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MATERIAL DIDÁTICO 
 
TÉCNICAS DE GERENCIAMENTO 
DE FINANCIAMENTOS E 
EMPRÉSTIMOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA 
PORTARIA Nº 1.282 DO DIA 26/10/2010 
 
0800 283 8380 
 
www.ucamprominas.com.br 
 
 
Impressão 
e 
Editoração 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
UNIDADE 1 – SÉRIES DE PAGAMENTOS APLICADAS A FINANCIAMENTOS 7 
1.1 Elementos Fundamentais das Séries de Pagamentos .............................. 7 
1.2 Tipos de Séries de Pagamentos Aplicadas no Campo dos 
Financiamentos .................................................................................................. 8 
1.3 Série de Pagamentos Postecipadas e com Termos Uniformes ................ 9 
1.4 Série de Pagamentos Antecipadas com Termos Uniformes ................... 13 
1.5 Série de Pagamentos de Termos Vencidos e Termos Variáveis ............ 17 
1.6 Teclas Especiais da HP 12C Envolvendo Termos Variáveis .................. 19 
1.7 Indicadores Financeiros Aplicados à Gestão de Financiamentos ........... 23 
1.8 Valor Presente Líquido como Indicador Relacionado a Rentabilidade de 
Projetos............................................................................................................. 25 
1.9 Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) .................................................... 28 
UNIDADE 2 – TÉCNICAS DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .............. 36 
2.1 Amortização – Aspectos Introdutórios ..................................................... 36 
2.2 Elementos Fundamentais da Amortização .............................................. 38 
2.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) ............................................. 41 
2.4 Cálculos no Sistema de Amortização Constante .................................... 42 
2.5 Sistema Francês de Amortização (ou Tabela Price) ............................... 52 
2.6 Sistema de Amortização Misto (SAM) ..................................................... 61 
2.7 Comparações entre o SAC, SAF e SAM ................................................. 62 
2.8 Sistema Americano de Amortização (SAA) ............................................. 65 
REFERÊNCIAS .................................................................................................... 67 
 
3 
 
INTRODUÇÃO 
 
“Se financiamento fosse bom, não chamaria financiamento.” 
(Alessandro Ferreira Alves) 
 
Que todos nós sabemos que o consumidor brasileiro compra por impulso e 
sem controle, ou seja, não é novidade que somos consumidores que compramos 
de forma exagerada e sem nenhuma prudência. Dessa forma, quando temos a 
escassez de recursos temos que nos remeter a um financiamento ou empréstimo, 
termo comumente aplicado no âmbito das concessionárias. Cabe ressaltarmos 
que nos últimos anos com a abertura de crédito cada vez maior, a indústria 
automobilística vendeu uma quantidade considerável de unidades de veículos, 
porém no último biênio, tal número está em declínio, exatamente por conta do 
momento conturbado em que vivemos. 
Sendo assim, é natural notarmos que o conceito de séries de pagamentos 
e sistemas de amortização é de fundamental importância para as operações 
realizadas ao âmbito do longo prazo em concessionárias e instituições 
associadas. Ou seja, no atual momento financeiro brasileiro, as operações de 
compra e venda de automóveis e motos, por exemplo, caíram com relação aos 
últimos anos, onde tivemos um grande leque de operações neste sentido, talvez 
devido ao poder de compra do brasileiro ter aumentado e até mesmo por conta da 
abertura facilitada da linha de crédito. 
Observe que se você for o gestor (gerente) responsável de uma 
concessionária ou de uma instituição financeira que trabalha com financiamentos 
e empréstimos, seria interessante que você conheça as principais técnicas 
associadas a tais operações, ou seja, diante mão, seria muito pertinente entender 
os tipos de séries aplicadas aos pagamentos e os tipos de sistemas de 
amortização utilizados, entre outros. 
Quando falamos na escassez de recursos, não devemos pensar em um 
primeiro momento que só as classes B, C e D que realizam financiamentos de 
veículos, a considerada classe dos mais ricos também financiam e até certo ponto 
em grande escala. Só a título de curiosidade, apesar do mercado brasileiro de 
automóveis enfrentar uma crise econômica em 2014 e sofrer com seguidas 
4 
 
quedas mensais de vendas e, entre os principais fatores, estão as restrições ao 
crédito e ao financiamento, o segmento de luxo segue muito bem. O número de 
vendas e de financiamento dos carros denominados "premium" só tem crescido 
nos últimos anos, com expressivo aumento de 34% em 2013 sobre 2012 (o 
mercado ficou estável no mesmo período), e repete ritmo parecido este ano. 
O número do ano passado vem de uma média formada por dados das 
próprias marcas consideradas premium: Audi, BMW, Dodge, Jaguar Land Rover, 
Jeep, Lexus, Mercedes-Benz e Volvo, revelados no início deste ano. Segundo 
dados do blogueiro Joel Leite, Jaguar (480%), Lexus (255%), Porsche (88%), 
BMW (64%), Mercedes (48%), Audi (42%), Land Rover (30%), Jeep (22%) e 
Dodge (19,5%) cresceram nas vendas em 2013 na comparação com 2012. Mas 
não pense que o cliente "Classe A" chega à loja dessas marcas e paga pelo carro 
à vista e "em cash", em verdade, é sabido que cerca de 60% das vendas incluem 
financiamento de parte do valor. Segundo as próprias fabricantes, o bom 
desempenho dos modelos premium (que, de um modo geral, custam no mínimo 
R$ 90.000,00) também se deve à criação de novas e melhores condições de 
negócio. Exemplo singelo disso é que os sites oficiais das marcas no Brasil dão 
grande destaque ao quesito "Financiamento". 
Antes de iniciarmos propriamente dito todos os aspectos teóricos 
relacionados à disciplina em si, listamos aqui alguns Cases Empresariais que 
serão interpretados e resolvidos a partir das ferramentas práticas da Matemática 
Financeira (conceitos introdutórios e regimes de capitalização) e no Foco da HP 
12C. 
Case Empresarial 01: Gilberto realiza um empréstimo no Banco AFA no 
mês ano de 2014 no valor de R$90.000,00. O mesmo foi pago em 12 prestações 
mensais, a juros efetivos de 6% ao mês utilizando o Sistema Misto de 
Amortização. Qual foi o valor de cada uma das parcelas pagas por Gilberto? Qual 
o valor das prestações de amortização? 
Case Empresarial 02: Gilberto faz um empréstimo no valor de 
R$800.000,00 no Banco Universal, através do Sistema Americano (SAA). Gilberto 
se propõe a devolver o principal daqui a dois anos, pagando semestralmente 
somente os juros a taxa de 4% ao semestre. Montar a planilha associada do 
financiamento de Gilberto pelo SAA. 
http://omundoemmovimento.blogosfera.uol.com.br/2014/05/20/financiamento-cresce-menos-do-que-a-venda-de-carros/
http://omundoemmovimento.blogosfera.uol.com.br/2014/05/20/financiamento-cresce-menos-do-que-a-venda-de-carros/
http://carros.uol.com.br/noticias/redacao/2014/10/01/o-carro-e-de-luxo-mas-o-pagamento-e-no-carne.htm
http://omundoemmovimento.blogosfera.uol.com.br/2013/11/13/jaguar-cresce-486-e-puxa-o-segmento-de-luxo/
5 
 
Case Empresarial 03: Determine o valor teórico de um apartamento que 
rende mensalmente R$1.000, considerando-se a taxa de juros de mercado de 
1,0% a.m. Considerar tal aluguel como uma perpetuidade. 
Case Empresarial 04: Suponhamos que você adquire um veículo nas 
seguintes condições: uma entrada de R$3.500,00 mais 36 prestações iguais. 
Sabendo que o valor do veículo à vista é de R$16.000,00 e a taxa de 
financiamento, de 2,7214% ao mês, qual o valor das prestações? 
Case Empresarial 05: Um veículo novo é financiado, para pagamento em 
12 prestações mensais, iguais e sucessivas, à taxa de 1,99% ao mês. Se o valor 
financiado é de R$18.500,00, calcular o valor das prestações: 
a)De acordo com o conceito de termos vencidos. 
b) De acordo com o conceito de termos antecipados. 
 
Neste sentido, o objetivo geral do nosso módulo é apresentar os principais 
conceitos e técnicas associadas às séries de pagamentos e sistemas de 
amortização, implementando várias situações de mercado associadas a 
operações, envolvendo, por exemplo, compra e venda de veículos e 
financiamentos em geral. Para atingirmos tal objetivo, este material está dividido 
em três unidades, descritas a seguir: 
 Unidade 01: apresentaremos os conceitos fundamentais das séries 
de pagamentos, bem como, classificamos as mesmas e implementamos 
situações envolvendo concessionárias. 
 Unidade 02: apresentaremos aplicações relacionadas às principais 
técnicas de financiamento aplicadas no mercado financeiro brasileiro e, 
especificamente falando, no âmbito das concessionárias. 
Pois bem, as palavras acima são nossa justificativa para o módulo em 
estudo. 
“Tempo é dinheiro.” 
(Beijaminn Flanklin) 
“Os números governam o mundo.” 
(Platão) 
 
6 
 
“Dinheiro é o oposto do clima. Ninguém fala sobre ele, mas todo 
mundo faz algo a respeito.” 
(Rebecca Johnson) 
7 
 
UNIDADE 1 – SÉRIES DE PAGAMENTOS APLICADAS A 
FINANCIAMENTOS 
 
Como planejar melhor as decisões no âmbito de uma concessionária? 
Como analisar de forma mais estruturada as finanças em uma concessionária? 
Como fidelizar melhor o seu cliente quando se fala em empréstimos e 
financiamentos de veículos? Como explicitar os cálculos envolvendo 
financiamentos de veículos? Com o intuito de respondermos questões como 
estas, estaremos discutindo nesta primeira unidade todos os conceitos e 
classificações envolvendo as séries de pagamentos. 
 
