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SÉRIES & EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Marivaldo P. Matos Prefácio A ideia de escrever este livro surgiu desde o momento que lecionava pela primeira vez a disciplina de cálculo diferencial e integral III no Departamento de Matemática da Universidade Federal da Paraíba, em João Pessoa, ocasião em que percebi a di�culdade da maioria dos alunos em absorver idéias intuitivas como o conceito de convergência e o conceito de solução de equações diferenciais. Visando contribuir para o ensino de séries e equações diferenciais, elaborei um texto em que os conceitos e métodos são expostos de maneira simples e clara, acompanhados de exemplos ilustrativos e utilizando uma linguagem próxima da empregada em sala de aula. O público a que o livro destina-se são os estudantes com conhecimento prévio de cálculo diferencial e integral, equivalente a dois períodos letivos, familiarizados com as ideias de derivada e integral, em seus aspectos fundamentais, e com uma noção razoável sobre simbologia e lógica matemática, de modo a compreender etapas que vão da formulação à demonstração de resultados matemáticos pouco so�sticados. Conhecimentos básicos de álgebra linear são recomendados. O livro é composto de uma parte sobre seqüências e séries e outra sobre equações diferenciais, onde apresento os conceitos e métodos fundamentais, com vistas às aplicações. Por se tratar de um texto de cálculo, julguei conveniente omitir a demonstração de alguns resultados, principalmente na parte de equações diferenciais, mas levando em consideração dois aspectos: primeiro, a formu- lação matemática adequada e, depois, a exempli�cação de como utilizá-los. Na vasta literatura sobre séries e equações diferenciais, o leitor poderá encontrar outros tópicos da teoria em que são abordados temas mais profundos, como por exemplo, convergência uniforme de séries de funções, decaimento e plano de fase de soluções de equações diferenciais etc. Acredito que esses temas este- jam voltados mais especi�camente para a área de exatas e que devam ser estudados em um segundo curso de equações diferenciais. Os assuntos foram escolhidos de modo a atender um número maior de cursos de graduação e distribuídos de tal maneira que a leitura deve ser feita passo a passo, tendo em vista a dependência entre uma seção e outra. Entretanto, a critério do professor e para tornar o curso de cálculo menos teórico, algumas demonstrações apresentadas no texto podem ser omitidas sem prejuízo de continuidade. Os termos ou expressões que considero pouco comuns foram grafados iv SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS em itálico e indicam que estão sendo de�nidos naquele ponto do texto ou que serão formalizados nas seções posteriores. Ao �nal de cada seção (ou capítulo) do livro, encontra-se relação de exercícios, de diversos modelos e distribuídos por assunto, para complementar e �xar a teoria. Acredito que não existe metodologia milagrosa para se aprender cálculo e, por essa razão, considero fundamental para o aluno tentar resolver todos os exercícios, à medida que avança na teoria. Isso certamente o conduzirá ao êxito no processo de treinamento, ademais propicia uma percepção de autoe�cácia. Marivaldo P. Matos O que há de novo nesta edição Nesta edição, procedemos algumas correções apontadas por colegas e estudantes de cálculo e efe- tuamos diversas mudanças em todo texto para dar maior clareza a exposição. Acrescentamos mais exemplos ilustrativos e exercícios complementares e um capítulo sobre equações diferenciais parciais, enfatizando o método de separação de variáveis. O autor é responsável pelo trabalho de digitação e edição das �guras. Agradecimentos Reconheço e agradeço a gentileza dos colegas Antonio de Andrade e Silva, Bosco Lacerda, Eliel A. de Melo, Fred Matias, José Martinho, Maria Espíndola, Nilza Ferreira e Roberto C. Bedregal, todos do Departamento de Matemática do CCEN - UFPB, pelas sugestões incorporadas ao texto e, sobretudo, pelo encorajamento para realizar esta obra. Aos meus inúmeros ex-alunos, que de alguma forma contribuíram para o sucesso deste trabalho, registro meus sinceros agradecimentos. Introdução O que torna a Matemática o mais belo ramo do conhecimento humano e sua autossu�ciência e seu poder de estar presente em diversas áreas cientí�cas, tanto do ensino quanto da pesquisa. Dessa forma, concebemos que o conhecimento matemático não deve ser apenas noticiado; ele deve ser pesquisado e amplamente divulgado. É com esse pensamento que dedicamos este livro ao aluno do segundo semestre da universidade, dos cursos de ciências exatas e engenharias, como referência para um curso de cálculo de 90 horas, equivalente a um semestre. Ao aluno com esse per�l que �zer a opção pelo estudo individual, recomendamos a leitura atenta dos conceitos e métodos e a resolução dos exercícios propostos ao �nal de cada seção. Sugerimos a resolução e a discussão em grupo ou em sala de aula do maior número possível dos exercícios, à medida que a teoria for desenvolvida. Alguns desses exercícios propostos complementam a teoria e outros servem para a �xação dos conceitos, resultados e métodos estudados. Na primeira parte do livro , que compreende os capítulos 1, 2, 3 e 4, apresentamos os con- ceitos fundamentais e principais resultados sobre a teoria de sequências e séries numéricas e uma introdução ao estudo de Séries de Fourier. Na segunda parte desenvolvemos a teoria sobre equação diferencial ordinária (EDO), iniciando com algumas aplicações práticas do dia a dia, e em seguida apresentamos os fundamentos teóricos sobre o assunto. Ainda sobre equação diferencial, achamos interessante acrescentar a esta edição um capítulo sobre equação diferencaial parcial (EDP) enfati- zando o método de Separação de Variáveis. Do ponto de vista matemático, todos os temas abordados no livro são importantes na formação do pro�ssional que irá atuar nos ramos da matemática, física e áreas a�ns como pesquisador e/ou professor. Os fundamentos teóricos sobre Séries de Fourier, abordados no Capítulo 4, e equações diferencias apresentados nos capítulos seguintes, são igualmente relevantes para o pro�ssional das outras áreas, como as engenharias, que irá atuar na área do ensino ou da pesquisa no nível de graduação ou pós-graduação. O Capítulo 4, sobre Séries de Fourier, pode ser lido independentemente dos demais, e os viii SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Capítulos 8 e 9, que tratam de sistemas autônomos e separação de variáveis, respectivamente, não dependem do Capítulo 7, que trata de resolução de equações diferenciais ordinárias por séries de potências, e podem ser estudados logo após o Capítulo 6. A seguir apresentamos a interdependência entre os capítulos, que pode ser seguida a critério do professor orientador. �A mathematician is one to whom R1 �1 e �x2=2dx = p 2� is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.� Lord Kelvin Sumário 1. Sequências Numéricas 1 1.1 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Classi�cação: limitação e monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5 Indução Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. Séries Numéricas 29 2.1 Fundamentos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Séries de Termos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Estimativa do Erro . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2 p-séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.3 Comparação de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.4 Produto de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5 Séries Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.1 Estimativa do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Convergência Absoluta e Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7.1 Critérios da Razão e da Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7.2 Estimativa do Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.8 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 x SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3. Séries de Potências 67 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 Produto de Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Intervalo de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Derivação e Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5 Séries de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.5.1 Aproximação Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.6 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.7 Série Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.8 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4. Séries de Fourier 95 4.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.1 Derivação e Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2 Convergência das Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.1 Funções 2L-periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3 Extensões Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.5 Erro Quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5. EDO de Primeira Ordem 121 5.