Lista 4

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Universidade de Brasília 8 de Maio de 2018
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA - INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA - 111023; 1º/2018
PROFESSORA: VANESSA ANDRADE
MONITORES: FERNANDO BUENO E LORENA REIS
Lista 4 - Capítulos 8 e 9
Esta ferramenta será criteriosamente avaliada uma vez que fará grande parte da média final, então, se-
guem algumas orientações para facilitar a correção e estimular a organização:
• TODOS os exercícios desta lista devem ser feitos a mão (lápis ou lapiseira - não rasure) em FO-
LHA A4 BRANCA e entregues grampeadas;
• Não economize espaço, não há necessidade de fazer mais de 3 questões por folha;
• Sempre coloque seu nome, o número da lista, os números das questões e a sua matrícula;
• TODOS os cálculos devem ser expostos para uma avaliação justa;
• Respostas que incluam apenas o gabarito serão desconsideradas;
• Sem justificativas não serão aceitas listas além da data de entrega estipulada no plano de ensino,
lembrando que estas podem ser alteradas conforme a necessidade da professora;
• ESSA LISTA PODERÁ SER ENTREGUE NO DIA 28/5.
• Em questões que você tiver dúvida ou não conseguir, fique a vontade para escrever suas dúvidas
no lugar da resolução para retirá-las futuramente.
1. Dois veículos espaciais em órbita estão acoplados. A massa de um deles é de 1 000 kg e a do outro 2
000 kg. Para separá-los, é detonada entre os dois uma pequena carga explosiva, que comunica uma energia
cinética total de 3 000 J ao conjunto dos dois veículos, em relação ao centro de massa do sistema. A sepa-
ração ocorre segundo a linha que une os centros de massa dos dois veículos. Com que velocidade relativa
eles se separam um do outro?
2. Uma patinadora e um patinador estão-se aproximando um do outro, deslizando com atrito desprezí-
vel sobre uma pista de gelo, com velocidades de mesma magnitude, igual a 0,5 m/s. Ela tem 50 kg, carrega
uma bola de 1 kg e patina numa direção 10º a leste da direção norte. Ele tem 51 kg, dirige-se para 10º a oeste
da direção norte. Antes de colidirem, ela lança a bola para ele, que a apanha. Em conseqüência, passam a
afastar-se um do outro. Ela se move agora com velocidade de 0,51 m/s, numa direção 10º a oeste da direção
norte. (a) Em que direção se move o patinador depois de apanhar a bola? (b) Com que velocidade? (c) Qual
foi o momento transferido da patinadora para o patinador? (d) Com que velocidade e em que direção a
bola foi lançada? [Note que a deflexão das trajetórias produzida pela troca da bola é análoga ao efeito de
uma força repulsiva entre os dois patinadores. Na física das partículas elementares, a interação entre duas
partículas é interpretada em termos de troca de uma terceira partícula entre elas].
3. A figura a seguir mostra uma placa composta de dimensões d1=11,0 cm, d2=2,80 cm e d3=13,0 cm.
Metade da placa é feita de alumínio (massa específica = 2,70 g/cm3) e a outra metade de ferro (massa es-
pecífica = 7,85 g/cm3). Determine (a) a coordenada x, (b) a coordenada y e (c) a coordenada z do centro de
massa da placa .
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4. Uma lata homogênea tem uma massa de 0,140 kg, uma altura de 12,0 cm e contém 0,354 g de refrige-
rante. Pequenos furos são feitos na base e na tampa (com perda de massa desprezível) para drenar o líquido
. Qual é a altura h do centro de massa da lata e seu conteúdo (a) inicialmente e (b) após a lata perder todo
o refrigerante? (c) O que acontece com h enquanto o refrigerante está sendo drenado? (d) Se x é a altura
do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determine o valor de x no instante em que o
centro de massa atinge o ponto mais baixo.
5. No fundo de uma mina abandonada, o vilão, levando a mocinha como refém, é perseguido pelo mo-
cinho. O vilão, de 70 kg, leva a mocinha, de 50 kg, dentro de um carrinho de minério de 540 kg, que corre
com atrito desprezível sobre um trilho horizontal, à velocidade de 10 m/s. O mocinho, de 60 kg, vem logo
atrás, num carrinho idêntico, à mesma velocidade. Para salvar a mocinha, o mocinho pula de um carrinho
para o outro, com uma velocidade de 6 m/s em relação ao carrinho que deixa para trás. Calcule a velocidade
de cada um dos carrinhos depois que o mocinho já atingiu o carrinho da frente.
6. Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial v0 = 20 m/s e um ângulo θ0 = 60º com
a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais.
Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A que distância do
canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode ser desprezada?
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7. Uma mina explode em três fragmentos, de 100 g cada um, que se deslocam num plano horizontal:
um deles para oeste e os outros dois em direções 60° ao norte e 30° ao sul da direção leste, respectivamente.
A energia cinética total liberada pela explosão é de 4.000 J. Ache as velocidades iniciais dos três fragmentos.
8. Uma gotícula de água começa a formar-se e vai-se avolumando na atmosfera em torno de um núcleo
de condensação, que é uma partícula de poeira, de raio desprezível. A gota cai através da atmosfera, que
supomos saturada de vapor de água, e vai aumentando de volume continuamente pela condensação, que
faz crescer a massa proporcionalmente à superfície da gota. A taxa λ de crescimento da massa por unidade
de tempo e de superfície da gota é constante. (a) Mostre que o raio r da gota cresce linearmente com o
tempo. (b) Mostre que a aceleração da gota, decorrido um tempo t desde o instante em que ela começou a
se formar, é dada por
d v
d t
=−g −3 v
t
onde v é a velocidade da gota no instante t (desprezando o efeito da resistência do ar). (c) Mostre que esta
equação pode ser resolvida tomando v = at , e determine a constante a. Que tipo de movimento resulta
para a gota?
9. Um caminhão-tanque cheio de água, de massa total M, utilizado para limpar ruas com um jato de
água, trafega por uma via horizontal, com coeficiente de atrito cinético µc . Ao atingir uma velocidade v0, o
motorista coloca a marcha no ponto morto e liga o jato de água, que é enviada para trás com a velocidade ve
relativa ao caminhão, com uma vazão de λ litros por segundo. Ache a velocidade v(t ) do caminhão depois
de um tempo t .
10. Considere a colisão elástica entre duas partículas de massas m1 e m2 que se movem em uma dimen-
são. (a) Verifique, a partir das (9.4.11) do Moyses, que a velocidade do CM se conserva na colisão. (b) Calcule
as velocidades iniciais v ′1i e v
′
2i das duas partículas em relação ao CM do sistema, exprimindo-as em fun-
ção da velocidade relativa inicial vr i da partícula 2 em relação à partícula 1 e da massa total M = m1 +m2.
Qual é a relação entre v ′r i e vr i ? (c) Faça o mesmo para as velocidades finais v
′
1 f e v
′
2 f em relação ao CM,
com auxilio das (9.4.11). Qual é a relação entre v ′r f e vr f (a velocidade relativa final)? E entre v
′
r f e v
′
r i ? (d)
Interprete os resultados de (a) a (c), descrevendo como ocorre a colisão vista do referencial do CM.
11. Com mais de 70 anos de idade, Henri LaMothe assombrava os espectadores mergulhando de bar-
riga de uma altura de 12 m em um tanque de água com 30 cm de profundidade. Supondo que o corpo do
mergulhador parava de descer quando estava prestes a chegar ao fundo do tanque e estimando sua massa,
calcule o módulo do impulso que a água exercia sobre Henri em um desses mergulhos.
12. Quando o cabo de sustentação arrebenta e o sistema de segurança falha, um elevador cai em queda
livre de uma altura de 36 m. Durante a colisão no fundo do poço do elevador, a velocidade de um passa-
geiro de 90 kg se anula em 5,0 ms. (Suponha que não há ricochete nem do passageiro nem do elevador.)
Qual é o módulo (a) do impulso e (b) da força média experimentada pelo passageiro durante a colisão? Se
o passageiro pula verticalmente para cima com uma velocidade de 7,0 m/s em relação ao piso do elevador
quando o elevador está prestes a se chocar com o fundo do poço, qual é o módulo (c) do impulso e (d) da
força média (supondo que o tempo que o passageiro leva para parar permanece o mesmo)?
13. Na figura, o bloco 1 (com uma massa de 2,0 kg) está se movendo para a direita com uma velocidade
escalar de 10 m/s e o bloco 2 (com uma massa de 5,0 kg) está se movendo para a direita com uma velocidade
escalar de 3,0 m/s . A superfície não tem atrito e uma mola com uma constante elástica de 1120 N/m está
presa no bloco 2. Quando os blocos colidem, a compressão da mola é máxima no instante em que os blocos
têm a mesma velocidade. Determine a máxima compressão da mola.
