Probabilidade Cap 1

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Plano da Disciplina 
1. Nome da disciplina 
Probabilidade e Estatística 
2. Professor responsável (4o período/2018) 
Ronaldo Nonato Silva Lima 
Email – ronsli@ufpa.br 
3. Ementa 
Capítulo I - Estudo da Probabilidade; Capítulo II - Variáveis Aleatórias; Capítulo III - Valores 
Esperados; Capítulo IV - Função de Variáveis Aleatórias; Capítulo V – Introdução a Estatística. 
4. Objetivos 
Proporcionar um sólido conhecimento sobre cálculo de probabilidade, variáveis aleatórias e estatística, 
possibilitando ao discente, no final do curso, ter aptidão para aplicar os conhecimentos adquiridos como 
uma ferramenta na análise e solução de problemas que envolvam a aplicação de modelos probabilísticos e 
análise estatística. 
5. Avaliação 
Primeira avaliação - Capítulos I 
Segunda avaliação - Capítulos II e III 
Terceira avaliação - Capítulos IV e V 
Quarta avaliação (substitutiva) – Capítulo V e mais dois a serem definidos 
Nota Final = média aritmética de três notas. 
Aprovação Nota Final ≥ 5. 
Obs. Só realiza a quarta avaliação o discente que não atingirem na média das três primeiras avaliações 
uma nota ≥ 5. 
 
6. Bibliografia 
 
[1] William W. Hines, Douglas C. Montgomery, David M. Goldsman el Al. 
Probabilidade e Estatística na Engenharia. Ed. LTC. 
 
[2] Papoulis, A. “Probability, Random Variables, and Stochastic Processes”, McGraw-
Hill. 
[3] Peebles, P. Z. , “Probability and Random Variables and Random Signal 
Principles”,. McGraw-Hill. 
 
[4] Leon-Garcia, A. “Probability and Random Processes for Electrical Engineers”, 
Addison Wesley. 
 
[5] Myers, Raymond, Myers, Sharon, Ye, K. Probabilidade & Estatística para 
engenharia e Ciência. Ed. Pearson. 
 
[6] Meyer, P. L. “Probabilidade: aplicações à estatística”, Rio de Janeiro: LTC. 
 
[7] Spiegel, M. R., Schiller, J. e Srivasan, R. A. “ Probabilidade e Estatística”, Coleção 
Schaum, Bookman. 
 
 
 
Capítulo I - Estudo da Probabilidade 
 
1.1 - Espaço Amostral (S) 
 é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. 
 
Ex 1.1.1- Um experimento aleatório consiste em retirar uma carta de um conjunto 
formado pelas cartas 1,2,3 e depois retirar mais uma carta se a carta que foi retirada for 
a de número 1. Se a primeira carta retirada não for a de número 1, então um moeda é 
jogado uma vez. Determine o espaço amostral deste experimento. 
 
Ex 1.1.2- Uma moeda é lançada quatro vezes. Determine o espaço amostral. 
 
Ex 1.1.3 – Suponha que três itens sejam selecionados em um processo industrial. Cada 
item é inspecionado e classificado como defeituoso (D) ou não defeituoso (N). 
Determine o espaço amostral. 
 
1.2 - Evento (E) 
 É um conjunto composto de resultados possíveis de um experimento aleatório 
contidos no espaço amostral. 
 
Ex 1.2.1- Um experimento aleatório consiste na retirada de uma carta de um conjunto de 
4 cartas numeradas de 1 a 4. Determine o conjunto do evento, sabendo-se que o evento 
é definido como sendo a retirada de uma carta par ou uma carta impar. 
 
Ex 1.2.2- Para o exemplo 1.1.3, o evento é definido como sendo o nº de itens 
defeituosos seja menor do que 2. 
 
Ex 1.2.3 - Para o experimento aleatório do ex. 1.1.1, o evento é definido como sendo a 
ocorrência de duas caras. Determine o conjunto do evento. 
 
 
1.3 - Cálculo da Probabilidade 
 
1.3.1- Frequência Relativa. 
 
 Considere um experimento aleatório repetido n vezes, onde nA representa o 
número de vezes que o evento A, definido para este experimento, ocorre nas n 
repetições do experimento. 
 Denomina-se de frequência relativa (fA) do evento A ocorrer para a relação: 
fA = nA / n. 
 
