixa	é	emitido	com	um	prazo	de	dois	meses	e	valor	de	resgate	de	
R$	10.000,00.	Determinar	seu	valor	de	emissão	para	que	seja	garantida	ao	investidor	
uma	rentabilidade	de	10%	ao	ano,	no	regime	de	juros	compostos.
Resposta: R$ 9.842,40
Os exercícios dos últimos itens foram parcialmente extraídos e adaptados dos seguintes livros (ver referências ao final):
SOBRINHO,José Dutra Vieira, Matemática Financeira.
HAZZAN, Samuel & POMPEU, José Nicolau, Matemática Financeira – métodos quantitativos.
�3
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
No	mercado	financeiro	e	nas	operações	bancárias	e	comerciais,	a	palavra	taxa	é	empregada	
de	várias	formas,	ou	seja,	vários	conceitos	são	abordados	em	várias	situações.	Mostrare-
mos	as	aplicabilidades	das	taxas	de	juros	do	pondo	vista	da	matemática	financeira.
Taxas equivalentes:
As	taxas	são	equivalentes	se,	quando	aplicadas	a	um	mesmo	capital,	por	um	mesmo	perío-
do,	geram	o	mesmo	rendimento.
Onde:	i(EQ)	=	Taxa	Equivalente;	ic	=	Taxa	Conhecida;	QQ	=	Quanto	eu	Quero;	
QT	=	Quanto	eu	Tenho.
EXEMPLO	Nº	20:	Calcular	a	equivalência	entre	as	taxas.
Taxa Conhecida Taxa Equivalente para:
a)	79,5856%	ao	ano 1	mês
b)	28,59%	ao	trimestre 1	semestre
c)	2,5%	ao	mês	 105	dias
d)	0,5%	ao	dia 1	ano
e)	25%	(ano	comercial) 1	ano	exato	(base	365	dias)
CAPÍTULO 6
OPERAÇÕES COM 
TAXAS DE JUROS
��
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
Programa para taxa equivalente com HP-12C
[	f	]	[	P/R	]
[	f	]	[	PRGM	]
[	X<>	Y]
[	:	]
[	X<>	Y]
[	1	]
[	0	]
[	0	]
[	:	]
[	1	]
[	+	]
[	x<>y	]
[	yx	]
[	1	]
[	-	]
[	1	]
[	0	]
[	0	]
[	x	]
[	f	]	[	P/R	]
Solução 1:
a)	i(EQ)	=	{	(	1	+	0,7958)	30/360	–	1}	x	100	=	5% ao mês
b)	i(EQ)	=	{	(	1	+	0,2859)	180/90	–	1}	x	100	=	65,35% ao semestre
c)	i(EQ)	=	{	(	1	+	0,025)	105/30	–	1}	x	100	=	9,03% ao período
d)	i(EQ)	=	{	(	1	+	0,005)	360/1	–	1}	x	100	=	502,26% ao ano
e)	i(EQ)	=	{	(	1	+	0,25)	365/360	–	1}	x	100	=	25,39% ao ano (exato)
Solução 2 (HP-12C)
a)	1,7958	[ENTER]	30	[ENTER]	360	[:]	[YX]	1	[-]	100	[X]	 5% ao mês
b)	1,2859	[ENTER]	180	[ENTER]	90	[:]	[YX]	1	[-]	100	[X]	 65,35% ao trimestre
c)	1,025	[ENTER]	105	[ENTER]	30	[:]	[YX]	1	[-]	100	[X]	 9,03% ao período
d)	1,005	[ENTER]	360	[ENTER]	1	[:]	[YX]	1	[-]	100	[X]	 502,26% ao ano
e)	1,25	[ENTER]	365	[ENTER]	360	[:]	[YX]	1	[-]	100	[X]	 25,39% ao ano (exato)
��
Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
UTILIZANDO	O	PROGRAMA
27	 [ENTER]
360	 [ENTER]
30	 [R/S]
2,01%	a.m.
Taxa over equivalente: A	taxa	over	equivalente	é	uma	taxa	usada	pelo	mercado	financeiro	
para	determinar	a	rentabilidade	por	dia	útil.	Normalmente	é	multiplicada	por	30	(conversão	
de	mercado	financeiro).	Nas	empresas	em	geral,	é	utilizada	para	escolher	a	melhor	taxa	
para	investimento.
Onde:
TOE	=	 taxa	over	equivalente
ic	 =	 taxa	de	juros	conhecida
QQ	 =	 nº	de	dias	efetivos	da	operação
QT		 =		nº	de	dias	referente	à	taxa	conhecida	(ic	)
ndu	 =		nº	de	dias	úteis	no	período	da	operação.
