Relatório 1 - Gráficos e Linearização

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Universidade Federal de Santa Maria
Departamento de F´ısica
F´ısica Experimental II
Aula Experimental I
Construc¸a˜o de Gra´ficos e Linearizac¸a˜o
Autores:
Denilson Bona Junior - Eng. Civil Turma 11
Amanda Furlin Renosto - Eng. Civil Turma 11
Data do Experimento: 15 de Marc¸o de 2018
Conteu´do
1 Introduc¸a˜o 1
2 Objetivos 1
3 Materiais Utilizados 1
4 Referencial Teo´rico 1
4.1 Escolha do Papel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.2 Escolha dos Eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.3 Determinac¸a˜o da Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.4 Marcac¸a˜o dos Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.5 Trac¸ado da Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.6 Determinac¸a˜o dos Paraˆmetros da Func¸a˜o Linear . . . . . . . . 3
4.6.1 Ca´lculo do Coeficiente Angular . . . . . . . . . . . . . 3
4.6.2 Ca´lculo do Coeficiente Linear . . . . . . . . . . . . . . 3
4.7 Linearizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.7.1 Linearizac¸a˜o no Papel Di-log . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.7.2 Linearizac¸a˜o pelo Me´todo da Mudanc¸a de Varia´veis . . 5
5 Procedimento Experimental 6
5.1 Representac¸a˜o dos Dados no Papel Milimetrado . . . . . . . . 6
5.2 Identificando o Tipo da Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.3 Determinac¸a˜o dos Paraˆmetros da Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . 7
5.4 Estabelecendo a Relac¸a˜o Matema´tica Usando Papel Milime-
trado e Di-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.5 Estabelecendo a Relac¸a˜o Matema´tica Usando o Me´todo da
Mudanc¸a de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6 Discussa˜o dos Resultados 9
7 Conclusa˜o 10
8 Referencial Bibliogra´fico 10
9 Anexos 10
1 Introduc¸a˜o
Os gra´ficos se tornaram recursos indispensa´veis no estudo e no desenvolvi-
mento da f´ısica, assim como nas demais cieˆncias, uma vez que estes facilitam
a visualizac¸a˜o e a compreensa˜o dos dados analisados. De forma geral, um
gra´fico representa as conexo˜es entre duas ou mais grandezas e sera´ apresen-
tado nesse relato´rio, assim como os me´todos utilizados para linearizar uma
curva.
2 Objetivos
O objetivo desta aula experimental e´ familiarizar os alunos na inter-
pretac¸a˜o e construc¸a˜o apropriada de gra´ficos, assim como a identificac¸a˜o
da func¸a˜o matema´tica da curva gerada a partir dos dados fornecidos e os
me´todos utilizados para linearizar esta curva, quando necessa´rio.
3 Materiais Utilizados
Para este experimento se fara´ necessa´rio o uso de papel milimetrado e
papel di-log.
4 Referencial Teo´rico
4.1 Escolha do Papel
Existem va´rios tipos de pape´is que podem ser utilizados na construc¸a˜o
de gra´ficos e estes devem ser escolhidos de acordo com a necessidade. Nessa
aula, sera´ inicialmente utilizado o papel milimetrado e posteriormente o papel
di-log.
4.2 Escolha dos Eixos
Existem varia´veis de dois tipos: as dependentes e as na˜o dependentes.
As varia´veis dependentes devem sempre ser marcadas no eixo Y (ordenada)
e as varia´veis independentes sobre o eixo X (abcissas), como mostrado na
Figura 1 a` esquerda, que representa um gra´fico da velocidade (V) em func¸a˜o
1
do tempo (t), onde V e´ a varia´vel dependente.
Fora da regia˜o quadriculada do papel milimetrado deve-se identificar as
varia´veis utilizadas, seguidas da sua unidade colocada entre pareˆnteses.
Figura 1: Escolha dos eixos no plano cartesiano
Fonte: Do autor
4.3 Determinac¸a˜o da Escala
Deve-se utilizar uma escala ”limpa”e fa´cil de ser lida e interpretada,
evitando-se nu´meros que tornem necessa´rios o uso de ca´lculos para encontrar
o ponto no gra´fico. Depois de escolhida, a escala deve ser marcada nos eixos
por pequenos trac¸os que indicam o valor da grandeza.