1.3.2 - Definição de Probabilidade 
 
 Considerando-se que os resultados possíveis de um experimento aleatório, contidos 
no espaço amostral, são igualmente prováveis de ocorrer e mutuamente exclusivos (sem 
interseção), então a probabilidade de ocorrência de um evento A, definido para o 
experimento aleatório, é dada por: P(A) = lim fA = lim nA/ n 
 n n 
 Desta forma deduz-se que para se obter a probabilidade de ocorrência do 
evento A é necessário repetir o experimento infinitas vezes. 
 Uma forma mais pratica de se obter a probabilidade de um evento ocorrer 
é com o uso da expressão: P(A) = NA / N onde: 
 
NA - é o número de elementos contidos no conjunto dos eventos. 
N - é o número de elementos contidos no conjunto do espaço amostral. 
Ex 1.3.2.1- Do naipe de copas de um baralho é retirada uma carta. Determine a 
probabilidade de que a carta contenha um número entre 3 e 6, inclusive. 
 
Ex 1.3.2.2- Um dado é lançado duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer o nº dois 
ou o nº 5 no primeiro lançamento? 
 
Ex. 1.3.2.3- Determine a probabilidade de ocorrência do evento definido no ex 1.2.2. 
 
1.4 - Propriedades e teoremas da probabilidade 
 
a) 0  P(A)  1 
b) P(S) = 1 
c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: P(AUB ) = P(A) + P(B) 
 
 
 S 
 
 A B 
 
 
 
AUB= Nº de elementos de A + Nº de elementos de B 
P[AUB] = ( Nº de elementos de A + Nº de elementos de B ) / N 
P[AUB] =[ ( Nº de elementos de A ) / N] + [( Nº de elementos de B ) / N] 
P[AUB] = P[A] + P[B]. 
 
d) Se A1, A2, ..., An são dois a dois eventos mutuamente exclusivos, então: 
 n n 
 P(U i = 1 Ai) = P(A1) +P(A2) +...+P(An)= P(Ai ) 
 i = 1 
e) Se  é o espaço vazio, então: P() = 0 
 _ 
f) Se A é o evento complementar do evento A, então: 
 
 __ 
 A A 
 
 _ 
S= AUA 
 _ _ 
P[S]= P[ AUA] → 1= P[A] + P[A] 
 _ 
 P( A) = 1- P( A) 
g) Se A e B são eventos quaisquer, então: 
 P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
 
 
 S 
 A B 
 B∩A 
 
 
 
 A∩B 
AUB = A U (B ∩A) 
B = (A∩B)U(B ∩A) 
 
P[B] = P[(A∩B)U(B ∩A)] = P[A∩B] + P[B ∩A] P[B ∩A]=P[B] - P[A∩B] 
 
P[AUB] =P[ A U (B ∩A)] = P[A] + P[B ∩A] 
 
P[AUB] = P[A] + P[B] - P[A∩B] 
 
1.5 - Probabilidade Marginal 
 Sejam A1 , A2, ..., An eventos mutuamente exclusivos entre si, associados a um 
espaço amostral S, onde: Uni =1 Ai = S. 
 Seja BJ um evento também associado ao espaço amostral S, que ocorre 
conjuntamente (possui interseção) com todos os eventos Ai. 
BJ = (BJA1) U (BJA2) U . . . (BJAn) = BJS 
BJ=(Uni =1AiBJ),então 
P[BJ] = n i =1 P[Ai BJ] - Probabilidade Marginal 
 
Ex 1.5.1- Testes de qualidade foram realizados nos circuitos integrados produzidos por 
diversos fabricantes, tendo-se obtido os seguintes resultados em relação aos defeitos 
encontrados: 
Fabricantes Classe de Defeitos Total 
 Nenhum 
 N 
 Sério 
 S 
 Crítico 
 C 
 
 F1 50 15 20 85 
 F2 30 5 15 50 
 F3 20 10 5 35 
Total 100 30 40 170 
 
Qual é a probabilidade de que um circuitointegrado, selecionado aleatoriamente dos 
170 apresente defeito crítico; 
 
1.6 - Probabilidade Condicional 
 
Ex 1- Considere o experimento aleatório que consiste na retirada de dois componentes 
de um lote formado de 10 componentes defeituosos e 40 não defeituosos. Para este 
experimento são definidos os seguintes eventos: 
A - O primeiro componente retirado é defeituoso. 
B - O segundo componente retirado é defeituoso. 
 Determine a probabilidade dos eventos A e B considerando que os componentes 
são retirados sem reposicão. 
 Solução: 
 P(A) = 10/50 P(B) = 9/49 
 Agora os eventos são redefinidos: 
A – O primeiro componente retirado é perfeito. 
B – O segundo componente retirado é defeituoso. 
 Determine a probabilidade dos eventos A e B considerando que os componentes 
são retirados sem reposicão. 
 Solução: 
b) P(A) = 40/50 P(B) = 10/49 
 
