RM I - GRÁFICO TENSÃO-DEFORMAÇÃO; LEI DE HOOKE

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► INTRODUÇÃO 
Agora que você, aluno, já conhece os conceitos básicos de tensão e deformação, 
aprenderemos, nesta unidade, como a tensão pode ser relacionada com a deformação por meio de 
métodos experimentais. O diagrama tensão-deformação é desenvolvido através destes métodos, e 
descreve o comportamento dos materiais quando recebem a aplicação de uma carga. 
A partir do diagrama é possível determinar algumas propriedades mecânicas dos materiais. 
O comportamento descrito por esse diagrama será discutido para materiais comumente utilizados na 
engenharia. Discutiremos também propriedades mecânicas e outros ensaios relacionados com o 
desenvolvimento da resistência dos materiais. 
Como visto anteriormente, quando uma força externa é aplicada a um corpo, há uma 
distribuição de forças internas que mantém cada segmento deste corpo em equilíbrio. A intensidade 
dessa força interna é denominada tensão. A mesma força externa, quando aplicada, além de gerar uma 
tensão, tende a mudar a forma e o tamanho do corpo, o que chamamos de deformação. As 
propriedades mecânicas de um material devem ser conhecidas para que os engenheiros possam 
relacionar a deformação medida no material com a tensão associada a ela. 
Para entender a relação que existe entre a tensão e a deformação, e como isso caracteriza um 
material, dividiremos esta unidade em 4 tópicos. O primeiro será sobre o ensaio de tração e 
compressão, e o segundo sobre a construção do diagrama tensão-deformação a partir deste ensaio. 
Posteriormente faremos análises das propriedades dos materiais com base no diagrama e por fim 
teremos o tópico sobre a Lei de Hooke, equação que relaciona diretamente a tensão e a deformação. 
 
► TÓPICO 1 – ENSAIO TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
O comportamento mecânico de um material reflete a relação entre a sua resposta 
(deformação) a uma carga ou força que esteja sendo aplicada. Algumas propriedades mecânicas 
importantes são a resistência, a dureza e a ductilidade. 
As propriedades mecânicas dos materiais são verificadas pela execução de experimentos de 
laboratório cuidadosamente programados que reproduzem o mais fielmente possível as condições de 
serviço. Dentre os fatores a serem considerados para o experimento, incluem-se a natureza da carga 
aplicada e a duração da sua aplicação: a carga pode ser de tração, compressão ou de cisalhamento, 
 
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pode ser constante ao longo do tempo ou flutuar continuamente, o tempo de aplicação pode ser de 
apenas um segundo ou pode se estender ao longo de um período de muitos anos. 
A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar uma carga sem 
deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao material e deve ser determinada por 
métodos experimentais. Um dos testes mais importantes nesses casos é o ensaio de tração ou 
compressão. Este teste é usado para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação 
normal média. 
1.1 ENSAIO DE TRAÇÃO 
Um dos ensaios mecânicos mais comuns é executado sob uma força de tração. Este ensaio é 
mais comumente conduzido para metais à temperatura ambiente e é regulamentado pela NBR 6152 
(Materiais Metálicos – Ensaio de tração à temperatura ambiente). 
Para executar o ensaio de tração, prepara-se um corpo de prova do material com forma e 
tamanho padronizados. Antes do teste, duas pequenas marcas são identificadas ao longo do 
comprimento do corpo de prova. Essas marcas são localizadas longe de ambas as extremidades do 
corpo de prova. Em seguida são medidos a área da seção transversal do corpo de prova (Ao) e o 
comprimento inicial de referência (Lo) que é a distância entre as duas marcas. 
O exemplo a ser estudado é o ensaio de tração de um metal. O diâmetro inicial do corpo de 
prova do é de 13 mm e o comprimento de referência inicial Lo é de 50 mm, conforme mostrado na 
Figura 1. 
 
 
Figura 1- Corpo de Prova Metal 
 Fonte: HIBBELER, R. C. (2010) 
 
 
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Durante o ensaio, uma carga axial é aplicada no corpo de prova. Para que a carga não 
provoque flexão no corpo de prova, as extremidades são encaixadas em juntas universais. A amostra 
é deformada, geralmente até sua fratura, mediante a uma carga de tração gradativamente crescente 
aplicada ao longo do eixo mais comprido do corpo de prova. Para realizar o ensaio é utilizada uma 
máquina de teste como a mostrada na Figura 2. 
 
