EXERCICIO 1 - Controle e Servomecanismos

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Atividade 
1. Com base nas propriedades dos sistemas de controle, assinale a alternativa que não corresponde a sistemas de controle em 
malha fechada quando comparados com sistemas de controle em malha aberta: 
a) Menos sensível a não linearidades. 
b) Maior imunidade a ruídos. 
c) Menor tendência a oscilar. 
d) Maior precisão. 
e) Maior largura de faixa. 
 
Resposta: 
A vantagem dos sistemas de controle em malha aberta em relação aos sistemas de controle em malha fechada é que os primeiros 
não apresentam problema de estabilidade. 
 
2. Qual a diferença fundamental entre sistemas de controle em malha aberta e fechada? 
Resposta: 
A diferença fundamental entre os sistemas de controle em malha aberta e em malha fechada reside na realimentação (retroação 
ou feedback) apresentada por estes. 
 
3. Esboce o diagrama em blocos de um sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária que não faz uso de 
um atuador, descrevendo os sinais e os blocos que o compõe. 
Resposta: 
A Figura 5 representa este diagrama em blocos. Os sinais e blocos que compõem o sistema da Figura 5 são: 
• Entrada de Referência: é o sinal externo aplicado ao sistema de controle que representa o valor desejado da saída da 
planta. 
• Comparador: é um dispositivo que gera o sinal de erro resultante da diferença entre o valor desejado (entrada de 
referência) e o valor obtido (neste caso, o sinal de saída). 
• Controlador: dispositivo que manipula o sinal de erro, gerando um sinal de controle que será aplicado no sistema. 
• Sistema: é o objeto a ser controlado pelo sistema de controle com realimentação. 
 
4. Qual a função do atuador em um sistema de controle? 
Resposta: 
O atuador é um dispositivo que recebe o sinal de controle e gera um sinal de controle de potência suficiente para atuar sobre o 
sistema. Em geral, o atuador recebe uma entrada elétrica e a converte em um sinal, tal como uma força ou torque que faz com 
que a saída do sistema se mova ou mude ao longo do intervalo desejado. 
 
5 - Defina transformada de Laplace e cite um dos seus benefícios. 
Resposta: comentado: 
A transformada de Laplace de uma função 𝑓(𝑡) é uma integral imprópria dada por: 
 
F(s)=∫∞0−f(t)e−stdt 
 
Fs=∫0−∞fte−stdt 
 
Um dos principais benefícios da transformada de Laplace é converter um sistema de equações integro-diferenciais na variável 
independente 𝑡 num sistema de equações algébricas na variável independente 𝑠. 
 
 
 
6 - Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções: 
a) g(t)=t3+3cos(2t)gt=t3+3cos2t 
b) g(t)=2t2cos(t)gt=2t2cost 
c) g(t)=teαtgt=te𝛼t 
d) g(t)=eαtcos(ωt)gt=e𝛼tcos𝜔t 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções: 
a) G(s)=2s−2Gs=2s−2 
b) G(s)=5sGs=5s 
c) G(s)=4s2+3s−1Gs=4s2+3s−1 
d) G(s)=3s2+4+4(s−3)2+4Gs=3s2+4+4s−32+4 
e) G(s)=5s−1(s+1)2(s−2)Gs=5s−1s+12s−2 
f) G(s)=s+15s2(s2+2s+5)Gs=s+15s2s2+2s+5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 - Determine a função de transferência do sistema descrito pela equação íntegro-diferencial a seguir: 
 
2dy(t)dt+3y(t)−∫t0y(τ)dτ=3r(t)2dytdt+3yt−∫0ty𝜏d𝜏=3rt (E3.11) 
 
onde 𝑦(𝑡) é a saída e 𝑟(𝑡) é a entrada. Assuma as condições iniciais nulas. 
 
Resposta: 
Aplicando a transformada de Laplace em (E3.11): 
2[sY(s)−y(0−)]+3Y(s)−Y(s)s=3R(s)2sYs−y0−+3Ys−Yss=3Rs (E3.12) 
Como as condições iniciais são nulas y(0−)=0y0−=0: 
2sY(s)+3Y(s)−Y(s)s=3R(s)2sYs+3Ys−Yss=3Rs (E3.13) 
A função de transferência vale: 
Y(s)R(s)=3s2s2+3s−1YsRs=3s2s2+3s−1 (E3.14) 
 
9 - Determine a saída 𝑦(𝑡) do sistema descrito a seguir, quando a entrada do sistema é um degrau unitário: 
 
 
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é a entrada. Assuma as condições iniciais nulas. 
 
Resposta: 
O diagrama em blocos da figura fornece: 
 
Y(s)R(s)=12s−91+12s−9=12s+3YsRs=12s−91+12s−9=12s+3 (E3.15) 
 
Como 𝑟(𝑡) é um degrau unitário: 
 
R(s)=1sRs=1s (E3.16) 
 
Substituindo (E3.16) em (E3.15): 
 
Y(s)=12s(s+3)Ys=12ss+3 (E3.17) 
 
Expandindo em frações parciais: 
 
Y(s)=4s−4s+3Ys=4s−4s+3 (E3.18) 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace: 
 
y(t)=4−4e−3tyt=4−4e−3t (E3.19) 
 
 
 
10 - Defina o que é uma função de transferência. 
 
Resposta: 
A função de transferência é uma representação que relaciona algebricamente a saída de um sistema linear invariante no tempo 
com a sua entrada. Ao contrário do que ocorre com as equações diferenciais que descrevem os sistemas, a função de 
transferência permite tratar separadamente a entrada, o sistema e a saída. A função de transferência também pode ser definida 
como a transformada de Laplace da resposta de um sistema linear invariante no tempo quando sobre este sistema é aplicada 
com entrada um impulso unitário. Ainda uma terceira definição aceitável seria que a função de transferência, no domínio da 
frequência, é a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada. 
 
11 - Para que tipo de sistemas o conceito de função de transferência pode ser aplicado? 
 
