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Questão 1/5 - Equações Diferenciais Encontre uma solução geral para a equação diferencial y′+5y=t3e−5ty′+5y=t3e−5t utlizando o método dos fatores integrantes. Nota: 20.0 A y=x+lnxy=x+lnx B y=ex+cy=ex+c C y=ln(x+3)+cy=ln(x+3)+c D y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t Você acertou! Após identificar p(t)=5p(t)=5, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja, μ(t)=e∫5dt=e5tμ(t)=e∫5dt=e5t. Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos ddt[e5t.y]=e5tt3e−5tddt[e5t.y]=e5tt3e−5t. Integrando essa expressão e isolando y, temos y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t que é a solução geral para o problema. Questão 2/5 - Equações Diferenciais Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por 3ydydx=2x2−33ydydx=2x2−3 Nota: 20.0 A y=√4x39−2x+2c3y=4x39−2x+2c3 Você acertou! Como a expressão do problema já está no formato padrão, basta integrar ambos os lados da equação e obter 3y22=2x33−3x+c3y22=2x33−3x+c. Isolando y nessa expressão, temos y=√4x93−2x+2c3y=4x93−2x+2c3 que é a solução geral do problema. B y=4x3−2xy=4x3−2x C y=x5−6y=x5−6 D y=3x+exy=3x+ex Questão 3/5 - Equações Diferenciais Analise as alternativas dessa questão e determine qual delas tem como solução y1=x3y1=x3. Nota: 20.0 A y′′+1=0y″+1=0 Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: (y1)′=3x2(y1)′=3x2 (y1)′′=6x(y1)″=6x (y1)′′′=6(y1)‴=6 Substituindo esses valores em y′′+1=0y″+1=0, temos: 6x+1=06x+1=0 Essa igualdade não é verdadeira. B xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0 Você acertou! Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: (y1)′=3x2(y1)′=3x2 (y1)′′=6x(y1)″=6x (y1)′′′=6(y1)‴=6 Substituindo esses valores em xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0, temos: x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0 de forma que essa igualdade é verdadeira, pois os cálculos do lado esquerdo da igualdade resultam em zero. C y′′′=0y‴=0 Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: (y1)′=3x2(y1)′=3x2 (y1)′′=6x(y1)″=6x (y1)′′′=6(y1)‴=6 Substituindo esses valores em y′′′=0y‴=0, temos: 6=06=0 Essa igualdade não é verdadeira. D y′′′+y′=0y‴+y′=0 Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: (y1)′=3x2(y1)′=3x2 (y1)′′=6x(y1)″=6x (y1)′′′=6(y1)‴=6 Substituindo esses valores em y′′′+y′=0y‴+y′=0, temos: 6+3x2=06+3x2=0 Essa igualdade não é verdadeira. Questão 4/5 - Equações Diferenciais Utilize a integração direta para encontrar a solução geral de y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) Nota: 20.0 A y=x22−sen(x)+Cy=x22−sen(x)+C B y=2x−cos(x)y=2x−cos(x) C y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C y=x33+sen(x)+C Você acertou! Integrando y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) temos y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C D y=3x3−sen(x)y=3x3−sen(x) Questão 5/5 - Equações Diferenciais Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral de y′−5y=−25xy′−5y=−25x Nota: 20.0 A y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x Você acertou! Como temos 1 multiplicando y' e P(x)=−5P(x)=−5, podemos utilizar a fórmula μ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dx Assim, temos que (e−5xy)′=−25xe−5x(e−5xy)′=−25xe−5x integrando em x e−5xy=−25∫xe−5xe−5xy=−25∫xe−5x que após a integração por partes, temos e−5xy=e−5x(5x+1)+Ce−5xy=e−5x(5x+1)+C isolando y y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x B y=5ex+Cy=5ex+C C y=e−5Cy=e−5C D y=C−25exy=C−25ex