 
Figura 2 – Ensaio de Tração 
 Fonte: HIBBELER, R. C. (2010) 
 
Durante o ensaio, a máquina alonga (traciona) o corpo de prova a uma taxa muito lenta e 
constante até ele atingir o ponto de ruptura. A máquina é projetada para ler a carga axial exigida para 
manter esse alongamento uniforme. Dados da carga aplicada P são lidos no mostrador da máquina e 
registrados em intervalos frequentes. O alongamento (∆L = L – Lo) entre as marcas no corpo de prova 
também pode ser medido por meio de um calibre ou por um dispositivo mecânico denominado 
extensômetro. 
A máquina de ensaio de tração mede contínua e simultaneamente a carga instantânea 
aplicada (no mostrador de carga) e os alongamentos resultantes (usando um extensômetro). 
Tipicamente, um ensaio deste tipo leva minutos para ser executado e é destrutivo, isso é, a amostra 
testada é deformada de maneira permanente, sendo fraturada. 
 
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Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão dividindo a carga aplicada P pela 
área da seção transversal inicial do corpo de prova Ao, conforme a equação 𝜎 = 
𝑃
𝐴𝑜
. O valor do 
alongamento ∆L (delta L) é usado para calcular a deformação normal média no corpo de prova, 
através da equação já conhecida ε = 
∆𝐿
𝐿𝑜
 . 
Pelos dados obtidos no ensaio é possível calcular vários valores de tensão e de deformação 
correspondentes no corpo de prova e então construir um gráfico com esses resultados. A curva 
resultante é denominada diagrama tensão-deformação. 
1.2 ENSAIO DE COMPRESSÃO 
Um ensaio de compressão é conduzido de uma maneira semelhante à de um ensaio de tração, 
exceto pelo fato de que a força é compressiva e o corpo de prova se contrai ao longo da direção da 
tensão. As mesmas equações utilizadas para calcular a tensão e a deformação são utilizadas. Por 
convenção, uma força compressiva é considerada como sendo negativa, e uma vez que o Lo será 
maior do que o L, as deformações também serão negativas. 
Os ensaios de tração são mais comuns, pois são mais fáceis de serem executados. Além 
disso, para a maioria dos materiais usados em aplicações estruturais, muito pouca informação 
adicional é obtida a partir de ensaios de compressão. 
O concreto é um exemplo de material que possui alta resistência a compressão e baixa 
resistência à tração. Por isso o ensaio realizado para determinar a resistência deste material é o ensaio 
de compressão. Regulamentado pela NBR 5739 (Concreto – Ensaio de compressão de corpos de 
prova cilíndricos) o ensaio é realizado com uma prensa hidráulica. Também é um ensaio destrutivo 
(o corpo de prova recebe carga até sua fratura). O valor da carga no momento da fratura é utilizado 
para calcular a resistência do material. 
► TÓPICO 2 – DIAGRAMA TENSÃO - DEFORMAÇÃO 
O diagrama que representa a relação entre tensão e deformação específica em um dado 
material é uma característica importante do material. O diagrama é obtido através dos cálculos de 
tensão e deformação realizados através dos ensaios de tração e/ou compressão. 
 
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Utilizando os dados registrados no ensaio, determina-se a tensão normal, ou tensão de 
engenharia, dividindo-se a carga aplicada P pela área original da seção transversal do corpo de prova 
Ao. Temos: 𝜎 = 
𝑃
𝐴𝑜
. 
Da mesma maneira, a deformação nominal, ou deformação de engenharia, é determinada 
diretamente pela leitura da deformação no extensômetro, ou dividindo a variação no comprimento de 
referência do corpo de prova (∆L) pelo comprimento de referência original (Lo): ε =∆𝐿
𝐿𝑜
. 
Se os valores de 𝜎 e ε forem marcados em um gráfico no qual a ordenada é a tensão e a 
abcissa é a deformação, a curva resultante é denominada diagrama tensão-deformação 
convencional. Esse diagrama é muito importante na engenharia porque proporciona os meios para se 
obterem dados sobre a resistência à tração (ou compressão) de um material sem considerar o tamanho 
ou a forma física do material. 
Tenha sempre em mente que dois diagramas tensão-deformação para um determinado 
material nunca serão exatamente iguais, já que os resultados dependem de variáveis como a 
composição e as imperfeições microscópicas do material, seu modo de fabricação, a taxa de carga e 
a temperatura utilizadas durante o teste. 
É possível distinguir algumas características comuns entre os diagramas tensão-deformação 
de vários grupos de materiais. Será discutido neste tópico as características da curva tensão-
deformação convencional referente ao aço, material comumente utilizado para fabricação de 
elementos estruturais. A Figura 3 mostra o diagrama característico para um corpo de prova de aço 
obtido pelo método descrito (ensaio de tração). 
 
