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Departamento de Matemática Pura e Aplicada
MAT 01353 � Cálculo e Geometria Analítica IA
Lista 1 � Funções
1. Responda o que se pede :
a) Na grade abaixo, esboce f(x) = ln(x+ 1).
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
x
b) Usando os procedimentos vistos em aula, dê o domínio e a imagem da sua inversa, esboce-a
(na mesma grade).
c) Qual a fórmula de f−1? Calcule f−1(0).
2. Em uma praça, deseja-se construir um canteiro de 240 m2, circundado por um gramado, con-
forme mostra a �gura. Sabendo que o m2 da grama custa R$30,00, expresse o custo total
do gramado, em termos da medida x de um dos lados do canteiro. Atenção: A �gura é
meramente ilustrativa, não está em escala!
canteiro 5m5m
3m
3m
3. Sabendo que a função f(x) = log
3
(x− 2) possui uma função inversa, determine o número real
a para o qual f−1(a) = 11.
4. Uma empresa fabrica caixas com base retangular, sem tampa e com altura igual ao triplo de
uma das dimensões da base, a qual denotaremos por x. Se a área total de superfície de cada
caixa deve ser de 600cm2, expresse o volume V da caixa como função de x. Não esqueça de
indicar o domínio da função V.
5. Simpli�que a expressão e indique os valores de x para os quais sua simpli�cação é válida:
a) e− lnx b) ln(x ex) c) ex−lnx
d) sen (arcsen x
2
50
) e) cos(arctg x)
6. Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um rio reto
no quarto lado. Sabendo que o terreno está cercado com 1000 m de cerca, expresse a àrea do
campo retangular em função de um dos seus lados x. Não esqueça do domímio.
7. Considere f(x) = (x+ 1)3, para todo x real, cujo grá�co está esboçado abaixo.
a) Justi�que o fato de f ser invertível.
b) Determine f−1(x)
c) Faça um esboço do grá�co de f−1, no mesmo sistema de coordenadas dado.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
8. Considere uma caixa na forma de um paralelepípedo, cuja base (retangular) tem uma das
dimensões igual ao dobro da outra, e de forma que a soma de sua altura com o perímetro da
base seja de 600 cm. Determine a função que expressa o volume V de uma tal caixa, em termos
da medida x da menor dimensão da base. Atenção: Não esqueça de especi�car o domínio
da função.
9. Considere a função f(x) = 2 sen (x+ 4).
(a) Determine o domínio e a imagem da função f .
(b) Encontre um intervalo I de comprimento máximo, contendo o ponto x = 1, para o qual f
é invertível.
(c) Determine o valor de x que satisfaz f−1(x) = 2π − 4
10. Um terreno retangular deve ser dividido em quatro partes triangulares, conforme mostra a �-
gura, e cercado. Na parte exterior deste terreno será colocada uma cerca ao custo de R$ 25,00
o metro e, na parte interior do terreno, será colocada uma cerca que custa R$ 12,00 o metro.
Expresse o custo para colocar tais cercas num terreno
com área igual a 300 metros quadrados, em função da
dimensão do terreno indicada na �gura por x.
Atenção: Não esqueça de determinar o domínio da fun-
ção.
x
A �gura não está em escala!
11. Considere a função f , cujo grá�co está esboçado abaixo, de�nida por f(x) =

x
3
− 2, x ≤ 0,
1
3
x2, x > 0.
a) Justi�que o fato de f ser invertível.
b) Determine f−1(x), especi�cando seu
domínio.
c) Faça, no mesmo sistema de coordena-
das dado, um esboço do grá�co de f−1.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x
b
bc
12. Um terreno retangular dividido em 4 partes iguais conforme mostra a �gura, deve ser cercado
interna e externamente com dois tipos de cerca. A cerca externa custa 30 reais o metro linear,
enquanto que a interna custa 20 reais o metro.
Dispondo de 600 reais para custear tais cercas, escreva a
função f que fornece a área de um tal terreno em termos
da variável x, que mede um dos lados do terreno.
Atenção: Não esqueça de determinar o domínio de f .
