GAUSS SEIDEL E GAUSS JACOBI

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02/04/2020
1
Método de Gauss Método de Gauss 
Jacobi e Gauss Jacobi e Gauss 
SeidelSeidel
CENTRO UNIVERSITÁRIO SANTO AGOSTINHO - UNIFSA
NÚCLEO DE APOIO PEDAGÓGICO – NUAPE
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
PROFESSORA: Ma. KARMEM WERUSCA FORTES DE ARAÚJO
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
MÉTODOS ITERATIVOS
� A idéia central dos método iterativos é
generalizar o método do ponto fixo utilizado
na busca de raízes de uma equação.
� TESTE DA PARADA:
k
i
ni
k
i
k
i
nik
r
xmáx
xxmáx
d
≤≤
+
≤≤
−
=
1
1
1
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Método de Gauss Jacobi











−−−=
−−−=
−−−=
⇒







=+++
=+++
=+++
−− )(
1
)(
1
)(
1
11,11
21212
22
2
12121
11
1
2211
22222121
11212111
nnnnn
nn
n
nn
nn
nnnnnn
nn
nn
xaxab
a
x
xaxab
a
x
xaxab
a
x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
M
L
L
L
M
L
L
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL











−−−=
−−−=
−−−=
−−
+
+
+
)(
1
)(
1
)(
1
11,11
1
21212
22
1
2
12121
11
1
1
k
nnn
k
nn
nn
k
n
k
nn
kk
k
nn
kk
xaxab
a
x
xaxab
a
x
xaxab
a
x
L
M
L
L
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Exemplo: Resolva o sistema linear: 









−−=
−−−=
−−=
⇒





=++
−=++
=++
+
+
+
)326(
10
1
)8(
5
1
)27(
10
1
61032
85
7210
1
1
1
kkk
kkk
kkk
yxz
zxy
zyx
zyx
zyx
zyx
05,0=ε
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
O vetor inicial é tomado arbitrariamente.
[ ]0,0,00 =x









=−−=
−=−−−=
=−−=
=
+
+
+
6,0)03026(
10
1
6,1)008(
5
1
7,0)0027(
10
1
0/
10
10
10
xxz
y
xx
kp
02/04/2020
2
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
K x y z Ex Ey Ez
0 0 0 0
1 0,7 -1,6 0,6 ---- ---- ----
2
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL









=−−−=
−=−−−=
=−−−=
=
+
+
+
94,0))6,1(37,026(
10
1
86,1)6,07,08(
5
1
96,0)6,0)6,1(27(
10
1
1/
11
11
11
xxz
y
xx
kp
[ ]6,0;6,1;7,01 −=x
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
K x y z Ex Ey Ez
0 0 0 0
1 0,7 -1,6 0,6 ---- ---- ----
2 0,96 -1,86 0,94 0,26 0,26 0,34
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Para saber se converge vamos utilizar o
critério de parada.
05,01828,0
86,1
34,0
1
1
1 >≅=
−
=
≤≤
+
≤≤
k
i
ni
k
i
k
i
nik
r
xmáx
xxmáx
d
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
[ ]94,0;86,1;96,02 −=x









=−−−=
−=−−−=
=−−−=
=
+
+
+
966,0))86,1(396,026(
10
1
98,1)94,096,08(
5
1
978,0)94,0)86,1(27(
10
1
2/
12
12
12
xxz
y
xx
kp
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
K x y z Ex Ey Ez
0 0 0 0
1 0,7 -1,6 0,6 ---- ---- ----
2 0,96 -1,86 0,94 0,26 0,26 0,34
3 0,978 -1,98 0,966 0,018 -0,12 0,026
02/04/2020
3
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Para saber se converge vamos utilizar o
critério de parada.
05,0060,0
98,1
12,0
1
1
1 >≅=
−
=
≤≤
+
≤≤
k
i
ni
k
i
k
i
nik
r
xmáx
xxmáx
d
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
[ ]966,0;98,1;978,03 −=x