4.4 Marcac¸a˜o dos Pontos
Os pontos devem ser marcados no gra´fico utilizando formas e sinais que
os distinguam de outros poss´ıveis pontos na˜o experimentais e que na˜o deixem
du´vidas sobre sua localizac¸a˜o. Se conjuntos diferentes de pontos forem re-
presentados no mesmo gra´fico, deve ser feito uso de diferentes s´ımbolos para
cada conjunto.
4.5 Trac¸ado da Curva
Uma vez que todos os pontos esta˜o marcados deve-se trac¸ar a curva. E´
importante saber que os pontos nunca devem ser unidos um a um. Portanto,
a curva deve ser suave e cont´ınua, ajustando-se da melhor forma poss´ıvel aos
pontos e na˜o necessariamente passando por todos os pontos, como mostrado
na Figura 2.
2
Figura 2: Trac¸ado da curva
Fonte: Do autor
4.6 Determinac¸a˜o dos Paraˆmetros da Func¸a˜o Linear
Em um gra´fico linear, obteremos uma reta dada pelos pontos marcados.
Sabemos da geometria anal´ıtica que a equac¸a˜o geral da reta e´ dada por y(x)
= ax + b onde a e´ o coeficiente angular e b e´ o coeficiente linear da reta.
4.6.1 Ca´lculo do Coeficiente Angular
O coeficiente angular pode ser calculado pelo quociente:
a = ∆y∆x =
(y2−y1)
(x2−x1)
onde (x1, y1) e (x2, y2) sa˜o dois pontos quaisquer pertencentes a reta. Deve-se
salientar que estes pontos na˜o devem ser pontos experimentais, uma vez que
estes nem sempre pertencem a` reta.
4.6.2 Ca´lculo do Coeficiente Linear
Existem duas maneiras de realizar o ca´lculo do coeficiente linear: na pri-
meira, deve-se escolher um ponto na˜o experimental da reta e substituir na
equac¸a˜o da reta. Utilizando os pontos ( x3, y3)teremos:
y(x) = ax + b
3
b = y(x)–ax
b = y3 − a.x3
Podemos utilizar a segunda maneira quando e´ poss´ıvel prolongar a reta
ate´ esta fazer uma intersecc¸a˜o com o eixo y, ja´ que:
y(x) = ax + b
y(x = 0) = a.0 + b
y(x = 0) = b
4.7 Linearizac¸a˜o
Diversas vezes obteremos um gra´fico em forma de curva ao inve´s de um
gra´fico linear, portanto, para encontrar os coeficientes desta curva, e´ ne-
cessa´rio transformar este gra´fico em uma reta. Esse processo e´ conhecido
como linearizac¸a˜o.
Possu´ımos, por exemplo, uma func¸a˜o da forma y(x) = axn e queremos
encontrar a e n. Para isso, aplicamos o logaritmo dos dois lados da igualdade:
log y = log a + n log x
Realizaremos a troca de varia´veis:
Y = log y
A = log a
X = log x
Assim, obteremos a equac¸a˜o da reta: Y = A+nX, onde A e´ o coeficiente
linear da reta. Aplicando a func¸a˜o inversa ao log obteremos a da func¸a˜o
y(x) = axn:
a = log−1A
Podemos obter n da seguinte maneira:
n = (log y2−log y1)(log x2−log x1)
4
4.7.1 Linearizac¸a˜o no Papel Di-log
Se possuirmos o papel di-log, basta inserir os dados fornecidos e obtere-
mos o gra´fico linear. Se na˜o houver mudanc¸a na escala, o coeficiente linear
pode ser encontrado fazendo a intersecc¸a˜o com o eixo y, assim como apre-
sentado anteriormente na sec¸a˜o 4.6.2. O coeficiente angular pode enta˜o ser
encontrado como apresentado na sec¸a˜o 4.7.
