Matematica_Financeira_Apostila_20200204-1053

Prévia do material em texto

Material elaborado pelo Prof. Paulo Zanellato 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Apostila do curso 
 
 
SUMÁRIO: 
 
1 – FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................ 1 
1.1 – Capital ......................................................................................................................... 1 
1.2 – Juros ............................................................................................................................ 1 
1.3 – Taxa de juros .............................................................................................................. 2 
1.4 – Montante ..................................................................................................................... 2 
1.5 – Diagrama de fluxo de caixa ....................................................................................... 2 
1.6 – Regimes de capitalização ........................................................................................... 3 
2 – JUROS SIMPLES .............................................................................................................. 5 
3 – JUROS COMPOSTOS....................................................................................................... 7 
3.1 – Equivalência de taxas compostas ............................................................................. 8 
3.2 – Taxa nominal e efetiva ............................................................................................... 9 
4 – DESCONTO SIMPLES ................................................................................................... 11 
5 – DESCONTO COMPOSTO ............................................................................................. 14 
6 – SÉRIES UNIFORMES .................................................................................................... 17 
6.1 – Séries uniformes de Capitalização ......................................................................... 17 
6.1.1 – Série de capitalização postecipada ...................................................................... 18 
6.1.2 – Série de capitalização antecipada ........................................................................ 20 
6.2 – Séries uniformes de Amortização ........................................................................... 21 
6.2.1 – Série de amortização postecipada ....................................................................... 22 
6.2.2 – Série de amortização antecipada ......................................................................... 24 
7 – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ................................................................................. 27 
7.1 – Taxa Mínima de Atratividade [im] ......................................................................... 29 
7.2 – Valor Presente Líquido [VPL] ................................................................................ 29 
7.3 – Taxa de Rentabilidade [TR] ................................................................................... 32 
7.4 – Índice Benefício/Custo [IBC] .................................................................................. 33 
7.5 – Taxa Interna de Retorno [TIR] .............................................................................. 35 
7.6 – Tempo de Retorno do Investimento [Payback] ..................................................... 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
1 – FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Nas transações financeiras e comerciais, a movimentação de dinheiro (pagamentos e 
recebimentos) ocorre em instantes diferentes de tempo. Dessa forma, aplicações ou 
empréstimos realizados hoje terão um valor maior no futuro. Por outro lado, quantias 
disponíveis no futuro, se avaliadas hoje, terão seus valores reduzidos. Estas situações levam 
ao conceito de valor do dinheiro no tempo, ou seja, de que o dinheiro terá valores diferentes 
em cada instante de tempo. 
 
Para melhor compreensão do conceito de valor do dinheiro no tempo, suponha que se 
pergunte a uma pessoa se ela prefere receber R$ 100,00 hoje, ou os mesmos R$ 100,00 no 
final de um ano. A resposta certamente seria R$ 100,00 hoje. No entanto, se a pergunta fosse 
receber R$ 100,00 hoje ou R$ 148,00 no fim de um ano, a resposta poderia ser: “- Depende”. 
Para responder a pergunta, a pessoa analisaria se vale a pena deixar de usar os R$ 100,00 para 
atender a uma necessidade ou desejo (trocar de carro, fazer uma viagem), ou se seria mais 
vantajoso privar-se desse desejo ou necessidade atual para receber R$ 148,00 no fim de um 
ano. Caso esta pessoa concorde com a proposta, na prática ela estará fixando valores para seu 
dinheiro no tempo, ou seja, R$ 100,00 para ela hoje valem R$ 148,00 ao fim de um ano, 
evidenciando que uma mesma quantia tem valores diferentes em diferentes instantes de 
tempo. 
 
Pode-se imaginar, também, uma situação na qual uma pessoa pretenda vender um terreno por 
R$ 50.000,00 à vista. Após a publicação do anúncio, recebe várias propostas de compra, mas 
todas elas incluindo uma parte à vista e o saldo financiado em diversas parcelas, sendo que 
cada proposta apresenta diferentes planos de financiamento. Como escolher a proposta mais 
interessante? A Matemática Financeira justamente estuda e propõe soluções para questões 
como estas, pois é uma disciplina que tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução 
do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas 
para a aplicação e obtenção de recursos financeiros. 
 
 
1.1 – Capital 
 
Do ponto de vista da Matemática Financeira, Capital é qualquer valor expresso em moeda 
(dinheiro ou bens comercializáveis) disponíveis em determinada época. Referida quantidade 
de dinheiro também é denominada de capital inicial ou principal. 
 
 
1.2 – Juros 
 
Ao emprestarmos certa quantia por determinado período de tempo, costumamos cobrar uma 
dada importância de tal modo que, ao fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia 
emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital, por 
nossa parte, durante o período em que foi emprestado. Desse modo, podemos definir Juro 
como sendo o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro 
durante um determinado tempo. Juros é o rendimento, em dinheiro, proporcionado pela 
utilização de uma quantia monetária, por um determinado período de tempo. 
 
 
 2 
1.3 – Taxa de juros 
 
O valor em dinheiro a ser pago ou recebido pela utilização do capital, denominado de juros, é 
determinado pela taxa de juros à qual o dinheiro foi aplicado ou emprestado. 
 
Taxa de juros é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no 
fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. 
 
Exemplificando, qual a taxa de juros obtida por uma pessoa que investiu R$100,00 e recebeu 
R$150,00 após 1 ano? 
 
Temos: 
Capital Inicial = R$ 100,00 
Juros = R$ 150,00 - R$ 100,00 = R$ 50,00 
Taxa de Juros = R$ 50,00 / R$ 100,00 = 0,5 ou 50% a.a. 
 
A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.) e pode ser 
apresentada na forma unitária ou percentual (centesimal), sendo esta última a mais comum. 
 
No exemplo, a taxa de juros (unitária) de 0,5 a.a. significa que cada R$ 1,00 de capital 
aplicado rendeu R$ 0,50 de juro a cada ano de aplicação. Da mesma forma, pode-se dizer que 
a taxa de juros percentual foi de 50% , ou seja, que cada R$ 100,00 rendeu R$ 50,00 de juro a 
cada ano de aplicação. Trata-se apenas de formas de apresentação, sendo a percentual bem 
mais comum na linguagem comercial, nos contratos e no dia-a-dia dos negócios. 
 
 
1.4 – Montante 
 
Denomina-se de Montante (ou capital final) de um financiamento ou aplicação financeira a 
soma do capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos ou recebidos. 
Tomando-se o exemplo apresentadono item anterior, temos: 
 
Capital Inicial = R$ 100,00 
+ Juros = R$ 50,00 
Montante = R$ 150,00 
 
 
1.5 – Diagrama de fluxo de caixa 
 
O fluxo de caixa representa a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de 
caixa) ao longo de um período de tempo. O diagrama de fluxo de caixa é uma representação 
gráfica das transações financeiras ao longo do tempo. O tempo é representado por uma linha 
horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou 
recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima. As saídas ou 
pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. 
 
 
 
 
 
Entrada (+) 
tempo (n) 
Saída (-) Saída (-) 
t0 
t1 t2 
 3 
Exemplo: 
 
Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 1.000,00 em um banco para quitá-lo em 3 parcelas 
fixas de R$ 400,00. Represente o fluxo de caixa desta operação. 
 
 Do ponto de vista do tomador (pessoa): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do ponto de vista do emprestador (banco): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 – Regimes de capitalização 
 
Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa de juros, por diversos 
períodos, o montante pode ser calculado de acordo com dois regimes básicos de capitalização: 
simples e composta. 
 
 
I – Regime de capitalização simples: 
 
No regime de capitalização simples, somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros 
são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de 
capitalização a que se refere a taxa de juros. Neste regime, o montante de um capital inicial de 
R$ 100,00 aplicado durante 4 anos, a uma taxa de 10% a.a., apresentará a seguinte evolução: 
 
1º ano: 10% a.a. significa que cada R$ 100,00 de capital produz R$ 10,00 de juros ao ano. 
No 1º ano os juros serão de R$ 10,00 e o montante atingirá R$ 110,00. 
2º ano: Como os juros incidem somente sobre o capital inicial, os juros produzidos serão 
iguais aos produzidos no 1º ano (R$ 10,00). O montante, ao final do 2º ano, 
corresponderá ao montante do final do 1º ano (R$ 110,00), acrescido dos juros 
gerados (R$ 10,00) no 2º ano, totalizando R$ 120,00. 
3º ano: Os juros serão de R$ 10,00 e o montante passará para R$ 130,00. 
4º ano: Os juros serão de R$ 10,00 e o montante passará para R$ 140,00. 
Ao término dos 4 anos, os juros serão R$ 40,00 e o montante totalizará R$ 140,00. 
R$ 1.000,00 
tempo (n) 
R$ 400,00 R$ 400,00 R$ 400,00 
R$ 1.000,00 
tempo (n) 
R$ 400,00 R$ 400,00 R$ 400,00 
t0 
t1 t2 t3 
t0 
t1 t2 t3 
 4 
O fluxo de caixa do aplicador será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II – Regime de capitalização composta: 
 
O regime de capitalização composta considera que os juros produzidos ao final de cada 
período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render 
juros no período seguinte e assim sucessivamente. 
 
Tomando-se o mesmo exemplo do item anterior, tem-se: 
 
1º ano: O capital está aplicado a 10% a.a, significando que cada R$ 100,00 de capital 
produz R$ 10,00 de juros e o montante será de R$ 110,00 no final do 1º ano. 
2º ano: Agora, o capital que passa a produzir rendimento no 2º ano é de R$ 110,00. Como 
cada R$ 100,00 de capital produz R$ 10,00 de juros, R$ 110,00 de capital irá 
produzir R$ 11,00 de juros e o montante vai para R$ 121,00. 
3º ano: O capital inicial será de R$ 121,00 e os juros de 10% a.a., ou seja, no final do 3º 
ano os juros produzidos serão de R$ 12,10 e o montante será de R$ 133,10. 
4º ano Os juros são calculados sobre R$ 133,10 à taxa de 10% a.a., resultando R$ 13,31 
de juros no 4º ano. O montante, por sua vez, atingirá R$ 146,41. 
 