1.1 Elementos Fundamentais das Séries de Pagamentos 
O que é uma série de pagamentos? Quais são os elementos fundamentais 
das mesmas? Quais os tipos de séries no âmbito do financiamento de veículos? 
Quando aplicamos as séries nas operações de compra e venda em 
concessionárias? Antes de trabalharmos as aplicações práticas envolvendo as 
séries de pagamentos, vamos definir os elementos fundamentais e classificá-los 
de acordo com alguns critérios. Sendo assim, os seus elementos fundamentais 
são descritos a seguir: 
 Série de Pagamentos: denominamos de Série de Pagamentos ou 
Recebimentos, Série de Prestações ou Anuidades, a toda sequência finita ou 
infinita de Pagamentos ou Recebimentos em datas previamente estipuladas. 
 Termo: cada um destes pagamentos ou recebimentos, referidos a 
uma mesma taxa de juros compostos, será chamado de Termo da Série ou Termo 
da Anuidade. 
 Período: o intervalo de tempo entre dois períodos é denominado de 
Período. 
 Duração: é a soma dos períodos que define a Duração da Série de 
Pagamentos ou Anuidades. 
 Valor Presente: é a soma dos valores atuais dos seus termos, soma 
esta realizada para uma mesma data e à mesma taxa de juros compostos. 
 Valor Futuro: é a soma dos montantes ou valores futuros dos seus 
termos, considerando uma mesma data e uma mesma taxa de juros compostos. 
8 
 
1.2 Tipos de Séries de Pagamentos Aplicadas no Campo dos 
Financiamentos 
Para a resolução de problemas simulados na gestão financeira envolvendo 
as séries de pagamentos, é necessária a classificação com relação a alguns 
critérios, tais como quanto ao número de termos, natureza dos termos, entre 
outros. Tais critérios são apresentados formalmente a seguir. 
 
Figura 01: Critérios de classificação das séries. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Dessa maneira, em linhas formais, temos que as séries de pagamentos 
são classificadas e identificadas como segue: 
 Quanto ao número de termos: 
- finita – quando existir o pagamento da última prestação; 
- infinita (ou Perpétua) – quando não existir o pagamento da última 
prestação. 
 Quanto à natureza dos seus termos: 
- uniforme – quando todos os termos forem iguais; 
- não Uniforme (ou variável) – quando os termos não forem iguais. 
 
 Quanto ao intervalo entre seus termos: 
- Periódica – quando o intervalo de tempo entre dois termos sucessivos 
for constante; 
9 
 
- não periódica – quando o intervalo de tempo entre dois termos 
sucessivos não for constante. 
 Quanto ao vencimento de seus termos: 
- postecipada (ou de termos vencidos) – quando os termos ocorrerem 
ao final de cada período; 
- antecipada – quando os termos ocorrerem no início de cada período. 
 Quanto à ocorrência do primeiro termo: 
- Diferida – quando o primeiro termo só ocorrer após alguns períodos. Este 
prazo é chamado de prazo de diferimento ou prazo de carência. Observe que 
tal prazo aparece de maneira comum no mercado financeiro. 
- com prazo de carência – quando não tivermos o prazo de carência. Aqui 
ela é também chamada de não diferida. 
 
1.3 Série de Pagamentos Postecipadas e com Termos Uniformes 
Uma Série de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos possui as 
seguintes características principais: 
- os pagamentos são periódicos e sem diferimento; 
- os termos são iguais; 
- o intervalo de tempo entre cada termo é constante; 
- os termos ocorrem ao final dos períodos; 
- o primeiro termo ocorre ao final do primeiro período. 
 
Neste sentido, cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais 
será representado por PMT (veja a tecla na HP 12C). Com relação às demais 
variáveis, serão representadas pelos símbolos já conhecidos (PV, i, n e FV), ou 
seja: 
PV = valor presente, valor atual, capital inicial ou principal; 
FV = valor futuro ou montante; 
i = taxa de juros compostos, coerente com a unidade de tempo (mês, 
trimestre, entre outros); 
n = número de pagamentos ou recebimentos, número de períodos 
(coincidentes com o número de prestações) referentes à unidade de tempo da 
taxa. 
10 
 
Geometricamente, temos as seguintes duas situações a analisar: 
 
 DFC – AMORTIZAÇÃO 
 
Figura 02: Amortização em uma série de pagamentos iguais de termos vencidos. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Na amortização, o Valor Presente (PV) é obtido pela expressão PV = 
PMT x 
ixi
i
n
n
)1(
1)1(


, onde 
ixi
i
n
n
)1(
1)1(


 é o fator de valor atual, para uma série de 
pagamentos de termos iguais de termos vencidos. De outra forma, o Valor 
Futuro de PMT, na amortização, é obtido pela expressão PMT = PV x 
1)1(
)1(


n
n
i
ixi
, 
onde 
1)1(
)1(


n
n
i
ixi
 é o fator de recuperação de capital, para uma série de 
pagamentos iguais de termos vencidos. 
 
 DFC – CAPITALIZAÇÃO 
 
 Figura 03: A capitalização em uma série de pagamentos iguais de termos vencidos. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
11 
 
Na capitalização, o valor de FV é obtido pela expressão FV = PMT x 
i
i n 1)1( 
, onde 
i
i n 1)1( 
 é o fator de acumulação de capital, para uma série 
de pagamentos iguais de termos vencidos. De outra forma, o valor de PMT, na 
capitalização, é obtido pela expressão PMT = FV x 
1)1(  ni
i
, onde 
1)1(  ni
i
 é 
o fator de formação de capital para uma série de pagamentos iguais de termos 
vencidos. Vejamos a resolução de algumas situações de mercado envolvendo as 
séries de pagamentos, implementando através da HP 12C. 
 
Exemplo 01: Uma concessionária vende certo produto em 12 prestações 
mensais iguais de R$ 750,00, sendo a primeira, paga 30 dias após a compra. Tal 
produto em verdade diz respeito a uma marca multinacional bastante conhecida. 
A taxa de juros de crédito pessoal da concessionária é de 1,40% ao mês. Qual o 
preço à vista desse componente automotivo? 
Solução: Note inicialmente que se trata de uma série de pagamentos 
postecipadas e termos uniformes, já que as prestações são iguais e mensais, 
sendo que a primeira é paga 30 dias após a compra. Daí, resolvendo na HP 12C, 
temos a seguinte sequência de passos: 
 
Qual tecla usar? O que temos no 
visor? 
Qual é o significado? 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores.12 <n> 12,00 Insere o número de 
prestações mensais. 
1.40 <i> 1,40 Insere a taxa mensal 
de juros. 
750 <CHS> <PMT> - 750,00 Valor da prestação 
mensal. 
<PV> 8.231,82 Preço à vista do 
produto. 
 
12 
 
Exemplo 02: Uma instituição financeira vinculada a uma concessionária 
opera com a taxa de 1,85% ao mês concedeu um empréstimo no valor de R$ 
50.000,00 a uma pessoa física que necessita de um automóvel zero quilômetro. 
Tal empréstimo deve ser amortizado em 12 prestações mensais e iguais, sendo 
que a primeira vence em 30 dias. Qual é o valor da prestação mensal que esta 
pessoa física irá pagar mensalmente? 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
1.85 <i> 1,85 Insere a taxa mensal 
da operação em 
questão. 
12 <n> 12,00 Insere o número de 
prestações mensais. 
50000 <CHS> <PV> 
 
- 50000,00 Insere o valor do 
empréstimo feito pela 
pessoa jurídica. 
<PMT> 
 
4.684,53 Valor da prestação 
mensal paga pela 
pessoa jurídica. 
 
Exemplo 03: Um cliente de uma concessionária deposita mensalmente a 
quantia de R$800,00 em um consórcio automotivo, durante o período de 36 
meses, a uma taxa de 1,99% ao mês. Quanto o cliente terá na data do último 
depósito do consórcio? 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
13 
 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
36 <n> 36,00 Insere o número de 
depósitos mensais 
realizados pelo cliente. 
1.99 <i> 1,99 Insere a taxa mensal. 
800 <CHS> <PMT> - 800,00 Insere o depósito 
mensal feito por 
Gilberto. 
<FV> 
 
41.515,58 Valor do Montante que 
o cliente da 
concessionária terá na 
data do último 
depósito. 
 
 
1.4 Série de Pagamentos Antecipadas com Termos Uniformes 
Primeiramente, salientamos que uma Série de Pagamentos Iguais com 
Termos Antecipados possui as seguintes características principais: 
- os pagamentos são periódicos e sem diferimento; 
- os termos são iguais; 
- o intervalo de tempo entre cada termo é constante; 
- os termos ocorrem no início dos períodos; 
- o primeiro termo ocorre no início do primeiro período. 
 
Geometricamente, mais uma vez temos duas situações a analisar, a 
amortização e capitalização, como seguem. 
 
14 
 
 DFC – AMORTIZAÇÃO 
 
 Figura 04: A amortização em uma série de pagamentos iguais antecipada. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Na amortização, o valor presente (PV) é obtido pela expressão PV = PMT x 
(1 + i) x 
ixi
i
n
n
)1(
1)1(


, enquanto que o valor de PMT é dado por PMT = 
ixi
i
xi
PV
n
n
)1(
1)1(
)1(



. 
 
 CAPITALIZAÇÃO 
 
Figura 05: A capitalização em uma série de pagamentos iguais antecipada. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
15 
 
Na capitalização, o valor de FV é dado por FV = PMT x (1 + i) x 
i
i n 1)1( 
, 
enquanto o valor de PMT é dado por PMT = 
i
i
xi
FV
n 1)1(
)1(


. 
 
Importante! Na HP 12C, para a resolução de problemas envolvendo as séries 
de pagamentos antecipadas com termos uniformes, procedemos da 
seguinte forma: 
Passo 01: para trabalharmos com série de pagamentos ou 
recebimentos antecipados, pressione as funções <g> <BEG> e aparecerá no 
visor a palavra BEGIN, que significa “início”, ou seja, pagamentos ou 
recebimentos feitos no início do período. Para retirar essa instrução, basta 
pressionar as funções <g> <END>. 
Passo 02: para a série de pagamentos ou recebimentos postecipados, 
você nada fará, ou seja, o que indica que a calculadora resolverá o 
problema, considerando pagamentos ou recebimentos postecipados. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a série de pagamentos 
de antecipados e periódicos que podem aparecer no cotidiano financeiro de uma 
concessionária. 
Exemplo 04: Determinar o preço à vista de um automóvel, adquirido por 
um cliente de uma concessionária em 24 prestações iguais, mensais e 
sucessivas, no valor de R$1.235,00. A primeira prestação será paga na data da 
compra e a taxa de juros em questão é de 1,99% ao mês. 
 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
<g> <BEG> 0,00 BEGIN Para resolver 
16 
 
problemas com 
pagamentos 
antecipados. 
24 <n> 24,00 BEGIN Introduz o número de 
pagamentos mensais. 
1.99 <i> 1,99 BEGIN Introduz a taxa 
mensal. 
1.235,00 <CHS> 
<PMT> 
- 1.235,00 BEGIN Introduz o valor dos 
pagamentos iguais. 
<PV> 23.850,55 BEGIN Preço à vista do 
automóvel. 
 