 
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Figura 3 - Diagrama tensão-deformação convencional e real para aço 
Fonte: HIBBELER, R. C. (2010) 
 
Por essa curva, podemos identificar quatro modos diferentes de comportamento do material, 
dependendo do grau de deformação nele induzido. São eles: região elástica, escoamento, 
endurecimento por deformação e estricção. A divisão ocorre entre duas zonas principais: a zona de 
comportamento elástico e a zona de comportamento plástico. 
O comportamento elástico ocorre quando as deformações no corpo de prova estão dentro 
da primeira região mostrada na Figura 3. Podemos ver que a curva é, na verdade, uma linha reta em 
grande parte dessa região, de modo que a tensão é proporcional à deformação. Em outras palavras, 
o material é linearmente elástico. O máximo limite de tensão para essa relação linear, é denominado 
limite de proporcionalidade (𝜎𝑙𝑝 = tensão limite de proporcionalidade). 
Se a tensão ultrapassar ligeiramente o limite de proporcionalidade, o material ainda pode 
responder de maneira elástica; todavia, a reta tende a encurvar-se e achatar-se como mostra a figura. 
 
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Isso continua até a tensão atingir o limite de elasticidade. Ao atingir esse ponto, se a carga for 
removida o corpo de prova ainda voltará a sua forma original. 
A deformação elástica é a deformação que antecede à deformação plástica. Esta deformação 
é reversível. Quer dizer que o material se alonga quando recebe a carga, porém se a carga for removida 
a deformação desaparece e o material volta ao seu comprimento original. Ela é proporcional à tensão 
aplicada (linha reta no gráfico). A deformação plástica, por sua vez, é irreversível. Essa deformação 
é provocada por tensões que ultrapassam o limite de elasticidade e é resultado do deslocamento 
permanente dos átomos e portanto não desaparece quando a tensão é removida. 
A região do gráfico chamada de Escoamento é caracterizada por um pequeno aumento na 
tensão acima do limite de elasticidade. O que resultará no colapso do material e fará com que ele se 
deforme permanentemente. A tensão que causa o escoamento é denominada tensão de escoamento 
(𝜎𝑒) e a deformação a partir deste ponto é denominada deformação plástica. Uma vez alcançado o 
ponto de escoamento, o corpo de prova continuará a alongar-se (deformar-se) sem qualquer aumento 
na carga (ou seja, sem aumento na tensão). Observe que no gráfico a região do escoamento possui 
tensão constante enquanto a deformação continua aumentando. Quando o material está nesse estado, 
costuma ser denominado perfeitamente plástico. 
Quando o escoamento tiver terminado, pode-se aplicar uma carga adicional ao corpo de 
prova, o que resulta em uma curva que cresce continuamente, mas torna-se mais achatada até atingir 
uma tensão máxima denominada limite de resistência (𝜎𝑟). O crescimento da curva dessa maneira é 
denominado endurecimento por deformação e é identificado na terceira região do gráfico (Figura 
3). Durante todo o ensaio, enquanto o corpo se alonga, sua seção transversal diminui. Essa redução 
na área é razoavelmente uniforme por todo o comprimento de referência do corpo de prova, até 
mesmo a deformação que corresponde ao limite de resistência. 
No limite de resistência, a área da seção transversal começa a diminuir em uma região 
localizada do corpo de prova, em vez de todo o seu comprimento. Esse fenômeno é causado por 
planos deslizantes formados no interior do material, e as deformações reais produzidas são causadas 
por tensão de cisalhamento. Como resultado, tende a formar-se uma estricção gradativa nessa região, 
à medida que o corpo de prova se alonga cada vez mais. Visto que a área da seção transversal nessa 
região está diminuindo continuamente, a área menor só pode suportar uma carga decrescente. Por 
consequência, o diagrama tensão-deformação tende a curvar-se para baixo até o corpo de prova 
quebrar, quando atinge a tensão de ruptura (𝜎𝑟𝑢𝑝). Essa parte da curva provocada pela estricção é 
indicada na quarta região da Figura 3 e é exemplificada na Figura 4. 
 