A �gura é meramente ilustrativa, não está em escala!
x
13. Seja f(x) = −1
2
(x− 2)3, para todo x real, função invertível, cujo grá�co está esboçado abaixo.
a) Determine f−1(0)
b) Determine uma regra para f−1(x)
c) No mesmo sistema de coordenadas
dado, faça um esboço do grá�co de f−1.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
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MAT 01353 – Cálculo e Geometria Anaĺıtica IA
Lista 2 – Limites Básicos
1. Considere a função f definida por f(x) =









x2 − 16
4x− 16
, x > 4,
x2 − C, x < 4.
a) Determine o valor de C de modo que lim
x→4
f(x) exista.
b) Calcule lim
x→+∞
f(x)
2. Com base no gráfico abaixo, determine:
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
x
f
bc
bc
b
b
(a) lim
x→3−
f(x) =
(b) lim
x→3+
f(x) =
(c) Baseado nos itens anteriores responda se existe lim
x→3
f(x)
3. Abaixo temos o gráfico da função f .
a) Existe lim
x→3
f(x)? Justifique.
b) Existe lim
x→−1
f(x)? Justifique.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
x
bc
bc
b b
4. Calcule cada limite, justificando suas respostas.
a) lim
x→1+
1
x− 1
=
b) lim
x→−∞
1 + ex=
c) lim
x→0
f(x), onde f(x) =





ln(1 + x), x ≥ 0
−x3 − 6x2 + x, x < 0
5. Considere a função f definida por f(x) =











x2 + x− 2
2x− 2x2
, x > 1,
log3
(
1
2− x
)
, x < 1.
Calcule, caso exista. Justifique sua resposta no caso de não existir.
a) f(f(2))
b) lim
x→1
f(x)
c) lim
x→+∞
f(x)
6. Considere a função f definida por f(x) =











5
x− 1
, x < 1,
0, x = 1,
x3 − 3x2 + 2x
x2 − 1
, x > 1.
Calcule:
a) lim
x→1+
f(x)
b) lim
x→1−
f(x)
c) Com base nos itens anteriores, que se pode afirmar sobre lim
x→1
f(x)?
7. Sendo f(x) =
5x2 − 25
x−
√
5
, calcule:
a) lim
x→
√
5
f(x)
b) lim
x→−∞
f(x)
8. Calcule lim
x→4
x2 − 8x+ 16
x− 4
caso exista, ou justifique sua resposta, se não existir.
9. Calcule cada limite, usando os limites trigonométricos básicos e as identidades trigonométricas
necessárias.
a) lim
x→0
tan x
sen x
=
b) lim
x→π
2
cos2 x
1− sen x
=
c) lim
x→π
6
1− 2 cos(2x)
1− 2 sen x
=
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Lista 3 – Continuidade e Limites Especiais
1. Enunciado:
Com base no gráfico da função
f dado ao lado, determine se f
é cont́ınua nos pontos x = −2 e
x = 3. Justifique suas respostas.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
y
x
bc
bcb
b
2. Enunciado:
Com base no gráfico da função
f dado ao lado, determine se f
é cont́ınua nos pontos x = −2 e
x = 2. Justifique suas respostas.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
x
bc
3. Considere a função f(x) =
x2 − 2x− 3
x2 − 9 .
Caso existam, determine as asśıntotas verticais do gráfico de f . Justifique suas respostas e
obtenha a equação de cada asśıntota existente.
4. Considere a função f com domı́nio (−∞, π
2
] dada por
f(x) =











2 + arctan x, x ≤ 0,
4x
sen (x)
, x ∈ (0, π
2
].
Determine se a função f é cont́ınua em x = 0, justificando sua resposta.
5. Seja
f(x) =
{
x
2
cos(x)−1
, x 6= 0
k, x = 0
a) Se lim
x→0 f(x) existir, determine o seu valor.
b) É posśıvel definir k de tal forma que a função f(x) seja cont́ınua em x = 0? Justifique.
6. A função f definida abaixo é cont́ınua em x = 0? Justifique a resposta.
f(x) =



√
5x4 + 2 , x > 0
cos
(
x+
π
4
)
, x < 0
7. Seja f a função definida por
f(x) =









x3 + 2x2 + 3x+ 6
x+ 2
x < −2
k x = −2
14
2−
√
2+x
x > −2
Existe um valor para a constante k que torne a função f cont́ınua em −2? Justifique.