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1.1 Crescimento Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1.2 Problema de Mistura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.1.3 Queda dos Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.1.4 Decaimento Radiotivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.1.5 Juro Composto Continuamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.1.6 Variação de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.1.7 Circuitos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 SUMÁRIO xi 5.1.8 Trajetórias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.1.9 Velocidade de Escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.1.10 O dia da Caça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.1.11 Solução em Séries de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.2 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.3 Métodos Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3.1 EDO Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3.2 EDO Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3.3 EDO Separável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3.4 Funções Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.3.5 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3.6 Fatores Integrantes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.3.7 Método do Reagrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.8 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.3.9 Redução da Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.4 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.5 Existência e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.6 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6. EDO de Ordem Superior 159 6.1 Fundamentos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2 EDO Linear com Coe�cientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2.1 Caso Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2.2 Caso Não Homogêneo - Método dos Coe�cientes a Determinar (MCD) . . . . 172 6.3 EDO Linear com Coe�cientes Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.3.1 Equação de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6.3.2 Método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.3.3 Método de Variação dos Parâmentros - MVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.4 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.5.1 Vibrações Amortecidas e Forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 xii SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 6.5.2 Mola Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.5.3 Pêndulo Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.5.4 Movimento Harmônico Simples - MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.5.5 De�exão de Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.5.6 Vigas em Balanço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.5.7 Circuitos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.5.8 Cabos Suspensos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.6 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7. Resolução por Séries 199 7.1 Ilustrações do Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 7.2 Exercício Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.3 O Método da Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.4 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.5 O Método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.5.1 Equação Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.6 ExercíciosComplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8. Sistemas Autônomos 213 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.2 Sistemas Autônomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.3 Cálculo Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.4 Sistemas Não Homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.5 Exrcícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9. Separação de Variáveis 231 9.1 Vibrações de uma Corda Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.2 O Método de d�Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Caso Linear Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 O Problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Caso Linear Não Homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 SUMÁRIO xiii Dependência Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.3 O Método de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Respostas e Sugestões 251 Exercícios Complementares 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Exercícios Complementares 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Exercícios Complementares 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Exercícios Complementares 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Exercícios Complementares 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Exercícios Complementares 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Exercícios Complementares 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Exercícios Complementares 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Exercícios Complementares 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Exercícios Complementares 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Exercícios Complementares 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Exercícios Complementares 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Exercícios Complementares 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Exercícios Complementares 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Exercício Complementar 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Exercícios Complementares 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Exercícios Complementares 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Exercícios Complementares 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Referências Bibliográ�cas 269 Índice Remissivo 271 xiv SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Iniciamos este capítulo apresentando os conceitos e resultados fundamentais sobre sequências numéricas e �nalizamos com o Método de Indução Finita, amplamente utilizado na comprovação de sentenças matemáticas acerca dos números naturais. 1.1 Conceitos Preliminares Representamos por N o conjunto dos números inteiros positivos, isto é, N = f1; 2; 3; 4; :::g : Esse conjunto é denominado conjunto dos números naturais e cada número natural será tratado como índice ou ordem. O subconjunto de N constituído dos números pares será representado por NP e o subconjunto dos números ímpares por NI : Em símbolos escrevemos: NP = f2n; n 2 Ng e NI = f2n� 1; n 2 Ng : De�nição 1.1.1 Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função a : N ! R, que associa a cada número natural n um número real a (n). O valor da sequência a no número natural n é denominado n-ésimo termo ou termo geral da sequência a e é representado genericamente por an (lê-se "a índice n"). Por simplicidade, faremos referência ao termo geral an como sendo a sequência a; tal que a (n) = an. Assim, uma sequência nada mais é do que uma lista ordenada in�nita de números reais a1; a2; a3; : : : ; an; : : : em que a1 é o primeiro termo e an é o n-ésimo termo ou termo de ordem n. Em se tratando de uma lista in�nita cada termo an tem um sucessor an+1 e uma sequência pode ser representada de várias formas: (i) pelo seu termo geral, (ii) explicitando-se seus primeiros termos ou (iii) de forma recursiva, onde são dados o primeiro termo a1 e uma recorrência que expressa o termo genérico an+1 em função do seu antecessor an. Vejamos os exemplos a seguir. Exemplo 1.1.2 (a) 1; 1=2; 1=3; 1=4; � � � representa a sequência cujo termo geral é an = 1=n: 2 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS (b) �1; 1; �1; 1; � � � representa a sequência de termo geral bn = (�1)n : (c) xn = �n n+ 1 ; n 2 N; é o termo geral da sequência x : N ! R; tal que x (n) = �n n+ 1 : Seus quatro primeiros termos são: �1=2; �2=3; �3=4; �4=5 . (d) A sequência de termo geral an = ������ 1=n; se n 2 NP�1=n2; se n 2 NI pode ser representada listando-se seus primeiros termos: �1; 1=2; �1=9; 1=4; �1=25; � � � . (e) A sequência fang ; de�nida pela recorrência: a1 = 1 e an+1 = 1� an tem para termo geral an = 1 2 [1� (�1) n] : Observação 1.1.3 Em princípio, poderíamos denominar sequência a qualquer função a : N0 ! R, onde N0 = fn1 < n2 < n3 < � � � g é um subconjunto in�nito de N: A essa restrição daremos o nome de subsequência ou subsucessão. Mais precisamente, temos a de�nição a seguir: De�nição 1.1.4 Dada uma sequência a : N! R, as restrições de a a subconjuntos in�nitos de N são denominadas subsequências da sequência a: Representando a sequência a pelo seu termo geral fang ; n 2 N, podemos a�rmar que as subsequências de a, ou de fang, são aquelas sequências fakg, com k 2 N0, sendo N0 um subconjunto não limitado (isto é, in�nito) do conjunto N dos números naturais. É claro que toda sequência é uma subsequência dela própria e dentre as subsequências de uma dada sequência fang destacamos duas particularmente importantes: a subsequência par fa2ng e a subsequência ímpar fa2n�1g : Uma maneira e�caz de construir outras subsequências de uma sequência fang é considerar partes in�nitas e disjuntas do conjunto N e restringir a sequência a essas partes. Podemos considerar, por exemplo: N2 = f2; 4; 8; 16; : : :g (potências de 2) N3 = f3; 9; 27; 81; : : :g (potências de 3) N5 = f5; 25; 125; 625; : : :g (potências de 5) N7 = f7; 49; 343; 2401; : : :g (potências de 7) e as subsequências fakgk2N2 ; fakgk2N3 ; fakgk2N5 e fakgk2N7 : Exemplo 1.1.5 CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 3 (a) As subsequências par e ímpar da sequência an = (�1)n são