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Figura 4 – Estricção e ruptura no corpo de prova 
Fonte: HIBBELER, R. C. (2010) 
 
2.1. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO REAL 
Para construir o diagrama tensão-deformação convencional, sempre utiliza-se a área da seção 
transversal e o comprimento originais do corpo de prova para calcular a tensão e a deformação de 
engenharia. O que acontece realmente é que conforme as deformações vão ocorrendo, conforme a 
carga aumenta, a área e o comprimento serão diferentes. Caso fosse utilizado a área da seção 
transversal e o comprimento real do corpo de prova no instante em que a carga é medida, os valores 
da tensão e da deformação calculados por essas medições seriam denominados tensão real e 
deformação real, e a representação gráfica de seus valores seria o diagrama tensão-deformação real. 
O gráfico tensão-deformação real do aço é mostrado pela curva superior da Figura 3. Observe 
que os diagramas σ-ε convencional e real são praticamente coincidentes quando a deformação é 
pequena. As diferenças entre os diagramas começam a aparecer na faixa do endurecimento por 
deformação, quando a amplitude da deformação se torna mais significativa. 
Há uma grande divergência na região de estricção. Nessa região, o diagrama σ-ε 
convencional mostra que o corpo de prova suporta uma carga decrescente, já que Ao é constante 
quando calculamos a tensão. Contudo, pelo diagrama real, a área real A no interior da região de 
estricção diminui sempre até a ruptura, portanto, na verdade, o material suporta tensão crescente. 
Embora os diagramas tensão-deformação convencional e real sejam diferentes, a maioria dos 
projetos de engenharia fica dentro da faixa elástica. Como os materiais utilizados na engenharia são 
rígidos, a deformação até o limite de elasticidade permanecerá pequena. Por isso os diagramas 
convencionais são utilizados. 
2.2. EXEMPLO 
 
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Figura 5 – Exemplo numérico para aço doce 
Fonte: HIBBELER, R. C. (2010) 
A Figura 5 mostra um diagrama tensão-deformação convencional para um corpo de prova 
feito de aço doce. Além do diagrama, a região elástica da curva é mostrada em uma escala de 
deformação exagerada. Acompanhando o comportamento, vemos que o limite de proporcionalidade 
(𝜎𝑙𝑝) é atingido em 𝜎𝑙𝑝 = 241 𝑀𝑃𝑎, onde 𝜀𝑙𝑝 = 0,0012𝑚𝑚/𝑚𝑚. 
Em seguida, ocorre um limite superior de escoamento 𝜎𝑒 = 262 𝑀𝑃𝑎, e então 
repentinamente, um limite inferior de escoamento 𝜎𝑒 = 248 𝑀𝑃𝑎. O final do escoamento ocorre a 
uma deformação 𝜀𝑒 = 0,030𝑚𝑚/𝑚𝑚, que é 25 vezes maior do que a deformação no limite de 
proporcionalidade. Na continuação, o corpo de prova sofre endurecimento por deformação até atingir 
o limite de resistência𝜎𝑟 = 434 𝑀𝑃𝑎, e então começa a sofrer estricção até ocorrer a falha 𝜎𝑟𝑢𝑝 =
324 𝑀𝑃𝑎, e a deformação na falha 𝜀𝑓 = 0,380𝑚𝑚/𝑚𝑚. 
Note que há uma diferença no escoamento do aço doce. O ponto de escoamento para aços 
com baixo teor de carbono ou laminados a quente é frequentemente distinguido por dois valores. O 
ponto de escoamento superior ocorre antes e é seguido por uma redução repentina na capacidade de 
suportar a carga até um ponto de escoamento inferior. No diagrama da Figura 3, alcançado o ponto 
 