8. Seja f(x) = ex arctanx . Verifique se o gráfico de f possui asśıntotas horizontais e verticais.
Em caso afirmativo, determine a equação de cada uma delas.
9. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificandoas respostas.
a) ( ) Se existe o limite lim
x→a
f(x) então a função f é cont́ınua em x = a.
b) ( ) A função f(x) =
sen x
|x| não tem limite em x = 0.
c) ( ) A função f(x) =
1
1− 2 sen x é descont́ınua em x =
π
6
.
d) ( ) lim
x→−∞
√
x2 + 1
7x− 19 =
1
7
.
10. Seja f a função definida por
f(x) =









√
1 +
3
x2
x > 0
√
(x4 − 3x) − x2 x ≤ 0
O gráfico de f possui asśıntotas horizontais? Em caso afirmativo, determine a equação de cada
asśıntota horizontal encontrada. Justifique suas respostas.
11. Seja f(x) = arctan
|x|
x− 1. O gráfico de f possui asśıntotas horizontais? Em caso afirmativo,
determine a equação de cada asśıntota horizontal encontrada. Faça o mesmo para as verticais.
12. Decida se cada uma das equações abaixo possui solução real, justificando a sua resposta.
a) sen (x) + cos(x) = 2
b) sen (x) + cos(x) = 4/3
c) (desafio) log2(x
2 + 3) =
√
x
Respostas
1. Não é cont́ınua em x = −2, pois o limite lim
x→−2−
f(x) = 2 6= lim
x→−2+
f(x) = 0. É cont́ınua em
x = 3 pois lim
x→3 f(x) = 1 = f(3).
2. Não é cont́ınua em x = −2, pois −2 6∈ Dom(f). É cont́ınua em x = 2 pois lim
x→2 f(x) = f(2).
3. Existe uma asśıntota vertical em x = −3, porque o denominador tende a zero mas o numerador
não. Nos demais pontos não há asśıntota pois a função é cont́ınua em cada ponto.
4. Não pois, lim
x→0−
f(x) = 2 6= 4 = lim
x→0+
f(x).
5. Como lim
x→0
f(x) = 2 basta escolher k = 2 para ter continuidade.
6. Não, pois lim
x→0−
f(x) =
√
2
2
6=
√
2 = lim
x→0+
f(x).
7. lim
x→−2
f(x) = 7 logo f será cont́ınua em x = −2 se k = 7.
8. Como ex e arctan(x) são funções cont́ınuas em toda a reta temos f cont́ınua em toda a reta como
produto de funções cont́ınuas. Pela continuidade não existem asśıntotas verticais, e fazendo o
limite no infinito temos: lim
x→−∞
f(x) = 0 e lim
x→+∞
f(x) = +∞ portanto y = 0 é a única asśıntota
horizontal.
9. a)F, o ponto a poderia não pertencer ao domı́nio;
b)V, o limite à direita é +1 e à esquerda é −1, logo não há limite bilateral;
c)V, sen (π/6) = 1/2 que anula o denominador, logo não está no domı́nio de f ;
d)F, o limite vale −1/7.
10. Sim, lim
x→−∞
f(x) = 0 e lim
x→+∞
f(x) = 1 portanto y = 0 e y = 1 são as únicas asśıntotas horizontais.
11. Sim, lim
x→−∞
arctan
( |x|
x− 1
)
= −π
4
e lim
x→+∞
arctan
( |x|
x− 1
)
=
π
4
portanto y = −π
4
e y = π
4
são
as únicas asśıntotas horizontais.Não existem asśıntotats verticais pois no único ponto onde f
poderia não ser cont́ınua os limites laterais não são infinitos: lim
x→−1
arctan
( |x|
x− 1
)
= −π
2
e
lim
x→+1
arctan
( |x|
x− 1
)
=
π
2
.
12. a) Não há solução real pois as duas funções são menores ou iguais a 1 e para oter 2 ambam
teriam que valer 1 ao mesmo tempo;
b) Há solução, usando o teorema do valor intermediário, entre x = 0 e x = π
4
;
c) Há solução, usando o teorema do valor intermediário, entre x = 1 e x = 210.
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Lista 4 – Derivadas e Regras de Derivação
1. Considere a função polinomial definida por f(x) = x3 + x2 + kx − 1. Determine o valor de k
para que f tenha um único ponto de tangência horizontal.
