Apostila de matemática financeira

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Índice 
 
AULA 1 Juros 3 
 
AULA 2 Descontos 7 
 
AULA 3 Equivalência de capitais 11 
 
AULA 4 Taxas de juros 13 
 
AULA 5 Rendas certas ou anuidades 15 
 
AULA 6 Amortizações 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 1 
 
Juros 
A operação básica da matemática financeira 
é o empréstimo. Alguém dispõe de um valor C 
(chamado de capital inicial) e empresta esse 
capital a outro alguém por um certo período de 
tempo e, após esse período, recebe o seu 
capital inicial de volta acrescido de uma 
remuneração pelo empréstimo, essa 
remuneração é chamada de juro, indicado pela 
letra J. O capital inicial somado ao juro é 
chamado de montante, representado pela letra 
M, assim, 𝑀 = 𝐶 + 𝐽. A razão entre o juro e o 
capital inicial é a taxa de juros, indicada pela 
letra i, logo, 𝑖 =
𝐽
𝐶
. 
Considere uma pessoa que tomou um 
empréstimo de R$ 100,00 e após 2 meses 
devolveu R$ 140,00. Os juros pagos por essa 
pessoa são de R$ 40,00 e a taxa de juros é de 
40
100⁄ = 0,4 = 40% ao bimestre. O capital 
inicial, que é a dívida inicial, é R$ 100,00 e o 
montante, que é a dívida na época de 
pagamento, é de R$ 140,00. 
Quando o empréstimo é feito para ser pago 
em mais de um período de tempo, o juro é 
calculado a cada período e existem duas 
possibilidades para isso, os juros simples e os 
juros compostos. 
 
Juros simples 
 
O juro simples é aquele que só existe nos 
exercícios de matemática, não existe no mundo 
real. Ocorre quando a taxa de juros incide a 
cada período sempre sobre o capital inicial, 
dessa maneira, o juro de cada período é igual, e 
o juro total é o juro de um período multiplicado 
pela quantidade de períodos, logo: 
𝐽 = 𝐶𝑖𝑡 
onde C é o capital inicial, i é a taxa de juros em 
razão centezimal ou índice e t é o tempo, que 
deve estar na mesma unidade que a taxa de 
juros, ou seja, se a taxa for mensal, o tempo 
deve estar em meses, se a taxa for bimestral, o 
tempo deverá estar em bimestres, e assim por 
diante. Caso seja necessário fazer alguma 
conversão, converta sempre tempo e não a 
taxa. Para conversões de tempo aqui na 
matemática financeira, 1 ano corresponde a 12 
meses, 1 mês corresponde a 30 dias e 1 ano 
tem 360 dias. Bimestre, trimestre, quadrimestre 
e semestre, correspondem, respectivamente, a 
2, 3, 4 r 6 meses. 
 
Exemplo 1: 
 
 Um empréstimo de R$ 100,00 a uma taxa de 
juros simples de 10% ao mês, irá gerar qual 
montante após 1 ano? 
 
A cada mês, será calculado 10% sobre 100 
reais que é o capital inicial, gerando 10 reais de 
juros por mês, que em 12 meses gera um juro 
total de 120 reais. Com a fórmula: 
𝐽 = 𝐶𝑖𝑡 
𝐽 = 100 ∙ 0,1 ∙ 12 
𝐽 = 120 reais 
Como a questão pede o montante após 1 
ano, temos: 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
𝑀 = 100 + 120 
𝑀 = 220 reais 
 
Juros compostos 
 
Os juros compostos são aqueles que de fato 
existem no mundo real, quando não se diz qual 
é o juro em questão, trata-se dele. É quando o 
cálculo dos juros em cada período é feito sobre 
o valor da dívida naquele momento e não 
sempre sobre o valor inicial da dívida como nos 
juros simples. 
Por exemplo, vejamos o que acontece num 
empréstimo de R$ 100,00 que será pago em 3 
meses a uma taxa de juros compostos de 10% 
ao mês. 
No 1º mês, o juro será de 10% sobre 100 que 
é a dívida inicial, o que resulta 10, ficando o 
montante em 110. Já no 2º mês, o juro de 10% 
não será sobre 100, e sim sobre o 110, o 
montante nesse período, ou seja, a dívida no 
momento, resultando 11 de juro passando o 
montante a 121. E no 3º mês, teremos 10% 
sobre 121, que é 12,1 ficando o montante em 
R$ 133,1; que é o valor final da dívida. 
Para trabalhar com juros compostos de taxa 
i, temos uma fórmula que nos fornece como um 
capital inicial (C) transforma-se em um montante 
(M) após t períodos de tempo. A fórmula é a 
seguinte: 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 
onde a taxa de porcentagem i deve estar em 
índice e o tempo precisa estar na mesma 
unidade da taxa de juros. Da mesma maneira 
que no juro simples, caso seja necessário fazer 
alguma conversão, converta sempre o tempo 
para ficar na unidade da taxa de juros, é mais 
fácil, pois converter taxas não é tão simples, 
veremos isso em uma aula mais a frente. 
 
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Exemplo 2: 
 
 Pedro investe 150 reais a juros de 10% ao 
mês. Qual será o montante de Pedro um 
trimestre depois? 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 
𝑀 = 150(1 + 0,1)3 
𝑀 = 150(1,1)3 
𝑀 = 150 ∙ 1,331 
𝑀 = 199,65 reais 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 - (Unimontes-MG) Um investidor aplicou a 
quantia de R$ 5.000,00 em um fundo de 
investimento que opera no regime de juros 
simples. Após 12 meses, esse investidor 
verificou que o montante era de R$ 6500,00. 
Qual é a taxa de juros desse fundo de 
investimento? 
 
a) 0,025% ao mês 
b) 2,5% ao mês 
c) 2,4% ao mês 
d) 0,24% ao mês 
 
 
 
2 - (SEFAZ-MT - FGV) O número de meses 
necessários para que um investimento feito na 
poupança triplique de valor (assumindo que 
esta remunere à taxa de 6% ao ano, no 
regime de juros simples) é de 
 
a) 34 
b) 200 
c) 333 
d) 400 
e) 500 
 
 
 
3 - (FGV) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de 
juros composto de 20% a.m. irá gerar, após 4 
meses, o montante de: 
 
a) R$ 10.358,00 
b) R$ 10.368,00 
c) R$ 10.378,00 
d) R$ 10.388,00 
e) n.r.a. 
4 - Determine em aproximadamente quanto 
tempo um capital triplica, no regime de 
capitalização composta à uma taxa de 20% a.m. 
(considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48) 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – (ESPM 2015) Um capital, aplicado à taxa de 
juros simples de 5% ao mês, vai triplicar o seu 
valor em: 
a) 3 anos e 6 meses 
b) 3 anos e 8 meses 
c) 3 anos 
d) 3 anos e 2 meses 
e) 3 anos e 4 meses 
 