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de escoamento, o corpo de prova continua a deformar-se sem qualquer aumento na carga (linha reta). 
Na Figura 5 não temos uma linha reta no escoamento, sim uma curva. 
► TÓPICO 3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 
O comportamento da tensão-deformação dos materiais permite reconhecer algumas de suas 
propriedades. Os materiais podem ser classificados como dúcteis ou frágeis, dependendo de suas 
características mostradas no gráfico. 
Os materiais dúcteis, que incluem o aço estrutural, bem como muitas ligas de outros metais, 
são caracterizados por sua capacidade de escoar na temperatura ambiente. Isso quer dizer que o 
material pode ser submetido a grandes deformações antes de sofrer ruptura. Os materiais dúcteis são 
capazes de absorver choque ou energia e, se ficarem sobrecarregados, exibirão, em geral, grande 
deformação antes de falhar. Podemos dizer, de maneira simples, que o material “avisa” antes de se 
romper. 
A madeira é um material que, em geral, é moderadamente dúctil e, por isso, costuma ser 
projetada para reagir somente a carregamentos elásticos. Como a madeira é um material fibroso, suas 
características de tração e compressão são muito diferentes quando ela for carregada paralela ou 
perpendicularmente a seu grão. A madeira racha quando carregada em tração perpendicular a seu grão 
e, por consequência, quase sempre se entende que, em elementos estruturais de madeira, as cargas de 
tração serão aplicadas paralelamente ao grão. 
Materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da falha são denominados 
materiais frágeis. Ferro fundido, vidro e pedra são exemplos de materiais em que a ruptura ocorre 
sem nenhuma mudança prévia notável na taxa de alongamento. Para os materiais frágeis não há 
diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura. E a deformação no instante da ruptura 
é muito menor para materiais frágeis do que para materiais dúcteis. 
O concreto é classificado como um material frágil e tem baixa capacidade de resistência à 
tração. A máxima resistência à compressão do concreto é quase 12,5 vezes maior do que sua 
resistência à tração. Por essa razão o concreto é reforçado com barras de aço (concreto armado) para 
suportar cargas de compressão e tração. 
Observe a Figura 6 e faça uma comparação com a Figura 4. Note que na falha de um material 
dúctil, ocorre deformação. Já o material frágil, não apresenta grande deformação antes de sua ruptura. 
De maneira simplificada dizemos que estes matérias “não avisam” antes de romper. 
 
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Figura 6 – Falha frágil 
Fonte: HIBBELER, R. C. (2010) 
 
A maioria dos materiais exibe comportamentos dúcteis e frágeis. O aço tem comportamento 
frágil quando seu teor de carbono é alto, e dúctil quando o teor de carbono é reduzido. Além do mais, 
em baixas temperaturas os materiais tornam-se mais duros e mais frágeis, e quando a temperatura 
sobre, ficam mais macios e mais dúcteis. 
Um modo de especificar a ductilidade de um material é calcular o percentual de alongamento 
ou a redução percentual da área no instante da ruptura. A porcentagem de alongamento é a deformação 
de ruptura do corpo de prova expressa como porcentagem. Sendo o comprimento de referência 
original do corpo de prova Lo e seu comprimento na ruptura Lrup, temos: 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐴𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 
𝐿𝑟𝑢𝑝 − 𝐿0
𝐿0
 . (100%) 
No exemplo da Figura 5, se a deformação na falha 𝜀𝑓 = 0,380𝑚𝑚/𝑚𝑚, a porcentagem seria 
38%. Outro modo de especificar a porcentagem de redução da área é outro modo de especificar a 
ductilidade e é definida dentro da região de estricção da seguinte maneira: 
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 = 
𝐴0 − 𝐴𝑓
𝐴0
 . (100%) 
Quando um material tem de suportar uma carga por muito tempo, pode continuar a deformar-
se até sofrer ruptura repentina ou ter sua utilidade prejudicada. Essa deformação permanente 
dependente do tempo é conhecida como fluência. Para alguns materiais, como polímeros e 
compósitos (entre eles madeira ou concreto) a temperatura não é um fator importante, mesmo assim 
pode ocorrer fluência devido à aplicação de carga por longo tempo. 
Quando um material é submetido a ciclos repetidos de tensão ou deformação, sua estrutura 
pode romper-se, o que resulta em ruptura. Esse comportamento é denominado fadiga e, normalmente, 
é responsável por grande porcentagem de falhas de apoios para pontes, rodas e eixos de vagões, e 
 
