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Estácio ENG 0814
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CAPÍTULO II – ELEMENTOS DE TRELIÇA 
 
 
 II.1 – Geometria e carregamento 
 
 É um elemento unidimensional1, de eixo2 reto (direção ), capaz de resistir à ação de forças x
 aplicadas na direção de seu eixo. A geometria da seção transversal pode ser constante ou variável, 
 simétrica ou não, desde que o eixo permaneça reto (Figura II.1). 
 
x x x 
 Figura II.1 – Elementos de treliça – geometria 
 
 Elementos de treliça podem ser representados por um segmento de reta i-j, na direção de seu eixo, 
 conforme a Figura II.2. Note que a figura representa também os deslocamentos (translações) , e u v
 w na direção de x y, e z respectivamente. 
 
l
i
j
x,u
y,v
z,w
 
 Figura II.2 – Elementos de treliça - geometria 
 
 As forças externas são aplicadas na direção do eixo do elemento, podendo ser concentradas nas 
extremidades ( e Fi Fj ) ou distribuídas ao longo do eixo ( ), como representa a Figura II.3. f(x)
 
x,u
y,v
z,w
i
F i
F j
f (x)
j 
 
 Figura II.3 – Elementos de treliça – carregamento 
 
1 A dimensão na direção de (comprimento) é muito maior que na direção das demais dimensões ( e ). x y z
2 Eixo: lugar geométrico dos centros de gravidade das seções transversais. 
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 II.2 – Esforços internos 
 
 Como as forças externas são aplicadas na direção do eixo, não havendo forças transversais nem 
 momentos aplicados, apenas esforços normais atuam em elementos de treliça. Se o carregamento 
for constituído apenas por forças concentradas nas extremidades, então o esforço normal será 
 constante ao longo do eixo, como mostra a Figura II.4a. Se houver cargas distribuídas, o diagrama 
 de esforço sofrerá variações ao longo de , como representa a Figura II.4b. x
 
 Note que, devido ao equilíbrio das forças na direção de , as forças aplicadas não são independentes x
 entre si, como indicado na Figura. II.4. De forma mais genérica, o equilíbrio das forças na direção 
 de pode ser escrito como: x
 
 ∫∑ +=⇒=
l 
0 
 )( 0 dxxfFFF
jix
 (II.1) 
 
 
FjFi
Fi F j
+
DN
l
 
 Observação: ji FF = 
 
 
a) Forças concentradas nas extremidades 
FjFi
Fi
Fj+
DN
l
fxf =)(
 
 Observação: l fFF ji += 
 b) Forças concentradas e distribuídas 
 Figura II.4 – Esforços em elementos de treliça 
 II.3 – Tensões 
 
 Como apenas esforços normais estão presentes, apenas tensões normais na direção de atuam no x
 elemento. Essas tensões são supostas constantes ao longo da seção transversal, podendo ser obtidas 
 a partir do esforço normal como: 
 
A
N
x
=σ (II.2) 
 
 Devido à ausência de forças aplicadas nas faces laterais do elemento, todas as demais componentes 
 de tensão são nulas. Vale ainda acrescentar que as faces são supostas livres, não havendo 
 confinamento lateral do elemento. 
 
 II.4 – Deformações e deslocamento 
 
 O esforço normal causa também deformações normais na direção de (x xε ), ocorrendo também 
 deformações em direções transversais ao eixo devido ao efeito de Poisson ( )ν . As deformações nas 
 direções transversais podem ser facilmente determinadas a partir de xε como: xzy ενεε −== . 
 Contudo, como que 0 == zy σσ , a energia de deformação associada aos pares yy σε - e zz σε - é 
 nula, não havendo interesse em determinar essas deformações. Lembramos ainda que a energia de 
 deformação de cisalhamento também é nula, devido à hipótese de tensões (e deformações) de 
 cisalhamento nulas. 
 