Exemplo 05: O preço à vista de um automóvel zero quilômetro é de 
R$45.800,00, ou ainda, o mesmo está sendo negociado em 12 prestações 
mensais, iguais e sucessivas, sendo, a primeira, paga na data de hoje. Sabendo-
se que a concessionária usa uma taxa de 1,45% ao mês, qual o valor da 
prestação mensal? 
 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
<g> <BEG> 0,00 BEGIN Para resolver 
problemas com 
pagamentos 
antecipados. 
45800 <CHS> <PV> -45.800,00 BEGIN Preço à vista da peça 
em questão. 
12 <n> 12,00 BEGIN Insere o número de 
prestações. 
17 
 
1.45 <i> 1,45 BEGIN Introduz a taxa 
mensal. 
<PMT> 4.126,05 BEGIN Valor da prestação 
mensal. 
 
Exemplo 06: Calcular o montante de 24 depósitos mensais, iguais e 
sucessivos, no valor de R$1.050,00, efetuados por um cliente de uma 
concessionária multinacional, à taxa de 1,35% ao mês, sendo o primeiro depósito 
realizado na data de hoje. Em verdade, tal operação diz respeito a um consórcio 
automotivo desenvolvido pela própria concessionária. 
 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
<g> <BEG> 0,00 BEGIN Para resolver 
problemas com 
pagamentos 
antecipados. 
 
24 <n> 24,00 BEGIN Insere o prazo em 
meses. 
1.35 <i> 1,35 BEGIN Insere a taxa mensal. 
1.050,00 <CHS> 
<PMT> 
- 1.050,00 BEGIN Valor do depósito. 
<FV> 
 
29.927,25 BEGIN Valor do Montante. 
 
 
1.5 Série de Pagamentos de Termos Vencidos e Termos Variáveis 
18 
 
Em algumas situações peculiares envolvendo financiamentos e 
empréstimos, temos a realização de operações envolvendo pagamentos não 
periódicos, ou seja, não temos mais termos iguais na série a ser interpretada. 
Para os nossos cálculos, agora não vamos ter mais o contexto da função PMT da 
calculadora HP 12C, o que poderia resultar numa dificuldade inicial de cálculo, 
porém, vamos aprender novas funções que tendem a facilitar também os cálculos 
mesmo para esta situação de pagamentos distintos. De acordo com Samanez 
(2007), o Valor Presente é calculado pela soma dos valores atualizados de cada 
um de seus termos a uma mesma taxa i, enquanto que o Valor Futuro pode ser 
determinado pelo somatório dos montantes de cada termo ou capitalizando o 
valor presente para a data futura desejada. 
 
Figura 06: O valor presente e o valor futuro em uma série de pagamentos variáveis. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Sendo assim, por exemplo, para a amortização, temos a seguinte situação 
geométrica: 
19 
 
 
 Figura 07: A amortização para uma série de pagamentos variáveis. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
O Valor Presente é obtido pela expressão Matemática: 
PV = 
n
n
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21







 
 Além disso, o Valor Futuro é dado pela seguinte expressão: 
FV = PMT
1
x (1 + i) 1n + PMT
2
x (1 + i) 2n + ... + PMT n 
Ou seja, 
FV = PV x (1 + i) n 
 
1.6 TeclasEspeciais da HP 12C Envolvendo Termos Variáveis 
De acordo com Samanez (2007), pode-se efetuar a simplificação de alguns 
cálculos envolvendo as séries de pagamentos não uniformes, através das teclas 
especiais da HP 12C < CF 0 >, <CF j >, <N j > e <NPV>, sendo que: 
CF 0 : fluxo de caixa na data zero; 
CF j = fluxo de caixa de ordem j, para j = 1, 2, 3, ..., n; 
N j : número de vezes que o fluxo CF j se repete; 
NPV = valor presente líquido. 
 
Saiba Mais! Para a função <NPV>, a HP 12C calcula diretamente o valor 
presente de até 20 (vinte) grupos de fluxo de caixa (excluindo o fluxo inicial), 
cada grupo contendo um máximo de 99 fluxos iguais. 
20 
 
Exemplo 07: Um cliente de uma concessionária realiza um empréstimo 
liquidando o mesmo em cinco prestações anuais e sucessivas de R$20.000,00, 
R$30.000,00, R$42.000, R$51.000,00 e R$26.000,00. A taxa de juros utilizada na 
operação pela concessionária foi de 24% ao ano. Qual o valor do empréstimo 
realizado por este cliente? 
 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
20000 <g> <CF j > 20.000,00 Fluxo na data 1. 
30000 <g> <CF j > 30.000,00 Fluxo na data 2. 
42000 <g> <CF j > 42.000,00 Fluxo na data 3. 
51000 <g> <CF j > 51.000,00 Fluxo na data 4. 
26000 <g> <CF j > 26.000,00 Fluxo na data 5. 
24<i> 24,00 Taxa de juros anual 
(em %). 
<f> <NPV> 88.108,88 Valor do empréstimo 
realizado pelo cliente 
da concessionária. 
 
Exemplo 08: A AUO concessionária, após diversas reuniões estratégicas 
no ano de 2015, decide realizar um investimento com relação à importação de um 
novo modelo automotivo, com três anos de vida útil, que irá gerar receitas 
mensais de acordo com o quadro a seguir. A taxa de desconto será 18% ao ano, 
capitalizada mês a mês. Qual o valor deste investimento hoje realizado pela 
AUTO concessionária? 
 
Meses Número de Meses Valor (em R$) 
21 
 
1 a 12 12 9.000,00 
13 a 20 08 7.000,00 
21 a 24 04 11.000,00 
25 a 35 10 14.000,00 
36 02 18.000,00 
 
 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
9000 <g> <CF j > 9.000,00 Valor dos fluxos do 
primeiro grupo. 
12 <g> < N j > 12,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
7000 <g> <CF j > 7.000,00 Valor dos fluxos do 
segundo grupo. 
8 <g> < N j > 8,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
11000 <g> <CF j > 11.000,00 Valor dos fluxos do 
terceiro grupo. 
4 <g> < N j > 4,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
14000 <g> <CF j > 14.000,00 Valor dos fluxos do 
quarto grupo. 
10 <g> < N j > 
 
10,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
18000 <g> <CF j 
> 
18.000,00 Valor do fluxo do 
quinto grupo. 
22 
 
2 <g> < N j > 2,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
18 <ENTER> 12 
<> <i> 
1,50 Taxa mensal (em %). 
<f> <NPV> 285.014,64 Valor do Investimento 
Hoje. 
 
Exemplo 09: Calcular o valor presente de um fluxo de caixa com quatro 
prestações mensais, sucessivas e crescentes em progressão aritmética de razão 
igual a R$2.500,00 relacionada a uma operação de venda de um veículo por uma 
concessionária, onde a primeira prestação tem valor igual a R$8.000,00 e a taxa 
de juros mensal da operação é 1,99%. 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
8000 <g> <CF j > 8.000,00 Fluxo na data 1. 
10500 <g> <CF j > 10.500,00 Fluxo na data 2. 
13000 <g> <CF j > 13.000,00 Fluxo na data 3. 
15500 <g> <CF j > 15.500,00 Fluxo na data 4. 
1.99 <i> 1,99 Taxa de juros mensal 
(em %). 
<f> <NPV> 44.517,16 Valor presente do 
fluxo de caixa da 
operação de venda do 
veículo. 
 
Você Sabia? A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, 
consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de 
23 
 
uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um 
dividendo anual, entre outros. O valor presente de uma perpetuidade PV é 
dado por PV = PMT/i. Dessa maneira, exemplificando, vamos determinar o 
valor teórico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, 
considerando-se a taxa de juros de mercado de 1,0 % a.m. Notemos que o 
aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, 
logo, pela fórmula anterior, chega-se ao seu valor teórico VP= 1.000 / 0,01 = 
100.000. 
 
1.7 Indicadores Financeiros Aplicados à Gestão de Financiamentos 
Como caracterizar a viabilidade econômica de projetos empresariais via 
indicadores a partir de séries de pagamentos? Em verdade, de acordo com 
Samanez (2007), pode-se averiguar se um determinado projeto é ou não viável 
para uma concessionária, a partir da rentabilidade do mesmo e a partir do risco 
associado ao mesmo, ou seja, podemos caracterizar se o mesmo é ou não 
interessante em termos monetários e em linhas percentuais. Grosso modo, da 
literatura, sabemos que um Indicador é uma medida de ordem quantitativa ou 
qualitativa, dotada de significado particular e utilizada para organizar e captar as 
informações relevantes dos elementos que compõem o objeto que está sendo 
observado. Note que no contexto da gestão esta terminologia já é amplamente 
discutida e aplicada. 
Por outro lado, é sabido que no mundo globalizado é amplamente 
concorrido, uma das decisões mais difíceis dentro de uma empresa é decidir se a 
mesma deve investir ou não, ou especificamente falando, se um determinado 
projeto é atrativo ou não e, especificamente falando no âmbito das 
concessionárias não é diferente. 
De acordo com Samanez (2007), um investimento em uma organização é 
um desembolso feito visando gerar um fluxo de benefícios futuros, usualmente 
superior a um ano. Ressaltamos que o grande campo de aplicação das Técnicas 
de Análise de Investimentos Empresariais está associado ao processo de geração 
de indicadores utilizados na seleção de alternativas de investimentos e, mais 
recentemente, na avaliação de impacto desses investimentos no EVA (Economic 
Value Added) de unidades de negócio. 
24 
 
Ainda segundo Samanez (2007), com respeito à viabilidade de projetos 
empresariais, podemos dividir a análise levando em consideração a rentabilidade, 
bem como o risco associado ao mesmo. Em outras palavras, isto significa que 
temos dois grupos de indicadores, o que se relacionam com a rentabilidade e os 
que estão associados com o risco do projeto. Aqui estaremos falando diretamente 
sobre aplicações envolvendo o Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) e a Taxa 
Interna de Retorno (IRR ou TIR). Grosso modo, os principais indicadores 
utilizados para a caracterização da viabilidade econômica de projetos industriais 
são descritos na Figura 08 abaixo. 
 