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outras peças sujeitas a carregamento cíclico. Em todos esses casos, a ruptura ocorrerá a uma tensão 
menor que a tensão de escoamento do material. Como a tensão no material é cíclica, ela leva a 
formação de minúsculas trincas que provocam aumento de tensão nas extremidades e as trincas vão 
aumentando. A área da seção transversal acaba se reduzindo a um ponto em que não pode mais 
suportar a carga e o resultado é a ocorrência de ruptura repentina. O material dúctil se comporta como 
frágil. 
► TÓPICO 4 – LEI DE HOOKE 
Como pode ser observado, o diagrama tensão-deformação para a maioria dos materiais de 
engenharia exibe uma relação linear entre a tensão e a deformação dentro da região elástica. Por 
consequência, um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação. Esse fato foi 
descoberto por Robert Hooke, em 1676, e é conhecido como Lei de Hooke, que é expressa 
matematicamente como: 
σ = E . ε 
Neste expressão, E representa a constante de proporcionalidade denominada módulo de 
elasticidade ou módulo de Young, nome que se deve a Thomas Young, que publicou uma explicação 
sobre o módulo em 1807. A tensão (σ) e a deformação (ε) já são variáveis conhecidas. 
Esta equação representa a equação da porção inicial em linha reta do diagrama tensão-
deformação até o limite de proporcionalidade. O módulo de elasticidade representa a inclinação desta 
reta. Visto que a deformação é adimensional, peça equação E terá unidades de tensão como Pascal, 
MPa ou GPa. 
Como exemplo, considere o diagrama tensão-deformação para o aço mostrado na Figura 5. 
Nesse diagrama, 𝜎𝑙𝑝 = 241 𝑀𝑃𝑎 e 𝜀𝑙𝑝 = 0,0012𝑚𝑚/𝑚𝑚, de modo que: 
𝐸 = 
𝜎𝑙𝑝
𝜀𝑙𝑝
= 
240 𝑀𝑃𝑎
0,0012 𝑚𝑚/𝑚𝑚
= 200.000 𝑀𝑃𝑎 = 200 𝐺𝑃𝑎 
Este é o módulo de elasticidade da maioria dos aços, desde o mais mole aço laminado até o 
mais duro aço-ferramenta. Valores comuns de E para outros materiais de engenharia são encontrados 
em normas e manuais. Em anexo, neste arquivo, está uma tabela com alguns valores. 
O módulo de elasticidade é uma propriedade mecânica que indica a rigidez de um material. 
Materiais muito rígidos como o aço tem grandes valores de E. Ao passo que materiais esponjosos 
 
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como a borracha podem ter valores mais baixos (E = 0,70 MPa). Deve-se ressaltar que E só pode ser 
usado se um material tiver comportamento linear elástico. Se a tensão no material for maior que o 
limite proporcionalidade, o digrama deixa de ser uma linha reta e a equação (σ = E . ε) deixa de ser 
válida. 
4.1 EXEMPLO 
Um ensaio de tração para um aço-liga resultou no diagrama tensão-deformação mostrado na Figura 
7. Calcule o módulo de elasticidade e o limite de escoamento com base em uma deformação residual 
de 0,2%. Identifique no gráfico o limite de resistência e a tensão de ruptura. 
Solução: 
• Módulo de elasticidade: deve-se calcular a inclinação da porção inicial em linha reta dográfico. Pela curva e pela escala ampliada no quadrado, essa reta se estende do ponto O até 
um ponto estimado A, cujas coordenadas aproximadas são: σ = 345 MPa e ε = 0,0016mm/mm. 
𝐸 = 
σ
ε
= 
345
0,0016
= 215 𝐺𝑃𝑎 
• Limite de escoamento: Para uma deformação residual 0,2%, partimos da deformação de 0,2% 
ou 0,0020 mm/mm e traçamos no gráfico uma reta paralela a AO até interceptar a curva em 
A’. Pelo gráfico, o limite de escoamento é, aproximadamente: 𝜎𝑙𝑒 = 469 𝑀𝑃𝑎. 
Obs.: Sempre que se desejar determinar o limite de escoamento, parte-se do ponto 
correspondente à deformação de engenharia, traça-se uma reta paralela à região reta (inicial) 
da curva tensão-deformação, e o ponto onde essa reta tocar a curva tensão-deformação 
corresponde ao limite de escoamento. 
• Limite de resistência: essa tensão é definida pelo pico do gráfico, que é no ponto B. Então 
vale, aproximadamente: 𝜎𝑟 = 745,2 𝑀𝑃𝑎 
• Tensão de ruptura: Quando o corpo de prova é deformado até seu máximo de 𝜀𝑟 =
0,23𝑚𝑚/𝑚𝑚, ocorre ruptura no ponto C. Por isso: 𝜎𝑟𝑢𝑝 = 621 𝑀𝑃𝑎 
 
