Avaliação III objetiva(algebra linear e vetorial)

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1.
	Numa Transformação Linear, podemos ter duas leituras: a forma equacional e a forma matricial. Neste segundo caso, temos uma forma mais prática de identificar a característica dos vetores envolvidos e da Transformação Linear como um todo. Observe a seguir a representação matricial de uma Transformação Linear e assinale a alternativa CORRETA:
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção I está correta.
	c)
	Somente a opção II está correta.
	d)
	Somente a opção III está correta.
	2.
	As matrizes podem ser classificadas em diversos tipos, dependendo da sua dimensão e também dos elementos que a formam. A identificação dos tipos de matrizes facilitará os cálculos matemáticos, e os conhecimentos de suas propriedades são bastante úteis nas aplicações. Então, se A é uma matriz triangular superior, a matriz transposta de A é:
	a)
	Uma matriz identidade.
	b)
	Impossível calcular.
	c)
	Uma matriz triangular inferior.
	d)
	Uma matriz triangular superior.
	3.
	Uma vez que um vetor é representado por uma matriz, isso também significa que ele pode ser multiplicado por uma matriz. Essa multiplicação permite-nos transformar um vetor que está num sistema de coordenadas qualquer em um vetor em outro sistema. Esse processo pode ser chamado de Transformação Linear. Visto isto, leia atentamente a questão e assinale a alternativa CORRETA:
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção III está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção II está correta.
	4.
	Os autovalores e autovetores associados a uma matriz de transformação linear possuem uma vasta aplicação na Álgebra Linear. Eles, por exemplo, permitem a realização da rotação de eixos que, desta forma, podem alternar o posicionamento base de estruturas de posição fixa. Dos conceitos puramente matemáticos relacionados com autovalores e autovetores, analise a sentenças a seguir:
I- Os autovetores representam a direção que é conservada em uma Transformação.
II- O polinômio característico é uma transformação que possui grau igual à ordem da matriz da transformação.
III- Os autovalores são a média das coordenadas dos autovetores.
Assinale a alternativa CORRETA:
	a)
	Somente a sentença I está correta.
	b)
	As sentenças I e II estão corretas.
	c)
	As sentenças I e III estão corretas.
	d)
	Somente a sentença II está correta.
	5.
	Na Engenharia Civil, infelizmente, ainda é corrente o desenvolvimento de projetos de pontes rodoviárias sem se proceder a uma análise, mesmo que preliminar, acerca do comportamento dinâmico da estrutura. Efeitos dinâmicos associados às irregularidades da pista, à oscilação dos veículos ao abordar a estrutura, à variação de velocidade dos veículos, entre outros, geralmente não são considerados na análise. Para tal análise dinâmica, é imprescindível a aplicação dos conceitos de autovalores e autovetores estudados nos cursos básicos de engenharia (LIPSCHUTZ, 1977). Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 3X3, sabendo que tal matriz permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação Linear:
FONTE: LIPSCHUTZ, S., Álgebra Linear, McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1977.
	
	a)
	A matriz possui apenas um autovalor igual a 1.
	b)
	A matriz possui autovalores que são iguais a 1, 2 e 3.
	c)
	Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
	d)
	A matriz possui apenas um autovalor igual a ?1.
	6.
	No estudo dos Espaços Vetoriais, podemos realizar a análise de sua dimensão. Podemos relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações deste conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
(    ) A dimensão do espaço formado pelos polinômio de grau 3 é igual a 3.
(    ) A dimensão do R² é igual a 2.
(    ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	a)
	F - V - F - V.
	b)
	F - F - V - V.
	c)
	V - F - V - V.
	d)
	V - F - F - F.
Anexos:
	7.
	O esquema a seguir indica as diversas possibilidades de soluções de um sistema linear:
	
	a)
	p diferente de -1.
	b)
	p igual a 2.
	c)
	p igual a 1.
	d)
	p diferente de 2.
	8.
	Quando falamos sobre a posição relativa de dois vetores e analisamos o ângulo formado entre eles, há duas operações vetoriais que possibilitam determinar exatamente o ângulo formado ou simplesmente fazer uma analogia com relação a estes ângulos e determinar uma denominação apropriada àquela posição. Pensando nisso, sobre a classificação relativa ao ângulo formado pelos vetores u = (1, -4, 1) e v = (-3, -1, -1), analise as seguintes sentenças:
I- Os vetores são perpendiculares.
II- Os vetores formam um ângulo agudo.
III- Os vetores formam um ângulo obtuso.
IV- Os vetores são complementares.
Assinale a alternativa CORRETA:
	a)
	Somente a sentença II está correta.
	b)
	Somente a sentença III está correta.
	c)
	Somente a sentença IV está correta.
	d)
	Somente a sentença I está correta.
	9.
	Sabe-se que a transposta de uma matriz A deve possuir todos os elementos que a matriz A (original) possui, porém, dispostos em uma condição que "troca" os elementos das linhas da matriz A para colunas da matriz transposta, indicada por At. Esta matriz especial, possui algumas propriedades importantes. Assim sendo, avalie as asserções a seguir e a relação entre elas:
I) (-A)t = - (At) é verdadeiro, pois observa-se que a matriz apenas foi multiplicada por (-1). 
II) (A+B)t = Bt + At é verdadeiro, pois os elementos das matrizes A e B são iguais. 
Assinale a alternativa CORRETA:
	a)
	A asserção I é verdadeira, porém, sua justificativa é falsa.
	b)
	A asserção I é falsa e a II é verdadeira.
	c)
	As asserções I e II são falsas.
	d)
	As asserções são verdadeiras, porém a justificativa dada em II é falsa.
	10.
	Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. Porém, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores, quais das opções a seguir apresentam somente os itens que são ortogonais:
I - u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2)
II - u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1)
III - u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3)
IV - u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4)
V - u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3)
Assinale a alternativa CORRETA:
	a)
	As opções I e IV estão corretas.
	b)
	Somente a opção II está correta.
	c)
	As opções III e V estão corretas.
	d)
	As opções I, III e IV estão corretas.
Anexos:
	11.
	(ENADE, 2005) Uma transformação linear T: R² --> R² faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal, conforme mostrado na figura a seguir:
	
	a)
	Tem autovetor (0, -1) com autovalor associado igual a 2.
	b)
	Tem autovalor de multiplicidade 2.
	c)
	É dada por T(x, y) = (-x, y).
	d)
	Tem autovetor (2, 0) com autovalor associado igual a 1.
	12.
	(ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$19,00.
Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?
Para isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias.
Esse sistema de equações é:
	a)
	Possível indeterminado,de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a cinco vezes o preço do lápis subtraído de R$9,00.
	b)
	Impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução.
	c)
	Possível determinado, podendo admitir como solução o valor do preço da caneta, do lápis e da borracha.
	d)
	Possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.