 
 
2 - (Banco do Brasil - FCC) Um capital de R$ 
10.500,00 foi aplicado a juros simples. 
Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 
42% ao ano, então, não tendo sido feito 
qualquer depósito ou retirada, o montante de 
R$ 11.725,00 estará disponível a partir de 
quanto tempo da data de aplicação? 
 
a) 4 meses 
b) 3 meses e 20 dias 
c) 3 meses e 10 dias 
d) 3 meses 
e) 2 meses e 20 dias 
 
 
 
3 - (Petrobrás – Cesgranrio - 2015) As 
operadoras de cartões de crédito, em geral, 
cobram 12% ao mês por atrasos no 
pagamento. No caso de atra- sos superiores a 
1 mês, o sistema utilizado é o de juros 
compostos e, no caso de atrasos inferiores a 1 
mês, utiliza-se o sistema de juros simples. O 
vencimento da fatura de um cliente é no dia 5, 
mas ele só receberá o pagamento de seu 
salário no dia 15 do mesmo mês, quando, 
então, fará o pagamento da fatura com atraso 
de 10 dias. Se a fatura desse cliente é de 
R$ 900,00, quanto ele pagará, em reais, de 
juros? 
 
a) 108 
b) 72 
c) 36 
d) 18 
e) 12 
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4 - (TRT - FCC) Na compra de um par de 
sapatos, Lucimara pode optar por duas formas 
de pagamento: à vista, por R$ 225,00 ou R$ 
125,00 no ato da compra mais uma parcela de 
R$ 125,00, um mês após a compra. Se 
Lucimara optar por fazer o pagamento 
parcelado, a taxa mensal de juros simples 
cobrada nesse financiamento é de 
 
a) 10% b) 20% c) 25% d) 27% e) 30% 
 
 
 
5 - (Petrobrás - Cesgranrio) Um 
equipamento pode ser adquirido com o 
pagamento de uma entrada de 30% do valor à 
vista e mais uma prestação de R$ 1.386,00 
para 60 dias. Se a taxade juros simples 
cobrada no financiamento é de 5% ao mês, o 
valor à vista, em reais, é 
 
a) 1800 b) 2000 c) 2100 d) 2200 e) 2500 
 
 
 
6 - (TRT – FCC) Dois capitais, apresentando 
uma soma igual a R$ 40.000,00, são 
aplicados sob o regime de capitalização 
simples. O primeiro capital é aplicado, durante 
9 meses, a uma taxa de 12,0% ao ano. O 
segundo capital é aplicado, durante 10 meses, 
a uma taxa de 14,4% ao ano. Se, no final dos 
respectivos prazos de aplicação, o valor do 
montante da segunda aplicação supera o 
valor do montante da primeira aplicação em 
R$ 11.650,00, então a soma dos valores dos 
juros correspondentes das duas aplicações é, 
em reais, igual a 
 
a) 4350 
b) 4500 
c) 3650 
d) 3400 
e) 4000 
 
 
 
 
7 - (TCE-PR - FCC) Um capital no valor de R$ 
18.000,00 é aplicado durante 8 meses a juros 
simples, com uma taxa de 18% ao ano. No 
final do período, o montante é resgatado e 
aplicado a juros compostos, durante um ano, 
a uma taxa de 5% ao semestre. A soma dos 
juros das duas aplicações é igual a 
 
a) R$ 4.012,30 
b) R$ 4.026,40 
c) R$ 4.176,00 
d) R$ 4.226,40 
e) R$ 5.417,10 
 
 
 
8 - (FGV) Uma pessoa deposita R$ 50.000,00 
na caderneta de poupança. Trimestralmente, 
são creditados juros de 10% sobre o saldo. Se 
não houver retirada intermediária, quanto ela 
receberá de juros após 1 ano? 
 
 
 
9 - (TRE-PR - FCC) Um capital é aplicado a 
juros compostos, durante um ano, com uma 
taxa de 4% ao semestre. O valor dos juros 
desta aplicação foi igual a R$ 1.020,00. Caso 
este capital tivesse sido aplicado a juros 
compostos, durante dois anos, com uma taxa 
de 10% ao ano, então o montante no final 
deste período apresentaria um valor igual a 
 
a) R$ 15.125,00 
b) R$ 15.000,00 
c) R$ 14.750,00 
d) R$ 14.500,00 
e) R$ 14.225,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 - (CAIXA) O montante gerado por uma instituição financeira, em uma aplicação no regime de juros 
compostos, é R$ 5.000,00, em 10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxa de juros é constante, o 
valor aplicado é, em reais, de, aproximadamente 
 
a) 1.950 b) 3.100 c) 3.400 d) 3.950 e) 4.100 
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GABARITO 
 
1-e) 
2-c) 
3-c) 
4-c) 
5-a) 
6-a) 
7-d) 
8) R$ 23.205,00 
9-a) 
10-e) 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 2 
 
Descontos 
 
O desconto é uma compensação recebida 
por alguém que antecipa o pagamento de uma 
dívida. Aqui nos descontos, trabalharemos 
com alguns conceitos novos. 
O valor da dívida na data de vencimento 
chama-se valor nominal ou valor de face (N), 
o valor pago com antecipação é o valor atual 
(A), temos ainda a taxa de juros aplicada na 
operação de desconto (i) e o período de 
antecipação do pagamento (t), que 
corresponde ao intervalo de tempo que vai da 
data do pagamento antecipado até a data do 
vencimento. 
Existem basicamente dois tipos de 
desconto, o desconto racional (por dentro), e 
o desconto comercial ou bancário (por fora), 
ambos podem ser aplicados em juros simples 
(desconto simples) ou juros compostos 
(desconto composto). 
 
Desconto racional (por dentro) 
 
Nos juros, vimos como um capital inicial se 
transforma em um montante, ou seja, levamos 
um valor do presente para o futuro. No 
desconto racional, a diferença é que vamos 
fazer o inverso, traremos um valor de uma 
data futura encontrando o valor 
correspondente em uma data atual. 
 