Este programa foi extraído do livro SHINODA, Carlos, 
Matemática financeira para usuários do Excel (ver referências no final).
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Matemática Financeira com HP-12C
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EXEMPLO	Nº	21:	Calcular	a	taxa	over	equivalente	para	uma	taxa	de	80%	ao	ano,	para	uma	
aplicação	de	30	dias,	considerando	19	dias	úteis.
Dados:
ic	 =	 80%
QQ	 =	 30	dias
QT	 =	 360	dias
ndu	 =	 19	dias
Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis)
A	 taxa	 acumulada	 de	 juros	 com	 taxas	 variáveis	 e	 normalmente	 utilizada	 em	 situações		
de	 correções	 de	 contratos,	 como	 a	 atualização	 de	 aluguéis,	 saldo	 devedor	 da	 casa		
própria	etc.
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Matemática Financeira com HP-12C
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EXEMPLO	Nº	22:	Com	base	na	tabela	abaixo,	calcular	a	variação	do	IGPM-FGV	acumulada	
durante	os	meses	de	jan/2001	a	maio/2001.
Últimas	variações	dos	índices	de	inflação:
IGPM+FGV INPC+IBGE IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGE
Maio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01
Junho/2000 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23
Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61
Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31
Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23
Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14
Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32
Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59
Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57
Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46
Março/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38
Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58
Maio/2001 0,86 - - 0,17 -
Acumulado	no	ano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00
Acumulado	12	meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61
Dados:	IGMP	(jan/2001)	=	0,62%				IGMP	(fev/2001)	=	0,23%
	 	 IGMP	(mar/2001)	=	0,56%			IGMP	(abr/2001)	=	1,00%
				 	 IGMP	(mai/2001)	=	0,86%
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Taxa média de juros
A	taxa	média	de	juros	tem	como	base	teórica	o	conceito	estatístico	da	média	geométrica.	
É	usada	normalmente	para	calcular	a	média	de	um	conjunto	de	taxas.
Onde,	n	=	número	de	taxas	analisadas.
EXEMPLO Nº 23:	Com	base	nos	dados	do	EXEMPLO	Nº	22,	calcular	a	taxa	média.
Dados:
IGMP	(jan/2001)	=	0,62%
IGMP	(fev/2001)	=	0,23%
IGMP	(mar/2001)	=	0,56%
IGMP	(abr/2001)	=	1,00%
IGMP	(mai/2001)	=	0,86%
Taxa real de juros
A	taxa	real	de	juros	nada	mais	é	do	que	a	apuração	de	ganho	ou	perda	em	relação	a	uma	
taxa	de	inflação	ou	ao	custo	de	oportunidade.
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EXEMPLO Nº 24:	Uma	aplicação	durante	o	ano	2000rendeu	9,5%	ao	ano,	sabendo-se	
que	a	taxa	de	inflação	do	período	foi	de	5,8%	ao	ano.	Determine	a	taxa	real	de	juro.
Dados:
ir	=	?
ijuros		=	9,5%	ao	ano
iinflação	=	5,8%	ao	ano
Exercícios sobre taxas de juros
1.	 Determinar	a	taxa	anual	equivalente	a	2%	ao	mês.
Reposta: 26,82% ao ano.
2.	 Determinar	a	taxa	mensal	equivalente	a	60,103%	ao	ano.
Resposta: 4% ao mês.
3.	 Determinar	a	taxa	anual	equivalente	a	0,19442%	ao	dia.
Resposta: 101,22% ao ano.
4.	 Determinar	a	taxa	trimestral	equivalente	a	47,746%	em	dois	anos.
Resposta: 5% ao trimestre.
5.	 Uma	determinada	revista	de	informações	financeiras	apresentou	as	seguintes	taxas	de	
CDI’s:	Fev	=	2,11%;	Mar	=	2,18%;	Abr	=	1,69%;	Mai	=	1,63%;	 Jun	=	1,60%	e		
Jul	=	1,69%	para	o	ano	de	1998.	Pergunta-se:
a)		 Qual	a	taxa	média	no	período?	(Resposta:	1,82%	ao	mês.)
b)		 Qual	a	taxa	acumulada	no	período?	(Resposta:	11,41%	ao	período.)
6.	 Suponhamos	que	uma	empresa	contrate	um	financiamento	de	capital	de	giro	no	valor	
de	R$	80.000,00	por	3	meses,	tendo	que	pagar	no	final	R$	94.340,57.	Qual	a	taxa	média	
desta	aplicação?
Resposta: 5,65% ao mês.