 
Figura 08: Principais indicadores utilizados na viabilidade econômica de projetos 
empresariais. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
De outra forma, a classificação dos indicadores com relação à rentabilidade 
e ao risco apresentado no respectivo projeto a ser estudado é apresentada na 
Figura 09 abaixo. 
 
25 
 
 
Figura 09: Classificação dos indicadores. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
1.8 Valor Presente Líquido como Indicador Relacionado a Rentabilidade 
de Projetos 
Segundo Samanez (2007), o Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa 
consiste em calcularmos o valor presente de uma série de pagamentos (ou 
recebimentos), descontado a uma taxa, e deduzir, deste, o valor do fluxo 
inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento). Utilizamos a 
notação VPL ou NPV para representar o valor presente líquido. Grosso modo, da 
equação: 
PV = 
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21







 
Temos que: 
NPV = = 
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21






 – CF 0 
Como vimos anteriormente, o Valor Presente Líquido é um indicador 
relacionado à rentabilidade do projeto, sendo assim, temos a seguinte análise 
para a averiguação da atratividade do ganho adicional com relação ao contexto 
abordado: 
 
Interpretação via VPL ou NPV! Se NPV > 0, então haverá um ganho 
adicional (expresso em valores atuais) em relação ao mesmo investimento 
26 
 
aplicado à taxa de desconto, isto é, o investimento será atrativo. 
Contrariamente, se NPV < 0 teremos uma perda (expressa em valores de 
hoje) e o investimento não será atrativo. Ou seja, constitui um primeiro 
método ou critério de avaliação de investimento capital. 
 
 
Figura 10: Caracterização da atratividade do projeto em análise via a interpretação do 
VPL. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 10: Um empréstimo realizado por um cliente de uma 
concessionária no valor de R$15.000,00 será quitado em três prestações mensais 
e sucessivas de R$4.000,00, R$6.000,00 e R$8.000,00. Sabendo que a taxa de 
juros praticada nesta operação pela concessionária é de 1,45% ao mês, qual é o 
valor presente líquido associada à mesma? 
 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
15000 <CHS> <g> 
<CF 0 > 
-15.000,00 Valor do empréstimo. 
4000 <g> <CF j > 4.000,00 Valor do primeiro 
27 
 
pagamento. 
6000 <g> <CF j > 6.000,00 Valor do segundo 
pagamento. 
8000 <g> <CF j > 8.000,00 Valor do terceiro 
pagamento. 
1.45 <i> 1,45 Taxa mensal de juros 
(%). 
<f> <NPV> 2.434,39 Valor presente líquido. 
 
 
Exemplo 11: examinar se a AUTO concessionária pode aceitar o projeto 
abaixo, adotando-se uma taxa de 8% ao mês. As características do projeto estão 
descritas a seguir. 
 
Investimento inicial = R$8.000,00 
Vida útil = 10 meses 
Receitas líquidas mensais = R$900,00 
Valor residual = R$2.000,00 
 
A Figura 11 a seguir descreve o diagrama de fluxo de caixa do projeto. 
 
Figura 11: A disposição geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
28 
 
Solução: Note inicialmente que o valor residual seria uma receita que 
aparece na última data do horizonte da situação descrita no exemplo. A solução 
deste problema é obtida da seguinte maneira pela HP 12C. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
8000 <CHS> <g> <CF 0 
> 
-8.000,00 Valor do investimento 
inicial. 
900 <g> <CF j > 900,00 Valor da primeira 
receita líquida mensal. 
9 <g> <N j > 9,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
2900 <g> <CF j > 2.900,00 Valor da décima 
receita líquida mensal. 
8 <i> 8,00 Taxa mensal de juros 
(em %). 
<f> <NPV> -4.856,84 Valor presente líquido. 
 
De acordo com o critério via VPL, como o NPV = – 1.034,54 < 0, 
concluímos que o projeto não deve ser aceito pela AUTO concessionária. 
 
1.9 Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) 
Segundo Clemente e Alceu (2009), Taxa Interna de Retorno (IRR ou TIR) 
é a taxa de desconto que torna o valor presente líquido de um fluxo de caixa igual 
a zero. A taxa interna de retorno será obtida quando igualamos a equação NPV = 
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21







 – CF 0 a zero, isto é, quando executamos NPV 
=
n
n
i
CF
i
CF
i
CF
i
CF
)1(
...
)1()1(1 3
3
2
21







 – CF 0 = 0, ou ainda, CF 0 = 
 
n
j
j
j
i
CF
1 )1(
. 
É interessante salientarmos que podemos interpretar a Taxa Interna de 
Retorno (IRR) como sendo aquela que iguala no momento zero, o valor presente 
29 
 
das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas no fluxo 
de caixa. De outro modo, a Taxa Interna de Retorno, nas operações de 
empréstimos, Financiamentos ou de aplicações de recursos, nada mais é do que 
a taxa de juros da operação. 
 
Figura 12: Interpretação da Taxa Interna de Retorno. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Como foi apresentado anteriormente, a Taxa Interna de Retorno pode ser 
utilizada como um indicador associado ao risco de implantação de determinado 
projeto. Porém, para tal análise, é necessário definirmos a Taxa de Mínima 
Atratividade (TMA) como segue. 
Definição (Taxa de Mínima Atratividade – TMA) – de acordo com 
Samanez (2007), chama-se Taxa de Mínima Atratividade (TMA) a melhor taxa, 
com baixo grau de risco, disponível para aplicação do capital em análise. 
Dessa forma, a decisão de investir sempre terá pelo menos duas 
alternativas a serem avaliadas: “Investir no capital” ou “Investir na Taxa de 
Mínima Atratividade”. Ou ainda, o conceito de riqueza gerada deve levar em 
conta somente o excedente sobre aquilo que já se tem, isto é, o que será obtido 
além da aplicação do capital na TMA. Esse conceito, desde há muito defendido 
pelos economistas, denomina-se lucro residual. Atualmente, uma variação desse 
conceito de excedente tem sido tratada como Valor Econômico Agregado ou 
30 
 
Economic Value Added (EVA). Portanto, o critério via TIR para atratividade de 
um projeto é apresentado na Figura 13 a seguir. 
 
 
Figura 13: Conclusão da atratividade de um projeto via TIR. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Vejamos alguns exemplos que envolvem o cálculo da Taxa Interna de 
Retorno em situações cotidianas da gestão financeira. 
 
Exemplo 12: Qual é o valor da taxa interna de retorno, correspondente a 
um empréstimo feito por um cliente de uma concessionária de R$15.000,00 a ser 
liquidado em quatro pagamentos mensais de R$4.500,00, R$5.000,00, 
R$3.500,00 e R$5.500,00. 
 
Solução: Inicialmente, vamos representar o diagrama de fluxo de caixa 
desta operação, tomando-se como referência a instituição financeira, ou seja, 
vamos desenhar o mesmo na visão da instituição financeira. 
31 
 
 
Figura 14: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Logo, a HP 12C faz este cálculo usando a função <IRR> (que significa 
Internal Rate Return). 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
15000 <CHS> <g> <CF 0 
> 
-15.000,00 Valor do empréstimo. 
4500 <g> <CF j > 4.500,00 Valor do primeiro 
pagamento. 
5000 <g> <CF j > 5.000,00 Valor do segundo 
pagamento. 
3500 <g> <CF j > 3.500,00 Valor do terceiro 
pagamento. 
5500 <g> <CF j > 5.500,00 Valor do quarto 
pagamento. 
<f> <IRR> 8,81 Taxa Interna de 
Retorno Mensal (em 
%). 
 
32 
 
Exemplo 13: Um automóvel zero quilômetro no valor de R$45.000,00 é 
totalmente financiado por um comerciante, para pagamento em 9 parcelas 
mensais, sendo, as 3 primeiras, de R$4.500,00, as 2 seguintes, de R$5.000,00, 
as 3 seguintes, R$6.500,00 e, a nona, de R$7.500,00. Qual a taxa de juros 
implícita nesta operação realizada pela concessionária que vendeu o veículo? 
 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a 
seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
45000 <CHS> <g> <CF 0 
> 
-45.000,00 Valor do 
financiamento. 
4500 <g> <CF j > 4.500,00 Valor dos fluxos do 
primeiro grupo. 
3 <g> <N j > 3,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
5000 <g> <CF j > 5.000,00 Valor dos fluxos do 
segundo grupo. 
2 <g> <N j > 2,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
6500 <g> <CF j > 6.500,00 Valor dos fluxos do 
terceiro grupo. 
3 <g> <N j > 3,00 Número de vezes que 
este valor se repete. 
7500 <g> <CF j > 7.500,00 Valor do fluxo do 
quarto grupo. 
<f> <IRR> 2,16 Taxa Interna de 
Retorno Mensal (em 
%). 
 
33 
 
Exemplo 14: Uma empresa na área de Logística cuja Taxa de Mínima 
Atratividade, após o imposto de renda, é de 12% ao ano está analisando a 
viabilidade financeira de um novo investimento. O Fluxo de Caixa anual do projeto 
de investimentos em análise está representado no DFC da Figura 15 a seguir. 
 
 
Figura 15: DFC do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelopróprio autor. 
 
Calcular os indicadores de retorno Valor Presente Líquido e Taxa Interna 
de Retorno, bem como comentar sobre a atratividade do projeto considerando tais 
indicadores calculados. 
 
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C para cálculo do 
VPL e TIR são apresentadas a seguir. 
 
