Sistemas de tempo discreto descrito por equacoes a diferenca

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SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO 
DESCRITO POR EQUAÇÕES A DIFERENÇA
SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A 
DIFERENÇA COM COEFICIENTES CONSTANTES
� Sistemas descritos por equações a diferença com coeficiente
constante linear são uma subclasse de sistemas recursivos e não-
recursivos.
)(
1
)1()(
 . constante eCoeficient
)()1()(
nxny
n
ny
a
nxnayny
+
+−
+
=
+−=
)()1()(
 
)2()1()0()1()2()1()2(
)1()0()1()1()0()1(
)0()1()0(
1 inicial condição a osconsideram e 0 para Aplicamos
 tempo).do e(dependent 
1
 variáveleCoeficient
)(
1
)1(
1
)(
23
2
nxnayny
xaxxayaxayy
xaxyaxayy
xayy
)y(-nx(n)
n
n
nx
n
ny
n
ny
+−=
+++−=+=
++−=+=
+−=
≥
+
+
+−
+
=
MM
0 ,)(
0sistema do inicial condição
)1(1)(
)()1()1(1)0()1(1)(
)()1()(
)2()1()0(2)1(3)2()1()2(
)1()0()1(2)1()0()1(
)0()1()0(
nknx
n
k
kaynany
nxnaxxnaxnaynany
nxnayny
xaxxayaxayy
xaxyaxayy
xayy
≥−
=
+−+=
+−++−++−+=
+−=
+++−=+=
++−=+=
+−=
∑
444 3444 21
4434421
K
SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A 
DIFERENÇA COM COEFICIENTES CONSTANTES
 . impulso ao resposta com IIR LIT sistema um é )()1()(
 ordem primeira de diferença a equação pela descrito relaxado recursivo sistema do resultado O
 0122 Exemplo
). passada e presente entrada da dependen tempono saída ( causal assumidoser pode entrada de sinal O
 .0 pois causal, é sistema Este . impulso ao
n
0k
resposta a com convoluído entrada de sinal o envolvendo convolução uma É 0(n) zsy
). forçada resposta ou também ( (n) zsy zero, estado ao resposta
de chamada é saída sua e zero estado em está sistema o que dizemos e 0)1( relaxado recursivo Systema
 entrada de sinal um a sistema do resposta
0sistema do inicial condição
u(n)nah(n)nxnayny
) x()x()x()(nzs y
h(n) nu(n)nah(n)
k), nx(nka
y
x(n)
k
=+−=
++==
<=
=
⇒≥−=
=−
=
∑
444 3444 21
SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A 
DIFERENÇA COM COEFICIENTES CONSTANTES
:diferença a equação da geral Forma
. como expressaser pode sistema do totalrespostaA 
nula. entrada com
sistema do memória pela gerada é que saída uma Produz 0 ),1(
. natural respostaou 
 zero-entrada a resposta chamada é sistema deste saídaA . todopara 0 entrada a e
 ,0)1( relaxado,-não é )()1()(por descrito sistema o que agora Supondo
1+
+=
⇒≥−=
=
≠−+−=
zszi
n
zi
zi
(n)y(n)yy(n)
nya(n)y
(n)y
nx(n)
ynxnayny
 ementeEquivalent
sistema. do ordem aou 
diferença a equação da ordem a é N inteiro o onde ,
:diferença a equação da geral Forma
00
01
∑∑
∑∑
==
==
−=−
−+−−=
M
k
k
N
k
k
M
k
k
N
k
k
k)x(nbk)y(na
k)x(nbk)y(nay(n)
SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A 
DIFERENÇA COM COEFICIENTES CONSTANTES
linear. é 1 diferença a equação pela definido recursivo sistema o se Determine - 2.4.2 Exemplo
)linear zero entrada ( zero entrada a resposta a se-aplica ãosuperposiç da princípio O -3
)linear zero estado ( zero estado ao resposta a se-aplica ãosuperposiç da princípio O -2
zero. estado e zero entrada de respostas das soma a igual é totalrespostaA -1
:exigências trêsas satisfaz selinear é sistema Um
ELINEARIDADDA EPROPRIEDAD
x(n))ay(n-y(n)
(n)y(n)yy(n) zszi
+=
+=
linear zero-estado é sistema o Logo
)()(][)(
condição Segunda
)()()()1()(
)()1()1()0()1()(
)()1()(
condição Primeira
linear. é 1 diferença a equação pela definido recursivo sistema o se Determine - 2.4.2 Exemplo
)2(
2
)1(
12
0
21
0
12211
0
2211
 entrada de sinal um a sistema do resposta
0sistema do inicial condição
1
11
nycnyck)(nxack)(nxack)(nxck)(nxcany
(n)xc(n)xcx(n)
nynyknxayany
nxnaxxaxayany
nxnayny
x(n))ay(n-y(n)
zszs
n
k
k
n
k
k
n
k
k
zs
zszi
x(n)
n
k
kn
nnn
+=−+−=−+−=
+=
+=−+−=
+−++++−=
+−=
+=
∑∑∑
∑
===
=
+
−+
44 344 21
43421
K
SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A 
DIFERENÇA COM COEFICIENTES CONSTANTES
 sistemaqualquer então linear, é ordem primeira de sistema o Se