 
O fluxo de caixa do aplicador será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando-se os dados dos exemplos dos dois itens anteriores, pode-se compor o seguinte 
quadro comparativo: 
 
Período 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
Simples Composta 
Juros Montante Juros Montante 
1º ano 10,00 110,00 10,00 110,00 
2º ano 10,00 120,00 11,00 121,00 
3º ano 10,00 130,00 12,10 133,10 
4º ano 10,00 140,00 13,31 146,41 
 
C = R$ 100,00 
R$ 110,00 R$ 120,00 R$ 130,00 
t0 
t1 t2 t3 t4 
M = R$ 140,00 
C = R$ 100,00 
R$ 110,00 R$ 121,00 R$ 133,10 
t0 
t1 t2 t3 t4 
M = R$ 146,41 
 5 
2 – JUROS SIMPLES 
 
Juros simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal. 
 
No regime de capitalização simples, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial e seu 
valor é igual em todos os períodos considerados. Assim, supondo um capital de R$ 100,00 
aplicado a juro simples de 5% a.m., durante 4 meses, os juros podem ser calculados como 
segue: 
 
No final de cada mês, o capital R$ 100,00 renderá R$ 5,00 de juros, ou R$ 100,00 x 0,05. 
 
Note-se que os juros são todos iguais, pois são sempre calculados sobre o mesmo capital 
inicial. Os juros podem ser retirados no fim de cada mês ou no final de 4 meses que o total 
será sempre o mesmo, ou seja, R$ 20,00. 
 
Na prática, como os juros serão iguais todos os meses e a taxa de juros é aplicada somente 
sobre o capital inicial, o total de juros pode ser calculado pela multiplicação do juro mensal 
produzido R$ 5,00 (5% de R$ 100,00 ou R$ 100,00 x 0,05) pelo nº de meses (4) que é o 
tempo em que o capital fica aplicado, totalizando R$ 20,00. 
 
 Cálculo dos juros simples (J): 
 
J = C i n 
 
Onde: 
J  juro 
C  capital inicial ou principal 
i  taxa unitária 
n  número de períodos consecutivos 
 
 Cálculo do montante (M): 
 
M = C + J 
M = C + C i n 
M = C ( 1 + i n ) 
 
 
Exemplo: 
Calcular os juros simples e o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 2% 
a.m., durante 6 meses. 
 
J = C i n 
J = 1.000 ∙ 0,02 ∙ 6 
J = 120,00 
 
M = C + J 
M = 1.000 + 120 
M = 1.120,00 
 
 6 
 Cálculo de taxas proporcionais: 
 
Em regime de capitalização simples, duas taxas são proporcionais se seus valores formarem 
uma proporção com seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. 
 
 
n
i
n
i
 
2
2
1
1  
 
Exemplo: 
a) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.? 
 
a.m. %2i 
12
24
i 24i 12 
12
24
1
i
 
n
i
n
i
 111
1
2
2
1
1  
 
b) Qual a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.? 
 
a.a. %18i 5,112i 
1
1,5
12
i
 
n
i
n
i
 11
1
2
2
1
1  
 
Nota: Para juros simples, taxas proporcionais também são consideradas equivalentes. 
 
 
Exercícios: 
 
1. Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$ 2.000,00 aplicado à taxa de 1% 
a.m. durante 1 ano e 2 meses. 
 
2. Um capital de R$ 4.000,00 rendeu em um mês a importância de R$ 1.000,00 de juros. 
Calcule a taxa de juros simples. 
 
3. Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00 empregado à taxa de juros simples de 
0,5% a.m. durante 2 anos e 6 meses. 
 
4. Calcular o capital que deve ser empregado para gerar um montante de R$ 6.500,00 
aplicado à taxa de juros simples de 5% a.m. durante 6 meses. 
 
5. Um capital de R$ 8.000,00 gerou um montante de R$ 9.440,00 durante 1 ano e 6 meses 
sob regime de capitalização simples. Qual a taxa de juros anual praticada? 
 
6. Qual a taxa anual proporcional a 4% a.t.? 
 
7. Qual a taxa semestral proporcional a 3,0% a.a.? 
 
 
 
 
 
 7 
3 – JUROS COMPOSTOS 
 
Os juros compostos ou derivados de capitalização composta são aqueles que sucessivamente 
incidem sobre o valor atualizado do montante de cada período de capitalização. 
 
Enquanto que os juros simples possuem progressão aritmética, os juros compostos possuem 
progressão geométrica. 
 
 Cálculo do montante (M): 
 
M = C ( 1 + i )n 
 
Onde: 
M  montante 
C  capital inicial ou principal 
i  taxa unitária 
n  número de períodos consecutivos 
 
 Cálculo dos juros compostos (J): 
 
J = M – C 
J = C ( 1 + i )n – C 
J = C [( 1 + i )n – 1] 
 
Exemplo: Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em regime de capitalização compostadurante o período de 3 meses a uma taxa de 1,5% mensais. Calcule o montante e os juros da 
operação. 
 
M = C ( 1 + i )n = 10.000 ( 1 + 0,015 )3 = 10.000 ( 1,015 )3 = 10.000 ∙ 1,0456784 
M = 10.456,78 
 
J = M – C = 10.456,78 – 10.000 
J = 456,78 
 
 
Exercícios: 
 
8. Calcule o montante produzido de um capital de R$ 2.000,00 aplicado a uma taxa de juros 
compostos de 2% a.m. durante 8 meses. 
 
9. Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m. 
para produzir um montante R$ 6.000,00 ? 
 
10. Calcular os juros compostos de um capital de R$ 6.000,00 aplicado à taxa de 0,5% a.m. 
durante 5 meses. 
 
11. Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se um 
rendimento de R$ 185,45. Calcule a taxa mensal da aplicação. 
 
 8 
12. Considerando o fluxo de caixa apresentado abaixo com as movimentações de uma 
caderneta de poupança e que o rendimento composto foi de 0,5% ao mês, calcule o saldo 
ao fim de 1 ano: 
 5.000 5.000 10.000 3.000 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 3.000 5.000 7.000 
 
 
 
3.1 – Equivalência de taxas compostas 
 
Duas ou mais taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo 
período de tempo, produzem montantes iguais. 
 
Exemplo: 
Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes 
condições: 
a) 2,00 % a.m. 
b) 4,04 % a.b. 
 
Solução: 
a) Ma = C ( 1 + i )n = 1.000 ( 1 + 0,0200 )12 = 1.000 ( 1,0200 )12 = 1.268,24 
b) Mb = C ( 1 + i )n = 1.000 ( 1 + 0,0404 )6 = 1.000 ( 1,0404 )6 = 1.268,24 
 
Logo, as duas taxas são equivalentes, pois produzem o mesmo montante ao final do 
período de aplicação 
 
Para verificar a equivalência de taxas, vale a seguinte relação: 
 
( 1 + ia ) = ( 1 + is )2 = ( 1 + it )4 = ( 1 + ib )6 = ( 1 + im )12 = ( 1 + id )360 
 
Onde: 
ia  taxa anual de juros compostos is  taxa semestral de juros compostos 
it  taxa trimestral de juros compostos ib  taxa bimestral de juros compostos 
im  taxa mensal de juros compostos id  taxa diária de juros compostos 
 
Exemplo: 
Calcular a taxa semestral composta equivalente a 6% a.a. 
 
( 1 + is )
2 = ( 1 + ia ) 
( 1 + is )
2 = ( 1 + 0,06 ) 
( 1 + is )
2 = ( 1,06 ) 
1 + is = ( 1,06 )
1/2
 
1 + is = 1,0296 
is = 1,0296 – 1 
is = 0,0296 
is = 2,96 % a.s. 
 9 
Exercícios: 
 
13. Calcule a taxa anual equivalente a 4% a.m. 
 
14. Calcule a taxa semestral equivalente a 40% a.a. 
 
15. Calcule a taxa trimestral equivalente a 2% a.m. 
 
16. Calcule a taxa mensal equivalente a 25% a.s. 
 
17. Calcule a taxa mensal equivalente a 0,5% a.d. 
 
 
3.2 – Taxa nominal e efetiva 
 
 Taxa Nominal é aquela em que a unidade de seu período de referência é diferente da 
unidade do período da capitalização. 
 
Exemplos: 
 12% ao ano com capitalização mensal; 
 5% ao mês com capitalização diária. 
 
 Taxa Efetiva é aquela em que a unidade de seu período de referência corresponde com a 
unidade do período da capitalização. 
 
Exemplos: 
 12% ao ano com capitalização anual; 
 5% ao mês com capitalização mensal. 
 
Para se transformar uma taxa nominal em taxa efetiva, deve-se dividir a taxa nominal pelo 
número corresponde de períodos da capitalização. 
 
Exemplos: 
 
a) Calcular a taxa efetiva ‘i’ relativa à taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente: 
 
i = 6% ÷ 12 = 0,5% a.m. 
 
b) Calcular a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal: 
 
i = 12% ÷ 12 = 1% a.m. 
 
( 1 + im )
12 = ( 1 + ia ) 
( 1 + 0,01 )12 = 1 + ia 
( 1,01 )12 = 1 + ia 
1,1268 = 1 + ia 
ia = 1,1268 – 1 
ia = 0,1268 
ia = 12,68% a.a. 
 
