APOSTILA CONJUNTOS

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TEORIA DOS CONJUNTOS
De uso corrente em Matemática, a noção básica de conjunto não é definida, ou seja, é aceita intuitivamente e, por isso, é chamada noção primitiva. Ela foi utilizada primeiramente por Georg Cantor (1845-1918), matemático nascido em São Petersburgo, mas que passou a maior parte de sua vida na Alemanha. Segundo Cantor, a noção de conjunto designa uma coleção de objetos bem definidos e discerníveis, chamados elementos do conjunto.
Pretendemos aqui introduzir alguns conceitos que também consideramos primitivos:
- conjunto: designado, em geral, por uma letra maiúscula (A, B, C, ..., X, Y, Z);
- elemento: designado, em geral, por uma letra minúscula (a, b, c, ..., x, y, z);
- pertinência: a relação entre elemento e conjunto, denotada pelo símbolo , que se lê “pertence a”.
* NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO
A representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.
1 ( Listagem dos Elementos
Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais. O tipo de representação abaixo é conhecido como representação tabular.
Exemplos: 
a) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:
A = {verde, amarelo, azul, branco}
b) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {a, e, i, o, u}
c) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2 ( Uma Propriedade de seus elementos
A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.
Exemplos:
a) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}
b) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
3 ( Diagrama de Venn
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.
Exemplo: Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto.
* RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:
Caso contrário, dizemos que a não pertence a A e escrevemos a A.
Exemplo: Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}
O algarismo 2 pertence ao conjunto A, então: 2 A.
O algarismo 7 não pertence ao conjunto A, então: 7 A.
( ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. Indique se cada um dos elementos – 4 ; ; 3 e 0,25 pertence ou não a cada um destes conjuntos.
A = {x | x é um número inteiro}
B = {x | x < 1}
C = {x | 15x – 5 = 0}
D = {x |- 2 ≤ x ≤ }
02. Considerando que F = {x | x é estado do sudeste brasileiro} e G = {x | x é capital de um país sulamericano}, quais das sentenças seguintes são verdadeiras?
a) Rio de Janeiro F
b) México G
c) Lima G
d) Montevidéu G
e) Espírito Santo F
f) São Paulo F
03. Se H = {-1, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um dos conjuntos seguintes enumerando seus elementos.
A = {x | x H e x < 1}
B = {x | x H e }
C = {x | x H e x é um quadrado perfeito}
D = {x | x H e x < 0}
04. Represente, na forma tabular, os seguintes conjuntos:
a) A = {x Z | -3 ≤ x ≤ 3}
b) B = {x Z | x2 = 9}
c) C = {x N | x2 = 9}
d) D = { x N | 9 ≤ x < 100}
e) E = {x N | x > 54} 
05. Represente, na forma de diagrama, os seguintes conjuntos:
a) A = {x N | 2 < x ≤ 12}
b) B = {x N | 4 < x < 8}
06. Escreva o conjunto expresso pela propriedade:
a) x é um número natural par.
b) x é um número natural múltiplo de 5 e menor que 31.
c) x é um quadrilátero que possui 4 ângulos retos.
07. Escreva uma propriedade que define o conjunto:
a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
b) {0, 2, 4, 6}
* SUBCONJUNTOS - Relação de Inclusão
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte simbologia:
Obs.: Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:
O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:
Exemplos:
Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Importante ( A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.
Exemplo 1: Considerando P o conjunto dos números naturais pares e N o conjunto dos números naturais, temos:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
E
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Neste caso P 
Ì
 N, pois todos os elementos de P pertencem a N.
Representação por diagrama:
Exemplo 2: Se A é o conjunto dos retângulos e B é o conjunto dos quadriláteros, então A 
Ì
 B, pois todo retângulo é um quadrilátero.
Representação por diagrama:
Exemplo 3:Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e C = {0, 2, 5}, temos:
a) 
A 
Ì
 B, pois todo elemento de A pertence a B;
C 
Ë
 A, pois 5 
Î
 C e 5 
Ï
 A;
B 
É
 C, pois todo elemento de C pertence a B.
b) Um diagrama de Venn que representa os conjuntos A, B e C é o seguinte:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
08. Sejam A = { x 
Î
 N | x é número par compreendido entre 3 e 15}, B = { x 
Î
 N | x é um número par menor que 15} e C = {x 
Î
 N | x é um número par diferente de 2}. Usando os símbolos 
Ì
 ou 
Ë
, relacione entre si os conjuntos:
a) A e B
b) A e C
c) B e C
09. Dado os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(
) A 
Ì
 B
(
) C 
Ì
 A
(
) B 
Ì
 D
(
) D 
Ì
 B
(
) C 
Ë
 A
(
) A 
Ì
 D
10. Considere que:
· A é o conjunto dos números naturais ímpares menores do que 10;
· B é o conjunto dos dez primeiros números naturais;
· C é o conjunto dos números primos menores do que 9.