as sequências constantes a2n = 1 e a2n�1 = �1, respectivamente. (b) A sequência 1=5; 1=6; 1=7; 1=8; : : : é uma subsequência da sequência an = 1=n. Nesse caso, N0 = f5; 6; 7; 8; 9; : : :g e a subsequência pode ser representada também nas seguintes formas: bn = 1 n ; n 2 N0 ou bn = 1 n+ 4 ; n 2 N: De forma geral, �xado um número natural p, então a sequência bn = an+p é de fato uma subse- quência de fang, onde consideramos para domínio o subconjunto N0 = f1 + p; 2 + p; 3 + p; : : :g : (c) As sequências an : 1=2; 1=4; 1=6; : : : ; bn : 1; 1=3; 1=5; 1=7; : : : e cn : 1=2; 1=3; 1=5; 1=7; : : : são subsequências da sequência an = 1=n, onde consideramos para domínio o subconjunto N0 dado, respectivamente, por N0 = NP ; N0 = NI e N0 = fn 2 N; n é um número primog : 1.1.1 Classi�cação: limitação e monotonia De�nição 1.1.6 Uma sequência fang é dita limitada superiormente quando existir um número real M , denominado cota superior da sequência, que atende à seguinte condição: an �M ; 8n: (1.1)De�nição 1.1.7 Uma sequência fang é dita limitada inferiormente quando existir um número real m, denominado cota inferior da sequência, que atende à seguinte condição: m � an ; 8n: (1.2) De�nição 1.1.8 Uma sequência fang é dita limitada quando o for superior e inferiormente, isto é, quando existir uma constante positiva C tal que: janj � C ; 8n: (1.3) Observamos que a condição (1.3) é equivalente a existência de constantes m e M tais que m � an � M; 8n; e para que a sequência fang seja limitada é su�ciente que a desigualdade (1.3) ocorra a partir de algum índice n0, isto é, janj � C ; 8n � n0: É claro que se M for uma 4 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS cota superior da sequência fang, então qualquer número real maior do que M também será cota superior de fang. A menor dessas cotas superiores é denominada supremo de fang e denotada por sup fang. Analogamente, se a sequência fang é limitada inferiormente ela possui uma in�nidade de cotas inferiores, sendo a maior delas denominada ín�mo da sequência e denotada por inf fang. Informações mais precisas sobre os números sup e inf fogem ao nosso objetivo e são consideradas em textos mais avançados. No presente momento desejamos deixar claro dois fatos fundamentais: primeiro que toda sequência limitada superiormente tem supremo �nito e toda sequência limitada inferiormente tem ín�mo �nito; depois, que para cada " > 0, o número real � = sup fang � ", por ser menor do que o supremo da sequência fang, não pode ser cota superior e, por essa razão, algum termo da sequência, por exemplo an1 , é tal que: � = sup fang � " < an1 : (1.4) Para o ín�mo ocorre um fato análogo. Sendo � = inf fang + " um número real maior do que o ín�mo da sequência fang, algum termo da sequência, por exemplo an2 , é tal que: � = inf fang+ " > an2 : (1.5) Exemplo 1.1.9 (a) A sequência de termo geral an = n não é limitada superiormente, mas é inferiormente, sendo 1, ou qualquer número menor que 1, uma cota inferior de fang: A maior das cotas inferiores de fang é m = 1, isto é, inf fang = 1: (b) A sequência de termo geral an = 1� n2 é limitada superiormente, mas não inferiormente. Neste caso, qualquer número não negativo é cota superior de fang e a menor das cotas superiores é M = 0, isto é, sup fang = 0: (c) A sequência de termo geral an = (�1)n é limitada, sendo sup fang = 1 e inf fang = �1: (d) A sequência de termo geral an = 1=n é limitada, sendo supfang = 1 e inffang = 0: Notamos que, neste caso, o ín�mo não é termo da sequência. (e) A sequência de termo geral an = (�1)n n não é limitada nem superiormente nem inferior- mente. Para tal sequência sup an = +1 e inf an = �1: (f) A sequência de termo geral an = n n+ 1 é limitada, porque 0 � n n+ 1 � 1; 8n: Neste caso, CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 5 supfang = 1 e inffang = 1=2 e o supremo não é termo da sequência. De�nição 1.1.10 A sequência fang denomina-semonótona não decrescente quando an � an+1; 8n; isto é, a1 � a2 � a3 � � � � � an � � � � : De�nição 1.1.11 A sequência fang denomina-semonótona não crescente quando an+1 � an; 8n; isto é, a1 � a2 � a3 � � � � � an � � � � : Nas de�nições 1.1.10 e 1.1.11 quando ocorrerem as desigualdades estritas < e > no lugar de � e �; respectivamente, a sequência será denominada monótona crescente ou monótona decrescente, conforme o caso. Como consequência dessas de�nições, deduzimos que toda sequência não decres- cente é limitada inferiormente pelo seu primeiro termo, enquanto que uma sequência não crescente é limitada superiormente, também pelo seu primeiro termo. Além disso, a única sequência que é ao mesmo tempo monótona não crescente e monótona não decrescente é a sequência constante (comprove esta última a�rmação!). Exemplo 1.1.12 (a) As sequências an = n e bn = lnn são crescentes, enquanto que cn = �n3 e dn = 1=n são decrescentes. (b) A sequência an = (�1)n é não monótona, isto é, não é crescente nem decrescente. Notamos que seus termos são alternadamente positivos e negativos e, por essa razão, ela recebe o nome de sequência alternada. (c) A sequência an = n n+ 1 é crescente. De fato, comparando an+1 com an, temos: an+1 an = n+ 1 n+ 2 � n+ 1 n = n2 + 2n+ 1 n2 + 2n > 1; 8n; e isso implica que an+1 > an; 8n: A monotonicidade (ou monotonia) de algumas sequências pode ser deduzida por investigação do sinal da derivada da função extensão. Com efeito, para a sequência do Exemplo 1.1.12(c), consideramos a função f (x) = x x+ 1 , de�nida para x � 1, cuja derivada f 0 (x) = 1 (x+ 1)2 ; sendo positiva, implica que a função f é crescente e daí concluimos que f (n) � f (n+ 1) ; 8n. Essa técnica, embora e�ciente, não se aplica a todas as sequências, como mostra o exemplo a seguir. 6 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS Exemplo 1.1.13 O fatorial de um número natural n é de�nido por n! = 1 � 2 � 3 � � � � � n e convenciona-se 0! = 1. Assim, (n+ 1)! = (n+ 1)n! e para a sequência an = n! 1 � 3 � 5 � 7 � : : : � (2n� 1) não é possível de�nir a função extensão como uma função elementar do cálculo. Para veri�car que ela é decrescente, procedemos como no Exemplo 1.1.12(c), comparando os termos genéricos an e an+1: Nesse caso, temos: an+1 an = 1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1) (n+ 1)! 1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1) (2n+ 1)n! = n+ 1 2n+ 1 < 1; 8n; de onde resulta que an+1 < an; 8n 2 N; e, portanto, a sequência é decrescente. 1.2 Exercícios Complementares 1.2A Dê exemplo de uma sequência fang ; não constante, para ilustrar cada situação abaixo: (a) limitada e crescente (b) limitada e decrescente (c) limitada e não monótona (d) não limitada e não crescente (e) não limitada e não monótona (f) monótona e não limitada. 1.2B Em cada caso abaixo, encontre os quatro primeiros termos da sequência: (a) an = 1 2n� 1 (b) bn = p n+ 1� p n (c) cn = (�1)n n: 1.2C Faça um grá�co que represente os primeiros termos da sequência an = n n+ 1 ; ligados por segmentos de retas, e veri�que quantos pontos da forma (n; an) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas y = 4=5 e y = 6=5: 1.2D Dê exemplo de uma sequência limitada e não monótona com uma subsequência crescente. 1.2E Expresse pelo seu termo geral cada sequência dada abaixo: (a) 1; 1=2; 1=3; 1=4; : : : (b) 1; 0; 1; 0; 1; : : : (c) 1=2; 1=4; 1=8; 1=16; : : : (d) 0; 2; 0; 2; 0; 2; 0; : : : (e) 1; 9; 25; 49; 81; : : : (f) 0; 3=2;�2=3; 5=4;�4=5; 7=6 : : : (g) 2; 1; 3=2; 1; 4=3; 1; : : : (h) 0; 3; 2; 5; 4; : : : (i) 1=2;�1=4; 1=6;�1=8; 1=10;�1=12 : : : (j) 1; 10; 2; 102; 3; 103; : : : (k) 1; 3=2; 2; 5=2; 3; : : : (l) �4;�2;�4;�2; : : : 1.2F Classi�que as sequências do Exercício 1.2E quanto à limitação e monotonia e selecione de (e), (f) e (i) uma subsequência crescente. Qual delas possui uma subsequência constante? CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 7 1.2G Determine o sup e o inf das seguintes sequências: (a) � �n2 + n (b) � 2n n! � (c) � 2 3n� 4 � (d) � 1� 1 n � (e) flnng (f) � 3n2 n2 + n � (g) f(�2)ng (h) f(�1)n + 2=ng : 1.2H Considere as funções f (x) = cosx, g (x) = senx e h (x) = (1 + x)�1. Encontre expressões para as derivadas de ordem n dessas funções, no ponto x = 0. 1.2I Construa uma sequência fang não constante, crescente e limitada superiormente e observe o comportamento da sequência quando n!1: Faça a mesma análise com uma sequência decrescente e limitada inferiormente. 1.2J Construa uma sequência fang ; cuja distância entre quaisquer dois termos consecutivos é 4. 1.2K Dê exemplo de uma sequência fang com as seguintes características: os termos de ordem par estão entre 3 e 4, os termos de ordem ímpar estão entre 4 e 5, mas an se aproxima do número 4, à medida que o índice n vai aumentando. 1.2L Considere a sequência de termo geral an = 1 + 2p3 sen (2n+2)� 3 . Escreva os 10 primeiros termos da sequência fang e calcule a201: 1.3 Sequências Convergentes O conceito de limite que daremos a seguir é motivado pelo comportamento dos termos da sequência an = 1=n, quando n tende para o 1, isto é, quando n cresceinde�nidamente. À medida que n aumenta, os pontos (n; 1=n) sobre a curva y = 1=x; x > 0, se aproximam do eixo x e isso signi�ca que os termos an, que representam as alturas dos pontos (n; 1=n) ao eixo x, se aproximam de zero, como na �gura 1.1. A faixa horizontal compreendida entre as retas y = �"; " > 0, contém todos os termos da seqüência, a partir de uma certa ordem. Em símbolos escrevemos: lim n!1 (1=n) = 0 ou lim (1=n) = 0 ou ainda 1=n! 0. 