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Gabarito da Questão 2 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2020-1 Questão 1 (2,5 pontos) Considere 4 conjuntos não vazios A, B, C e D, satisfazendo as seguintes condições: • ∀x ∈ A, x ∈ D ∧ x /∈ B • ∀x ∈ C, x ∈ B ∧ x /∈ D • ∃x ∈ B | x /∈ C ∧ x /∈ D • ∃x ∈ D | x ∈ B • ∃x ∈ D | x /∈ A ∧ x /∈ B Represente, como diagrama de Venn, os conjuntos A, B, C e D que satisfaçam todas as condições acima, de forma que, no diagrama, cada região representada (conjuntos, suas partes e interseções) seja, necessariamente, não nula. Solução: Vamos esboçar todas as configurações que satisfazem as condições, começando pela primeira e acrescentando ou eliminando novas configurações, a partir das outras condições: • ∀x ∈ A, x ∈ D ∧ x /∈ B As configurações que satisfazem as condições estão esboçadas abaixo: A = D −B (Configuração 1) (Configuração 2) (Configuração 3) (Configuração 4) Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2020-1 2 • ∀x ∈ C, x ∈ B ∧ x /∈ D Para cada configuração acima, haverá duas possibilidades para o conjunto C, como mostrado abaixo: (Configuração 1A) (Configuração 1B) C = B −D (Configuração 2A) (Configuração 2B) C = B −D (Configuração 3A) (Configuração 3B) (Configuração 4A) (Configuração 4B) Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2020-1 3 • ∃x ∈ B | x /∈ C ∧ x /∈ D Esta condição diz que existe algum elemento de B que não pertence a C e nem a D, logo, as condições 1B, 2B, 3B e 4B estão descartadas. • ∃x ∈ D | x ∈ B Esta condição diz que existe algum elemento de D que pertence a B, logo, as condições 3A e 4A estão descartadas. Assim, até agora restaram apenas as possibilidades abaixo: (Configuração 1A) (Configuração 2A) • ∃x ∈ D | x /∈ A ∧ x /∈ B Esta condição diz que há um elemento de D que não pertence a A e nem a B. Assim, a configuração 2A está descartada, testando apenas a possibilidade abaixo: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