AD1-ALII-2020-1-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Álgebra Linear II – 2020/1
Gabarito
AVISO: É obrigatório, nas resoluções de sistemas lineares, reduzir por linhas à forma em escada a matriz
associada ao sistema.
Questão 1 (1,6 pontos): Seja A ∈M3(R) com autoespaços
E(λ1 = 13) = {(x, y, z) ∈ R3 ; 48x+ 27y + 3z = 0}
E(λ2 = −82) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 8y + 33z = 0 e 5x− 39y + 102z = 0}.
a) (1,2 pts) Determine bases dos autoespaços e as multiplicidades geométricas dos autovalores de A.
b) (0,4 pt) A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
a) Pela definição de E(λ1 = 13), geometricamente, E(λ1 = 13) é um plano pela origem, cuja dimensão
é 2. Assim, a multiplicidade geométrica de λ1 = é 2.
Pela definição de E(λ2 = −82), geometricamente, E(λ2 = −82) é a interseção de dois planos
concorrentes (vetores normais linearmente independentes) que passam pela origem, portanto é uma
reta pela origem, cuja dimensão é 1. Assim, a multiplicidade geométrica de λ2 = −82 é 1.
Vamos determinar as bases dos autoespaços já sabendo que a base de E(λ1 = 13) tem 2 vetores
linearmente independentes e a base E(λ2 = −82) tem 1 vetor não nulo.
– Base de E(λ1 = 13)
E(λ1 = 13) = {(x, y, z) ∈ R3 ; 48x+ 27y + 3z = 0}
= {(x, y, z) ; 3z = −48x− 27y ; x, y ∈ R}
= {(x, y, z) ; z = −16x− 9y ; x, y ∈ R}
= {(x, y,−16x− 9y) ; x, y ∈ R}
= {(x, 0,−16x) + (0, 1y,−9y) ; x, y ∈ R}
= {x(1, 0,−16) + y(0, 1,−9) ; x, y ∈ R}
Assim, β1 = {(1, 0,−16), (0, 1,−9)} é uma base de E(λ1 = 13) e a multiplicidade geométrica de
λ1 = 13 é 2.
– Base de E(λ2 = −82):
Devemos resolver o sistema linear homogêneo:
{
x− 8y + 33z = 0
5x− 39y + 102z = 0.
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:
[
1 −8 33
5 −39 102
]
L2←L2−5L1∼
[
1 −8 33
0 1 −63
]
L1←L1+8L2∼
[
1 0 −471
0 1 −63
]
Logo, x− 471z = 0 e y − 63z = 0. Portanto,
E(λ2 = −82) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 8y + 33z = 0 e 5x− 39y + 102z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 471z e y = 63z}
= {(471z, 63z, z) ; z ∈ R}
= {z (471, 63, 1) ; z ∈ R}
.
1
Assim, β2 = {(471, 63, 1)} é uma base de E(λ2 = −82) e a multiplicidade geométrica de λ2 = −82 é
1.
b) A é diagonalizável, pois
β = β1 ∪ β2 = {(1, 0,−16), (0, 1,−9), (471, 63, 1)} é uma base do R3 formada por autovetores de A
ou
a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores é 2 + 1 = 3 = dimR3
Questão 2 (1,4 pontos): Sejam P =
[
15 13
7 6
]
e D =
[
−2 0
0 8
]
tais que P diagonaliza a matriz
A ∈M2(R) e D é a sua correspondente matriz diagonal.
a) (0,4 pt) Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) (0,4 pt) Determine A
[
15
7
]
e A
[
13
6
]
, justificando a sua resposta e sem calcular A.
c) (0,6 pt) Determine A, usando a matriz P .
Solução:
a) Uma matriz P que diagonaliza A é
P =
[
v1 v2
]
=
[
15 13
7 6
]
,
onde v1 =
[
15
7
]
é autovetor de A associado ao autovalor λ1 = −2 e
v2 =
[
13
6
]
é autovetor de A associado ao autovalor λ2 = 8,
pois a matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
−2 0
0 8
]
.
Logo, β = {v1 = (15, 7)︸ ︷︷ ︸
λ1=−2
, v2 = (13, 6)︸ ︷︷ ︸
λ2=8
} é uma base do R2 formada por autovetores de A.
b) Segue que
A
[
15
7
]
= (−2)
[
15
7
]
=
[
−30
−14
]
e A
[
13
6
]
= 8
[
13
6
]
=
[
104
48
]
.
c) Temos que P−1 = −11
[
6 −13
−7 15
]
=
[
−6 13
7 −15
]
.