Resposta: 
O conceito de função de transferência pode ser aplicado em sistemas lineares invariantes no tempo. 
 
12 - Considere um sistema 𝑆 linear e invariante no tempo, cuja função de transferência é dada pela seguinte expressão: 
 
H(s)=10s+1Hs=10s+1 
 
Encontre o valor da saída do sistema, 𝑦(𝑡), no instante 𝑡=2𝑠 quando a entrada do sistema, 𝑟(𝑡), é um impulso unitário. 
 
Resposta: 
 
𝑌(𝑠)=𝑅(𝑠)𝐻(𝑠) 
𝑅(𝑠)=1 
 
Logo: 
Y(s)=10s+1Ys=10s+1 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace na última equação: 
y(t)=10e−tyt=10e−t 
y(2)=10e−2≅1,35y2=10e−2≅1,35 
 
 
13 - Considere um sistema 𝑆 linear e invariante no tempo, cuja função de transferência é dada pela seguinte expressão: 
 
H(s)=10s+1Hs=10s+1 
 
Encontre o valor da saída do sistema, 𝑦(𝑡), no instante 𝑡=2𝑠 quando a entrada do sistema, 𝑟(𝑡), é um impulso unitário. 
 
Resposta: 
𝑌(𝑠)=𝑅(𝑠)𝐻(𝑠) 
𝑅(𝑠)=1/𝑠 
 
Logo: 
Y(s)=10s(s+1)Ys=10s(s+1) 
 
Expandindo em frações parciais a última equação: 
Y(s)=10s−10s+1Ys=10s−10s+1 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace na última equação: 
y(t)=10−10e−tyt=10−10e−t 
y(2)=10−10e−2≅8,65y2=10−10e−2≅8,65 
 
14 - Determine a saída 𝑦(𝑡) de um sistema com realimentação negativa unitária que possua função de transferência dada por: 
 
G(s)=10s+2Gs=10s+2 
 
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é um degrau unitário. Assuma as condições iniciais nulas. 
 
Resposta: 
A função de transferência em malha fechada do sistema é: 
 
Y(s)R(s)=G(s)1+G(s)YsRs=G(s)1+G(s) 
Y(s)R(s)=10s+21+10s+2YsRs=10s+21+10s+2 
Y(s)R(s)=10s+12YsRs=10s+12 
 
Como 𝑟(𝑡) é um degrau unitário: 
R(s)=1sRs=1s 
 
Logo: 
Y(s)=10s(s+12)Ys=10ss+12 
 
Expandindo a saída 𝑌(𝑠) em frações parciais: 
Y(s)=0,83s−0,83s+12Ys=0,83s−0,83s+12 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace: 
y(t)=0,83−0,83e−12tyt=0,83−0,83e−12t 
 
15 - Determine a saída 𝑦(𝑡) de um sistema com realimentação negativa unitária que possua função de transferência dada por: 
 
G(s)=1s+5Gs=1s+5 
 
onde 𝑦(𝑡) é a saída temporal do sistema e 𝑟(𝑡) é um impulso unitário. Assuma as condições iniciais nulas. 
 
Resposta: 
A função de transferência em malha fechada do sistema é: 
 
Y(s)R(s)=G(s)1+G(s)YsRs=G(s)1+G(s) 
Y(s)R(s)=1s+51+1s+5YsRs=1s+51+1s+5 
Y(s)R(s)=1s+6YsRs=1s+6 
 
Como 𝑟(𝑡) é um impulso unitário: 
R(s)=1Rs=1 
 
Logo: 
Y(s)=1s+6Ys=1s+6 
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace: 
y(t)=e−6t 
 
 
16 - Quais são as componentes da resposta temporal de um sistema? 
 
Resposta: 
As componentes da resposta temporal de um sistemasão a resposta temporal transitória e a resposta temporal em regime 
permanente ou estacionário. 
 
 
17 - Considere um sistema de primeira ordem sujeito a uma entrada de um degrau unitário. Sabendo que a amplitude máxima 
atingida pelo sinal de saída foi 0,9 e que o tempo para atingir 63% dessa amplitude foi de 0,1s, assinale a alternativa que 
descreve a função de transferência. 
 
a) G(s)=9s+10G(s)=9s+10 
b) G(s)=10s+9G(s)=10s+9 
c) G(s)=99s+10G(s)=99s+10 
d) G(s)=9s+9G(s)=9s+9 
e) G(s)=10s+10G(s)=10s+10 
 
Resposta: 
O problema já fornece os parâmetros para a obtenção da função de transferência 
diretamente. O valor máximo, ou seja, o valor da amplitude máxima atingida pelo sinal 
de saída é o parâmetro K. Portanto, K=0,9. Além disso, o problema fornece a constante 
de tempo τ=0,1, pois o tempo para atingir 63% da amplitude máxima, é exatamente a 
definição da constante de tempo. 
Como a função de transferência genérica depende apenas desses dois valores, K e τ, é só 
substituir na equação genérica dada em(4.2): 
 
 
 
18 - Para a função de transferência G(s)=50s+50´G(s)=50s+50´ 
a) τ=0,2s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,8s 
b) τ=0,02s; Ts≅ 0,044s; Ta≅ 0,08s 
c) τ=0,1s; Ts≅ 0,4s; Ta≅ 0,8s 
d) τ=0,22s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,88s 
e) τ=0,02s; Ts≅ 0,44s; Ta≅ 0,8s 
 
Resposta: 
Comparando termo a termo com a expressão geral de um sistema de promeira ordem: 
 
 
19 - Para a função de transferência dada pela expressão a seguir: 
G(s)=124s+4G(s)=124s+4 
 
a) O polo é real positivo. 
b) O polo é imaginário puro. 
c) O polo é complexo com parte real positiva. 
d) O polo é real negativo 
e) O polo é complexo com parte real negativa. 
 