Use os símbolos 
Ì
 ou 
Ë
 e relacione esses conjuntos na ordem dada:
a) A e B
b) C e A
c) C e B
d) A e C
11. Represente na forma de diagrama, os silogismos:
a) * Todo retângulo é paralelogramo.
 * Todo paralelogramo é quadrilátero.
 * Então, todo retângulo é quadrilátero.
b) * Todo aluno pertence a uma classe.
 * Toda classe pertence a uma escola.
 * Então, todo aluno pertence a uma escola.
12. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
a) algum atleta é celta;
b) nenhum atleta é celta;
c) nenhum atleta é bondoso;
d) alguém que seja bondoso é celta;
e) ninguém que seja bondoso é atleta.
13. São dados os conjuntos A = {x | x é um número ímpar positivo} e B = {y | y é um número inteiro e 0 < y ≤ 4}. Determine o conjunto dos elementos z, tais que z 
Î
 B e z 
Ï
 A.
14. Considere as premissas: P1 – Algum A é B. P2 – Nenhum C é B. Se P1 e P2 são verdadeiras então, é necessariamente verdadeiro que:
a) Algum A é C.
b) Algum C é A.
c) Nenhum A é C.
d) Nenhum C é A.
e) Algum A não é C.
* CONJUNTOS ESPECIAIS
Embora conjunto nos ofereça a ideia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum.
- Conjunto Unitário: Chamamos de conjunto unitárioaquele formado por um só elemento.
Exemplos:
1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}
2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}
3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}
- Conjunto Vazio: Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio, considerando um conjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.
Exemplo: Conjunto das raízes reais da equação: 
x2 + 1 = 0 
O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas: 
Æ
 ou { }. Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por 
{}
Æ
, pois estaríamos apresentando um conjunto unitário cujo elemento é o 
Æ
.
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
- Conjunto Universo: Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.
Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido.
Exemplo: A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
15. Classifique como conjunto vazio ou conjunto unitário, considerando o universo dos números naturais:
a) A = { x | x é menor do que 1}
b) B = {x | x é maior do que 10 e menor do que 11}
c) C = {x | x é par maior do que 3 e menor do que 5}
d) D = {x | x é primo maior do que 7 e menor do que 11}
e) E = {x | x + 7 = 4}
f) F = {x | x < 0}
g) G = { x | 5x = 60}
16. Considerando U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} como conjunto universo, determinar o conjunto solução de:
a) {x 
Î
 U | x + 4 = 2}
b) {x 
Î
 U | 3x = 5}
* CONJUNTO DAS PARTES
Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
1( Determinação do Conjunto de partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:
1º) Subconjunto vazio: 
Æ
 , pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.
3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.
4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Assim, o conjunto das partes do  conjunto  A  pode ser apresentado da seguinte forma:  P(A) = { 
Æ
, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}.
2 ( Número de Elementos do conjunto de partes
Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja, o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os elementos do conjunto P(A). 
Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de se supor, pelo uso da relação apresentada, que P (A) = 23 = 8, o que de fato ocorreu.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
17. Dados A = {0,1} e B = {1, 3, 5}, determine:
a) P(A)
b) P(B)
c) o número de elementos de P(A)
d) o número de elementos de P(B)
18. Se P(A) tem 64 elementos, quantos elementos tem o conjunto A?
19. Dados os conjuntos X = {1, 2, 3, 4}, Y = {0, 2, 4, 6, 8} e Z = {0, 1, 2}:
a) Determine todos os subconjuntos de X que têm três elementos cada um.
b) Dê três exemplos de subconjuntos de Y, cada qual com quatro elementos.
c) Determine o conjunto P(Z).
* IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. 
Veja o exemplo abaixo:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Por isso, convencionamos não repetir elementos de um conjunto.
Observação 1: Se o conjunto A está contido em B (A  B) e B está contido em A (B  A), podemos afirmar que A = B.
Observação 2: Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A ≠ B.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
20. Obtenha x e y de modo que: {0, 1, 2} = {0, 1, x} e {2, 3} = {2, 3, y}.
21. (Unirio-RJ) Sendo x e y números tais que {1, 2, 3} = {1, x, y}, pode-se afirmar que:
a) x = 2 e y = 3
b) x + y = 5
c) x < y
d) x ≠ 2
e) y ≠ 2 
* OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
- União de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, a união (ou reunião) é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B. E é indicado por 
AB
È
 (lê-se: A união B ou A reunião B). Representamos a união de dois conjuntos da seguinte forma:
Exemplo: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, calcular 
AB
È
.
Sol.: 
AB
È
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}
Graficamente, temos:
Observe que os elementos comuns não são repetidos.
- Intersecção de Conjuntos: Dados dois conjuntos A e B, a intersecção é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B. E é indicado por 
AB
Ç
 (lê-se: A intersecção B ou, simplesmente, A inter B). Representamos a intersecção de dois conjuntos da seguinte forma:
Exemplo 1: Sendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9}, determinar 
AB
Ç
.