Desconto racional simples 
 
É o desconto racional que ocorre no regime 
de juros simples. 
Na aula de juros, vimos que um capital 
inicial C aplicado a uma taxa de juros simples, 
gera um juro 𝐽 = 𝐶𝑖𝑡. Somando esse juro ao 
capital inicial encontramos o montante: 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 
𝑀 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑡 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑡) 
Ou seja, em juros simples, para obter o 
valor futuro (montante), basta multiplicar o 
valor atual ou presente (capital inicial) por 
(1 + 𝑖𝑡). Já se quisermos o valor presente 
dado um valor futuro, temos que dividir o valor 
futuro por (1 + 𝑖𝑡). Basta isolar o C da 
equação: 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑡) 
𝐶 =
𝑀
(1 + 𝑖𝑡)
 
Dessa maneira, chegamos na fórmula que 
fornece o valor atual de uma dívida em certa 
data, dado seu valor nominal, sua data de 
vencimento e a taxa de juros simples: 
𝑨𝒓 =
𝑵
(𝟏 + 𝒊𝒕)
 
Já o desconto, corresponde ao valor 
nominal menos o valor atual: 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
Podemos escrever então: 
𝐷 = 𝑁 −
𝑁
(1 + 𝑖𝑡)
 
𝐷 =
𝑁(1 + 𝑖𝑡) − 𝑁
(1 + 𝑖𝑡)
 
𝐷 =
𝑁[(1 + 𝑖𝑡) − 1]
(1 + 𝑖𝑡)
 
𝑫𝒓 =
𝑵𝒊𝒕
(𝟏 + 𝒊𝒕)
 
Assim, o desconto racional simples pode 
ser encontrado mesmo sem o valor atual. 
 
Exemplo 1: 
 
 Um título de valor nominal R$ 600.000,00 é 
descontado 2 meses antes de seu 
vencimento à taxa de juros simples de 
2% a.m.. Qual o desconto racional 
concedido? 
𝐷𝑟 =
𝑁𝑖𝑡
(1 + 𝑖𝑡)
 
𝐷𝑟 =
600000 ∙ 0,02 ∙ 2
(1 + 0,02 ∙ 2)
 
𝐷𝑟 =
24000
1,04
 
𝐷𝑟 = 23706,92 
O desconto racional foi de R$ 23.706,92. 
 
Desconto racional composto 
 
No desconto racional composto, a ideia é a 
mesma do desconto racional simples, a 
diferença é que agora tudo acontece no 
regime de juros compostos. 
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No juro composto, temos 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡, significa que agora, para obter 
o valor fututo, multiplica-se o atual por 
(1 + 𝑖)𝑡. E para obter o valor atual basta 
dividir o valor futuro por (1 + 𝑖)𝑡, observe: 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 
𝐶 =
𝑀
(1 + 𝑖)𝑡
 
Logo, no desconto racional composto, o 
valor atual é dado por: 
𝑨𝒓 =
𝑵
(𝟏 + 𝒊)𝒕
 
E o desconto ficará: 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
𝑫𝒓 = 𝑵 −
𝑵
(𝟏 + 𝒊)𝒕
 
 
Exemplo 2: 
 
 Um título de valor nominal igual a 
R$ 10.000,00 é resgatado 2 meses antes de 
seu vencimento, segundo o critério do 
desconto racional composto. Sabendo que a 
taxa de juros é 5 % a.m., qual o valor atual 
do título e o desconto obtido nessa 
operação? 
𝐴𝑟 =
𝑁
(1 + 𝑖)𝑡
 
𝐴𝑟 =
10000
(1,05)2
 
𝐴𝑟 =
10000
1,1025
 
𝐴𝑟 = 9070,29 reais 
O desconto é 
𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
𝐷 = 10000 − 9070,29 
𝐷 = 929,70 reais 
 
Desconto comercial (por fora) 
 
O desconto comercial ou bancário ou ainda 
por fora, é o desconto aplicado sobre o valor 
nominal da dívida. Da mesma maneira que o 
desconto racional, pode ser simples ou 
composto. 
Desconto comercial simples 
 
A cada período de antecipação será 
calculado o desconto sobre o valor nominal, 
assim, o desconto de cada período é igual, e o 
desconto total é dado por: 
𝑫𝒄 = 𝑵𝒊𝒕 
O valor atual corresponde ao valor nominal 
menos o desconto: 
𝐴 = 𝑁 − 𝐷 
𝐴𝑐 = 𝑁 − 𝑁𝑖𝑡 
𝑨𝒄 = 𝑵(𝟏 − 𝒊𝒕) 
Exemplo 3: 
 
 (Banco do Brasil – FCC) Uma duplicata foi 
descontada em R$ 700,00 pelos 120 dias de 
antecipação. Se foi usada uma operação de 
desconto comercial simples, com a utilização 
de uma taxa anual de desconto de 20%, o 
valor atual do título era de: 
 
a) R$ 7.600,00 
b) R$ 8.200,00 
c) R$ 9.800,00 
d) R$ 10.200,00 
e) R$ 10.500,00 
 
Para encontrar o valor atual precisamos do 
nominal: 
𝐷𝑐 = 𝑁𝑖𝑡 
700 = 𝑁 ∙ 0,2 ∙
1
3
 
2100 = 0,2𝑁 
𝑁 =
21000
0,2𝑁 = 10500 
Logo: 
𝐴 = 10500 − 700 
𝐴 = 9800 
Gabarito: C. 
 
 
Desconto comercial composto 
 
No desconto comercial composto, os 
descontos são sucessivos a cada período de 
antecipação, e não sempre sobre o valor 
nominal como no desconto comercial simples. 
 
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O valor atual é dado por: 
𝑨𝒄 = 𝑵(𝟏 − 𝒊)
𝒕 
Sabemos que 𝐷 = 𝑁 − 𝐴, então podemos 
ter ainda o valor do desconto como: 
𝑫𝒄 = 𝑵 − 𝑵(𝟏 − 𝒊)
𝒕 
 
Exemplo 4: 
 
 Um título de valor nominal igual a 
R$ 5.000,00 é resgatado 2 meses antes do 
vencimento, segundo o critério do desconto 
comercial composto. Sabendo-se que a taxa 
de desconto é de 3% a.m, qual o valor atual 
e o valor do desconto? 
 
Valor atual: 𝐴𝑟 = 𝑁(1 − 𝑖)
𝑡 
𝐴𝑟 = 5000(1 − 0,03)
2 
𝐴𝑟 = 5000(0,97)
2 
𝐴𝑟 = 5000 ∙ 0,9409 
𝐴𝑟 = 4704,5 reais 
Desconto: 𝐷 = 𝑁 − 𝐴 
𝐷 = 5000 − 4704,5 
𝐷 = 295,5 reais 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 - (Caixa - Cespe) Se, ao descontar uma 
promissória com valor de face de R$ 5.000,00 , 
seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e 
se o prazo dessa operação for de 2 meses, 
então a taxa mensal de desconto simples por 
fora será igual a 
 
a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% 
 
 
 
2 - (Banco do Brasil - Cespe) Uma dívida, 
contraída à taxa de juros compostos de 2% ao 
mês, deverá ser paga em 12 meses. No 
vencimento, o valor total a ser pago é de 
R$ 30.000,00, no entanto, o devedor quer 
quitá-la dois meses antes do prazo. Nessa 
situação, de acordo apenas com as regras de 
matemática financeira, o credor deverá 
conceder ao devedor um desconto superior a 
R$ 2.000,00. 
( ) Certo ( ) Errado 
EXERCÍCIOS 
 