Resposta: 
Para determinar o polo, basta encontrar a raiz da equação característica: 
4s+4=0 
Solucionando analiticamente a equação anterior: 
s=-1 
Portanto, o polo é um número real negativo igual a -1 
 
20 - Para a função de transferência dada pela expressão a seguir: 
 
G(s)=36s2+4,2s+36G(s)=36s2+4,2s+36 
 
Determine qual é a frequência natural e o fator de amortecimento do sistema. Em seguida, classifique o sistema quanto a sua 
resposta ao degrau unitário. 
Resposta: 
 
 
 
21 - Para a função de transferência dada pela expressão a seguir: 
G(s)=30s2+4s+8G(s)=30s2+4s+8 
a) Os polos são reais positivos. 
b) Um polo é real e outro polo é complexo. 
c) Os polos são complexos conjugados com parte real positiva. 
d) Os polos são reais negativos. 
e) Os polos são complexos conjugados com parte real negativa. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
22 - Dado o diagrama em blocos a seguir, determine a resposta do sistema em malha fechada quando a entrada é um degrau 
unitário. 
 
 
Resposta: 
 
 
23 - Para o sistema descrito pela função de transferência a seguir: 
 
G(s)=20s2+8s+20G(s)=20s2+8s+20 
 
Assinale a alternativa que corresponde à resposta esperada do sistema quando a entrada é um degrau unitário. 
a) Superamortecida 
b) Subamortecida 
c) Criticamente amortecida 
d) Não amortecida 
e) Invertida 
 
Resposta: 
 
 
24 - Quais são os parâmetros que determinam a localização dos polos de um sistema de segunda ordem sem zeros? 
 
Resposta: 
Os parâmetros que determinam a localização dos polos de um sistema de segunda ordem sem zeros são o fator de 
amortecimento ξ e a frequência natural ωn 
 
25 - Quais são os tipos de resposta ao degrau unitário que podem ser obtidos em função do parâmetro ξ para sistemas de 
segunda ordem sem zeros? 
 
Resposta: 
As reposta dos sistemas de segunda ordem sem zeros quando a entrada é um degrau unitário dependem do valor do fator de 
amortecimento ξ. Quando ξ=0, a resposta é não amortecida, quando 0<ξ<1, a resposta é subamortecida, quando ξ=1, a 
reposta é criticamente amortecida e quando ξ>1, a resposta é superamortecida. 
 
26 - Considerando que um sistema de 1ª ordem sem zero possui a saída y(t) a seguir, quando é aplicado um degrau unitário 
na entrada, encontre a função de transferência do sistema. 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
27 - Determine se o sistema em malha fechada a seguir é estável ou instável. 
 
Resposta: 
A função de transferência de malha fechada é: 
H(s)=Y(s)R(s)=4s2+2s+1H(s)=Y(s)R(s)=4s2+2s+1 
Para determinar os polos, basta encontrar as raízes da equação característica, igualando o denominador da função de 
transferência de malha fechada a zero. 
Dessa forma, é fácil verificar que os polos da função de transferência são iguais e estão ambos localizados em s=-1, ou seja 
possuem parte real negativa, estando ambos os polos no SPE. Portanto, o sistema é estável. 
A solução anterior utiliza a condição de estabilidade no domínio da frequência. Outra forma de resolvero problema é 
utilizando a condição de estabilidade no tempo. Para isso, é necessário encontrar a tranformada inversa de H(s). Fica evidente 
a inversa quando H(s) é reescrita na forma: 
H(s)=4(s+1)2H(s)=4(s+1)2 
A inversa é h(t)=4te-t. Quando é aplicado o limite para verificar a estabilidade: 
Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=∞∞Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=∞∞ 
Portanto, é uma indeterminação. Para sair da indeterminação, basta aplicar a regra de L´Hôpital, derivando o numerador e 
denominador em relação a t: 
Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=Limt⇒∞4et=0Lim h(t)t⇒∞ = Limt⇒∞4tet=Limt⇒∞4et=0 
Como o limite anterior foi zero, o sistema é estável e concorda com o que foi obtido quando foi aplicada a condição de 
estabilidade na frequência. 
É possível verificar que, nesse caso, a aplicação da condição de estabilidade no domínio da frequência fornece o resultado 
com menos cálculos do que a condição de estabilidade no domínio do tempo. 
 
28 - Determine se é estável ou instável o sistema com função de transferência em malha fechada dada por: 
 
Y(s)R(s)=5s(s+1)(s−3)Y(s)R(s)=5s(s+1)(s-3) 
 
Resposta: 
Para determinar os polos, basta encontrar as raízes da equação característica, igualando o denominador da função de 
transferência de malha fechada a zero. 
Dessa forma, é fácil verificar que os polos da função de transferência são s=0, s=1 e s=3. Portanto, s=3 está localizado no 
semiplano da direita (SPD) do plano s, sendo o sistema em estudo instável, já que todos os polos devem estar no semiplano 
da esquerda (SPE) para que o sistema seja estável. 
 
 
29 - Determine o valor K para que o sistema de malha fechada com função de transferência 
 
H(s)=Kss2+(k−3)s+KH(s)=Kss2+(k-3)s+K 
 
tenha dois polos reais, iguais e estáveis. 
 
Resposta: 
Supondo que os dois polos reais de H(s) sejam um número real α, nesse caso, o denominador da função de trasferência seria 
(s- α)2. Se você igualar esta polinômio ao denominador da função de transferência de H(s), naturalmente você obriga que 
ambos os polinômios tenham as mesmas raízes. De tal forma que: 
 
s2+(K−3)s.K=(s−α)2s2+(K-3)s.K=(s-α)2 
 
Igualando os coeficientes dos dois polinômios: 
−2α=K−3-2α=K-3 
 
α2=Kα2=K 
 
Substituindo uma equação na outra para ficar com uma equação com uma única variável: 
 
α2+2α−3=0α2+2α-3=0 
 
Resolvendo a equação do 2°grau para obter o valor de α: 
 
α=−3α=-3 
 
α=1α=1 
Substituindo os valores de α em (P5.7), obtém-se, respectivamente, os valores de K=9 e K=1. Existem dois valores de α que 
fazem os polos da função de transferência reais e iguais. Contudo, se α=1 o polo estará no SPD e o sistema será instavel. Por 
outro lado, se α=-3 o polo estará no SPE e o sistema será estável. Logo, a resposta é K=9. 
 