 As deformações 
x
ε causam deslocamentos dos pontos do elemento na direção de (deslocamento x
 u). Se o esforço normal e a área da seção transversal forem constantes na direção de x, então 
x
ε 
 também será constante, podendo ser obtidas a partir do deslocamento relativo das extremidades, ou 
 seja: lll /)(/ ijx uu −=∆=ε . No caso mais geral, xε pode ser obtido como: 
 
x
u
x
∂
∂=ε (II.3) 
 onde representa o deslocamento na direção de (Figura II.3). u x
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 II.5 – Relações constitutivas 
 
 Como apenas a componente de tensão xσ atua no elemento, sua relação com xε independe do 
 coeficiente de Poisson, podendo ser escrita como: 
 
 xx E εσ = (II.4) 
 
 onde representa o módulo de elasticidade do material. E
 
 II.6 – Energia de deformação 
 
 Conforme discutido na seção II.4, apenas o par xx σε - promove energia de deformação. Assim 
 escrevemos: 
 dxA(x)dVUU xxxxx 
2
1
 
2
1 
0 
 
V 
εσεσ ∫∫ ===
l
 (II.5) 
 
 onde representa o volume do elemento e a área da seção transversal. Substituindo a equação V A(x)
 (II.4) em (II.5) escrevemos : 
 
 dxA(x)EU
xx
 
2
1 
0 
εε∫=
l
 (II.6) 
 
 II.7 – Trabalho das forças externas 
 
 O trabalho das forças externas pode ser escrito como: 
 
 dxxuxfuFW
l
iiext )( )( 
2
1
 
2
1 
0 
. ∫∑ += (II.7) 
 
onde i F representa uma força concentrada, i u o deslocamento no ponto de aplicação da força iF , 
 f(x) u(x) representa o carregamento distribuído e é a função que fornece o deslocamento u em 
 qualquer ponto do elemento. 
 
Exercício II.1) Determinar analiticamente a distribuição de esforços normais ), das N(x
 deformações axiais )(xxε e dos deslocamentos ) nos elementos de treliça u(x
indicados3 . Considere que o eixo tem origem na extremidade esquerda dos x
 elementos e o material é linear elástico com módulo de elasticidade 
27 /10 mKNE = . 
x,u
y
a b
12 m
cmh 30=
cmb 10=
 F=600 KN
a)
 
 
x,u
y
q(x) = 100 KN / m
a b
12 m
cmh 30=
cmb 10=
b)
 
 
3 Sugestão: Traçar o Diagrama de Esforços Normais ( ) e calcular: DN
ExA
xN
E
x
x
1
)(
)()(
)( ==
σ
ε ; ∫=
x
dxxxu
 
0 
 )()( ε 
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x,u
y
F = 600KN
 f = 100KN / m
a b
12 m
2211
 )( hNhNxh +=
cmb 10=
c)
 
 com: mh
a
 10,0= ; mh
b
 30,0= ; 12/11 xN −= e 12/2 xN = . 
x,u
y
F = 600KN
f = 100KN/m
a b
12 m
ba hNhNxh )( 21 +=
ba
NNxb b b )(
21 +=
d)
 
 com: mha 10.0= ; mhb 30.0= ; mba 05.0= ; mb b 15.0= ; 12/11 xN −= e 12/2 xN = 
 
Exercício II.2) Paracada um dos casos do exercício II.1, calcule a energia de deformação e o 
 trabalho das forças externas conforme as equações (II.7) e (II.5). 
 
 II.8 - Formulação de Elementos Finitos para Estrutura de Treliça 
 
 II.8.1 – Formulação genérica para família de elementos de treliça 
 Considere um elemento de treliça submetido a forças concentradas nas extremidades4 e forças 
 distribuídas ao longo do comprimento, conforme a Figura II.5a. Desejamos conhecer as tensões e 
 deformações decorrentes do carregamento aplicado. Para tal, seria suficiente conhecer os 
 deslocamentos na direção de , visto que as deformações podem ser obtidas derivando-se esse x
 deslocamento (equação (II.3)), e as tensões podem ser calculadas a partir das deformações 
 conforme a equação (II.4). Em outras palavras, nosso problema estaria resolvido se conhecêssemos 
 a função )(xu que fornece o deslocamento em qualquer ponto do elemento. 
 
x
z
1 2
1û
1F 2F
2û
 b) Elemento com 2 nós: interpolação linear 
x,u
y,v
z,w
i
Fi
Fj
f x( )
j 
 
 a) Elemento de treliça: carregamento e geometria 
3
û
3F
x,u
z
1 4
1û
1F 2F
2û
2
4F
4û
3
 c) Elemento com 4 nós: interpolação cúbica 
 Figura II.5 – Representação de elementos de treliça através de elementos finitos 
 