 10 
Exercícios: 
 
18. Calcule a taxa efetiva mensal de uma taxa de 12% anual, com capitalização semestral. 
 
19. Calcule a taxa efetiva anual equivalente a 2% ao mês, com capitalização mensal. 
 
20. Certo capital foi aplicado a juros compostos de 12% a.a. com capitalização semestral 
durante 2 anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido? 
 
21. Calcule os juros obtidos de um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de juros 
composta de 8% a.a. com capitalização trimestral durante o período de 1 ano e meio. 
 
22. Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes 
taxas de juros: 
 2% a.m. capitalizados trimestralmente; 
 2% a.m. capitalizados bimestralmente; 
 2% a.m. a juros simples. 
Qual a melhor opção? 
 
23. O fluxo de caixa abaixo representa aplicações mensais que um investidor faz em uma 
aplicação financeira que aufere um rendimento composto de 24% ao ano com 
capitalização trimestral. Considerando todas as aplicações realizadas, determine o 
montante total ao fim de um ano. 
 
 
 
 
 
 
24. Uma empresa fez 3 empréstimos em um banco para pagamentos de matéria-prima: 
 O 1º com taxa de juros de 2% ao mês capitalizados mensalmente; 
 O 2º com taxa de juros de 2% ao mês capitalizados bimestralmente; 
 O 3º com taxa de juros de 2% ao mês capitalizados trimestralmente. 
Sabendo que todos os empréstimos foram do mesmo valor e tomados na mesma data, 
determine os seus valores sendo que foram quitados conjuntamente por R$ 125.000,00 ao 
fim de 1 ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 . 1 0 0,00 1 . 2 0 0,00 1 . 3 0 0,00 
t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 
 1 .000 ,00 1 .40 0,00 
[m ês] 
 11 
4 – DESCONTO SIMPLES 
 
Em operações financeiras, é muito comum compras a prazo ou empréstimos junto à 
instituições financeiras. Nestas operações, o credor (quem cede a venda a prazo ou 
empréstimo) emite um título de crédito, que é o comprovante da dívida. 
 
Todo título de crédito tem uma data de vencimento que corresponde à data em que a dívida ou 
parcela da dívida deverá ser quitada. Pode ocorrer que o devedor resolva quitar uma dívida 
antes do vencimento, tendo direito a um abatimento denominado desconto (d). 
 
Os títulos possuem um valor, chamado valor nominal (N), que corresponde ao seu valor no 
dia do seu vencimento. Antes do vencimento, o título pode ser resgatado por um valor menor 
que o nominal, denominado de valor atual (A). 
 
Desta forma, genericamente o desconto é representado pela equação: d = N – A 
 
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são: 
 
Nota promissória: É um título que comprova uma dívida financeira com vencimento pré-
determinado. Utilizado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e instituições financeiras. 
 
Duplicata: É um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou 
jurídica) que comprova uma dívida assumida a ser paga no futuro. 
 
O desconto simples comercial (dc), também conhecido por desconto bancário ou “por fora”, 
refere-se ao desconto calculado sobre o valor nominal de um título. Equivale aos juros 
simples onde o capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito. 
 
O valor simples atual (Ac) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título 
na data do resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o 
desconto. 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do desconto simples comercial (dc): 
 
dc = N i n 
 
Onde: 
dc  desconto comercial 
N  valor nominal do título 
i  taxa de desconto 
n  número de períodos consecutivos 
 
Observação: 
O desconto simples comercial só deve ser 
aplicado para períodos curtos, pois para 
prazos longos o valor do desconto pode 
até ultrapassar o valor nominal do título. 
 
 
(Ac) 
Resgate 
(N) 
Vcto 
n 
i 
Operação 
 12 
Exemplo: 
Calcular o desconto simples comercial de um título de crédito no valor de R$ 5.000,00 à taxa 
de 3% ao mês a ser resgatado 2 meses antes do vencimento. 
 
dc = N i n = 5.000 ∙ 0,03 ∙ 2 
dc = 300,00 Cálculo do valor atual (Ac): 
 
Ac = N – dc 
Ac = N – ( N i n ) 
Ac = N ( 1 – i n ) 
 
Exemplo: 
 
Uma promissória de valor nominal de R$ 400,00 foi resgatada 3 meses antes de seu 
vencimento, à taxa de 9% ao ano. Qual o valor atual comercial ? 
 
N = 400 
i = 9% a.a. = 0,09 a.a. 
n = 3 meses = 0,25 ano 
 
Ac = N ( 1 – i n ) = 400 ( 1 – 0,09 ∙ 0,25 ) = 400 ∙ 0,9775 
Ac = 391,00 
 
Exercícios: 
 
25. Calcular o desconto simples comercial de um título de crédito no valor de R$ 2.000,00 à 
taxa de 6% ao mês a ser resgatado 2 meses antes do vencimento. 
 
26. Uma duplicata de R$ 6.000,00 ao ser resgatada 120 dias antes do seu vencimento sofreu 
R$ 300,00 de desconto simples por fora. Qual a taxa anual usada na operação? 
 
27. Calcular o valor atual de um título de crédito de valor nominal de R$ 1.000,00 que sofreu 
um desconto simples comercial, a uma taxa de 3% ao mês, 90 dias antes do vencimento. 
 
28. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. 
Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto simples comercial foi de 
4% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 Cálculo da taxa de juro efetiva (if): 
 
A taxa de juro efetiva (if) é aquela que realmente está sendo cobrada em uma operação de 
desconto comercial, pois para um período n, torna o valor atual comercial (Ac) igual ao seu 
valor nominal (N). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedução da fórmula de taxa de juro efetiva (if): 
Partindo do montante simples: M = C ( 1 + i n ) 
Considerando: 
 M = N 
 C = Ac 
 i = if 
Tem-se: 
nA
AN
i )n i 1 ( AN
c
c
ffc


 
Sendo: 
 dc = N – Ac nA
d
i
c
c
f

 
 
 
Exemplos: 
 
a) Um título de R$ 2.000,00 foi resgatado à taxa simples de 2% ao mês faltando 1 mês para 
seu vencimento. Para o resgate, foi descontado R$ 41,60 por fora. Calcule a taxa de juro 
efetiva nesta operação. 
2,12%
11.958,40
41,60
nA
d
i 1.958,4041,602.000,00dNA
c
c
fcc 



 
b) Uma promissória foi descontada 20 dias antes de seu vencimento onerando um desconto 
de R$ 330,00 por fora. Após a operação, verificou-se que a taxa simples efetiva foi de 9% 
ao mês. Qual foi o valor recebido nesta operação? 
 
n = 20 dias 
dc = 330,00 
if = 9% a.m. = 0,3% a.d. 
5.500,00A
20A
330
0,003
nA
d
i c
cc
c
f 



 
 
 
Exercícios: 
 
29. Um título de R$ 5.000,00 foi resgatado 12 dias antes de seu vencimento por R$ 4.700,00. 
Determine a taxa de desconto simples bancário e sua respectiva taxa de juro efetiva. 
 
30. Um empresário resgatou um título de R$ 10.000,00 faltando 80 dias para seu vencimento. 
Quanto foi o valor do resgate se a taxa simples efetiva cobrada foi de 4,5% ao mês? 
 
 
 
 
(Ac) 
Resgate 
(N) 
Vcto 
n 
(C) (M) 
i 
if 
Operação 
 14 
5 – DESCONTO COMPOSTO 
 
O conceito de desconto composto é similar ao de desconto simples, pois corresponde ao 
abatimento que uma pessoa física ou jurídica obtém ao quitar um título de crédito antes de seu 
vencimento. 
 
O desconto composto é normalmente aplicado em operações de longo prazo, onde a aplicação 
de desconto simples tornaria os resultados incoerentes. 
 
No mercado financeiro, aplica-se o desconto composto racional, pois reflete a realidade 
imparcial de uma operação de desconto composto. 
 
O desconto composto racional ou “por dentro” corresponde aos juros compostos calculados 
sobre o valor atual do título, chamado nesta operação de valor atual racional (Ar). 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do valor atual racional (Ar): 
 
Em desconto composto racional, o valor atual racional é dado pela seguinte expressão: 
 
nr
) i1 (
N
A

 
 
Onde: 
Ar  valor atual racional 
N  valor nominal do título 
i  taxa de desconto 
n  número de períodos consecutivos 
 
 
 Cálculo do desconto composto racional (dr): 
 
Partindo do conceito de desconto: 














nn
n
nr
rr
i)(1
1
1 N
) i1 (
1]i)[(1 N
) i1 (
N
Nd
ANd
 
dr = N [ 1 – ( 1 + i )-n] 
 
 
 
 
 
(Ar) 
Resgate 
(N) 
Vcto 
n 
i 
Operação 
 15 
Exemplos: 
 
a) Calcular o valor atual racional de um título de R$ 10.000,00 a vencer em 8 meses à taxa 
de desconto composto de 3% ao mês. 
 
 
91,893.7
2668,1
000.10
03,01
000.10
) i1 (
N
A
8nr




 
 
b) Qual o desconto composto por dentro que recebe um título de valor nominal R$ 8.000,00 
descontado com antecipação de 10 meses do seu vencimento à taxa de 2% ao mês. 
 
N = 8.000 
n = 10 meses 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
 
dr = N [ 1 – ( 1 + i )
-n ] 
dr = 8.000 [ 1 – ( 1 + 0,02 )
-10 ] 
dr = 8.000 ∙ 0,1797 
dr = 1.437,21 
 
 
Exercícios: 
 
31. Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu 
vencimento à taxa de desconto composto por dentro de 1,5% ao mês. 
 
32. Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível num prazo 
de 2 anos, à taxa de 2% ao mês. 
 
33. O desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi 
de R$ 196,34. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual o prazo de 
antecipação do pagamento? 
 
34. Calcule o valor atual racional de um título de valor nominal de R$ 1.120,00 com 
vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de desconto composto racional de 36% ao ano, 
capitalizados semestralmente. 
 
35. Um título de valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu 
vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. 
Sendo desconto composto racional, determine qual o desconto concedido na operação. 
 
36. Em uma operação de desconto composto, o portador de um título recebeu R$ 36.954,00 
como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e que o desconto foi de 
R$ 3.046,00 por dentro, qual foi a taxa de desconto mensal praticada na operação? 
 
 
 
 
 
 
 16 
 Equivalência de capitais para desconto composto 
 
Calcular a equivalência de capitais consiste em estabelecer uma data de comparação para os 
valores atuais dos títulos avaliados. Se resultar uma igualdade, pode-se concluir que esses 
capitais diferidos são equivalentes. Ao contrário de desconto simples, em desconto composto 
a data de comparação pode ser qualquer uma, porque os juros compostos são equivalentes 
aos descontos compostos. 
 
Exemplo: 
 
Um título de crédito de valor nominal de R$ 800,00 com vencimento para 60 dias é 
substituído por outro para 90 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa 
de desconto composto racional é de 3% ao mês. 
 
N1 = R$ 800,00 
n1 = 60 dias = 2 meses 
i = 3% a.m. 
N = ? 
n = 90 dias = 3 meses 
 
Condição: A = A1 
824,00N
1,03800
(1,03)
(1,03)800
N
(1,03)
800
(1,03)
N
i)(1
N
i)(1
N
AA Então
i)(1
N
A Como
2
3
23
n
1
n
1
n
1









 
 
Exercícios: 
 
37. Um título de crédito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses é substituído 
por outro com vencimento para 2 meses à taxa de desconto composto racional de 2% ao 
mês. Qual é o valor nominal do novo título? 
 
38. Duas promissórias, uma de R$ 4.000,00 vencível em 120 dias e outra de R$ 9.000,00 
vencível em 180 dias serão resgatadas por um só pagamento dentro de 90 dias. Qual o 
valor do resgate, no regime de juros compostos racional, à taxa de 3% ao mês? 
 
39. Uma empresa fez os seguintes empréstimos em um banco: 
 R$ 250.000,00 a vencer em 6 meses; 
 R$ 350.000,00 a vencer em 9 meses; 
 R$ 450.000,00 a vencer em 1 ano. 
 
Em função de um investimento que a empresa terá que fazer para expandir seus negócios 
e que, portanto, impedirá o pagamento dessas dívidas nos prazos acordados, foi solicitada 
ao banco uma prorrogação dos vencimentos, de forma que todo o montante dos 
empréstimos seja quitado num prazo de 2 anos. Para tanto, foi acordado com o banco 
uma taxa de desconto composto por dentrode 1% ao mês. Nessas condições, determine 
qual será o valor do montante devido pela empresa. 
 
 17 
6 – SÉRIES UNIFORMES 
 
Séries são eventos correlacionados que ocorrem segundo uma determinada temporalidade. 
 
Em matemática financeira, as séries de recebimentos ou pagamentos constantes de 
importâncias financeiras que ocorrem em intervalos iguais de tempo são chamadas Séries 
Uniformes. 
 
As séries uniformes referentes a recebimentos são chamadas de Capitalização, pois visam a 
acumulação crescente e contínua de importâncias financeiras. 
 
As séries uniformes referentes a pagamentos são chamadas de Amortização, pois visam à 
redução gradual e contínua de um financiamento até sua quitação. 
 
As Séries Uniformes de Capitalização e de Amortização são chamadas de Operações de 
Renda Certa. 
 
 
6.1 – Séries uniformes de Capitalização 
 
As séries uniformes de capitalização são classificadas em postecipadas e antecipadas. 
 
Uma série de capitalização é postecipada ou imediata quando os recebimentos ocorrem no 
final de cada período de capitalização. 
 
O fluxo de caixa para uma série de capitalização postecipada é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
P representa as parcelas de recebimentos. 
 
Obs.: Quando, em um problema ou exercício, nada for informado quanto à classificação de 
uma série, subentende-se que é postecipada. 
 
Uma série de capitalização é antecipada quando os recebimentos ocorrem no início de cada 
período de capitalização. 
 
O fluxo de caixa para uma série de capitalização antecipada é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
tempo (n) 
P1 
t0 t1 
P2 
t2 
P3 
t3 
... 
... 
Pn 
tn 
tempo (n) 
P2 
t0 t1 
P3 
t2 
P4 
t3 
... 
... 
Pn 
tn 
P1 
 18 
6.1.1 – Série de capitalização postecipada 
 
O montante refere-se ao resultado do acúmulo de capital durante certo período de tempo. 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
A quantia de R$ 200,00 é depositada em um banco, no fim de cada mês, durante o período 
de 5 meses. Sabendo que o banco remunera o capital em 1% ao mês, qual será o montante 
capitalizado ao fim do período? 
 
Neste caso, a representação do fluxo de caixa é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mp = 200 + 200 (1+0,01)
1 + 200 (1+0,01)2 + 200 (1+0,01)3 + 200 (1+0,01)4 
Mp = 200 + 202 + 204,02 + 206,06 + 208,12 
Mp = 1.020,20 
 
Como é observado nesta situação, o montante postecipado pode ser representado pela seguinte 
expressão: 
 
Mp = P + P (1 + i)
1 + P (1 + i)2 + P (1 + i)3 + P (1 + i)4 
 
De forma geral, esta expressão pode ser: 
 
Mp = P + P (1 + i)
1 + P (1 + i)2 + P (1 + i)3 + ... + P (1 + i)n 
 
Colocando-se P em evidência, tem-se: 
 
Mp = P [ 1 + (1 + i)
1 + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i)n ] 
 
A soma entre colchetes equivale à soma dos termos de uma PG finita: 
 
1q
1)q(a
S
n
1


 
 
Adotando-se (a1 = 1) e (q = 1 + i ), tem-se: 
 
i
1i)(1
S
1i1
1]i)[(11
1q
1)q(a
S
n
nn
1








 
 
 
200 
t0 t1 
200 
t2 
200 
t3 
200 
t4 
200 
t5 
Mp 
 19 
Desta forma, a fórmula do montante postecipado para uma série de capitalização será: 
 
SPM p  
 





 

i
1i)(1
PM
n
p 
 
Obs.: S em capitalização é conhecido como Fator de acumulação de capital. 
 
Voltando à situação do início desta seção, pode-se aplicar diretamente esta fórmula: 
 
1.020,20M
5,1010200M
0,01
10,01)(1
200M
i
1i)(1
PM
p
p
5
p
n
p







 






 

 
 
Exercícios: 
 
40. Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente em uma aplicação pré-fixada à uma taxa de 
1% ao mês. Quanto possuirá ao fim de um ano e meio? 
 
41. Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada 
semestre, a taxa de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o 
sexto depósito forme o capital de R$ 2.000,00 ? 
 
42. Quantas prestações mensais imediatas (ao fim do período) de R$ 150,00 devem ser 
remuneradas à taxa de 1% a.m. a fim formar um montante de R$ 922,80 ? 
 
43. Uma pessoa deposita trimestralmente R$ 120,00 em uma conta remunerada que paga juros 
de 24,72% ao ano, capitalizados semestralmente. Em quanto tempo acumulará um capital 
de R$ 1.187,70 ? 
 
44. Uma caderneta de poupança que paga juros efetivos de 1% ao mês foi aberta com um 
depósito de R$ 6.500,00. Efetuando depósitos mensais de R$ 442,37 sendo o primeiro 
após 30 dias da abertura da poupança, em quantos meses acumula-se R$ 80.000,00 ? 
 
45. Um fundo de renda fixa paga juros de 60% a.a. capitalizados mensalmente. Um investidor 
fez um depósito inicial de R$ 8.000,00 mais 22 depósitos mensais iguais e consecutivos, 
sendo o primeiro após um mês da abertura da conta. Considerando que no fim do período 
o fundo acusa de R$ 90.000,00 de saldo, qual o valor das aplicações mensais? 
 
 
 
 
 20 
6.1.2 – Série de capitalização antecipada 
 
Para fins de demonstração, considere a situação abaixo: 
 
A quantia de R$ 200,00 é depositada em um banco, no início de cada mês, durante o 
período de 5 meses. Sabendo que o banco remunera o capital em 1% ao mês, qual será o 
montante capitalizado ao fim do período? 
 
