PROVA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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21/04/2020 Ilumno
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Local: Sa la 1 - Sa la de Aula / Anda r / Polo Ma ca é / PO LO MACAÉ - RJ
Acadêmi co: EAD-IL10015-20201A
Aluno: DANIELE CRISTINE B O UV IER DE MATTO S
Avali ação: A2-
Matrí cula: 20183301693
Data: 27 de Ma r ço de 2020 - 08:00 Fi na l i z a do
Correto Incorreto Anulada  Discursiva  Objetiva Total: 10,00/10,00
1  Código: 33349 - Enunciado: A função de duas variáveis  representa o lucro (em reais) de um
dono de armazém com a venda de batatas e leite, se ele vende  quilogramas de batatas e
 litros de leite por dia. Indicando por  quilogramas e  litros as quantidades de batatas e leite
vendidas  horas após o armazém abrir, determine a alternativa que representa a taxa de
crescimento de lucro do armazém:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Alternativa marcada:
c) 
Justificativa: Resposta correta:A taxa de crescimento de lucro do armazém é dada pela taxa de
variação da função lucro em relação ao tempo, isto é, a derivada total de  em relação ao
tempo. Como  é, neste caso, uma função composta, podemos escrever . Assim, a derivada de 
em relação ao tempo é dada pela regra da cadeia, que nos diz que a derivada de  em relação ao
tempo é dada pela soma das derivadas parciais de  em relação a  e  (o que já descarta as
alternativas  e ), onde cada uma dessas derivadas deve estar multiplicada pela derivada de
  (ou  ) em relação ao tempo. . A alternativa  está incorreta por não incluir as derivadas de  e
  em relação ao tempo. Por essa mesma razão, a alternativa também não é válida.
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2  Código: 33350 - Enunciado: Uma chapa de metal tem a forma indicada na figura, a
seguir:  (SHENK. Cálculo e geometria analítica, v. 2. Rio de Janeiro: Campus, 1984, p.
234.)  Podemos calcular a área da chapa utilizando uma integral dupla em coordenadas
polares, cujos limites de integração devem ser: 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
Alternativa marcada:
b) 
Justificativa: Resposta correta:Observando a figura, verificamos que a coordenada , que deve
ser traçada a partir da origem, apresenta diferentes valores para diferentes pontos da curva, e,
portanto, não tem valor máximo igual a 1 ou 2. Assim, temos . Do mesmo modo, se girarmos
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no sentido anti-horário o segmento que vai da origem até a curva que define a borda da chapa,
verificamos que o ângulo  varia entre 0 e , e não 0 e . Logo, 
3  Código: 34121 - Enunciado: A figura a seguir mostra dois mapas de contorno, um é da função
cujo gráfico é um cone, e o outro é para uma função  cujo gráfico é um paraboloide.
(STEWART, J. Cálculo, v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2008. p. 897.) Analisando os mapas,
qual das afirmativas a seguir é a verdadeira?
 a) O mapa I corresponde ao paraboloide, enquanto mapa II corresponde ao cone, com as
derivadas parciais em relação a e  sendo menores em I do que em II.
 b) O mapa I corresponde ao parabolóide, enquanto mapa II corresponde ao cone, com as
derivadas parciais em relação a   e   sendo iguais em I e II. 
 c) O mapa I corresponde ao cone, enquanto mapa II corresponde ao parabolóide, com as
derivadas parciais em relação a   e   sendo maiores em I do que em II. 
 d) O mapa I corresponde ao cone, enquanto mapa II corresponde ao parabolóide, com as
derivadas parciais em relação a   e   sendo menores em I do que em II. 
 e) O mapa I corresponde ao paraboloide, enquanto mapa II corresponde ao cone, com as
derivadas parciais em relação a e  sendo maiores em I do que em II.
Alternativa marcada:
e) O mapa I corresponde ao paraboloide, enquanto mapa II corresponde ao cone, com as
derivadas parciais em relação a e  sendo maiores em I do que em II.
Justificativa: Resposta correta: O mapa I corresponde ao paraboloide, enquanto mapa II
corresponde ao cone, com as derivadas parciais em relação a e  sendo maiores em I do que em
II.A superfície lateral de um cone cresce linearmente com as variáveis e , enquanto a de um
paraboloide cresce quadraticamente. Logo, observando os mapas, verificamos que o mapa I
corresponde ao paraboloide, enquanto o mapa II corresponde ao cone. Portanto, são falsas as
demais afirmativas.  