 A formulação de elementos de treliça através do Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em 
 estabelecer os deslocamentos em certos pontos do elemento como parâmetros incógnitos, e 
 substituir a função exata 
exat
xu )( por de uma função aproximada 
aprox
xu )( , escrita a partir desses 
 parâmetros. Os pontos selecionados são denominados pontos nodais (ou simplesmente nós ) e os 
 parâmetros incógnitos são deslocamentos nodais5,6 . As Figuras II.5b e II.5c apresentam elementos 
 
4 Por simplicidade iremos considerar que as forças concentradas são sempre aplicadas nas extremidades do elemento. 
5 Em outros tipos de análise os parâmetros nodais podem ter outros significados físicos, tais como temperaturas, 
 pressões, velocidade de fluídos etc. Parâmetros nodais podem também ser denominados graus de liberdade nodais ou 
 ainda . incógnitas nodais 
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 de treliça com dois e quatro nós, indicando a numeração dos nós e dos deslocamentos nodais. A 
 aproximação de elementos finitos tem a forma: 
 
 
 
i
NNOSi
i
iaproxexat
uNxuxu ˆ )()(
1
.. ∑
=
=
 =≈ (II.8) 
 
 onde é o número de nós do elemento, NNOS
i
u ˆ representa o deslocamento nodal do nó , e i Ni são 
 funções de interpolação funções de forma (também denominadas ). As funções de interpolação são 
 tais que, no nó , 1i =
i
 N e, nos demais nós do elemento, 0=
i
 N . Note que isso garante que 
iaproxi
uu x ˆ .)( = . Neste curso serão sempre adotadas funções de interpolação polinomiais, e o grau 
 desses polinômios depende do número de nós do elemento, seguindo-se a regra: 1−= NNOSG , 
 onde é o grau da interpolação e é o número de nós do elemento. G NN O S
 A equação (II.8) pode ser escrita em forma matricial como7 : 
 
 11 }ˆ{ ][)( NNOSxxNNOS uNxu = (II.9) 
 
 onde ][ é a matriz de funções de interpolação e }N ˆ {u é o vetor de deslocamentos dados por: 
 
 [ ]
NNOS
NNNN ...][ 21 = ; 














=
NNOSu
u
u
u
ˆ
:
ˆ
ˆ
}̂{ 2
1
 
 
 O campo de deformação pode ser obtido a partir das equações (II.3) e (II.9), resultando em: 
 
 }̂]{[ uB
x
u
x =∂
∂=ε (II.10) 
 onde [ ] é ou sendo dada por: B denominada matriz de deformação matriz gradiente discreto
 
 




∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
x
N
x
N
x
N
x
N
B
NNOS.....
][
][ 21 (II.11) 
 
 Conhecidas as deformações, as tensões podem ser obtidas a partir das relações constitutivas como8: 
 
 ( ) ][ }̂ { EBuEE TTTxxx === εεσ (II.12) 
 
 Utilizando as equações (II.5), (II.10) e (II.12), escrevemos a energia de deformação como: 
 
 }ˆ{ ][ }ˆ{ 
2
1 T uKuU = (II.13) 
 
 onde ][ é denominada dada por: K matriz de rigidez
 
 dxA(x)BEK ][ [B] ][
 
0 
T∫=
l
 (II.14) 
 
6 A abordagem em que os deslocamentos são interpolados é denominada M (ou Método das Deformações étodo dos 
 Deslocamentos) e é adotada na grande maioria das aplicações de estruturas. 
7 A partir de agora não utilizaremos subscritos para denotar aproximação, ou seja, 
.
)(
aprox
xu será substituído por )( xu . 
8 A equação (II.12) embute um pequeno artifício algébrico que deriva do fato de o escalar xε , dado pela equação 
 (II.10), poder ser interpretado como uma matriz 1x1 (sempre simétrica), de forma que 
[ ] [ ] TTTxxxx Nu ][}{ˆ
 
11 11 == εε . 
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 As forças nodais decorrentes do carregamento aplicado podem ser agrupadas no vetor de cargas 
 organizado como: 
 