Neste caso, a representação do fluxo de caixa é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o montante, tem-se: 
 
Ma = 200 (1+0,01)
1 + 200 (1+0,01)2 + 200 (1+0,01)3 + 200 (1+0,01)4 + 200 (1+0,01)5 
Ma = 202 + 204,02 + 206,06 + 208,12 + 210,20 
Ma = 1.030,40 
 
Como é observado na situação, o montante antecipado pode ser representado pela expressão: 
 
Ma = P (1 + i)
1 + P (1 + i)2 + P (1 + i)3 + P (1 + i)4 + P (1 + i)5 
 
Contudo, para se aplicar a fórmula da soma da PG para se chegar à fórmula do montante 
antecipado, é necessário inserir P em cada termo da expressão: 
 
Ma + P = P + P (1 + i)
1 + P (1 + i)2 + P (1 + i)3 + P (1 + i)4 + P (1 + i)5 
 
De forma geral, esta expressão pode ser: 
 
Ma + P = P + P (1 + i)
1 + P (1 + i)2 + P (1 + i)3 + ... + P (1 + i)n 
 
Colocando-se P em evidência, tem-se: 
 
Ma + P = P [ 1 + (1 + i)
1 + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i)n ] 
 
A soma entre colchetes equivale à soma dos termos de uma PG finita: 
 
1q
1)q(a
S
n
1


 
Adotando-se (a1 = 1) , (q = 1 + i ) e adicionando 1 à n, tem-se: 
 
i
1i)(1
S
1i1
1]i)[(11
1q
1)q(a
S
1n
1nn
1










 
200 
t0 t1 
200 
t2 
200 
t3 
200 
t4 t5 
M 200 
 21 
Desta forma, a fórmula do montante antecipado para uma série de capitalização será: 
 
]S[PM
PSPM
SPPM
a
a
a



 










1
i
1i)(1
PM
1n
a 
 
Voltando à situação do início desta seção, pode-se aplicar diretamente esta fórmula para se 
obter o resultado do montante antecipado: 
 
1.030,40M
5,1520200M
0,01
10,01)(1
200M
i
1i)(1
PM
a
a
15
a
1n
a






















 
 
Exercícios: 
 
46. Determinar o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 depositadas mensalmente a 
juros de 1,5% a.m., sendo a primeira parcela antecipada. 
 
47. Uma pessoa deseja fazer depósitos no início de cada bimestre, em um banco que paga 
12% a.a. para construir o montante de R$ 1.500,00 no fim de um ano, sendo os juros 
capitalizados bimestralmente. Qual o valor dos depósitos? 
 
48. Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 350,00 são necessários para constituir um 
montante de R$ 3.909,05 à taxa de 2% a.m. capitalizados mensalmente? 
 
49. Dez aplicações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 são realizadas à taxa de 48% ao ano 
com capitalização mensal. Qual o montante gerado pelas aplicações? 
 
 
6.2 – Séries uniformes de Amortização 
 
As séries uniformes de amortização são classificadas em postecipadas e antecipadas. Uma 
série de amortização é postecipada quando os pagamentos ocorrem no final de cada período 
de capitalização. O fluxo de caixa para uma série de amortização postecipada é o seguinte:P representa as parcelas de pagamentos. 
tempo (n) 
P1 
t0 t1 
P2 
t2 
P3 
t3 
... 
... 
Pn 
tn 
 22 
Uma série de amortização é antecipada quando os pagamentos ocorrem no início de cada 
período de amortização. O fluxo de caixa para uma série de amortização antecipada é o 
seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.1 – Série de amortização postecipada 
 
O valor atual refere-se ao resultante das parcelas de pagamento atualizado no ato da operação. 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Uma dívida é parcelada em 4 prestações, sem entrada, de R$ 200,00 à taxa de juros de 1% 
ao mês. Qual o valor da dívida? 
 
 
 
 
 
 
 
Para se calcular o valor da dívida, deve-se calcular o valor atual das parcelas no momento 
da operação (t0). A fórmula de valor atual efetivo ou racional é a seguinte: 
 
n) i1 (
N
A

 
 
Partindo da fórmula de valor atual, pode-se calcular o valor atual da situação descrita: 
 
780,40A
192,20194,12196,06198,02A
1,0406 
200
0303 1, 
200
1,0201 
200
1,01 
200
A
) 1,01 (
200
) 1,01 (
200
) 1,01 (
200
1,01 
200
A
) 0,011 (
200
) 0,011 (
200
) 0,011 (
200
) 0,011 (
200
A
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
A
AAAAA
p
p
p
432p
4321p
4321p
4321p





















 
 
tempo (n) 
P2 
t0 t1 
P3 
t2 
P4 
t3 
... 
... 
Pn 
tn 
P1 
A 
tempo (n) 
200 
t0 t1 
200 
t2 
200 
t3 
200 
t4 
 23 
Como é observado nesta situação, o valor atual postecipado pode ser representado pela 
seguinte expressão: 
 



















n21p
n21p
n21p
) i1 (
1
...
) i1 (
1
) i1 (
1
NA
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
A
A...AAA
 
 
A soma entre colchetes equivale à soma dos termos de uma PG finita: 
 
i
i)(11
i)(1i
1i)(1
S
:se- temações, transformdevidas as fazendo e 
i1
1
q , 
i1
1
a se-Adotando
1q
1)q(a
S
n
n
n
1
n
1























 
 
Desta forma, chamando N de P, a fórmula do valor atual postecipado para uma série de 
amortização será: 
 
SPA p  
 







 


i
i)(11
PA
n
p 
 
Obs.: S em amortização é conhecido como Fator de amortização de capital. 
 
Voltando à situação do início desta seção, pode-se aplicar diretamente esta fórmula para se 
obter o resultado do valor atual postecipado: 
 
780,40A
3,9020200A
0,01
0,01)(11
200A
i
i)(11
PA
p
p
4
p
n
p







 






 



 
 
 
 
 
 
 
 24 
Exercícios: 
 
50. Calcule o valor de uma dívida a ser amortizada em 6 prestações mensais de R$ 120,00 
cada, ao fim de cada mês, sendo 1% a.m. a taxa de juros. 
 
51. Qual o valor da prestação para amortizar um empréstimo de R$ 3.000,00 em 6 prestações 
mensais à taxa de 2% a.m.? 
 
52. A juros de 36% a.a. capitalizados mensalmente, determinar o tempo necessário para 
liquidar um financiamento de R$ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de 
R$ 120,00. 
 
53. Um bem cujo preço à vista é de R$ 4.000,00 será pago em 8 prestações mensais iguais 
pagas ao fim de cada mês à taxa de 5% ao mês. Considerando que no ato da compra foi 
paga uma entrada de 20% sobre o valor à vista, calcular o valor das prestações. 
 
54. Um bem cujo preço à vista é de R$ 4.000,00 será pago em 8 prestações mensais iguais 
pagas ao fim de cada mês à taxa de 5% ao mês. Considerando que no ato da compra foi 
paga uma entrada de 20% juntamente com a 1ª prestação antecipada, calcular o valor das 
prestações. 
 
55. Uma pessoa pode abater R$ 7.500,00 se entregar seu carro usado na compra de um 
veículo mais novo, cujo valor à vista é de R$ 18.500,00. O saldo será pago por meio de 
uma determinada entrada, mais 18 prestações mensais postecipadas de R$ 350,00. 
Considerando que foram aplicados juros de 72% a.a. capitalizados mensalmente, calcular 
o valor da entrada. 
 
56. Calcular o valor das prestações mensais postecipadas iguais e consecutivas que liquidam 
um débito de R$ 200.000,00 no prazo de 6 meses, sendo a taxa de juros efetiva de 18% ao 
mês para os 3 primeiros meses e 20% para os demais. 
 
 
6.2.2 – Série de amortização antecipada 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Deseja-se amortizar uma dívida com 4 prestações mensais antecipadas de R$ 150,00 à 
taxa de juros de 1% ao mês. Qual o valor da dívida? 
 
Neste caso, a representação do fluxo de caixa é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
tempo (n) 
150 
t0 t1 
150 
t2 
150 
t3 
150 
 25 
Para se calcular o valor atual da dívida, deve-se calcular o valor atual das parcelas no 
momento da operação (t0): 
 
14,591A
145,59147,04148,51150A
1,0303 
150
0201 1, 
150
1,01 
150
1 
150
A
) 1,01 (
150
) 1,01 (
150
) 1,01 (
150
(1,01) 
150
A
) 0,011 (
150
) 0,011 (
150
) 0,011 (
150
) 0,011 (
150
A
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
A
AAAAA
a
a
a
3210a
3210a
3210a
4321a





















 
 
Como é observado na situação anterior, o valor atual antecipado pode ser representado pela 
seguinte expressão: 
 
n21a
n210a
n321a
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
NA
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
A
A...AAAA















 
 
Contudo, para se aplicar a fórmula da soma da PG para se chegar à fórmula do valor atual 
antecipado, é necessário subtrair N em cada termo da expressão: 
 

























n21a
n21a
n21a
) i1 (
1
...
) i1 (
1
) i1 (
1
NNA
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
NA
N
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
NNA
 
 
A soma entre colchetes equivale à soma dos termos de uma PG finita: 
 
i
i)(11
i)(1i
1i)(1
S
:se- temações, transformdevidas as fazendo en à 1 subtraindo , 
i1
1
q , 
i1
1
a se-Adotando
1q
1)q(a
S
n1
1-n
1-n
1
n
1























 
 26 
Inserindo-se S na equação anterior, tem-se: 
 
 1SNA
NSNA
SNNA
a
a
a



 
 
Desta forma, chamando N de P, a fórmula do valor atual antecipado para uma série de 
amortização será: 
 
 1S PAa  
 












1
i
i)(11
PA
n1
a 
 
Voltando à situação do início desta seção, pode-se aplicar diretamente esta fórmula para se 
obter o resultado do valor atual antecipado: 
 
591,14A
3,9409150A
1
0,01
0,01)(11
1501
i
i)(11
PA
a
a
41n1
a

























 
 
 
Exercícios: 
 
57. Determinar o valor atual antecipado de 8 prestações mensais de R$ 150,00 cada à taxa de 
2% ao mês. 
 
58. Uma pessoa fez um financiamento em 6 prestações mensais antecipadas de R$ 13.000,00 
cada. Calcule o valor efetivo do financiamento se a taxa de juros cobrada é de 30% ao 
semestre. 
 
59. Uma dívida de R$ 20.000,00 a vencer em 2 meses foi atualizada à taxa de 26,82% ao ano 
para ser renegociada, à mesma taxa, em prestações mensais antecipadas de R$ 3.364,56. 
Em quantas prestações fixas e antecipadas foi renegociada a dívida? 
 