2. Sabendo que a função f é tal que f(1+h)−f(1) = h5−3 sen (h) para todo h, determine f ′(1).
3. A equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto de coordenada x = −2 é paralela
a reta de equação 3y + 4x+ 6 = 0 e passa pela origem. Determine f(−2) e f ′(−2).
4. Considere a função f , definida no intervalo I = [−1, 5], dada pelo gráfico abaixo.
1) A função f é cont́ınua em x = 1? Justi-
fique a resposta.
2) A função f é diferenciável em x = 1?
Justifique a resposta.
3) Determine f ′(2). -1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
y
x
5. Considere a função f(x) =
−x
x2 + 1
definida nos reais.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a f(x) em x = 1.
b) Dê a equação da reta tangente ao gráfico neste ponto.
6. a) Seja f(x) =
(
x2 − 1
x2 + 5
)3
. Encontre todos os valores de x tais que f ′(x) = 0.
b) Seja f(x) = x2
√
5− x2 . Calcule f ′(1).
c) Seja f(x) =
sec(x)
1 + tan(x)
. Calcule f ′(π
4
).
d) Seja f(x) = (x3 + 2)4 cosx. Calcule f ′(0).
7. a) Seja f(x) = sen x. Calcule f (21)(x).
b) Seja f(x) = sen x− cosx. Calcule f ′′′(x).
c) Seja f(x) = 3 sen x cosx. Calcule f ′′(x).
8. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) =
√
5x4 + 4 em x = 1.
9. Considere a função f definida por f(x) =









2x2 + 2x− 12
x2 − 4 , x > 0, x 6= 2
0, x = 2
√
4− x, x < 0
Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (−5, f(−5)).
10. Combine o gráfico das funções mostradas em (A), (B), (C) e (D) com os de suas derivadas em
(1), (2), (3) e (4).
(A) (B) (C) (D)
(1) (2) (3)
(4)
11. Um avião, voando em linha reta a uma altitude de 8 km com velocidade constante de 340 km/h,
passou diretamente acima de um observador. Qual é a taxa de variação da distância entre o
observador e o avião quando o avião está a 17 km do observador?
12. Gás escapa de um balão esférico à razão de 4m2/h. Determine a taxa de variação do raio
quando sua medida é de 1m, indicando a unidade apropriada.
13. Uma part́ıcula move-se ao longo da curva de equação y =
√
1 + x3 , no primeiro quadrante.
Quando a part́ıcula atinge o ponto (2, 3), a coordenada y está crescendo a uma taxa de 4cm/s.
A que taxa estará variando a coordenada x do ponto naquele instante?
14. Um menino parado mantém uma pandorga a uma altura fixa de 12m. O vento sopra horizon-
talmente, deslocando-a a uma velocidade de 5m/s.
Com que velocidade o menino solta a linha, quando
a pandorga está a 20m dele? Indique as unidades
na resposta.
pandorga
menino
b
b
15. Um tanque cônico tem uma altura de 3m e um raio de 2m no topo. Suponha que o tanque
seja enchido de água a uma taxa de 2m3/min. A que velocidade sobe o ńıvel da água quando
estiver a 2m?
16. Uma viatura de poĺıcia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto,
está perseguindo um carro que, no cruzamento, toma a direção leste.
Quando a viatura está a 8km ao norte do cruzamento
e o carro fugitivo a 6km a leste, o radar da poĺıcia de-
tecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está
aumentando a 23km/h. Se a viatura está se deslocando
a 80km/h no instante desta medida, qual é a velocidade
do carro fugitivo neste instante? Indique as unidades na
resposta.
poĺıcia
fugitivo
b
b
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MAT 01353 – Cálculo e Geometria Anaĺıtica IA
Lista 5 – Derivadas Impĺıcitas e L’Hôpital
1. Considere a função f(x) = ln(x2 + 1) definida nos reais. Dê a equação da reta tangente ao
gráfico de f(x) no ponto x = 0.
2. Considere a função f(x) =
x8 + 3
x2 + 1
cos4(x) definida nos reais. Dê a equação da reta tangente ao
gráfico de f(x) no ponto x = 0.
