Probabilidade Cap.4

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Capítulo IV - Função de Variável Aleatória 
 
 Supor que tem-se uma variável Y como função da variável aleatória X, 
isto é, Y = g(X), então Y é , também, uma variável aleatória. 
Objetivo - Determinar a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y, 
dada a função densidade de probabilidade da variável aleatória X. 
 
4.1- Função de Variável Aleatória para Variável Aleatória Discreta. 
 
O procedimento adotado para se determinar a função densidade de probabilidade 
da variável aleatória Y, que é função da variável aleatória X, será mostrado através do 
exemplo. 
 
Ex 4.1.1- Uma urna contém 4 bolas numeradas de 1 a 4. O experimento consiste em 
retirar-se uma bola da urna. A variável aleatória X representa o número que a bola 
retirada apresenta. Determine a função densidade de probabilidade da variável Y que 
está relacionada a variável aleatória X pela expressão Y = 2X + 1. 
 
 
4.2- Função de Variável Aleatória para Variável Aleatória Contínua. 
 
Como a variável Y está relacionada com a variável aleatória X e este 
relacionamento é representado por Y=g(X), estudaremos os diversos tipos de expressões 
para g(x). 
 
4.2.1- g(X) é uma função crescente. 
 
 y 
 
 
 yo = g(xo) 
 
 
 y1 = g(x1) 
 
 
 x1 = g-1(y1) xo = g-1(yo) x 
 
 
 
P[Xxo] = P[Yyo] 
 
 



00
)()(
yx
dyyfdxxf 
 
 
Troca de variável 
dy
dy
ydg
dx
dy
ydg
dy
dx
ygx
)()(
)(
11
1

  
 
Para  yx 
 
Para 00 yyxx  
 



 
00
)(]
)(
)][([
1
1
yy
dyyfdy
dy
ydg
ygf 
 
Para a igualdade ser verdadeira 
 
 
f(y) = f[g-1(y)] dg-1(y)/dy 
 
Ex 4.2.1.1- A função densidade de probabilidade da variável aleatória X é dada por: f(x) 
= e-x para x 0 e zero para outros valores de x. Sabe-se que Y é uma variável função 
de X através da expressão Y = 2X - 2. Determine a função densidade de probabilidade 
da variável Y. 
 
 
4.2.2- g(X) é uma função decrescente 
 
 y 
 
 
 y1 = g(x1) 
 
 
 xo = g-1(yo) 
 
 x1 = g-1(y1) x 
 
 yo = g(xo) 
 
 
P[Xxo] = P[Y yo] 
 
 




0
0
)()(
y
x
dyyfdxxf 
 
 
Troca de variável 
dy
dy
ydg
dx
dy
ydg
dy
dx
ygx
)()(
)(
11
1

  
 
Para  yx 
 
Para 00 yyxx  
 


 
 
0
0
)(]
)(
)][([
1
1
y
y
dyyfdy
dy
ydg
ygf 
 
 
Como g(x) é uma função decrescente tem-se que 
dy
ydg )(1
 é negativa. 
Então, pode-se afirmar que 
dy
ydg
dy
ydg )()( 11 
 para garantir que a 
derivada é sempre negativa. Desse modo, tem-se que: 
 


 
 
0
0
)(]
)(
)][([
1
1
y
y
dyyfdy
dy
ydg
ygf 
 



 
00
)(]
)(
)][([
1
1
yy
dyyfdy
dy
ydg
ygf 
 
Para a igualdade ser verdadeira 
 
f(y) = f[ g-1(y)] dg-1(y)/dy 
 
Ex 4.2.2.1- A função densidade de probabilidade da variável aleatória X é dada por: f(x) 
= e-x para x 0 e zero para outros valores de x. Sabe-se que Y é uma variável função 
de X através da expressão Y = -4X + 2. Determine a função densidade de probabilidade 
da variável Y. 
 
 
 
4.2.3- g(X) é uma função mista 
 
 y 
 
 
 
 b 
 
 a 
 
 
 x1 x2 x3 x4 x 
 
 
 
P[a Y b]=P[x1Xx2] +P[x3Xx4] 
 
para um valor de y entre a e b a função densidade de probabilidade é: 
 
f(y) = f[g1-1(y) ] dg1-1(y)/dy+ f[ g2-1(y)] dg2-1(y)/dy 
 
onde: g1-1(y) é a inversa de g(x) aplicada entre x1 e x2 
 g2-1(y) é a inversa de g(x) aplicada entre x3 e x4 
 
 
4.2.4- g(X) é uma função ‘jump’ (salto). 
 