A = PDP−1 =
[
15 13
7 6
] [
−2 0
0 8
] [
−6 13
7 −15
]
=
[
−30 104
−14 48
] [
−6 13
7 −15
]
=
[
908 −1950
420 −902
]
Questão 3 (2,8 pontos): Seja A =
 10 −13 03 −6 0
20 −20 −3
.
a) (1,8 pts) Calcule os autovalores e determine bases para seus autoespaços.
2
b) (0,4 pt) Dê uma base do R3 formada por autovetores de A, indicando seus autovalores.
c) (0,6 pt) Determine uma matriz inverśıvel P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP−1.
Solução:
a) O polinômio caracteŕıstico de A é
p(λ) = det(λI3 −A) = det
 λ− 10 13 0−3 λ+ 6 0
−20 20 λ+ 3
 (desenvolvendo pela 3a coluna)
= (λ+ 3) det
[
λ− 10 13
−3 λ+ 6
]
= (λ+ 3)
[
(λ− 10)(λ+ 6) + 39
]
= (λ+ 3)
[
λ2 − 4λ− 21
]
= (λ+ 3)
[
(λ+ 3)(λ− 7)
]
= (λ+ 3)2(λ− 7).
Logo os autovalores de A são: λ1 = −3 e λ2 = 7.
– Cálculo do autoespaço associado a λ1 = −3:
Devemos resolver o sistema linear homogêneo cuja matriz associada é (−3)I3 −A. Reduzindo por
linhas à forma escalonada, obtemos:
(−3)I3 −A =
 −13 13 0−3 3 0
−20 20 0
 L1←− 113L2∼
 1 −1 0−3 3 0
−20 20 0
 L2 ← L2 + 3L1L3 ← L3 + 20L1∼
 1 −1 00 0 0
0 0 0
 .
Assim, x− y = 0.
E(λ1 = −3) =
{
(x, y, z) ∈ R3 | x = y
}
=
{
(y, y, z) ∈ R3 | y, z ∈ R
}
= {y(1, 1, 0) + z(0, 0, 1) | y, z ∈ R} = [(1, 1, 0) , (0, 0, 1)] .
Para obtermos o gerador acima fizemos y = 1 e z = 1. Logo, β1 = {(1, 1, 0) , (0, 0, 1)} é uma base de
E(λ1 = −3).
– Cálculo do autoespaço associado a λ2 = 7:
Devemos resolver o sistema linear homogêneo cuja matriz associada é (7)I3 − A. Reduzindo por
linhas à forma escalonada, obtemos:
(7)I3 −A =
 −3 13 0−3 13 0
−20 20 10
 L1↔− 13L1∼
 1 −133 0−3 13 −1
−20 20 10
 L2 ← L2 + 3L1L3 ← L3 + 20L1∼
 1 −133 00 0 0
0 −2003 10

L2↔L3∼
 1 −133 00 −2003 10
0 0 0
 L2↔− 3200L3∼
 1 −133 00 1 − 320
0 0 0
 . L2↔L1+ 133 L2∼
 1 0 −13200 1 − 320
0 0 0
 .
Assim, x− 1320z = 0 e y −
3
20z = 0.
E(λ2 = 7) = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 1320z e y =
3
20z}
= {(1320z,
3
20z, z) | z ∈ R}
= [(13, 3, 20)].
Para obtermos o gerador acima fizemos z = 20. Logo, β2 = {(13, 3, 20)} é uma base de E(λ2 = 7).
3
b) Tomando β = β1 ∪ β2 = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 0, 1), v3 = (13, 3, 20)}, obtemos uma base do R3
formada por autovetores de A associados, respectivamente, aos autovalores λ1 = −3 e λ2 = 7.
c) Uma matriz inverśıvel P é uma matriz de mudança de base, da base de autovetores β (obtida no
item anterior) para a base canônica, dada por
P =
[
v1 v2 v3
]
=
 1 0 131 0 3
0 1 20

cuja matriz diagonal D tal que A = PDP−1 é dada por
D =
 λ1 0 00 λ2 0
0 0 λ3
 =
 −3 0 00 −3 0
0 0 7
.
Questão 4 (1,8 pontos) Em cada item faça o que se pede:
a) (1,0 pts) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, A ∈Mn(R) tal que A2 = A+ 30I. Mostre que
se λ é um autovalor de A, então λ = −5 ou λ = 6.
b) (0,8 pt) Sabendo que o polinômio caracteŕıstico de B ∈ M4(R) é p(λ) = (λ + 42)3(λ − 18) e que
B não é diagonalizável, determine os posśıveis valores das multiplicidades geométricas de seus
autovalores.