1 - (Banco do Brasil) Um título com valor de 
face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu 
vencimento, é descontado em um banco que 
utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa 
de desconto simples “por fora”, de 5% ao mês. 
O valor presente do título, em reais, é 
 
a) 860 b) 850 c) 840 d) 830 e) 820 
 
 
 
2 - (Banco do Brasil - FCC) Um título de 
valor nominal igual a R$ 25.000,00 foi 
descontado por uma empresa 40 dias antes 
de seu vencimento, segundo a operação de 
desconto comercial simples, à taxa de 
desconto de 3% ao mês. Considerando a 
convenção do ano comercial, a empresa 
recebeu, no ato da operação, 
 
a) R$ 24.000,00 
b) R$ 23.850,00 
c) R$ 23.750,00 
d) R$ 23.500,00 
e) R$ 22.500,00 
 
 
 
3 - (Banco do Brasil – FCC) Uma duplicata no 
valor de R$ 6.900,00 foi resgatada 3 meses 
antes de seu vencimento. Considerando que a 
taxa anual de desconto comercial simples foi de 
48%, então, se o valor atual dessa duplicata era 
X reais, é correto afirmar que 
 
a) X ≤ 5 700 
b) 5 700 < X ≤ 5 800 
c) 5 800 < X ≤ 5 900 
d) 5 900 < X ≤ 6 000 
e) X > 6 000 
 
 
 
4 - (Receita Federal - ESAF) O valor nominal 
de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto 
racional composto, caso a antecipação seja 
de dez meses. Sabendo-se que o valor atual 
da dívida (valor de resgate) é de R$ 
200.000,00, então o valor nominal da dívida, 
sem considerar os centavos, é igual a: 
 
a) R$ 230.000,00 
b) R$ 250.000,00 
c) R$ 330.000,00 
d) R$ 320.000,00 
e) R$ 310.000,00 
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5 - Um título de valor nominal igual a 
R$ 25.200,00 é descontado 75 dias antes de 
seu vencimento e seu valor atual é igual a 
R$ 24.444,00. Sabe-se que a operação foi a 
de desconto comercial simples e utilizou-se a 
convenção do mês comercial. A taxa anual de 
desconto desta operação foi de 
 
a) 14,4% 
b) 15,6% 
c) 16,8% 
d) 18,0% 
e) 19,2% 
 
 
 
6 - (Caixa - Cespe) Se, ao descontar uma 
promissória com valor de face de R$ 5.000,00 , 
seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e 
se o prazo dessa operação for de 2 meses, 
então a taxa mensal de desconto simples por 
fora será igual a 
 
a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% 
 
 
 
7 - (TCDF) Uma empresa estabelece um 
contrato de “leasing” para o arrendamento de 
um equipamento e recebe como pagamento 
uma promissória no valor nominal de 
R$ 1.166,40, descontada dois meses antes de 
seu vencimento, à taxa de 8% a.m. Admitindo-
se que foi utilizado o sistema de capitalização 
composta, o valor do desconto racional será de: 
 
a) R$ 194,09 
b) R$ 186,62 
c) R$ 166,40 
d) R$ 116,64 
 
 
 
8 - (ANP - Cesgranrio) A Empresa Vista 
Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A 
uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 
120 dias de prazo, a uma taxa de desconto 
composto de 2,5% ao mês. Com base nos 
dados acima e considerando o ano comercial, 
nos cálculos, o valor líquido creditado pelo 
Banco na conta corrente da empresa, em 
reais, foi 
 
a) 28 888,08 
b) 28.808,88 
c) 27.062,61 
d) 26.062,12 
e) 26.026,21 
 
9 - (Caixa - Cesgranrio) Um título de valor 
nominal R$ 24.200,00 será descontado dois 
meses antes do vencimento, com taxa 
composta de desconto de 10% ao mês. 
Sejam D o valor do desconto comercial 
composto e d o valor do desconto racional 
composto. A diferença D - d, em reais, vale 
 
a) 399,00 
b) 398,00 
c) 397,00 
d) 396,00 
e) 395,00 (M) (t) 
 
 
 
10 - Uma duplicata de valor nominal de 
R$ 10.000,00 foi resgatada 3 meses antes do 
seu vencimento, pelo regime de desconto 
comercial composto. Tendo sido contratada à 
taxa de 10% ao mês, qual é valor atual do título 
na época do resgate e qual foi o desconto 
comercial composto concedido? 
 
 
 
GABARITO 
 
1-b) 
2-a) 
3-e) 
4-b) 
5-a) 
6-d) 
7-c) 
8-e) 
9-b) 
10) A = R$ 7.290,00 e D = R$ 2.710,00 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 3 
 
Equivalência de capitais 
 
No fundo sempre trabalhamos com o mesmo 
problema na matemática financeira: deslocar 
quantias no tempo. Já vimos como fazer isso 
nos juros e nos descontos racionais, agora 
vamos aplicar em alguns problemas 
interessantes. 
Capitas equivalentes, no regime de 
capitalização composta, são capitas que quando 
transportados para uma mesma época, resultam 
valores iguais. Por exemplo, se a taxa de juros 
for de 10% ao mês, 100 reais hoje é equivalente 
a 110 reais daqui um mês, que é equivalente a 
121 reais daqui 2 meses. 
Então, é muito importante a época a qual 
está relacionada uma quantia, não podemos 
comparar valores que estão em épocas 
diferentes. 
 
Exemplo: 
 
 Pedro tem três opções de pagamento na 
compra de um certo produto. 
 
1) à vista, com 30% de desconto; 
2) em duas prestações mensais iguais, sem 
desconto, vencendo a primeira um mês após 
a compra; 
3) em três prestações mensais iguais, sem 
desconto, vencendo a primeira no ato da 
compra. 
 
Qual a melhor opção para Pedro, se o 
dinheiro vale, para ele, 25% ao mês ? 
 
Fixando o preço do produto em 120, temos 
os três esquemas abaixo: 
 
 
 
Para comparar, precisamos determinar o 
valor dos três conjuntos de pagamentos na 
mesma época, (por exemplo, na época zero). 
A primeira opção contém um único 
pagamento que já está nessa época, 84. 
Na segunda opção, temos um pagamento de 
60 que precisa voltar um período e outro 
pagamento de 60 que deve voltar dois períodos, 
logo: 
60
1 + 0,25
+
60
(1 + 0,25)2
= 48 + 38,4 = 86,4 
E na terceira opção, um pagamento de 40 já 
está na época zero, outro deve retornar um 
período e o terceiro pagamento precisa retornar 
dois períodos: 
40 +
40
(1 + 0,25)
+
40
(1 + 0,25)2
 
= 40 + 32 + 25,6 
= 97,6 
Concluímos que a melhor opção para Pedro 
é a primeira, à vista, com 30% de desconto, e a 
pior opção é em três parcelas. 
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
1 - Paulo tomou um empréstimo de 300 reais, a 
juros de 15% ao mês. Doismeses após, Paulo 
pagou 150 reais e, um mês após esse 
pagamento, Paulo liquidou seu débito. Qual o 
valor desse último pagamento? 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1 - (TST - FCC) Determinada empresa possui 
as seguintes dívidas: 
 
 R$ 40.800,00 que vence em 30 dias. 
 R$ 62.424,00 que vence em 60 dias. 
 