3. Considere a função y = f(x) definida implicitamente por cos(x+ y) = xy, encontre a derivada
dy
dx
.
4. Em cada item faça o que se pede.
a) Encontre
dy
dx
por derivação impĺıcita para a curva xy + cos y = x3 + y.
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 + e2x em (0, f(0)).
c) Determine lim
x→0
(
1 + 5x
)−3/x
.
5. Considere a equação cos (3x+ y) = y2 senx, que define implicitamente y como função de
x, e o ponto P =
(
0,
π
2
)
.
a) Mostre que P satisfaz a equação dada.
b) Determine
dy
dx
no ponto P .
6. Considere a curva C de equação ln (y2 − 8) = x3y − 3, que define implicitamente y como
função de x. Considere também o ponto P = (1, 3) .
a) Mostre que P é um ponto da curva C.
b) Determine
dy
dx
, em termos de x e y.
c) Obtenha uma equação para a reta tangente à curva C no ponto P.
7. Em cada item faça o que se pede.
a) Encontre
dy
dx
por derivação impĺıcita para a curva xy + y2 = arctan(x3).
b) Determine a equaçãoda reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 + ln(ex) em (1, f(1)).
c) Determine lim
x→0
(
cos(x)
)2/x
.
8. Calcule os limites abaixo, utilizando, sempre que necessário, a regra de L’Hôpital.
a) lim
x→0
x3
1− cos(x)
b) lim
x→0
(1 + sen (x))3/x
c) lim
x→0
ex − 1
sen (x)
d) lim
x→0+
(
tan(x)
)x/2
e) lim
x→0
(
ex + x
)4/x
.
f) lim
x→0
(1 + sen(x))
1
3x
9. A função g(x) =
ln (x4 + 1)
x
possui asśıntotas horizontais? Quais?
10. Seja f(x) = 20
(
x− 1
ex
)
. Verifique se o gráfico de f possui asśıntotas horizontais. Em caso
afirmativo, determine a equação de cada uma delas.
11. Seja f(x) = x3 e
(−x/2)
, x ∈ R.Determine se o gráfico de f possui asśıntotas horizontais.
Em caso afirmativo, determine sua(s) equação(ões).
12. Considere a função f(x) = x3 lnx. Calcule lim
x→0+
f(x)
13. Considere a função f(x) =
(lnx)3
x
. Calcule lim
x→∞
f(x).
14. Considere a função real f(x) = (π/2− arctanx) (5x+ 3). Utilize os limites lim
x→−∞
f(x) e
lim
x→+∞
f(x) para determinar as asśıntotas horizontais do gráfico de f(x), se existirem.
15. A reta de equação x = 3 é asśıntota vertical do gráfico da função f(x) =
ln (x3 − 3x2 − x+ 4)
x2 − 9
?
16. Calcule o limite abaixo
lim
x→0
x3 ln(x+ 4).
A reta x = 0 é uma asśıntota vertical? E x = −4?
Respostas
1. A equação é y = 0x+ 0 = 0.
2. A equação é y = 0x+ 3 = 3.
3.
dy
dx
= −y + sen (x+ y)
x+ sen (x+ y)
4. a)
dy
dx
=
3x2 − y
x− sen (y)− 1
b) y = 2x+ 1
c) 1
e15
.
5. a) cos(3.0 + π
2
) = 0 = (π
2
)2sen (0).
b)−3− π2
4
.
6. a) ln(9− 8) = 0 = 133− 3.
b)
dy
dx
=
3x2y(y2 − 8)
−x3y2 + 8x3 + 2y
.
c)
dy
dx
|
(1,3)
=
9
5
e y = 9
5
x+ 6
5
é a reta tangente.
7. a)
dy
dx
=
3x2 − y(1 + x6)
(1 + x6)(x+ 2y)
.
b) y = 3x− 1.
c) 1.
8. a) 0.
b) e3.
c) 1.
d) 1.
e) e8.
f) e1/3.
9. Sim, y = 0 para x → ±∞.
10. Sim, y = 0 é asśıntota horizontal para x → +∞. Não há asśıntota horizontal para x → −∞.
11. Sim, y = 0 é asśıntota horizontal para x → +∞. Não há asśıntota horizontal para x → −∞.
12. lim
x→0+
f(x) = 0.