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4  Código: 34120 - Enunciado: A tabela a seguir, extraída do Serviço de Administração Nacional de
Oceanos e Atmosfera dos Estados Unidos, mostra o índice I de temperatura-umidade (ou
simplesmente Umidex) em função da temperatura real e da umidade . O índice representa a
temperatura aparente do ar quando a temperatura real é e a umidade relativa é , de modo que
podemos escrever . Com base na tabela, leia as asserções a seguir.
(STEWART, J. Cálculo, v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2018, p. 896.) I. II. A variação de com  é
negativa.III. A derivada de em relação a  é positiva. É correto o que se afirma em:
 a) I e III, apenas.
 b) III, apenas.
 c) I, apenas.
 d) II, apenas.
 e) I e II, apenas.
Alternativa marcada:
a) I e III, apenas.
Justificativa: Resposta correta: I e III, apenas.Observando a tabela, verificamos que e Logo, e I
é verdadeira. Também podemos observar que, para qualquer fixo, aumenta com o aumento de
. Assim, II é falsa. Do mesmo modo, aumenta com o aumento de , logo a derivada  é positiva e
III é positiva.
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5  Código: 33368 - Enunciado: Suponha que você queira calcular a área indicada na figura a
seguir: (THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. v. 2. São Paulo: Pearson, 2012, p. 319.) Essa
área poder ser calculada por meio de uma integração dupla. Lembrando que a equação para o
círculo de raio 1 é . Diante disso, leia as asserções a seguir: I. Os limites de integração são  II.
Também podemos usar os limites de integração III. A área pode ser calculada através da
integral É verdade o que se afirma em:
 a) I, apenas.
 b) III, apenas.
 c) I e III, apenas.
 d) II, apenas.
 e) I, II e III.
Alternativa marcada:
e) I, II e III.
Justificativa: Resposta correta: I, II e III.Observando a figura, verificamos que existem duas
maneiras de realizar a integração. A primeira é realizar inicialmente a integral em , e e em
seguida a integral em . Neste caso, (a última integral não pode ter como limites funções) e a
área é calculada pela integralLogo, I e III são verdadeiras. Invertendo a integração, os limites
seriam  e neste caso Assim, II também é verdadeira. Dessa maneira, I, II e III são verdadeiras.
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6  Código: 34111 - Enunciado: A área da figura a seguir pode ser calculada através de uma
integral dupla utilizando coordenadas polares.Fonte: STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage
Learning, 2008. v. 2. p. 1.005. Lembrando que o elemento de área em coordenadas polares é ,
leia as asserções a seguir: A equação do círculo em coordenadas polares é  O intervalo de
variação da variável  é  O intervalo de variação da variável  é  É correto o que se afirma em:
 a) I e II, apenas.
 b) II, apenas.
 c) III, apenas.
 d) I, II e III.
 e) I, apenas.
Alternativa marcada:
d) I, II e III.
Justificativa: Resposta correta: I, II e III.Sabemos que  e , logoLogo, I é verdadeira. Observando
a figura, verificamos que os intervalos de variação das variáveis  e  são, respectivamente,uma
vez que  varia de 0 até a curva definida por  e a área ocupa o primeiro e o quarto quadrantes.
Logo, II e III são verdadeiras.
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7  Código: 34122 - Enunciado: Considere a função de duas variáveis . Com base no conhecimento
sobre derivadas parciais, analise as afirmativas a seguir: A primeira derivada de  em relação a  é 
A primeira derivada de  em relação a  é  Para as derivadas parciais mistas,  
É correto o que se afirma em: 
 a) II e III, apenas.
 b) I, apenas.
 c) II, apenas.
 d) I e II, apenas.
 e)I, II e III.
Alternativa marcada:
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d) I e II, apenas.
Justificativa: Resposta correta: I e II, apenas.Calculando as derivadas parciais de primeira
ordem:Logo, I e II são verdadeiras. Calculando agora as derivadas parciais mistas,Logo  e III é
falsa.
8  Código: 33365 - Enunciado: Um sólido retangular  tem uma temperatura não uniforme que
varia de acordo com as equações a seguir:  O ponto de máximo/mínimo da função  ocorre em:
 a) (1,0)
 b) (1,2)
 c) (0,1)
 d) (0,0)
 e) (1,1)
Alternativa marcada:
d) (0,0)
Justificativa: Resposta correta: (0,0)Achando os pontos de máximo/mínimo: Assim, o ponto de
máximo/mínimo da função é (0,0). Nos pontos (1,1), (1,0), (0,1) e (1,2), as derivadas parciais não
zeram, e, portanto, esses pontos não são pontos de inflexão (máximos ou mínimos).
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