Caso a empresa decida pagar as suas dívidas 
antecipadamente e o credor cobre 2% de 
juros compostos ao mês, o valor a ser 
desembolsado será de 
 
a) R$ 101.200,00 b) R$ 101.159,52 
c) R$ 100.000,00 d) R$ 99.927,04 
e) R$ 99.911,04 
 
 
 
2 - (TST - FCC) Uma pessoa deve 
R$ 2.040,00 a um amigo. Propõe-se a pagar 
o valor total da dívida em duas prestações de 
valores iguais, vencíveis em 30 e 60 dias, 
respectivamente. Sabendo que a taxa de 
juros compostos estipulada pelo amigo é de 
4% ao mês, o valor das parcelas a serem 
pagas é, em reais, de 
 
a) 1.103,23 b) 1.101,60 c) 1.081,60 
d) 1.060,80 e) 1.020,00 
 
 
 
3 - (TRT - FCC) Para comprar um carro, 
Maria realiza uma pesquisa em 3 Instituições 
Financeiras e obtém as seguintes propostas 
de financiamento: 
 
Instituição A: Entrada de R$ 7.900,00 + 1 
prestação de R$ 8.240,00 para 30 dias após a 
entrada. 
 
Instituição B: Entrada de R$ 7.800,00 + 1 
prestação de R$ 8.487,20 para 60 dias após a 
entrada. 
 
Instituição C: Entrada de R$ 7.652,80 + 2 
prestações de R$ 4.243,60 para 30 e 60 dias 
após a entrada. 
 
Sabendo que a taxa de juros compostos é de 
3% ao mês, a proposta de financiamento 
 
a) da instituição A é a melhor 
b) da instituição B é a melhor 
c) da instituição C é a melhor 
d) das instituições A e C são equivalentes 
e) das instituições A, B e C são equivalentes 
4 - Sr. José deseja adquirir um caminhão e, 
para tal, realiza uma pesquisa junto a 3 
concessionárias especializadas que lhe 
oferecem as seguintes condições de 
financiamento: 
 
Concessionária Alfa: Entrada de R$ 
25.100,00 + 1 prestação de R$ 15.600,00, 
com vencimento para 30 dias após a entrada. 
 
Concessionária Gama: Entrada de R$ 
20.100,00 + 1 prestação de R$ 21.632,00, 
com vencimento para 60 dias após a entrada. 
 
Concessionária Beta: Entrada de R$ 
30.000,00 + 2 prestações R$ 5.408,00, com 
vencimentos para 30 e 60 dias após a 
entrada. 
 
Sabendo que a taxa de juros compostos 
cobrada pelas três concessionárias é de 4% 
ao mês, a melhor condição de financiamento 
é a oferecida pela concessionária 
 
a) Alfa 
b) Alfa e pela concessionária Gama 
c) Alfa e pela concessionária Beta 
d) Gama e pela concessionária Beta 
e) Beta 
 
 
 
5 - Um produto custa R$ 100,00 à vista, mas 
o comprador deseja pagá-lo a prazo. A menor 
taxa de juros compostos mensal compreende 
efetuar o pagamento 
 
a) em um mês em uma parcela única de R$ 
110,00. 
b) em dois meses em uma parcela única de R$ 
125,00. 
c) de R$ 50,00 à vista e R$ 56,00 em uma única 
parcela que vence em um mês. 
d) de R$ 30,00 à vista e R$ 80,00 em uma única 
parcela que vence em um mês. 
e) de R$ 53,00 em uma parcela que vence em 
um mês e outra de R$ 56,18 que vence em dois 
meses. 
 
 
 
GABARITO 
 
1-c) 
2-c) 
3-c) 
4-b) 
5-e) 
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AULA 4 
 
Taxas de juros 
 
Um erro muito comum é pensar que juros de 
12% ao mês, por exemplo, equivalem a juros de 
12 x 12% = 144% ao ano. Isso não ocorre 
porque vivemos em um universo de juros 
compostos, 12% ao mês equivalerá em um ano, 
a aproximadamente 290%. 
Se a taxa de juros relativamente a um 
determinado período de tempo é igual a i, a taxa 
de juros relativamente a n períodos de tempo é 
𝐼 tal que 
𝟏 + 𝑰 = (𝟏 + 𝒊)𝒏 
A taxa anual de juros equivalente a 12% ao 
mês é 𝐼 tal que 1 + 𝐼 = (1 + 0,12)12. Daí, 
𝐼 ≅ 2,90 = 290% ao ano. 
Taxas como 12% ao mês e 144% ao ano, 
5% ao mês e 30% ao semestre, ou ainda 10% 
ao mês e 20% ao bimestre, por exemplo, são 
chamadas de taxas proporcionais, pois a razão 
entre elas é igual a razão dos períodos aos 
quais elas se referem. Mas cuidado, taxas 
proporcionais não são equivalentes. 
O que acontece com muita frequência na 
matemática financeira é o anúncio de taxas 
proporcionais como se fossem equivalentes. 
Quando se diz uma taxa de 144% ao ano 
capitalizada mensalmente, significa que a taxa 
será de 12% ao mês, só isso, é a taxa mensal 
proporcional. 
A taxa anunciada de 144% é chamada de 
taxa nominal, é uma taxa ilusória, fazendo as 
pessoas menos entendidas matematicamente 
pensarem que de fato 12% ao mês equivale a 
144% ao ano, mas como vimos anteriormente, 
sabemos que 12% ao mês equivale a 
aproximadamente 290% ao ano, essa taxa de 
290% é chamada de taxa efetiva. 
 
