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função grau 1

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 1 – CAPÍTULO 2 
1 
2 POLINÔMIOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES 
 
Este capítulo tem como objetivo a abordagem de conceitos algébricos que são 
fundamentais no processo de aprendizagem de funções. Porém, aconselha-se que antes de 
prosseguir, revisem os conteúdos de potenciação e radicação, disponíveis no material 
complementar da unidade 1. 
 
2.1 MONÔMIOS 
Denomina-se de monômio ou termo algébrico toda a expressão algébrica determinada 
por apenas um número real, uma variável ou pelo produto de números e variáveis. Por 
exemplo, para −3xy2, o coeficiente numérico é o número Inteiro (-3) e a parte literal xy². No 
quadro a seguir outros exemplos: 
 
Monômio Coeficiente numérico Parte literal 
x2y 1 x2y 
−ab3 -1 ab3 
−5x2 -5 5x2 
bc
3
 
1
3
 
bc 
 
Observações: 
a) Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal, como por exemplo, 
os monômios x2, 3x2, −5x2, que, por possuírem a mesma parte literal (x²) são chamados de 
monômios semelhantes. 
b) Monômio nulo é o monômio cujo coeficiente numérico é igual a 0, como por exemplo, o 
termo algébrico 0x², que tem como coeficiente numérico o número zero. 
c) Todo número Real é um monômio, como por exemplo √3, pois √3 ∈ ℝ. 
 
2.1.1 Operações com monômios 
Definido o que é monômio estuda-se, neste subcapítulo, os procedimentos envolvidos 
nas operações entre monômios. 
 
 
 
 
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UNIDADE 1 – CAPÍTULO 2 
2 
2.1.1.1 Adição e subtração 
As operações de adição ou de subtração de monômios são definidas somente para 
monômios semelhantes, isto é, para monômios com a mesma parte literal. De modo 
simplificado diz-se que na adição e na subtração de monômios semelhantes, conserva-se a 
parte literal e opera-se com a parte numérica. 
Exemplos: 
a) x2 + 4x2 = (Observe que o coeficiente do primeiro x² é 1 e por isso, “não aparece”). 
𝟏x2 + 𝟒x2 = (1 + 4)x² 
x2 + 4x2 = 5x2 
 
b) 3xy − 2xy + 6xy = (Observe a parte literal e perceba que é a mesma em todos os 
monômios. Identifique os coeficientes numéricos. Só depois disso realize a operação). 
3xy − 2xy + 6xy = (3 – 2 + 6)xy 
3xy − 2xy + 6xy = 7xy 
 
c) 2xy – 4x²y = (Observe as partes literais e perceba que elas não são iguais, portanto os 
monômios não são semelhantes. Logo, não podemos realizar a operação). Portanto: 
2xy – 4x²y = 2xy – 4x²y 
 
d) 4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (Observe com atenção as partes literais para identificar os monômios 
semelhantes). 
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (Opere apenas com os monômios semelhantes). 
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (4 + 8)x²y³ - 5xy³ 
(4 + 8)x²y³ - 5xy³ = 12 x²y³ - 5xy³ Logo: 
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = 12 x²y³ - 5xy³ 
 
e) 
xy
2
+
2
3
xy − 
3xy
4
= (Primeiro observe que todos os monômios são semelhantes. Depois 
observe as diferentes formas que podem ser escritos monômios com coeficientes numéricos 
racionais. Agora realize as operações envolvendo frações). 
1𝑥𝑦
2
+
2
3
𝑥𝑦 − 
3𝑥𝑦
4
 = (As frações estão destacadas em vermelho). 
 
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3 
1
2
+
2
3
−
3
4
= (Na adição ou subtração de frações com denominadores diferentes, precisamos 
encontrar o Mínimo Múltiplo Comum – MMC, dos denominadores, decompondo-os em 
fatores primos). 
 
2, 3, 4 2 (Decompor em fatores primos – Só utilizar números primos
1
). 
1, 3, 2 2 (Dividir novamente por dois). 
1, 3, 1 3 (Dividir por três). 
1, 1, 1 (Agora multiplicar os fatores primos: 2 x 2 x 3 = 12). 
 