Solução:
a) Seja λ autovalor de A. Dáı, existe um vetor não nulo v tal que Av = λv. Assim,
λv
(1)
= Av ⇒ λv + 30v = Av + 30v ⇒ (λ+ 30)v = (A+ 30I)v (2)= A2v = A(λv) = λAv = λ2v,
onde em (1) usamos que v é autovetor de A e em (2), a hipótese A2 = A+ 30I. Logo
λ2v = (λ+ 30)v ⇒ (λ2 − λ− 30)v = −→0 e como v 6= −→0 ⇒ λ2 − λ− 30 = 0⇒ (λ+ 5)(λ− 6) = 0.
Portanto, λ = −5 ou λ = 6.
b) Sabemos que para cada autovalor λ vale que 1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ). Assim,
1 ≤ mg(λ1 = −42) ≤ ma(λ1 = −42) = 3
1 ≤ mg(λ2 = 18) ≤ ma(λ2 = 18) = 1.
Como B não é diagonalizável, mg(λ1 = −42) +mg(λ2 = 18) < dim R4 = 4. Temos 2 possibilidades:
mg(λ1 = −42) = 1 e mg(λ2 = 18) = 1
ou
mg(λ1 = −42) = 2 e mg(λ2 = 18) = 1
Questão 5 (2,4 pontos): Seja A =
[
20 16
5 9
]
.
a) (1,2 pts) Determine os autovalores e bases de seus autoespaços.
b) (0,4 pt) Determine uma matriz inverśıvel P e uma matriz diagonal D tais que A = PDP−1.
c) (0,8 pt) Determine uma matriz B tal que A = B2. Uma matriz B com esta propriedade é chamada
raiz quadrada de A. Dica: Tome B = P
√
DP−1
4
Solução:
a) Temos que λI2 −A =
[
λ− 20 −16
−5 λ− 9
]
. Logo,
p(λ) = (λ− 20)(λ− 9)− 84 = λ2 − 20λ− 9λ+ 180− 80 = λ2 − 29λ+ 100 = (λ− 4)(λ− 25)
e os autovalores de A são λ1 = 4 e λ2 = 25.
– Cálculo de E(λ1 = 4)
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz 4I2 −A, temos
4I2 −A =
[
−16 −16
−5 −5
]
L1←− 116L1∼
[
1 1
−5 −5
]
L2←L2+5L1∼
[
1 1
0 0
]
Logo, x+ y = 0 e
E(λ1 = 4) = {(x, y) ∈ R2 ; x = −y} = {(−y, y) = (−1, 1)y ; y ∈ R} = [(−1,1)].
Geometricamente, E(λ1 = 4) é uma reta pela origem, tem dimensão 1 e {v1 = (−1, 1)} é uma base
de E(λ1 = 4).
– Cálculo de E(λ2 = 25):
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz 25I2 −A, temos
25I2 −A =
[
5 −16
−5 16
]
L1← 15L1∼
[
1 −165
−5 16
]
L2←L2+5L1∼
[
1 −165
0 0
]
.
Logo, x− 165 y = 0 e
E(λ2 = 25) = {(x, y) ∈ R2 ; x = 165 y} = {(
16
5 y, y) = (
16
5 , 1)y , y ∈ R} = [(16, 5)].
Geometricamente, E(λ2 = 25) é uma reta pela origem, tem dimensão 1 e {v2 = (16, 5)} é uma
base de E(λ2 = 25).
b) Para determinar uma matriz inverśıvel P que diagonaliza A devemos construir uma base β do R2
formada por autovetores de A associados, respectivamente, a λ1 = 16 e λ2 = 1.
Tomamos β = {v1 = (−1, 1), v2 = (16, 5)}.
A matriz P de mudança de base, da base de autovetores para a base canônica {e1, e2} do R2, é
P =
[
v1 v2
]
=
[
−1 16
1 5
]
,
cuja correspondente matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
4 0
0 25
]
.
c) Temos que P−1 = − 125
[
5 −16
−1 −1
]
=
[
− 525
16
25
1
25
1
25
]
.
Como os autovalores λ1 = 16, λ2 = 1 são positivos, podemos escrever a matriz
√
D =
[ √
λ1 0
0
√
λ2
]
=
[ √
4 0
0
√
25
]
=
[
2 0
0 5
]
.
Deste modo, podemos escrever
A = PDP−1 = P
√
DP−1 · P
√
DP−1.
5
Basta agora observar que B = P
√
DP−1 é tal que A = B2, onde
B = P
√
DP−1 =
[
−1 16
1 5
] [
2 0
0 5
] [
− 525
16
25
1
25
1
25
]
=
[
−2 80
2 25
] [
− 525
16
25
1
25
1
25
]
=
[
90
25
48
25
15
25
57
25
]
.
6