Taxa real, aparente e de inflação 
 
A inflação, de maneira simples, seria o 
aumento dos preços de um modo geral, ou seja, 
é a desvalorização do dinheiro. Se a taxa de 
inflação de um determinado período foi de 10% 
por exemplo, uma coisa que você comprava por 
100 reais, agora terá de ser adquirida por 110. 
Se esses 100 reais não cresceram 10% nesse 
mesmo período, você perdeu dinheiro. 
Imagine então, que seu dinheiro cresceu 
20% nesse período, essa taxa de 20% é 
chamada de taxa aparente, ela revela um ganho 
aparente, não o ganho real, pois sabemos que 
houve uma desvalorização devido a inflação. 
A taxa que fornece o ganho real, 
considerando a inflação, é a taxa real, calculada 
de acordo com a expressão: 
𝟏 + 𝒊𝒓𝒆𝒂𝒍 =
𝒊𝒂𝒑𝒂𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆
𝟏 + 𝒊𝒊𝒏𝒇𝒍𝒂çã𝒐
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 - (Banco do Brasil) Um investimento rende a 
taxa nominal de 12% ao ano com capitalização 
trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento 
correspondente é, aproximadamente, 
 
a) 12% 
b) 12,49% 
c) 12,55% 
d) 13% 
e) 13,43% 
 
 
 
2 - (Caixa - Cesgranrio) Nas operações de 
empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva 
de juros, no regime de capitalização 
composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a 
cobrar juros com taxa anual e capitalização 
semestral de 
 
a) 5% 
b) 5,51% 
c) 10% 
d) 10,25% 
e) 10,51% 
 
 
 
3 - (BACEN) Um investimento rendeu 68% em 
um mês no qual a inflação foi de 40%. O ganho 
real neste mês foi de: 
 
a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28% 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 - (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando 
capitalizada com juros compostos, corresponde 
a uma taxa bimestral equivalente a: 
 
a) 8% b) 8,16% c) 1,08% 
d) 1,0816% e) 16% 
 
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2 - Determine a taxa trimestral equivalente a 6% 
ao mês. 
 
 
 
3 - Determine a taxa anual equivalente a 12% 
ao trimestre. 
 
 
 
4 - A Taxa nominal de 24% ao ano com 
capitalização mensal corresponde a uma taxa 
efetiva anual de: 
 
a) 26,82% 
b) 25,51% 
c)25,44% 
d)24,00% 
e) 22,78% 
 
 
 
5 - (TCE - RS) A taxa efetiva anual 
equivalente à taxa nominal de 18% ao 
semestre capitalizados mensalmente é 
 
a) 15,08% 
b) 21,49% 
c) 25,66% 
d) 19,41% 
e) 42,58% 
 
 
 
6 - (TCE - FCC) Um contrato de financiamento 
de imóvel foi celebrado considerando-se uma 
taxa anual nominal de 12%, capitalizada 
quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de: 
 
a) 12,49% 
b) 12,55% 
c) 13,00% 
d) 15,12% 
e) 16,99% 
 
 
 
7 - (Banco do Brasil 2015 – Cesgranrio) Um 
investimento rende à taxa de juros compostos 
de 12% ao ano com capitalização trimestral. 
Para obter um rendimento de R$ 609,00 daqui a 
6 meses, deve-se investir, hoje, em reais, 
 
a) 6.460 
b) 10.000 
c) 3.138 
d) 4.852 
e) 7.271 
 
8 - Em um mês cuja inflação foi de 25%, Paulo 
Jorge investiu seu capital a juros de 30% aomês. Qual foi o ganho real de Paulo Jorge 
nesse mês? 
 
 
 
9 - (Caixa) A taxa de juros para aplicações de 
curto e médio prazos, em um banco, é de 40% 
ao ano. Que remuneração real recebe o cliente, 
se a inflação for 30% ao ano. 
 
a) 7,1% b) 7,2% c) 7,3% d) 7,4% e) 7,6% 
 
 
 
10 - (Caixa - Cespe) Se a quantia de R$ 
5.000,00, investida pelo período de 6 meses, 
produzir o montante de R$5.382,00, sem se 
descontar a inflação verificada no período, e se 
a taxa de inflação no período for de 3,5%, então 
a taxa real de juros desse investimento no 
período será de 
 
a) 4,5% b) 4% c) 3,5% d) 3% e) 2,5% 
 
 
 
GABARITO 
 
1-b) 
2) 19,10% 
3) 57,35% 
4-a) 
5-e) 
6-a) 
7-b) 
8) 4% 
9-e) 
10-b) 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 5 
 
Rendas certas 
 
Um conjunto de pagamentos iguais 
(chamados de prestações ou parcelas) e 
igualmente espaçados no tempo, formam uma 
série uniforme, chamada de anuidade, ou ainda 
renda. Quando o primeiro pagamento é 
realizado um tempo após a contração da dívida, 
tem-se prestações chamadas de postecipadas, 
que trazidas para o tempo zero, geram a 
sequência: 
𝑃
1 + 𝑖
,
𝑃
(1 + 𝑖)2
,
𝑃
(1 + 𝑖)3
, … ,
𝑃
(1 + 𝑖)𝑛
 
Essa sequência é uma progressão 
geométrica de razão 1 (1 + 𝑖)⁄ . Fazendo a 
soma dos n termos dessa P.G, chegamos na 
fórmula que fornece o valor da soma dessas 
prestações postecipadas, ou seja, a soma das 
prestações no tempo zero, um tempo antes do 
primeiro pagamento. 
𝑺𝟎 = 𝑷 ∙
𝟏 − (𝟏 + 𝒊)−𝒏
𝒊
 
𝑃 é o valor da prestação ou parcela, 𝑛 é a 
quantidade de prestações ou parcelas e 𝑖 é a 
taxa de juros. 
Assim conseguimos, por exemplo, determinar 
qual será o valor da parcela (𝑃) de um 
financiamento, dado o valor a ser financiado 
(𝑆0), a quantidade de parcelas (𝑛) e a taxa de 
juros (𝑖). 
Outra situação que podemos resolver, é 
encontrar qual será o montante (a soma das 
parcelas no tempo n), que chamaremos de 𝑆𝑛, 
após 𝑛 períodos, investindo-se a cada período 
uma prestação 𝑃, com uma taxa de juros 𝑖. 
Essa situação é uma variação da fórmula 
vista anteriormente, pois ela fornece a soma das 
parcelas no tempo zero, porém, queremos a 
soma das parcelas no tempo 𝑛. Bem, se o valor 
𝑆𝑛 está no tempo n, basta trazê-lo ao tempo 
zero, e igualar a 𝑆0 já conhecido: 
𝑆𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
= 𝑃 ∙
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
 
Isolando a soma das parcelas no tempo n 
(𝑆𝑛), tem-se: 
𝑺𝒏 = 𝑷 ∙
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
 
Conhecendo o valor que deseja-se obter no 
futuro (𝑆𝑛), podemos também encontrar qual 
deve ser a parcela (𝑃) investida a cada período 
para obter esta quantia após 𝑛 períodos, dada 
também a taxa de juros. 
 