8 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS De�nição 1.3.1 Dizemos que o número real l é limite da sequência fang, ou que a sequência fang converge para l; quando a seguinte condição for atendida: 8 " > 0; 9n0 2 N; tal que jan � lj < "; 8n � n0: (1.6) Sobre a De�nição 1.3.1 são necessários os seguintes comentários: (a) O número natural n0 da de�nição de limite em geral depende do número " dado. (b) Considerando que jan � lj < " é equivalente a l � " < an < l + ", ou ainda que an jaz no intervalo aberto (l � "; l + "), a sentença (1.6) estabelece que fora do intervalo (l � "; l + ") existe no máximo uma quantidade �nita de termos da sequência ou, em outras palavras, que todos os termos da sequência a partir do termo de ordem n0 estão dentro do intervalo aberto (l � "; l + ") : (c) A convergência e o valor do limite de uma sequência não são alterados quando se mexe em uma quantidade �nita de termos. Aqui mexer signi�ca acrescentar, omitir ou simplesmente mudar o valor. Por essa razão, dizemos que a convergência de uma sequência é determinada pelo comportamento de sua cauda. (d) Se os termos de uma sequência fang estão, a partir da ordem n0; entre os números a e b, isto é, a � an � b; 8n � n0, então o limite de an, caso exista, está entre a e b. De fato, se l = lim an fosse maior do que b, então os termos an; para n su�cientemente grande, por estarem arbitrariamente próximos de l seriam maiores do que b, contradizendo a desigualdade an � b: Um raciocínio análogo se aplica para deduzir que l � a: (e) Finalmente, observamos que uma sequência convergente não pode ter dois limites. De fato, se l1 = lim n!1 an e l2 = lim n!1 an; então dado um número real positivo ", existem, de acordo com De�nição 1.3.1, dois números naturais n1 e n2; tais que: (i) jan � l1j < "; 8 n � n1 e (ii) jan � l2j < "; 8 n � n2. Para que essas desigualdades ocorram simultaneamente, é su�ciente considerarmos um índice que seja maior ou igual do que n1 e n2, ao mesmo tempo. Se n3 é um tal índice, temos: jl1 � l2j = jl1 � an3 + an3 � l2j � jan3 � l1j+ jan3 � l2j < 2" (1.7) e sendo (1.7) válida para qualquer " positivo, teremos l1 = l2, resultando a unicidade do limite. CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 9 Apresentaremos a seguir alguns exemplos simples, mostrando como usar a De�nição 1.3.1 para provar que um dado número l é limite de uma dada sequência. O cálculo de limites em geral é feito por meio de artifícios e Critérios (Teoremas) de Convergência, que serão abordados mais adiante. Exemplo 1.3.2 (a) Como primeiro exemplo, veri�caremos que lim n!1 1 n = 0. Nesse caso, l = 0; an = 1 n e, para ilustrar a De�nição 1.3.1, consideremos " = 0:01. Para que ocorra ���� 1n � 0 ���� < 0:01, basta considerarmos n > 100, já que isto é equivalente a 1 n < 0:01. Assim, n0 = 101 satisfaz (1.6) com " = 0:01: No caso geral, dado " > 0, escolhamos n0 2 N tal que n0 > 1 " . É claro que se n � n0, então 1 n � 1 n0 < " e isto acarreta ���� 1n � 0 ���� < ": Este é um exemplo de uma sequência monótona (decrescente) convergente. (b) Mostraremos agora que a sequência de termo geral an = n n+ 1 converge para 1. De fato, seja " > 0 dado e observemos que:���� nn+ 1 � 1 ���� < ", 1n+ 1 < ", n > 1" � 1: A última desigualdade nos sugere escolher n0 como o primeiro número natural maior do que 1 " � 1. É claro que qualquer outro número natural maior do que este n0 estabelecido também atende à de�nição de convergência. Se, por exemplo, " = 0:01, então 1 " � 1 = 1 0:01 � 1 = 99 e n0 = 100 é o primeiro índice a partir do qual os termos da sequência jazem no intervalo aberto (0:99; 1:01). Fora desse intervalo, existe exatamente noventa e nove termos da sequência. (c) A sequência an = rn, onde r é um número real �xado tal que �1 < r < 1; converge para zero. Lembramos que convergir signi�ca ter limite �nito! Para veri�car que a sequência tem limite zero, inicialmente admitimos r 6= 0: Dado " > 0; como 0 < jrj < 1; temos que ln jrj está de�nido, é um número negativo e, além disso: jrn � 0j = jrnj < ", n ln jrj < ln ", n > ln " ln jrj : Como no exemplo anterior, a última desigualdade sugere escolher n0 qualquer número natural que seja maior do que ln " ln jrj e a sentença (1.6) será atendida para este n0: O caso r = 0 é óbvio, 10 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS porque, nesse caso, a sequência é identicamente nula, isto é, todos os seus termos são iguais a zero. Aliás, se os termos de uma dada sequência permanecem, a partir de certa ordem, constante, então a sequência é convergente e seu limite é esse valor constante. Isto é bastante intuitivo, desde que a convergência de uma sequência é estabelecida pelo comportamento de sua cauda. (d) Existem sequências (não limitadas) cujos termos crescem arbitrariamente à medida que o índice n aumenta. Isto ocorre, por exemplo, com a sequência de termo geral an = n: Neste caso, dizemos que a sequência tem limite in�nito e anotamos lim n!1 an =1. Isso signi�ca que dado qualquer número real K, a partir de certa ordem os termos da sequência ultrapassam o valor K: Para a sequência bn = �n ocorre o oposto, isto é, seus termos decrescem arbitrariamente à medida que o índice n aumenta. Nesse caso, dizemos que a sequência tem limite igual a �1 e anotamos lim n!1 bn = �1. No Exercício 1.4G o deixamos a tarefa de provar que se r > 1; a sequência frng tem limite igual a 1: (e) A sequência cujo termo geral é an = 2n2 n2 � 4 não está de�nida para n = 2. Nesse caso, ou restringimos o domínio da sequência considerando n � 3; ou de�nimos o seu valor quando n = 2. Nenhuma dessas opções interfere na convergência, porque a cauda da sequência não é modi�cada. Mostremos que a sequência fang converge para 2. De fato, dado " > 0, temos:���� 2n2n2 � 4 � 2 ���� < ", ����2n2 � 2n2 + 8n2 � 4 ���� < ", ���� 8n2 � 4 ���� < ": (1.8) Para n � 3, temos que n2� 4 � 5 e para estabelecer (1.8) basta considerarmos n2� 4 > 8="; isto é, n > p 4 + 8=". Isso nos sugere escolher n0 como o primeiro número natural tal que n0 > p 4 + 8=". Se n � n0, então n � 3 e (1.8) é válida. Qual seria o n0 correspondente a " = 0:002 ? E se " for igual a 8 ? (f) Para provar que a sequência an = (�1)n não converge, usamos a noção intuitiva de limite. Ora, se ela fosse convergente, seus termos, a partir de uma ordem arbitrariamente grande, estariam su�cientemente próximos de determinado número l; que é seu limite. Aqui su�cientemente próximo signi�ca que a distância entre eles pode tornar-se tão pequena quanto desejarmos. Disto segue que dois termos consecutivos an e an+1 da sequência fang deveriam estar su�cientemente próximos, desde que o índice n fosse bastante grande. Sendo an = (�1)n ; a distância entre dois termos consecutivos da sequência fang é sempre 2, que certamente não pode se tornar arbitrariamente CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 11 pequena: Quando uma sequência não converge, ela é denominada divergente. Este é um exemplo de uma sequência limitada, mas que não tem limite! (g) No exemplo precedente usamos o seguinte argumento intuitivo: se uma sequência fang é convergente, as distâncias jan+1 � anj entre dois termos consecutivos aproximam-se de zero, com n ! 1: Aqui vale ressaltar que existem sequências para as quais as distâncias entre dois termos consecutivos tendem para zero e, ainda assim, elas não convergem. Isso ocorre com a sequência bn = lnn que não é limitada � e, portanto, não converge � embora as distâncias jbn+1 � bnj = ln (1 + 1=n) aproximem-se de zero, com n!1: (h) As sequênciasan = n e bn = �n não são limitadas e isso é su�ciente para elas não convergirem. Uma sequência não limitada não pode convergir, porque seus termos crescem ou decrescem arbitrariamente e, sendo assim, eles não se aproximam de um número real l que seria seu limite. Os resultados dados a seguir serão utilizados como critérios de convergência e técnicas para o cálculo de limites. Critério 1.3.3 (Critério da Limitação) Se (an) é uma sequência convergente, então (an) é limitada, isto é, existe uma constante positiva C tal que janj � C; 8n. Demonstração Seja fang uma sequência convergente com limite l. De acordo com a de�nição de limite, correspondendo a " = 1; existe um índice n0 a partir do qual se tem jan � lj < 1. Usando a desigualdade triangular podemos assegurar que: janj = jan � l + lj � jan � lj+ jlj < 1 + jlj ; 8n � n0; (1.9) e os termos da sequência que, possivelmente, não atendem à condição (1.9) são: a1; a2; a3; ::::; an0�1. Representando por C o maior entre os números 1 + jlj ; ja1j ; ja2j ; ja3j ; ::::; jan0�1j, teremos: janj � C ; 8n: Observação 1.3.4 Uma maneira de utilizar o Critério da Limitação 1.3.3 para veri�car que uma dada sequência não converge é mostrar que ela não é limitada. As sequências fang e fbng do Exemplo 1.3.2 (g) não são limitadas sendo, portanto, divergentes. É oportuno observar que a 12 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS recíproca do Critério 1.3.3 não é verdadeira, isto é, existem sequências que são ao mesmo tempo limitadas e divergentes (veja a sequência do Exemplo 1.3.2 (f)). Lembramos que há diferença entre ser limitada (De�nição 1.1.8 ) e ter limite (De�nição 1.3.1). Critério 1.3.5 (Critério da Extensão) Se f : [a;1)! R é uma função tal que lim x!1 f (x) = l, então a sequência an = f (n) ; n � a; é convergente e seu limite é igual a l: Se lim x!1 f (x) = �1, então a sequência fang é divergente. Demonstração Da de�nição de limite no