 Cálculo do Valor Presente Líquido 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
- 380 <g> <CF0> - 380,00 Fluxo na data zero. 
30 <g> <CFj> 30,00 Fluxo na data 1. 
50 <g> <CFj> 50,00 Fluxo na data 2. 
70 <g> <CFj> 70,00 Fluxo na data 3. 
90 <g> <CFj> 90,00 Fluxo na data 4. 
34 
 
110 <g> <CFj> 110,00 Fluxo na data 5. 
130 <g> <CFj> 70,00 Fluxo que se repete. 
4 <g> <Nj> 4,00 Número de vezes que 
o fluxo se repete. 
12 <i> 12,00 Taxa de juros. 
<f> <NPV> 80,14 Valor presente líquido. 
 
 Cálculo do Valor Presente Líquido 
 
Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o significado? 
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores. 
- 380 <g> <CF0> - 380,00 Fluxo na data zero. 
30 <g> <CFj> 30,00 Fluxo na data 1. 
50 <g> <CFj> 50,00 Fluxo na data 2. 
70 <g> <CFj> 70,00 Fluxo na data 3. 
90 <g> <CFj> 90,00 Fluxo na data 4. 
110 <g> <CFj> 110,00 Fluxo na data 5. 
130 <g> <CFj> 70,00 Fluxo que se repete. 
4 <g> <Nj> 4,00 Número de vezes que o 
fluxo se repete. 
12 <i> 12,00 Taxa de juros. 
<f> <IRR> 16,19 Valor da Taxa Interna 
de Retorno. 
 
O que concluímos do problema? Dessa forma, concluímos pelo VPL ou 
pela TIR que o projeto é atrativo, ou seja, que se deve investir no mesmo. 
Observe que, independentemente de você tomar a decisão pela rentabilidade ou 
pelo risco associado ao projeto em questão, você deve optar na implementação 
do mesmo. 
 
Importante! Quando falamos em risco, no contexto da gestão empresarial, 
temos o risco do negócio (que está associado à implementação do projeto) 
35 
 
e o risco de gestão (que está diretamente associada à decisão do gestor em 
questão). 
36 
 
UNIDADE 2 – TÉCNICAS DE EMPRÉSTIMOS E 
FINANCIAMENTOS 
 
Sabemos que o conceito de amortização é o processo de extinção de uma 
dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um 
planejamento, de modo que cada prestação corresponde a soma do reembolso 
do capital ou dos juros do saldo devedor (juros sempre são calculados sobre o 
saldo devedor), podendo ainda ser o reembolso de ambos. No mercado 
financeiro, visualizamos os seguintes sistemas de amortização: 
 Sistema de Pagamento Único – ocorre um único pagamento 
(capital + juros) no final do período estipulado; 
 Sistema de Pagamento Variável – ocorre vários pagamentos 
diferenciados durante o período (às vezes somente juros, outras juros + capital); 
 Sistema Americano – ocorre um único pagamento ao final do 
período, porém os juros são calculados em várias fases durante o período; 
 Sistema de Amortização Constante (SAC) – geralmente o mais 
utilizado, os juros e o capital são calculados uma única vez e divididos para o 
pagamento em várias parcelas durante o período; 
 Sistema PRICE ou Francês – geralmente usados em 
financiamentos de bens de consumo, todas as parcelas são iguais e com os juros 
já embutidos; 
 Sistema de Amortização Misto – calcula-se o financiamento pelos 
métodos SAC e PRICE e faz-se uma média aritmética das prestações desses 
dois sistemas, chegando ao valor da prestação do sistema misto. 
 
2.1 Amortização – Aspectos Introdutórios 
Amortizar significa o ato de saldarmos determinada dívida, ou seja, 
quitarmos a mesma. E, quando falamos, em empréstimos e financiamentos, de 
uma forma geral, este termo é de fundamental importância para o entendimento 
dos empréstimos e financiamentos. É interessante percebermos que na prática do 
mercado financeiro, principalmente nos dias atuais, a disponibilidade de recursos 
é, sem dúvida, fator preponderante na decisão da implantação de um 
investimento como, por exemplo, a construção da casa própria, a aquisição de um 
http://www.infoescola.com/economia/amortizacao/
37 
 
equipamento para a empresa, a compra de um veículo, a compra de uma moto, 
entre outros. Comprar, seja a prazo ou à vista, sempre é necessário que 
tenhamos dinheiro ou capital, obviamente, na falta dos mesmos recorremos aos 
empréstimos e financiamentos. 
No Brasil, especificamente falando, os empréstimos podem ser de curto, 
médio e longo prazo. De acordo com Samanez (2007), os empréstimos de curto 
prazo e médio prazo caracterizam-se, normalmente, por serem saldados em até 
12 meses, e na visão empresarial, é utilizado pelas organizações com o intuito de 
melhorar o capital de giro. Contrariamente, os empréstimos de longo prazo 
(financiamentos), por existirem várias modalidades de restituição do principal e 
dos encargos financeiros, têm um tratamento especial e devem ser olhados com 
mais cautela, já que envolvem quantidades maiores de dinheiro. Além disso, 
segundo Samanez (2007), essas operações de créditos têm suas condições 
previamente fixadas por contratos bilaterais entre a empresa e o órgão financiador 
(instituição financeira). 
 
 
Figura 16: Aspectos introdutórios da amortização. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
38 
 
Ressaltamos que o valor desses empréstimos, ao qual chamamos de 
principal, deverá ser restituído à instituição financeira, acrescidos da sua 
remuneração, que são os juros. Neste contexto, a maneira pela qual devolvemos 
o principal mais os juros da operação são chamamos de Sistema de 
Amortização. 
 
Figura 17: Considerações gerais sobre a amortização. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
É de nosso interesse estudar os principais tipos de sistemas de 
amortização praticados em instituições bancárias ou instituições financeiras no 
âmbito do mercado financeiro brasileiro, que são o SAC, o PRICE, SAM e o 
Americano. 
 
2.2 Elementos Fundamentais da Amortização 
Para compreendermos melhor os sistemas de amortização, é necessário 
introduzirmos alguns conceitos relacionados aos mesmos, que irão servir de 
alicerce para a criação das regras e cálculos envolvendo os mesmos. Tais 
conceitos introdutórios são apresentados na Figura 18 a seguir e definidos 
formalmente na sequência. 
39 
 
 
Figura 18: Conceitos Fundamentais da Teoria da Amortização. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Sendo assim, de acordo com Samanez (2007), podemos interpretar em 
termos formais estes conceitos como seguem: 
 CREDOR – aquele que concede o empréstimo ou financiamento; 
 DEVEDOR ou MUTUÁRIO – aquele que recebe o empréstimo ou 
financiamento; 
 TAXA DE JUROS – taxa contratada entre as partes; 
 PRESTAÇÃO – soma da amortização, acrescida dos juros e outros 
encargos financeiros pagos em um dado período; 
 AMORTIZAÇÃO – refere-se às parcelas de devolução do principal 
(capital emprestado); 
 PRAZO DE AMORTIZAÇÃO – intervalo de tempo durante o qual 
serão pagas as amortizações; 
 SALDO DEVEDOR – trata-se do estado da dívida (débito) em 
determinado estado de tempo; 
 IOF – imposto sobre operações financeiras; 
 PRAZO DE CARÊNCIA – corresponde ao período compreendido 
entre a primeira liberação do empréstimo ou financiamento e o pagamento da 
primeira amortização; 
 PRAZO TOTAL – considera-se a soma do prazo de carência com o 
prazo de amortização; 
 PLANILHA – quadro pelo qual são inseridos os valores referentes 
ao empréstimo ou financiamento, constituído de várias colunas, que apresentam, 
40 
 
após cada pagamento, a parcela de juros pagos, a amortização, a prestação, os 
encargos financeiros (IOF, aval, comissões, taxa de abertura de crédito, entre 
outros) e o saldo devedor. 
 
 
Figura 19: O processo de quitação de um empréstimo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
A partir do momento que introduzimos algumas considerações iniciais, bem 
como apresentamos os principais elementos que formam a Teoria da 
Amortização, é de nosso interesse agoradiscutir nas entrelinhas os principais 
sistemas de amortização praticados no âmbito do mercado brasileiro, 
especificamente falando para financiamentos de automóveis, crédito consignado 
e financiamento imobiliário, que são: Sistema de Amortização Constante (SAC); 
Sistema Francês de Amortização (Price); Sistema de Amortização Misto 
(SAM) e o Sistema Americano (SAA). 
 
41 
 
 
Figura 20: Principais Sistemas de Amortização praticados no mercado financeiro 
brasileiro. 
Fonte: FERREIRA (2014). 
 
2.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
É conhecido também como Sistema Hamburguês, sendo muito difundido 
pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), a partir da década de 70, que o 
adotou nos financiamentos relativos a imóveis (casa própria). Atualmente, ele é 
muito usado para financiamentos de longo prazo e também nos financiamentos 
envolvendo o crédito imobiliário. É importante observarmos que no Sistema de 
Amortização Constante (SAC), as parcelas de amortização do principal são 
sempre iguais (ou constantes), por conta disso, a sua nomenclatura. 
Além disso, aqui o valor da amortização é calculado através da divisão do 
capital emprestado pelo número de parcelas de amortizações, enquanto que os 
juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros 
contratada pelo saldo devedor existente sobre o período anterior, assumindo 
valores decrescentes nos períodos. E, por fim, a prestação do financiamento, a 
cada período, é igual à soma da amortização e dos encargos financeiros (juros, 
comissões, entre outros), sendo periódica, sucessiva e decrescente em 
progressão aritmética, de razão igual ao produto da taxa de juros pela parcela de 
amortização. 
 
42 
 
Você Sabia? Se você já observou as parcelas relativas ao financiamento de 
uma casa, pode perfeitamente averiguar o decrescimento das parcelas do 
financiamento, exatamente por conta da característica do SAC. 
 
 
Figura 21: Principais características do SAC. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
2.4 Cálculos no Sistema de Amortização Constante 
Para montagem da planilha associada ao SAC seguimos as etapas 
descritas a seguir: 
Primeira Etapa: O valor da amortização (A) é dado por: 
A = 
n
PV
, ( I ) 
Onde: 
PV = principal (valor do empréstimo ou do financiamento); 
n = número de amortizações. 
 