Rendas perpétuas 
 
Renda perpétua é uma série de pagamentos 
iguais e igualmente espaçados no tempo que 
não possui um número determinando de 
parcelas. Considerando a primeira fórmula, que 
nos fornece a soma de 𝑛 parcelas iguais todas 
no tempo zero, fazendo n tender a infinito, ou 
seja, considerando infinitas parcelas, temos 𝑃 𝑖⁄ . 
Essa razão dá o valor da soma das infinitas 
parcelas 𝑃, todas no tempo zero, um tempo 
antes do primeiro pagamento, sendo 𝑖 a taxa de 
juros. 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Uma loja financia a compra de um 
eletrodoméstico no valor à vista de 
R$ 1.300,00, em três prestações mensais 
iguais, sem entrada, isto é, a primeira das 
prestações com vencimento um mês após a 
compra. Sabendo-se que a taxa de juros 
utilizada é de 4% ao mês e que 
1,04−3 ≅ 0,89, determine o valor da 
prestação. 
 
 
 
2 - (TCE – AC - Cespe) Uma pessoa comprou 
um veículo pagando uma entrada, no ato da 
compra, de R$ 3.500,00, e mais 24 
prestações mensais, consecutivas e iguais a 
R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um 
mês após a compra e o vendedor cobrou 
2,5% de juros compostos ao mês. 
Considerando 0,55 como valor aproximado 
para 1,025-24, é correto afirmar que o preço à 
vista, em reais, do veículo foi 
 
a) inferior a 16.800 
b) superior a 16.800 e inferior a 17.300 
c) superior a 17.300 e inferior a 17.800 
d) superior a 17.800 e inferior a 18.300 
e) superior a 18.300 
 
 
 
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3 - Aproximadamente, quantos reais devo 
depositar mensalmente, para obter um 
montante de R$ 12.000,00 ao fim de um ano, 
sabendo-se que a taxa mensal de remuneração 
do capital é de 4% e que o primeiro depósito é 
feito ao fim do primeiro mês? Considere 
1,0412 ≅ 1,60. 
 
 
 
4 - Antônio possui um investimento que dá 
uma renda líquida de 0,6% ao mês (no 
sistema de juros compostos) e deseja dar à 
sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 
450,00. A quantia que Antônio deve investir 
para que sua filha tenha essa renda é de: 
 
a) R$ 45.000,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 54.000,00 
d) R$ 72.000,00 
e) R$ 75.000,00 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 - (SEFAZ – RJ - FGV) Uma empresa 
parcela a venda de seus produtos que podem 
ser financiados em duas vezes, por meio de 
uma série uniforme de pagamentos 
postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada 
é de 10% ao mês no regime de juros 
compostos e o cálculo das parcelas é feito 
considerando-se os meses com 30 dias. 
Se um indivíduo comprar um produto por R$ 
1.000,00, o valor de cada prestação mensal 
será: 
 
a) R$ 525,68 
b) R$ 545,34 
c) R$ 568,24 
d) R$ 576,19 
e) R$ 605,00 
 
 
 
2 - (Banco do Brasil – FCC) Um investidor 
realiza depósitos no início de cada mês, 
durante 8 meses, em um banco que remunera 
os depósitos de seus clientes a uma taxa de 
juros nominal de 24% ao ano, com 
capitalização mensal. Os valores dos 4 
primeiros depósitos foram de R$ 1.000,00 
cada um e dos 4 últimos R$ 1.250,00 cada 
um. No momento em que ele efetua o oitavo 
depósito, verifica que o montante que possui 
no banco é M, em reais. 
 
 
 
Utilizando os dados da tabela acima, tem-se, 
então, que 
 
a) 10300 < M 
b) 10100 < M <= 10300 
c) 9900 < M <= 10100 
d) 9700 < M <= 9900 
e) 9500 < M <= 9700 
 
 
 
3 - (BNDES - Cesgranrio) Uma aplicação 
consiste em 6 depósitos consecutivos, 
mensais e iguais no valor de R$ 300,00 
(trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros 
compostos utilizada é de 5% ao mês, o 
montante, em reais, um mês após o último 
dos 6 depósitos, é 
 
a) 2.040,00 
b) 2.142,00 
c) 2.240,00 
d) 2.304,00 
e) 2.442,00 
 
 
 
4 – (MDIC/ESAF) Um contrato prevê que 
aplicações iguais sejam feitas mensalmente em 
uma conta durante 12 meses com o objetivo de 
atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim 
deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de 
cada mês, considerando rendimentos de juros 
compostos de 2% ao mês. 
 
a) R$ 7.455,96 
b) R$ 7.600,00 
c) R$ 7.982,12 
d) R$ 8.270,45 
e) R$ 9.000,00 
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5 - (SEFAZ – SP - FCC) Uma programação 
de investimento consiste na realização de três 
depósitos consecutivos de valores iguais 
efetuados no início de cada ano. O resgate 
dos respectivos montantes será feito de uma 
só vez, três anos após a data do primeiro 
depósito. Considerando uma taxa de juros 
compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que 
a soma dos montantes no ato do resgate foi 
igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor 
de cada depósito é igual a 
 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.500,00 
c) R$ 11.000,00 
d) R$ 11.500,00 
e) R$ 12.000,00 
 
 
 
GABARITO 
 
1-d) 
2-e) 
3-b) 
4-a) 
5-e) 
 
 
ANOTAÇÕEShttp://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
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AULA 6 
 
Amortizações 
 
Amortizar é diminuir uma dívida. Quando se 
paga parceladamente um débito, existem dois 
componentes em cada pagamento ou parcela. 
Uma parte é destinada a pagar os juros e outra 
parte amortiza, ou seja, abate a dívida. 
Os sistemas usuais de amortização são o 
sistema de amortização constante (SAC) e o 
sistema francês de amortização, também 
chamado de Tabela Price (Richard Price foi um 
economista inglês). 
 
Sistema de amortização constante (SAC) 
 
Caracteriza-se por apresetar a amortização 
constante em cada parcela, consequentemente 
o valor dos juros e da parcela são decrescentes. 
 
Exemplo 1: 
 
 Uma dívida de R$ 100,00 é paga, com juros 
de 15% ao mês, em 5 meses, pelo SAC. 
Faça a planilha de amortização. 
 