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14. Considere um sistema qualquer de duas partículas, de massas m1 e m2 e velocidades~v1 e~v2. Sejam
T1 e T2 as energias cinéticas das duas partículas, e vr , a velocidade relativa da partícula 2 em relação à partí-
cula 1. (a) Mostre que os momentos das duas partículas em relação ao CM são dados por: ~p1
′ =−µ~vr =−~p2′
, onde µ= m1m2
M
(com M = m1 +m2) chama-se a massa reduzida do sistema de duas partículas. Note que
1
µ
= 1
m1
+ 1
m2
. (b) Mostre que a energia cinética total é dada por T1+T2 = T ′1+T ′2+ 12 M v2C M onde T1’ e T2’ são
as energias cinéticas relativas ao CM e vC M é a velocidade do CM. (c) Mostre que a energia cinética relativa
ao CM (energia cinética interna) é dada por T ′1 +T ′2 + 12µv2r .Combinando os resultados de (b) e (c), vemos
que a energia cinética total é a soma da energia cinética associada ao movimento do CM, com massa igual à
massa total, mais a energia cinética do movimento relativo, equivalente à de uma partícula de massa igual
a massa reduzida e velocidade igual à velocidade relativa. Mostre que, para um sistema isolado de duas
partículas, a energia cinética interna se conserva numa colisão elástica entre elas. Mostre que o fator Q de
uma colisão inelástica é igual a variação da energia cinética interna.
15. Uma partícula de massa m desloca-se com velocidade v em direção a duas outras idênticas, de
massa m2, alinhadas com ela, inicialmente separadas e em repouso. As colisões entre as partículas são
todas elásticas. (a) Mostre que, para m ≤ m2 haverá duas colisões, e calcule as velocidades finais das três
partículas. (b) Mostre que, para m > m2, haverá três colisões, e calcule as velocidades finais das três partí-
culas. (c) Verifique que, no caso (a), o resultado para a primeira e a terceira partícula é o mesmo que se a
partícula intermediária não existisse.
16. Num brinquedo bem conhecido, uma série de bolinhas metálicas idênticas, suspensas por fios idên-
ticos presos a um suporte, estão inicialmente todas em contato. Se um determinado número n de bolas é
deslocado conjuntamente da posição de equilíbrio e solto (figura), o efeito da colisão com as demais é trans-
ferir a velocidade v com que colidem a um igual número de bolas na outra extremidade, suspendendo-as.
(a) Supondo que o efeito da colisão fosse transferir uma velocidade v ’ a n’ bolas adjacentes situadas na ou-
tra extremidade, as colisões sendo todas elásticas, mostre que se tem, necessariamente, n′ = n e v ′ = v . (b)
Tomando n = 2, e supondo que o efeito da colisão fosse transferir velocidades v1 e v2 às duas bolas situadas
mais à direita (figura), mostre que, necessariamente v1 = v2 = v .
17. (a) Que fração f da energia cinética é transferida por uma partícula de massa m, que se move com
velocidade v , numa colisão frontal elástica com uma partícula de massa m’ inicialmente em repouso? Ex-
prima o resultado em função da razão λ= m′m . Para que valor de λ a transferência é máxima, e quanto vale?
(b) Coloca-se entre as duas partículas uma terceira, de massa m′′, em repouso, alinhada com m e m′. Mos-
tre que a transferência de energia cinética de m para m’ é máxima quando m′′ =pmm′ . Mostre que, para
m 6= m′, a presença da partícula intermediária possibilita transferir mais energia cinética de m para m′ do
que no caso (a).
Gabarito
1. 3 m/s
2. a) 10º a leste do norte.
b) 0,49 m/s
c)8,86 kg·m/s na direção leste.
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d) 8,86 m/s de oeste para leste.
3. (-6.5,8.3,1.4)
4. a) 6 cm
b) 6 cm
c) 6 cm
d) 4,2 cm
5. 10,5 m/s
6. 53,3 m
7. 200 m/s, 100 m/s, 173 m/s.
8. Demonstração
9. v(t ) = v0 −µc g t + ve ln
(
m
M −µt
)
10. b) v ′1i =−
m2
M
vr i ; v
′
2i =
m1
M
vr i ; v
′
r i = vr i .
c) v ′1 f =−v ′1i ; v ′2 f =−v ′2i ; v ′r f = vr f =−vr i .
11. 1,1 ·103kg ·m/s
12. a) 2,4 ·103 N · s
b) 4,8 ·105 N
c) 1,8 ·103 N · s
d) 3,5 ·105 N.
13. 0,25m
14. Demonstração.
15. Gabarito questão 5 do capítulo 9 do Moyses.
16. Demonstração.
17. a) f = 4λ(1+λ)2; fmax = 1 (para λ= 1).
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