in�nito para funções reais de�nidas em intervalos, a cada " > 0 corresponde um número real K > 0; tal que jf (x)� lj < " ; 8x � K: Passando para a linguagem de sequências, escolhemos um índice n0 � K e teremos jf (n)� lj < " ; 8n � n0: Nos casos em que é possível utilizar o Critério da Extensão 1.3.5, o cálculo de limites de sequências torna-se relativamente simples, especialmente quando se usa Técnicas de Cálculo, a exemplo da famosa Regra de L�Hôpital. Exemplo 1.3.6 (a) Para calcular o limite da sequência an = lnn n , consideramos a função extensão f (x) = lnx x , de�nida para x > 0; e investigamos seu limite no in�nito. Da regra de L�Hôpital resulta que: lim x!1 lnx x = lim x!1 1=x 1 = lim x!1 1 x = 0 e pelo Critério da Extensão concluímos que a sequência lnn n converge para 0: Por simplicidade, ao aplicar a regra de L�Hôpital tratamos n como uma variável contínua e escrevemos lim n!1 lnn n = (usar a regra de L�Hôpital) = lim n!1 1=n 1 = lim n!1 1 n = 0: (b) Quando o termo geral de uma sequência fang é uma função racional de n, isto é, um quociente de dois polinômios na variável n, sua convergência pode ser investigada também através do Critério 1.3.5, colocando em evidência o termo de maior grau no numerador e no denominador. Por exemplo, para a sequência de termo geral an = n3 + 3n2 + 4n� 5 �3n3 + 5n , a função extensão é: f (x) = x3 + 3x2 + 4x� 5 �3x3 + 5x = 1 + 3=x+ 4=x2 � 5=x3 �3 + 5=x2 CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 13 e cada termo na expressão de f (x) contendo potências de x no denominador tem limite zero, quando x ! 1. Usando propriedades de limites para funções reais, concluimos que lim x!1 f (x) = �1=3 e, portanto, a sequência fang tem limite igual a �1=3: O próximo resultado estabelece as propriedades básicas para o limite de sequências. Essas propriedades são análogas àquelas para o limite de funções reais de�nidas em intervalos, e suas demonstrações serão apresentadas sem maiores detalhes. Devemos ter em mente que o número positivo " que �gura na de�nição de limite, sendo arbitrário, pode ser substituído por qualquer outro do tipo K", sendo K um número positivo, sem comprometer a generalidade da de�nição. Proposição 1.3.7 (Propriedades Algébricas do Limite) Sejam fang e fbng sequências con- vergentes com limite l e r; respectivamente. Então: (a) a sequência fan � bng converge para l � r; (b) a sequência fc � ang converge para c � l; onde c é uma constante; (c) a sequência fjanjg converge para jlj ; (d) a sequência fan � bng converge para l � r; (e) a sequência fan=bng converge para l=r, quando r 6= 0 e bn 6= 0; 8n: Demonstração Seja " > 0 dado. Pela de�nição de limite, existem índices n1 e n2 tais que: jan � lj < "; 8n � n1 (1.10) jbn � rj < "; 8n � n2 (1.11) e considerando um índice n0 maior do que n1 e n2, de modo que (1.10) e (1.11) ocorram simul- taneamente, temos para n � n0 que: (a) jan � bn � (l � r)j � jan � lj+ jbn � rj < "+ " = 2"; (b) jcan � clj = jcj jan � lj < jcj "; (c) jjanj � jljj � jan � lj < "; (d) janbn � lrj = janbn � bnl + bnl � lrj � jbnj jan � lj+ jlj jbn � rj � (C + jlj) ", 14 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS onde C é uma constante positiva que limita a sequência fbng : O Critério da Limitação 1.3.3 assegura a existência da constante C. (e) Considerando uma constante positiva C, tal que 1 jbnj � C, 8 n; (veja o Exercício 1.4I), encontramos:����anbn � lr ���� = ����anr � bnl � lr + lrrbn ���� � 1jbnj (jan � lj+ jl=rj jbn � rj) < C(1 + jl=rj)": Observação 1.3.8 Com as Propriedades Algébricas 1.3.7, o cálculo de limites torna-se mais prático. Não é mais necessário introduzir a função extensão f (x), a menos que se faça referência às suas propriedades analíticas como continuidade, derivabilidade, etc. Por exemplo, para calcular o limite da sequência an = n2 + 3 4n2 � 2n+ 1 , procedemos como no exemplo 1.3.6(b), colocando em evidência o termo de maior grau no numerador e no denominador, resultando: lim n!1 n2 � 1 + 3=n2 � n2 (4� 2=n+ 1=n2) = limn!1 1 + 3=n2 4� 2=n+ 1=n2 = 1 4 : Para que �que bem claro o procedimento acima, calculamos os limites do numerador e do denomi- nador separadamente. Para o numerador, temos: lim n!1 � 1 + 3=n2 � = lim n!1 1 + lim n!1 3=n2 = 1 + 3 lim n!1 1=n � lim n!1 1=n = 1 + 0 = 1: Para o denominador, temos: lim n!1 � 4� 2=n+ 1=n2 � = lim n!1 4� 2 lim n!1 1=n+ lim n!1 1=n2 = 4� 0 + 0 = 4: Critério 1.3.9 (Critério do Limite Zero) Se uma sequência fang converge para zero e fbng é uma sequência limitada, então a sequência produto fan � bng converge para zero. Demonstração Seja " > 0 dado. Como a sequência fang converge para zero, a esse " corre- sponde um índice n0 tal que janj < ", sempre que n � n0: Ora, sendo fbng uma sequência limitada, existe uma constante positiva C tal que jbnj � C; seja qual for o índice n, e certamente para qualquer n � n0 teremos: janbn � 0j = janbnj = janj jbnj < C": CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 15 No Critério 1.3.9 a sequência fbng é apenas limitada, podendo ser convergente ou não. Por essa razão não foi usado na demonstração daquele critério a propriedade do limite referente ao produto de sequências, a qual exige a existência dos limites das sequências envolvidas. Exemplo 1.3.10 Usando os resultados obtidos até o momento, é possível calcular de maneira relativamente simples o limite da sequência cujo termo geral é an = (1=n) sen (n� + 3)+5=2n . Nesse caso, o termo geral an pode ser decomposto da seguinte forma: an = bn � cn+5 � dn, onde bn = 1=n converge para zero, cn = sen (n� + 3) é limitada, embora não seja convergente, e dn = 1=2n também converge para zero, de modo que a sequência original tem limite zero. Esquematizando, temos: 1=n|{z} # 0 � sen (n� + 3)| {z } limitada + 5|{z} # 5 � (1=2)n| {z } # 0 �! 0 Como foi mencionado na Observação 1.3.4, existem sequências limitadas que não possuem limites e, portanto, a condição �ser limitada�não é su�ciente para garantir a convergência. Entre- tanto, adicionando-se à limitação a condição de monotonicidade, �caassegurada a convergência. Este fato é estabelecido pelo critério dado a seguir. Critério 1.3.11 (Critério da Convergência Monótona) Toda sequência que é ao mesmo tempo limitada e monótona é convergente. Demonstração A demonstração será feita para uma sequência decrescente limitada, podendo ser facilmente adaptada para o caso em que a sequência é crescente limitada. Seja então fang uma sequência decrescente, limitada inferiormente e seja l = inf fang. Dado " > 0, segue de (1.5) que existe um índice n0 tal que l + " > an0 e, sendo a sequência fang decrescente, temos: an � an0 < l + " ; 8n � n0: (1.12) Por outro lado, sendo l o ín�mo da sequência fang, então l � an ; 8n; de modo que: l � " < l � an ; 8n; (1.13) e combinando (1.12) e (1.13), resulta l � " < an < l + " ; 8n � n0, isto é, jan � lj < " ; 8n � n0: Com isso provamos que lim n!1 an = l: 16 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS Acabamos de provar que uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge para o seu ín�mo. De modo similar prova-se que uma sequência crescente e limitada superiormente é conver- gente e o limite é o seu supremo. Exemplo 1.3.12 No Exemplo 1.1.13 veri�camos que a sequência de termo geral an = n! 1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1) é decrescente e, de acordo com o Critério 1.3.11, para concluir que ela converge basta veri�car que ela é limitada. Ora, 0 < an = 1 1 � 2 3 � 3 5 � 4 7 � ::: � n 2n� 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � ::: � 1 = 1 ; 8n; provando que ela é limitada. No Exemplo 1.3.18 mostraremos que: lim n!1 n! 1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1) = 0 e do Critério 1.3.11 deduzimos que inf fang = 0: É oportuno ressaltar que a sequência xn = x� an é crescente, tem limite x e, portanto, sup fxng = x; além disso, inf fxng = x� a1 = x� 1: Critério 1.3.13 (Critério do Confronto) Sejam fang ; fbng e fcng três sequências satisfazendo à condição: an � bn � cn ; 8n. Se lim n!1 an = lim n!1 cn = l, então a sequência fbng é convergente e seu limite é igual a l: Demonstração Dado " > 0, seja n0 um índice a partir do qual se tem: � " < an � l < " e � " < cn � l < " : (1.14) Notando que an � l � bn � l � cn � l e usando as desigualdades (1.14), obtemos: �" < bn � l < " ; 8n � n0; ou, de modo equivalente, jbn � lj < " ; 8n � n0: O critério apresentado a seguir faz referência às subsequências par e ímpar, podendo ser generalizado para qualquer par de subsequências que juntas contenham todos os termos da sequência original, a partir de determinada ordem. CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 17 Critério 1.3.14 (Critério das Subsequências) Uma sequência fang converge para l se, e somente se, as subsequências fa2ng e fa2n�1g convergem para l: Demonstração Ao usar a de�nição de limite procura-se, a partir de um " > 0 dado, um inteiro positivo n0 tal que jan � lj < "; 8n � n0, sem, contudo, exigir que o n seja par ou ímpar. � Observação 1.3.15 Quando uma sequência converge para um número l, demonstra-se que qual- quer subsequência dela converge para esse mesmo l. Agora, uma sequência divergente pode ter várias subsequências convergindo para o mesmo valor. Isso não contradiz o resultado contido no Critério 1.3.14 porque aquelas duas subsequências citadas no critério, juntas, contêm todos os termos da sequência original e por isso elas são especiais. Também pode acontecer de todas as subsequências de uma