≅−−−=
−≅−−−=
≅−−−=
=
+
+
+
998,0))98,1(3978,026(
10
1
989,1)966,0978,08(
5
1
999,0)966,0)98,1(27(
10
1
3/
13
13
13
xxz
y
xx
kp
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
K x y z Ex Ey Ez
0 0 0 0
1 0,7 -1,6 0,6 ---- ---- ----
2 0,96 -1,86 0,94 0,26 0,26 0,34
3 0,978 -1,98 0,966 0,018 0,12 0,026
4 0,999 -1,989 0,998 0,021 0,009 0,032
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Para saber se converge vamos utilizar o
critério de parada.
05,0016,0
989,1
032,0
1
1
1 <≅=
−
=
≤≤
+
≤≤
k
i
ni
k
i
k
i
nik
r
xmáx
xxmáx
d
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Então , a solução do sistema linear acima, com
erro menor que 0,05, obtida pelo método de
Gauss Jacobi, é:










−=
998,0
989,1
999,0
x
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Método de Gauss Seidel











−−−=
−−−=
−−−=
⇒







=+++
=+++
=+++
−− )(
1
)(
1
)(
1
11,11
21212
22
2
12121
11
1
2211
22222121
11212111
nnnnn
nn
n
nn
nn
nnnnnn
nn
nn
xaxab
a
x
xaxab
a
x
xaxab
a
x
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
L
M
L
L
L
M
L
L
02/04/2020
4
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL











−−−=
−−−=
−−−=
+
−−
++
++
+
)(
1
)(
1
)(
1
1
11,
1
11
1
2
1
1212
22
1
2
12121
11
1
1
k
nnn
k
nn
nn
k
n
k
nn
kk
k
nn
kk
xaxab
a
x
xaxab
a
x
xaxab
a
x
L
M
L
L
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Exemplo: Resolva o sistema linear: 









−−=
−−−=
−−=
⇒





=++
−=++
=++
+++
++
+
)326(
10
1
)8(
5
1
)27(
10
1
61032
85
7210
111
11
1
kkk
kkk
kkk
yxz
zxy
zyx
zyx
zyx
zyx
05,0=ε
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
O vetor inicial é tomado arbitrariamente.
[ ]0,0,00 =x









=−−−=
−=−−−=
=−−=
=
+
+
+
982,0)74,1(37,026(
10
1
74,1)07,08(
5
1
7,0)0027(
10
1
0/
10
10
10
xxz
y
xx
kp
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
K x y z Ex Ey Ez
0 0 0 0
1 0,7 -1,74 0,982 ---- ---- ----
2
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL









≅−−−=
−≅−−−=
≅−−−=
=
+
+
+
1))986,1(395,026(
10
1
986,1)982,095,08(
5
1
95,0)982,0)74,1(27(
10
1
1/
11
11
11
xxz
y
xx
kp
[ ]982,0;74,1;7,01 −=x
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
K x y z Ex Ey Ez
0 0 0 0
1 0,7 -1,74 0,982 ---- ---- ----
2 0,95 -1,986 1 0,25 0,246 0,018
02/04/2020
5
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Para saber se converge vamos utilizar o
critério de parada.
05,0126,0
986,1
25,0
1
1
1 >≅=
−
=
≤≤
+
≤≤
k
i
ni
k
i
k
i
nik
r
xmáx
xxmáx
d
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL









≅−−−=
−≅−−−=
≅−−−=
=
+
+
+
1))2(3997,026(
10
1
2)1997,08(
5
1
997,0)1)986,1(27(
10
1
2/
12
12
12
xxz
y
xx
kp
[ ]1;986,1;95,02 −=x
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
K x y z Ex Ey Ez
0 0 0 0
1 0,7 -1,74 0,982 ---- ---- ----
2 0,95 -1,986 1 0,25 0,246 0,018
3 0,997 -2 1 0,047 0,014 0
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Para saber se converge vamos utilizar o
critério de parada.
05,00235,0
2
047,0
1
1
1 <≅=
−
=
≤≤
+
≤≤
k
i
ni
k
i
k
i
nik
r
xmáx
xxmáx
d
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
Então , a solução do sistema linear acima, com
erro menor que 0,05, obtida pelo método de
Gauss Seidel, é:














−=
1
2
997,0
x
GAUSS JACOBI E GAUSS SEIDELGAUSS JACOBI E GAUSS SEIDEL
F I M