Lista 4 Teorema de Green

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL
CAMPUS CERRO LARGO
CURSO: Fı́sica e Engenharia Ambiental
DISCIPLINA: Cálculo III
PROFESSOR: Fabiano Pereira
4a LISTA DE EXERCÍCIOS
Exercı́cio 1: Fazer os seguintes exercı́cios do livro: Cálculo - Volume II - Howard
Anton 8a Edição. Seção 16.4. Páginas 1145 e 1146.
• 1, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 18, 19, 21, 25
Exercı́cio 2: Calcule a integral de linha diretamente e, também, pelo Teorema de
Green: ∮
γ
xdx+ y2dy
onde γ é o caminho fechado formado por y = x2 e y = x, no sentido anti-horário.
Resp: 0.
Exercı́cio 3: Utilize o Teorema de Green para calcular:
a)
∮
γ
−
x2y
1 + x2
dx+ arctg xdy, γ é o caminho fechado formado por y = 0, x = 1, y = 1 e
x = 0, no sentido anti-horário. Resp: 1.
b)
∮
γ
ex senydx + (x + ex cosy)dy, onde γ é a elipse 3x2 + 8y2 = 24, no sentido anti-
horário. Resp: 2
√
6π.
c)
∮
γ
2 arctg (y/x)dx + (ln(x2 + y2) + x)dy, onde γ é parametrizada por x = 4 + 2 cos t
e y = 4 + sen t, com 0 ≤ t ≤ 2π. Resp: 2π.
1
Exercı́cio 4: O Teorema de Green pode ser utilizado para calcular a integral de
linha ∮
γ
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy
a) onde γ é a circunferência x2 + y2 = 1, orientada no sentido anti-horário? Resp:
Não. Explique.
b) onde γ é o triângulo com vértices (1,0), (1, 2)e(2, 2), orientado no sentido anti-
horário? Resp: Sim. Explique.
c) Qual é o valor da integral de linha onde γ é o triângulo do item b)? Resp: 0.
Exercı́cio 5: Use uma integral de linha para calcular a área da região plana
limitada pelas curvas y = x2 e x = y2.
Resp: 1/3 unidades de área.
Exercı́cio 6: Uma partı́cula move-se ao longo da circunferência y =
√
4 − x2 do
ponto (2,0) até (−2,0). Determine o trabalho realizado nessa partı́cula pelo campo de
forças
−→
F (x, y) = (x+ ey
2
, x3 + 3xy2 + 2xyey2).
Resp: 12π− 4 unidades de trabalho.
Exercı́cio 7: Calcule a integral de linha do campo vetorial
−→
F (x, y) =
(
−y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
+ 2x
)
ao longo da curva γ : x2/4 + y2/9 = 1, orientada no sentido anti-horário.
Resp: 14π
2