 
30 - Enuncie as condições de estabilidade no domínio da frequência e no domínio do tempo. 
 
Resposta: 
A condição de estabilidade no domínio da frequência diz que um sistema linear invariante no tempo (SPLIT) é dito estável se 
todos os polos da função de transferência do sistema têm parte real negativa, ou seja, quando todos os polos estão localizados 
no semiplano da esquerda (SPE). A condição de estabilidade no domínio do tempo diz que um sistema linear inveriante no 
tempo (SLIT) é dito estável se 
 
lim h(tt⇒∞)=0lim h(tt⇒∞)=0, onde h(t) é a resposta do sistema a um impulso unitário S(t).31 - Para o sistema cuja resposta ao impulso é h(t)=e3th(t)=e3t determine se o sistema é estável ou instável. 
 
Resposta: 
Basta calcular o limite: 
lim h(tt⇒∞)=lim e3tt⇒∞→∞lim h(tt⇒∞)=lim e3tt⇒∞→∞ 
O limite anterior tende a infinito, logo, o sistema é instável. 
Uma forma de resolver o problema é aplicar a transformada de Laplace em h(t) e determinar a localização do polo. Nesse 
caso: 
H(s)=1s−3H(s)=1s-3 
Para determinar a localização do polo, basta encontrar a raiz da equação característica s-3=0. O polo é s=3. Logo, o polo 
possui parte real positiva, ou seja, o polo está localizado no semiplano da direita(SPD), sendo o sistema instável. 
 
31 - Para o sistema cuja resposta ao impulso é h(t)=e−5th(t)=e-5t determine se o sistema é estável ou instável. 
Resposta: 
Basta calcur o limite: 
lim h(tt⇒∞)=lim e−5tt⇒∞→0lim h(tt⇒∞)=lim e-5tt⇒∞→0 
O limite anterior tende a zero, logo, o sistema é estável. 
Um forma de resolver o problema é aplicar a trasformada de Laplace em h(t) e determinar a localização do polo. Nesse caso: 
H(s)=1s+5H(s)=1s+5 
Para determinar a localização do polo, basta encontrar a raiz da equação característica s+5=0. O polo s=-5. Logo, o polo 
possui parte real negativa, ou seja, o polo está localizado no semiplano da esquerda (SPE), sendo o sistema estável. 
É possível verificar que nos dois últimos casos a plicação da condição de estabilidade no domínio do tempo fornece o 
resultado com menos cálculos que a condiçãp de estabilidade no domínio da frequência. 
 
32 - Para o sistema cuja resposta ao impulso é h(t)=2t sin(3t). Determine se o sistema é estável ou instável. 
Resposta: 
Basta calcur o limite: 
lim h(tt⇒∞)=lim t⇒∞2t sin(3t)→∞lim h(tt⇒∞)=lim t⇒∞2t sin3t→∞ 
O limite anterior tende a infinito, já que 2t tende a infinito e a função seno é limitada, estando compreendida entre -1 e 1. 
Logo, o sistema é instavel. 
 
33 - Enuncie o critério de Routh e determine se o sistema descrito pela função de transferência abaixo é estável. 
H(s) = 4s2 − 2s + 4H(s) = 4s2 - 2s + 4 
Resposta comentado: 
O critério de Routh afirma que um SLIT é estável se, e somente se, todos os elementos na primeira coluna do arranjo de 
Routh forem positivos. O número de polos no SPD representa o número de trocas de sinal dos elementos da primeira coluna 
do arranjo de Routh. 
Construindo o arranjo de Routh: 
 
 
 
34 - Determine para qual faixa de valores de 𝐾 o sistema cuja função de transferência em malha fechada dada abaixo é 
estável: 
H(s) = K(s + 1)s4 + (K − 2)s3 + 5s2 + K + 1H(s) = K(s + 1)s4 + (K - 2)s3 + 5s2 + K + 1 
Resposta comentado: 
A primeira observação a ser feita é que o coeficiente do fator 𝑠 do polinômio do denominador é zero. Feita esta observação, 
pode-se passar à construção do arranjo de Routh: 
 
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Logo: 
Como há um elemento da primeira coluna negativo, é possível 
afirmar que o sistema é instável. Além disso, como existem duas 
trocas de sinal nos elementos da primeira coluna, existem 2 polos no 
SPD. Esse resultado concorda com esta mesma atividade proposta na 
aula anterior. 
K-2>0 e -((K-2)(K+1))/5>0 e K+1>0 (P6.1) 
A solução da primeira inequação é: 
K>2 (P6.2) 
A solução da segunda inequação é: 
-1<K<2 (P6.3) 
A solução da terceira inequação é: 
K>-1 (P6.4) 
Como não há interseção entre os três conjuntos solução das três inequações, a solução é vazio, ou seja, não existe valor real 
de K que torne o sistema estável. Portanto, haverá ao menos uma troca de sinal na primeira coluna do arranjo de Routh. 
 
35 - Determine para qual faixa de valores de 𝐾 o sistema de malha fechada abaixo é estável. 
 