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7.	 O	senhor	Dúvida,	pretende	investir	R$	6.500.000,00	em	uma	aplicação	no	Banco	dos	
Palmeirenses	S/A,	que	paga	45,5%	ao	ano	por	30	dias	corridos	e	correspondentes	a	
21	dias	úteis.	Suponha	que	o	Banco	dos	Corinthianos	S/A	pague	45%	ao	ano	por	33	
dias	 corridos	e	 correspondentes	 a	22	dias	úteis.	Você	 foi	 contratado	como	gerente	
financeiro(a)	e	encontra-se	em	período	de	experiência.	Na	sua	opinião,	qual	dos	dois	
seria	o	melhor	para	o	aplicador?
Resposta: a melhor taxa é a do Banco dos Corinthianos.
8.	 Se	o	preço	de	um	produto	em	dezembro	de	1998	era	de	R$	3.000,00	e	em	janeiro	de	
1999	passou	a	ser	de	R$	3.300,00,	de	quanto	é	o	índice	de	preço	correspondente	ao	
período?
Resposta: 10% ao período.
9.	 Suponha	que	no	mês	base	o	preço	médio	de	uma	cesta	básica	seja	de	R$	50,00	e	nos	
três	meses	subseqüentes	seja	R$	60,00,	R$	75,00	e	88,50,	respectivamente.	Obtenha	a	
inflação	acumulada.
Resposta: 77% ao período.
10.	Um	 capital	 foi	 aplicado	 por	 um	 ano,	 à	 taxa	 de	 juros	 de	 21%	 ao	 ano,	 e	 no	 mesmo	
período	a	inflação	foi	de	19%	ao	ano.	Qual	a	taxa	real	de	juros?
Resposta: 1,68% ao ano.
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A	operação	desconto	pode	ser	descrita	como	sendo	o	custo	financeiro	do	dinheiro	pago	
em	função	da	antecipação	de	recurso.
Desconto racional simples ou “por dentro”
Onde:
DR	=	Desconto	Racional;	VN	=	Valor	Nominal;	VA	=	Valor	Atual.
EXEMPLO	Nº	25:	Um	título	de	valor	nominal	R$	25.000,00	é	descontado	dois	meses	antes	
do	seu	vencimento,	à	taxa	de	juros	simples	de	2,5%	ao	mês.	Qual	o	desconto	racional?
Dados:
VN	=	R$	25.000,00
n	=	2	meses
i	=	2,5%	ao	mês
DR	=	?
CAPÍTULO 7
DESCONTOS
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Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”
Onde:
DB	=	Desconto	Bancário;	VN	=	Valor	Nominal;	VL	=	Valor	Líquido.
EXEMPLO	Nº	26:	Um	título	de	valor	nominal	R$	25.000,00	é	descontado	dois	meses	antes	
do	seu	vencimento,	à	taxa	de	juros	simples	de	2,5%	ao	mês.	Qual	o	desconto	bancário?
Dados:
VN	=	R$	25.000,00
n	=	2	meses
i	=	2,5%	ao	mês
DR	=	?
EXEMPLO	Nº	27:	Uma	duplicata	no	valor	de	R$	25.000,00	é	descontada	em	um	banco	
dois	meses	antes	do	seu	vencimento,	à	taxa	de	desconto	de	2,5%	ao	mês.	Sabendo-se	que	
o	banco	cobra	1%	a	título	de	despesas	administrativas	e	que	o	IOF	é	de	0,0041%	ao	dia	so-
bre	o	valor	do	título,	obter	o	valor	recebido	pelo	portador	do	título.	Uma	outra	alternativa	
seria	tomar	um	empréstimo	com	a	taxa	líquida	de	2,8%	ao	mês.	Qual	a	melhor	opção?
Dados:
VN	=	R$	25.000,00
n	=	2	meses
i	=	2,5%	ao	mês
iADM	=	1%
(IOF)	=	0,0041%	ao	dia
i=	2,8%	a.m	(empréstimo)
VL	=	?
DB	=?
DIOF	=?
DADM	=?
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Se	considerarmos	que	o	PV	seja	R$	23.438,50	e	FV	=	R$	25.000,00,	então	teremos:
i	=	25.000	–	23.438,50		=		1.561,50	=	3,12%	ao	mês
25.000	x	2	 											50.000
Ou	seja,	o	empréstimo	seria	a	melhor	opção.
Operações com um conjunto de títulos
EXEMPLO	Nº	28:	Uma	empresa	apresenta	o	borderô	de	duplicatas	abaixo,	para	serem	
descontadas	num	banco	à	taxa	de	desconto	bancário	de	3%	ao	mês.	Qual	o	valor	líquido	
recebido	pela	empresa?