=+=
NNOS
adistribuídaconcentrad
F
F
F
FFF 
:
}{}{}{
2
1
 (II.15) 
 
 onde }{ aconcentrad F contém forças aplicadas nos nós e }{ adistribuíd F contém termos decorrentes de forças 
 distribuídas 9 . Independentemente da origem das cargas (se distribuídas ou concentradas), elas 
 resultam em forças nodais, e o trabalho por elas realizado pode ser escrito em forma matricial 
 como: 
 }{ }û{ 
2
1 T
. FWext = (II.16) 
 Igualando a energia de deformação e o trabalho das forças externas (equações (II.13) e (II.16)), 
 escrevemos: 
 }{ }û{ }ˆ{ ][ }ˆ{ TT FuKu = (II.17) 
 
 Para satisfazer a equação (II.17) basta que: 
 }{ }ˆ { ][ FuK = (II.18) 
 
 A equação (II.18) é de grande utilidade pois relaciona forças e deslocamentos nodais através da 
 matriz de rigidez. O Quadro II.1 apresenta as principais equações envolvidas no desenvolvimento 
 de elementos finitos de treliça. 
 
 Campo de deslocamento 
 
}ˆ { ][)( uNxu = (II.9) 
 
 Campo de deformações 
 
}ˆ]{[ uBx =ε (II.10) 
com: 
 






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x
N
x
N
x
N
B
NNOS.....][ 21 (II.11) 
 Campo de tensões 
 
 ][ }ˆ { EBu TTx =σ (II.12) 
 
 Matriz de rigidez 
 
dxA(x)BEK ][ [B] ][
 
0 
T∫=
l
 (II.14) 
 
 Relação deslocamentos-forças nodais 
 
}{ }ˆ { ][ FuK = (II.18) 
 Quadro II.1 – Formulação de elemento finito para treliça (Método dos Deslocamentos) 
 
 II.8.2 – Elemento de treliça com campo de deslocamento linear 
 Considere o Elemento representado na Figura II.6, com dois nós (NNOS=2) e um grau de liberdadepor nó. Note que e as coordenadas dos nós estão referidas ao sistema de eixos que tem origem xyz
 no nó 1, de forma que 01 =x e l=2x . O deslocamento )(xu é interpolado através de polinômios 
 do primeiro grau (G=NNOS-1=1), ou seja, é dado pela equação (II.9) com: 
 
 [ ]21][ NNN = ; 






=
2
1
ˆ
ˆ
}ˆ{
u
u
u (II.19ab) 
onde 1N e 2N são funções lineares dadas por: 
 
l
x
N −= 11 ; 
l
x
N =2 (II.20) 
 
9 Forças distribuídas podem ser transformadas em forças nodais equivalentes, como veremos mais adiante. Por 
 enquanto, considere que o carregamento é constituído apenas por forças concentradas nos nós. 
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 Note que 1N e 2N são tais que 1=i N no nó i e 0=i N nos demais nós, como representa a Figura 
II.7. 
x,u
y,v
z,w
1
2
1û
2û
F2
F1
 
 Figura II.6 – Elemento de treliça linear – nós, graus de liberdade e forças nodais 
 
x
N1
1
1 2
l 
x
N2
1
1 2
l 
 Figura II.7 – Funções de forma lineares em 1 d 
 
 O campo de deformação é obtido através da equação (II.10) com: 
 
 


−=





∂
∂
∂
∂
=
ll
11][ 21
x
N
x
N
 B (II.21) 
 
 Note que a matriz [ ] é constante, pois é obtida a partir da derivação de funções de forma lineares. B
 A matriz de rigidez é fornecida pela equação (II.14) resultando em: 
 
 ∫∫∫ 










−
−
===
lll
ll
ll
 
0 
22
22 
0 
T
 
0 
T 
11
11
 ][ ][ ][ ][ ][ dxA(x)EdxA(x)BEBdxA(x)BEBK (II.22) 
 
 Frequentemente, elementos de treliça têm seção transversal constante. Neste caso a equação (II.22) 
 toma a forma: 
 
11
11
][ 





−
−
=
l
EA
 K (II.23) 
 
 Deslocamentos e forças nodais se relacionam pela equação (II.18) e com o vetor de forças dado por: 
 
 






=
2
1}{ 
F
F
F (II.24) 
 
onde F1 e F 2 são forças externas aplicadas nos nós (Figura II.6). 
 