Resposta comentado: 
A função de transferência de malha fechada é: 
H(s) = Y(s)R(s) = K(s + 1)s(s − 1)(s + 6) + K(s + 1) = K(s + 1)s3 + 5s2 + (K − 6)s + KH(s) = Y(s)R(s) = K(s + 1)s(s - 1)(s + 
Construindo o arranjo de Routh: 
 
Para que o sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos. Logo: 
(p6.6)4k − 305 > 0 e K > 04k - 305 > 0 e K > 0 
A interseção da solução das duas inequações é: 
(p6.7) 
K > 7,5K > 7,5 
36 - Quais são os casos especiais do critério de Routh? 
Gabarito sugerido: 
O critério de Routh possui dois casos especiais: 
O primeiro caso especial é quando ocorre um zero na primeira coluna do arranjo de Routh. Neste caso, o elemento que deu 
zero deve ser substituído por uma constante pequena e positiva ε>0. O procedimento de cálculo para determinar os outros 
valores do arranjo de Routh deve ser efetuado com a constante ε. Quando todos os elementos do arranjo tiverem sido 
determinados, deve-se tomar o limite quando ε→0 dos elementos da primeira coluna do arranjo de Routh que possuem 𝜀 
como parâmetro. Em seguida, deve ser estudado o sinal da primeira coluna para verificar se houve ou não mudança de sinal. 
O segundo caso especial é quando uma linha inteira de zeros aparece no arranjo de Routh. Neste caso, a linha com os zeros 
deve ser substituída por uma nova linha. Esta nova linha é composta pelos coeficientes da derivada do polinômio auxiliar da 
linha anterior. 
 
37 - Determine se o sistema descrito pela função de transferência abaixo é estável, instável ou marginalmente estável. 
H(s) = 10s6 + 4s5 + 3s4 + 2s3 + s2 + 4s +4 
 
Gabarito comentado: 
Construindo o arranjo de Routh: 
 
Como existe um elemento negativo na primeira coluna do Arranjo Routh, o sistema é instável. 
 
38 - Determine se alguma das raízes do sistema descrito pela função de transferência abaixo está no SPD. 
H(s) = 12s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 +2s +1H(s) = 12s5 + 3s4 + 2s3 + 3s2 +2s +1 
 
Resposta comentado: 
Construindo o arranjo de Routh: 
 
Aplicando os limites quando 𝜀→0 nos elementos da primeira coluna: 
limε→03ε − 4ε → −∞ e limε→0 03ε2 + 12ε − 169ε − 12 = 43limε→03ε - 4ε → -∞ e limε→0 03ε2 + 12ε - 169ε - 12 = 43 
Portanto, existem 2 polos no SPD, já que houve 2 trocas de sinal na primeira coluna do Arranjo de Routh (uma troca de sinal 
de ε>0 para −∞ e outra troca de sinal de −∞ para 4343). 
 
 
39 - Defina erro estacionário. Cite quais são as três entradas de teste comumente utilizadas para avaliar o erro estacionário. 
Indique quais são as transformadas de Laplace das três entradas de teste. 
 
Gabarito sugerido 
O erro em regime permanente ou erro estacionário é a diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste prescrita 
quando o tempo tende a infinito. As entradas de teste mais usadas para avaliar o erro estacionário são: o degrau unitário, a 
rampa e a parábola. As transformadas de Laplace do degrau unitário (r(t)=1), da rampa unitária (r(t)=t) e da 
parábola(r(t)=t2/2) são, respectivamente, R(s) = 1/s, R(s)=1/s2. 
 
40 - Dado o sistema de controle em malha fechada abaixo, determine o erro em regime permanente para uma entrada em 
degrau unitário, uma entrada em rampa unitária e uma entrada em parábola. 
 
 
Gabarito sugerido 
Como o sistema de malha fechada ilustrado no diagrama em blocos acima possui realimentação unitária, (7.6), (7.8) e (7.10) 
são válidas, bastando substituir a expressão de 𝐺(𝑠): 
edegrau(∞) = 11 + lims→0 Ks(s+12) = 0 (P7.1) 
edegrau(∞) = 11 + lims→0 Ks(s+12) = 0 (P7.1) 
erampa(∞) = 1lims→0 Kss(s+12) = 12K (P7.2) 
erampa(∞) = 1lims→0 Kss(s+12) = 12K (P7.2) 
eparábola⎛⎝∞⎞⎠ = 1lims→0 Ks2s(s+12) = ∞ ⎛⎝ (P7.3 
⎞⎠eparábola(∞) = 1lims→0 Ks2s(s+12) = ∞ (P7.3) 
 
41 - Dado o sistema de controle abaixo formado por duas possíveis funções de transferência Gc(s), deseja-se obter erro 
estacionário nulo com 𝐾≠0 para uma entrada em degrau unitário. Verifique as condições de estabilidade do sistema e 
determine qual função de transferência Gc(s) deveser utilizada. 
 
 
Gabarito sugerido 
Suponha primeiramente a utilização da 1ª função de transferência. Neste caso, a função de transferência em malha fechada do 
sistema vale: 
Y(S)R(S) = KS2+S+K (P7.4) 
Y(S)R(S) = KS2+S+K (P7.4) 
Para estudar a estabilidade da 1ª função de transferência, aplica-se o critério de Routh. Para tanto, o arranjo de Routh é: 
 
Como o critério de Routh assegura que, para que um sistema seja estável, todos os elementos da primeira coluna do arranjo 
de Routh devem ser positivos, o sistema será estável se 𝐾>0. 
Com relação ao cálculo do erro estacionário, basta aplicar (7.6), uma vez que o sistema de malha fechada possui 
realimentação unitária: 
edegrau(∞) =11 + limS→0 KS(S + 1) = 0 P7.5) 
edegrau(∞) =11 + limS→0 KS(S + 1) = 0 (P7.5) 
Portanto, a 1ª função de transferência pode ser utilizada, desde que 𝐾>0. Considere agora o caso da 2ª função de 
transferência. 
Neste caso, a função de transferência em malha fechada do sistema vale: 
Y(S)R(S) = K(S + 2)S3 + S2 + KS + 2K (P7.6) 
Y(S)R(S) = K(S + 2)S3 + S2 + KS + 2K (P7.6) 
Para estudar a estabilidade, aplica-se o critério de Routh, montando o seguinte arranjo: 
 
