CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS ATIVIDADE 4

Prévia do material em texto

urso
	GRA1594 CÁLCULO APLICADO � VÁRIAS VARIÁVEIS PTA - 202010.ead-3676.03 
	Teste
	ATIVIDADE 4 (A4) 
	Iniciado
	01/04/20 08:52 
	Enviado
	06/04/20 11:27 
	Status
	Completada 
	Resultado da tentativa
	9 em 10 pontos   
	Tempo decorrido
	122 horas, 35 minutos 
	Resultados exibidos
	Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários 
· Pergunta 1 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial: 
, 
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação:
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 2 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução  que satisfaça às condições iniciais da forma  e . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
 
Considere o seguinte PVI: ,  e . Analise as afirmativas a seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é .
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
 
  
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 3 
0 em 1 pontos
	
	
	
	Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de  um capacitor com capacitância de  e um resistor com uma resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: , onde  é a carga, medida em coulombs. 
 
Dado que , assinale a alternativa correta. 
  
  
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 4 
1 em 1 pontos
	
	
	
	As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da seguinte forma: , onde  e  são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau.
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas.
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem  é expressa por .
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas  e  apresenta como solução a função .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
V, F, F, F. 
	Resposta Correta: 
	
V, F, F, F. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. Com base na teoria das equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, temos que, entre as afirmativas apresentadas, apenas a afirmativa I é verdadeira, sendo todas as outras falsas. Portanto, a sequência correta é V, F, F, F. 
	
	
	
· Pergunta 5 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada.
II. (   )  Para  temos que  é solução da equação diferencial dada.
III. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada.
IV. (   ) Para , temos que  é solução da equação diferencial dada.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
  
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
V, V, V, F. 
	Resposta Correta: 
	
V, V, V, F. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial, temos que sua solução geral é: . Assim: 
Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que . Portanto,  é solução da equação diferencial dada. 
Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que . Portanto,  é solução da equação diferencial dada. 
Afirmativa III: Verdadeira. Para  temos que . Portanto,  é solução da equação diferencial dada. 
	
	
	
· Pergunta 6 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear . As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente  e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .
 
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação diferencial  é linear.
II. A equação diferencial  é linear.
III. A equação diferencial  é linear.
IV. A equação diferencial  é linear.
  
Assinale a alternativa correta.
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
I, III e IV, apenas. 
	Resposta Correta: 
	
I, III e IV, apenas. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de linearidade de uma equação diferencial, temos que as afirmativas I, III e IV estão corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente  e todas as suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende apenas da variável independente . 
	
	
	
· Pergunta 7 
1 em 1 pontos
	
	
	
	Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de  e uma função de . A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os lados da igualdade. 
 
Dado que  é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à solução da equação diferencial separável . 
  
  
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 8 
1 em 1 pontos
	
	
	
	A oscilação de uma mola pode ser chamada de movimento harmônico simples , o qual pode ser descrito pela equação , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa,  é a massa da mola e  é a constante elástica. Para uma mola de comprimento natural de 0,75 m e 5 kg de massa, é necessária uma força de 25 N para mantê-la esticada até um comprimento de 1 m. Se a mola for solta com velocidade nula ao ser esticada em um comprimento de 1,1 m, qual é a posição da massa após  segundos? 
 
Assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
  
  
	
	
	
	
	
	
	
	
· Pergunta 9 
1 em 1 pontos
	
	
	
	As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A solução da equação  é .
II. A solução da equação  é  .
III. A solução da equação  é .
IV. A solução da equação  é .
 
É correto o que se afirma em:
  
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada: 
	
I e III, apenas. 
	Resposta Correta: 
	
I e III, apenas. 
	Feedback da resposta: 
	Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando adequadamente o método de solução nas equações diferenciais separáveis, temos que: 
Afirmativa I: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde . 
Afirmativa III: correta. Separando as variáveis: . Integrando a equação: , onde . 
	
	
	
· Pergunta 10 
1 em1 pontos
	
	
	
	Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537).
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em .