60. Uma pessoa deseja amortizar uma dívida de R$ 3.000,00 em 5 prestações mensais 
imediatas. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mês e a 
carência de 2 meses. 
 
61. Determinar o valor atual de um financiamento que será pago em 24 parcelas mensais 
postecipadas de R$ 480,00 à taxa de 1,5% ao mês sob um período de carência de 4 meses. 
 
 27 
62. Um financiamento de R$ 40.000,00 será pago em 8 prestações mensais de R$ 6.413,44. O 
início do pagamento das prestações será no ato do término de um determinado período de 
carência. Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência. 
 
63. Um bem cujo valor à vista é de R$ 10.000,00 será pago por meio de uma entrada de 20% 
mais 13 prestações antecipadasmensais de R$ 800,00 cada e mais um pagamento final 
junto com a última prestação. Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% a.m. e 
que há um período de carência de 3 meses, calcular o valor do pagamento final de modo 
que a dívida seja liquidada. 
 
64. O fluxo mensal abaixo representa a amortização de uma divida de uma empresa: 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 |---------------10.000-------------| |-------------------20.000----------------| 
 
Por meio de série uniforme, determine o valor contratado da dívida sabendo que a taxa 
aplicada foi de 48% ao ano com capitalização mensal. 
 
 
7 – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
 
A Análise de Investimentos é um conjunto de técnicas que visam avaliar a viabilidade de 
projetos de investimentos. 
 
Dependendo do prisma que se faz uma análise de investimentos, há as seguintes modalidades1 
de avaliação: 
 
a) Avaliação Financeira  Analisa o fluxo de caixa do projeto em termos quantitativos 
(entradas e saídas de caixa) ao longo de toda vida útil do investimento, a fim de 
fornecer subsídios aos investidores/empresários (fornecedores de capital próprio), 
visando a tomada de decisão no que diz respeito à rentabilidade do projeto, tempo de 
recuperação de capital investido ou payback, relação custo/benefício, taxa de retorno, 
ponto de equilíbrio, dentre outras técnicas. 
 
b) Avaliação Econômica  Analisa, de forma predominantemente qualitativa, a 
viabilidade de um projeto em relação ao mercado, à escala de produção, à localização 
do empreendimento e aos estudos técnicos contidos na elaboração do produto ou 
serviço resultante do projeto. Apesar de independente da avaliação financeira, é 
normalmente realizada a posteriori a essa avaliação, na medida em que numa 
avaliação econômica a importância da análise qualitativa dos dados, dos eventos e dos 
cenários é complementada por uma análise quantitativa que lhe fornece maior 
credibilidade e clareza nos objetivos e conclusões a que se deseja chegar. 
 
c) Avaliação Social  Analisa o impacto que o projeto de investimento causará aos 
vários setores sociais das comunidades local, regional e/ou nacional, avaliando sua 
 
1 FERREIRA, Roberto G. Engenharia econômica e avaliação de projetos de investimentos. São Paulo: Atlas, 2009. 
 28 
repercussão quanto à distribuição de renda, criação de emprego, desenvolvimento 
social e incentivo à atração de novos empreendimentos que propiciem o 
desenvolvimento social e econômico. 
 
d) Avaliação Ambiental  Analisa o impacto do projeto ao meio ambiente e sua 
preservação. 
 
A Análise de Investimentos refere-se à Avaliação Financeira e, esta por sua vez, responsável 
por fornecer subsídios e/ou informações complementares às demais modalidades descritas 
(econômica, social e ambiental). 
 
Desta forma, todas as técnicas e métodos a serem discutidos adiante destinam-se à Avaliação 
Financeira de Projetos de Investimentos. Assim, a Análise de Investimentos corresponde ao 
conjunto de técnicas financeiras destinadas a avaliar opções de investimentos de capital ou de 
aquisição de bens e/ou serviços. Nesse caso, todas as alternativas tecnicamente viáveis para 
implantação de um projeto devem ser analisadas com o objetivo de se apurar aquela que 
apresenta maior receita ou o menor custo, observado o aspecto global do investimento. 
 
A Análise de Investimentos pode ser compreendida como uma aplicação das técnicas de 
matemática financeira, principalmente o princípio da equivalência de capitais, que sob o 
ponto de vista matemático é uma equação que soluciona os principais métodos de análise. 
 
As principais etapas do processo de Avaliação Financeira de um projeto de investimento são: 
 
I. Estimativa dos fluxos de caixa incrementais (entradas e saídas de caixa para um período 
de tempo compatível com o projeto); 
II. Avaliação do risco do projeto e respectiva taxa mínima de atratividade do fluxo de caixa 
futuro esperado. 
III. Aplicação dos métodos de seleção de alternativas de investimentos e respectiva obtenção 
de indicadores financeiros que subsidiarão a análise de viabilidade do projeto; 
IV. Tomada de decisões. 
 
A seguir, serão apresentados e discutidos os métodos de seleção de alternativas de 
investimentos necessários para a execução das etapas descritas. São eles: 
 
 Taxa Mínima de Atratividade [im] 
 Valor Presente Líquido [VPL] 
 Taxa de Rentabilidade [TR] 
 Índice Benefício/Custo [IBC] 
 Taxa Interna de Retorno [TIR] 
 Tempo de Retorno do Investimento [Payback descontado] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
7.1 – Taxa Mínima de Atratividade [im] 
 
A Taxa Mínima de Atratividade [im] é a taxa mínima que compensa ao investidor optar por 
determinado investimento. 
 
Na literatura técnica de Análise de Investimentos, a im é também conhecida como: 
 Taxa mínima de mercado; 
 Taxa de atratividade; 
 Taxa de mercado; 
 Taxa de oportunidade; 
 Taxa de corte; 
 Custo de oportunidade; 
 Custo de capital. 
 
Em outras palavras, im é aquela taxa que apresenta liquidez, ou seja, que o investidor encontra 
no mercado a qualquer momento, durante o prazo e da forma que quiser, para investir quanto 
quiser, sujeito sempre a um determinado risco. Dessa forma, ao se analisar determinada 
alternativa de investimento, esta deve ter rentabilidade superior à taxa mínima de atratividade. 
Comumente, ela serve de balizamento ou ponto de referência ou de comparação na análise das 
diversas opções de investimentos. 
 
De qualquer forma, a im é sempre uma decisão pessoal do investidor que sinaliza qual a sua 
expectativa quanto à remuneração de seu capital financeiro caso não fosse investido em um 
projeto. 
 
 
7.2 – Valor Presente Líquido [VPL] 
 
O VPL consiste em calcular os valores atuais de todas as receitas e confrontar sua somatória à 
soma dos valores atuais dos custos em determinada alternativa de investimentos, à taxa 
mínima de atratividade. 
 
Na literatura técnica de Análise de Investimentos, o VPL é também conhecido como VAL 
(Valor Atual Líquido). 
 
Ao aplicar o VPL está se calculando o valor atual para os futuros fluxos reais que serão 
gerados para o projeto descontando-os à uma taxa mínima de atratividade estipulada pelo 
investidor e deduzindo o investimento inicial de todo o fluxo de caixa atualizado. 
 
0
n
1t
n
m
nn I
)i(1
CR
VPL 




 
 
Onde: 
Rn  receitas ou entradas líquidas de caixa 
Cn  custos ou saídas líquidas de caixa 
im  taxa mínima de atratividade 
I0  investimento inicial 
n  número de períodos de tempo 
 
 30 
Com o resultado do cálculo do VPL, parte para a análise do investimento: 
 
 VPL positivo  o projeto é viável e deve ser empreendido, pois o valor presente do 
fluxo de caixa é maior que o investimento inicial; 
 VPL nulo  o retorno do projeto é nulo e, portanto, torna-se um empreendimento 
indiferente; 
 VPL negativo  o projeto é inviável e não deve ser empreendido, pois o valor 
presente do fluxo de caixa é menor que o investimento inicial. 
 
Exemplo: 
 
A empresa Alfa tem que decidir sobre duas alternativas de investimento. Na primeira deverá 
desembolsar inicialmente R$ 50.000,00, para receber R$ 3.800,00 nos próximos 24 meses. Na 
segunda, deverá desembolsar R$ 47.000,00 hoje para receber R$ 3.750,00 nos próximos 24 
meses. Qual a melhor alternativa se a taxa mínima de atratividade é de 4% a.m. ? 
 
Solução para 1ª alternativa: 
 
 
 
 
 
 
 















 










,.VPL
.
,
),(
.VPL
I
i
)i(
PIAI
)i(1
CR
VPL
m
n
m
p0
n
t
n
m
nn
 
 
Solução para 2ª alternativa: 
 
 
 
 
 
 
 











,.VPL
.
,
),(
.VPLConclusão: 
 
Conforme demonstram os cálculos acima, as duas opções são atrativas, por apresentarem 
valores positivos nas diferenças entre os valores atuais das receitas e dos custos. Porém, a 
melhor alternativa é a 2ª por apresentar valor atual maior que a 1ª. 
 
R$ 50.000,00 
n (mês) 
R$ 3.800,00 
t0 
1 ..... 24 
R$ 47.000,00 
n (mês) 
R$ 3.750,00 
t0 
1 ..... 24 
 31 
Exercícios: 
 
65. A empresa Delta avalia a aquisição de um equipamento por R$ 80.000,00, que lhe trará 
uma receita de R$ 4.000,00 nos próximos 24 meses, quando se encerrará sua vida útil e 
será vendido pelo valor residual de R$ 16.000,00. Surgiu-lhe a oportunidade de adquirir 
um equipamento similar por R$50.000,00, que lhe renderá R$ 3.700,00 nos próximos 
24 meses, quando será vendido pelo valor residual de R$ 15.000,00. Qual é a melhor 
alternativa, sabendo-se que a taxa mínima de atratividade é de 2% a.m.? 
 
