AD1-Questao 2 -2020-1-Gabarito

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Gabarito da Questão 2 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2020-1
Questão 1 (2,5 pontos) Considere 4 conjuntos não vazios A, B, C e D, satisfazendo as seguintes
condições:
• ∀x ∈ A, x ∈ D ∧ x /∈ B
• ∀x ∈ C, x ∈ B ∧ x /∈ D
• ∃x ∈ B | x /∈ C ∧ x /∈ D
• ∃x ∈ D | x ∈ B
• ∃x ∈ D | x /∈ A ∧ x /∈ B
Represente, como diagrama de Venn, os conjuntos A, B, C e D que satisfaçam todas as condições
acima, de forma que, no diagrama, cada região representada (conjuntos, suas partes e interseções)
seja, necessariamente, não nula.
Solução: Vamos esboçar todas as configurações que satisfazem as condições, começando pela
primeira e acrescentando ou eliminando novas configurações, a partir das outras condições:
• ∀x ∈ A, x ∈ D ∧ x /∈ B
As configurações que satisfazem as condições estão esboçadas abaixo:
A = D −B
(Configuração 1) (Configuração 2)
(Configuração 3) (Configuração 4)
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2020-1 2
• ∀x ∈ C, x ∈ B ∧ x /∈ D
Para cada configuração acima, haverá duas possibilidades para o conjunto C, como mostrado
abaixo:
(Configuração 1A) (Configuração 1B)
C = B −D
(Configuração 2A) (Configuração 2B)
C = B −D
(Configuração 3A) (Configuração 3B)
(Configuração 4A) (Configuração 4B)
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2020-1 3
• ∃x ∈ B | x /∈ C ∧ x /∈ D
Esta condição diz que existe algum elemento de B que não pertence a C e nem a D, logo, as
condições 1B, 2B, 3B e 4B estão descartadas.
• ∃x ∈ D | x ∈ B
Esta condição diz que existe algum elemento de D que pertence a B, logo, as condições 3A
e 4A estão descartadas.
Assim, até agora restaram apenas as possibilidades abaixo:
(Configuração 1A) (Configuração 2A)
• ∃x ∈ D | x /∈ A ∧ x /∈ B
Esta condição diz que há um elemento de D que não pertence a A e nem a B. Assim, a
configuração 2A está descartada, testando apenas a possibilidade abaixo:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