Sol.: 
AB
Ç
 = {3, 5, 8}, apenas os elementos comuns a A e B.
Graficamente:
Exemplo 2: Calcule 
MN
Ç
 onde M = {2, 3, 5} e N = {4, 6}.
Sol.: 
MN
Ç=Æ
, não há elementos comuns. Nesse caso, dizemos que os conjuntos são disjuntos.
- Diferença de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, podemos determinar um conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Esse conjunto é chamado diferença entre A e B e indicado por A – B, que se lê “A menos B”. Assim, define-se:
A – B = {x | x 
Î
 A e x 
Ï
 B}
Graficamente, temos:
Exemplo 1: Calcular A – B, sabendo que A = {3, 4, 6, 8, 9} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 10}.
Sol.: A – B = {3, 8, 9}, elementos que estão em A mas não estão em B.
Graficamente:
Exemplo 2: Sendo A = {1, 3, 5} e B = {0, 1, 3, 5, 6}, calcule A – B. 
Sol.: A – B = 
Æ
 , não existe elemento de A que não pertença a B.
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
22. Dados os conjuntos A = {p, q, r}, B = {r, s} e C = {p, s, t}, determine os conjuntos:
a) A 
È
 B
b) A 
È
 C
c) B 
È
 C
d) A 
Ç
 B
e) A 
Ç
 C
f) B 
Ç
 C
23. Sendo A, B e C os conjuntos dados no exercício anterior, determine:
a) (A 
Ç
 B) 
È
 C
b) A 
Ç
 B 
Ç
 C
c) (A 
Ç
 C) 
È
 (B 
Ç
 C)
d) (A 
È
 C) 
Ç
 (B 
È
 C)
24. Dado U = {- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}, sejam A = {x 
Î
 U | x < 0}, B = {x 
Î
 U | - 3 < x < 2} e C = { x 
Î
 U | x ≥ 1}.
a) A 
Ç
 B 
Ç
 C
b) A 
È
 B 
È
 C
c) C 
È
 (B 
Ç
 A)
d) (B 
È
 A) 
Ç
 C
25. Sabendo que A 
Ç
 B = {2, 5}, B = {2, 5, 9} e A 
È
 B = {2, 3, 5, 8, 9}, represente os conjuntos A e B por meio de um diagrama.
26. Represente os conjuntos A = {1, 2, 3, 5, 12}, B = {1, 2, 7, 8, 11} e C = {2, 4, 5, 8, 9} por meio de um diagrama. A seguir, hachure a região que representa (A 
È
 C) 
Ç
 B.
27. Para avaliar a quantidade de pessoas que se mantêm em postos de trabalho na população de uma pequena cidade, foi realizada uma pesquisa cujos resultados são apresentados na tabela a seguir.
Em relação ao conjunto universo U das pessoas entrevistadas nessa pesquisa, considere os conjuntos: A = {x 
Î
 U | x é empregado}, B = {x 
Î
 U | x é aposentado}, C = {x 
Î
 U | x é desempregado}, D = {x 
Î
 U | x é do sexo feminino}, E = {x 
Î
 U | x é do sexo masculino} e F = {x 
Î
 U | x é aprendiz}. Calcule o número de elementos de cada um dos conjuntos M, N, P e R.
a) M = {x 
Î
 U | x 
Î
 A ou x 
Î
 B}
b) N = A 
È
 B
c) P = {x 
Î
 U | x 
Î
 C e x 
Î
 D}
d) Q = C 
Ç
 D
e) R = E 
Ç
 (B 
È
 F)
28. Considerando o conjunto universo U = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e dados A = {x 
Î
 U | x ≤ 3}, B = {x 
Î
 U | x é ímpar} e C = {x 
Î
 U | - 2 ≤ x < 1}, determine:
a) A – C
b) C – B
c) (A 
Ç
 C) – Bd) C 
È
 (A – B)
29. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique:
a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então A 
È
 B tem 7 elementos.
b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, então A 
Ç
 B tem 2 elementos.
c) Se A 
Ç
 B = 
Æ
, A tem 5 elementos e B tem 4 elementos, então A 
È
 B tem 9 elementos.
30. Qual a região do diagrama representa peixes com caudas azuis e barbatanas amarelas que brilham no escuro, mas não vivem em água fria?
NOME: _________________________________________________________
TURMA: ___________
DATA: ____/____/____		PROF(ª).: ROBSON AIRES FRANÇA
TEMA; CONJUNTOS
a pertence a A e escrevemos a � A
< (é menor que)
> (é maior que)
≤ (é menor ou igual a)
≥ (é maior ou igual a)
{ } ou � (conjunto vazio)
�(“para todo” ou “para qualquer que seja)
� (pertence)
� (não pertence)
�(existe)
� (está contido)
� (não está contido)
�(contém)
| (tal que)
Se A tem n elementos, P(A) tem 2n elementos.
Criado em 16/02/20. p. 5
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