Borderô	de	Cobrança
Duplicata Valor (R$)
Prazo 
(vencimento)
A 2.000,00 30	dias
B 4.000,00 65	dias
C 8.000,00 82	dias
Solução	1
DPL	nº	A:	DB	=	(2.000	x	0,03	x	30)	/	30	=	R$			60,00
DPL	nº	B:	DB	=	(4.000	x	0,03	x	65)	/	30	=	R$	260,00
DPL	nº	C:	DB	=	(8.000	x	0,03	x	82)	/	30	=	R$	656,00
																						Total R$ 976,00
Valor	Líquido	Recebido:	R$	14.000	–	R$	976,00	=	R$	13.024,00
Prazo médio de um conjunto de títulos
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EXEMPLO	Nº	29:	Com	base	nos	dados	do	EXEMPLO	Nº	28,	e	utilizando-se	do	conceito	
do	prazo	médio,	achar	o	valor	líquido.
Solução	1:
PM	=	(2.000	x	30)	+	(4.000	x	65)	+	(8.000	x	82)
	 	 2.000	+	4.000	+	8.000
PM	=	60.000	+	260.000	+	656.000
	 2000	+	4.000	+	8.000
PM	=	976.000
										14.000
PM = 69,714286 dias.
Assim,	temos:
DB	=	(14.000	x	0,03	x	69,714286...)	/	30
DB = R$ 976,00
VL	=	14.000	–	976,00	=	R$ 13.024,00
Desconto composto
O	desconto	composto	é	aquele	em	que	a	taxa	de	desconto	incide	sobre	o	montante	ou	
valor	futuro.
e
Onde:	DC	=	desconto	composto.
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EXEMPLO	Nº	30:	Uma	duplicata	no	valor	de	R$	18.000,00	e	com	120	dias	para	o	seu	ven-
cimento,	é	descontada	a	uma	taxa	de	2,5%	ao	mês,	de	acordo	com	o	conceito	de	desconto	
composto.	Calcular	o	valor	líquido	creditado	na	conta	e	o	valor	do	desconto	concedido.
Dados:
FV=	R$	18.000,00
n	=	120	dias	(4	meses)
i	=	2,5%	ao	mês
PV	=	?
DC	=	?
Relação em taxas de desconto simples e composto
EXEMPLO	Nº	31:	Efetuar	o	desconto	de	uma	duplicata	de	R$	100,00	na	taxa	de	desconto	
fixa	de	5%	ao	mês	e	calcular	a	taxa	real	simples	e	composta.
Prazo em dias Prazo em meses
Desconto 30 60 90 120 180 10 12 15 19 20
Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100
Líquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0
Taxa mensal 
simples
5,26 5,56 5,88 6,25 7,14 10,0 12,5 20,0 100,0 0
Taxa mensal 
composta
5,26 5,41 5,57 5,74 6,12 7,18 7,93 9,68 17,1 0
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Matemática Financeira com HP-12C
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Exercícios sobre desconto
1.	 Qual	 o	 valor	 do	 desconto	 comercial	 simples	 de	 um	 título	 de	 R$	 2.000,00,	 com	
vencimento	para	90	dias,	à	taxa	2,5%	ao	mês?
Resposta: R$ 150,00
2.	 Qual	a	taxa	mensal	de	desconto	utilizada	numa	operação	a	120	dias	cujo	valor	de	resgate	
é	de	R$	1.000,00	e	cujo	valor	atual	é	de	R$	880,00?
Resposta: 3% ao mês.
3.	 Calcular	 o	 valor	 líquido	 de	 um	 conjunto	 de	 duplicatas	 descontadas	 a	 5%	 ao	 mês	
conforme	o	borderô	a	seguir:
A	 5.000	 15	dias
B	 3.500	 35	dias
C	 1.500	 65	dias
Resposta: R$ 9.508,33
4.	 Uma	duplicata	de	R$	70.000,00,	 com	90	dias	 a	 decorrer	 até	o	 seu	 vencimento,	 foi	
descontada	por	um	banco	à	taxa	de	2,70%	ao	mês.	Calcular	o	valor	líquido	entregue	
ou	creditado	ao	cliente.
Resposta: R$ 64.330,00
5.	 Determinar	quantos	dias	faltam	para	o	vencimento	de	uma	duplicata	no	valor	de	R$	
9.800,00	que	sofreu	um	desconto	de	R$	548,50,	à	taxa	de	32%	ao	ano.
Resposta: 63 dias.
6.	 Calcular	 o	 valor	 do	 desconto	 composto	 concedido	 num	 Certificado	 de	 Depósito	
Bancário,	de	valor	de	 resgate	 igual	 a	R$	200.000,00,	 sabendo-se	que	 faltam	90	dias	
para	o	seu	vencimento	e	que	a	taxa	de	desconto	é	de	3,8%	ao	mês.