66. Certa empresa está estudando a aquisição de um novo equipamento com a finalidade de 
aumentar sua produção. Sabe-se que a taxa mínima da atratividade é de 2% a.m. e que 
lhes foram apresentadas as seguintes propostas: 
 
ITEM 
EQUIPAMENTO 
“X” 
EQUIPAMENTO 
“Y” 
Investimento inicial R$ 250.000,00 R$ 300.000,00 
Vida útil estimada 5 anos 5 anos 
Valor residual R$ 20.000,00 R$ 60.000,00 
Despesas mensais R$ 6.000,00 R$ 5.000,00 
 
 Considerando o método de valor atual, por qual das propostas a empresa deve optar? 
 
67. A empresa “Brinquedos Satélite” pretende ampliar sua gama de produtos com vista a 
atender a demanda do mercado. Para tanto necessita investir, à vista, R$ 300.000,00 na 
instalação de uma nova unidade para obter uma receita mensal adicional de R$ 8.600,00 
nos próximos 5 anos, quando termina sua vida útil e poderá ser vendida por R$ 
30.000,00. Considerando im de 2% a.m., esse investimento é conveniente à empresa? 
 
68. Considere a implantação de um projeto, no setor de energia elétrica, quando está orçado 
um custo inicial de investimento de R$ 80 milhões. Para os custos operacionais, é 
estimado um custo fixo de R$ 1,25 milhão/mês e custos variáveis com mão de obra e 
matéria-prima de R$ 300,00/unidade/mês. A atividade econômica cogitada é a geração 
de motores elétricos, numa escala de produção de 10.000 unidades/mês, quando espera-
se praticar um preço unitário mensal de R$ 525,00. O projeto está previsto para análise 
dentro de um horizonte de planejamento ou de vida útil de 20 anos, ao final do qual 
apresentará um valor residual (sucata) de R$ 8 milhões. Elaborar os fluxos de caixa 
mensal para o projeto e, considerando um custo de oportunidade de 8% ao ano, verificar 
se o valor atual compensa os investimentos. 
 
69. Dado o fluxo de caixa abaixo, verificar se o valor atual compensa o projeto baseando-se 
numa taxa mínima de atratividade de 6% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 Valores em R$ milhões. 
170 10 
anos 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
20 20 20 40 40 40 60 
 32 
70. Analisar, pelo método do valor atual, qual dos dois projetos abaixo é mais viável 
adotando uma taxa mínima de atratividade de 12% ao ano: 
 
Discriminação Projeto “X” Projeto “Y” 
Custo inicial R$ 10.000,00 R$ 15.000,00 
Lucro anual R$ 5.000,00 R$ 4.700,00 
Vida útil 4 anos 8 anos 
 
71. Adotando-se uma taxa mínima de atratividade de 2% ao mês, verificar qual dos projetos abaixo 
apresenta um valor atual mais rentável: 
 
Discriminação Projeto A Projeto B 
Investimento inicial R$ 120.000,00 R$ 160.000,00 
Receita mensal R$ 10.000,00 R$ 12.000,00 
Despesa mensal R$ 2.000,00 R$ 1.500,00 
Valor residual R$ 20.000,00 R$ 30.000,00 
Vida útil 2 anos 3 anos 
 
 
72. Uma pessoa decidiu vender um apartamento, adquirido por R$ 20.000,00 há 24 meses. 
Foram pagos impostos anuais e antecipados de R$ 200,00. Gastou com reformas e 
pinturas o valor de R$ 1.500,00 há 12 meses e R$ 2.000,00 há 2 meses. O imóvel 
rendeu um aluguel mensal de R$ 300,00 durante os 24 meses. Considerando uma taxa 
de atratividade mínima de 3% ao mês, qual o menor valor que poderá vender o 
apartamento para não ter prejuízo? 
 
73. Uma indústria estuda a possibilidade de reformar uma máquina. A reforma está orçada 
em R$ 280.000,00 e dará uma sobrevida de cinco anos ao equipamento, proporcionando 
uma diminuição nos custos operacionais da indústria da ordem de R$ 75.000,00 ao ano. 
Considerando um custo de capital de 15% ao ano e adotando o método do valor atual, 
analise a viabilidade de reformar a máquina. 
 
 
7.3 – Taxa de Rentabilidade [TR] 
 
A TR é uma medida relativa (expressa em percentual) que auxilia o processo de tomada de 
decisão. Consiste em estabelecer a razão entre o VPL e o investimento inicial do projeto. É 
utilizada para comparar a viabilidade financeira de dois ou mais projetos de investimentos que 
tenham valores iniciais distintos. É também chamada de ROI (return on investment). Na 
análise deste critério, considera-se que o investimento será rentável sempre que a TR for 
superior a zero, isto é, quando o VPL do projeto for superior ao seu investimento inicial. 
 







I
VPL
TR 
 
 
 
 33 
Exemplo: 
 
Considerando as duas alternativas abaixo de investimentos: 
 
Alternativa Valor inicial investido VPL 
A R$ 40.000,00 R$ 15.000,00 
B R$ 70.000,00 R$ 15.500,00 
 
%,
.
.
TR A 







 %,
.
.
TR B 







 
 
Mesmo que os dois projetos sejam viáveis, em função dos VPL’s positivos, a alternativa A se 
torna relativamente mais rentável, embora a alternativa B tenha maior VPL. Acrescenta-se 
que o nível de risco associado ao investimento da alternativa B é maior do que a de A, dada à 
sua magnitude (75% superior). Portanto, além de avaliar o VPL, deve-se relacioná-lo ao valor 
investido, por meio da TR, e ao seu nível de risco. 
 
Exercício: 
 
74. Dadas as empresas descritas abaixo, verifique qual é mais relativamente rentável: 
 
Empresa Valor inicial investido [I0] VPL 
X R$ 100.000,00 R$ 15.000,00 
Y R$ 95.000,00 R$ 16.000,00 
Z R$ 75.000,00 R$ 13.000,00 
 
 
7.4 – Índice Benefício/Custo [IBC] 
 
O IBC é um indicador resultante da relação entre o valor presente das entradas do fluxo de 
caixa e o valor presente das saídas do fluxo de caixa. O benefício é representado pelas 
entradas de caixa e o custo é representado pelas saídas de caixa. 
 
Ao aplicar o IBC busca-se averiguar se as entradas atualizadas de caixa cobrem os custos 
atualizados de caixa. Entretanto, é um indicador que não deve ser utilizado isoladamente para 
comparação de projetos, pois pode induzir a uma seleção inadequada. 
 
VPS
VPE
IBC  
Onde: 
VPE  Valor presente das entradas de caixa 
VPS  Valor presente das saídas de caixa 
 
Com o resultado do IBC, parte para a análise do investimento: 
 
 IBC > 1  o projeto é viável, pois VPE > VPS. 
 IBC nulo  o projeto é nulo e, portanto, indiferente, pois VPE = VPS; 
 IBC < 1  o projeto é deficitário e não deve ser empreendido, pois VPE < VPS. 
 34 
Exemplo: 
 
Considerando uma taxa de atratividade de 15% ao ano, analisar os fluxos de caixa abaixo com 
base no VPL, TR e IBC: 
 
Anos Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 
0 - 1.000,00 - 1.200,00 - 1.700,00 - 1.800,00 
1 250,00 200,00 400,00 250,00 
2 300,00 350,00 500,00 500,00 
3 300,00 400,00 600,00 500,00 
4 350,00 500,00 700,00 800,00 
5 400,00 1.000,00 800,00 1.500,00 
 
 
Calculando-se o VPL, a TR e o IBC, tem-se: 
 
Indicador Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 
VPL R$ 40,47 R$ 284,62 R$ 218,38 R$ 327,39 
TR 4,05% 23,72% 12,85% 18,19% 
IBC 1,04 1,24 1,13 1,18 
 
Análises: 
 
 O projeto D apresenta maior VPL e, por isso, é o mais indicado num caso de escolha 
dentre os demais projetos; 
 
 A TR do Projeto B não justifica sua escolha, apesarde maior do Projeto D, pois sua 
diferença percentual (5,53%) ainda é menor que a diferença relativa de VPL entre D e 
B, que é de 15,03%; 
 
 O IBC indica que todos os projetos são viáveis, contudo não pode ser utilizado para a 
escolha de qual projeto investir. 
 
 
Exercícios: 
 
75. Considerando um custo de oportunidade de 10% ao ano, verifique a viabilidade do 
projeto abaixo adotando o IBC: 
 
 Ano 0 Ano 1 Ano 2 
Custos - 100,00 -1.100,00 -12.100,00 
Benefícios 50,00 1.650,00 14.520,00 
Fluxo de caixa 
líquido 
- 50,00 550,00 2.420,00 
 
 
 
 
 
 35 
76. Considerando uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano, verifique qual projeto 
abaixo deve ser empreendido com base no IBC: 
 
DISCRIMINAÇÃO PROJETO X PROJETO Y 
Período: 0 Em R$ mil Em R$ mil 
Terrenos 450 - 
Equipamentos nacionais 250 100 
Equipamentos importados - 300 
Mão de obra não qualificada 200 25 
Pagamentos em US$ - 130 
Outras despesas - 50 
Custos totais de implantação 900 605 
 
Período: 1 a 10 B C B C 
Faturamento bruto 1.800 - 2.900 - 
Matéria-prima nacional - 200 - 350 
Matéria-prima importada - - - 1.250 
Mão de obra qualificada - - - 600 
Mão de obra não qualificada - 900 - 300 
Tributos e encargos - 600 - 200 
Total anual 1.800 1.700 2.900 2.700 
 
 
7.5 – Taxa Interna de Retorno [TIR] 
 
A TIR é um dos critérios mais conhecidos e usados em análise de investimentos devido à sua 
facilidade de entendimento por parte dos investidores. Representa a taxa de rentabilidade 
interna de um fluxo de caixa e é determinada algebricamente quando se anula o VPL de um 
investimento. 
 