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 II.8.3 – Elemento de treliça com campo de deslocamento quadrático 
 Este elemento possui três nós (dois situados nas extremidades e um no meio do elemento) e um 
 grau de liberdade por nó, como representa a Figura II.8. As coordenadas dos nós estão referidas ao 
 sistema de eixos que tem origem no nó 1, de forma que xyz 01 =x , 2/2 l=x e l=3x . 
 
 
x,u
y,v
z,w
1
2
3
1
û
2
û
3ûF2
F3
F1
 
 Figura II.8 – Elemento de treliça quadrático – nós, graus de liberdade e forças nodais 
 
 
 O campo de deslocamento é interpolado como na equação (II.9) com: 
 [ ]321][ NNNN = ; 










=
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
}ˆ{
u
u
u
u (II.25ab) 
 onde 
 
2
2
1
 2 31
ll
xx N +−= ; 
2
2
2
 4 4
ll
xx
N −= ; 
2
2
3
 2 
ll
xx
N +− = (II.26) 
 
 Note que, mais uma vez, as funções de forma são tais que 1=
i
 N no nó i e 0=
i
 N nos demais nós, 
 conforme a Figura II.9. 
 
 
N1
1
ll /2 
x ll /2
1
x
N 2
l
1
N3
xl /2
 
 Figura II.9 – Funções de forma quadráticas – treliça de 3 nós 
 
 
 A deformação axial é dada pela expressão (II.10) com: 
 
 


 +−−+
−
=





∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
222
 41 84 4 3 
)(
 
)(
 
)(
][
llllll
xxx
x
N
x
N
x
N
B k
ji (II.27) 
 
 A matriz de rigidez é fornecida pela equação (II.14) resultando em: 
 
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dxA(x)
xxxxx
xxxxx
xxxxx
E
dxA(x)BEBK
 
413224416163
3224484324012
1616332401243
 
 ][ ][ ][
 
0 
2
24
2
324
2
32
4
2
32
2
24
2
32
4
2
324
2
32
2
2
 
0 
T
∫
∫























 +−−+−+−
−+−




 −−+−
+−−+−




 +−
=
==
l
l
llllllll
llllllll
llllllll
 (II.28) 
 
 Se a área da seção transversal for constate ao longo do comprimento, a equação (II.28) toma a 
forma: 
 










−
−−
−
=
781
8168
187
3
][ 
l
EA
K (II.29) 
 
 Deslocamentos e forças nodais se relacionam pela equação (II.18) e com o vetor de forças, 
 organizado como: 
 
 [ ]321}{ FFFF T = (II.30) 
 
onde F1 , F2 e F 2 são forças externas aplicadas nos nós (Figura II.8). 
 
Exercício II.3) Para cada um dos elementos do Exercício II.1: 
 
 
 
a) Determinar matriz de rigidez considerando uma interpolação linear de 
 deslocamentos (considere o nó esquerdo como nó inicial e o direito como final); 
 
 
b) Determinar matriz de rigidez considerando uma interpolação quadrática de 
 deslocamentos (considere o nó esquerdo como nó inicial e o direito como final). 
 
 II.9 – Significado dos coeficientes da rigidez de rigidez de elemento 
 
 Conforme vimos anteriormente, a matriz de rigidez relaciona deslocamentos e forças nodais 
 conforme a equação (II.18). A fim de não limitar nosso estudo a um tipo particular de elemento, 
 imagine que um dado elemento de treliça possua N graus de liberdade nodais. Neste caso, o vetor 
 de forças e o vetor de deslocamentos nodais terão N linhas, e a matriz de rigidez terá N linhas e N 
 colunas. Suponha que desejamos impor ao elemento uma configuração na qual certo deslocamento 
nodal Mû seja unitário, e todos os demais deslocamentos nodais sejam nulos. Para que esta 
 configuração seja imposta, é preciso aplicar forças nodais que podem ser obtidas através das 
 equações (II.18) como: 
 
 




