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Figura 7 – Gráfico tensão-deformação aço liga 
Fonte: HIBBELER, R. C. (2010) 
 ► QUESTÕES DE RECAPITULAÇÃO 
Questão 01: 
A imagem abaixo apresenta o diagrama tensão-deformação de um material dúctil-fictício. 
Identifique nessa imagem as seguintes propriedades desse material: 
a) Módulo de Elasticidade E; 
b) Limite de Resistência ao Escoamento (𝜎𝑙𝑒); 
c) Limite de Resistência a Tração (𝜎𝑟); 
d) Tensão de Ruptura (𝜎𝑟𝑢𝑝). 
 
 
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Questão 02: 
Com base no gráfico de tensão e deformação dado abaixo, responda se as alternativas são falsas ou 
verdadeiras. 
 
a) ( ) O módulo de elasticidade do material A é maior que o módulo de elasticidade do 
material B, porém é menor que o de C. 
b) ( ) O módulo de resistência a tração do material C é maior que o do material B. 
c) ( ) O módulo da tensão de ruptura de todos os materiais são iguais. 
d) ( ) Os gráficos parecem demonstrar que os materiais C e B são dúcteis e o material A é 
frágil. 
e) ( ) Os materiais A, B e C rompem aproximadamente na mesma deformação, apesar de 
possuírem tensões de rompimento diferentes. 
 
► RECAPITULAÇÃO DA UNIDADE 
Pontos importantes desta Unidade para fixação: 
• Um diagrama tensão-deformação convencional é importante na engenharia porque 
proporciona um meio para obtenção de dados sobre a resistência à tração ou à 
compressão de um material sem considerar o tamanho ou a forma física do material. 
Na imagem abaixo, temos exemplos ilustrativos desse diagrama para alguns 
materiais: 
 
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• A região indicada pela cor laranja na figura abaixo é chamada de Região Elástica ou 
Região Linear-Elástica. Nessa região as deformações são reversíveis (somem quando 
o material deixa de ser carregado). 
 
• Um material é linear elástico se a tensão for proporcional à deformação dentro da 
região elástica. Essa propriedade é denominada Lei de Hooke e a inclinação da curva 
é denominada módulo de elasticidade E. Como o módulo de elasticidade é a 
inclinação da curva, ele vai ser igual à tangente do ângulo de inclinação da região 
elástica desse material: 
 
• Após a região elástica, existe uma segunda região, indicada pela cor verde na figura 
abaixo, chamada de Região Plástica. Nessa segunda região as deformações deixam 
de ser elásticas e passam a ser plásticas, ou seja, são irreversíveis e não são descritas 
pela Lei de Hooke. Como o vidro é um material frágil, ele só apresenta uma região, 
no caso apenas a elástica. 
 
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• Tensão e deformação de engenharia são calculadas pela área da seção transversal e 
comprimento de referência originais do corpo de prova. 
• Um material dúctil tem quatro comportamentos distintos quando é carregado: 
comportamento elástico, escoamento, endurecimento por deformação e estricção. 
 
• Pontos importantes no diagrama tensão-deformação são o limite de 
proporcionalidade, o limite de elasticidade, a tensão de escoamento, o limite de 
resistência e a tensão de ruptura. 
• A ductilidade de um material pode ser especificada pela porcentagem de 
alongamento ou pela porcentagem de redução da área do corpo de prova. 
• Materiais frágeis apresentam pouco ou nenhum escoamento e sofrem ruptura 
repentina. 
 
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• Fluência é a deformação de um material relacionada ao tempo no qual a tensão e/ou 
temperatura desempenham um importante papel. 
• Fadiga ocorre em metais quando a tensão ou deformação é cíclica. Provoca a 
ocorrência de ruptura frágil. 
 
► REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Pearson Prentice Hall, 7º ed. – São Paulo, 2010. 
BEER, F.P.; JOHNSTON JR.,E.R. Resistência dos Materiais. Pearson Makron Books, 5ª ed. – São 
Paulo, 2011. 
CALLISTER, W. D. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma Introdução. LTC, 5ª ed. – Rio de 
Janeiro, 2002.