 

0
n
t
n
nn I
i)(1
CR
VPL 
 
Onde: 
i  TIR 
Rn  receitas ou entradas líquidas de caixa 
Cn  custos ou saídas líquidas de caixa 
I0  investimento inicial 
n  número de períodos de tempo 
 
Em sua análise, deve-se comparar a TIR com o custo de oportunidade: 
 
 TIR > Im  o projeto é viável. 
 TIR = Im  o projeto é nulo e, portanto, torna-se um empreendimento indiferente. 
 TIR < Im  o projeto é deficitário e não deve ser empreendido. 
 36 
Exemplo: 
 
Uma empresa pretende investir em um projeto de construção civil que requer um investimento 
inicial de R$ 2.500.000,00 e que trará retornos líquidos mensais de R$ 150.000,00 durante 2 
anos. Considerando um custo de oportunidade de 5% ao mês, avalie pela TIR se o projeto é 
viável. 
 





 







 





 






 





,
i
)i(
.
..
i
)i(
..
i
)i(
.
I
i
)i(
P
n
 
 
Simulando o custo de oportunidade: 
 







 
,
,
),(
 
 
Desta simulação, verifica-se que o projeto não é viável, pois a relação I0/P não foi coberta 
pelo custo de oportunidade. 
 
Para calcular o valor estimado da TIR, deve-se fazer tentativas sucessivas de taxas, para então 
interpolar duas que envolvam (uma menor e outra maior) a relação I0/P referente ao custo de 
oportunidade, como demonstrado a seguir: 
 
Para i = 4%  15,2470 
Para i = 3%  16,9355 
 
Como o valor da relação I0/P está entre os dois valores simulados, basta interpolar: 
 
3% --------------- 16,9355 
TIR -------------- 16,6667 
4% --------------- 15,2470 
 
Interpolando, acha-se uma TIR estimada de 3,1592% que, por não ser superior ao custo de 
oportunidade, inviabiliza o investimento. 
 
Exercícios: 
 
77. Um projeto está sendo oferecido nas seguintes condições: Um investimento inicial de 
R$ 1.000,00 com entradas de caixa mensais de R$ 300,00 , R$ 500,00 e R$ 400,00 
consecutivas, sabendo-se que um custo de oportunidade aceitável é 10% ao mês. 
Considerando a TIR, o projeto deve ser aceito? 
 37 
78. Utilizando uma taxa mínima de atratividade de 100% ao ano, determinar por meio de 
análise comparativa de TIR e VPL qual dos projetos abaixo é mais viável: 
 
 
X: 
 
 
 
 
 
Y: 
 
 
 
 
79. Dados os projetos abaixo, para im de 6% ao ano e vida útil de 10 anos, determinar pela 
análise de TIR e VPL qual é mais rentável: 
 
Discriminação Projeto X [R$] Projeto Y [R$] 
Custo inicial 100.000 15.000 
Lucro anual 20.000 5.000 
Valor residual 10.000 10.000 
 
80. O projeto A requer R$ 10.000,00 de investimento para ter R$ 12.000,00 de retorno 
anual. O Projeto B requer R$ 15.000,00 de investimento para ter R$ 17.700,00 de 
retorno anual. Para o prazo de 1 ano e um custo de capital de 12% ao ano, analisar pelo 
VPL e pela TIR qual projeto é mais viável financeiramente. 
 
 
7.6 – Tempo de Retorno do Investimento [Payback] 
 
O Payback descontado corresponde à mensuração do tempo necessário para recuperação de 
um capital investido em um determinado projeto. Normalmente, o payback considera a 
variação do dinheiro no tempo, o que torna necessário a atualização das entradas de fluxo de 
caixa em seu cálculo. Essa operação é também conhecida como payback descontado. 
 
A expressão para seu cálculo é obtida quando se anula o VPL de um investimento: 
 



 

0
n
t
n
nn I
i)(1
CR
VPL 
 
Onde: 
i  taxa mínima de atratividade 
Rn  receitas ou entradas líquidas de caixa 
Cn  custos ou saídas líquidas de caixa 
I0  investimento inicial 
n  Payback descontado 
 
R$ 100.000,00 
anos 
0 1 
R$ 400.000,00 
R$ 200.000,00 
anos 
0 1 
R$ 700.000,00 
 38 
Em sua análise, deve-se compará-lo com o payback aceitável, ou seja, aquele que o investidor 
está disposto a aceitar para a recuperação do investimento realizado: 
 
 Payback descontado < Payback aceitável  o projeto deve ser aceito. 
 Payback descontado = Payback aceitável  sua aceitação é indiferente. 
 Payback descontado > Payback aceitável  o projeto não deve ser aceito. 
 
 
Exemplo: 
 
Determinar o tempo de retorno de um investimento de R$ 130.000,00 que gera lucros 
operacionais anuais de R$ 25.000,00 durante 10 anos sujeito à im de 6% ao ano. 
 
anos,n
,log
,log
n
,),(
,),(
.
.
,
),(
.
,
),(
.
I
i
)i(
P
n
n
n
n
m
n
m






























 





 
 
Avaliação: 
O projeto é aceitável por apresentar payback descontado inferior ao payback aceitável do 
investimento. 
 
Exercícios: 
 
81. Um empresário pretende investir R$ 150.000,00 em um maquinário que tem vida útil 
estimada de 2 anos e que lhe trará uma economia de processo de R$ 10.000,00 mensais. 
Este maquinário, ao fim de sua vida útil vira sucata, não tendo mais valor de mercado e, 
portanto, depreciação total. Considerando uma taxa mínima de atratividade de 5% ao 
mês, determinar se o payback descontado compensa o investimento. 
 
82. Um ônibus adquirido por R$ 200.000,00 gerará, após abatimento de todos os custos, 
inclusive depreciação e impostos, uma receita líquida mensal de R$9.000,00 nos 
próximos 60 meses, quando será excluído da frota. Estima-se um valor residual de 
R$50.000,00. Pelo método do payback descontado, verifique se o negócio é viável e 
quanto tempo levará o retorno, sabendo-se que o custo de oportunidade é de 1% ao mês. 
 
 
 
 
 39 
83. Dado o fluxo de caixa abaixo (R$ milhões), verificar se o projeto deve ser aceito com 
base no payback descontado à taxa mínima de atratividade de 12% ao ano para o prazo 
de 10 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
84. Verifique a viabilidade do fluxo de caixa abaixo (R$ mil) pelo payback descontado à 
taxa mínima de atratividade de 4% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
85. O fluxo de caixa apresentado abaixo (R$ milhões) diz respeito a um investimento de 
uma indústria na modernização de uma área fabril. 
 
 
 
 
 
 
Determine e avalie o payback para as seguintes taxas de corte: 
a) 1% ao mês 
b) 2% ao mês 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100anos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 5 15 20 20 40 40 40 40 40 40 
150 10 10 
mês 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 30 30 30 30 30 30 
100 50 
anos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 
 40 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
1. R$ 280,00 2. 25% a.m. 3. R$ 1.380,00 
4. R$ 5.000,00 5. 12% a.a. 6. 16% a.a. 
7. 1,5% a.s. 8. R$ 2.343,32 9. 23,5 meses 
10. R$ 151,50 11. 3% a.m. 12. R$ 8.765,12 
13. 60,10% a.a. 14. 18,32% a.s. 15. 6,12% a.t. 
16. 3,79% a.m. 17. 16,14% a.m. 18. 0,97% a.m. 
19. 26,82% a.a. 20. R$ 12.504,76 21. R$ 126,20 
22. 2% a.m. JS 23. R$ 7.264,51 24. R$ 32.929,07 
25. R$ 240,00 26. 15% a.a. 27. R$ 910,00 
28. 3 meses 29. 15% a.m. e 15,96% a.m 30. R$ 8.928,57 
31. R$ 1.164,82 32. R$ 2.269,36 33. 1 ano 
34. R$ 489,56 35. R$ 107,10 36. 2% a.m. 
37. R$ 768,96 38. R$ 12.119,18 39. R$ 1.212.447,27 
40. R$ 11.768,85 41. R$ 294,03 42. 6 meses 
43. 8 trimestres 44. 90 meses 45. R$ 1.729,58 
46. R$ 4.279,65 47. R$ 233,13 48. 10 
49. R$ 15.788,22 50. R$ 695,46 51. R$ 535,58 
52. 8 meses 53. R$ 495,11 54. R$ 471,53 
55. R$ 7.210,34 56. R$ 57.864,73 57. R$ 1.120,80 
58. R$ 57.117,84 59. 6 60. R$ 624,30 
61. R$ 9.194,41 62. 5 meses 63. R$ 1.106,00 
64. R$ 100.565,29 65. 2ª (R$ 29.307,34) 66. X (R$ 452.469,67) 
67. R$ 8.087,09 68. R$ 44,18 milhões 69. - R$ 6,66 milhões 
70. X (R$ 8.483,02) 71. B (R$ 182.313,21) 72. R$ 35.280,09 
73. Não (- R$ 28.588,37) 74. Empresa Z 75. Viável (IBC=1,22) 
76. Y (IBC=1,03) 77. TIR=9,27% (inviável) 78. Y 
79. X 80. B 81. 28,41 meses (inviável) 
82. 23,45 meses (viável) 83. 5,41 anos (viável) 84. 9,40 meses (inviável) 
85. 
a) 9,72 anos (viável) 
b) Não há (inviável)