Resposta: R$ 21.944,57
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Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
Até	agora,	estudamos	situações	envolvendo	apenas	dois	pagamentos,	ou	seja,	valor	futuro	
(FV)	e	valor	presente	(PV).	Neste	capítulo,	estudaremos	operações	envolvendo	pagamen-
tos	 periódicos.	 A	 série	 uniforme	 de	 pagamentos	 pode	 ser	 de	 dois	 tipos:	 postecipada	 e	
antecipada:
Valor presente de uma série de pagamento postecipada
Onde:	PMT	=	prestação	ou	pagamentos.EXEMPLO	Nº	32:	Determinaremos	o	valor	de	um	 financiamento	a	 ser	quitado	através	
de	quatro	pagamentos	mensais	de	R$	5.000,00,	vencendo	a	primeira	parcela	a	30	dias	da	
liberação	dos	recursos,	sendo	de	5,5	%	a.m.	a	taxa	contratual.
CAPÍTULO 8
SÉRIES UNIFORMES 
DE PAGAMENTOS
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Matemática Financeira com HP-12C
Senac São Paulo
Dados:
PV	=	?
n	=	4	meses
i	=	5,5%	ao	mês
PMT	=	R$	5.000,00
Valor de prestação de uma série postecipada
EXEMPLO	Nº	33:	Um	eletrodoméstico	é	vendido	à	vista	por	R$	1.200,00.	Qual	deve	ser	
o	valor	da	prestação	na	venda	em	três	prestações	mensais	iguais	e	sem	entrada,	se	o	custo	
financeiro	do	lojista	é	de	4%	ao	mês?
Dados:
PV	=	R$	1.200,00
i	=	4%	ao	mês
n	=	3	meses
PMT	=	?
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Matemática Financeira com HP-12C
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Número de prestações de uma série uniforme de paga-
mento postecipada
EXEMPLO Nº 34:	Com	base	nos	dados	do	EXEMPLO	32,	achar	o	prazo	da	operação.
Dados:
PV	=	R$	17.525,75
PMT	=	R$	5.000
i	=	5,5%	ao	mês
Cálculo da taxa de uma série de pagamento 
uniforme postecipada
Para	o	cálculo	da	taxa	de	juros,	aconselha-se	usar	somente	a	HP-12C,	tendo	em	vista	que	
o	cálculo	algébrico	é	muito	complexo.
EXEMPLO	Nº	35:	Com	base	nos	dados	do	EXEMPLO	Nº	33,	achar	a	taxa	de	juros.
Dados:
PV	=	R$	1.200,00
n	=	3	meses
PMT	=	R$	432,42
i	=	?
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Matemática Financeira com HP-12C
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Série uniforme de pagamentos antecipados
Esta	é	uma	metodologia	aplicada	em	situações	de	financiamento	com	prestações	ou	paga-
mentos	iguais	e	com	entrada.
Fórmulas para série de pagamentos antecipados
Na	HP-12C,	o	procedimento	é	semelhante	ao	efetuado	nas	séries	de	pagamentos	posteci-
pados;	porém,	a	calculadora	deve	conter	a	expressão	BEGIN	no	seu	visor.	Para	tanto,	basta	
pressionar	a	seqüência	de	teclas	[g]	[BEG]
Fórmula	do	valor	presente:
Fórmula	da	prestação:
Valor futuro de uma série uniforme
EXEMPLO	Nº	36:	Qual	é	o	montante	que	um	poupador	acumula	em	12	meses,	se	ele	
aplicar	R$	1.500,00,	à	taxa	de	4,5%	ao	mês,	no	final	de	cada	mês?
Dados:
PMT	=	R$	1.500,00
i	=	4,5%	ao	mês
n	=	12	meses
FV	=	?
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Matemática Financeira com HP-12C
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Exercício sobre séries uniformes de pagamentos
1.	 Determinar	o	valor	futuro	de	um	investimento	mensal	de	R$	1.000,00,	durante	cinco	
meses,	à	taxa	de	5%	ao	mês.	(série	postecipada)
Resposta: R$ 5.525,63
2.	 Determine	 o	 valor	 do	 investimento	 necessário	 para	 garantir	 um	 recebimento	 anual	
de	R$	10.000,00	no	 final	de	cada	um	dos	próximos	oito	anos,	 sabendo-se	que	esse	
investimento	 é	 remunerado	 com	 uma	 taxa	 de	 10%	 ao	 ano,	 no	 regime	 de	 juros	
compostos.
Resposta: R$ 53.349,26
3.	 Determinar	o	valor	das	prestações	mensais	de	um	financiamento	realizado	com	a	taxa	
efetiva	de	2,5%	ao	mês,	sabendo-se	que	o	valor	presente	é	R$	1.000,00	e	que	o	prazo	
é	de	quatro	meses.