dada sequência serem divergentes, como é o caso da sequência an = n . Exemplo 1.3.16 (a) a sequência an = (�1)n é divergente porque as subsequências par e ímpar convergem para valores distintos. De fato, a2n = (�1)2n = 1; 8n; converge para 1, enquanto que a2n�1 = (�1)2n�1 = �1; 8n; converge para �1: (b) a sequência an = (�1)n n ; embora alternada, converge para zero, porque a subsequência par a2n = 1 2n e a subsequência ímpar a2n�1 = �1 2n� 1 convergem para zero. (c) a sequência an : 1; 1=2; 3; 1=4; 5; 1=6; : : : é divergente. De fato, a subsequência par é a2n = 1=2n; converge para zero, enquanto a subsequência ímpar a2n�1 = 2n� 1 é divergente. (d) Consideremos os subconjuntos N2 = f2k; k = 1; 2; 3; : : :g e N3 = f3k; k = 1; 2; 3; : : :g dos números naturais e a sequência fang de�nida por: an = 1=n, se n 2 N2 [ N3; e an = n, caso contrário. A sequência fang não converge, porque não é limitada, embora as subsequências fangn2N2 e fangn2N3 tenham o mesmo limite. Critério 1.3.17 (Critério da Razão) Se an 6= 0; 8n, e a razão ����an+1an ���� tem limite l < 1, então a sequência fang é convergente e lim an = 0. Demonstração Como lim an = 0 se, e somente se, lim janj = 0, não há perda de generalidades em admitirmos que an > 0; 8n. Consideremos, então, um número real r tal que l < r < 1 e 18 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS 0 < an+1 an < r, a partir de uma certa ordem n0 (este índice n0 corresponde à escolha de " = r � l na De�nição 1.3.1). Como r < 1; a desigualdade an+1=an < r implica que an+1 < an; para n � n0; e, portanto, a sequência fang se torna decrescente a partir da ordem n0. Sendo assim: 0 < an � an0 ; 8n � n0; (1.15) e esta relação (1.15) assegura a limitação da sequência fang, colocando-a nas condições do Critério 1.3.11, sendo por conseguinte convergente. Para provar que fang converge para zero, raciocinamos por absurdo admitindo que seu limite é um número s 6= 0: Como a sequência fan+1g também converge para s; por ser uma subsequência de fang ; resulta que l = lim n!1 an+1 an = lim n!1 an+1 lim n!1 an = s s = 1; contradizendo a hipótese de ser l um número < 1: Exemplo 1.3.18 Usando o Critério 1.3.17 provaremos que as sequências an = n! nn ; bn = rn n! ; cn = (�1)n n! 1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1) e dn = np 2n convergem todas para zero. Com efeito, todas essas sequências são de termos não nulos, e de acordo com o Critério 1.3.17 é su�ciente provar em cada caso que a razão xn+1=xn em valor absoluto tem limite menor do que 1. Para a sequência fang ; temos: lim n!1 ����an+1an ���� = limn!1 (n+ 1)!(n+ 1)n+1 � nnn! = limn!1 � n n+ 1 �n = 1 e < 1: Aqui usamos o seguinte limite fundamental do cálculo: lim x!1 � 1 + 1 x �x = e. Para a sequência fbng ; temos: lim n!1 ����bn+1bn ���� = limn!1 jrjn+1(n+ 1)! � n!jrjn = jrj limn!1 1n+ 1 = 0 < 1: Para a sequência fcng ; temos: lim n!1 ����cn+1cn ���� = limn!1 1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1) (n+ 1)!1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1) (2n+ 1)n! = limn!1 n+ 12n+ 1 = 12 < 1: Finalmente, para a sequência fdng ; temos: lim n!1 ����dn+1dn ���� = limn!1 (n+ 1)p2n+1 � 2nnp = 12 limn!1 � n+ 1 n �p = 1 2 < 1: CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 19 No Exemplo 1.3.18, ao calcular o limite do quociente dn+1 dn ; usamos o seguinte argumento: lim n!1 � n+ 1 n �p = � lim n!1 n+ 1 n �p = (1)p = 1: A justi�cativa de se poder passar o limite para dentro da potência tem a ver com a continuidade da função x 7�! xp. O caso geral pode ser formalizado da seguinte maneira: se fang é uma sequência com limite l e f é uma função contínua em um intervalo fechado [a; b] ; o qual contém todos os termos da sequência fang, para n su�cientemente grande, então: lim n!1 f (an) = f � lim n!1 an � = f (l) : (1.16) Para comprovar (1.16) inicialmente observamos que o limite l da sequência fang jaz no intervalo [a; b] e a continuidade de f em l signi�ca que a cada " > 0 dado corresponde um � > 0 tal que: jf (x)� f (l)j < ", sempre que x 2 [a; b] e jx� lj < �: (1.17) De acordo com a de�nição de convergência 1.3.1 existe um índice n0 2 N, que possivelmente depende do �, tal que jan � lj < �; 8n � n0, e aumentando n0, se necessário for, podemos admitir que os termos an, a partir da ordem n0; estão no intervalo [a; b] e, sendo assim, resulta de (1.17): jf (an)� f (l)j < "; 8n � n0: Isso mostra que a sequência ff (an)g tem limite f (l) : Como aplicação estabelecemos os seguintes limites: (a) lim a1=n = alim 1=n = a0 = 1; para todo a > 0; (b) No Exemplo 1.3.6(a) mostramos que lnn n ! 0 e escrevendo n1=n = exp � 1 n lnn � , resulta: lim � n1=n � = lim � exp � 1 n lnn �� = exp � lim � 1 n lnn�� = e0 = 1: Observação 1.3.19 No Critério da Razão 1.3.17, quando lim ����an+1an ���� = 1, então a sequência fang pode ter limite zero ou pode ser divergente. Considere as sequências an = 1=n; bn = (�1)n e cn = n e comprove nossa a�rmação. Por outro lado, se lim ����an+1an ���� = l > 1, aplicamos o Critério da Razão à sequência bn = 1= janj e deduzimos que bn ! 0 e, assim, janj ! 1. Outro caso que merece re�exão é aquele em que a razão ����an+1an ���� não tem limite e, ainda assim, a sequência fang converge 20 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS para zero. Consideremos como exemplo a sequência x; xy; x2y; x2y2; x3y2; : : : começando com x e multiplicando-se alternadamente por x e y, sendo 0 < x < y < 1: Nesse caso, a razão an+1 an é a sequência divergente y; x; y; x; y; : : : (con�ra o Critério 1.3.14) e para mostrar que fang tem limite zero, consideramos a sequência bn = yn e observamos que: an+1 an � y = bn+1 bn =) an+1 bn+1 � an bn ; 8n; e, portanto, a sequência fan=bng é monótona não crescente. Sendo assim: 0 < an bn � a1 b1 =) 0 < an � � a1 b1 � bn = � a1 b1 � yn ! 0 e a nossa conclusão segue do Critério do Confronto 1.3.13. A sequência fxng de�nida por xn = 1=n, se n é par, e xn = 1=n2, se n é ímpar, também converge para zero, embora a razão jxn+1=xnj não tenha limite. Exemplo 1.3.20 (a constante de Euler ) Consideremos a sequência an = 1+ 12+� � �+ 1 n�lnn e recordemos que lnn é a área sob o grá�co da curva y = 1=x, entre x = 1 e x = n. Observando a �gura 1.1 e comparando as áreas, deduzimos facilmente que an > 0; 8n; e, além disso: an � an+1 = [ln (n+ 1)� lnn]� 1 n+ 1 > 0; 8n: Logo, a sequência fang é decrescente e limitada inferiormente sendo, portanto, convergente. O seu limite, representado pele letra , leva o nome de constante de Euler. Com isso concluimos o estudo introdutório sobre sequências numéricas. Informações comple- mentares podem ser encontradas em [2], [16], [21] ou [22]. 1.4 Exercícios Complementares 1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justi�car as a�rmações falsas com um contraexemplo. (a) toda sequência convergente é limitada; (b) toda sequência limitada é convergente; (c) toda sequência limitada é monótona; (d) toda sequência monótona é convergente; CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 21 (e) a soma de duas sequências divergentes é divergente; (f) toda sequência divergente é não monótona; (g) se uma sequência convergente possui uma in�nidade de termos nulos, seu limite é zero; (h) toda sequência divergente é não limitada; (i) se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge; (j) toda sequência alternada é divergente; (k) toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero; (l) se uma sequência fang diverge, então fjanjg também diverge; (m) se jan+1 � anj ! 0, então fang é convergente; (n) se a sequência fjanjg converge para zero, então fang também converge para zero; (o) se an � bn; 8n; fang crescente e fbng convergente, então fang converge; (p) se fang é convergente, então f(�1)n ang também converge; (q) a sequência fang de�nida por a1 = 1 e an+1 = nan n+ 1 é convergente; (r) a sequência fang de�nida por a1 = 1 e an+1 = 1� an é convergente; (s) se an 6= 0; 8n; e lim n!1 ����an+1an ���� = l < 1, então limn!1 an = 0; (t) se jan+1 � anj = 1; 8n; então fang é divergente; (u) se (�1)n an é convergente e an > 0; 8n, então an ! 0; (v) se fang é decrescente e an > 0; 8n � 10; então fang converge. 1.4B Dê exemplo de duas sequências fang e fbng tais que lim n!1 an = 0 e fanbng seja divergente. Por que isso não contradiz o Critério 1.3.9? 1.4C Usando a de�nição de limite, prove que: (a) lim n!1 n 2n� 1 = 1 2 (b) lim n!1 sen � n5 + n � n = 0 (c) lim n!1 3n2 + 1 n2 = 3 (d) lim n!1 5 + n 2 + 3n = 1 3 (e) lim n!1 5 2 + 3n = 0 (f) lim n!1 � 2 + 1 n � = 2: 1.4D Calcule o limite das seguintes sequências: 22 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS (a) n� 1 n+ 1 (b) 1 3n + � 3 4 �n�3 (c) lnn en (d) 4n2 � 3n n2 + 5n� 6 (e) n2 n+ 1 � n 2 n+ 2 (f) � 1 + 1 3n �n (g) p n! + e2n 5 p n!� en (h) n en (i) 3n p n+ 1 7� 2n p n (j) � 1 + 2 n �n (k) n1=n (l) n sen (�=n) (m) 2n=en (n) n p n2 + n (o) p n+ 1� p n (p) n p a ; a > 0 (q) 3n + (�2)n 3n+1 + (�2)n (r) n! 3n+1 (s) (n+ 1)n nn+1 (t) 3 p n2 sen � n2 � n+ 2 1.4E Em cada caso veri�que se a sequência (an) é convergente ou divergente. (a) p n2 + 1� p n (b) 2n n! (c) 1p n2 + 1� p n (d) 1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1) n!2n (e) n2 2n� 1 � n2 2n+ 1 (f) nn n! (g) 2n 1 + 2n (h) n � sen � n3 + 1 n2 � � senn � (i) n 2n + (�1)n n (j) Z n 1 e�xdx (k) n2 ln (n+ 1) (l) n! 1 � 3 � 5 � ::: � (2n� 1) (m) ln (en � 1)� n (n) cos (n�) (o) sen (n�=2) (p) 8 p n2 + 1� 4 p n+ 1 1.4F Prove que lim n!1 (3n + 4n)1=n = 4. Se a; b � 0; mostre que lim n!1 (an + bn)1=n = max fa; bg : 1.4G Se jrj < 1, use o Critério da Razão 1.3.17 para mostrar que lim n!1 nrn = 0: Se r > 1, mostre que lim n!1 rn =1: E se r < �1? 