Uma vez que, na primeira coluna do arranjo de Routh, existe um elemento –𝐾 e outro elemento 2𝐾, independentemente do 
valor de 𝐾, pelo menos uma troca de sinal ocorrerá na primeira coluna do arranjo. Portanto, o sistema é instável para 
qualquer valor 𝐾. Logo, a 2ª função de transferência não deve ser utilizada, pois é instável. 
Por questões didáticas apenas, o erro estacionário no caso da 2ª função de transferência é: 
edegrau⎛⎝⎜∞⎞⎠⎟ = 11+ lims→0 (K + K0,5S) 1S(S + 1) = 0 ⎛⎝⎜ P7.7 
⎠⎟edegrau(∞) = 11+ lims→0 (K + K0,5S) 1S(S + 1) = 0 (P7.7) 
Você verá na aula 10 que a 1ª função de transferência GC(S) = kGC(S) = k é a de um Controlador Proporcional, enquanto a 2ª 
função de transferência GC(S) = k + K0,5SGC(S) = k + K0,5S é a de um Controlador Proporcional Integral. 
 
42 - Para o sistema de controle mostrado abaixo, onde 𝐾, 𝐴 e 𝜏 são constantes, determine o tipo do sistema e o erro 
estacionário para uma entrada em degrau unitário. 
 
 
Gabarito sugerido 
O sistema possui realimentação unitária, logo o tipo do sistema é determinado pelo número de polos na origem 
de GC(S) = KAτs + 1GC(S) = KA𝜏s + 1. 
Como não existem polos na origem, o sistema é do Tipo 0. 
Para o cálculo do erro estacionário, basta aplicar (7.6): 
edegrau(∞) = 11+ lims→0 KAτs + 1 = 11 + KA (P7.8) 
edegrau(∞) = 11+ lims→0 KA𝜏s + 1 = 11 + KA (P7.8) 
43 - Para o sistema de controle mostrado abaixo, determine as constantes de erro estático, o tipo do sistema e o erro 
estacionário para uma entrada em degrau unitário, em rampa unitária e em parábola. 
 
Gabarito sugerido 
O sistema não possui realimentação unitária (H(S) = 1S + 5)(H(S) = 1S + 5). Logo, a primeira ação a ser realizada é 
convertê-lo em um sistema com realimentação unitária. A maneira de realizar tal conversão é aplicar (7.18): 
G1(S) = G(S)1 + G(S)H(S) − G(S) = 100S(S + 10)1 + 100S(S + 10)(S + 5) − 100S(S + 10) (P7.9) 
G1(S) = G(S)1 + G(S)H(S) - G(S) = 100S(S + 10)1 + 100S(S + 10)(S + 5) - 100S(S + 10) (P7.9) 
Simplificando a expressão anterior: 
G1(S) = 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100 (s + 5) + 100 (P7.10) 
G1(S) = 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100 (s + 5) + 100 (P7.10) 
Aplicando as definições descritas na Tabela 2, tem-se: 
Kp = lims→0 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = −1,25 (P7.11) 
Kp = lims→0 100(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = -1,25 (P7.11) 
Kv = lims→0 100s(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = 0 (P7.12) 
Kv = lims→0 100s(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = 0 (P7.12) 
Ka = lims→0 100s2(s + 5)s(s + 5)(s + 10) − 100(s + 5) + 100 = 0 (P7.13) 
Ka = lims→0 100s2(s + 5)s(s + 5)(s + 10) - 100(s + 5) + 100 = 0 (P7.13) 
Aplicando (7.11), (7.12) e (7.13): 
edegrau(∞) = −4 (P7.14) 
edegrau(∞) = -4 (P7.14) 
erampa(∞) = ∞ (P7.15) 
erampa(∞) = ∞ (P7.15) 
eparábola(∞) = ∞ (P7.16) 
eparábola(∞) = ∞ (P7.16) 
Para verificar o tipo do sistema, basta verificar o número de polos localizados na origem de G1(s). 
Para encontrar a localização dos polos, é necessário determinar as raízes da equação: 
s(s + 5)(s + 10)−100(s + 5) + 100 = 0 (P7.17) 
Simplificando a equação anterior: 
s3 + 15s2 − 50s − 400 = 0 (P7.18) 
É fácil verificar que a equação anterior não possui polos localizados na origem, consequentemente, o tipo do sistema é 0. 
 
 
44 - Defina o que é o lugar geométrico das raízes para o sistema abaixo e esboce-o sem utilizar as regras, apenas a partir da 
definição. 
 
 
Gabarito comentado 
O lugar geométrico das raízes (LGR) do sistema descrito acima é o lugar geométrico dos polos do sistema de malha fechada, 
quando 𝐾 varia de 0 a ∞. 
A FTMF para o sistema é dada por: 
P8.1 
FTMF = Y(s)R(s) = Ks2+2s+K−3FTMF = Y(s)R(s) = Ks2+2s+K-3 
A solução da equação característica fornece os polos da FTMF: 
P8.2 
s=−1±4−k−−−−√s=-1±4-k 
Atribuindo valores convenientes de 𝐾 em (P8.2): 
P8.3 
K=0⇒s=−3; s=1K=0⇒s=-3; s=1 
P8.4 
K<4⇒s=−1±4−K−−−−−√ ⇒ polos reaisK<4⇒s=-1±4-K ⇒ polos reais 
P8.5 
KK=4⇒s=−1⇒polos reais duplosKK=4⇒s=-1⇒polos reais duplos 
P8.6 
K>4⇒s=−1±jK−4−−−−−√ ⇒ polos complexosK>4⇒s=-1±jK-4 ⇒ polos complexos 
De (P8.3) a (P8.6), é possível afirmar que o LGR estará sobre o eixo real quando 0≤K≤4 e passará a ter polos complexos com 
a parte real igual −1 quando 𝐾>4, conforme ilustrado no LGR a seguir. 
 