=








































=




















MN
MM
M
M
NNMNNN
NMMMM
NM
NM
N
M
k
k
k
k
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
F
F
F
F
,
,
,2
,1
,,2,1,
,3,2,1,
,1,22,21,2
,1,12,11,1
2
1
...
...
0
...
1
...
0
0
 
.........
........................
....
........................
........
........
...
...
 (II.31) 
Impresso por GM-Davi, CPF 059.975.307-28 para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e não
pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 18/11/2019 14:02:48
 Estácio ENG0814 
 Prof. Rubens Mitri 
 Material registrado na Biblioteca Nacional 10
 A solução dada pela equação (II.31) informa que, para estabelecer a configuração 1ˆ =Mu e demais 
 deslocamentos nodais nulos, devemos aplicar uma força com intensidade MK ,1 na direção do 
 deslocamento 1̂u , com intensidade MK ,2 na direção do deslocamento 2û etc. De forma mais 
 genérica, podemos definirum coeficiente de rigidez jiK , como sendo “a força que devemos aplicar 
 na direção do deslocamento iu ˆ , para manter a configuração 1ˆ =j u com todos os demais 
 deslocamentos nodais nulos j ””. Podemos então olhar para uma coluna “ da matriz de rigidez 
 como sendo o vetor de forças que provoca a configuração 1ˆ =j u com todos os demais 
 deslocamentos nodais nulos. Como exemplo, considere o elemento com dois g.l. e sua respectiva 
 matriz de rigidez10 representado na Figura II.10. As forças nodais para impor as configurações 
0ˆ ,1ˆ 21 == uu e 1ˆ ,0ˆ 21 == uu correspondem respectivamente aos coeficientes da primeira e da 
 segunda coluna da matriz de rigidez do elemento, como indica a Figura II.11. Vale observar que 
 qualquer outro estado de deformação do elemento pode ser obtido pela combinação linear das duas 
 configurações representadas na figura. Note também que os coeficientes de rigidez satisfazem o 
 equilíbrio de forças na direção de , ou seja, x jj kk ,2,1 −= . 
 
1 2
e1
1
û
2
û
1l
A1
seçao transversal 
 






−
−
=





=
1 1
11 
][
1
11
2,21,
2,11,1
1 11
11
l
AE
kk
kk
k e
2
 
 Figura II.10 – Elemento linear com dois g.l. e seção transversal constante 
 
2
e1
1ˆ1 =u 1111,22 / 1 lAEkRx −==
1
11
1,1
 
1
l
AE
k =
1
 
 a) Forças nodais para a Configuração 1: 0ˆ1ˆ 21 , == uu 
2
e1
1ˆ2 =u
1
1
11
2,2
 
1
l
AE
k =
1112,11 / 1 lAEkRx −==
 
 b) Forças nodais para a Configuração 2: 1ˆ0ˆ 21 , == uu 
 Figura II.11 – Configurações de deformação básicas para treliça linear 
 
 
 II.10 - Associação de elementos de treliça em uma dimensão. 
 
 Considere três elementos de treliça lineares e suas respectivas matrizes de rigidez, como 
 representado na Figura II.12, e imagine que desejamos obter a matriz de rigidez da estrutura 
 composta por estes três elementos dispostos em linha, conforme a Figura II.13. A numeração dos 
 nós e deslocamentos nodais da Figura II.12 é dita numeração local e a da Figura II.13 é dita 
 numeração global. Dessa forma, na estrutura da Figura II.13, o primeiro deslocamento local do 
 elemento e 2 corresponde ao deslocamento global numero 2, o segundo deslocamento local do 
 elemento e 3, corresponde ao deslocamento global 4, etc. 
 
1 3
e1
1û 2û
 
 





=
2,21,2
2,11,1
1 11
11
][ 
kk
kk
k e 
 a) elemento 1 e
1 3
e 2
1û 2û
 






=
2,21,2
2,11,1
2 22
22
][ 
kk
kk
k e 
 b) elemento 2 e
1 3
e 3
1û 2û
 






=
2,21,2
2,11,1
3 33
33
][ 
kk
kk
k
e
 
 c) elemento 3 e
 Figura II.12 – Elementos de treliça com dois – numeração e matriz de rigidez locais 
 
10 Por simplicidade, estamos supondo que a seção transversal é constante, mas o estudo pode ser diretamente aplicado 
 para elementos de seção transversal variável.