1.4H Dado um número real r seja Sn = 1+r+r2+� � �+rn�1; n 2 N:Mostre que Sn�rSn = 1�rn e se jrj < 1; use essa relação e deduza que lim n!1 Sn = 1 1� r : Agora, identi�que a sequência p 2; p 2 p 2; q 2 p 2 p 2; : : : com aquela de termo geral an = 2 1 2 + 1 4 +���+ 1 2n e calcule seu limite. 1.4I Na demonstração da Propriedade 1.3.7(e) o seguinte fato foi usado: se fbng é convergente, com bn 6= 0; 8n; e lim n!1 bn 6= 0; então a sequência f1=bng é limitada. Naquela ocasião as pro- priedades do limite ainda não estavam estabelecidas e, por isso, o fato deve ser provado usando a de�nição de limite. Prove-o. 1.4J Dois procedimentos foram usados ao calcular lim (1=n+ 1=n+ 1=n+ � � �+ 1=n) (soma com n parcelas). Explique qual o procedimento correto. CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 23 (a) simpli�cando a expressão: lim (1=n+ 1=n+ � � �+ 1=n) = lim � n� 1 n � = 1 (b) usando a propriedade 1.3.7(a): lim (1=n+ 1=n+ � � �+ 1=n) = lim 1=n+ lim1=n+ � � �+ lim1=n = 0: 1.4K Mostre que lim n!1 h sen( � 22 ) � sen( � 32 ) � sen( � 42 ) � : : : � sen( � n2 ) i = 0: (o produto de limites não deve ser usado!) 1.4L Seja fang a sequência de�nida pela recorrência: a1 = 5 e an+1 = p an: Estes termos podem ser gerados em uma calculadora, introduzindo-se o número 5 e pressionando-se a tecla p x . Deduza que que an = 51=2 n e calcule lim n!1 an: 1.4M Em uma calculadora uma sequência é gerada introduzindo-se um número e pressionando-se a tecla 1=x . Em que condições a sequência tem limite? 1.4N Seja f : R! R uma função derivável, sendo f (0) = 0: Calcule lim n!1 nf(1=n). Quanto vale lim n!1 n arctg(1=n)? 1.4O Seja f : R! R uma função derivável tal que f (x) > �1; 8x; e lim x!1 f (x) = 0: Dê exemplo de uma tal função e calcule o limite da sequência an = ln (1 + f (n)) f (n) : 1.4P Considere a sequência fang de�nida pela recorrência: a1 = 1 e an = an�1 + cos an�1; para n � 2. Mostre que fang é monótona limitada (convergente) e que lim an = �=2: 1.4Q Uma população estável de 35.000 pássaros vive em três ilhas. Cada ano, 10% da população da ilha A migra para ilha B, 20% da população da ilha B migra para a ilha C e 5% da população da ilha C migra para ilha A. Denotando por An; Bn e Cn, respectivamente, os números de pássaros nas ilhas A;B e C, no n-ésimo ano antes da ocorrência da migração e admitindo a convergência das sequências fAng ; fBng e fCng, aproxime o número de pássaros em cada ilha após muitos anos. 1.5 Indução Finita Consideremos uma sequência T1; T2; T3; T4; � � � de tijolos do mesmo tamanho, postos em pé e en�leirados de modo que a distância entre dois tijolos consecutivos é sempre menor do que o seu 24 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS comprimento. Imprimimos ao tijolo T1 uma força que o faz tombar sobre o tijolo T2 e este, por sua vez, tomba sobre o tijolo T3; e assim por diante. É razoável imaginar que todos os tijolos irão tombar. Como comprovar esse fato matematicamente? Imaginamos umademonstração usando um argumento por etapas. Primeiro, comprovamos que o tijolo T1 tombou. Se o tombo do n-ésimo tijolo Tn acarretar no tombo do tijolo Tn+1; para qualquer etapa n � 1; então todos os tijolos tombarão. Esse método de demonstração por etapas é conhecido como Método de Indução Finita, o qual admitiremos sem demonstração e enunciaremos a seguir. Desejamos provar uma dada propriedade P (n) acerca dos números naturais. Para comprovar a ocorrência de P (n) para todo n; é su�ciente provar o seguinte: Etapa 1 Que a propriedade P (1) ocorre, isto é, a propriedade relativa ao inteiro n = 1 é verdadeira. Etapa 2 A ocorrência da propriedade P (n) ; n � 1, implica a ocorrência da propriedade P (n+ 1), isto é, se a propriedade relativa aos inteiros � n é verdadeira, então a propriedade relativa ao inteiro n+ 1 também é verdadeira. A primeira etapa é o ponto de partida e a segunda é o processo que permite passar de um inteiro para outro. Exemplo 1.5.1 Desejamos provar que para todo inteiro n � 1, vale a relação: 1 + 2 + 3 + : : :+ n = n (n+ 1) 2 : (1.18) A relação (1.18) é a propriedade P (n) e para demonstrá-la usaremos o Método de Indução Finita. Para n = 1; a relação (1.18) é simplesmente: 1 = 1 (1 + 1) 2 ; que é uma sentença verdadeira. Agora, admitindo (1.18) verdadeira provaremos que P (n+ 1) também é verdadeira, isto é: 1 + 2 + 3 + � � �+ n+ (n+ 1) = (n+ 1) (n+ 2) 2 : (1.19) Para chegarmos a (1.19), usamos (1.18) e encontramos: 1 + 2 + 3 + � � �+ n| {z }+(n+ 1) = n (n+ 1)2| {z }+n+ 1 = (n+ 1) (n+ 2)2 CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 25 Exemplo 1.5.2 Recordemos que o fatorial de um número natural n é o número inteiro n! de�nido por n! = 1�2�3�: : :�n e veri�caremos agora que n! � 2n�1, 8n 2 N: Essa relação é a propriedade P (n) : Para n = 1; a relação é 1! � 21�1, que obviamente é verdadeira. Admitamos que P (n) seja verdadeira, isto é, n! � 2n�1. Provar que P (n+ 1) ocorre signi�ca provar que (n+ 1)! � 2n. Mas, usando a relação no n-ésimo estágio, temos: (n+ 1)! = (n+ 1) n!|{z} � (n+ 1) 2n�1|{z} � 2 � 2n�1 = 2n: Exemplo 1.5.3 Agora usaremos indução para mostrar que An = 3 � n2 + n � é divisível por 6, para qualquer inteiro positivo n: Ser divisível por 6 signi�ca ser múltiplo de 6, e para n = 1 temos A1 = 6; que é divisível por 6. Admitindo que An é divisível por 6, segue que existe um número inteiro k tal que: An = 3 � n2 + n � = 6k: (1.20) Para concluir, mostraremos que An+1 é um múltiplo de 6. De fato, An+1 = 3 h (n+ 1)2 + (n+ 1) i = 3 � n2 + n � + 6 (n+ 1) (1.21) e, substituindo (1.20) em (1.21), concluímos que An+1 = 6 (k + n+ 1) é múltiplo de 6. Exemplo 1.5.4 (comparando somas �nitas) Consideremos as somas �nitas: Sn = 1� 1 2 + 1 3 � 1 4 + � � �+ (�1) n�1 n e Rn = 1 + 1 2 + 1 3 + � � �+ 1 n e mostremos usando indução �nita que R2n �Rn = S2n, isto é: 1 n+ 1 + 1 n+ 2 + � � �+ 1 2n = 1� 1 2 + 1 3 � � � �+ (�1) n�1 n + � � � � 1 2n : (1.22) Após um reagrupamento, a expressão do lado direito de (1.22) torna-se igual a 1 1� 2 + 1 3� 4 + � � �+ 1 (2n� 1)� 2n e a sentença P (n) a ser demonstrada agora é: 1 n+ 1 + 1 n+ 2 + � � �+ 1 2n = 1 1� 2 + 1 3� 4 + � � �+ 1 (2n� 1)� 2n: (1.23) Para n = 1 a sentença é 1 2 = 1 1� 2 , portanto, verdadeira. Supondo que (1.23) ocorra, devemos 26 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS comprovar que R2n+2 �Rn+1 = S2n+2. De fato, usando (1.23), temos: S2n+2 = 1 1� 2 + 1 3� 4 + � � �+ 1 (2n� 1)� 2n + 1 (2n+ 1)� (2n+ 2) = = 1 n+ 1 + 1 n+ 2 + � � �+ 1 2n + 1 (2n+ 1)� (2n+ 2) = = 1 n+ 1 + 1 n+ 2 + � � �+ 1 2n + 1 2n+ 1 � 1 2n+ 2 = = � 1 n+ 1 � 1 2n+ 2 � + 1 n+ 2 + � � �+ 1 2n + 1 2n+ 1 : Para concluir basta observarmos que a expressão entre parênteses no lado direito da última igual- dade é precisamente 1 2n+ 2 : Existe uma extensão do Método de Indução Finita, em que se deseja provar que uma certa pro- priedade ocorre, não para todo número natural n, mas a partir de uma certa ordem n0. Nesse caso, o método é descrito pelas seguintes etapas: Etapa 1 Demonstra-se que a propriedade P (n) ocorre no estágio n = n0, isto é, P (n0) é verdadeira. Etapa 2 Supondo P (k) verdadeira para n0 � k � n, demonstra-se que P (n+ 1) é também verdadeira. Exemplo 1.5.5 (O Problema de Fibonacci) Suponha que coelhos sejam eternos e que a cada mês cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com dois meses de idade. Começando com um par recém-nascido, quantos pares de coelhos existirão no n-ésimo mês? Se denotarmos por por an a quantidade de pares de coelhos no n-ésimo mês, como no primeiro mês não há reprodução, teremos a1 = 1 e a2 = 1. A partir do segundo mês inicia-se a reprodução, obedecendo à sequência: a1 = 1; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 5; : : : : (1.24) A quantidade de pares de coelhos em um determinado mês, a partir do terceiro, é igual a quantidade do mês anterior mais a quantidade reproduzida dois meses antes, isto é, an = an�1+an�2:A sentença matemática que se deseja provar é, portanto: P (n) : an = an�1 + an�2; n � 3: CAPÍTULO 1 - SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 27 Observando a sequência (1.24) comprovamos que P (3) é verdadeira. Admitindo P (n) verdadeira, para n � 3, nossa meta é mostrar que P (n+ 1) também é verdadeira. Ora, o número de pares no estágio n+ 1 é an+1 = an + an�1, que corresponde ao número de pares no mês anterior an mais o número de pares produzidos dois meses antes an�1. É claro que a sequência fang assim de�nida é crescente e an � 1; 8n: Se ela fosse limitada superiormente, então ela seria convergente e teríamos: lim an = lim an�1 + lim an�2 (1.25) e sendo lim an = lim an�1 = lim an�2, segue de (1.25) que lim an = 0. Isto não é possível, tendo em vista que an � 1; 8n; acarreta lim an � 1, se o limite existisse. Logo, an não é limitada superiormente e, sendo assim, lim an =1: A sequência fang leva o nome de sequência de Fibonacci e no Exercício 1.6K encontra-se uma expressão para o termo geral an: 1.6 Exercícios Complementares 1.6A Use o Método de Indução Finita para provar as seguintes relações: (a) 1 + 3 + 5 + :::+ (2n� 1) = n2; (b) 12 + 22 + 32 + :::+ n2 = 16n (n+ 1) (2n+ 1); (c) 13 + 23 + 33 + :::+ n3 = � n (n+ 1) 2 �2 ; (d) 12 + 32 + 52 + :::+ (2n� 1)2 = 13(4n 3 � n); (e) (1 + x) � 1 + x2 � � 1 + x4 � � ::: � � 1 + x2 n� = 1� x2n+1 1� x ; (o ponto de partida é n = 0) (f) nP k=1 