4.7.2 Linearizac¸a˜o pelo Me´todo da Mudanc¸a de Varia´veis
Se conhecermos o valor de n, podemos utilizar o me´todo da mudanc¸a de
varia´veis para encontrar os coeficientes. Se, por exemplo, possuirmos uma
func¸a˜o da forma y = axn + b com n = 2, podemos prosseguir da seguinte
forma: primeiramente, realizaremos a mudanc¸a de varia´veis da seguinte ma-
neira:
Y = y
A = a
B = b
X = x2
Teremos a equac¸a˜o linear da forma Y = AX +B. O gra´fico enta˜o ficara´:
Figura 3: Linearizac¸a˜o por mudanc¸a de varia´veis
Fonte: Do autor
Novamente, b pode ser encontrado ao fazer a intersecc¸a˜o com o eixo Y e
a pode ser encontrado da seguinte forma:
5
a = ∆Y∆x2
5 Procedimento Experimental
Foram fornecidos os seguintes dados da posic¸a˜o (x) em func¸a˜o do tempo
(t).
Tabela 1: Dados da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo
t(s) x(cm)
0 0,0
1 2,2
2 7,7
3 18,4
4 31,3
5 51,0
5.1 Representac¸a˜o dos Dados no Papel Milimetrado
Logo apo´s a observac¸a˜o dos dados da tabela, determinou-se as varia´veispara cada eixo: como varia´vel independente escolheu-se o “t”, o qual compoˆs
o eixo das abscissas do gra´fico, com seus valores em segundos; e para o
eixo das ordenadas os valores de “x”, varia´vel dependente, em cent´ımetros.
Escolheu-se tambe´m uma escala favora´vel ao gra´fico e em seguida foram
sendo marcadas cada uma das relac¸o˜es dos valores da tabela. Estes pontos
obtidos atrave´s dessas relac¸o˜es, foram bem marcados e sinalizados simboli-
camente, para uma melhor visualizac¸a˜o.
Em seguida da obtenc¸a˜o dos pontos, a` ma˜o livre, uniu-se cada um deles
obtendo o trac¸ado da curva e desta forma obtendo o gra´fico no papel milime-
trado utilizado. Para a visualizac¸a˜o e melhor compreensa˜o desta atividade,
o gra´fico (Gra´fico 1) aqui mencionado esta´ anexado ao fim do presente re-
lato´rio.
5.2 Identificando o Tipo da Func¸a˜o
Com a elaborac¸a˜o do gra´fico pode-se observar e identificar como as varia´veis
de cada eixo se relacionam, para a obtenc¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o.
6
Analisando, percebe-se que a curva identificada representa uma para´bola,
com a concavidade voltada para cima, ou seja, crescendo no eixo das orde-
nadas, enquanto o eixo das abscissas tambe´m vai aumentando.
5.3 Determinac¸a˜o dos Paraˆmetros da Func¸a˜o
Observando o modo de crescimento do gra´fico deve-se determinar a relac¸a˜o
encontrada no gra´fico abordado. Observando-o encontramos uma relac¸a˜o de
poteˆncia representada por:
y = axn
Onde para encontrarmos os valores de a e de n, considerados como os
paraˆmetros da func¸a˜o, aplicamos o logaritmo em ambos os lados da igualdade,
linearizando tal expressa˜o, este procedimento ja´ foi melhor apresentado na
sec¸a˜o 4.7 deste relato´rio.
5.4 Estabelecendo a Relac¸a˜o Matema´tica Usando Pa-
pel Milimetrado e Di-log
Para determinar os paraˆmetros da func¸a˜o, precisamos linearizar o gra´fico
parabo´lico obtido anteriormente. Para conseguirmos tal linearizac¸a˜o em pa-
pel milimetrado, primeiramente aplicamos a func¸a˜o logaritmo em todos os
valores da tabela, tanto para os valores dos tempos, tanto para os dos deslo-
camentos. Obtendo os seguintes resultados:
Tabela 2: Dados da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo e seus respectivos logs
t(s) log t(s) x(cm) log x (cm)
1 0 2,2 0,34
2 0,30 7,7 0,89
3 0,48 18,4 1,26
4 0,60 31,3 1,50
5 0,70 51,0 1,71
O valor encontrado para A foi de 0,34, uma vez que neste valor a reta faz
uma intersecc¸a˜o com o eixo x(t), como pode ser visto no Gra´fico 2 anexado
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a este relato´rio. Utilizando a relac¸a˜o estabelecida na sec¸a˜o 4.7:
a = log−1A
a = 10A
a = 100,34
a = 2, 18
a = 2, 18
Este valor tambe´m pode ser observado no gra´fico linearizado em papel
di-log (Gra´fico 3), onde a intersecc¸a˜o com o eixo x(t) esta´ em 2,2.