 
 
45 - Para um sistema com realimentação unitária e função de transferência dada por: 
G(s)=K(s−1)(s−2)s(s+1)G(s)=K(s-1)(s-2)s(s+1) 
 
Determine: 
(a) os pontos de saída e de entrada do eixo real 
(b) os pontos de cruzamento com o eixo imaginário 
(c) a faixa de ganho para manter o sistema estável 
 
Gabarito comentado 
(a) Os pontos de saída e entrada são soluções de (8.7). Logo: 
P8.7 
1σ+1σ+1=1σ−1+1σ−21σ+1σ+1=1σ-1+1σ-2 
 
A solução de (P8.7) é: 
P8.8 
σ=1,37 e σ=−0,37σ=1,37 e σ=-0,37 
 
(b) A FTMF é: 
P8.9 
FTMF=K(s−1)(s−2)(K+1)s2+(1−3K)s+2KFTMF=K(s-1)(s-2)(K+1)s2+(1-3K)s+2K 
 
Aplicando o critério de Routh: 
S2 K+1 2K 0 
S1 1-3K 0 0 
S0 2K 0 0 
P8.10 
K=-1; K=1/3; K=0 
Como o LGR pressupõe 𝐾>0, o cruzamento ocorrerá em K=1/3. Voltando na equação característica com o valor de K=1/3: 
P8.11 
43s2+23=043s2+23=0 
 
Solucionando a equação: 
P8.12 
s=±0,71js=±0,71j 
 
(c) Do arranjo de Routh da letra (b), para o sistema ser estável: 
P8.13 
0<K<1/30<K<1/3 
 
46 - Esboce o LGR do sistema descrito no exercício anterior. 
Gabarito comentado 
Com as informações do exercício anterior, é possível fazer o seguinte esboço do LGR: 
 
Os polos partem de s=−1 e s=−0,5 quando 𝐾=0. O ponto de saída dos polos do eixo real é σ=−0,37. É possível calcular o 
valor de 𝐾 quando os polos se encontram em 𝜎=−0,37, basta substituir este valor na equação característica: 
P8.14 
(K+1)(−0,37)2+(1−3K)(−0,37)+2K=0(K+1)(-0,37)2+(1-3K)(-0,37)+2K=0 
 
O que resulta em 𝐾 ≅ 0,07. 
O valor de 𝐾quando os polos cruzam o eixo imaginário é 𝐾=1/3. Neste caso, é possível determinar o valor dos polos sobre o 
eixo imaginário. Basta recorrer novamente à equação característica, mas agora, substituindo o valor de 𝐾: 
P8.15 
(13+1)s2+(1−3x13)s+2x13=0(13+1)s2+(1-3x13)s+2x13=0 
 
O que resulta em s ≅ ±0,71𝑗. 
O valor dos polos quando entram novamente no eixo real é σ = 1,37. Novamente, basta repetir o procedimento descrito 
anteriormente para σ = −0,37 com σ = 1,37: 
P8.16 
3K)(1,37)+2K=0 
 
O que resulta em 𝐾 ≅ 14,13. 
Note que este LGR está ilustrado na Figura 2, na última linha, na última coluna. É o LGR padrão quando existem dois polos 
sobre o eixo real e dois zeros sobre o eixo real. 
 
47 - Esboce o diagrama de Bode (ganho e fase) de um sistema com a função de transferência a seguir: 
G(s) = 100(s+1)(s+100)G(s) = 100(s+1)(s+100) 
 
Resposta comentado 
Para a função de transferência fornecida, as frequências de corte são 1 e 100. O módulo da função de transferência com 
𝑠=𝑗𝜔, fornece: 
∣∣∣G(jω)∣∣∣=1000ω2+1√ ω2+1002√ 
|G(jω)|=1000ω2+1 ω2+1002 
Montando a tabela com os valores de GdB para cada intervalo de frequência, tem-se: 
ω 0<ω<1 1<ω<10 ω>100 
ω2+1−−−−−√ω2+1 1 ω ω 
ω2+1002−−−−−−−−√ω2+1002 100 100 ω 
|G(jω)||G(jω)| 10 10ω10ω 1000ω21000ω2 
GdBGdB 20 20-20logω 60-40logω 
Tomando os valores obtidos na tabela acima, é possível traçar o gráfico de GdB, conforme ilustrado na figura abaixo relativa 
ao ganho. As assíntotas da fase são diretamente obtidas das assíntotas do ganho, multiplicando a inclinação das assíntotas do 
ganho por π2π2. 
 
 
48 - Esboce o diagrama de Bode (ganho e fase) de um sistema com a função de transferência a seguir: 
G(s)=1000(s+1)s(s+10)G(s)=1000(s+1)s(s+10) 
 
Resposta: 
 
Para a função de transferência fornecida, as frequências de corte são 1 e 10. O módulo da função de transferência com S=jω, 
fornece: 
∣∣∣G(jω)∣∣∣=1000ω2+1√ωω2+102√|G(jω)|=1000ω2+1ωω2+102 
Montando a tabela com os valores de GdB para cada intervalo de frequência, tem-se: 
 
 
omando os valores obtidos na tabela acima, é possível traçar o gráfico de GdB, conforme ilustrado na figura abaixo relativa ao 
ganho. As assíntotas da fase são diretamente obtidas das assíntotas do ganho, multiplicando a inclinação das assíntotas do 
ganho por π2π2. 
 
 
 
 
 
49 - Na figura a seguir, existem dois diagramas de Nyquist para duas funções de transferência de malha aberta G(s) de dois 
sistemas de malha fechada. As duas funções de transferência de malha aberta não possuem polos com parte real positiva. 
Neste caso, observando os diagramas de Nyquist, indique se os sistemas são estáveis ou instáveis. 
ω 0<ω<1 1<ω<10 ω>100 
ω2+1−−−−−√ω2+1 1 ω ω 
ω ω ω ω 
ω2+102−−−−−−−√ω2+102 10 10 ω 
|G(jω)||G(jω)| 100ω100ω 100 1000ω1000ω 
GdBGdB 40-20logω 40 60-20logω 
 
Gabarito comentado 
Segundo o critério de Nyquist, o sistema em preto é estável, pois não envolve o ponto crítico e não possui polo com parte real 
positiva. Já o sistema em azul é instável, pois envolve o ponto crítico uma vez e não possui polo com parte real positiva. 
 