Nas questões sobre amortizações vamos 
construir tabelas, aqui no SAC não precisamos 
de nenhuma fórmula para isso. Como as 
amortizações são iguais, em cada período a 
amortização é 1/5 da dívida, logo, 20. Com esse 
valor, também determinamos a dívida em cada 
período, começa em 100 (período zero) e vai 
diminuindo de 20 em 20 até ser zero no último 
período. O juro é encontrado a cada período 
calculando-se 15% sobre o valor da dívida no 
período anterior, e a parcela é a soma do juro 
com a amortização em cada período. 
A planilha é, portanto: 
 
T D J A P 
0 100 - - - 
1 80 15 20 35 
2 60 12 20 32 
3 40 9 20 29 
4 20 6 20 26 
5 0 3 20 23 
Totais - 45 100 145 
 
Em cada período de tempo 𝑇 (que no caso é 
1 mês) a partir de zero, temos o juro 𝐽 pago, 
consequentemente o valor total pago que é a 
parcela 𝑃, e somando os valores encontramos o 
total pago pela dívida (soma das parcelas) e o 
total pago de juros. Podemos responder 
qualquer pergunta que a questão faça. 
Sistema francês de amortização (Tabela Price) 
 
Caracteriza-se por apresentar o valor das 
parcelas constante em todos os períodos. 
Precisamos inicialmente encontrar qual será 
o valor de cada parcela, para isso usaremos a 
seguinte fórmula: 
𝑃 = 𝐷0 ∙
(1 + 𝑖)𝑛 ∙ 𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 
Que pode ser escrita também como: 
𝑃 = 𝐷0 ∙
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
 
Onde 𝑃 é o valor da parcela, 𝐷0 é a dívida 
inicial (no tempo zero), 𝑛 é o número de 
pagamentos e 𝑖 é a taxa de juros. 
 
Exemplo: 
 
 Uma dívida de R$ 100,00 é paga utilizando-
se o sistema de amortização francês. 
Sabendo que a taxa de juros foi de 10% ao 
mês e a dívida paga em 3 meses, faça a 
planilha de amortização. 
𝑃 = 𝐷0 ∙
(1 + 𝑖)𝑛 ∙ 𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 
𝑃 = 100 ∙
(1 + 0,1)3 ∙ 0,1
(1 + 0,1)3 − 1
 
𝑃 = 100 ∙
1,331 ∙ 0,1
1,331 − 1
 
𝑃 = 100 ∙
0,1331
0,331
 
𝑃 = 40,21 
Com o valor das parcelas, basta calcular o juro 
de cada período e a diferença entre a parcela e 
o juro dará a amortização desse período. A 
tabela fica: 
 
T D J A P 
0 100 - - - 
1 69,79 10 30,21 40,21 
2 36,56 6,98 33,23 40,21 
3 0 3,65 36,56 40,21 
Totais - 20,63 100 120,63 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 – (Caixa - Cespe) Se uma dívida no valor de 
R$ 10.000,00 for paga, com juros de 5% ao 
mês, em 4 prestações mensais e consecutivas, 
pelo sistema de amortização constante (SAC), a 
soma das prestações pagas será igual a 
 
a) R$ 11.150,00 
b) R$ 11.250,00 
c) R$ 11.350,00 
d) R$ 11.450,00 
e) R$ 11.550,00 
 
 
 
2 - (Caixa - Cespe) Uma dívida no valor de R$ 
10.000,00, contraída pelo sistema francês de 
amortização(tabela Price), com juros de 1,29% 
ao mês será paga em 4 prestações mensais. 
Nesse caso, considerando-se 0,95 como valor 
aproximado de 1,0129–4 , cada prestação será 
igual a 
 
a) R$ 2.620,00 
b) R$ 2.610,00 
c) R$ 2.600,00 
d) R$ 2.590,00 
e) R$ 2.580,00 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 - No sistema de amortização constante, 
 
a) o valor das prestações é uniforme durante 
toda a amortização e os juros são crescentes. 
b) o valor do empréstimo é pago de uma só vez 
no final do prazo de amortização. 
c) a amortização é feita em parcelas crescentes 
com juros constantes lineares. 
d) as prestações são fixas e os juros são 
crescentes durante a amortização. 
e) a amortização é feita em parcelas iguais e, 
portanto, os valores dos juros e das prestações 
são decrescentes 
 
 
 
2 – (Caixa 2014 - Cespe) Um cliente contratou 
um financiamento habitacional no valor de 
R$ 420.000,00, para ser amortizado de acordo 
com o sistema de amortização constante, em 35 
anos, à taxa nominal de juros compostos de 9% 
ao ano, com capitalização mensal. 
Com base nessas informações, julgue os itens 
subsequentes, desconsiderando, entre outras, 
despesas como seguros e taxas de 
administração. 
 
( ) A taxa efetiva de juros a ser paga pelo 
referido cliente é inferior a 1% ao mês. 
 
( ) O valor da amortização mensal é inferior a 
R$ 900,00. 
 
 
 
3 - (Caixa) Um empréstimo de R$ 54.000,00 foi 
pago pelo sistema de amortização constante 
(SAC) em 6 meses, com juros de 12% ao mês. 
Na tabela a seguir, em que apenas alguns 
valores estão explícitos e que corresponde à 
planilha de amortização do referido empréstimo, 
K representa o mês a partir do mês 0 
correspondente à tomada do empréstimo; Pk é a 
prestação paga no mês k; Ak é o valor da 
amortização no mês k; JK é o valor dos juros 
pagos no mês k; e DK é a situação da dívida no 
mês k. 
 
Com relação a essa situação, é correto afirmar 
que o total das prestações pagas e o total dos 
juros pagos foram iguais, respectivamente, a 
 
a) R$ 74.680,00 e R$ 20.680,00 
b) R$ 75.680,00 e R$ 21.680,00 
c) R$ 76.680,00 e R$ 22.680,00 
d) R$ 77.680,00 e R$ 23.680,00 
e) R$ 78.680,00 e R$ 24.680,00 
 
 
 
4 - (TRE – RN - FCC) Uma dívida 
correspondente à aquisição de um imóvel 
deverá ser liquidada por meio de 80 
prestações mensais e consecutivas, 
vencendo a primeira um mês após a data da 
contração da dívida. O sistema de 
amortização utilizado foi o Sistema de 
Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 
2% ao mês. 
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Se o valor da última prestação apresentou o 
valor de R$ 1.479,00, então o valor da 
primeira prestação foi igual a, em R$, 
 
a) 3.640,00 
b) 3.705,00 
c) 3.723,00 
d) 3.770,00 
e) 3.835,00 
 
 
 
5 - (CVM - ESAF) Um financiamento no valor 
de R$ 612.800,00 deve ser pago pelo 
Sistema Price em 18 prestações semestrais 
iguais, a uma taxa nominal de 30% ao ano, 
vencendo a primeira prestação ao fim do 
primeiro semestre, a segunda ao fim do 
segundo semestre, e assim sucessivamente. 
Obtenha o valor mais próximo da amortização 
do saldo devedor embutido na segunda 
prestação. 
 
a) R$ 10.687,00 
b) R$ 8.081,00 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 9.740,00 
e) R$ 9.293,00 
 
 
 
GABARITO 
 
1-e) 
2) V F 
3-c) 
4-d) 
5-e) 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino 
médio - volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
2006. 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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