Para encontrar o valor de n foram utilizados os pontos (0,52 ; 1,36) e (0,7
; 1,71) que pertencem a` reta:
n = ∆logx∆logt
n = 1,71−1,360,7−0,52
n = 1, 95
n ' 2
Assim estabeleceu-se que a equac¸a˜o desta curva e´ dada por x(t) = 2, 18t2
5.5 Estabelecendo a Relac¸a˜o Matema´tica Usando o Me´todo
da Mudanc¸a de Varia´veis
Partindo do princ´ıpio de que conhecemos que n = 2, podemos utilizar o
me´todo da mudanc¸a de varia´veis para linearizar a curva. O gra´fico linearizado
desta forma esta´ anexado ao presente trabalho (Gra´fico 4).
Para encontramos uma equac¸a˜o do tipo Y = AX + B, ou ainda X(T ) =
AT +B considerou-se que T = t2 e foram encontrados os seguintes valores:
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Tabela 3: Dados da posic¸a˜o em func¸a˜o do tempo com T = t2
t(s) t2 (s) x(cm)
1 1 2,2
2 4 7,7
3 9 18,4
4 16 31,3
5 25 51,0
O valor de a foi enta˜o encontrado pela relac¸a˜o apresentada em 4.7.2 e
utilizando os pontos (51,25) e (8,4) pertencentes a` reta:
a = ∆x∆t2
a = 51−825−4
a ' 2, 05
Como pode ser observado no gra´fico, temos que B = 0, uma vez que e´
neste valor em que o eixo x(t) e´ interceptado. Assim ficamos com a equac¸a˜o
X(T ) = AT . Efetuando novamente a troca de varia´veis, chegamos em x(t) =
at2, ou enta˜o x(t) = 2, 05t2, resultado muito pro´ximo do que o encontrado
pelo me´todo anterior.
6 Discussa˜o dos Resultados
Ao calcular os coeficientes de diferentes maneiras e comparando os re-
sultados, percebe-se que o valor de a encontrado pela linearizac¸a˜o no papel
milimetrado (a = 2,18) e´ muito pro´ximo do valor encontrado fazendo a in-
tersecc¸a˜o com o eixo y na linearizac¸a˜o no papel dilog (a = 2,2), assim como
no valor encontrado pela linearizac¸a˜o por mudanc¸a de varia´veis (a = 2,05),
sendo este o que mais difere dos outros resultados.
O mesmo se da´ para o valor encontrado de n, que e´ muito pro´ximo de 2
(n = 1, 95 ' 2).
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7 Conclusa˜o
Fica claro apo´s o desenvolvimento deste relato´rio, a importaˆncia da uti-
lizac¸a˜o de gra´ficos no meio acadeˆmico e cient´ıfico para analisar situac¸o˜es
com maior precisa˜o e facilidade. Tambe´m fica evidente que existem va´rios
me´todos com os quais podemos analisar tais gra´ficos e estes foram apresen-
tados neste relato´rio, assim como sua execuc¸a˜o.
Ainda vale destacar que esta aula experimental foi muito va´lida para o
esclarecimento de du´vidas remanescentes em relac¸a˜o a` construc¸a˜o e linea-
rizac¸a˜o de gra´ficos.
8 Referencial Bibliogra´fico
PIACENTINI, Joa˜o. Introduc¸a˜o ao Laborato´rio de F´ısica. 5a ed.
UDESC. Construc¸a˜o de Gra´ficos e Linearizac¸a˜o.
9 Anexos
Gra´fico 1: Gra´fico em papel milimetrado;
Gra´fico 2: Gra´fico linearizado em papel milimetrado;
Gra´fico 3: Gra´fico linearizado em papel di-log;
Gra´fico 4: Gra´fico linearizado em papel milimetrado pelo me´todo das
mudanc¸as de varia´veis.
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