 
 
 
 b 
 
 
 
 a 
 
 
 
 x1 x 
 
P[a Y b] = P[X=x1] 
 
 
1
1
0)()(
x
x
b
a
dxxfdyyf 
 
f(y) = 0 
 
4.2.5- g(X) é uma constante 
 
 y 
 
 k 
 
 
 
 
 
 
 
 a b x 
 
P[Y=k] = P[a  X  b] 
 b 
P[Y=k] =  f(x) dx 
 a 
 
Ex 4.2.- A função densidade de probabilidade da variável aleatória X é dada por: 
f(x) = x/8 0x4 e zero para outros x. 
Determine f(y), sabendo-se que Y está relacionada com a V. A. X pela expressão 
Y={ (X-2)2 para 1 x4 
 { 1 para 0x 1 
 
 4.3 - Soma de duas variáveis aleatórias 
 
 Considere a variável Y como sendo função de duas variáveis aleatórias através 
da soma, ou seja, Y = X1 + X2, onde as variáveis aleatórias são independentes. O nosso 
objetivo é determinar a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y. 
 4.3.1- Soma de duas Variáveis Aleatórias Discretas. 
 
 O procedimento adotado para obter-se a função densidade de probabilidade da 
variável aleatória Y será visto no exemplo. 
 
Ex. 4.3.1.1- Considere a existência de duas urnas. Na urna 1 existem três bolas 
numeradas de 1 a 3, enquanto na urna 2 existem duas bolas numeradas, 4 e 5. O 
experimento aleatório consiste na retirada de uma bola de cada urna. A variável 
aleatória X1 representa o número impresso na bola retirada da urna 1, enquanto a 
variável aleatória X2 representa o número impresso na bola retirada da urna 2. 
Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y que é função de 
X1 e X2 através da soma Y = X1 + X2 
 
A equação abaixo pode ser utilizada para encontrar a função densidade de 
probabilidade de Y= X1 + X2 
 
  
pY(yJ) =  pX1(xi) pX2 (yJ -xi ) 
 xi = - 
 
4.3.2- Soma de Duas Variáveis Aleatórias Contínuas 
 Por analogia com o caso discreto tem-se que: 
  
f(y) =  fX1(x1) fX2(y-x1) dx1 
 - 
 Esta integral recebe o nome de integral de convolução e f(y) pode ser 
representada pela operação de convolução entre as funções fX1(x1) e fX2 (x2), ou seja, 
f(y) = fX1(x1) * fX2(x2). Devido a operação de convolução ser comutativa, então, f(y) 
pode ser obtida com o uso da equação 
 
  
f(y) =  fX2(x2) fX1(y-x2) dx2 
 - 
 
Ex. 4.3.3.1- Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória 
Y = X1 + X2, onde X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes e apresentam as 
seguintes funções densidades de probabilidade: 
fX1(x1) = { 1 0x11 fX2 (x2)= { x2/2 0 x2 2 
 { 0 para outros x1 { 0 para outros x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3.2.1- Análise Gráfica da função fX2(y-x1). 
 Seja fX2(x2) = { x2 /2 0  x2 2 
 { 0 para outros x2 
 
substituindo-se o argumento x2 por x1 tem-se: 
fX2(x1) = { x1 /2 0  x1 2 
 { 0 para outros x1 
 
substituindo-se o argumento x1 por - x1 tem-se: 
fX2(-x1) = { -x1 /2 0  -x1 2  -2  x1 0 
 { 0para outros x1 
 
substituindo-se o argumento -x1 por (y - x1), atribuindo-se para y um valor, por 
exemplo, igual a 1, tem-se: 
fX2(1-x1) = {(1-x1)/2 0 1-x1 2  -1 -x1 1  -1 x1 1 
 { 0 para outros x1 
 
4.3.2.2- Procedimento para a Resolução da Convolução 
1) Determinar o intervalo de variação de y 
2) Faça os gráficos das funções fX1(x1), fX2(x1) e fX2(-x1). 
3) Plote em um único gráfico as funções fX1(x1) e fX2(y-x1) atribuindo para y o menor 
valor do intervalo obtido no ítem 1. 
4) Resolva a integral de convolução considerando os limites de integração inferior e 
superior, Li e Ls, respectivamente. Esses limites são determinados observando-se no 
gráfico do ítem 3 se o produto das funções é diferente de zero. 
5) Desloque a função fX2(y-x1), atribuindo para y um valor contido no intervalo obtido 
no ítem 1, sempre observando quando dois extremos das funções fX1(x1) e a função 
deslocada se tocam. Então plote em um único gráfico as duas funções e resolva a 
integral de convolução, considerando os limites de integração inferior e superior, Li e 
Ls, respectivamente. Esses limites são determinados observando-se no gráfico se o 
produto das funções é diferente de zero. 
6) Repita o ítem 5 até que y tenha assumido todos os valores existente dentro do 
intervalo obtido no ítem 1. 
 
 
Ex. 4.3.3.1- Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória 
Y = X1 + X2, onde X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes e apresentam as 
seguintes funções densidades de probabilidade: 
fX1(x1) = { 1 0x11 fX2 (x2)= { x2/2 0 x2 2 
 { 0 para outros x1 { 0 para outros x2 
 
 
Ex. 4.3.3.2- Determine a função densidade de probabilidade da variável aleatória Y = 
X1 + X2, onde X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes e apresentam as seguintes 
funções densidades de probabilidade: 
fX1(x1) = { x1 + 1 -1x10 fX2 (x2) = {2x2 0  x2  1 
 {-x1 + 1 0x11 { 0 para outros x2 
 { 0 para outros x1