ln " (k + 1)2 k (k + 2) # = ln 2 + ln � n+ 1 n+ 2 � : 1.6B Mostre que n � n2 + 5 � é divisível por 6. (veja o Exemplo 1.5.3) 1.6C Uma função f : R! R satisfaz a: f(xy) = f (x) + f(y); 8x; y. Prove que f (an) = nf (a) : 1.6D Represente por � n k � o coe�ciente binomial n! k! (n� k)! , onde k e n são números inteiros positivos e k � n: Mostre que: (a) � n k � 1 � + � n k � = � n+ 1 k � (b) (x+ y)n = nP k=0 � n k � xkyn�k. 28 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS 1.6E Demonstre a seguinte regra de Leibniz para derivação: [f � g](n) = nP k=0 � n k � f (n�k) � g(k): 1.6F Prove a Desigualdade de Bernoulli : (1 + r)n � 1+nr, para r � �1 e n 2 N. Use o resultado e mostre que se � > 1 e �1 � r � 0; então 1 + �r � (1 + r)� : 1.6G Mostre que 1 � 3 � 5 � : : : � (2n� 1) 2 � 4 � 6 � : : : � (2n) � 1 2n ; 8 n 2 N: 1.6H Se x e y são números reais, mostre que: xn � yn = (x� y) � xn�1 + xn�2y + � � �+ xyn�2 + yn�1 � ; n 2 N: 1.6I Mostre que lim x!1 x (lnx)n =1; 8n = 0; 1; 2; 3; : : : : 1.6J Se fbng é de�nida pela recorrência: b1 = �1 e bn = (1� n) bn�1 n2 ; n � 2; prove que bn = (�1)n n!n ; 8 n = 1; 2; 3; : : : : 1.6K A sequência de Fibonacci é de�nida por: a1 = 1; a2 = 1 e, para n � 3; an = an�1 + an�2: Mostre que an = 1 2n p 5 h� 1 + p 5 �n � � 1� p 5 �ni : 1.6L Considere a sequência an = n (n+ 1)! e mostre por indução que a1 + a2 + a3 + � � �+ an = 1� 1 (n+ 1)! : 1.6M Uma Progressão Aritimética (PA) de razão r 6= 0 é a sequência fAng, de�nida pela recor- rência: A1 = a e An+1 = An + r. Por Progressão Geométrica (PG) de razão q 6= 1, entendemosa sequência fGng, de�nida pela recorrência: G1 = a e Gn+1 = q �Gn. Mostre que: (a) A1 +A2 + � � �+An = n2 (a+An) (b) G1 +G2 + � � �+Gn = a (1� qn) 1� q : 1.6N Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é ver- dadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 : (a) 10n � nn (b) n2 + 18 � n3 (c) 5 + log2 n � n (d) 2n+ 2 � 2n (e) 2n � n! (f) n+ 12 � n2 (g) n log2 n+ 9 � n2 (h) n2 � 2n: Uma soma in�nita é um processo que sempre nos intriga porque literalmente não podemos somar, um a um, uma in�nidade de termos. Ao estabelecer que a soma in�nita a1 + a2 + a3 + � � �+ an + � � � tem valor S desejamos passar a seguinte idéia: o valor da soma a1 + a2 + a3 + � � � + an torna-se arbitrariamente próximo de S, à medida que o número n de parcelas aumenta. Em alguns casos uma soma in�nita resulta em um número, como no caso da soma 1=2 + 1=4 + 1=8 + � � �+ 1=2n + � � � = 1; deduzida a partir da soma das áreas da �gura ao lado. Em outros casos, a soma in�nita torna-se arbitrariamente grande à medida que se aumenta o número de parcelas. Não parece tão óbvio, mas isso ocorre com a soma 1+1=2+1=3+1=4+ � � �+1=n+ � � � =1; como veremos adiante. Por �m, existem somas in�nitas cujo resultado é inde�nido, como é o caso da soma 1� 1 + 1� 1 + 1� � � � cujo valor pode ser 1, pode ser 0, dependendo de como seus termos são agrupados: (1� 1) + (1� 1) + (1� 1) + � � � = 0 ou 1 + (�1 + 1) + (�1 + 1) + � � � = 1: O fundamento teórico para o cálculo de somas in�nitas foi desenvolvido por Cauchy e, antes desse feito, matemáticos como Gauss, Laplace e Euler usaram com sucesso somas in�nitas e ob- tiveram resultados surpreendentes. O que desenvolveremos aqui servirá de base para os capítluos seguintes, onde trataremos com séries de funções de diversos tipos. 2.1 Fundamentos Gerais Para motivar o que será desenvolvido neste capítulo, apresentaremos como ilustração o cálculo da soma in�nita: 0:9 + 0:09 + 0:009 + 0:0009 + � � � : 30 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS A esta soma in�nita associamos uma sequência fSng de�nida da seguinte maneira: S1 = 0:9 S2 = 0:9 + 0:09 = 0:99 S3 = 0:9 + 0:09 + 0:009 = 0:999 S4 = 0:9 + 0:09 + 0:009 + 0:0009 = 0:9999; e assim por diante. É natural pensar na soma in�nita como o limite da sequência fSng ; quando n!1; e considerando que: Sn = 0:9999 : : : 9| {z } n vezes então lim n!1 Sn = 0:9999 : : : é uma dízima periódica. Esse cálculo pode ser feito de outra maneira, escrevendo as parcelas da soma in�nita como frações ordinárias e dessa forma obtemos: 9 10 + 9 100 + 9 1000 + 9 10000 + � � � ; de onde segue que: Sn = 9 10 h 1 + 110 + � 1 10 �2 + � 1 10 �3 + � 1 10 �4 + � � �+ � 1 10 �n�1i : (2.1) Em (2.1) a expressão entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r = 110 e vale Sn = 9 10 � 1� (1=10)n 1� 1=10 � : Assim, Sn = 1 � � 1 10 �n e, portanto, lim n!1 Sn = 1: Isto nos conduz à igualdade 0:9999 : : : = 1 que deve ser vista como um limite. Dada uma sequência fang de números reais, a soma in�nita a1 + a2 + a3 + � � �+ an + � � � será representada simbolicamente por 1P n=1 an e denominada Série In�nita ou simplesmente Série; o termo an recebe o nome de Termo Geral ou n-ésimo termo da série. A letra grega P (lê-se sigma) signi�ca soma e o índice n sob o P indica onde a soma se inicia e o símbolo 1 sobre o P indica que a soma é in�nita. O que temos em mente é estabelecer condições sobre a sequência fang para que a soma in�nita 1P n=1 an resulte em um número real. Se este for o caso, a série denomina-se convergente. CAPÍTULO 2 - SÉRIES NUMÉRICAS 31 Exemplo 2.1.1 A soma in�nita 1+1=2+1=4+1=8+ � � � se representa por 1X n=1 1 2n�1 e para cada n seja Sn a soma �nita: Sn = 1 + 1=2 + 1=4 + 1=8 + � � �+ 1=2n�1 = 1� (1=2)n 1� 1=2 = 2 [1� (1=2) n] : Se olharmos a soma in�nita 1P n=1 1 2n�1 como o limite da soma parcial Sn; com n!1; teremos 1X n=1 1 2n�1 = lim n!1 Sn = lim n!1 2 [1� (1=2)n] = 2: (2.2) Exemplo 2.1.2 Investiguemos a soma in�nita 1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + � � � ; representada simbolicamente por 1X n=1 1=n: A �gura 2.2 ao lado mostra o grá�co da função f(x) = 1=x; x > 0, onde jazem os pontos (n; 1=n) e, comparando as áreas dos retângulos com a área sob o grá�co de f , concluímos que: f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + � � �+ f (n) � Z n 1 f (x) dx; ou seja: 1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + � � �+ 1=n � lnn, 8n 2 N: (2.3) Como lim n!1 lnn =1, usando (2.3) deduzimos que: lim n!1 [1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + � � �+ 1=n] =1 e é razoável a�rmar que 1P n=1 1 n =1: Observamos que essa soma in�nita não é um número real. Os exemplos dados acima motivam o conceito de convergência para séries numéricas. A convergência de uma série 1P n=1 an está relacionada com a convergência de sua sequência de somas parciais fSng, a qual é de�nida por: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + � � �+ an: (2.4) 32 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MARIVALDO P MATOS O termo geral Sn de�nido em (2.4) é denominado n-ésima soma parcial da série 1P n=1 an: De�nição 2.1.3 A série 1P n=1 an denomina-se convergente quando a sequência fSng de suas somas parciais for convergente. Neste caso, a soma da série é o limite da sequência fSng ; isto é: 1X n=1 an = lim n!1 Sn: (2.5) Quando uma série não for convergente ela será denominada série divergente. Neste caso, a sequência de somas parciais fSng é divergente, isto é, ou não tem limite �nito ou Sn ! �1: Exemplo 2.1.4 (a) Série Geométrica 1X n=1 �rn�1 Os números � e r que �guram na série geométrica denominam-se, respectivamente, coe�ciente e razão da série; ambos são supostos diferentes de zero. O termo geral da série é an = �rn�1 e a n-ésima soma parcial é Sn = � � 1 + r + r2 + � � �+ rn�1 � , cuja convergência depende do valor da razão r e será estabelecida por etapas. Se jrj � 1, usamos a relação jSn+1 � Snj = jan+1j = j�j jrjn para deduzir que: (i) se r = �1, então jSn+1 � Snj = j�j e (ii) se jrj > 1, teremos jSn+1 � Snj ! 1: Em ambos os casos a sequência fSng �e, portanto, a série �diverge, porque as distâncias jSn+1 � Snj não se aproximam de zero. Se jrj < 1, vimos no exemplo 1.3.2(c) que lim rn = 0 e usando a relação (1� r)Sn = � (1� rn) ( veja o Exercício 1.4H) deduzimos que limSn = �= (1� r). Este é o único caso em que a série geométrica converge e sua soma é �= (1� r) : Em (2.2) temos um caso particular em que � = 1 e r = 1=2. O valor da soma de uma série geométrica convergente é determinado pela fórmula padrão 1X n=1 �rn�1 = �= (1� r) ; jrj < 1; (2.6) e no caso da série 1P n=k an; que se inicia em n = k, escrevemos 1P n=k an = �a1�a2�� � ��ak�1+ 1P n=1 an: Por exemplo, para a série geométrica 1P n=3 (1=2n), em que o termo geral é an = 1=2n, temos: 1X n=3 (1=2n) = �a1 � a2 + 1X n=1 (1=2n) = �1=2� 1=4 + 1X n=1 1 2 (1=2) n�1 = �3 4 + 1=2 1� 1=2 = 1=4: CAPÍTULO 2 - SÉRIES NUMÉRICAS 33 (b) Série Harmônica 1X n=1 1 n Vamos investigar a série harmônica1 através de sua sequência de somas parciais. Denotando por fSng a sequência de somas parciais dessa série, temos que: Sn = 1 + 1 2 + 1 3 + � � �+ 1 n S2n = 1 + 1 2 + 1 3 + � � �+ 1 n + 1 n+ 1 + � � �+ 1 2n : e, portanto: S2n � Sn = 1 n+ 1 + 1 n+ 2 + � � �+ 1 2n � 1 2n + 1 2n + � � �+ 1 2n = 1 2 : (2.7) Se a sequência fSng fosse convergente, então a subsequência fS2ng também seria, teria o mesmo limite que fSng e, assim, teríamos lim n!1 fS2n � Sng = 0. Isto não é possível, pois a desigualdade (2.7) nos assegura que lim n!1 fS2n � Sng � 1=2, caso o limite exista. Com isto concluímos que a série harmônica 1P n=1 1 n é divergente e, como vimos no Exemplo 2.1.2, sua soma é +1: (c) Série de Encaixe 1X n=1 (bn � bn+1) Uma série do tipo (b1 � b2)+ (b2 � b3)+ (b3 � b4)+ � � � , em que cada termo se encaixa no seguinte, recebe o nome de série de encaixe ou série telescópica. Ela é representada simbolicamente