13. lim
x→+∞
f(x) = 0
14. Sim, y = 5 é asśıntota horizontal para x → +∞. Não há asśıntota para x → −∞.
15. A reta x = 3 não é asśıntota vertical do gráfico de f .
16. lim
x→0
x3 ln(x + 4) = 0 logo a reta x = 0 não é asśıntota vertical do gráfico de f . Por outro
lado, a reta x = 0 é asśıntota vertical do gráfico de f pois o limite é infinito neste ponto
( lim
x→−4
x3 ln(x+ 4) = +∞).
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Lista 6 – Aplicações de Derivadas
1. Seja f(x) = (x2−6x+9) ex . Determine os intervalos nos quais f é crescente, aqueles nos quais
é decrescente e, se existirem, os extremos relativos de f .
2. Dada a função
f(x) =
ex
(x− 4)2
determine os intervalos onde o gráfico de f é crescente e aqueles nos quais o gráfico de f é
decrescente.
3. Esboce o gráfico de f(x) =
x2
x2 − 4
, indicando seus principais elementos, ráızes, crescimento,
concavidade, inflexão, extremos, asśıntotas, etc.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
4. Seja f(x) = ln(4x2 + 1).
a) Calcule f ′(x).
b) Determine o(s) ponto(s) cŕıtico(s) de f(x).
c) Determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de f é crescente e também o(s) intervalo(s) onde
o gráfico de f é decrescente.
d) Encontre os pontos de máximo e/ou mı́nimo relativos (locais), caso existam.
e) Calcule f ′′(x), determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de f é côncavo para cima, o(s)
intervalo(s) onde o gráfico de f é côncavo para baixo e, caso exista(m), o(s) ponto(s) de
inflexão.
f) Na grade abaixo, esboce o gráfico de f usando os resultados dados e os resultados obtidos
nesta questão. (assuma ln(2) = 0.7)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
y
x
5. Ao lado, temos o gráfico da DERIVADA f ′ de uma função f, definida e cont́ınua no intervalo
[−1, 10].
Justificando sempre suas respos-
tas, determine se cada afirmação
é verdadeira (V) ou falsa (F):
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x
Gráfico de f ′b
b
a) ( ) f é crescente no intervalo (3, 5) .
b) ( ) x = 2 é ponto de mı́nimo relativo de f.
c) ( ) A reta T , tangente ao gráfico de f no ponto (0, f(0)), tem coeficiente angular mT > 1.
d) ( ) Q = (4, f(4)) é ponto de inflexão de f.
e) ( ) O gráfico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo [−1, 2].
6. Considere a função g(x) = ln (x2 − 2x+ 3) .
a) Determine os intervalos nos quais g é crescente e aqueles nos quais é decrescente.
b) Com base no item a), determine os máximos e os mı́nimos relativos de g, caso existam.
c) Com base nos itens anteriores, identifique, entre as opções abaixo, os gráficos de g e g′.
O gráfico de g é o da figura .... abaixo e o gráfico de g′ é o da figura .... abaixo.
1 2−1−2
y
x
Figura A
1 2−1−2
y
x
Figura B
1 2−1−2
y
x
Figura C
7. Seja f(x) =
x3
4x− 8
.
a) Verifique se o gráfico de f possui asśıntotas horizontais e verticais. Em caso afirmativo,
determine a equação de cada uma delas.
b) Determine os intervalos nos quais f é crescente, aqueles nos quais é decrescente e, se
existirem, os extremos relativos de f .
c) Usando a tabela ao lado, determine os in-
tervalos nos quais a concavidade do gráfico de f
é voltada para cima, aqueles nos quais a conca-
vidade é para baixo e, se existirem, os pontos de
inflexão do gráfico de f.
intervalo sinal f ′′
x < 0 +
0 < x < 2 −
2 < x +
d) Usando as informações obtidas nos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
8. Na grade abaixo, esboce o gráfico de UMA função f que satisfaça a TODAS as condições a
seguir
a) f ′(x) < 0 para todo x ∈ (0,+∞);
b) f ′(x) > 0 para todo x ∈ (−∞,−2) e x ∈ (−2, 0);
c) f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (−2, 3);
d) f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (−∞,−2) e x ∈ (3,+∞);
e) lim
x→±∞
f(x) = −1;
f) f(0) = 5 e −2 6∈ Dom(f).