Segunda Etapa: O saldo devedor de cada período t, (P t ), é dado por: 
P t = P 1t – A = A x (n – t) ( II ) 
 
43 
 
Terceira Etapa: O valor dos juros de cada período t, (J t ), é dado por: 
 
J t = i x P 1t , ( III ) 
Onde: 
i = taxa de juros. 
 
Quarta Etapa: O valor da prestação para cada período t, (PMT t ), é dado 
por: 
 
PMT t = A + J t ( IV ) 
Vejamos duas ilustrações envolvendo a aplicação do SAC em situações 
cotidianos no âmbito financeiro. 
 
Exemplo 15: A AUTO concessionária solicita um empréstimo no valor de 
R$100.000,00 para a compra de um terreno para a sua nova filial a ser construída 
no interior de São Paulo. Sendo assim, o banco libera no ato da assinatura do 
contrato, pelo sistema de amortização SAC. A taxa de juros cobrada pelo banco é 
de 6% ao mês e o principal será amortizado em 5 parcelas mensais. Pede-se: 
a) Construir a planilha da operação de crédito. 
b) Calcular o custo efetivo (mensal) do empréstimo realizado pelo Hospital 
AFA. 
 
Solução: De acordo com o Exemplo, temos que: 
PV = R$100.000,00; 
n = 5 meses; 
i = 6% ao mês = 0,06 ao mês 
Daí: 
 
a) Construção da planilha 
Vamos desenvolver as etapas descritas anteriormente: 
Primeira Etapa: O cálculo da amortização mensal será feito pela fórmula 
(I). Sendo assim, temos que: 
44 
 
A = 
5
000.100
 = 20.000 
 Logo, 
A = R$20.000,00/mês 
 
Segunda Etapa: O saldo devedor, após o pagamento de cada prestação 
mensal, é dado pela fórmula (II). Desta maneira, temos que: 
 saldo devedor ao final do primeiro mês: P 1 = 100.000 – 20.000 = 
80.000; 
 saldo devedor ao final do segundo mês: P 2 = 80.000 – 20.000 = 
60.000; 
 saldo devedor ao final do terceiro mês: P 3 = 60.000 – 20.000 = 40.000; 
 saldo devedor ao final do quarto mês: P 4 = 40.000 – 20.000 = 20.000; 
 saldo devedor ao final do quinto mês: P 5 = 20.000 – 20.000 = 0. 
 
Terceira Etapa: O cálculo dos juros de cada mês é feito pela fórmula (III). 
Temos então que: 
 juros do primeiro mês: J 1 = 0,06 x 100.000 = 6.000; 
 juros do segundo mês: J 2 = 0,06 x 80.000 = 4.800; 
 juros do terceiro mês: J 3 = 0,06 x 60.000 = 3.600; 
 juros do quarto mês: J 4 = 0,06 x 40.000 = 2.400; 
 juros do quinto mês: J 5 = 0,06 x 20.000 = 1.200. 
 
Quarta Etapa: O valor da prestação para cada mês é dado pela expressão 
(IV). Temos que: 
 prestação ao final do primeiro mês: PMT 1 = 20.000 + 6.000 = 26.0000; 
 prestação ao final do segundo mês: PMT 2 = 20.000 + 4.800 = 24.800; 
 prestação ao final do terceiro mês: PMT 3 = 20.000 + 3.600 = 23.600; 
 prestação ao final do quarto mês: PMT 4 = 20.000 + 2.400 = 22.400; 
45 
 
 prestação ao final do quinto mês: PMT 5 = 20.000 + 1.200 = 21.200. 
 
A partir destas informações podemos construir a planilha da operação de 
crédito como segue no Quadro 01 abaixo: 
Quadro 01: A planilha da operação de crédito. 
MÊS P i 
A J i PMT i 
0 100.000 
1 80.000 20.000 6.000 26.000 
2 60.000 20.000 4.800 24.800 
3 40.000 20.000 3.600 23.600 
4 20.000 20.000 2.400 22.400 
5 0 20.000 1.200 21.200 
TOTAL 100.000 18.000 118.000 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
b) Uma vez construída a planilha da operação de crédito, calculamos o 
seu custo efetivo mensal. O fluxo de caixa do banco é dado abaixo: 
 
 
Figura 22: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
46 
 
O presente problema pode ser resolvido na HP 12C, calculando a taxa 
interna de retorno do fluxo de caixa acima: 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
100000 <CHS> <g> 
<CF 0 > 
-100.000,00 Valor do 
Empréstimo. 
26000 <g> <CF j > 26.000,00 Valor do primeiro 
pagamento. 
24800 <g> <CF j > 24.800,00 Valor do segundo 
pagamento. 
23600 <g> <CF j > 23.600,00 Valor do terceiro 
pagamento. 
22400 <g> <CF j > 22.400,00 Valor do quarto 
pagamento. 
21200 <g> <CF j > 21.200,00 Valor do quinto 
pagamento. 
<f> <IRR> 6,00 Custo efetivo 
mensal (em %). 
 
Portanto, concluímos que o custo efetivo desta operação da AUTO 
concessionária será de 6% ao mês, pois a empresa não paga qualquer outro 
encargo financeiro ao banco, apenas a taxa de juros de 6% ao mês. 
 
Exemplo 16: Vamos trabalhar com outros tipos de cobranças nas 
operações de financiamento? Para tal, vamos considerar os mesmos dados do 
Exemplo 15 anterior, trabalhando, porém, que o banco concedeu quatro meses de 
carência a AUTO Concessionária e os juros serão pagos mês a mês. De outra 
forma, será cobrada a taxa de abertura de crédito de 0,5% sobre o valor 
financiado paga no ato da assinatura, bem como o IOF de 3,5% sobre o valor do 
financiamento é também pago no ato da assinatura do contrato. Logo, pede-se: 
a) Construir a planilha do financiamento. 
47 
 
b) Calcular o custo efetivo (anual) deste empréstimo. 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) Usando os cálculos do exemplo anterior temos a planilha descrita no 
Quadro 02 abaixo. 
 
Quadro 02: A planilha da operação de crédito. 
MÊS P t A J t TAC IOF PMT t 
0 100.000 *500 **3.500 4.000 
1 100.000 6.000 6.000 
2 100.000 6.000 6.000 
3 100.000 6.000 6.000 
4 80.000 20.000 6.000 26.000 
5 60.000 20.000 4.800 24.800 
6 40.000 20.000 3.600 23.600 
7 20.000 20.000 2.400 22.400 
8 0 20.000 1.200 21.200 
T
OTAL 
 100.000 36.000 500 3.500 140.000 
* Taxa de abertura de crédito = TAC = 0,5% de 100.000 = 500; 
** IOF = 3,5 DE 100.000 = 3.500. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
b) O fluxo de caixa do banco, para esta operação, é dado abaixo: 
48Figura 23: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
O custo efetivo do empréstimo na verdade é a taxa interna de retorno do 
fluxo de caixa acima. Sendo assim, resolvendo na HP 12C, temos que: 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
100000 <ENTER> 4000 
<– > 96000 <CHS> <g> 
<CF 0 > 
-96.000,00 Valor emprestado. 
6000 <g> <CF j > 6.000,00 Valor dos fluxos do 
primeiro grupo. 
3 <g> <N j > 3,00 Número de vezes 
que este valor se 
repete. 
26000 <g> <CF j > 26.000,00 Valor do fluxo do 
segundo grupo. 
24800 <g> <CF j > 24.800,00 Valor do fluxo do 
terceiro grupo. 
23600 <g> <CF j > 23.600,00 Valor do fluxo do 
quarto grupo. 
49 
 
22400 <g> <CF j > 22.400,00 Valor do fluxo do 
quinto grupo. 
21200 <g> <CF j > 21.200,00 Valor do fluxo do 
sexto grupo. 
<f> <IRR> 6,84 Custo efetivo 
mensal (em %). 
100 <> 1 <+> 1,07 1 + a taxa mensal 
(forma unitária). 
12 <y x > 1 <–> 100 <x> 121,28 Custo efetivo anual 
(em %). 
 
 
Você Sabia? Nos empréstimos realizados, na prática, é comum as 
instituições financeiras cobrarem o imposto sobre operações financeiras, 
aval, comissões, entre outros. Estes encargos adicionais aumentam a taxa 
de juros para o devedor, tornando indispensável o seu cálculo. 
 
Exemplo 17: Uma instituição financeira para empréstimos pessoais 
empresta R$300.000,00 a AUTO Concessionária nas seguintes condições: 
a) Juros de 18% a.a., capitalizados semestralmente. 
b) Carência de um ano. 
c) Taxa de Abertura de Crédito (TAC) de 0,75% sobre o valor 
financiado, pago no ato. 
d) Comissão de 1% sobre o saldo devedor anual. 
e) IOF de 2,5% sobre o valor do financiamento, pago no ato. 
f) Amortizações semestrais constantes. 
g) Prazo total do financiamento 3 anos e 6 meses. 
 
Construir a planilha de financiamento e calcular o custo efetivo anual deste 
empréstimo. 
 
Solução: De acordo com o enunciado do problema, temos que: 
50 
 
PV = R$300.000,00 
i = 18% ao ano = 9% ao semestre (taxa efetiva semestral) 
Prazo de Carência = m = 1 ano = 2 semestres 
Prazo total do financiamento = 3 anos e 6 meses = 7 semestres 
Observe que o Prazo Total do Financiamento (PTF) é dado por: 
PTF = n + m – 1, 
Onde: 
n = o número de amortizações e m = prazo de carência 
Vamos considerar série de pagamentos com diferimento e termos 
antecipados. Logo, 
7 = n + m – 1 ou 7 = n + 2 – 1 ou n = 6 semestres 
O valor da amortização semestral será dado por: 
A = 
6
000.300
 = 50.000 
Desta maneira, temos a seguinte planilha. 
 
