Álgebra Linear e Geometria Analítica Parte XI Cônicas

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Álgebra Linear e Geometria Analítica 
Bacharelados e Engenharias 
Parte XI – Cônicas 
 
Prof.a Tânia Preto 
Departamento Acadêmico de Matemática 
UTFPR - 2014 
 
 
Importante 
• Material desenvolvido a partir dos livros da 
referencia bibliográfica da disciplina e das 
notas de aulas dos Professores do 
DAMAT/UTFPR; 
• Seu estudo não substitui a consulta e estudo 
profundo dos conteúdos dos livros da 
referencia bibliográfica ! 
Bons estudos !!! 
Cônicas 
1. Introdução às Cônicas 
• Objetivo: entender as equações e seus gráficos; 
• Definição: Uma cônica em R2 é um conjunto de 
pontos cujas coordenadas satisfazem uma 
equação do segundo grau em x e y; 
• Forma geral: 
• Forma reduzida: 
 
 
• Cônicas: circunferência, elipse, parábola, 
hiperbóle. 
 
Cônicas 
1. Introdução às Cônicas (cont.) 
• As cônicas podem ser obtidas a partir de seções 
feitas em um cone: 
 
Cônicas 
1. Introdução às Cônicas (cont.) 
• As cônicas podem ser obtidas a partir de seções 
feitas em um cone (outro exemplo): 
 
Cônicas 
2. Circunferência 
• A equação de uma circunferência de raio r e 
centro no ponto C(0, 0) é dada por: x2+ y2 = r2 
Exemplo 1: Para r = 1, equação: x2+ y2 = 1 
 
Cônicas 
2. Circunferência 
• A equação de uma circunferência de raio r e 
centro no ponto C(x0, y0) é dada por: 
(x-x0)
2 + (y-y0)
2 = r2 
• Exemplo 2: (x-1)2 + (y-2)2 = 4 
 
Cônicas 
Exercício 1: Seja a seguinte cônica: 
(x-1)2 + (y-2)2 = 4 
a) Identifique o centro e o raio; 
b) Faça o desenho 
 
Exercício 2: Seja a seguinte cônica: 
x2 – 6x + y2 +4y + 12 = 0 
a) Identifique o centro e o raio; 
b) Faça o desenho 
 
Cônicas 
3. Elipse 
• Possui dois semieixos de medidas diferentes; 
• A circunferência é um caso especial de elipse 
quando os dois semieixos tem a mesma medida; 
• A equação de uma elipse de semieixos a e b e 
centro no ponto C(0, 0) é dada por: 
 
𝑥2
𝑎2
 + 
𝑦2
𝑏2
 = 1 
Exemplo 3: Para a=2 e b= 3, 
 equação: 
𝑥2
4
 + 
𝑦2
9
 = 1 
 
Cônicas 
3. Elipse (cont.) 
• A equação de uma elipse de semieixos a e b e 
centro no ponto C(x0, y0) é dada por: 
 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
 + 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
 = 1 
Exemplo 4: Para a=5, b= 2 e 
centro C(1,1) 
equação: 
(𝑥 −1)2
25
 + 
(𝑦 −1)2
4
 = 1 
 
Cônicas 
Exercício 3: Seja a seguinte cônica: 
 
 
a) Identifique o centro e as medidas dos semieixos; 
b) Faça o desenho. 
Exercício 4: Seja a seguinte cônica: 
 
a) Identifique o centro e o raio; 
b) Faça o desenho 
 
Cônicas 
3. Parábola 
• A equação geral pode ter duas formas: 
– Eixo de simetria paralelo ao eixo y: 
 Ax2 + By + C = 0 
– Eixo de simetria paralelo ao eixo x: 
 Ay2 + Bx + C = 0 
• Se o vértice da parábola estiver na origem, a 
equação pode ser reduzida à forma mais simples 
x2 = 2py ou y = ax2 (com a = 1/2p) 
Cônicas 
3. Parábola (cont.) 
Exemplo 5: Seja a parábola y2 - x = 1. O eixo de 
simetria é paralelo ao eixo x e a equação pode ser 
escrita como: x = y2 – 1. A parábola corta o eixo y 
nos pontos 1 e –1 (quando x = 0). 
 
Cônicas 
Exercício 5: Seja a seguinte cônica: y = 8x2 
a) Identifique o eixo de simetria; 
b) Identifique os pontos onde a cônica corta os 
eixos; 
c) Faça o desenho. 
Exercício 6: Seja a cônica: y = 2y2 – 4y – 2x -2 = 0 
a) Identifique o eixo de simetria; 
b) Identifique os pontos onde a cônica corta os 
eixos; 
c) Faça o desenho. 
 
Cônicas 
4. Hipérbole 
• Equação da hipérbole com centro na origem do 
sistema de 
coordenadas e 
eixo real em x 
 
𝑥2
𝑎2
 - 
𝑦2
𝑏2
 = 1 
As retas y= bx/a e 
y= - bx/a são as 
assíntotas e 
V1=(a, 0) e V2 =(-a, 0) 
são os vértices. 
 
 
 
Cônicas 
4. Hipérbole (cont.) 
• Equação da hipérbole com centro na origem do 
sistema de 
coordenadas e 
eixo real em y 
 
𝑦2
𝑏2
 - 
𝑥2
𝑎2
 = 1 
As retas y= bx/a e 
y= - bx/a são as 
assíntotas e 
V1=(0, b) e V2 =(0,-b) 
são os vértices. 
 
 
 
Cônicas 
4. Hipérbole (cont.) 
Exemplo 6: Seja a seguinte cônica: 
𝑥2
4
 - 
𝑦2
4
 = 1 
a = 2 e b = 2, logo V1=(2, 0) e V2 =(-2, 0) 
Assíntotas: y = 2x/2 e y = -2x/2  y = x e y = -x 
 
 
Cônicas 
4. Hipérbole (cont.) 
Exemplo 7: Seja a seguinte cônica: 
 𝑦2
4
 - 
𝑥2
9
 = 1 
a = 3 e b = 2, logo V1=(0, 2) e V2 =(0, -2) 
Assíntotas: y = 2x/3 e y = -2x/3 
 
Cônicas 
4. Hipérbole (cont.) 
• Equação da hipérbole com centro em C(x0, y0) 
na origem do sistema de C(x0, y0): 
– Eixo real paralelo aos eixos do x: 
 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
 - 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
 = 1 
– Eixo real paralelo aos eixos do y: 
 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
 - 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
 = 1 
 
 
Cônicas 
4. Hipérbole (cont.) 
Exemplo 8: Seja a seguinte cônica: 
9x2 – 4y2 -54x +8y + 113 = 0. Faça o desenho. 
Solução: completar os 
quadrados e colocar 
na forma padrão 
 
(𝑦 −1)2
9
 - 
(𝑥 −3)2
4
 = 1 
C = (3, 1), a = 2 e b = 3, 
logo V1=(3, 4) e V2 =(3, -2) 
 
Cônicas 
Exercício 7: Seja a seguinte cônica: 9x2-7y2-63 =0 
a) Identifique o eixo de simetria; 
b) Identifique o centro, os vértices e as assíntotas; 
c) Faça o desenho. 
Exercício 8: Seja a cônica: 
9x2- 4y2 - 54x + 8y - 113 = 0 
a) Identifique o eixo de simetria; 
b) Identifique o centro e os vértices; 
c) Faça o desenho. 
 
Cônicas 
Exercício 9: Seja a cônica: 
7x2- 9y2 + 28x + 54y - 116 = 0 
a) Identifique o eixo de simetria; 
b) Identifique o centro e os vértices; 
c) Faça o desenho.