Resposta: R$ 265,82
4.	 Um	automóvel	custa	R$	14.480,00	à	vista	e	pode	ser	financiado	em	48	parcelas	mensais	
e	iguais,	com	a	taxa	de	1,8%	ao	mês.	Determinar	o	valor	das	prestações.
Resposta: R$ 453,07
5.	 Paulo	deseja	presentear	seu	filho	Marcos	com	um	carro	que,	hoje,	custa	aproxima-
damente	R$	13.000,00,	desde	que	Marcos	consiga	aprovação	no	vestibular.	Sabemos	
que	a	idade	de	Marcos	hoje	é	de	12	anos,	e	se	tudo	correr	bem	com	18	anos	ele	estará	
ingressando	na	faculdade.	Quanto	Paulo	deverá	economizar	por	mês,	considerando	
uma	previsão	de	inflação	de	7%	ao	ano?
Resposta: R$ 220,30
6.	 No	exercício	nº	4,	considere	uma	entrada	de	20%	e	uma	taxa	de	1,5%	ao	mês	para	
recalcular	o	valor	da	prestação.
Resposta: R$ 340,28
7.	 Uma	loja	A	oferece	uma	televisão	por	R$	630,00	em	três	vezes	iguais	(1	+	2)	ou	com	
5%	de	desconto	para	pagamento	à	vista.	Na	loja	B,	considerando	o	mesmo	preço	à	
vista,	a	mesma	televisão	é	comercializada	em	24	pagamentos	iguais	de	R$	47,69	sem	
entrada.	Determine	a	taxa	de	juros	praticados	pelas	lojas	A	e	B.
Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.
62
Matemática Financeira com HP-12C
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8.	 Marcelo	paga	uma	prestação	de	R$	375,25	por	mês	por	conta	do	financiamento	de	seu	
apartamento.	Sabendo-se	que	a	taxa	do	financiamento	é	de	6,1678%	ao	ano	e	que	o	
valor	do	imóvel	foi	estimado	pelo	agente	financeiro	em	R$	50.000,00,	pergunta-se:	em	
quantos	meses	foi	financiado	o	apartamento	de	Marcelo?
Resposta: 220 meses. 
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É	comum	verificarmos,	no	mercado	financeiro	e	nas	operações	bancárias,	dúvidas	quanto	
ao	tipo	de	metodologia	empregada	no	processo	de	amortização	dos	empréstimos	e	finan-
ciamentos.	Estudaremos	os	sistemas	mais	adotados	pelo	mercado.
Sistema de amortização constante (SAC)
Principal	característica:	o	valor	da	amortização	é	constante.
EXEMPLO	Nº	37:	Um	produto	de	preço	igual	a	R$	1.500,00	foi	financiado	por	cinco	me-
ses,	a	uma	taxa	de	5%	ao	mês	pelo	sistema	SAC.	Elabore	a	planilha	de	financiamento.
no Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 1.500,00 0,00 0,00 0,00
1 1.200,00 300,00 75,00 375,00
2 900,00 300,00 60,00 360,00
3 600,00 300,00 45,00 345,00
4 300,00 300,00 30,00 330,00
5 0,00 300,00 15,00 315,00
1.500,00 225,00 1.725,00
CAPÍTULO 9
SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO DE 
EMPRÉSTIMOS E 
FINANCIAMENTOS
6�
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Sistema price (ou francês) de amortização
Principal	característica:	prestação	constante.
EXEMPLO	Nº	38:	Um	produto	de	preço	igual	a	R$	1.500,00	foi	financiado	por	cinco	me-
ses,	a	uma	taxa	de	5%	ao	mês	pelo	Sistema	Price.	Elabore	a	planilha	de	financiamento.
no Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 1.500,00 0,00 0,00 0,00
1 1.228,54 271,46 75,00 346,46
2 943,51 285,03 61,43 346,46
3 644,23 299,28 47,18 346,46
4 329,98 314,25 32,21 346,46
-0,02 329,96 16,50 346,46
1.499,98 232,32 1.732,30
Solução	na	HP-12C:
[f]	FIN
1.500	[CHS]	[PV]					5		[i]					5	[n]							[PMT]	=	R$ 346,46
1	[f]	AMORT	75,00	[x<>y]	271,46	[RCL]	[PV]	–1.228,54
1	[f]	AMORT	61,43	[x<>y]	285,03	[RCL]	[PV]				- 943,51
1	[f]	AMORT	47,18	[x<>y]	299,28	[RCL]	[PV]				- 644,23
1	[f]	AMORT	32,21	[x<>y]	314,25	[RCL]	[PV]			 - 329,98
1	[f]	AMORT	16,50	[x<>y]	329,96	[RCL]	[PV]					 - 0,02
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Certifi cado de depósito bancário (CDB) e recibo de de-
posito bancário (RDB)
O	CDB	e	RDB	são	títulos	emitidos	por	bancos	registrados	na	CETIP	(Central	de	Custó-
dia	e	de	Liquidação	Financeira	de	Títulos),	utilizados	para	captação	de	recursos	junto	aos	
investidores.	Tais	recursos	são,	posteriormente,	repassados	aos	clientes	nas	operações	de	
financiamento	tradicionais	do	mercado	de	crédito.