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x
9. Uma armação de arame, que consiste em dois quadrados idênticos cujos vértices são ligados
por quatro fios retos de mesmo comprimento (veja figura), delimita um volume de 1000cm3.
Determine as dimensões da armação que utiliza a menor quantidade de arame na sua construção.
10. Considere a função f(x) =
−x
x2 + 1
definida nos reais. Determine o valor de x onde a inclinação
da reta tangente a f(x) é mı́nima.
11. Considere a função polinomial definida por f(x) = x3 + x2 + kx− 1.
a) Determine o valor de k para que f tenha um único ponto cŕıtico.
b) Com o valor de k determinado em a), verifique se esse único ponto cŕıtico é de máximo local,
de mı́nimo local ou de inflexão.
c) Determine os valores máximo e mı́nimo globais (absolutos) de f no intervalo [−2, 1].
12. Quais os extremos absolutos da função g(x) = x− 2 sen x, no intervalo 0 ≤ x ≤ π?
13. Um retângulo R é inscrito em um triângulo retângulo de lados 6 cm e 8 cm.
Qual deve ser a medida dos lados do retângulo para que a sua
área seja a maior posśıvel? Qual o valor da área máxima? OBS:
Especifique o domı́nio da função obtida.
6
8
R
14. Determine os pontos de máximo e mı́nimo absolutos da função
f(x) = arctan(x2 − 2x), no intervalo I = [0, 2].
15. Para uma festa de aniversário, os confeitos de chocolate devem ser colocados em uma caixa
retangular de vidro, sem tampa, de base quadrada, com a capacidade de 500 cm3. Encontre as
dimensões da caixa que pode ser constrúıda usando a menor quantidade de vidro.
16. Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma
cerca reforçada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto que o lado restantes recebem uma cerca
padrão de R$ 2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser
cercado com R$ 6.000,00 ?
17. Um pedaço de arame medindo100 cm é dividido em duas peças e cada uma é dobrada para
formar um quadrado. Determine o comprimento de cada lado de cada quadrado de forma que
a soma das suas áreas seja mı́nima.
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Lista 7 – Antiderivadas e Integrais Básicas
1. Sabendo que F ′(x) = x
√
4− x2 , determine a função F que satisfaz F (1) = 4.
2. Determine y(x), sabendo que
dy
dx
=
x+ 1
√
x
, para todo x > 0 real, e que y(1) =
2
3
.
3. Calcule
a)
∫
x3
√
2 + 5x4
dx
b)
∫
x3 − 3x2
5x2
+ 4
√
x dx
c)
∫
4x2 − 2x+ 5
√
x
dx
d)
∫
sec2(2− t) dt
e)
∫
sec(
√
x) tg (
√
x)
√
x
dx
f)
∫
sen 5(2x+ 3) cos(2x+ 3) dx
g)
∫
sen (ln x)
x
dx
4. Um carro andando a uma velocidade de 84 m/s começa a diminuir sua velocidade a uma taxa
constante de 14m/s2. Depois de quantos segundos o carro para e qual a distância percorrida
antes de parar? Dica: Considere t = 0 o instante em que a velocidade é de 84 m/s e começa a
diminuir.
5. Em cada ponto (x, y) de uma curva, a inclinação da reta tangente é igual ao quadrado da
distância entre o ponto e o eixo y. Determine a equação da curva, sabendo ainda que o ponto
(−1, 2) está na curva.
6. Calcule as seguintes integrais:
a)
∫
4
0
3x
√
25− x2 dx; b)
∫
e
2
e
ln x
x
dx; c)
∫
3x
25− x2
dx; d)
∫
x3ex
4
dx.
7. O gráfico da função f, desenhado ao lado, é formado por um arco da função cosseno e por
segmentos de reta.
a) Calcule
∫ π
2
−
π
2
f (x) dx.
b) Usando fórmulas de Geometria, calcule
∫ 3π
2
π
2
f (x) dx.
c) A afirmação
∫ 3π
2
−
π
2
f (x) dx > 0 é verda-
deira? Justifique.
y
x
−
π
2
π
π
2
3
π
2
−1
8. Considere a função f, definida para −2 ≤ x ≤ 6, cujo gráfico está ao lado.
Sabendo que
f (x) =
1
2
(
4− x2
)
, para− 2 ≤ x ≤ 2
e que área (R) = 4, calcule
a)
∫
2
−2
f (x) dx;
b)
∫
6
−2
f (x) dx.