Logo mmc(2, 3, 4) = 12 
Retomando o cálculo: 
1
2
+
2
3
−
3
4
= (Deve-se dividir o mmc por cada um dos denominadores, O resultado da 
divisão deve ser multiplicado pelo numerador). 
1
2
= 
6
12
 (12: 2 = 6; 6 x 1 = 6). 
2
3
= 
8
12
 (12: 3 = 4; 4 x 2 = 8). 
3
4
= 
9
12
 (12: 4 = 3; 3 x 3 = 9). 
Reescrevendo: 
1
2
+
2
3
−
3
4
= 
6
12
+
8
12
−
9
12
 
6
12
+
8
12
−
9
12
=
5
12
 (Adição e subtração de frações com mesmo denominador conserva-se o 
denominador e opera-se com os numeradores). Logo: 
𝑥𝑦
2
+
2
3
𝑥𝑦 − 
3𝑥𝑦
4
= 
5𝑥𝑦
12
 
 
2.1.1.2 Multiplicação 
Na operação de multiplicação entre monômios realiza-se primeiramente a multiplicação 
entre os coeficientes numéricos e logo após a multiplicação entre as partes literais. Na parte 
literal aplica-se a propriedade da potência a
m
 . a
n
 = a
m+n
. 
 
 
 
1
São chamados de números primos todos os números que tem dois divisores: o número 1 e o próprio número. 
Conjunto dos números primos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} 
 
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4 
Exemplos: 
a) (3x2). (−5xy) (Primeiro opere com os coeficientes numéricos). 
3 . (−5) = −15 (Depois dos coeficientes numéricos opere com a parte literal). 
x² . xy = x³y (Aplica-se a propriedade da potenciação de mesma base: am . an = am+n). Logo: 
(3x2). (−5xy) = −15x³y 
 
b) (−2a). (−5ab). (3ab3) = (Lembre-se: opere primeiramente com os coeficientes numéricos e 
depois com a parte literal. Na parte liberal aplique a propriedade da multiplicação de bases 
iguais, isto é, conserve a base e some os expoentes). 
(−2a). (−5ab). (3ab3) = 
(−2) . (−5) . 3 = 30 (Coeficiente numérico). 
(a). (ab) . (ab3) = a3b4 (Parte literal). Logo: 
(−2a). (−5ab) × (3ab3) = 30a3b4 
 
c) (
2x²y
3
) . (−
5xy³
4
) = (Inicia-se com os coeficientes numéricos. Lembre-se que na 
multiplicação de frações não é necessário realizar o mmc, basta multiplicar numerador por 
numerador e denominador por denominador). 
(
2
3
) . (−
5
4
) = − 
10
12
 (Agora simplifique o resultado, isto é, divida o numerador e o 
denominador pelo mesmo número, até encontrar a fração irredutível
2
). 
− 
10
12
 = − 
5
6
 (Divisão por dois). 
(x²y). (xy³) = x³y4 (Na parte literal aplica-se a propriedade am . an = am+n). 
 
2.1.1.3 Divisão 
Na operação de divisão entre monômios realiza-se primeiramente a divisão entre os 
coeficientes numéricos e logo após a divisão entre as partes literais. Na parte literal aplica-se a 
propriedade da potência a
m
 : a
n
 = a
m-n
. 
Exemplos: 
a) (15x²) ∶ (−5xy³) (Podemos escrever esta mesma divisão como 
15𝑥2
−5𝑥𝑦3
). 
15 : (−5) = −3 (Divisão entre os coeficientes numéricos). 
𝑥²
𝑥𝑦³
 = 
𝑥
𝑦³
 (Parte literal). Logo: 
 
2
Chamamos de Fração irredutível aquela em que não é mais possível realizar simplificações. 
 
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5 
15𝑥2
−5𝑥𝑦3
= −
3𝑥
𝑦³
 
 
b) 
2a³b
4ab5
 (Escrevendo de outra forma para auxiliar no entendimento). 
2a³b
4ab5
= 
2 .a.a.a.b
4 .a.b.b.b.b.b
 (Simplificando). 
2 .a.a.a.b
4 .a.b.b.b.b.b
= 
1.a.a
2.b.b.b.b
 (Reescrevendo). 
1.a.a
2.b.b.b.b
 = 
a²
2b4
 
Logo: 
2a³b
4ab5
= 
a²
2b4
 
 
Observação: 
a) Para dividir frações pode-se utilizar um método prático. Lembre-se também, que na divisão 
não é necessário

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