Lista 2

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Equações Diferenciais Ordinárias - 2020/1
Professor Marlon Ramos
Lista 2 - Equações Separáveis e Homogêneas
UERJ - Resende
1. Determine se o teorema da existência e unicidade garante que a equação diferencial y =!
y2 − 9 tem uma única solução que passa pelo ponto dado
a) (1, 4)
b) (2, -3)
c) (5, 3)
d) (-1, 1)
2. Nos itens a seguir, determine uma região do plano xy na qual a ED dada tenha uma única
solução cujo gráfico passe pelo ponto (x0, y0) nessa região.
(a) dy
dx
=
√
xy
(b) dy
dx
− y = x
(c) (x2 + y2)y′ = y2
(d) (y − x)y′ = y + x
3. Resolva as equações diferenciais separáveis e os problemas de valor inicial a seguir
(a) dx
x2
=
dy
y
(b) y′ = 1 + y2
(c) dy
dx
= x
!
1− y2
(d) (ex + e−x)dy
dx
= y2
dica: veja o exercício 4(d) da lista zero
(e) dy
dt
=
tet
2y
(f) sen (3x)dx+ 2y cos3(3x)dy = 0
(g) sen (x)dx+ ydy = 0 com y(0) = −2
(h) (x2 + 1)dx+ y−1dy = 0 com y(−1) = 1
(i) tet2dt+ (y5 − 1)dy = 0 com y(0) = 0
4. Resolva a equações diferencial e o problema de valor inicial a seguir usando a substituição
apropriada.
(a) dy
dx
= 2 +
√
y − 2x+ 3 (b) dy
dx
= cos(x+ y) com y(0) = π/4
5.
(a) Use a solução encontrada no item (b) do exercício 3 e resolva o PVI: y′ = 1 + y2 com
y(0) = 0.
1
(b) Considere agora o PVI anterior sob a perspectiva do teorema da existência e unicidade.
As funções f(x, y) = 1+y2 e ∂f/∂y = 2y são contínuas e portanto a região R do teorema
pode ser tomada como o plano xy. Mesmo estando x0 = 0 no intervalo −2 < x < 2,
explique por que a solução não está definida nesse intervalo.
(c) Determine o maior intervalo de definição I para o PVI do item (b)
6. Encontre uma solução singular para os itens (c) e (d) do exercício 3.
7. Modelos matemáticos #
(a) Resolva o PVI para um objeto em queda:
m
dv
dt
= mg − γv, v(0) = v0
onde v é a velocidade do objeto, m é a massa, g é a aceleração gravitacional e γ é o
coeficiente da resistência do ar.
(b) O PVI acima possui uma solução constante que corresponde a um equilíbrio entre a
gravidade e resistência do ar. Nesse contexto a solução de equilíbrio é chamada de ve-
locidade terminal. Encontre a expressão para essa velocidade em função das constantes
do problema.
(c) Resolva o PVI para o modelo de crescimento populacional abaixo (Equação de Verhust)
dN
dt
= r
"
1− N
K
#
N, N(0) = N0
onde N(t) é o número de indivíduos no instante de tempo t, K é capacidade de suporte
e r é a taxa de crescimento intrínseca.
(d) Considere que r = 1 dia−1 e K = 10. Plote o gráfico de N(t) para N(0) = 15, N(0) = 6
e N(0) = 1.
8. Verifique se as seguintes equações diferenciais são homogêneas, e resolva as que forem.
(a) dy
dt
=
y − t
t
(b) dy
dx
=
2x+ y2
xy
(c) dy
dx
=
x2 + 2y2
xy
(d) dy
dx
=
2xy
y2 − x2
(e) xdy
dx
= y +
!
x2 − y2, x > 0
dica: veja o exercício 3(c) da lista zero
2
Gabarito
1.
a) Existe uma solução única para a EDO
que passa pelo ponto (1, 4).
b) Não há garantia de que a EDO terá so-
lução única que passe por esse ponto.
c) Não há garantia de que a EDO terá so-
lução única que passe por esse ponto.
d) Não há garantia de que a EDO terá so-
lução única que passe por esse ponto.
2.
(a) f(x, y) = √xy e ∂f
∂y
=
1
2
$
x
y
. A EDO
teria solução única em qualquer região
retangular do plano onde x > 0 e y > 0
ou x < 0 e y < 0.
(b) f(x, y) = x+ y e ∂f
∂y
= 1. A EDO teria
uma única solução em todo o plano.
(c) A EDO teria solução única em qualquer
região que não contenha o ponto (0, 0).
(d) A EDO teria solução única em qualquer
região do plano onde y < x ou y > x.
3.
(a) y(x) = ce−1/x
(b) y(x) = tgx+ c
(c) y(x) = sen
"
x2
2
+ c
#
(d) y = − 1
tg −1(ex) + c
(e) y2 = tet − et + c
(f) y2 = −1
6
sec2(3x) + c
(g) y(x) = −
!
2 + 2 cos(x)
(h) y(x) = e−(x3+3x+4)/3
(i) 3et2 + y6 − 6y = 3
4.
(a) 2
√
y − 2x+ 3 = x+ c (b) csc (x+ y)− cot (x+ y) = x+
√
2− 1
5.
a) y = tg (x) c) (−π/2,π/2)
6. para item (c): y = −1 e y = 1; para item (d): y = 0
3
7.
(a) v = (mg/γ) + [v0 − (mg/γ)]e−γt/m
(c) N(t) = N0K
N0 + (K −N0)e−rt
8.
(a) y(t) = t ln(C/x)
(b) não homogênea
(c) y2 = Cx4 − x2
(d) 3yx2 − y3 = C
(e) y = x sen (ln(x) + c2)
4