Quadro 03: A planilha do Exemplo 17. 
SEMESTRE P
t 
A J TAC COM IOF PMT t 
0 300.000 2.250 7.500 9.750 
1 300.000 27.000 27.000 
2 250.000 50.000 27.000 2.500 79.500 
3 200.000 50.000 22.500 72.500 
4 150.000 50.000 18.000 1.500 69.500 
5 100.000 50.000 13.500 63.500 
6 50.000 50.000 9.000 500 59.500 
7 0 50.000 4.500 54.500 
TOTAL 300.000 121.500 2.250 4.500 7.500 435.750 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Alguns valores da planilha foram calculados como segue: 
TAC = 0,75%% de 300.000 = R$2.250,00 
51 
 
Comissão: 
- Primeiro ano (segundo semestre) = 1% de R$250.000,00 = R$2.500,00; 
- Segundo ano (quarto semestre) = 1% de R$150.000,00 = R$1.500,00; 
- Terceiro ano (sexto semestre) = 1% de R$50.000,00 = R$500,00. 
IOF = 2,5% de R$300.000,00 = R$7.500,00 
Agora, vamos elaborar o diagrama de fluxo de caixa na visão do banco 
(considerando múltiplos de R$1.000,00). Sendo assim, temos a seguinte 
representação gráfica: 
 
Figura 24: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Para calcularmos o custo efetivo do empréstimo na calculadora HP 12C, 
devemos calcular a taxa interna de retorno de caixa como segue: 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
290.25 <CHS> <g> 
<CF 0 > 
-290,25 Valor do fluxo na 
data zero. 
27 <g> <CF j > 27,00 Valor do primeiro 
pagamento. 
79.5 <g> <CF j > 79,50 Valor do segundo 
52 
 
pagamento. 
72.50 <g> <CF j > 72,50 Valor do terceiro 
pagamento. 
69.5 <g> <CF j > 69,50 Valor do quarto 
pagamento. 
63.5 <g> <CF j > 63,50 Valor do quinto 
pagamento. 
59.5 <g> <CF j > 59,50 Valor do sexto 
pagamento. 
59.5 <g> <CF j > 59,50 Valor do sétimo 
pagamento. 
<f> <IRR> 10,29 Custo efetivo 
semestral (em %). 
100 <> 1 <+> 1,10 1 + a taxa efetiva 
semestral (forma 
unitária). 
2 <y x > 1 <–> 100 <x> 21,64 Custo efetivo anual 
do empréstimo (em 
%). 
 
2.5 Sistema Francês de Amortização (ou Tabela Price) 
É comumente identificado pelos nomes “Sistema Price ou Tabela Price” 
ou “Sistema de Prestação Constante” e é muito utilizado nas compras a prazo 
de bens de consumo (com crédito direto ao consumidor) e, especificamente 
falando, é o mais utilizado pelas concessionárias nas operações de financiamento 
e empréstimos. Aqui o sistema estipula que as prestações devem ser iguais, 
periódicas e sucessivas. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são 
decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. A 
soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. 
Com o auxílio de sua calculadora HP 12C, pode-se obter facilmente as 
parcelas de capital (amortização) e as de juros, correspondentes a cada 
prestação, o saldo devedor após cada pagamento, à soma das parcelas de juros 
53 
 
consecutivas e o valor das amortizações acumuladas até certo período. Em 
verdade, o que devemos observar para não cometermos equívocos no mercado é 
que , o Sistema Price apresenta as seguintes características: 
a) Quando a taxa de juros for anual, com pagamento mensal, 
semestral ou trimestral, usa-se a taxa proporcional ao período de 
pagamento. 
b) Quando a taxa de juros for mensal, com pagamento semestral, 
trimestral ou anual, usa-se a taxa equivalente ao período de pagamento. 
 
Saiba Mais! Sistema Price – normalmente os juros vão diminuindo à medida 
que os períodos vão decorrendo, ao contrário da amortização, que vai 
aumentando. 
 
Figura 25: Principais características da tabela Price. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 18: Um empréstimo de R$70.000,00 feito pela AUTO 
Concessionária deve ser liquidado em 5 prestações mensais, pelo Sistema Price, 
sendo que a primeira prestação do financiamento vence um mês após a data de 
assinatura do contrato. A taxa de juros cobrada é de 36% ao ano. Desta forma, 
pede-se para calcular o valor das prestações, os valores das parcelas de 
amortizações, as parcelas de juros de cada prestação e o saldo devedor após 
cada pagamento e construir a planilha do empréstimo. 
54 
 
 
Solução: Neste caso, usaremos a função amarela AMORT que permite o 
desdobramento das prestações iguais (PMT) em amortizações e juros. Com esta 
função, poderemos calcular, também, o total de juros e amortizações entre duas 
prestações. Dessa maneira, na calculadora HP 12C, podemos resolver o exemplo 
procedendo conforme é mostrado a seguir. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
70000 <CHS> 
<PV> 
70.000,00 Valor emprestado. 
5 <n> 5,00 Número de 
prestações mensais. 
3 <i> 3,00 Taxa de juros 
mensal (usamos a 
taxa proporcional ao 
período) (Ver 
observação acima). 
<PMT> 15.284,82 Valor das 
prestações mensais. 
1 <f> <AMORT> 2.100,00 Juros referentes à 
primeira prestação. 
<x <>y> 13.184,82 Amortização 
referente à primeira 
prestação. 
RCL <PV> -56.815,18 Saldo devedor após 
o pagamento da 
primeira prestação. 
1 <f> <AMORT> 1.704,46 Juros referentes à 
segunda prestação. 
<x <>y> 13.580,36 Amortização 
55 
 
referente à segunda 
prestação. 
RCL <PV> -43.234,82 Saldo devedor após 
o pagamento da 
segunda prestação. 
1 <f> <AMORT> 1.297,04 Juros referentes à 
terceira prestação. 
<x <>y> 13.987,78 Amortização 
referente à terceira 
prestação. 
RCL <PV> -29.247,04 Saldo devedor após 
o pagamento daterceira prestação. 
1 <f> <AMORT> 877,41 Juros referentes à 
quarta prestação. 
<x <>y> 14.407,41 Amortização 
referente à quarta 
prestação. 
RCL <PV> -14.839,63 Saldo devedor após 
o pagamento da 
quarta prestação. 
1 <f> <AMORT> 445,19 Juros referentes à 
quinta prestação. 
<x <>y> 14.839,63 Amortização 
referente à quinta 
prestação. 
RCL <PV> -0,00 Saldo devedor. 
 
De acordo com os cálculos acima, podemos construir a seguinte planilha 
do empréstimo: 
Quadro 04: A planilha do Exemplo 18. 
MÊS P t A J t PMT t 
56 
 
0 70.000 
1 56.815,18 13.184,82 2.100 15.284,82 
2 43.234,82 13.580,36 1.704,46 15.284,82 
3 29.247,04 13.987,78 1.297,04 15.284,82 
4 14.839,63 14.407,41 877,41 15.284,82 
5 0,00 14.839,63 445,19 15.284,82 
TOTAL 70.000,00 6.424,10 76.424,10 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Importante! Os dados do Exemplo (PV, n e i) podem ser introduzidos em 
qualquer ordem. 
O fluxo de caixa na visão da instituição financeira é dado abaixo. 
 
Figura 26: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 19: Um empréstimo de R$90.000,00 feito pela AUTO 
Concessionária deve ser liquidado em 4 prestações trimestrais, pelo Sistema 
Price, a uma taxa de juros de 3,5% ao mês. Caracterizar a planilha do 
empréstimo. 
Solução: Observe que neste caso, temos que: 
PV = 90.000,00 
n = 4 trimestres 
i = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês 
57 
 
Além disso, da teoria sobre taxas sabemos que a taxa trimestral composta 
equivalente a 3,5% ao mês é dada por i t = 10,87% ao trimestre. Resolvendo o 
Exemplo pela calculadora HP 12C (função amarela AMORT), temos que: 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
90000 <CHS> <PV> -90.000,00 Valor emprestado. 
4 <n> 4,00 Número de 
prestações 
trimestrais. 
10.87 <i> 10,87 Taxa de juros 
trimestral (usamos a 
taxa equivalente 
composta). 
<PMT> 28.928,89 Valor das 
prestações 
trimestrais. 
1 <f> <AMORT> 9.783,00 Juros referentes à 
primeira prestação. 
<x <>y> 19.145,89 Amortização 
referente à primeira 
prestação. 
RCL <PV> -70.854,11 Saldo devedor após 
o pagamento da 
primeira prestação. 
1 <f> <AMORT> 7.701,84 Juros referentes à 
segunda prestação. 
<x <>y> 21.227,05 Amortização 
referente à segunda 
prestação. 
RCL <PV> -49.627,06 Saldo devedor após 
o pagamento da 
58 
 
segunda prestação. 
1 <f> <AMORT> 5.394,46 Juros referentes à 
terceira prestação. 
<x <>y> 23.534,43 Amortização 
referente à terceira 
prestação. 
RCL <PV> -26.092,62 Saldo devedor após 
o pagamento da 
terceira prestação. 
1 <f> <AMORT> 2.836,27 Juros referentes à 
quarta prestação. 
<x <>y> 26.902,62 Amortização 
referente à quarta 
prestação. 
RCL <PV> -0,00 Saldo devedor. 
 
Portanto, temos a planilha mostrada no Quadro 05. 
 
Quadro 05: A planilha do Exemplo 19. 
TRIMESTRE P t A J t PMT t 
0 90.000 
1 70.854,11 19.145,89 9.783,00 28.928,89 
2 49.627,06 21.227,05 7.701,84 28.928,89 
3 26.092,62 23.534,43 5.394,46 28.928,89 
4 0,00 26.092,62 2.836,27 28.928,89 
TOTAL 90.000,00 25.715,57 115.715,57 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
O fluxo de caixa da instituição financeira é: 
59 
 
 
Figura 27: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 20: A AUTO Concessionária financiou a compra de um 
componente médico em 6 prestações mensais, iguais e sucessivas, pelo Sistema 
Francês, vencendo a primeira prestação 30 dias após a compra. Sabendo-se que 
o valor financiado é de R$650,00 e que a taxa de juros da loja é de 4,5% ao mês, 
calcular o valor da prestação mensal e construir a planilha da operação. 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
PV = R$650,00 
n = 6 meses 
i = 4,5% ao mês 
PMT = ? 
Resolvendo na HP 12C, temos: 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
650 <CHS> <PV> -650,00 Valor financiado. 
6 <n> 6,00 Número de 
60 
 
prestações mensais. 
4.5 <i> 4,50 Taxa de juros 
mensal. 
<PMT> 126,02 Valor das 
prestações mensais. 
 