Pela	legislação	em	vigor:
1	–	CDB/RDB	podem	ser	pré	ou	pós-fixados;
2	–	CDB/RDB	pré-fixados	são	emitidos	com	prazo	mínimo	de	30	dias	corridos;	os	pós-fi-
xados	com	prazo	mínimo	de	120	dias	corridos;
3	–	O	CDB	é	transferível	por	endosso	nominativo	e	o	RDB	é	intransferível;
4	–	CDB/RDB	são	gravados	à	alíquota	de	20%	sobre	o	rendimento	bruto	para	efeito	de	
imposto	de	renda	retido	na	fonte	por	ocasião	do	resgate.	Não	incide	IOF	sobre	os	rendi-
mentos.
CAPÍTULO 10
APLICABILIDADE 
DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
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EXEMPLO	Nº	39:	Sr.	Pedro	aplicou	R$	25.000,00	em	CDB	de	33	dias	corridos	e	22	dias	
úteis,	à	taxa	de	27%	a.a.	(base	360	dias).	A	alíquota	do	IR	é	de	20%.	Pergunta-se:
a)	montante	bruto
b)	rendimento	bruto
c)	imposto	de	renda
d)	montante	líquido
e)	taxa	efetiva	líquida	do	período
f)	a	taxa	over	líquida	no	período
Dados:
FV		=	?
PV		=	R$	25.000,00
I					=		27%	ao	ano
N			=		33	dias	corridos
B)	Rendimento	bruto
RB	=	FV	–	PV
RB	=		R$	25.553,79	-	R$	25.000,00	=	R$	553,79
C)	Imposto	de	Renda	na	fonte
IR	=	RB	x	Alíquota
IR	=	R$	553,79	x	20%	=	R$	110,76
D)	Montante	Líquido
FVL	=	FV	–	IR
FVL	=	R$	25.553,79	–	R$	110,76	=	R$	25.443,03
E)	Taxa	efetiva	líquida	no	período
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Ip	=	[(25.443,03	/	25.000,00)	–	1]	x	100
Ip	=	1,7721	%	a.p.
F)	Taxa	over	líquidano	período
Iover	=	[(	1	+	ip)1/du		-	1]	x	3000
Iover	=	[	1	+	0,017721)1/22		-	1]	x	3000
Iover	=	2,5105%	a.m.o.
Exercícios
1.	 Dona	Joana	aplicou	R$	20.000,00	em	um	CDB	de	33	dias	corridos	e	18	dias	úteis,	à	taxa	
de	32%	a.a.	No	dia	seguinte,	ela	verificou	que	a	taxa	anual	do	CDB	para	30	dias	corridos	
e	19	dias	úteis	oferecia	uma	remuneração	de	38,04%	a.a.	Muita	brava,	foi	ao	gerente	
reclamar	que	havia	perdido	6,04	pontos	percentuais	de	taxa	anual.	Suponhamos	que	
você	seja	o	gerente	deste	banco,	que	resposta	você	daria	à	dona	Joana?
R.:	A	taxa	será	igual	para	os	dois	casos	3,39%,	já	descontado	o	I.R.
2.	 Dona	Sebastiana	aplicou	R$	300.000,00	num	RDB	pós-fixado,	à	taxa	de	TR	+	13,20%	
a.a,	para	um	período	de	150	dias.	O	IR	na	fonte	é	de	20%	sobre	o	rendimento	bruto.	
A	variação	da	TR	é	de	0,60%.	Calcule:
a)	montante	bruto	=	R.: R$ 317.800,99
b)	rendimento	bruto	=	R.: R$ 17.800,99
c)	imposto	de	renda	=	R.: R$ 3.560,20
d)	montante	líquido	=	R.: R$ 314.240,79
e)	taxa	efetiva	líquida	no	período	=	R.: 4,75% a.p.