linear. é ele logo e,linearidad de condições trêsas satisfaz sistema O
linear. zero entrada é sistema o Logo
)()()(
)1()1()(
)]1()1([)(
111 
 condição Terceira
)2(
2
)1(
1
2
1
21
1
1
2211
1
2211
zizizi
nn
zi
n
zi
nycnycny
yacyacny
ycycany
)(yc)(yc)y(
++
+
+=
−+−=
−+−=
−+−=−
 tempo.no invariante elinear é 
constante ecoeficient com diferença alinear equação umpor descrito recursivo sistema o Portanto,
.constantes são e escoeficient os pois tempo,no
 invariante é por descrito sistema O
linear. será tambémN ordem de
 sistemaqualquer então linear, é ordem primeira de sistema o Se
01
kk
M
k
k
N
k
k
ba
k)x(nbk)y(nay(n) ∑∑
==
−+−−=
SISTEMAS LIT CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A 
DIFERENÇA COM COEFICIENTES CONSTANTES
nknxayany
nM|x(n)|x(n)
nxnayny
n
k
kn
x
0 |,)(||)1(||)(|
.0 todopara amplitude em limitado é que Assumimos
estável. é )()1()( diferença a equação
 pela descrito recursivo e tempono invariantelinear sistema o se Determine -2.4.3 Exemplo
limitada. é sistema do
 totalresposta a limitada, inicial condição todapara e limitada entrada todapara se somente e se
 estável é constante ecoeficient comlinear diferença a equação umapor descrito sistema Um
0
1 ≥−+−≤
≥∞<≤
+−=
=
+
∑
 |a| 
|a|)/( MMn
|a||a| Mn
aMn
nM
a
a
Myany
naMyany
xy
n
y
y
y
n
x
n
n
k
k
x
n
k
.1 se somente estável é sistema o Assim
 .1 caso este Para . quando
0 porque 1 se somente finito se-mantém , quanto ,Entretanto
. de valor do tementeindependen limitada é saida a e finito é finito, é Se
0 ,
||1
||1
|)1(||||)(|
0 ,|||)1(||||)(|
1
1
0
1
0
<
−=∞→
→<∞→
≥=
−
−
+−≤
≥+−≤
+
+
=
+
=
∑
∑
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO A DIFERENÇA 
LINEAR COM COEFICIENTE CONSTANTE
� Basicamente, o objetivo é determinar a saída y(n), n ≥ 0, do sistema
dado uma específica entrada x(n), n ≥ 0, e um conjunto de condições
iniciais. A solução pelo método direto assume que a solução total é a 
soma de duas partes: 
321321
particular soluçãoarcomplementou homogênea solução
)()()( nynyny ph +=
� Solução homogênea de uma equação a diferença
sistema. do ticocaracterís polinômio de chamado é parentesis em polinômio O
0)...(Ou 
0 polinomial equação a obtemos equação, na solução esta doSubstituin
.)(y lexponencia uma de forma na esta solução a que Assumimos
0)(
1
2
2
1
1
0
h
0
=+++++
=
=
=−
−
−−−
=
−
=
∑
∑
NN
NNNNn
N
k
kn
k
n
N
k
k
aaaa
a
n
knya
λλλλλ
λ
λ
� Solução homogênea de uma equação a diferença
.conjugados complexos pares em ocorrem complexos valoresde Raizes
reais. geralmente são ,...,, escoeficient os prática Na
complexo.ou real ter valorpodem raízes As
.,...,,por denotamos que raízes, N temele geral Em
sistema. do ticocaracterís polinômio de chamado é parentesis em polinômio O
0)...(
21
21
1
2
2
1
1 =+++++ −
−−−
N
N
NN
NNNNn
aaa
aaaa
λλλ
λλλλλ
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO A DIFERENÇA 
LINEAR COM COEFICIENTE CONSTANTE
 sistema. do zero entrada a resposta a
obter para usadaser pode homogênea diferença a equação a 0, x(n)entrada a que de Desde
sistema. o para dasespecifica iniciais condições daspartir a osdeterminad são escoeficient Estes
.ponderação de escoeficient os são ,...,, onde ,...)(y
é homogênea diferença a equação para geral mais solução a distintas são raizes as que Assumindo
ordem. múltipla de raizes temoscaso neste e identicas,ser podem raizes N das Algumas
.conjugados complexos pares em ocorrem complexos valoresde Raizes
212211h
=
+++= N
n
NN
nn CCCCCCn λλλ
� Se a equação característica contém múltiplas raízes, como por
exemplo é uma raiz de multiplicidade m, então a equação a
diferença homogênea torna-se:
n
NN
n
mm
nm
m
nnn CCnCnCnCCn λλλλλλ +++++++= ++
− ......)(y 111
1
1
2
31211h
1λ
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO A DIFERENÇA 
LINEAR COM COEFICIENTE CONSTANTE
� Solução particular da equação a diferença: satisfaz a equação a 
diferença para um sinal de entrada específico x(n), n ≥ 0.