R
−2 6
y
x
9. Usando fórmulas apropriadas de geometria e considerando f a função cujo gráfico é dado ao
lado, calcule:
a)
∫
2
−2
f(x)dx
b)
∫
4
1
f(x)dx
f
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
x
y
10. Na figura ao lado, está desenhado o gráfico da função f, constitúıdo por dois semi-ćırculos de
raio 1 e um semi-ćırculo de raio 2.
Com base nesta figura, responda (a) e (b) abaixo.
(a)Usando as propriedades das integrais e fórmulas
apropriadas de geometria, determine
∫
6
0
f(x) dx.
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
0
1
2
3
y
x
(b) É correto afirmar que
∫
6
−2
f(x) dx = 0 ? Justifique sua resposta.
11. Calcule o valor de
∫
3
0
x e(x
2
−2) dx e
∫
27
1
(
5ex +
x
3
√
x
)
dx.
12. Mostre que
∫
ab
1
dt
t
=
∫
a
1
dt
t
+
∫
b
1
dt
t
, para a, b > 0. Conclua que ln(ab) = ln(a) + ln(b). Dica:
separe a integral nos intervalos de 1 até a e de a até ab, depois aplique uma substituição na
segunda integral.
13. Para cada x ∈ [−3, 6], seja
G(x) =
∫
x
−2
h(t)dt,
onde h é a função cujo gráfico é dado ao lado. h
1
2
−1
−2
1 2 3 4 5 6−1−2−3
x
y
Em cada caso, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
( ) G(−3) < 0.
( ) G é decrescente no intervalo (−2, 1) .
( ) G ′(2) = G ′(4).
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Lista 8 – Métodos de integração e aplicações
1. Calcule as integrais abaixo escolhendo um método adequado:
a)
∫
x3
√
4 + x2
dx
b)
∫
tan5(x) sec3(x) dx
c)
∫
−3x2 + x+ 2
x3 + 2x2 + x
dx
d)
∫
dx
(4 + x2)
3
2
e)
∫
x3 ln(2x) dx
f)
∫
2
√
2
0
x3
√
16− x2
dx
g)
∫
3x+ 2
x3 + x2
dx
h)
∫
dx
x2
√
16− x2
i)
∫
x2 cos(3x) dx
j)
∫
√
4− x2 dx
2. Em cada caso decida se a integral imprópria converge ou diverge, e caso convirja encontre seu
valor.
a)
∫
+∞
1
ln(x)
x2
dx
b)
∫
+∞
1
8x3
(x4 + 2)3
dx
c)
∫
+∞
e
6
x (ln x)3
dx
d)
∫
+∞
2
xe−2x dx
e)
∫
+∞
1/2
x−3 ln (2x) dx
f)
∫
0
−∞
ex
8 + ex
dx
3. Siga o roteiro:
a) Determine
∫
1
x2(x− 2)
dx, usando uma técnica de integração.
b) Justifique que
∫
2
1
1
x2(x− 2)
dx é uma integral imprópria.
c) Determine
∫
2
1
1
x2(x− 2)
dx.
4. Na figura ao lado, estão representadas as curvas
y = x2 e y = (x− 4)2 .
a) Calcule a área da região sombreada.
b) Escreva e calcule uma integral (ou soma de in-
tegrais) que fornece o volume do sólido obtido
quando giramos a região sombreada em torno do
eixo y.
1
2
3
4
1 2 3 4 5−1
x
y
5. Na figura ao lado, estão representadas as curvas
y = 4− (x− 2)2 e y = x.
a) Calcule a área da região hachurada A.
b) Escreva e calcule uma integral (ou soma de
integrais) que fornece o volume do sólido ob-
tido quando giramos a região hachurada B
em torno do eixo x.
A
B
1
2
3
4
1 2 3 4 5−1
x
y
6. No sistema de coordenadas abaixo, estão desenhadas as curvas de equações
xy = 4, x = 3 e y = 4 e também está hachurada a região R.
a) Calcule a área da região R.
-1 0 1 2 3 4 5
-1
0
1
2
3
4
5
6
R
x
y
b) Calcule o volume do sólido S obtido quando a região R gira em torno do eixo y (eixo vertical).