 O que pode-se concluir desses resultados é que a probabilidade de ocorrência 
do evento B está condicionada a ocorrência anterior do evento A, portanto existe a 
necessidade de se introduzir o conceito de probabilidade condicional (ou condicionada). 
 Sejam A e B eventos associados a um experimento aleatório. Representaremos por 
P(B/A) a probabilidade condicional do evento B ocorrer dado que o evento A tenha 
ocorrido. Essa probabilidade é calculada pela equação P(B/A) = P(AB)/P(A). 
 
Ex. 1.6.1 – No experimento de lançamento de um dado sabe-se que ocorreu um número 
maior do que 3. Determine a probabilidade de que o número obtido tenha uma raiz 
quadrada inteira. 
 
Ex. 1.6.2 – Os dados da população com nível superior de uma pequena cidade está 
categorizada de acordo com o gênero e o status empregatício, conforme a tabela abaixo. 
Um indivíduo é selecionado aleatoriamente para uma turnê pelo país para divulgar as 
vantagens de novas indústrias se estabelecerem na cidade. Determine a probabilidade do 
indivíduo escolhido ser um homem, sabendo-se que o escolhido está desempregado. 
H- um homem é escolhido; DE- o escolhido está desempregado 
 
Gênero Empregado Desempregado Total 
 
Homem 460 40 500 
Mulher 140 260 400 
Total 600 300 900 
 
 
1.7 - Probabilidade total. 
 Dá-se o nome de probabilidade total à probabilidade marginal computada com o 
uso da probabilidade condicional, onde a ocorrência do evento BJ está condicionada a 
ocorrência anterior do evento Ai. 
P[BJ] = n i =1 P[Ai . BJ] 
Como: 
P[BJ / Ai ] = P[Ai. BJ ] / P[Ai ]  P[Ai. BJ ] = P[BJ / Ai ] P[Ai ] 
Então: 
 
P[BJ] = n i =1 P[BJ / Ai ] P[Ai ] 
 
Ex. 1.7.1- Em certa linha de montagem, três máquinas M1, M2 e M3 produzem 30%, 
45% e 25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se que 2%, 3% e 2% dos produtos 
feitos por cada máquina são, respectivamente, defeituosos. Um produto já acabado é 
selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que tal produto apresente algum 
defeito? 
 
1.8- Independência de Eventos 
 Dois eventos são independentes se a ocorrência anterior de um deles não influenciar 
a ocorrência posterior do outro. 
P(A/B) = P(A.B) /P(B). 
P[A.B] = P[A/B] P[B] 
P[A/B] = P[A] 
P[A.B] = P[A] P[B] 
Ex. 1.8.1- Considere o lançamento de dois dados. Os eventos A e B são definidos da 
seguinte maneira: 
A - o primeiro dado mostra um número par; 
B - o segundo dado mostra um número impar 
Verifique se os eventos são independentes. 
 
1.9 - Teorema de Bayés 
 Sejam os eventos A1, A2, . . ., An partições do espaço amostral S, onde P[Ai]  0, 
onde os eventos Ai são mutuamente exclusivos. 
 Seja B um evento que ocorre conjuntamente com todos os eventos Ai. Deseja-se 
determinar a probabilidade de ocorrência de um dos eventos Ai dado que o evento B 
ocorreu. 
 
P[Ai / B] = P[Ai.B] / P[B] 
 
P[B] = n i =1 P[B / Ai ] P[Ai ] – probabilidade total 
 
Como P[Ai.B] = P[B / Ai ] P[Ai ], então tem-se que: 
 
P[Ai / B] = {P[B / Ai ] P[Ai ]} / n i =1 P[B / Ai ] P[Ai ] 
 
Ex. Em certa linha de montagem , três máquinas M1 , M2 e M3 produzem 30%, 45% e 
25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se que 2%, 3% e 2% dos produtos feitos por 
cada máquina são, respectivamente, defeituosos. Agora, suponha que um produto, já 
acabado, seja selecionado aleatoriamente e apresente defeito. Qual é a probabilidade de 
que tal produto tenha sido produzido pela máquina B3?