6�
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3.	 Uma	empresa	do	ramo	metalúrgico	pretende	aplicar	sobra	de	caixa	de	R$	5.000.000,00	
em	um	CDB	no	Banco	ZZZ	S.A.,	que	paga	17,5%	ao	ano	(base	360	dias),	por	30	dias	
corridos	e	correspondentes	a	21	dias	úteis.	 Suponha	que	o	Banco	XXX	S.A.	pague	
17%	ao	ano	(360	dias),	33	dias	corridos	e	correspondentes	a	22	dias	úteis.	A	alíquota	
de	Imposto	de	Renda	para	os	dois	casos	é	de	20%.
a)	Calcule	o	valor	bruto	dos	dois	casos
R.: Banco ZZZ R$ 5.067.648,61
R.: Banco XXX R$ 5.072.480,37
b)	Calcule	o	Imposto	de	Renda
R.: Banco ZZZ R$ 13.529,72
R.: Banco XXX R$ 14.496,07
c)	Taxa	efetiva	no	período
R.: Banco ZZZ 1,0823% a.p.
R.: Banco XXX 1,1597% a.p.
d)	Taxa	over	mensal
R.: Banco ZZZ 1,5383% a.m.o.
R.: Banco XXX 1,5727% a.m.o.
Abordaremos	a	seguir	a	matemática	financeira	como	ferramenta	de	análise	e	tomada	de	
decisão.
Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV)
Este	é	um	caso	típico	em	que	a	calculadora	HP-12C	é	muito	útil,	tendo	em	vista	que	o	
cálculo	da	taxa	interna	de	retorno	é	muito	complexo.
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EXEMPLO	Nº	40:	Determinar	a	IRR	e	NPV	dos	seguintes	fluxos	de	caixa.
nº Projeto	nº	1 Projeto	nº	2
0 R$	(50.000,00) R$	(50.000,00)
1 R$	5.000,00 R$	14.000,00
2 R$	6.000,00 R$	13.000,00
3 R$	7.000,00 R$	12.000,00
4 R$	8.000,00 R$	11.000,00
5 R$	9.000,00 R$	10.000,00
6 R$	10.000,00 R$	9.000,00
7 R$	11.000,00 R$	8.000,00
8 R$	12.000,00 R$	7.000,00
9 R$	13.000,00 R$	6.000,00
10 R$	14.000,00 R$	5.000,00
TIR 11,38%	a.a. 17,04	a.a.
C.OP 15%	a.a. 15%	a.a.
VPL (7.926,68) 3.283,28
Valor da prestação de leasing
EXEMPLO	Nº	41:	Uma	empresa	contrata	uma	operação	de	leasing	de	24	meses,	à	taxa	de	
juros	de	2,5%	ao	mês.	Calcule	o	valor	da	contraprestação,	sabendo	que	o	valor	do	ativo	
fixo	é	de	R$	50.000,00	e	que	o	valor	residual	garantido	final	é	de	1%.
�0
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Obs.:	Se	financiarmos	o	valor	de	R$	276,44	com	a	mesma	taxa	e	prazo,	encontraremos	o	
valor	de	R$	15,46.	Nesse	caso,	basta	adicioná-lo	ao	valor	da	contraprestação	sem	valor	re-
sidual	(R$	15,46	+	R$	2.780,18	=	R$	2.795,64)	para	encontrar	o	valor	da	contraprestação	
com	valor	residual	incluso.
Formação do preço de venda pelo conceito 
do valor atual
EXEMPLO	Nº	42:	Calcular	o	preço	de	venda	de	um	produto,	considerando	os	seguintes	
dados:
Custo	Direto R$	200,00
ICMS 18%
IPI 10%
PIS 0,65%
Cofins 3%
Margem	de	Contribuição 40%
�1
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Observações finais
Alguns	exercícios	foram	extraídos	ou	adaptados	das	seguintes	obras	(ver	referências	ao	
final	deste	livro):
SHINODA,	Carlos.	Matemática Financeira para usuários do Excel.
SOBRINHO,	José	Dutra	Vieira.	Matemática Financeira.
�2
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referênciaS bibliográficaS
aSSaF netO, alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo: 
atlas, 1992.
eWaLd, Luiz carlos. Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento. 
rio de Janeiro: Fundação getúlio Vargas, 1999.
Hazzan, Samuel e POmPeO, José Nicolau. Matemática financeira. 4ª edição. 
São Paulo: atual, 1993.
Puccini, abelardo de Lima. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6ª edição. 
São Paulo: Saraiva, 1999.
SHinOda, carlos. Matemática Financeira para usuário do Excel. São Paulo: 
atlas, 1998.
Vieira SObrinHO, José dutra. Matemática Financeira. 5ª edição. São Paulo: 
atlas, 1996.
Vieira SObrinHO, José dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C. 
1ª edição. São Paulo: atlas, 1985.