321321
particular soluçãoarcomplementou homogênea solução
)()()( nynynyph +=
1 0
00
=−=− ∑∑
==
 ak)x(nbk)(nya
M
k
k
N
k
pk
� Assume-se que a forma
para a solução particular
tenha a forma básica do
sinal de entrada x(n).
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO A DIFERENÇA 
LINEAR COM COEFICIENTE CONSTANTE
� Solução total da equação a diferença: a propriedade da linearidade da
equação linear com coeficiente constante permite-nos somar a
solução homogênea e a particular para obter a solução total.
321321
particular solução homogênea solução
)()()( nynyny ph +=
� A constante C depende da condição inicial y(-1) e da função
excitação. Consequentemente, o valor de C influencia a resposta a
entrada zero e a responta ao estado zero.entrada zero e a responta ao estado zero.
sistema. do transiente
resposta chamada é infinito do se-aproximan quando desaparece que componenteA 
) existirá ela existir, entrada a enquanto (
 sistema do ioestacionár estado de Resposta 
1
1
)(lim)(
1
→
+
==
∞→ a
nyny zs
n
p
RESPOSTA AO IMPULSO DE SISTEMA LIT 
RECURSIVO
� No caso de um sistema recursivo, a resposta ao impulso, h(n), é
simplesmente igual a resposta de estado zero do sistema quando a
entrada e o sistema está inicialmente relaxado.)()( nnx δ=
u(n)ah(n)naknanyδ(n)x(n)
knxany
nn
n
k
zs
n
k
k
zs
=≥=−==
⇒−=
∑
∑
=
 Então .0 ,)()( Quando
ordem primeira de recursivo Sistema )()(
0
δ
(n)y y(n)(n)(n) yy(n)yy(n)nx(n)
nhnyδ(n)x(n)knxkhny
u(n)ah(n)naknanyδ(n)x(n)
hpph
zs
n
k
zs
k
zs
==+=>=
==−=
=≥=−==
∑
∑
=
=
0 .0 para 0
 impulso entrada uma para pois zero, a igual particular solução a
se-considera constante ecoeficient comlinear diferença a equação
umapor descrito sistema um de impulso ao resposta a determinar Para
)()( Para ).()()( :convolução
 da termosem expressa recursivo LIT sistema um de zero estado de Resposta
 Então .0 ,)()( Quando
0
0
δ
� Para um sistema de ordem N
� Para que um sistema seja estável a sua resposta ao impulso deve ser
absolutamente somável:
RESPOSTA AO IMPULSO DE SISTEMA LIT 
RECURSIVO
∑
=
==
N
k
n
kkh Cnhny
1
)()( λ
|||||)(|
010 0 1
∑∑∑ ∑∑
∞
==
∞
=
∞
= =
≤=
n
n
kk
N
kn n
N
k
n
kk CCnh λλ
� Para que um sistema causal IIR, descrito por uma equação a
diferença linear com coeficiente constante, seja estável todas as
raízes do polinômio característico devem ser menos que a unidade
em magnitude.
 |)(| então e ||
então k, todopara 1|| Se
00
k
∑∑
∞
=
∞
=
∞<∞<
<
n
n
n
k nhλ
λ