50 - Em um sistema de função de transferência em malha aberta G(s)G(s) definido por: 
 
G(s)=K(s+1)(s+8)2G(s)=K(s+1)(s+8)2 
Determine as condições de estabilidade deste sistema quando inserido em um sistema em malha fechada com realimentação 
unitária. Para cancelar o erro estacionário, um integrador é introduzido em série com 𝐺(𝑠). Estude as novas condições de 
estabilidade. 
Gabarito comentado 
A função de transferência em malha fechada é: 
 Fi(s)= K 
 (s+1)(s+8)2+K 
 
 Fi(s)= K 
 (s+1)(s+8)2+K 
 
 Fi(s)= K 
 s3+17s2+80s+64+K 
 
Fi(s)= K 
 s3+17s2+80s+64+K 
 
Montando o arranjo de Routh: 
s3 1 80 0 
s2 17 64+K 0 
s1 1296−K171296-K17 0 0 
s0 64+K 0 0 
Aplicando o critério de Routh, é possível afirmar que o sistema é estável se: 
 K<1296K<1296 
 
Após a introdução do integrador no sistema de controle, o erro estacionário é anulado e a função de transferência em malha 
fechada passa a ser: 
 Fc(s)= K 
 s4+17s3+80s2+64s+K 
 
 Fc(s)= K 
 s4+17s3+80s2+64s+K 
 
Montando novamente o arranjo de Routh: 
s4 1 80 K 0 
s3 17 64 0 0 
s2 129617129617 K 0 0 
s1 64-0,223K 0 0 0 
s0 K 0 0 0 
Aplicando o critério de Routh, é possível afirmar que o sistema é estável se: 
 K<287 
 
Portanto, a inserção do integrador na malha de controle torna o erro estacionário nulo, mas reduz o intervalo do 
ganho KK que torna o sistema estável. Isso mostra que a compensação integrativa degrada significativamente a estabilidade 
do sistema de controle associado. 
 
51 - Considere um sistema de função de transferência 𝐺(𝑠) em um sistema de malha fechada com realimentação unitária, 
com: 
G(s)=100(1+s10)3G(s)=100(1+s10)3 
Proponha um compensador para que a margem de fase (Mf)(Mf) do sistema em malha fechada seja igual a 45° e que o erro 
estacionário seja de 5% para uma entrada em degrau. 
 
Gabarito comentado 
Vamos verificar se um compensador de atraso fase pode ser utilizado. Primeiro, vamos tentar encontrar o ganho KK que 
satisfaz a margem de fase requerida. Como: 
 G(jω)= K 
 (1+jω10)3G(jω)=K1+jω103 
É possível provar que [2]: 
Mf=π+φ(ωc0)Mf=π+φ(ωc0) 
, onde MfMf é a margem de fase e φ(ωc0)φ(ωc0) é a defasagem na frequência de corte de 0 dB. 
Neste caso: 
Mf=π−3tan−1ωc010=π4Mf=π-3tan-1ωc010=π4 
Resolvendo a equação: 
ωc0=10rad/sωc0=10rad/s 
Logo: 
∣∣∣∣∣G⎛⎝⎜jωc0⎞⎠⎟∣∣∣∣∣=k(1+ωc02100√)3=1|G(jωc0)|=k1+ωc021003=1 
Resolvendo a equação: 
K=2,8K=2,8 
Verificando o erro estacionário: 
edegrau(∞)=lims→0[1−KK+(1+s10)3]=1K+1=0,26edegrau(∞)=lims→01-KK+1+s103=1K+1=0,26 
Logo, o erro estacionário não atende à especificação de 5%. É necessário, então, alterar o valor do ganho 
estático KK para KcKc: 
edegrau(∞)=1Kc+1=0,05edegrau(∞)=1Kc+1=0,05 
Resolvendo a equação: 
Kc=19Kc=19 
A função de transferência de malha aberta após a inserção do compensador é: 
Ac(s)=α(1+Ts)1+αTs2,8(1+s10)3Ac(s)=α(1+Ts)1+αTs2,81+s103 
O ganho estático é: 
Kc=2,8α=19Kc=2,8α=19 
Logo: 
α=6,8α=6,8 
Para definir TT, basta escolher um valor TT tal que 1T1T seja muito menor que a frequência de corte de 0 dB (ωc0)(ωc0). 
Portanto, é possível escolher T=10sT=10s. 
Resultando em: 
C(s)=6,8(1+10s)1+68sC(s)=6,8(1+10s)1+68s 
 
52 - Considere um sistema de função de transferência 𝐺(𝑠) em um sistema de malha fechada com realimentação unitária, 
com: 
G(s)=100(s+1)2G(s)=100(s+1)2 
O objetivo é corrigir este sistema para que sua margem de fase (Mf)(Mf) seja igual a 45°. 
Gabarito comentado 
Vamos verificar se um compensador de avanço fase pode ser utilizado. Primeiro, vamos tentar encontrar a margem de fase 
do sistema: 
∣∣G(jωc0)∣∣=1001+ω2c0=1|G(jωc0)|=1001+ωc02=1 
Resolvendo a equação: 
ωc0=9,95rad/sωc0=9,95rad/s 
Neste caso: 
Mf=π−2tan−1ωc0=0,2rad=11°Mf=π-2tan-1ωc0=0,2rad=11° 
Logo, devemos aumentar a margem de fase de 34°. Usando (10.23): 
∠C(jωmax)=sin−1α−1α+1=34°∠C(jωmax)=sin-1α-1α+1=34° 
Resolvendo a equação: 
α=3,54α=3,54 
Como: 
ωmax=1Tα√=9,95ωmax=1Tα=9,95 
Resolvendo a equação: 
T=0,053sT=0,053s 
Retornando para função de transferência: 
C(s)=1+0,19s1+0,053s