Agora, vamos construir a planilha do financiamento através da função 
AMORT. 
 
Quadro 06: A Planilha do Exemplo 20. 
MÊS P t A J t PMT t 
0 650,00 
1 -553,23 96,77 29,25 126,02 
2 -452,10 101,13 24,90 126,02 
3 -346,43 105,68 20,34 126,02 
4 -236,00 110,43 15,59 126,02 
5 -120,59 115,40 10,62 126,02 
6 0,00 120,59 5,43 126,02 
TOTAL 650,00 106,13 756,13 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
O fluxo de caixa da loja está representado logo abaixo: 
 
Figura 28: A interpretação geométrica do exemplo. 
61 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Para calcularmos o custo efetivo mensal desta operação, procede-se como 
é mostrado na sequência, via HP 12C. 
 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
650 <CHS> <g> <CF 0 > -650,00 Valor financiado. 
126.02 <g> <CF j > 126,02 Valor da prestação 
mensal. 
6 <g> <N j > 6,00 Número de 
prestações mensais. 
<f> <IRR> 4,50 Custo do 
empréstimo (em %). 
 
2.6 Sistema de Amortização Misto (SAM) 
Em termos históricos pode-se dizer que o Sistema de Amortização Misto 
(SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do 
Sistema Financeiro de Habitação. Cabe ressaltar que nos dias atuais é 
conhecido também pela nomenclatura Sistema de Amortizações Crescentes 
(SACRE). Em verdade, sem grandes dificuldades, pode ser encarado como a 
média aritmética entre o Sistema Francês (SAF) ou Price e o Sistema de 
Amortização Constante (SAC), daí explicando-se a sua própria denominação. 
Para cada um dos valores de seu plano de pagamentos, deve-se somar aqueles 
obtidos pelo SAF com os do SAC e efetuar a divisão por dois. 
Segundo Samanez (2007), aproximadamente até a metade do período de 
financiamento, as amortizações são menores do que as do Sistema Price. Como 
decorrência, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as 
chances de resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. 
Uma das desvantagens do SAM é que suas prestações iniciais são ligeiramente 
mais altas que as do Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário 
62 
 
sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda com o 
pagamento das prestações. 
 
Figura 29: O sistema de amortização SAM. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
2.7 Comparações entre o SAC, SAF e SAM 
Vejamos na Figura 30 a seguir, uma comparação geométrica entre os 
valores dos três Sistemas de Amortização discutidos anteriormente. 
 
 
 Figura 30: Gráfico comparativo entre os três Sistemas de Amortização. 
Fonte: Samanez (2007). 
 
Exemplo 21: Um cliente de uma concessionária realiza um empréstimo no 
Banco AFA no mês ano de 2014 no valor de R$90.000,00. O mesmo foi pago em 
12 prestações mensais, a juros efetivos de 6% ao mês utilizando o Sistema Misto 
63 
 
de Amortização. Qual foi o valor de cada uma das parcelas pagas pelo cliente? 
Qual o valor das prestações de amortização? 
Solução: Já sabemos que no sistema SAM as suas prestações devem ser 
consideradas como a média aritmética envolvendo as parcelas do SAC e do 
PRICE, sendo assim, devemos calcular as prestações via SAC e PRICE, para 
que na sequência calculemos a média aritmética entre tais valores obtidos. 
Cálculo das Prestações via PRICE: conforme fizemos anteriormente, 
vamos determinar tais prestações utilizando a HP 12C, logo, temos a seguinte 
disposição de passos mostrada na tabela a seguir. 
Tecla Visor Descrição 
<f> <REG> 0,00 Limpa os 
registradores. 
90000 <CHS> <PV> 90.000,00 Valor financiado. 
12 <n> 12,00 Número de 
prestações. 
6 <i> 6,00 Taxa mensal de 
juros. 
<PMT> 10.734,932 Valor da prestação. 
 
Cálculo das Prestações via SAC: para o cálculo das prestações via o 
SAC, vamos utilizar as fórmulas características discutidas anteriormente, obtendo 
assim a planilha descrita na tabela a seguir. 
MÊS Saldo 
DevedorAmortização Juros Prestação 
0 90.000,00 -------- -------- -------- 
1 82.500,00 7.500,00 5.400,00 12.900,00 
2 75.000,00 7.500,00 4.950,00 12.450,00 
3 67.500,00 7.500,00 4.500,00 12.000,00 
4 60.000,00 7.500,00 4.050,00 11.550,00 
5 52.500,00 7.500,00 3.600,00 11.100,00 
6 45.000,00 7.500,00 3.150,00 10.650,00 
7 37.500,00 7.500,00 2.700,00 10.200,00 
64 
 
8 30.000,00 7.500,00 2.250,00 9.750,00 
9 22.500,00 7.500,00 1.800,00 9.300,00 
10 15.000,00 7.500,00 1.350,00 8.850,00 
11 7.500,00 7.500,00 900,00 8.400,00 
12 0 7.500,00 450,00 7.950,00 
TOTAL ------ 90.000,00 ------ ------ 
 
Sendo assim, tendo os valores das prestações no SAC e no PRICE e, 
agora somamos em cada período as mesmas e dividimos por 2 (média aritmética) 
para caracterizarmos os valores das prestações no sistema SAM, como 
mostramos na tabela a seguir. 
 
MÊS Prestação 
(SAC) 
Prestação 
(PRICE) 
Prestação 
0 -------- -------- -------- 
1 12.900,00 10.734,932 11.817,47 
2 12.450,00 10.734,932 11.592,47 
3 12.000,00 10.734,932 11.367,47 
4 11.550,00 10.734,932 11.142,47 
5 11.100,00 10.734,932 10.917,47 
6 10.650,00 10.734,932 10.692,47 
7 10.200,00 10.734,932 10.467,47 
8 9.750,00 10.734,932 10.242,47 
9 9.300,00 10.734,932 10.017,47 
10 8.850,00 10.734,932 9.792,47 
11 8.400,00 10.734,932 9.567,47 
12 7.950,00 10.734,932 9.342,47 
 
A partir do momento em que determinamos as prestações do sistema SAM, 
passamos ao cálculo do esquema de amortização do financiamento feito. Dessa 
maneira, no sistema SAM, os juros são calculados, mês a mês, sobre o valor do 
65 
 
saldo devedor do período anterior e, a amortização pela diferença entre os 
valores da prestação e dos juros. 
Note que é semelhante ao que fizemos no sistema PRICE. Além disso, 
observe que no sistema SAM a prestação se mostrará de forma uniformemente 
decrescente, como acontece no sistema SAC. Os valores dos juros e das 
prestações de amortização são mostradas na tabela a seguir. 
 
MÊS Saldo 
Devedor 
Prestação Juros 
(6% ao mês) 
Amortização 
 90.000,00 -------- -------- -------- 
1 83.582,53 11.817,47 5.400,00 6.417,47 
2 77.005,01 11.592,47 5.014,95 6.577,52 
3 70.257,84 11.367,47 4.620,30 6.747,17 
4 63.330,84 11.142,47 4.215,47 6.927,00 
5 56.213,22 10.917,47 3.799,85 7.117,62 
6 48.893,55 10.692,47 3.372,79 7.319,68 
7 41.359,69 10.467,47 2.933,61 7.533,86 
8 33.598,80 10.242,47 2,481,58 7.760,89 
9 25.597,26 10.017,47 2.015,93 8.001,54 
10 17.340,62 9.792,47 1.525,84 8.256,63 
11 8.813,59 9.567,47 1.040,44 8.527,03 
12 (0,06) 9.342,47 528,82 8.813,65 
TOTAL ------ 90.000,00 ------ 90.000,00 
 
2.8 Sistema Americano de Amortização (SAA) 
É muito utilizado em financiamentos internacionais é um tipo de pagamento 
de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida 
(juros sendo pagos periodicamente), deixando o valor da dívida constante, que 
pode ser paga em apenas um único pagamento. Em outras palavras, é um tipo de 
quitação de empréstimo que favorece aqueles que desejam pagar o valor 
principal através de uma única parcela, porém os juros devem ser pagos 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Juro
https://pt.wikipedia.org/wiki/D%C3%ADvida
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pagamento
66 
 
periodicamente ou, dependendo do contrato firmado entre as partes, os juros são 
capitalizados e pagos junto ao valor principal. 
 
Saiba Mais? Qual seria uma desvantagem do SAA? Em verdade, podemos 
dizer que a desvantagem do SAA é que o pagamento de juros pode, em tese, 
ser perpétuo mesmo quando já se pagou o equivalente à dívida em si. Para 
tal, basta que o número de prestações exceda 100% quando da soma dos 
juros simples. 
 
Vejamos um exemplo ilustrativo da aplicação do sistema americano de 
amortização. 
Exemplo 21: Um cliente de uma concessionária faz um empréstimo no 
valor de R$800.000,00 no Banco AUTO através do Sistema Americano (SAA). O 
cliente propõe-se a devolver o principal daqui a dois anos, pagando 
semestralmente somente os juros a taxa de 4% ao semestre. Montar a planilha 
associada do financiamento realizada pelo cliente através do sistema de 
amortização americano. 
Solução: De acordo com o enunciado e através de cálculos diretos 
podemos montar a planilha como nos mostra a tabela a seguir. 
Semestre Saldo 
Devedor 
Amortização Juros 
(4% a.s.) 
Prestação 
0 800.000,00 -------- -------- -------- 
1 652.298,30 147.701,70 32.000,00 179.701,70 
2 498.688,53 153.609,77 26.091,93 179.701,70 
3 338.934,37 159.754,16 19.947,54 179.701,70 
4 172.790,04 166.144,33 13.557,37 179.701,70 
5 -------- 172.790,04 6.911,60 179.701,70 
TOTAL ------ 800.000,00 98.508,44 898.508,44 
 
67 
 
REFERÊNCIAS 
 
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Edição. Porto Alegre: Bookman, 2001. 
 
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SAMANEZ, Carlos P. Matemática Financeira: aplicações à análise de 
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